Definirajte parnu funkciju. Kako odrediti parne i neparne funkcije

Da biste to učinili, koristite milimetarski papir ili grafički kalkulator. Odaberite bilo koji broj numeričkih vrijednosti za nezavisnu varijablu x (\displaystyle x) i priključite ih u funkciju da izračunate vrijednosti zavisne varijable y (\displaystyle y). Stavite pronađene koordinate tačaka na koordinatnu ravan, a zatim povežite ove tačke da biste napravili graf funkcije.

• Zamijenite pozitivne numeričke vrijednosti u funkciju x (\displaystyle x) i odgovarajuće negativne numeričke vrijednosti. Na primjer, data funkcija. Zamijenite sljedeće vrijednosti u njega x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Imam tačku sa koordinatama (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Imam tačku sa koordinatama (− 1 , 3) ​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Imam tačku sa koordinatama (− 2 , 9) (\displaystyle (-2,9)).

Provjerite je li graf funkcije simetričan u odnosu na y-os. Simetrija se odnosi na zrcalnu sliku grafa oko y-ose. Ako se dio grafa desno od y-ose (pozitivne vrijednosti nezavisne varijable) poklapa s dijelom grafa lijevo od y-ose (negativne vrijednosti nezavisne varijable), graf je simetričan u odnosu na os y. Ako je funkcija simetrična oko y-ose, funkcija je parna.

• Možete provjeriti simetriju grafa po pojedinačnim tačkama. Ako vrijednost y (\displaystyle y) x (\displaystyle x), odgovara vrijednosti y (\displaystyle y), što odgovara vrijednosti − x (\displaystyle -x), funkcija je parna. U našem primjeru sa funkcijom f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) dobili smo sljedeće koordinate tačaka:
  • (1.3) i (-1.3)
  • (2,9) i (-2,9)
• Imajte na umu da je za x=1 i x=-1 zavisna varijabla y=3, a za x=2 i x=-2 zavisna varijabla je y=9. Dakle, funkcija je parna. U stvari, više od dvije tačke se moraju uzeti u obzir da bi se tačno odredio oblik funkcije, ali opisana metoda je dobra aproksimacija.

Provjerite je li graf funkcije simetričan u odnosu na ishodište. Početna tačka je tačka sa koordinatama (0,0). Simetrija oko ishodišta znači da je pozitivna vrijednost y (\displaystyle y)(sa pozitivnom vrijednošću x (\displaystyle x)) odgovara negativnoj vrijednosti y (\displaystyle y)(sa negativnom vrijednošću x (\displaystyle x)), i obrnuto. Neparne funkcije imaju simetriju u odnosu na ishodište.

• Ako u funkciju zamijenimo nekoliko pozitivnih i odgovarajućih negativnih vrijednosti x (\displaystyle x), vrijednosti y (\displaystyle y)će se razlikovati u znaku. Na primjer, data funkcija f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x). Zamijenite više vrijednosti u njega x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2). Dobili smo tačku sa koordinatama (1,2).
  • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
  • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
  • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Dobio sam tačku sa koordinatama (-2,-10).
• Dakle, f(x) = -f(-x), odnosno funkcija je neparna.

Provjerite ima li graf funkcije ikakvu simetriju. Posljednji tip funkcije je funkcija čiji graf nema simetriju, odnosno nema zrcalne slike i u odnosu na y-osu i u odnosu na ishodište. Na primjer, data funkcija.

• Zamijenite nekoliko pozitivnih i odgovarajućih negativnih vrijednosti u funkciju x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). Dobili smo tačku sa koordinatama (1,4).
  • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). Dobio sam tačku sa koordinatama (-1,-2).
  • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ). Dobili smo tačku sa koordinatama (2,10).
  • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2). Dobio sam tačku sa koordinatama (2,-2).
• Prema dobijenim rezultatima, nema simetrije. Vrijednosti y (\displaystyle y) za suprotne vrijednosti x (\displaystyle x) ne poklapaju se i nisu suprotne. Dakle, funkcija nije ni parna ni neparna.
• Imajte na umu da je funkcija f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) može se napisati ovako: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Napisana u ovom obliku, čini se da je funkcija parna jer postoji paran eksponent. Ali ovaj primjer dokazuje da se oblik funkcije ne može brzo odrediti ako je nezavisna varijabla zatvorena u zagrade. U tom slučaju morate otvoriti zagrade i analizirati rezultirajuće eksponente.

