Przykłady nierówności liniowych z modułem. Nierówności z modułem. Nowe spojrzenie na rozwiązanie

Moduł liczb ta liczba jest wywoływana, jeśli jest nieujemna lub jest tą samą liczbą przeciwny znak, jeśli jest ona ujemna.

Na przykład moduł liczby 6 wynosi 6, a moduł liczby -6 również wynosi 6.

To znaczy, przez moduł liczby mamy na myśli całkowita wartość, całkowita wartość tę liczbę bez uwzględnienia jej znaku.

Oznacza się go następująco: |6|, | X|, |A| itp.

(Więcej szczegółów w dziale „Moduł numeryczny”).

Równania z modułem.

Przykład 1 . Rozwiązać równanie|10 X - 5| = 15.

Rozwiązanie.

Zgodnie z regułą równanie jest równoważne kombinacji dwóch równań:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

My decydujemy:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Odpowiedź: X 1 = 2, X 2 = -1.

Przykład 2 . Rozwiązać równanie|2 X + 1| = X + 2.

Rozwiązanie.

Zatem moduł jest liczbą nieujemną X+ 2 ≥ 0. Odpowiednio:

X ≥ -2.

Zróbmy dwa równania:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

My decydujemy:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Obie liczby są większe od -2. Zatem oba są pierwiastkami równania.

Odpowiedź: X 1 = -1, X 2 = 1.

Przykład 3 . Rozwiązać równanie

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Rozwiązanie.

Równanie ma sens, jeśli mianownik nie jest zerem - to znaczy, jeśli X≠ 1. Weźmy ten warunek pod uwagę. Nasza pierwsza akcja jest prosta – nie tylko pozbywamy się ułamka, ale go przekształcamy tak, aby otrzymać moduł w czystej postaci:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Teraz mamy tylko wyrażenie pod modułem po lewej stronie równania. Zacząć robić.
Moduł liczby jest liczbą nieujemną — to znaczy musi być większy od zera lub równy zero. W związku z tym rozwiązujemy nierówność:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Mamy zatem drugi warunek: pierwiastek równania musi wynosić co najmniej 3/4.

Zgodnie z regułą układamy układ dwóch równań i rozwiązujemy je:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Otrzymaliśmy dwie odpowiedzi. Sprawdźmy, czy są one pierwiastkami pierwotnego równania.

Mieliśmy dwa warunki: pierwiastek równania nie może być równy 1 i musi wynosić co najmniej 3/4. To jest X ≠ 1, X≥ 3/4. Tylko jedna z dwóch uzyskanych odpowiedzi odpowiada obu tym warunkom - liczba 2. Oznacza to, że tylko to jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Odpowiedź: X = 2.

Nierówności z modułem.

Przykład 1 . Rozwiąż nierówność| X - 3| < 4

Rozwiązanie.

Reguła modułu stwierdza:

|A| = A, Jeśli A ≥ 0.

|A| = -A, Jeśli A < 0.

Moduł może mieć zarówno liczby nieujemne, jak i ujemne. Musimy więc rozważyć oba przypadki: X- 3 ≥ 0 i X - 3 < 0.

1) Kiedy X- 3 ≥ 0 nasza pierwotna nierówność pozostaje taka, jaka jest, tylko bez znaku modułu:
X - 3 < 4.

2) Kiedy X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Otwierając nawiasy otrzymujemy:

-X + 3 < 4.

Zatem z tych dwóch warunków doszliśmy do unifikacji dwóch systemów nierówności:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Rozwiążmy je:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Zatem naszą odpowiedzią jest suma dwóch zbiorów:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Określ najmniejszy i najwyższa wartość. Są to -1 i 7. Co więcej X większa niż -1, ale mniejsza niż 7.
Oprócz, X≥ 3. Oznacza to, że rozwiązaniem nierówności jest cały zbiór liczb od -1 do 7, z wyłączeniem tych liczb skrajnych.

Odpowiedź: -1 < X < 7.

Lub: X ∈ (-1; 7).

Dodatki.

1) Istnieje prostszy i krótka droga rozwiązania naszej nierówności - graficzne. Aby to zrobić, musisz narysować oś poziomą (ryc. 1).

Wyrażenie | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X do punktu 3 jest mniejsza niż cztery jednostki. Na osi zaznaczamy cyfrę 3 i liczymy 4 podziały na lewo i na prawo od niej. Po lewej stronie dojdziemy do punktu -1, po prawej - do punktu 7. Tym samym punkty X po prostu je widzieliśmy, bez obliczenia.

Ponadto, zgodnie z warunkiem nierówności, same -1 i 7 nie są uwzględnione w zbiorze rozwiązań. W ten sposób otrzymujemy odpowiedź:

1 < X < 7.

2) Istnieje jednak inne rozwiązanie, prostsze nawet niż metoda graficzna. Aby to zrobić, naszą nierówność należy przedstawić w następującej postaci:

4 < X - 3 < 4.

Przecież tak to jest zgodnie z regułą modułu. Nieujemna liczba 4 i podobna liczba ujemna -4 stanowią granice rozwiązania nierówności.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Przykład 2 . Rozwiąż nierówność| X - 2| ≥ 5

Rozwiązanie.

