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Apresentação sobre o tema: Fórmula de Newton-Leibniz

Deslize nº 1

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Deslize nº 4

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Newton e Leibniz A partir de documentos sobreviventes, os historiadores da ciência descobriram que Newton descobriu o cálculo diferencial e integral em 1665-1666, mas não o publicou até 1704. Leibniz desenvolveu sua versão do cálculo de forma independente (a partir de 1675), embora o ímpeto inicial para seu pensamento provavelmente tenha vindo de rumores de que Newton já tinha tal cálculo, bem como de conversas científicas na Inglaterra e correspondência com Newton. Ao contrário de Newton, Leibniz publicou imediatamente a sua versão e, mais tarde, juntamente com Jacob e Johann Bernoulli, propagou amplamente esta descoberta que marcou época por toda a Europa. A maioria dos cientistas do continente não tinha dúvidas de que Leibniz havia descoberto a análise.

Deslize nº 5

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Atendendo à persuasão de amigos que apelavam ao seu patriotismo, Newton, no segundo livro dos seus Elementos (1687), disse: Em cartas que troquei há cerca de dez anos com o muito habilidoso matemático Sr. um método para determinar máximos e mínimos, traçar tangentes e resolver questões semelhantes, igualmente aplicável a termos racionais e irracionais, e escondi o método reorganizando as letras da seguinte frase: “quando dada uma equação contendo qualquer número de quantidades atuais, encontrar os fluxos e voltar". O homem mais famoso me respondeu que também atacou tal método e me contou seu método, que acabou sendo pouco diferente do meu, e apenas em termos e esboço de fórmulas.

Deslize nº 6

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Em 1693, quando Newton finalmente publicou o primeiro resumo Para sua versão da análise, ele trocou cartas amigáveis ​​com Leibniz. Newton disse: Nosso Wallis acrescentou à sua “Álgebra”, que acabara de aparecer, algumas das cartas que escrevi para você uma vez. Ao mesmo tempo, exigiu que eu declarasse abertamente o método que naquela época escondi de você, reorganizando as letras; Fiz o mais curto que pude. Espero não ter escrito nada que tenha sido desagradável para você, mas se isso aconteceu, por favor me avise, porque os amigos são mais queridos para mim do que as descobertas matemáticas.

Deslize nº 7

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Depois que a primeira publicação detalhada da análise de Newton (apêndice matemático à Óptica, 1704) apareceu no jornal Acta eruditorum de Leibniz, uma revisão anônima apareceu com alusões insultuosas a Newton. A revisão indicou claramente que o autor do novo cálculo foi Leibniz. O próprio Leibniz negou veementemente ter escrito a resenha, mas os historiadores conseguiram encontrar um rascunho escrito com sua caligrafia. Newton ignorou o artigo de Leibniz, mas os seus alunos responderam indignados, após o que eclodiu uma guerra de prioridades pan-europeia, "a disputa mais vergonhosa em toda a história da matemática".

Deslize nº 8

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Em 31 de janeiro de 1713, a Royal Society recebeu uma carta de Leibniz contendo uma formulação conciliatória: ele concordava que Newton chegasse à análise por conta própria, “em princípios gerais semelhante ao nosso." Um Newton furioso exigiu a criação de uma comissão internacional para esclarecer a prioridade. A comissão não precisou de muito tempo: depois de um mês e meio, tendo estudado a correspondência de Newton com Oldenburg e outros documentos, reconheceu unanimemente a prioridade de Newton e, em termos, desta vez ofensiva para Leibniz. A decisão da comissão foi publicada nos anais da Sociedade com todos os documentos comprobatórios anexados.