Nazad naprijed

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati puni obim prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

• formirati pojam parnih i neparnih funkcija, naučiti sposobnosti određivanja i korištenja ovih svojstava kada istraživanje funkcije, crtanje;
• razvijati kreativnu aktivnost učenika, logičko razmišljanje, sposobnost poređenja, generalizacije;
• negovati marljivost, matematičku kulturu; razviti komunikacijske vještine .

Oprema: multimedijalna instalacija, interaktivna tabla, Handout.

Oblici rada: frontalni i grupni sa elementima aktivnosti pretraživanja i istraživanja.

Izvori informacija:

1. Algebra razred 9 A.G. Mordkovich. Udžbenik.
2. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Knjiga zadataka.
3. Algebra 9 razred. Zadaci za učenje i razvoj učenika. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

TOKOM NASTAVE

1. Organizacioni momenat

Postavljanje ciljeva i zadataka časa.

2. Provjera domaćeg

br. 10.17 (Zadatak 9. razred A.G. Mordkovich).

a) at = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 for X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcija se povećava sa X € [– 2; + ∞)
6. Funkcija je ograničena odozdo.
7. at najam = - 3, at naib ne postoji
8. Funkcija je kontinuirana.

(Jeste li koristili algoritam za istraživanje karakteristika?) Slajd.

2. Provjerimo tabelu koja vam je postavljena na slajdu.

Popunite tabelu
	Domain	Funkcija nule	Intervali konstantnosti		Koordinate tačaka preseka grafa sa Oy
		x = -5, x = 2	h € (–5;3) U U(2;∞)	h € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		h € (–5;3) U U(2;∞)	h € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Ažuriranje znanja

– Funkcije su date.
– Odredite domenu definicije za svaku funkciju.
– Uporedite vrijednost svake funkcije za svaki par vrijednosti argumenata: 1 i – 1; 2 i - 2.
– Za koje su od datih funkcija u domeni definicije jednakosti f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (stavi podatke u tabelu) Slajd

		f(1) i f(– 1)	f(2) i f(– 2)	grafikoni	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		i nije definisano.

4. novi materijal

– Izvođenje ovo djelo, ljudi, otkrili smo još jedno svojstvo funkcije, vama nepoznato, ali ništa manje važno od ostalih - ovo je parna i neparna funkcija. Zapišite temu lekcije: "Parne i neparne funkcije", naš zadatak je naučiti kako odrediti parne i neparne funkcije, saznati značaj ove osobine u proučavanju funkcija i crtanju.
Dakle, pronađimo definicije u udžbeniku i pročitajmo (str. 110) . Slajd

Def. jedan Funkcija at = f (X) definisan na skupu X se poziva čak, ako za bilo koju vrijednost XÊ X u toku jednakost f (–x) = f (x). Navedite primjere.

Def. 2 Funkcija y = f(x), definisan na skupu X se poziva odd, ako za bilo koju vrijednost XÊ X ispunjena je jednakost f(–h)= –f(h). Navedite primjere.

Gdje smo sreli pojmove "parni" i "neparni"?
Šta mislite koja će od ovih funkcija biti parna? Zašto? Koje su neparne? Zašto?
Za bilo koju funkciju obrasca at= x n, gdje n je cijeli broj, može se tvrditi da je funkcija neparna za n je neparan i funkcija je parna za n- čak.
– Pregledajte funkcije at= i at = 2X– 3 nije ni paran ni neparan, jer jednakosti nisu ispunjene f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Proučavanje pitanja da li je funkcija parna ili neparna naziva se proučavanjem funkcije za paritet. Slajd

Definicije 1 i 2 bavile su se vrijednostima funkcije na x i - x, pa se pretpostavlja da je funkcija također definirana na vrijednosti X, i na - X.