Ten przykład znacznie różni się od poprzedniego. Lewa strona większa niż 5 lub równa 5. Z geometrycznego punktu widzenia rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby, które znajdują się w odległości 5 jednostek lub większej od punktu 2 (ryc. 2). Z wykresu wynika, że ​​są to wszystkie liczby mniejsze lub równe -3 i większe lub równe 7. Oznacza to, że otrzymaliśmy już odpowiedź.

Odpowiedź: -3 ≥ X ≥ 7.

Po drodze rozwiązujemy tę samą nierówność, przestawiając wolny wyraz w lewo i w prawo za pomocą przeciwnego znaku:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Odpowiedź jest taka sama: -3 ≥ X ≥ 7.

Lub: X ∈ [-3; 7]

Przykład został rozwiązany.

Przykład 3 . Rozwiąż nierówność 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Rozwiązanie.

Numer X może być liczbą dodatnią, liczbą ujemną lub zerem. Dlatego musimy wziąć pod uwagę wszystkie trzy okoliczności. Jak wiadomo, uwzględnia się je w dwóch nierównościach: X≥ 0 i X < 0. При X≥ 0 po prostu przepisujemy naszą pierwotną nierówność w niezmienionej postaci, tylko bez znaku modułu:

6x 2 - X - 2 ≤ 0.

Teraz o drugim przypadku: jeśli X < 0. Модулем Liczba ujemna to ta sama liczba z przeciwnym znakiem. Oznacza to, że zapisujemy liczbę pod modułem o przeciwnym znaku i ponownie uwalniamy się od znaku modułu:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Rozszerzanie nawiasów:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Otrzymaliśmy zatem dwa układy równań:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Musimy rozwiązać nierówności w układach - a to oznacza, że ​​musimy znaleźć pierwiastki dwóch równań kwadratowych. Aby to zrobić, przyrównujemy lewą stronę nierówności do zera.

Zacznijmy od pierwszego:

6X 2 - X - 2 = 0.

Jak rozwiązać równanie kwadratowe- patrz rozdział „Równanie kwadratowe”. Natychmiast nazwiemy odpowiedź:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Z pierwszego układu nierówności dowiadujemy się, że rozwiązaniem pierwotnej nierówności jest cały zbiór liczb od -1/2 do 2/3. Sumę rozwiązań piszemy pod adresem X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Rozwiążmy teraz drugie równanie kwadratowe:

6X 2 + X - 2 = 0.

Jego korzenie:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Wniosek: kiedy X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Połączmy dwie odpowiedzi i uzyskajmy ostateczną odpowiedź: rozwiązaniem jest cały zbiór liczb od -2/3 do 2/3, łącznie z tymi liczbami skrajnymi.

Odpowiedź: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Lub: X ∈ [-2/3; 2/3].

Dziś, przyjaciele, nie będzie smarków i sentymentalizmu. Zamiast tego wyślę cię, bez żadnych pytań, do bitwy z jednym z najgroźniejszych przeciwników na kursie algebry dla klas 8-9.

Tak, wszystko zrozumiałeś poprawnie: mówimy o nierównościach z modułem. Przyjrzymy się czterem podstawowym technikom, dzięki którym nauczysz się rozwiązywać około 90% takich problemów. A co z pozostałymi 10%? Cóż, porozmawiamy o nich w osobnej lekcji :)

Zanim jednak przeanalizuję którąkolwiek z technik, chciałbym przypomnieć Ci o dwóch faktach, które już musisz znać. W przeciwnym razie ryzykujesz, że w ogóle nie zrozumiesz materiału dzisiejszej lekcji.

Co już musisz wiedzieć

Kapitan Oczywistość zdaje się sugerować, że aby rozwiązać nierówności za pomocą modułu, trzeba wiedzieć dwie rzeczy:

1. Jak rozwiązuje się nierówności;
2. Co to jest moduł?

Zacznijmy od punktu drugiego.

Definicja modułu

Tutaj wszystko jest proste. Istnieją dwie definicje: algebraiczna i graficzna. Na początek - algebraiczne:

Definicja. Moduł liczby $x$ jest albo samą liczbą, jeśli jest nieujemna, albo liczbą jej przeciwną, jeśli pierwotna wartość $x$ jest nadal ujemna.

Jest napisane tak:

\[\lewo| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Mówienie w prostym języku, moduł to „liczba bez minusa”. I właśnie w tej dwoistości (w niektórych miejscach nie trzeba nic robić z oryginalną liczbą, w innych trzeba będzie usunąć jakiś minus) na tym polega cała trudność dla początkujących uczniów.

Czy jest jeszcze coś? definicja geometryczna. Warto to wiedzieć, ale zajmiemy się tym tylko w skomplikowanych i szczególnych przypadkach, gdzie podejście geometryczne jest wygodniejsze niż algebraiczne (spoiler: nie dzisiaj).

Definicja. Niech na osi liczbowej zaznaczymy punkt $a$. Następnie moduł $\left| x-a \right|$ to odległość od punktu $x$ do punktu $a$ na tej prostej.

