Trzy rodzaje równoległościanów. prostopadłościan

W geometrii kluczowymi pojęciami są płaszczyzna, punkt, linia i kąt. Używając tych terminów, można opisać dowolną figurę geometryczną. Wielościany są zwykle opisywane w kategoriach więcej proste figury które leżą na tej samej płaszczyźnie, na przykład koło, trójkąt, kwadrat, prostokąt i tak dalej. W tym artykule zastanowimy się, czym jest równoległościan, opiszemy rodzaje równoległościanów, jego właściwości, z jakich elementów się składa, a także podamy podstawowe formuły obliczania powierzchni i objętości dla każdego typu równoległościanu.

Definicja

Równoległościan w przestrzeni trójwymiarowej to graniastosłup, którego wszystkie boki są równoległobokami. W związku z tym może mieć tylko trzy pary równoległoboków lub sześć ścian.

Aby zwizualizować pudełko, wyobraź sobie zwykłą standardową cegłę. Cegła - dobry przykład prostokątny równoległościan, który może sobie wyobrazić nawet dziecko. Inne przykłady są wielopiętrowe domy panelowe, szafy, pojemniki magazynowe produkty żywieniowe odpowiednia forma itp.

Odmiany postaci

Istnieją tylko dwa rodzaje równoległościanów:

1. Prostokątne, których wszystkie powierzchnie boczne są ustawione pod kątem 90 o do podstawy i są prostokątami.
2. Nachylony, którego boczne powierzchnie znajdują się pod pewnym kątem do podstawy.

Na jakie elementy można podzielić tę figurę?

• Jak w każdej innej figurze geometrycznej, w równoległościanie, dowolne 2 ściany ze wspólną krawędzią nazywane są sąsiednimi, a te, które jej nie mają, nazywane są równoległymi (w oparciu o właściwość równoległoboku, który ma parami równoległe przeciwne boki).
• Wierzchołki równoległościanu, które nie leżą na tej samej powierzchni, nazywane są przeciwległymi wierzchołkami.
• Odcinek łączący takie wierzchołki jest przekątną.
• Długości trzech krawędzi prostopadłościanu, które łączą się w jednym wierzchołku, są jego wymiarami (czyli jego długością, szerokością i wysokością).

Właściwości kształtu

1. Jest zawsze zbudowana symetrycznie względem środka przekątnej.
2. Punkt przecięcia wszystkich przekątnych dzieli każdą przekątną na dwa równe segmenty.
3. Przeciwległe twarze są równej długości i leżą na równoległych liniach.
4. Jeśli dodasz kwadraty wszystkich wymiarów pudełka, wynikowa wartość będzie równa kwadratowi długości przekątnej.

Wzory obliczeniowe

Wzory dla każdego konkretnego przypadku równoległościanu będą różne.

Dla dowolnego równoległościanu prawdziwe jest stwierdzenie, że jego objętość jest równa całkowita wartość potrójny iloczyn skalarny wektorów trzech boków emanujących z tego samego wierzchołka. Nie ma jednak wzoru na obliczenie objętości dowolnego równoległościanu.

W przypadku równoległościanu prostokątnego obowiązują następujące wzory:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V to objętość figury;
• Sb - powierzchnia boczna;
• Sp - obszar pełna powierzchnia;
• a - długość;
• b - szerokość;
• c - wzrost.

Innym szczególnym przypadkiem równoległościanu, w którym wszystkie boki są kwadratami, jest sześcian. Jeżeli którykolwiek z boków kwadratu jest oznaczony literą a, to dla pola powierzchni i objętości tej figury można zastosować następujące wzory:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S to obszar figury,
• V to objętość figury,
• a - długość twarzy postaci.

Ostatnim rodzajem równoległościanu, który rozważamy, jest prosty równoległościan. Jaka jest różnica między prostopadłościanem a prostopadłościanem, pytasz. Faktem jest, że podstawą prostokątnego równoległościanu może być dowolny równoległobok, a podstawą linii prostej może być tylko prostokąt. Jeżeli obwód podstawy, równy sumie długości wszystkich boków wyznaczymy jako Po, a wysokość jako h, to do obliczenia objętości i pola powierzchni pełnej i bocznej mamy prawo użyć poniższych wzorów powierzchnie.

