Definicija udaljenosti. Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni. Međusobni raspored linija. Ugao između linija

Oh-oh-oh-oh-oh ... pa, sitno je, kao da ste pročitali rečenicu u sebi =) Međutim, onda će opuštanje pomoći, pogotovo što sam danas kupio odgovarajući pribor. Stoga, pređimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.

Međusobni raspored dvije prave linije

Slučaj kada sala peva u horu. Dva reda mogu:

1) podudaranje;

2) biti paralelan: ;

3) ili se sijeku u jednoj tački: .

Pomoć za lutke : molimo zapamtite matematički znak raskrsnice, to će se javljati vrlo često. Unos znači da se prava siječe s pravom u tački.

Kako odrediti relativni položaj dvije linije?

Počnimo s prvim slučajem:

Dvije linije se poklapaju ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, odnosno postoji takav broj "lambda" da su jednakosti

Razmotrimo prave i sastavimo tri jednačine od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednačine slijedi da se, dakle, ove prave poklapaju.

Zaista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite sa -1 (promijenite predznake) i sve koeficijente jednačine smanjite za 2, dobit ćete istu jednačinu: .

Drugi slučaj kada su prave paralelne:

Dvije prave su paralelne ako i samo ako su njihovi koeficijenti na varijablama proporcionalni: , ali.

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, jasno je da .

I treći slučaj, kada se prave sijeku:

Dvije prave se sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, odnosno NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Dakle, za prave linije sastavit ćemo sistem:

Iz prve jednadžbe slijedi da , a iz druge jednadžbe: , dakle, sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti na varijablama nisu proporcionalni.

Zaključak: prave se sijeku

U praktičnim problemima može se koristiti upravo razmatrana šema rješenja. Inače, vrlo je sličan algoritmu za provjeru kolinearnosti vektora, koji smo razmatrali u lekciji. Koncept linearne (ne)zavisnosti vektora. Vektorska osnova. Ali postoji civilizovaniji paket:

Primjer 1

Saznajte relativni položaj linija:

Odluka na osnovu proučavanja usmjeravajućih vektora pravih linija:

a) Iz jednadžbi nalazimo vektore pravca linija: .

, tako da vektori nisu kolinearni i prave se sijeku.

Za svaki slucaj stavicu kamen sa pokazivacima na raskrsnicu:

Ostali skaču preko kamena i slijede, pravo do Kaščeja besmrtnog =)

b) Pronađite vektore pravca pravih:

Prave imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelne ili iste. Ovdje determinanta nije potrebna.

Očigledno, koeficijenti nepoznanica su proporcionalni, dok .

Hajde da saznamo da li je jednakost tačna:

dakle,

c) Pronađite vektore pravca pravih:

Izračunajmo determinantu, sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, dakle, vektori smjera su kolinearni. Prave su ili paralelne ili se poklapaju.

Faktor proporcionalnosti "lambda" je lako vidjeti direktno iz omjera vektora kolinearnog smjera. Međutim, može se naći i kroz koeficijente samih jednačina: .

Sada hajde da saznamo da li je ta jednakost tačna. Oba slobodna člana su nula, dakle:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednačinu(općenito odgovara svakom broju).

Dakle, linije se poklapaju.

Odgovori:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste već naučili) rješavati razmatrani problem usmeno doslovno u nekoliko sekundi. S tim u vezi, ne vidim razlog da se bilo šta nudi nezavisna odluka, bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako nacrtati pravu paralelnu sa datom?

Zbog neznanja o ovome najjednostavniji zadatak strogo kažnjava Slavuja razbojnika.

Primjer 2

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za paralelnu pravu koja prolazi kroz tačku.

Odluka: Označite nepoznatu liniju slovom. Šta stanje govori o tome? Prava prolazi kroz tačku. A ako su prave paralelne, onda je očito da je usmjeravajući vektor prave "ce" također pogodan za konstruiranje prave "te".

Izvlačimo vektor smjera iz jednačine:

Odgovori:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitička verifikacija se sastoji od sljedećih koraka:

1) Provjeravamo da li prave imaju isti vektor smjera (ako jednačina prave nije pravilno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

Analitičku provjeru u većini slučajeva je lako izvesti usmeno. Pogledajte dvije jednačine i mnogi od vas će brzo shvatiti kako su linije paralelne bez ikakvog crteža.

Primjeri za samostalno rješavanje danas će biti kreativni. Jer još uvijek morate da se takmičite sa Baba Yagom, a ona je, znate, ljubitelj svih vrsta zagonetki.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za pravu koja prolazi kroz tačku paralelnu sa pravom if

Postoji racionalno i ne tako racionalan način rješenja. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili sa paralelnim linijama i vratit ćemo se na njih kasnije. Slučaj poklapanja linija je malo zanimljiv, pa razmotrite problem koji vam je dobro poznat školski program:

Kako pronaći tačku preseka dve prave?

Ako je ravno seku u tački , tada su njene koordinate rješenje sistemi linearnih jednačina

Kako pronaći tačku preseka linija? Riješite sistem.