Jeśli narysujesz obraz, otrzymasz coś takiego:

Tak czy inaczej, z definicji modułu wynika bezpośrednio jego kluczowa właściwość: moduł liczby jest zawsze wielkością nieujemną. Fakt ten będzie czerwoną nitką przewijającą się przez całą naszą dzisiejszą narrację.

Rozwiązywanie nierówności. Metoda interwałowa

Przyjrzyjmy się teraz nierównościom. Jest ich bardzo wiele, ale naszym zadaniem jest teraz rozwiązać przynajmniej najprostszy z nich. Te, które sprowadzają się do nierówności liniowe, a także do metody interwałowej.

Mam dwie duże lekcje na ten temat (swoją drogą bardzo, BARDZO przydatne - polecam je przestudiować):

1. Metoda interwałowa dla nierówności (szczególnie obejrzyj wideo);
2. Ułamkowe nierówności racjonalne to bardzo obszerna lekcja, ale po niej nie będziesz mieć żadnych pytań.

Jeśli to wszystko wiesz, jeśli sformułowanie „przejdźmy od nierówności do równania” nie budzi w Tobie niejasnej chęci uderzenia się w ścianę, to jesteś gotowy: witaj w piekle w głównym temacie lekcji :)

1. Nierówności postaci „Moduł jest mniejszy od funkcji”

Jest to jeden z najczęstszych problemów z modułami. Należy rozwiązać nierówność postaci:

\[\lewo| f\racja| \ltg\]

Funkcje $f$ i $g$ mogą być dowolne, ale zazwyczaj są to wielomiany. Przykłady takich nierówności:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \prawo| \ltx+7; \\ & \w lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \w lewo| ((x)^(2))-2\lewo| x \prawo|-3 \prawo| \lt 2. \\\end(align)\]

Wszystkie można rozwiązać dosłownie w jednym wierszu według następującego schematu:

\[\lewo| f\racja| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \prawo.\prawo)\]

Łatwo zauważyć, że pozbywamy się modułu, ale w zamian otrzymujemy podwójną nierówność (lub, co na jedno wychodzi, układ dwóch nierówności). Ale to przejście uwzględnia absolutnie wszystko możliwe problemy: jeśli liczba pod modułem jest dodatnia, metoda działa; jeśli jest negatywny, nadal działa; i nawet przy najbardziej nieodpowiedniej funkcji zamiast $f$ lub $g$, metoda nadal będzie działać.

Naturalnie pojawia się pytanie: czy nie można było prościej? Niestety, nie jest to możliwe. To jest cały sens modułu.

Dość jednak filozofowania. Rozwiążmy kilka problemów:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| 2x+3 \prawo| \ltx+7\]

Rozwiązanie. Mamy więc przed sobą klasyczną nierówność postaci „moduł jest mniejszy” – nawet nie ma co przekształcać. Pracujemy według algorytmu:

\[\begin(align) & \left| f\racja| \lt g\Strzałka w prawo -g \lt f \lt g; \\ & \w lewo| 2x+3 \prawo| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Nie spiesz się, aby otworzyć nawiasy poprzedzone „minusem”: jest całkiem możliwe, że w pośpiechu popełnisz obraźliwy błąd.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problem został zredukowany do dwóch elementarnych nierówności. Zwróćmy uwagę na ich rozwiązania na równoległych osiach liczbowych:

Przecięcie wielu

Odpowiedzią będzie przecięcie tych zbiorów.

Odpowiedź: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \prawo|+3\lewo(x+1 \prawo) \lt 0\]

Rozwiązanie. To zadanie jest nieco trudniejsze. Najpierw wyizolujmy moduł, przesuwając drugi człon w prawo:

\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \prawo| \lt -3\lewo(x+1 \prawo)\]

Oczywiście znowu mamy nierówność postaci „moduł jest mniejszy”, więc pozbywamy się modułu korzystając ze znanego już algorytmu:

\[-\lewo(-3\lewo(x+1 \prawo) \prawo) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\lewo(x+1 \prawo)\]

A teraz uwaga: ktoś powie, że jestem jakiś zboczony z tymi wszystkimi nawiasami. Ale przypomnę jeszcze raz, że naszym kluczowym celem jest poprawnie rozwiąż nierówność i uzyskaj odpowiedź. Później, gdy doskonale opanujesz wszystko, co opisano w tej lekcji, możesz wypaczać się według własnego uznania: otwierać nawiasy, dodawać minusy itp.