Równoległościan to graniastosłup, którego podstawą są równoległoboki. W takim przypadku wszystkie krawędzie będą równoległoboki.
Każdy równoległościan można uznać za pryzmat z trzema różne sposoby, ponieważ co dwie przeciwległe ściany mogą być traktowane jako podstawy (na rys. 5 ściany ABCD i A „B” C „D” lub ABA „B” i CDC „D” lub BC „C” i ADA „D” ) .
Rozważane ciało ma dwanaście krawędzi, cztery równe i równoległe do siebie.
Twierdzenie 3 . Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie, pokrywając się ze środkiem każdego z nich.
Równoległościan ABCDA"B"C"D" (ryc. 5) ma cztery przekątne AC", BD", CA", DB". Musimy udowodnić, że punkty środkowe dowolnych dwóch z nich, na przykład AC i BD", pokrywają się. Wynika to z faktu, że figura ABC"D", która ma równe i równoległe boki AB i C „D” to równoległobok.
Definicja 7 . Prawy równoległościan to równoległościan, który jest również prostym graniastosłupem, to znaczy równoległościanem, którego krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy.
Definicja 8 . Równoległościan prostokątny to równoległościan prawy, którego podstawą jest prostokąt. W tym przypadku wszystkie jego twarze będą prostokątami.
prostopadłościan jest prostym graniastosłupem, bez względu na to, którą z jego ścian przyjmiemy za podstawę, ponieważ każda z jego krawędzi jest prostopadła do krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka, a zatem będzie prostopadła do płaszczyzn ścian określonych przez te krawędzie. Z kolei pudełko proste, ale nie prostokątne, może być postrzegane jako prawy pryzmat tylko w jeden sposób.
Definicja 9 . Długości trzech krawędzi prostopadłościanu, z których żadne dwie nie są do siebie równoległe (na przykład trzy krawędzie wychodzące z tego samego wierzchołka), nazywamy jego wymiarami. Dwa prostokątne równoległościany o odpowiednio równych wymiarach są oczywiście sobie równe.
Definicja 10 Sześcian to prostokątny równoległościan, którego wszystkie trzy wymiary są sobie równe, tak że wszystkie jego powierzchnie są kwadratami. Dwa sześciany, których krawędzie są równe, są równe.
Definicja 11 . Nachylony równoległościan, w którym wszystkie krawędzie są równe, a kąty wszystkich ścian są równe lub komplementarne, nazywa się rombohedronem.
Wszystkie twarze rombohedronu są równymi rombami. (Kształt rombościanu ma kilka kryształów, które mają bardzo ważne, na przykład kryształy islandzkiego drzewca.) W romboedrze można znaleźć taki wierzchołek (a nawet dwa przeciwległe wierzchołki), że wszystkie sąsiadujące z nim kąty są sobie równe.
Twierdzenie 4 . Przekątne prostokątnego równoległościanu są sobie równe. Kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów trzech wymiarów.
W prostopadłościanie prostokątnym ABCDA „B” C „D” (ryc. 6) przekątne AC „i BD” są równe, ponieważ czworokąt ABC „D” jest prostokątem (linia AB jest prostopadła do płaszczyzny BC „C” , w którym BC leży ").
Dodatkowo AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 na podstawie twierdzenia o kwadratu przeciwprostokątnej. Ale na podstawie tego samego twierdzenia AD" 2 = AA" 2 + + A"D" 2; stąd mamy:
AC „2 \u003d AB 2 + AA” 2 + A „D” 2 \u003d AB 2 + AA „2 + AD 2.

Równoległościan to figura geometryczna, których wszystkie 6 ścian jest równoległobokami.

W zależności od rodzaju tych równoległoboków istnieją następujące typy równoległościan:

• prosty;
• skłonny;
• prostokątny.

Prawy równoległościan to czworokątny pryzmat, którego krawędzie tworzą kąt 90 ° z płaszczyzną podstawy.

Prostokątny równoległościan to czworokątny graniastosłup, którego wszystkie twarze są prostokątami. Kostka jest urozmaicona pryzmat czworokątny, w którym wszystkie powierzchnie i krawędzie są sobie równe.