ODA 3. Ako skup brojeva zajedno sa svakim svojim elementom x sadrži suprotni element x, tada skup X naziva se simetričnim skupom.

primjeri:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) su simetrični skupovi, a , [–5;4] su nesimetrični.

- Da li parne funkcije imaju domenu definicije - simetričan skup? Oni čudni?
- Ako D( f) je asimetričan skup, koja je onda funkcija?
– Dakle, ako je funkcija at = f(X) je paran ili neparan, tada je njegov domen definicije D( f) je simetričan skup. Ali da li je suprotna izjava istinita, ako je domen funkcije simetričan skup, onda je paran ili neparan?
- Dakle, prisustvo simetričnog skupa domena definicije je neophodan uslov, ali ne i dovoljan.
– Dakle, kako možemo istražiti funkciju za paritet? Pokušajmo napisati algoritam.

Slajd

Algoritam za ispitivanje pariteta funkcije

1. Odredite da li je domena funkcije simetrična. Ako nije, onda funkcija nije ni parna ni neparna. Ako da, onda idite na korak 2 algoritma.

2. Napišite izraz za f(–X).

3. Uporedite f(–X).i f(X):

• ako f(–X).= f(X), tada je funkcija parna;
• ako f(–X).= – f(X), tada je funkcija neparna;
• ako f(–X) ≠ f(X) i f(–X) ≠ –f(X), tada funkcija nije ni parna ni neparna.

primjeri:

Istražite funkciju za paritet a) at= x 5 +; b) at= ; u) at= .

Odluka.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetričan skup.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcija h(x)= x 5 + neparan.

b) y =,

at = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetričan skup, tako da funkcija nije ni parna ni neparna.

u) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opcija 2

1. Da li je dati skup simetričan: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y = x (5 - x 2). 2. Ispitajte funkciju na paritet:

a) y = x 2 (2x - x 3), b) y =

3. Na sl. iscrtano at = f(X), za sve X, zadovoljavajući uslov X? 0.
Iscrtajte funkciju at = f(X), ako at = f(X) je parna funkcija.

3. Na sl. iscrtano at = f(X), za sve x koje zadovoljava x? 0.
Iscrtajte funkciju at = f(X), ako at = f(X) je neparna funkcija.

Međusobna provjera slajd.

6. Domaći zadatak: №11.11, 11.21,11.22;

Dokaz geometrijskog značenja svojstva parnosti.

*** (Dodjela opcije USE).

1. Neparna funkcija y \u003d f (x) definirana je na cijeloj realnoj liniji. Za bilo koju nenegativnu vrijednost varijable x, vrijednost ove funkcije poklapa se s vrijednošću funkcije g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Pronađite vrijednost funkcije h( X) = at X = 3.

7. Sumiranje

Sakrij prikaz

Načini postavljanja funkcije

Neka je funkcija data formulom: y=2x^(2)-3 . Dodjeljujući bilo koju vrijednost nezavisnoj varijabli x, možete koristiti ovu formulu da izračunate odgovarajuće vrijednosti zavisne varijable y. Na primjer, ako je x=-0,5, onda koristeći formulu, dobijamo da je odgovarajuća vrijednost y y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

S obzirom na bilo koju vrijednost koju uzima argument x u formuli y=2x^(2)-3, može se izračunati samo jedna vrijednost funkcije koja joj odgovara. Funkcija se može predstaviti kao tabela:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Koristeći ovu tablicu, možete shvatiti da će za vrijednost argumenta -1 odgovarati vrijednost funkcije -3; a vrijednost x=2 će odgovarati y=0, i tako dalje. Također je važno znati da svaka vrijednost argumenta u tablici odgovara samo jednoj vrijednosti funkcije.

Više funkcija može se postaviti pomoću grafikona. Uz pomoć grafa se utvrđuje koja vrijednost funkcije korelira sa određenom vrijednošću x. Najčešće će to biti približna vrijednost funkcije.