Zacznijmy od pozbycia się podwójny minus lewy:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\lewo(x+1\prawo)\]

Otwórzmy teraz wszystkie nawiasy w podwójnej nierówności:

Przejdźmy do podwójnej nierówności. Tym razem obliczenia będą poważniejsze:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( wyrównaj)\dobrze.\]

Obie nierówności są kwadratowe i można je rozwiązać metodą przedziałową (dlatego mówię: jeśli nie wiesz, co to jest, to lepiej nie zajmuj się jeszcze modułami). Przejdźmy do równania w pierwszej nierówności:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\lewo(x+5 \prawo)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Jak widać, wynikiem jest niepełne równanie kwadratowe, które można rozwiązać w sposób elementarny. Przyjrzyjmy się teraz drugiej nierówności układu. Tam będziesz musiał zastosować twierdzenie Viety:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Otrzymane liczby zaznaczamy na dwóch równoległych liniach (oddzielnych dla pierwszej nierówności i osobnych dla drugiej):

Ponownie, ponieważ rozwiązujemy układ nierówności, interesuje nas przecięcie zacieniowanych zbiorów: $x\in \left(-5;-2 \right)$. To jest odpowiedź.

Odpowiedź: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Myślę, że po tych przykładach schemat rozwiązania jest niezwykle przejrzysty:

1. Wyizoluj moduł, przenosząc wszystkie pozostałe wyrazy na przeciwną stronę nierówności. Otrzymujemy w ten sposób nierówność w postaci $\left| f\racja| \ltg$.
2. Rozwiąż tę nierówność pozbywając się modułu zgodnie ze schematem opisanym powyżej. W pewnym momencie konieczne będzie przejście od podwójnej nierówności do układu dwóch niezależnych wyrażeń, z których każde można już rozwiązać osobno.
3. Na koniec pozostaje tylko przeciąć rozwiązania tych dwóch niezależnych wyrażeń - i to wszystko, otrzymamy ostateczną odpowiedź.

Podobny algorytm istnieje dla nierówności następny typ, gdy moduł jest większy od funkcji. Jest jednak kilka poważnych „ale”. Porozmawiamy teraz o tych „ale”.

2. Nierówności postaci „Moduł jest większy od funkcji”

Wyglądają tak:

\[\lewo| f\racja| \gtg\]

Podobny do poprzedniego? Wydaje się. A jednak takie problemy rozwiązuje się w zupełnie inny sposób. Formalnie schemat wygląda następująco:

\[\lewo| f\racja| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Innymi słowy, rozważymy dwa przypadki:

1. Najpierw po prostu ignorujemy moduł i rozwiązujemy zwykłą nierówność;
2. Następnie w zasadzie rozszerzamy moduł o znak minus, a następnie mnożymy obie strony nierówności przez -1, dopóki mam znak.

W tym przypadku opcje łączone są nawiasem kwadratowym, tj. Mamy przed sobą kombinację dwóch wymagań.

Proszę jeszcze raz zwrócić uwagę: nie jest to system, ale całość w odpowiedzi zbiory są łączone, a nie przecinane. Jest to zasadnicza różnica w stosunku do poprzedniego punktu!

Ogólnie rzecz biorąc, wielu uczniów jest całkowicie zdezorientowanych związkami i skrzyżowaniami, więc rozwiążmy tę kwestię raz na zawsze:

• „∪” to znak unii. Zasadniczo jest to stylizowana litera „U”, która do nas przyszła po angielsku i jest skrótem od „Unia”, tj. "Wspomnienia".
• „∩” to znak skrzyżowania. To badziewie nie wzięło się skądkolwiek, a po prostu pojawiło się jako kontrapunkt do „∪”.

Aby było jeszcze łatwiej zapamiętać, po prostu przyciągnij nogi do tych znaków, aby zrobić okulary (tylko nie oskarżaj mnie teraz o promowanie narkomanii i alkoholizmu: jeśli poważnie studiujesz tę lekcję, to już jesteś narkomanem):

W tłumaczeniu na język rosyjski oznacza to, co następuje: związek (całość) obejmuje elementy z obu zbiorów, zatem nie jest w żaden sposób mniejszy od każdego z nich; ale przecięcie (system) obejmuje tylko te elementy, które znajdują się jednocześnie w pierwszym i drugim zbiorze. Dlatego przecięcie zbiorów nigdy nie jest większe niż zbiory źródłowe.

Więc stało się jaśniejsze? To wspaniale. Przejdźmy do ćwiczeń.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| 3x+1 \prawo| \gt 5-4x\]

Rozwiązanie. Postępujemy według schematu:

\[\lewo| 3x+1 \prawo| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Prawidłowy.\]

Rozwiązujemy każdą nierówność w populacji:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Każdy wynikowy zbiór zaznaczamy na osi liczbowej, a następnie łączymy je:

Suma zbiorów

Jest całkiem oczywiste, że odpowiedzią będzie $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Odpowiedź: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \prawo| \gt x\]

Rozwiązanie. Dobrze? Nic – wszystko jest takie samo. Przechodzimy od nierówności z modułem do zbioru dwóch nierówności:

\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \prawo| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Rozwiązujemy każdą nierówność. Niestety korzenie nie będą zbyt dobre:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Druga nierówność jest również nieco szalona:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Teraz musisz zaznaczyć te liczby na dwóch osiach - po jednej osi dla każdej nierówności. Należy jednak zaznaczyć punkty we właściwej kolejności: im większa liczba, tym bardziej punkt przesuwa się w prawo.