Cechy figury determinują jej właściwości. Należą do nich następujące 4 stwierdzenia:

Zapamiętanie wszystkich powyższych właściwości jest proste, łatwe do zrozumienia i wyprowadzane logicznie na podstawie typu i cech geometrycznego ciała. Jednak proste stwierdzenia mogą być niezwykle pomocne w podejmowaniu decyzji typowe zadania UŻYWAJ i oszczędza czas potrzebny na zaliczenie testu.

Wzory równoległościanów

Aby znaleźć rozwiązanie problemu, nie wystarczy znać tylko właściwości figury. Możesz również potrzebować pewnych wzorów, aby znaleźć pole i objętość ciała geometrycznego.

Obszar podstaw znajduje się również jako odpowiedni wskaźnik równoległoboku lub prostokąta. Możesz samodzielnie wybrać podstawę równoległoboku. Z reguły przy rozwiązywaniu problemów łatwiej jest pracować z pryzmatem, który opiera się na prostokącie.

Wzór na znalezienie powierzchni bocznej równoległościanu może być również potrzebny w zadaniach testowych.

Przykłady rozwiązywania typowych zadań USE

Ćwiczenie 1.

Dany: prostopadłościan o wymiarach 3, 4 i 12 cm.
Niezbędny Znajdź długość jednej z głównych przekątnych figury.
Decyzja: Każde rozwiązanie problemu geometrycznego musi rozpocząć się od zbudowania poprawnego i czytelnego rysunku, na którym zostanie wskazana „dana” i pożądana wartość. Poniższy rysunek jest przykładem poprawny projekt warunki zadania.

Po zbadaniu wykonanego rysunku i zapamiętaniu wszystkich właściwości ciała geometrycznego dochodzimy do jedynego właściwy sposób rozwiązania. Stosując właściwość 4 równoległościanu, otrzymujemy następujące wyrażenie:

Po prostych obliczeniach otrzymujemy wyrażenie b2=169, a więc b=13. Odpowiedź na zadanie została znaleziona, wyszukanie jej i narysowanie nie powinno zająć więcej niż 5 minut.

Tłumaczenie z grecki równoległobok oznacza płaszczyznę. Równoległościan to graniastosłup, którego podstawą jest równoległobok. Istnieje pięć rodzajów równoległoboków: ukośny, prosty i prostokątny równoległościan. Sześcian i rombohedron również należą do równoległościanu i są jego odmianą.

Zanim przejdziemy do podstawowych pojęć, podajmy kilka definicji:

• Przekątna równoległościanu to odcinek, który łączy wierzchołki równoległościanu, które są naprzeciw siebie.
• Jeśli dwie ściany mają wspólną krawędź, możemy nazwać je sąsiednimi krawędziami. Jeśli nie ma wspólnej krawędzi, twarze są nazywane przeciwnie.
• Dwa wierzchołki, które nie leżą na tej samej powierzchni, nazywane są przeciwległymi.

Jakie są właściwości równoległościanu?

1. Ściany równoległościanu leżące po przeciwnych stronach są do siebie równoległe i równe.
2. Jeśli narysujesz przekątne z jednego wierzchołka do drugiego, punkt przecięcia tych przekątnych podzieli je na pół.
3. Boki równoległościanu leżącego pod tym samym kątem do podstawy będą równe. Innymi słowy, kąty boków w obu kierunkach będą sobie równe.

Jakie są rodzaje równoległościanów?

Teraz zastanówmy się, czym są równoległościany. Jak wspomniano powyżej, istnieje kilka rodzajów tej figury: prosty, prostokątny, ukośny równoległościan, a także sześcian i rombohedron. Czym się od siebie różnią? Chodzi o płaszczyzny, które je tworzą i kąty, które tworzą.

Przyjrzyjmy się bliżej każdemu z wymienionych typów równoległościanów.