Deslize nº 9

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Em resposta, a partir do verão de 1713, a Europa foi inundada com panfletos anônimos que defendiam a prioridade de Leibniz e argumentavam que “Newton se arroga a honra que pertence a outro”. Os panfletos também acusavam Newton de roubar os resultados de Hooke e Flamsteed. Os amigos de Newton, por sua vez, acusaram o próprio Leibniz de plágio; segundo a versão deles, durante sua estada em Londres (1676) Leibniz sociedade Real conheceu as obras e cartas inéditas de Newton, após as quais Leibniz publicou as ideias ali expressas e as passou como suas. A guerra não diminuiu até dezembro de 1716, quando o abade Conti informou a Newton: “Leibniz está morto - a disputa acabou.

Deslize nº 10

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Diapositivo nº 11

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Diapositivo nº 12

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Vamos definir um valor arbitrário x € (ab) e definir uma nova função. Ela é definida para todos os valores de x € (ab) porque sabemos que se houver uma integral de ʄ em (a,b) então existe. também uma integral de ʄ em (a ,b) , onde Lembremos que consideramos por definição

Diapositivo nº 13

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Diapositivo nº 14

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Assim, F é contínuo em (a,b) independentemente de ʄ ter ou não descontinuidades; é importante que ʄ seja integrável em (a,b). A figura mostra o gráfico de ʄ. A área da figura variável aABx é igual a F (X). Seu incremento F (X+h)-F(x) é igual à área da figura xBC(x+h), que, devido ao limite de ʄ, obviamente tende a zero quando h → 0, independentemente de x ser um ponto de continuidade ou descontinuidade ʄ, por exemplo. ponto x-d

Diapositivo nº 15

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Diapositivo nº 16

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Diapositivo nº 17

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Passando ao limite em h→0 mostra a existência da derivada de F no ponto e a validade da igualdade. Para x=a,b estamos falando aqui sobre as derivadas direita e esquerda, respectivamente. Se a função ʄ é contínua em (a,b), então, com base no que foi provado acima, a função correspondente tem uma derivada igual a Portanto, a função F(x) é uma antiderivada para ʄ (a,b)

Diapositivo nº 18

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Provamos que uma função arbitrária ʄ, contínua no intervalo (a,b), possui uma antiderivada neste intervalo definida por igualdade. Isto prova a existência de uma primitiva para qualquer função contínua num intervalo. Deixe agora haver uma antiderivada arbitrária da função ʄ(x) em (a,b) . Sabemos que Onde C é alguma constante. Assumindo x=a nesta igualdade e tendo em conta que F(a)=0 obtemos Ф(a)=C Assim, mas

Diapositivo nº 19

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Deslize nº 20

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Integral A integral de uma função é um análogo natural da soma de uma sequência. De acordo com o teorema principal da análise, a integração é a operação inversa da diferenciação. O processo de encontrar a integral é chamado de integração. Existem vários. definições diferentes operações de integração que diferem em detalhes técnicos. Porém, todos são compatíveis, ou seja, quaisquer dois métodos de integração, se puderem ser aplicados a uma determinada função, darão o mesmo resultado.

Diapositivo nº 21

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Diapositivo nº 22

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História Os sinais da diferenciação integral ʃ dx foram usados ​​pela primeira vez por Leibniz no final do século XVII. O símbolo integral é formado pela letra S - uma abreviatura da palavra latina. soma (soma). Integrante na antiguidadeA integração pode ser rastreada até antigo Egito, por volta de 1800 AC. e., o papiro matemático de Moscou demonstra conhecimento da fórmula do volume de uma pirâmide truncada. Primeiro método conhecido para calcular integrais é o método de exaustão de Eudoxo (aproximadamente 370 a.C.), que tentou encontrar áreas e volumes dividindo-os em conjunto infinito partes para as quais a área ou volume já é conhecido. Este método foi adotado e desenvolvido por Arquimedes e serviu para calcular as áreas das parábolas e aproximar a área de um círculo. Métodos semelhantes foram desenvolvidos de forma independente na China no século III dC por Liu Hui, que os usou para encontrar a área de um círculo. Este método foi usado mais tarde por Ju Chongshi para encontrar o volume de uma esfera.