I tutaj czeka na nas konfiguracja. Jeśli wszystko jest jasne z liczbami $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (wyrazy w liczniku pierwszego ułamek jest mniejszy niż wyrazy w liczniku sekundy, więc suma jest również mniejsza), przy liczbach $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ również nie będzie żadnych trudności (liczba dodatnia oczywiście bardziej ujemna), wtedy z ostatnią parą wszystko nie jest już takie jasne. Co jest większe: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ czy $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Od odpowiedzi na to pytanie zależeć będzie rozmieszczenie punktów na osiach liczbowych i tak naprawdę odpowiedź.

Porównajmy więc:

\[\begin(macierz) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(macierz)\]

Wyodrębniliśmy pierwiastek, otrzymaliśmy liczby nieujemne po obu stronach nierówności, więc mamy prawo podnieść obie strony do kwadratu:

\[\begin(macierz) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(macierz)\]

Myślę, że to oczywiste, że $4\sqrt(13) \gt 3$, więc $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, końcowe punkty na osiach zostaną umieszczone w następujący sposób:

Sprawa brzydkich korzeni

Przypomnę, że rozwiązujemy kolekcję, więc odpowiedzią będzie suma, a nie przecięcie zacieniowanych zbiorów.

Odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Jak widać, nasz schemat sprawdza się doskonale w obu przypadkach proste zadania i dla bardzo trudnych. Jedyną rzeczą " słabość„W tym podejściu trzeba kompetentnie porównywać liczby niewymierne (i uwierzcie mi: to nie tylko pierwiastki). Ale osobna (i bardzo poważna) lekcja zostanie poświęcona zagadnieniom porównawczym. I ruszamy dalej.

3. Nierówności z nieujemnymi „ogonami”

Teraz dochodzimy do najciekawszej części. Są to nierówności postaci:

\[\lewo| f\racja| \gt\lewo| g\prawo|\]

Ogólnie rzecz biorąc, algorytm, o którym teraz będziemy mówić, jest poprawny tylko dla modułu. Działa to we wszystkich nierównościach, w których po lewej i prawej stronie są gwarantowane wyrażenia nieujemne:

Co zrobić z tymi zadaniami? Tylko pamiętaj:

W nierównościach z nieujemnymi „ogonami” obie strony można podnieść do dowolnej potęgi naturalnej. Nie będzie żadnych dodatkowych ograniczeń.

Przede wszystkim będziemy zainteresowani kwadraturą - spala moduły i korzenie:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\lewo(\sqrt(f) \prawo))^(2))=f. \\\end(align)\]

Tylko nie myl tego z pierwiastkiem kwadratu:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\lewo| f \right|\ne f\]

Gdy student zapomniał zainstalować moduł, popełniono niezliczoną ilość błędów! Ale to zupełnie inna historia (to jest jak irracjonalne równania), więc nie będziemy się tym teraz zajmować. Rozwiążmy lepiej kilka problemów:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| x+2 \prawo|\ge \lewo| 1-2x \prawo|\]

Rozwiązanie. Zauważmy od razu dwie rzeczy:

1. To nie jest ścisła nierówność. Punkty na osi liczbowej zostaną przebite.
2. Obie strony nierówności są oczywiście nieujemne (jest to właściwość modułu: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Dlatego możemy podnieść obie strony nierówności, aby pozbyć się modułu i rozwiązać problem, stosując zwykłą metodę przedziałową:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

W ostatnim kroku trochę oszukałem: zmieniłem kolejność wyrazów, wykorzystując równość modułu (właściwie pomnożyłem wyrażenie $1-2x$ przez -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ prawo)\prawo)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Rozwiązujemy metodą przedziałową. Przejdźmy od nierówności do równania:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Zaznaczamy znalezione korzenie na osi liczbowej. Jeszcze raz: wszystkie punkty są zacienione, ponieważ pierwotna nierówność nie jest ścisła!

Pozbycie się znaku modułu

Szczególnie upartym przypomnę: bierzemy znaki z ostatniej nierówności, którą zapisano przed przejściem do równania. I zamalowujemy obszary wymagane w tej samej nierówności. W naszym przypadku jest to $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, wszystko już skończone. Problem jest rozwiązany.

Odpowiedź: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| ((x)^(2))+x+1 \prawo|\le \lewo| ((x)^(2))+3x+4 \prawo|\]

Rozwiązanie. Robimy wszystko tak samo. Nie będę komentował - spójrzcie tylko na kolejność działań.

Kwadrat:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left |. ((x)^(2))+3x+4 \prawo| \prawo))^(2)); \\ & ((\lewy(((x)^(2))+x+1 \prawy))^(2))\le ((\lewy(((x)^(2))+3x+4 \prawo))^(2)); \\ & ((\lewy(((x)^(2))+x+1 \prawy))^(2))-((\lewy(((x)^(2))+3x+4 \ prawo))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda interwałowa:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Strzałka w prawo x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Strzałka w prawo D=16-40 \lt 0\Strzałka w prawo \varnic . \\\end(align)\]

Na osi liczbowej jest tylko jeden pierwiastek:

Odpowiedź to cały przedział

Odpowiedź: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Mała uwaga odnośnie ostatniego zadania. Jak trafnie zauważył jeden z moich uczniów, oba wyrażenia submodularne w tej nierówności są oczywiście dodatnie, więc znak modułu można pominąć bez szkody dla zdrowia.