• Jak sama nazwa wskazuje, nachylone pudełko ma nachylone ściany, a mianowicie te ściany, które nie są pod kątem 90 stopni w stosunku do podstawy.
• Ale dla prawego równoległościanu kąt między podstawą a twarzą wynosi zaledwie dziewięćdziesiąt stopni. Z tego powodu ten typ równoległościanu ma taką nazwę.
• Jeśli wszystkie ściany równoległościanu są tymi samymi kwadratami, wówczas tę figurę można uznać za sześcian.
• Prostokątny równoległościan otrzymał swoją nazwę od tworzących go płaszczyzn. Jeśli wszystkie są prostokątami (łącznie z podstawą), to jest to prostopadłościan. Ten typ równoległościanu nie jest tak powszechny. W języku greckim rombohedron oznacza twarz lub podstawę. Tak nazywa się trójwymiarowa figura, w której twarze są rombami.

Podstawowe wzory na równoległościan

Objętość równoległościanu jest równa iloczynowi powierzchni podstawy i jej wysokości prostopadłej do podstawy.

Powierzchnia powierzchni bocznej będzie równa iloczynowi obwodu podstawy i wysokości.
Znając podstawowe definicje i wzory, możesz obliczyć powierzchnię bazową i objętość. Możesz wybrać wybraną przez siebie bazę. Jednak z reguły podstawą jest prostokąt.

Lub (odpowiednik) wielościan z sześcioma ścianami i każda z nich - równoległobok.

Rodzaje pudełek

Istnieje kilka rodzajów równoległościanów:

• Prostopadłościan to prostopadłościan, którego ściany są prostokątami.
• Prawy równoległościan to równoległościan z 4 bocznymi ścianami, które są prostokątami.
• Skrzynka ukośna to skrzynka, której ściany boczne nie są prostopadłe do podstaw.

Główne elementy

Dwie ściany równoległościanu, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywane są przeciwległymi, a te, które mają wspólną krawędź, nazywane są sąsiednimi. Dwa wierzchołki równoległościanu, które nie należą do tej samej ściany, nazywane są przeciwległymi. Odcinek łączący przeciwległe wierzchołki nazywany jest przekątną równoległościanu. Długości trzech krawędzi prostopadłościanu, które mają wspólny wierzchołek, nazywamy jego wymiarami.

Nieruchomości

• Równoległościan jest symetryczny w stosunku do punktu środkowego jego przekątnej.
• Każdy odcinek z końcami należącymi do powierzchni równoległościanu i przechodzący przez środek jego przekątnej jest podzielony przez niego na pół; w szczególności wszystkie przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie i przecinają go.
• Przeciwległe ściany równoległościanu są równoległe i równe.
• Kwadrat długości przekątnej prostopadłościanu jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów.

Podstawowe formuły

Prawy równoległościan

Powierzchnia boczna S b \u003d R o * h, gdzie R o to obwód podstawy, h to wysokość

Całkowita powierzchnia S p \u003d S b + 2S o, gdzie S o to powierzchnia podstawy

Tom V=S o *h

prostopadłościan

Powierzchnia boczna S b \u003d 2c (a + b), gdzie a, b to boki podstawy, c to boczna krawędź prostokątnego równoległościanu

Całkowita powierzchnia S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

Tom V=abc, gdzie a, b, c są wymiarami prostopadłościanu.

Sześcian

Powierzchnia: $S=6a^2$
Tom: $V=a^3$, gdzie $a$- krawędź sześcianu.

Pole arbitralne

Objętość i stosunki w skrzynce skośnej są często definiowane za pomocą algebry wektorowej. Objętość równoległościanu jest równa wartości bezwzględnej produktu mieszanego trzy wektory, zdefiniowany przez trzy boki równoległościanu emanującego z jednego wierzchołka. Stosunek długości boków równoległościanu do kątów między nimi daje stwierdzenie, że wyznacznik Grama tych trzech wektorów jest równy kwadratowi ich mieszany produkt :215 .