Diapositivo nº 23

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Significado histórico e significado filosófico da fórmula de Newton-Leibniz Uma das ferramentas de pesquisa mais importantes desta série é a fórmula de Newton-Leibniz e o método por trás dela para encontrar a função antiderivada integrando sua derivada. O significado histórico da fórmula está no uso de quantidades infinitesimais e em uma resposta absolutamente precisa à questão colocada. As vantagens de usar este método para resolver problemas matemáticos, físicos e outras ciências naturais são bem conhecidas, por exemplo, o problema clássico de quadratura de um círculo - construir um quadrado igual em tamanho a um determinado círculo. O sentido filosófico - na possibilidade de obter informações sobre o todo a partir de sua parte infinitesimal, mencionada anteriormente - é claramente realizado na medicina e na biologia, como exemplificam os sucessos Engenharia genética na clonagem - a criação de seres vivos mutuamente semelhantes. A história continua a ser uma rara exceção na lista de ciências que usaram a fórmula de Newton-Leibniz. Incapacidade de fornecer informações fontes históricas na forma de números - argumentos de fórmula - é tradicional. Assim, até agora o significado filosófico da fórmula não é inteiramente filosófico, uma vez que é realizado apenas em conhecimento de ciências naturais, deixando o conhecimento social e humanitário sem uma ferramenta tão poderosa. Embora, se você seguir recursos tradicionais conhecimento social e humanitário, suas fraquezas, por assim dizer, e o que lhe convém.

Diapositivo nº 24

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Mas uma análise científica mais aprofundada dá ao nosso tempo uma imagem nova e diferente do processo em curso. As visões atômicas atualmente dominantes na ciência decompõem a matéria em um monte de minúsculas partículas ou centros de força regularmente localizados, que estão em eternos movimentos diversos. Exatamente da mesma maneira, o éter que penetra na matéria é constantemente excitado e oscila em ondas. Todos esses movimentos da matéria e do éter estão em conexão mais próxima e contínua com o espaço mundial, que é infinito para nós. Esta ideia, inacessível à nossa imaginação concreta, decorre dos dados da física.

Deslize nº 25

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Mesmo os movimentos místicos e mágicos devem levar em conta esta situação, embora possam, ao dar um significado diferente ao conceito de tempo, destruir completamente o significado deste fato na visão geral do mundo. Assim, enquanto a questão diz respeito a fenómenos percebidos pelos sentidos, mesmo estas áreas da filosofia e da religião que estão mais distantes do conhecimento exato devem levar em conta o fato cientificamente comprovado, assim como devem levar em conta o fato de que dois mais dois são quatro na área que está sujeita ao conhecimento dos sentidos e da razão.

Diapositivo nº 26

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Ao mesmo tempo, o volume de conhecimento acumulado pela humanidade já é suficiente para quebrar esta tradição. Na verdade, não há necessidade, à maneira pitagórica, de procurar uma correspondência digital para as afirmações “Pedro I visitou Veneza durante a Grande Embaixada” e “Pedro I não esteve em Veneza durante a Grande Embaixada”, quando estas próprias expressões podem facilmente servir como argumentos na álgebra da lógica de George Boole. O resultado de cada pesquisa histórica é essencialmente um conjunto de tais argumentos. Assim, justifica-se, a meu ver, utilizar como função integrando um conjunto de estudos históricos apresentados na forma de argumentos da álgebra da lógica, com o objetivo de obter correspondentemente como antiderivada - a reconstrução mais provável do estudado evento histórico. Existem muitos problemas neste caminho. Em particular: a apresentação de uma investigação histórica específica - derivada do acontecimento reconstruído - sob a forma de um conjunto de expressões lógicas - operação obviamente mais complexa do que, por exemplo, a catalogação electrónica de um simples arquivo de biblioteca. No entanto, o avanço da informação no final do século XX início do século XXI século (extremamente alto grau integração da base de elementos e aumento do poder de informação) tornam a implementação de tal tarefa bastante realista.