Ale to zupełnie inny poziom myślenia i inne podejście - warunkowo można to nazwać metodą konsekwencji. O tym - w osobnej lekcji. Przejdźmy teraz do ostatniej części dzisiejszej lekcji i przyjrzyjmy się uniwersalnemu algorytmowi, który zawsze działa. Nawet wtedy, gdy wszystkie dotychczasowe podejścia były bezsilne :)

4. Sposób wyliczania opcji

A co jeśli wszystkie te techniki nie pomogą? Jeśli nierówności nie można sprowadzić do nieujemnych ogonów, jeśli nie da się wyizolować modułu, jeśli w ogóle jest ból, smutek, melancholia?

Wtedy na scenę wkracza „ciężka artyleria” całej matematyki – metoda brutalnej siły. W odniesieniu do nierówności z modułem wygląda to następująco:

1. Wypisz wszystkie wyrażenia submodularne i ustaw je na zero;
2. Rozwiąż powstałe równania i zaznacz pierwiastki znalezione na jednej osi liczbowej;
3. Linia prosta zostanie podzielona na kilka odcinków, w obrębie których każdy moduł ma stały znak i dlatego jest jednoznacznie ujawniany;
4. Rozwiąż nierówność na każdym takim odcinku (możesz oddzielnie rozważyć pierwiastki-granice uzyskane w kroku 2 - dla niezawodności). Połącz wyniki - to będzie odpowiedź :)

Więc jak? Słaby? Łatwo! Tylko przez długi czas. Zobaczmy w praktyce:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| x+2 \prawo| \lt \lewo| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Rozwiązanie. Te bzdury nie sprowadzają się do nierówności typu $\left| f\racja| \lt g$, $\lewo| f\racja| \gt g$ lub $\left| f\racja| \lt \lewo| g \right|$, więc działamy dalej.

Zapisujemy wyrażenia submodularne, przyrównujemy je do zera i znajdujemy pierwiastki:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Strzałka w prawo x=1. \\\end(align)\]

W sumie mamy dwa pierwiastki, które dzielą oś liczbową na trzy sekcje, w ramach których każdy moduł ujawnia się jednoznacznie:

Dzielenie osi liczbowej przez zera funkcji submodularnych

Przyjrzyjmy się każdej sekcji osobno.

1. Niech $x \lt -2$. Wtedy oba wyrażenia submodularne są ujemne, a pierwotna nierówność zostanie przepisana w następujący sposób:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Mamy dość proste ograniczenie. Przetnijmy to z początkowym założeniem, że $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Oczywiście zmienna $x$ nie może być jednocześnie mniejsza niż -2 i większa niż 1,5. W tym obszarze nie ma rozwiązań.

1.1. Rozważmy osobno przypadek graniczny: $x=-2$. Podstawmy tę liczbę do pierwotnej nierówności i sprawdźmy: czy to prawda?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \lewo| -3\prawo|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnic . \\\end(align)\]

Jest oczywiste, że ciąg obliczeń doprowadził nas do błędnej nierówności. Dlatego pierwotna nierówność jest również fałszywa i odpowiedź nie uwzględnia $x=-2$.

2. Niech teraz $-2 \lt x \lt 1$. Lewy moduł otworzy się już z „plusem”, ale prawy nadal będzie się otwierał z „minusem”. Mamy:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Ponownie przecinamy się z pierwotnym wymaganiem:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

I znowu zbiór rozwiązań jest pusty, ponieważ nie ma liczb mniejszych niż -2,5 i większych niż -2.

2.1. I jeszcze raz szczególny przypadek: $x = 1 $. Podstawiamy do pierwotnej nierówności:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \w lewo| 3\prawo| \lt \lewo| 0\prawo|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Strzałka w prawo \varnic . \\\end(align)\]

Podobnie jak w poprzednim „przypadku specjalnym”, liczba $x=1$ wyraźnie nie została uwzględniona w odpowiedzi.

3. Ostatni element linii: $x \gt 1$. Tutaj wszystkie moduły są otwierane ze znakiem plus:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

I znowu przecinamy znaleziony zbiór z pierwotnym ograniczeniem:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Wreszcie! Znaleźliśmy przedział, który będzie odpowiedzią.

Odpowiedź: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Na koniec jedna uwaga, która może uchronić Cię przed głupimi błędami przy rozwiązywaniu realnych problemów:

Rozwiązania nierówności z modułami zwykle reprezentują zbiory ciągłe na osi liczbowej - przedziały i odcinki. Odizolowane punkty są znacznie mniej powszechne. Jeszcze rzadziej zdarza się, że granica rozwiązania (koniec odcinka) pokrywa się z granicą rozpatrywanego zakresu.