W analizie matematycznej

W Analiza matematyczna pod n-wymiarowym prostopadłościanem $B$ zrozumieć wiele punktów $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ uprzejmy $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Napisz recenzję artykułu „Równoległość”

Uwagi

Spinki do mankietów

prawidłowy prawidłowy niewypukły wypukły formuły, twierdzenia, teorie Inne

Fragment charakteryzujący równoległościan

- On dit que les rivaux se sont reconcilies łaska a l 'angine... [Mówią, że rywale pogodzili się dzięki tej chorobie.]
Z wielką przyjemnością powtórzyło się słowo angine.
- Le vieux comte est touchant a ce qu "on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Stary hrabia jest bardzo wzruszający, jak mówią. Płakał jak dziecko, kiedy lekarz powiedział ten niebezpieczny przypadek.]
Och, ce serait une perte straszne. C "est une femme ravissante. [Och, to byłaby wielka strata. Taka urocza kobieta.]
„Vous parlez de la pauvre comtesse”, powiedziała Anna Pawłowna podchodząc. - J "ai envoye savoir de ses nouvelles. On m" a dit qu "elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c" est la plus charmante femme du monde - powiedziała Anna Pawłowna z uśmiechem ponad entuzjazmem. - Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m „empeche pas de l” etimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Mówisz o biednej hrabinie... Wysłałem, aby dowiedzieć się o jej zdrowiu. Powiedziano mi, że jest trochę lepiej. Och, bez wątpienia to najpiękniejsza kobieta na świecie. Należymy do różnych obozów, ale to nie przeszkadza mi szanować jej zgodnie z jej zasługami. Jest taka nieszczęśliwa.] dodała Anna Pawłowna.
Wierząc, że tymi słowami Anna Pawłowna nieco uchyliła zasłonę tajemnicy nad chorobą hrabiny, jeden nieostrożny młody człowiek pozwolił sobie na wyrażenie zdziwienia, że ​​nie wezwano sławnych lekarzy, lecz leczył hrabinę szarlatan, który mógł dać niebezpieczne środki.
„Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes” Anna Pawłowna zaatakowała nagle niedoświadczonych młody człowiek. Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C „est le medecin intime de la Reine d” Espagne. [Twoje wiadomości mogą być dokładniejsze niż moje... ale pochodzę z dobre źródła Wiem, że ten lekarz jest bardzo wykształconą i zręczną osobą. To jest lekarz życia królowej Hiszpanii.] - I w ten sposób niszcząc młodego człowieka, Anna Pawłowna zwróciła się do Bilibina, który w innym kręgu, podnosząc skórę i najwyraźniej zamierzając ją rozpuścić, mówiąc un mot, przemówił o Austriakach.
- Je trouve que c "est charmant! [Uważam to za urokliwe!] - mówił o dokumencie dyplomatycznym, pod którym wysłano do Wiednia austriackie sztandary, le heros de Petropol [bohater Petropolis] (jak on został wezwany w Petersburgu).
- Jak, jak to jest? Anna Pawłowna zwróciła się do niego, budząc ciszę, by usłyszeć mot, który już znała.
A Bilibin powtórzył następujące autentyczne słowa ze sporządzonej przez siebie depeszy dyplomatycznej:
- L „Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens”, powiedział Bilibin, „drapeaux amis et egares qu” il a trouve hors de la route [Cesarz wysyła chorągwie austriackie, przyjazne i zwodnicze, które znalazł poza prawdziwą drogą] – zakończył. Bilibin rozluźniający skórę.
- Charmant, charmant, [Uroczy, uroczy] - powiedział książę Wasilij.
- C "est la route de Varsovie peut etre, [Może to droga warszawska.] - powiedział głośno i niespodziewanie książę Hippolyte. Wszyscy spojrzeli na niego, nie rozumiejąc, co chciał przez to powiedzieć. radosne zaskoczenie wokół niego.On, podobnie jak inni, nie rozumiał, co znaczyły słowa, które wypowiadał.W trakcie swojej kariery dyplomatycznej niejednokrotnie zauważył, że słowa nagle wypowiedziane w ten sposób okazały się bardzo dowcipne i na wszelki wypadek powiedział te słowa: „Może wyjdzie bardzo dobrze” – pomyślał – „a jak nie wyjdzie, to tam będą mogli to zaaranżować.” Rzeczywiście, gdy panowała niezręczna cisza, weszła ta niewystarczająco patriotyczna twarz Anna Pawłowna i ona, uśmiechając się i potrząsając palcem do Ippolita, zaprosili księcia Wasilija do stołu i przynosząc mu dwie świece i rękopis, poprosili go, aby zaczął.