Parna i neparna funkcija

Funkcija je ravnomjerna funkcija, kada je f(-x)=f(x) za bilo koji x iz domene. Takva funkcija će biti simetrična u odnosu na Oy os.

Funkcija je neparna funkcija kada je f(-x)=-f(x) za bilo koji x u domeni. Takva funkcija će biti simetrična u odnosu na ishodište O (0;0) .

Funkcija je čak ni, niti čudno i pozvao funkcija opšti pogled kada nema simetriju u odnosu na os ili ishodište.

Ispitujemo sljedeću funkciju radi pariteta:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) sa simetričnim domenom definicije oko početka. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Dakle, funkcija f(x)=3x^(3)-7x^(7) je neparna.

Periodična funkcija

Funkcija y=f(x) , u čijoj je domeni f(x+T)=f(x-T)=f(x) istina za bilo koje x, naziva se periodična funkcija sa periodom T \neq 0 .

Ponavljanje grafika funkcije na bilo kojem segmentu ose apscise, koji ima dužinu T .

Intervali u kojima je funkcija pozitivna, odnosno f (x) > 0 - segmenti apscisne ose, koji odgovaraju tačkama grafika funkcije koje leže iznad ose apscise.

f(x) > 0 uključeno (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Praznine gdje je funkcija negativna, tj. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Ograničenje funkcije

ograničeno odozdo uobičajeno je pozvati funkciju y=f(x), x \u X kada postoji broj A za koji vrijedi nejednakost f(x) \geq A za bilo koje x \in X .

Primjer funkcije ograničene ispod: y=\sqrt(1+x^(2)) budući da je y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 za bilo koji x.

omeđen odozgo funkcija y=f(x), x \in X se poziva ako postoji broj B za koji vrijedi nejednakost f(x) \neq B za bilo koje x \in X .

Primjer funkcije ograničene ispod: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] budući da je y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 za bilo koji x \in [-1;1] .

Ograničeno uobičajeno je pozvati funkciju y=f(x), x \u X kada postoji broj K > 0 za koji je nejednakost \left | f(x) \desno | \neq K za bilo koji x \u X .

Primjer ograničena funkcija: y=\sin x je ograničen na cijeloj brojevnoj pravoj, jer \levo | \sin x \right | \neq 1.

Povećajuća i opadajuća funkcija

Uobičajeno je govoriti o funkciji koja raste na intervalu koji se razmatra kao povećanje funkcije onda kada veća vrijednost x će odgovarati većoj vrijednosti funkcije y=f(x) . Odavde ispada da će uzimajući iz razmatranog intervala dvije proizvoljne vrijednosti argumenta x_(1) i x_(2) i x_(1) > x_(2) biti y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Poziva se funkcija koja opada na intervalu koji se razmatra opadajuća funkcija kada će veća vrijednost x odgovarati manjoj vrijednosti funkcije y(x) . Odavde ispada da će uzimajući iz razmatranog intervala dvije proizvoljne vrijednosti argumenta x_(1) i x_(2) i x_(1) > x_(2) biti y(x_(1))< y(x_{2}) .

Funkcijski korijeni uobičajeno je imenovati tačke u kojima funkcija F=y(x) siječe osu apscise (dobijaju se kao rezultat rješavanja jednadžbe y(x)=0 ).

a) Ako parna funkcija raste za x > 0, onda se smanjuje za x< 0

b) Kada se parna funkcija smanjuje za x > 0, tada se povećava za x< 0

c) Kada se neparna funkcija povećava za x > 0, tada raste i za x< 0

d) Kada se neparna funkcija smanji za x > 0, tada će se smanjiti i za x< 0

Ekstremi funkcije

Minimalna tačka funkcije y=f(x) uobičajeno je nazvati takvu tačku x=x_(0) , u kojoj će njena okolina imati druge tačke (osim tačke x=x_(0) ), a zatim nejednakost f(x) > f (x_(0)) . y_(min) - oznaka funkcije u tački min.