Diapositivo nº 27

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À luz do exposto, em palco moderno a análise histórica é uma análise matemática com a teoria da probabilidade e a álgebra da lógica, e a função antiderivada procurada é a probabilidade de um evento histórico, que em geral é bastante consistente e até complementa a ideia de ciência no estágio atual, porque substituir o conceito de essência pelo conceito de função é o principal para a compreensão da ciência nos Novos tempos - complementado por uma avaliação desta função. Portanto, moderno significado histórico fórmulas na possibilidade de realizar o sonho de Leibniz “do tempo em que dois filósofos, em vez de disputas sem fim, irão, como dois matemáticos, pegar em canetas e, sentando-se à mesa, substituir o argumento pelo cálculo”. Cada pesquisa histórica - conclusão tem o direito de existir, reflete o acontecimento real e complementa o quadro histórico informativo. Perigo de degeneração ciência histórica em um conjunto de frases-afirmações incolores - resultado da aplicação do método proposto, não há maior perigo de a música degenerar em um conjunto de sons e a pintura em um conjunto de cores no atual estágio de desenvolvimento humano. É assim que vejo o novo significado filosófico da fórmula de Newton-Leibniz, dada pela primeira vez no final do século XVII - início do século XVIII.

Diapositivo nº 28

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Na verdade, a fórmula, tendo em vista a peculiaridade da percepção dos símbolos matemáticos pelos portadores do conhecimento social e humanitário, que se expressa no medo pânico desses portadores de qualquer representação de tais signos, apresentamos na forma verbal: a integral definida da derivada de uma função é a antiderivada desta função. Alguma diferença formal entre o exemplo dado do problema da quadratura de um círculo e o exemplo educacional e matemático usual de cálculo da área localizada sob uma curva arbitrária no sistema de coordenadas cartesianas não muda, é claro, a essência.

Diapositivo nº 29

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REFERÊNCIAS USADAS: 1. Brodsky I.A. Funciona em quatro volumes. T.3. São Petersburgo, 1994. 2. Vernadsky V.I. Biosfera e noosfera. M., 2003. 3. Wundt, Wilhelm. Introdução à Filosofia. M., 2001. 4. Gaidenko P.P. Evolução do conceito de ciência. M., 1980. 5. Descartes, René. Reflexões sobre a filosofia original. São Petersburgo, 1995. 6. Karpov G.M. Grande Embaixada de Peter I. Kaliningrado, 1998. 7. Kunzman P., Burkard F.-P., Widman F. Filosofia: dtv-Atlas. M., 2002. 8. Malakhovsky V.S. Capítulos selecionados da história da matemática. Kaliningrado, 2002. 9. Nathanson I.P. Curso curto matemática superior. São Petersburgo, 2001. 10. Engels F. Anti-Dühring. M., 1988. 11. Sheremetevsky V.P. Ensaios sobre a história da matemática. M., 2004 Recursos da Internet http://ru.wikipedia.org

Deslize nº 30

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Fórmula de Newton-Leibniz

Teorema principal de análise ou Fórmula de Newton-Leibniz dá uma relação entre duas operações: tomar uma integral definida e calcular a antiderivada

Formulação

Considere a integral da função sim = f(x) dentro de um número constante a até o número x, que consideraremos variável. Vamos escrever a integral em o seguinte formulário:

Este tipo de integral é chamado de integral com limite superior variável. Usando o teorema do valor médio numa integral definida, é fácil mostrar que esta função contínuo e diferenciável. E também a derivada de uma determinada função no ponto x é igual à própria função integrável. Disto segue-se que qualquer função contínua tem uma antiderivada na forma de quadratura: . E como a classe de funções antiderivadas da função f difere por uma constante, é fácil mostrar que: a integral definida da função f é igual à diferença nos valores das antiderivadas nos pontos b e a

Fundação Wikimedia. 2010.