W rezultacie, jeśli w odpowiedzi nie uwzględniono granic (tych samych „przypadków specjalnych”), wówczas obszary po lewej i prawej stronie tych granic prawie na pewno nie zostaną uwzględnione w odpowiedzi. I odwrotnie: granica weszła w odpowiedź, co oznacza, że ​​niektóre obszary wokół niej również będą odpowiedziami.

Pamiętaj o tym, przeglądając swoje rozwiązania.

Matematyka jest symbolem mądrości nauki,

model naukowej dyscypliny i prostoty,

standard doskonałości i piękna w nauce.

Rosyjski filozof, profesor A.V. Wołoszynow

Nierówności z modułem

Najtrudniejszymi problemami do rozwiązania w matematyce szkolnej są nierówności, zawierające zmienne pod znakiem modułu. Aby skutecznie rozwiązać takie nierówności, trzeba mieć dobrą wiedzę na temat właściwości modułu i umieć je wykorzystać.

Podstawowe pojęcia i właściwości

Moduł (wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej oznaczony przez i jest zdefiniowany w następujący sposób:

Do prostych właściwości modułu zaliczają się następujące zależności:

I .

Notatka, że dwie ostatnie właściwości obowiązują dla dowolnego parzystego stopnia.

Co więcej, jeśli, gdzie, to i

Bardziej złożone właściwości modułu, które można skutecznie wykorzystać przy rozwiązywaniu równań i nierówności za pomocą modułów, formułuje się za pomocą następujących twierdzeń:

Twierdzenie 1.Dla dowolnych funkcji analitycznych I nierówność jest prawdziwa.

Twierdzenie 2. Równość równoznaczne z nierównością.

Twierdzenie 3. Równość równoznaczne z nierównością.

Najczęstsze nierówności w matematyce szkolnej, zawierające nieznane zmienne pod znakiem modułu, są nierównościami postaci i gdzie jakąś dodatnią stałą.

Twierdzenie 4. Nierówność równoważne podwójnej nierówności, i rozwiązanie nierównościsprowadza się do rozwiązania zbioru nierówności I .

Twierdzenie to jest szczególnym przypadkiem twierdzeń 6 i 7.

Bardziej złożone nierówności, zawierające moduł są nierównościami postaci, I .

Metody rozwiązywania takich nierówności można sformułować, korzystając z trzech poniższych twierdzeń.

Twierdzenie 5. Nierówność jest równoważne połączeniu dwóch systemów nierówności

ja (1)

Dowód. Od tego czasu

Oznacza to ważność (1).

Twierdzenie 6. Nierówność jest równoważny układowi nierówności

Dowód. Ponieważ , następnie z nierówności wynika z tego . Pod tym warunkiem nierównośćiw tym przypadku drugi układ nierówności (1) okaże się niespójny.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 7. Nierówność jest równoważne połączeniu jednej nierówności i dwóch systemów nierówności

ja (3)

Dowód. Ponieważ , to nierówność zawsze wykonywane, Jeśli .

Pozwalać , następnie nierównośćbędzie równoważne nierówności, z czego wynika zbiór dwóch nierówności I .

Twierdzenie zostało udowodnione.

Rozważmy typowe przykłady rozwiązywanie problemów na temat „Nierówności, zawierające zmienne pod znakiem modułu.”

Rozwiązywanie nierówności modułem

Bardzo prosta metoda Metodą jest rozwiązywanie nierówności za pomocą modułu, w oparciu o rozbudowę modułów. Ta metoda jest uniwersalna, jednakże w ogólnym przypadku jego użycie może prowadzić do bardzo uciążliwych obliczeń. Dlatego też uczniowie powinni znać inne (bardziej skuteczne) metody i techniki rozwiązywania takich nierówności. W szczególności, konieczna jest umiejętność stosowania twierdzeń, podane w tym artykule.

Przykład 1.Rozwiąż nierówność

. (4)

Rozwiązanie.Nierówność (4) rozwiążemy metodą „klasyczną” – metodą odkrywania modułów. W tym celu dzielimy oś liczbową kropki i na przedziały i rozważ trzy przypadki.

1. Jeśli , to , , i nierówność (4) przyjmuje postać Lub .

Ponieważ przypadek ten jest tutaj rozpatrywany, jest to rozwiązanie nierówności (4).

2. Jeśli następnie z nierówności (4) otrzymujemy Lub . Od przecięcia przedziałów I jest pusty, wówczas na przedziale rozważanych rozwiązań nie ma nierówności (4).

3. Jeśli wówczas nierówność (4) przyjmuje postać Lub . To oczywiste jest również rozwiązaniem nierówności (4).

Odpowiedź: , .

Przykład 2. Rozwiąż nierówność.

Rozwiązanie. Załóżmy, że. Ponieważ , wówczas dana nierówność przyjmuje postać Lub . Od tego czasu i stąd wynika Lub .

Jednak zatem lub.

Przykład 3. Rozwiąż nierówność

. (5)

Rozwiązanie. Ponieważ , wówczas nierówność (5) jest równoważna nierównościom Lub . Stąd, zgodnie z Twierdzeniem 4, mamy zbiór nierówności I .

Odpowiedź: , .