Maksimalna tačka funkcije y=f(x) uobičajeno je nazvati takvu tačku x=x_(0) , u kojoj će njena okolina imati druge tačke (osim tačke x=x_(0) ), a zatim nejednakost f(x) biće zadovoljan za njih< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Neophodan uslov

Prema Fermatovoj teoremi: f"(x)=0, onda kada je funkcija f(x) , koja je diferencibilna u tački x_(0) , u ovoj tački će se pojaviti ekstremum.

Dovoljno stanje

1. Kada se predznak derivacije promijeni sa plus na minus, tada će x_(0) biti minimalna tačka;
2. x_(0) - biće maksimalna tačka samo kada derivacija promeni predznak sa minusa na plus kada prolazi kroz stacionarnu tačku x_(0) .

Najveća i najmanja vrijednost funkcije u intervalu

Koraci izračunavanja:

1. Traženje izvedenice f"(x) ;
2. Nalaze se stacionarne i kritične tačke funkcije i biraju one koje pripadaju intervalu;
3. Vrijednosti funkcije f(x) nalaze se na stacionarnim i kritičnim točkama i krajevima segmenta. Najmanji od rezultata će biti najmanju vrijednost funkcije, i više - najveći.

Funkcija se naziva parna (neparna) ako je za bilo koji i jednakost

.

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os
.

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Primjer 6.2. Ispitajte parne ili neparne funkcije

1)
; 2)
; 3)
.

Odluka.

1) Funkcija je definirana sa
. Hajde da nađemo
.

One.
. Dakle, ova funkcija je parna.

2) Funkcija je definirana za

One.
. Dakle, ova funkcija je čudna.

3) funkcija je definirana za , tj. za

,
. Dakle, funkcija nije ni parna ni neparna. Nazovimo to opštom funkcijom.

3. Istraživanje funkcije za monotonost.

Funkcija
naziva se rastućim (opadajućim) na nekom intervalu ako u tom intervalu svaka veća vrijednost argumenta odgovara većoj (manjoj) vrijednosti funkcije.

Funkcije koje rastu (opadaju) na nekom intervalu nazivaju se monotonim.

Ako je funkcija
diferencibilan na intervalu
i ima pozitivan (negativni) izvod
, zatim funkciju
povećava (smanjuje) u ovom intervalu.

Primjer 6.3. Naći intervale monotonosti funkcija

1)
; 3)
.

Odluka.

1) Ova funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj osi. Nađimo derivat.

Izvod je nula ako
i
. Domen definicije - numerička osa, podijeljena tačkama
,
za intervale. Odredimo predznak derivacije u svakom intervalu.

U intervalu
derivacija je negativna, funkcija opada na ovom intervalu.

U intervalu
derivacija je pozitivna, dakle, funkcija raste na ovom intervalu.

2) Ova funkcija je definirana ako
ili

.

Određujemo predznak kvadratnog trinoma u svakom intervalu.

Dakle, opseg funkcije

Nađimo derivat
,
, ako
, tj.
, ali
. Odredimo predznak derivacije u intervalima
.

U intervalu
derivacija je negativna, pa se funkcija smanjuje na intervalu
. U intervalu
izvod je pozitivan, funkcija raste na intervalu
.

4. Istraživanje funkcije za ekstrem.

Dot
naziva se maksimalna (minimalna) tačka funkcije
, ako postoji takva okolina tačke to za sve
ovo susjedstvo zadovoljava nejednakost

.

Maksimalne i minimalne tačke funkcije nazivaju se tačke ekstrema.

Ako je funkcija
u tački ima ekstrem, onda je derivacija funkcije u ovoj tački jednaka nuli ili ne postoji (neophodan uslov za postojanje ekstrema).

Tačke u kojima je izvod jednak nuli ili ne postoji nazivaju se kritičnim.

5. Dovoljni uslovi za postojanje ekstremuma.

Pravilo 1. Ako je tokom tranzicije (s lijeva na desno) kroz kritičnu tačku derivat
mijenja znak iz "+" u "-", a zatim u tački funkcija
ima maksimum; ako od "-" do "+", onda minimum; ako
ne mijenja predznak, onda nema ekstrema.