• Fórmula de probabilidade total
• Fórmula Rayleigh-Jeans

Veja o que é a “fórmula de Newton-Leibniz” em outros dicionários:

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FÓRMULA NEWTON-LEIBNITZ- a fórmula básica do cálculo integral. Expressa a conexão entre uma integral definida de uma função f(x) e qualquer uma de suas primitivas F(x) ... Grande Dicionário Enciclopédico

Fórmula de Leibniz- Este termo possui outros significados, veja Lista de objetos com o nome de Leibniz. Este termo possui outros significados, veja Fórmula de Leibniz (significados). A fórmula de Leibniz no cálculo integral é a regra... ... Wikipedia

Fórmula de Newton-Leibniz- Fórmula de Newton Leibniz, a fórmula básica do cálculo integral. Expressa a conexão entre a integral definida da função f(x) e qualquer uma de suas antiderivadas F(x). . * * * FÓRMULA DE NEWTON LEIBNITZ FÓRMULA DE NEWTON LEIBNITZ, fórmula básica... ... dicionário enciclopédico

Fórmula retangular

Fórmula trapézio - Integral definida como a área da figura Integração numérica ( nome histórico: quadratura) cálculo do valor de uma determinada integral (geralmente aproximada), com base no fato de que o valor da integral é numericamente igual à área ... ... Wikipedia

Teorema de Newton- A fórmula de Leibniz de Newton ou o teorema fundamental da análise fornece a relação entre duas operações: tomar uma integral definida e calcular a antiderivada. Se for contínuo em um segmento e qualquer antiderivada dele neste segmento tiver ... Wikipedia

Seja dada alguma função contínua f em um determinado segmento do eixo do Boi. Suponhamos que esta função não mude de sinal ao longo de todo o segmento.

Se f é uma função contínua e não negativa em um determinado segmento, e F é alguma antiderivada dela neste segmento, então a área do trapézio curvilíneo S é igual ao incremento da antiderivada neste segmento.

Este teorema pode ser escrito da seguinte forma:

S = F(b) - F(a)

A integral da função f(x) de a até b será igual a S. Aqui e além, para denotar a integral definida de alguma função f(x), com os limites de integração de a até b, usaremos o seguinte notação (a;b)∫f( x). Abaixo está um exemplo de como ficará.

Fórmula de Newton-Leibniz

Isso significa que podemos igualar esses dois resultados. Obtemos: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), desde que F seja uma antiderivada para a função f em . Esta fórmula é chamada Fórmulas de Newton-Leibniz. Será verdade para qualquer função contínua f em um intervalo.

A fórmula de Newton-Leibniz é usada para calcular integrais. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: calcule a integral. Encontre a antiderivada para a função integrando x 2 . Uma das antiderivadas será a função (x 3)/3.

Agora usamos a fórmula de Newton-Leibniz:

(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3

Resposta: (-1;2)∫x 2 dx = 3.

Exemplo 2: calcule a integral (0;pi)∫sin(x)dx.

Encontre a antiderivada para a função integrando sin(x). Uma das antiderivadas será a função -cos(x). Vamos usar a fórmula de Newton-Leibniz:

(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.

Resposta: (0;pi)∫sin(x)dx=2

Às vezes, para simplicidade e conveniência de registro, o incremento da função F no segmento (F(b)-F(a)) é escrito da seguinte forma:

Usando esta notação para o incremento, a fórmula de Newton-Leibniz pode ser reescrita da seguinte forma:

Conforme observado acima, esta é apenas uma abreviatura para facilitar a gravação; esta gravação não afeta mais nada. Esta notação e a fórmula (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) serão equivalentes.

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Legendas dos slides:

Integrante. Fórmula de Newton-Leibniz. Compilado por: Professor de matemática da Instituição Educacional Estadual da Instituição Educacional PU No. 27 Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna

Objetivo da aula: Apresentar o conceito de integral e seu cálculo utilizando a fórmula de Newton-Leibniz, utilizando conhecimentos sobre a antiderivada e as regras para seu cálculo; Ilustre a aplicação prática da integral usando exemplos de localização da área de um trapézio curvo; Reforce o que você aprendeu durante os exercícios.