Przykład 4.Rozwiąż nierówność

. (6)

Rozwiązanie. Oznaczmy . Następnie z nierówności (6) otrzymujemy nierówności , lub .

Stąd, stosując metodę interwałową, otrzymujemy. Ponieważ , wtedy mamy tutaj system nierówności

Rozwiązaniem pierwszej nierówności układu (7) jest suma dwóch przedziałów I , a rozwiązaniem drugiej nierówności jest nierówność podwójna. Oznacza to, że rozwiązaniem układu nierówności (7) jest suma dwóch przedziałów I .

Odpowiedź: ,

Przykład 5.Rozwiąż nierówność

. (8)

Rozwiązanie. Przekształćmy nierówność (8) w następujący sposób:

Lub .

Stosowanie metody interwałowej, otrzymujemy rozwiązanie nierówności (8).

Odpowiedź: .

Notatka. Jeśli wstawimy i w warunkach Twierdzenia 5, otrzymamy .

Przykład 6. Rozwiąż nierówność

. (9)

Rozwiązanie. Z nierówności (9) wynika. Przekształćmy nierówność (9) w następujący sposób:

Lub

Ponieważ , wtedy lub .

Odpowiedź: .

Przykład 7.Rozwiąż nierówność

. (10)

Rozwiązanie. Od i , następnie lub .

Pod tym względem oraz nierówność (10) przyjmuje postać

Lub

. (11)

Wynika z tego, że lub . Ponieważ , to nierówność (11) implikuje również lub .

Odpowiedź: .

Notatka. Jeśli zastosujemy Twierdzenie 1 do lewej strony nierówności (10), wtedy otrzymamy . Z tego i nierówności (10) wynika, co lub . Ponieważ , wówczas nierówność (10) przyjmuje postać Lub .

Przykład 8. Rozwiąż nierówność

. (12)

Rozwiązanie. Od tego czasu i z nierówności (12) wynika Lub . Jednak zatem lub. Stąd otrzymujemy lub .

Odpowiedź: .

Przykład 9. Rozwiąż nierówność

. (13)

Rozwiązanie. Zgodnie z Twierdzeniem 7 rozwiązaniem nierówności (13) jest lub .

Niech tak będzie teraz. W tym przypadku oraz nierówność (13) przyjmuje postać Lub .

Jeśli połączysz interwały I , wówczas otrzymujemy rozwiązanie nierówności (13) postaci.

Przykład 10. Rozwiąż nierówność

. (14)

Rozwiązanie. Zapiszmy nierówność (14) w równoważnej postaci: . Jeśli zastosujemy Twierdzenie 1 do lewej strony tej nierówności, otrzymamy nierówność .

Stąd i z twierdzenia 1 wynika, że nierówność (14) jest spełniona dla dowolnych wartości.

Odpowiedź: dowolna liczba.

Przykład 11. Rozwiąż nierówność

. (15)

Rozwiązanie. Zastosowanie twierdzenia 1 do lewej strony nierówności (15), otrzymujemy . To i nierówność (15) dają równanie, który ma formę.

Zgodnie z twierdzeniem 3, równanie równoznaczne z nierównością. Stąd dostajemy.

Przykład 12.Rozwiąż nierówność

. (16)

Rozwiązanie. Z nierówności (16) zgodnie z Twierdzeniem 4 otrzymujemy układ nierówności

Podczas rozwiązywania nierównościSkorzystajmy z Twierdzenia 6 i otrzymajmy układ nierównościz czego wynika.

Rozważ nierówność. Zgodnie z twierdzeniem 7, otrzymujemy zbiór nierówności I . Druga nierówność populacji jest ważna dla dowolnej liczby rzeczywistej.

Stąd , rozwiązaniem nierówności (16) jest.

Przykład 13.Rozwiąż nierówność

. (17)

Rozwiązanie. Zgodnie z Twierdzeniem 1 możemy pisać

(18)

Uwzględniając nierówność (17) wnioskujemy, że obie nierówności (18) przekształcają się w równość, tj. istnieje układ równań

Według twierdzenia 3 ten system równania są równoważne układowi nierówności

Lub

Przykład 14.Rozwiąż nierówność

. (19)

Rozwiązanie. Od tego czasu. Pomnóżmy obie strony nierówności (19) przez wyrażenie , które dla dowolnych wartości przyjmuje tylko wartości dodatnie. Otrzymujemy wówczas nierówność równoważną nierówności (19) postaci

Stąd dostajemy lub, gdzie. Od i wówczas rozwiązaniem nierówności (19) jest: I .

Odpowiedź: , .

Aby uzyskać bardziej szczegółowe przestudiowanie metod rozwiązywania nierówności za pomocą modułu, zalecamy skorzystanie z podręczników, podane w wykazie zalecanej literatury.

1. Zbiór problemów z matematyki dla kandydatów na studia / wyd. MI. Scanavi. – M.: Pokój i edukacja, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół średnich: metody rozwiązywania i udowadniania nierówności. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 s.

3. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół średnich: metody niestandardowe rozwiązywanie problemów. – M.: CD „Librocom” / URSS, 2017. – 296 s.

Nadal masz pytania?

Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.