Pravilo 2. Neka u tački
prvi izvod funkcije
nula
, a drugi izvod postoji i različit je od nule. Ako a
, onda je maksimalna tačka, ako
, onda je minimalna tačka funkcije.

Primjer 6.4 . Istražite maksimalne i minimalne funkcije:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Odluka.

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu
.

Nađimo derivat
i riješi jednačinu
, tj.
.odavde
su kritične tačke.

Odredimo predznak derivacije u intervalima ,
.

Prilikom prolaska kroz tačke
i
derivacija mijenja predznak iz “–” u “+”, dakle, prema pravilu 1
su minimalni bodovi.

Prilikom prolaska kroz tačku
derivat mijenja znak iz "+" u "-", dakle
je maksimalna tačka.

,
.

2) Funkcija je definirana i kontinuirana u intervalu
. Nađimo derivat
.

Rješavanjem jednačine
, nađi
i
su kritične tačke. Ako je imenilac
, tj.
, onda izvod ne postoji. dakle,
je treća kritična tačka. Odredimo predznak derivacije u intervalima.

Dakle, funkcija ima minimum u tački
, maksimum u tačkama
i
.

3) Funkcija je definirana i kontinuirana ako
, tj. at
.

Nađimo derivat

.

Hajde da pronađemo kritične tačke:

Susjedstva tačaka
ne pripadaju domenu definicije, pa nisu ekstremni t. Dakle, hajde da istražimo kritične tačke
i
.

4) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu
. Koristimo pravilo 2. Pronađite izvod
.

Hajde da pronađemo kritične tačke:

Nađimo drugi izvod
i odredi njegov predznak u tačkama

U tačkama
funkcija ima minimum.

U tačkama
funkcija ima maksimum.

Funkcionalno istraživanje.

1) D(y) - Domen definicije: skup svih tih vrijednosti varijable x. pod kojima algebarski izrazi f(x) i g(x) imaju smisla.

Ako je funkcija data formulom, tada se domen definicije sastoji od svih vrijednosti nezavisne varijable za koje formula ima smisla.

2) Svojstva funkcije: parno/neparno, periodičnost:

odd i čak nazivaju se funkcije čiji su grafovi simetrični u odnosu na promjenu predznaka argumenta.

neparna funkcija- funkcija koja mijenja vrijednost na suprotnu kada se promijeni predznak nezavisne varijable (simetrično u odnosu na centar koordinata).

Ravnomjerna funkcija- funkcija koja ne mijenja svoju vrijednost kada se promijeni predznak nezavisne varijable (simetrično oko y-ose).

Ni parna ni neparna funkcija (opća funkcija) je funkcija koja nema simetriju. Ova kategorija uključuje funkcije koje ne spadaju u prethodne 2 kategorije.

Pozivaju se funkcije koje ne pripadaju nijednoj od gore navedenih kategorija ni par ni neparan(ili generičke funkcije).

Neparne funkcije

Neparni stepen gdje je proizvoljan cijeli broj.

Čak i funkcije

Parna snaga gdje je proizvoljan cijeli broj.

Periodična funkcija je funkcija koja ponavlja svoje vrijednosti u nekom regularnom intervalu argumenta, tj. ne mijenja svoju vrijednost kada se argumentu doda neki fiksni broj različit od nule ( period funkcije) u cijelom domenu definicije.

3) Nule (korijeni) funkcije su tačke u kojima ona nestaje.

Pronalaženje tačke preseka grafika sa osom Oy. Da biste to učinili, morate izračunati vrijednost f(0). Nađite i tačke preseka grafika sa osom Ox, zašto pronaći korijene jednadžbe f(x) = 0 (ili provjerite da nema korijena).

Tačke u kojima graf seče osu se nazivaju nule funkcije. Da biste pronašli nule funkcije, morate riješiti jednačinu, odnosno pronaći te x vrijednosti, za koji funkcija nestaje.

4) Intervali postojanosti znakova, znakova u njima.

Intervali u kojima funkcija f(x) zadržava svoj predznak.

Interval konstantnosti je interval u svakoj tački u kojoj funkcija je pozitivna ili negativna.