Definição: Deixe ser dado função positiva f(x) definido no segmento finito [ a;b ] . A integral de uma função f(x) em [a;b] é a área de seu trapézio curvilíneo. y=f(x) b a 0 x y

Designação:  “integral de a a b ef de x de x”

Referência histórica: Leibniz derivou a notação para a integral da primeira letra da palavra “Summa”. Newton não propôs um simbolismo alternativo para a integral em suas obras, embora tenha tentado várias opções. O próprio termo integral foi cunhado por Jacob Bernoulli. S umma Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz Jacob Bernoulli

Euler introduziu a notação para a integral indefinida. Jean Baptiste Joseph Fourier Leonard Euler O desenho da integral definida na forma que conhecemos foi inventado por Fourier.

Fórmula de Newton-Leibniz

Exemplo 1. Calcule a integral definida: = Solução:

Exemplo 2. Calcule integrais definidas: 5 9 1

Exemplo 3. S y x Calcule a área da figura delimitada pelas linhas e pelo eixo x. Para iniciar vamos encontrar os pontos interseção do eixo x com o gráfico da função. Para fazer isso, vamos resolver a equação. = Solução: S =

y x S A B D C Exemplo 4. Calcule a área da figura delimitada pelas retas e encontre os pontos de intersecção (abscissa) dessas retas resolvendo a equação S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 – 4,5 = 4,5 veja exemplo 1 Solução:

REGRAS DE SINCWAIN 1ª linha – tema do sincwine 1 palavra 2ª linha – 2 adjetivos descrevendo os sinais e propriedades do tema 3ª linha – 3 verbos descrevendo a natureza da ação 4ª linha – frase curta de 4 palavras, mostrando sua atitude pessoal em relação ao tema 5 linhas - 1 palavra, sinônimo ou sua associação ao tema do assunto.

Integral 2. Definido, positivo Contar, somar, multiplicar 4. Calcular usando a fórmula de Newton-Leibniz 5. Área

Lista de literatura usada: livro didático de A.N. e outros. Álgebra e início de análise do 10º ao 11º ano.

Obrigado pela sua atenção! “TALENTO é 99% de trabalho e 1% de habilidade” sabedoria popular

Exemplo 1. Calcule a integral definida: = Solução: exemplo 4

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Assunto: matemática (álgebra e princípios de análise), nota: 11º ano.

Tópico da lição: "Integrante. Fórmula de Newton-Leibniz."

Tipo de aula: Aprendendo novo material.

Duração da aula: 45 minutos.

Lições objetivas: introduzir o conceito de integral e seu cálculo através da fórmula de Newton-Leibniz, utilizando conhecimentos sobre a antiderivada e as regras para o seu cálculo; ilustrar a aplicação prática da integral usando exemplos de localização da área de um trapézio curvo; consolide o que você aprendeu durante os exercícios.

Lições objetivas:

Educacional:

1. formar o conceito de integral;
2. desenvolver habilidades no cálculo de uma integral definida;
3. formação de habilidades aplicação prática integral para encontrar a área de um trapézio curvo.

Educacional:

1. desenvolvimento interesse cognitivo os alunos desenvolvem o discurso matemático, a capacidade de observar, comparar e tirar conclusões;
2. desenvolver interesse pelo assunto usando as TIC.

Educacional:

1. intensificar o interesse em adquirir novos conhecimentos, desenvolvendo precisão e exatidão no cálculo da integral e na confecção de desenhos.

Equipamento: PC, sistema operacional Microsoft Windows 2000/XP, MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; projetor multimídia, tela.

Literatura: livro de Kolmagorov A.N. e outros. Álgebra e início de análise do 10º ao 11º ano.

Tecnologias: TIC, treinamento individual.

DURANTE AS AULAS

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Resumo básico sobre o tema “Integral. Fórmula de Newton-Leibniz."

A resolução de problemas aplicados se resume ao cálculo da integral, mas nem sempre é possível fazer isso com precisão. Às vezes é necessário saber o valor de uma determinada integral com um certo grau de precisão, por exemplo, até o milésimo.

Existem problemas quando seria necessário encontrar o valor aproximado de uma determinada integral com a precisão necessária, então é utilizada integração numérica como o método Simposny, trapézios e retângulos. Nem todos os casos nos permitem calculá-lo com certa precisão.

Este artigo examina a aplicação da fórmula de Newton-Leibniz. Isto é necessário para o cálculo preciso da integral definida. Será dado exemplos detalhados, são consideradas mudanças de variável na integral definida e encontramos os valores da integral definida na integração por partes.

Yandex.RTB RA-339285-1

Fórmula de Newton-Leibniz

Quando a função y = y (x) é contínua a partir do intervalo [ a ; b ] , e F (x) é um dos funções antiderivadas esse segmento, então Fórmula de Newton-Leibniz considerado justo. Vamos escrever assim: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Esta fórmula considerar a fórmula básica do cálculo integral.

Para produzir uma prova desta fórmula, é necessário utilizar o conceito de integral com limite superior de variável disponível.

Quando a função y = f (x) é contínua a partir do intervalo [ a ; b ], então o valor do argumento x ∈ a; b , e a integral tem a forma ∫ a x f (t) d t e é considerada uma função limite superior. É necessário tomar a notação da função que terá a forma ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , é contínua, e uma desigualdade da forma ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) é válido para isso.

Fixemos que o incremento da função Φ (x) corresponde ao incremento do argumento ∆ x, é necessário utilizar a quinta propriedade principal da integral definida e obtemos

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c)∆x

onde valor c ∈ x; x + ∆ x .

Fixemos a igualdade na forma Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Pela definição da derivada de uma função, é necessário ir ao limite como ∆ x → 0, então obtemos uma fórmula da forma Φ " (x) = f (x). Descobrimos que Φ (x) é uma das antiderivadas para uma função da forma y = f (x), localizada em [a; b].

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, onde o valor de C é constante.

Vamos calcular F(a) usando a primeira propriedade da integral definida. Então nós entendemos isso

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, portanto obtemos que C = F (a). O resultado é aplicável ao calcular F (b) e obtemos:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), ou seja, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F ( a) . A igualdade é provada pela fórmula de Newton-Leibniz ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Tomamos o incremento da função como F x a b = F (b) - F (a) . Usando a notação, a fórmula de Newton-Leibniz assume a forma ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Para aplicar a fórmula é necessário conhecer uma das antiderivadas y = F (x) da função integrando y = f (x) do segmento [ a ; b ], calcule o incremento da antiderivada deste segmento. Vejamos alguns exemplos de cálculos usando a fórmula de Newton-Leibniz.

Exemplo 1

Calcule a integral definida ∫ 1 3 x 2 d x usando a fórmula de Newton-Leibniz.

Solução

Considere que o integrando da forma y = x 2 é contínuo a partir do intervalo [ 1 ; 3], então é integrável neste intervalo. De acordo com a tabela integrais indefinidas vemos que a função y = x 2 possui um conjunto de primitivas para todos os valores reais de x, o que significa x ∈ 1; 3 será escrito como F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . É necessário tomar a antiderivada com C = 0, então obtemos que F (x) = x 3 3.

Usamos a fórmula de Newton-Leibniz e descobrimos que o cálculo da integral definida assume a forma ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.

Responder:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Exemplo 2

Calcule a integral definida ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x usando a fórmula de Newton-Leibniz.

Solução

A função dada é contínua a partir do segmento [-1; 2], o que significa que é integrável nele. É necessário encontrar o valor da integral indefinida ∫ x · e x 2 + 1 d x usando o método de subsunção sob o sinal diferencial, então obtemos ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Portanto temos um conjunto de primitivas da função y = x · e x 2 + 1, que são válidas para todo x, x ∈ - 1; 2.