IZNAD x-ose.

ISPOD osi.

5) Kontinuitet (tačke diskontinuiteta, karakter diskontinuiteta, asimptote).

kontinuirana funkcija- funkcija bez "skokova", to jest ona u kojoj male promjene u argumentu dovode do malih promjena u vrijednosti funkcije.

Prekidane tačke koje se mogu ukloniti

Ako je granica funkcije postoje, ali funkcija nije definirana u ovom trenutku ili ograničenje ne odgovara vrijednosti funkcije u ovom trenutku:

,

tada se poziva tačka tačka prekida funkcije (u kompleksnoj analizi, uklonjiva singularna tačka).

Ako "ispravimo" funkciju na tački uklonjivog diskontinuiteta i stavimo , tada dobijamo funkciju koja je kontinuirana u ovoj tački. Takva operacija nad funkcijom se zove proširenje funkcije na kontinuirano ili proširenje funkcije kontinuitetom, što opravdava naziv tačke, kao tačke za jednokratnu upotrebu jaz.

Tačke diskontinuiteta prve i druge vrste

Ako funkcija ima diskontinuitet u datoj tački (to jest, granica funkcije u datoj tački je odsutna ili se ne poklapa s vrijednošću funkcije u datoj tački), tada za numeričke funkcije postoje dvije moguće opcije vezano za postojanje numeričkih funkcija jednostrane granice:

ako postoje obje jednostrane granice i konačne su, onda se takva tačka naziva tačka preloma prve vrste. Uklonjive tačke diskontinuiteta su tačke diskontinuiteta prve vrste;

ako barem jedna od jednostranih granica ne postoji ili nije konačna vrijednost, tada se takva tačka naziva tačka preloma druge vrste.

Asimptota - ravno, koji ima svojstvo da je udaljenost od tačke krive do ove ravno teži nuli kako se tačka kreće duž grane do beskonačnosti.

vertikalno

Vertikalna asimptota - granična linija .

U pravilu, pri određivanju vertikalne asimptote ne traže jednu granicu, već dvije jednostrane (lijevu i desnu). Ovo se radi kako bi se odredilo kako se funkcija ponaša dok se približava vertikalnoj asimptoti iz različitih smjerova. Na primjer:

Horizontalno

Horizontalna asimptota - ravno vrsta, podložna postojanju limit

.

koso

Kosa asimptota - ravno vrsta, podložna postojanju granice

Napomena: Funkcija ne može imati više od dvije kose (horizontalne) asimptote.

Napomena: ako barem jedna od dvije gore navedene granice ne postoji (ili je jednaka ), tada kosa asimptota na (ili ) ne postoji.

ako je u tački 2.), onda , a granica se nalazi po formuli horizontalne asimptote, .

6) Pronalaženje intervala monotonosti. Pronađite intervale monotonosti funkcije f(x) (odnosno intervali povećanja i smanjenja). Ovo se radi ispitivanjem predznaka derivacije f(x). Da biste to učinili, pronađite derivaciju f(x) i riješi nejednakost f(x)0. Na intervalima u kojima je ova nejednakost zadovoljena, funkcija f(x) povećava. Gdje vrijedi obrnuta nejednakost f(x)0, funkcija f(x) smanjuje.

Pronalaženje lokalnog ekstremuma. Nakon što smo pronašli intervale monotonosti, možemo odmah odrediti tačke lokalnog ekstremuma u kojima se povećanje zamjenjuje smanjenjem, postoje lokalni maksimumi, a gdje je smanjenje zamijenjeno povećanjem, lokalni minimumi. Izračunajte vrijednost funkcije u ovim tačkama. Ako funkcija ima kritične tačke koje nisu lokalne ekstremne tačke, onda je korisno izračunati vrijednost funkcije i u tim tačkama.

Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije y = f(x) na segmentu(nastavak)

1. Pronađite derivaciju funkcije: f(x). 2. Pronađite tačke u kojima je derivacija nula: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Odredite vlasništvo bodova X 1 ,X 2 , … segment [ a; b]: neka bude x 1a;b, a x 2a;b .