É necessário tomar a antiderivada em C = 0 e aplicar a fórmula de Newton-Leibniz. Então obtemos uma expressão da forma

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Responder:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Exemplo 3

Calcule as integrais ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x e ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Solução

Segmento - 4; - 1 2 diz que a função sob o sinal integral é contínua, o que significa que é integrável. A partir daqui encontramos o conjunto de primitivas da função y = 4 x 3 + 2 x 2. Nós entendemos isso

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

É necessário tomar a antiderivada F (x) = 2 x 2 - 2 x, então, aplicando a fórmula de Newton-Leibniz, obtemos a integral, que calculamos:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Prosseguimos com o cálculo da segunda integral.

Do segmento [ - 1 ; 1 ] temos que a função integrando é considerada ilimitada, pois lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , segue-se que uma condição necessária integrabilidade de um segmento. Então F (x) = 2 x 2 - 2 x não é antiderivada para y = 4 x 3 + 2 x 2 do intervalo [ - 1 ; 1], pois o ponto O pertence ao segmento, mas não está incluído no domínio de definição. Isso significa que existe uma integral definida de Riemann e Newton-Leibniz para a função y = 4 x 3 + 2 x 2 do intervalo [ - 1 ; 1].

Resposta: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 , existe uma integral definida de Riemann e Newton-Leibniz para a função y = 4 x 3 + 2 x 2 do intervalo [ - 1 ; 1].

Antes de usar a fórmula de Newton-Leibniz, você precisa saber exatamente sobre a existência de uma integral definida.

Alterando uma variável em uma integral definida

Quando a função y = f (x) é definida e contínua a partir do intervalo [ a ; b], então o conjunto disponível [a; b] é considerado o intervalo de valores da função x = g (z) definido no segmento α; β com a derivada contínua existente, onde g (α) = a e g β = b, obtemos disso que ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Esta fórmula é usada quando você precisa calcular a integral ∫ a b f (x) d x, onde a integral indefinida tem a forma ∫ f (x) d x, calculamos usando o método de substituição.

Exemplo 4

Calcule uma integral definida da forma ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Solução

A função integrando é considerada contínua no intervalo de integração, o que significa que existe uma integral definida. Vamos dar a notação de que 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. O valor x = 9 significa que z = 2 9 - 9 = 9 = 3, e para x = 18 obtemos que z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, então g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. Ao substituir os valores obtidos na fórmula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z obtemos que

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Segundo a tabela de integrais indefinidas, temos que uma das antiderivadas da função 2 z 2 + 9 assume o valor 2 3 a r c t g z 3 . Então, ao aplicar a fórmula de Newton-Leibniz, obtemos que

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

A descoberta poderia ser feita sem usar a fórmula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .

Se usarmos o método de substituição usarmos uma integral da forma ∫ 1 x 2 x - 9 d x, então podemos chegar ao resultado ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

A partir daqui realizaremos cálculos utilizando a fórmula de Newton-Leibniz e calcularemos a integral definida. Nós entendemos isso

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Os resultados foram os mesmos.

Resposta: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integração por partes ao calcular uma integral definida

Se no segmento [ a ; b ] as funções u (x) e v (x) são definidas e contínuas, então suas derivadas de primeira ordem v " (x) · u (x) são integráveis, portanto, deste segmento para a função integrável u " (x) · v ( x) a igualdade ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x é verdadeira.

A fórmula pode ser usada então, é necessário calcular a integral ∫ a b f (x) d x, e ∫ f (x) d x foi necessário procurá-la usando integração por partes.

Exemplo 5

Calcule a integral definida ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Solução

A função x · sin x 3 + π 6 é integrável no intervalo - π 2 ; 3 π 2, o que significa que é contínuo.

Seja u (x) = x, então d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x, e d (u (x)) = u " (x) d x = d x, e v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Da fórmula ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x obtemos que

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sen x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 pecado π 2 + π 6 - pecado - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

O exemplo pode ser resolvido de outra maneira.

Encontre o conjunto de primitivas da função x · sin x 3 + π 6 usando integração por partes usando a fórmula de Newton-Leibniz:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sen x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sen x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Resposta: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

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