Za tebe geometrijsko značenje dva linearne jednačine sa dve nepoznate su dvije koje se ukrštaju (najčešće) prave na ravni.

Primjer 4

Pronađite tačku preseka pravih

Odluka: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafički način je da jednostavno nacrtate date linije i saznate tačku presjeka direktno sa crteža:

Evo naše poente: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu prave linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate tačke su rješenje sistema . U stvari, razmatrali smo grafički način rješavanja sistemi linearnih jednačina sa dvije jednačine, dvije nepoznate.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali postoje uočljivi nedostaci. Ne, nije poenta u tome da sedmaci odlučuju na ovaj način, stvar je u tome da će trebati vremena da se napravi tačan i TAČAN crtež. Osim toga, neke linije nije tako lako konstruirati, a sama tačka presjeka može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista sveske.

Stoga je svrsishodnije tražiti točku presjeka analitičkom metodom. Rešimo sistem:

Za rješavanje sistema korištena je metoda terminskog sabiranja jednačina. Da biste razvili relevantne vještine, posjetite lekciju Kako riješiti sistem jednačina?

Odgovori:

Provera je trivijalna - koordinate tačke preseka moraju da zadovolje svaku jednačinu sistema.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravih ako se sijeku.

Ovo je "uradi sam" primjer. Pogodno je podijeliti problem u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napišite jednačinu prave linije.
2) Napišite jednačinu prave.
3) Saznajte relativni položaj linija.
4) Ako se prave seku, onda pronađite tačku preseka.

Razvoj algoritma akcija tipičan je za mnoge geometrijske probleme, a ja ću se više puta fokusirati na to.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju tutorijala:

Par cipela još nije iznošen, jer smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od tačke do prave.
Ugao između linija

Počnimo s tipičnim i vrlo važan zadatak. U prvom dijelu naučili smo kako da napravimo pravu liniju paralelnu sa datom, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stepeni:

Kako nacrtati pravu okomitu na datu?

Primjer 6

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za okomitu pravu koja prolazi kroz tačku.

Odluka: Poznato je po pretpostavci da . Bilo bi lijepo pronaći vektor smjera prave linije. Budući da su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednačine „uklanjamo“ vektor normale: , koji će biti usmjeravajući vektor prave linije.

Sastavljamo jednadžbu prave linije po tački i usmjeravajući vektor:

Odgovori:

Rasklopimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narandžasto nebo, narandžasto more, narandžasta kamila.

Analitička verifikacija rješenja:

1) Izdvojite vektore smjera iz jednačina i uz pomoć tačkasti proizvod vektora zaključujemo da su prave zaista okomite: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, još je lakše.

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu .

Provjeru je, opet, lako izvesti usmeno.

Primjer 7

Pronađite tačku presjeka okomitih linija, ako je jednadžba poznata i tačka.

Ovo je "uradi sam" primjer. U zadatku postoji nekoliko radnji, pa je zgodno rasporediti rješenje tačku po tačku.

Je li naš zabavno putovanje nastavlja:

Udaljenost od tačke do linije

Pred nama je prava traka rijeke i naš zadatak je da do nje stignemo najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalnija ruta će biti kretanje duž okomice. Odnosno, udaljenost od tačke do prave je dužina okomitog segmenta.

Udaljenost u geometriji tradicionalno se označava grčkim slovom "ro", na primjer: - udaljenost od tačke "em" do prave linije "de".

Udaljenost od tačke do linije izražava se formulom

Primjer 8

Pronađite udaljenost od tačke do prave

Odluka: sve što trebate je da pažljivo zamijenite brojeve u formulu i izvršite izračune:

Odgovori:

Izradimo crtež:

Udaljenost pronađena od tačke do prave je tačno dužina crvenog segmenta. Ako napravite crtež na kariranom papiru u mjerilu od 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrite još jedan zadatak prema istom crtežu:

Zadatak je pronaći koordinate tačke , koja je simetrična tački u odnosu na pravu . Predlažem da sami izvršite radnje, međutim, iznijet ću algoritam rješenja sa srednjim rezultatima:

1) Pronađite pravu koja je okomita na pravu.

2) Pronađite tačku preseka pravih: .

Obje akcije su detaljno razmotrene u ovoj lekciji.

3) Tačka je sredina segmenta. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. By formule za koordinate sredine segmenta naći .

Neće biti suvišno provjeriti je li udaljenost također jednaka 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u proračunima, ali u tornju mikrokalkulator puno pomaže, omogućavajući vam da brojite obični razlomci. Više puta savjetovali i preporučit ću ponovo.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne prave?

Primjer 9

Nađite razmak između dvije paralelne prave

Ovo je još jedan primjer za nezavisno rješenje. Mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina za rješavanje. Razmatranje na kraju lekcije, ali bolje pokušajte sami da pogodite, mislim da je vaša domišljatost bila dobro raspršena.

Ugao između dvije linije

Koji god ugao, onda dovratak:


U geometriji se ugao između dvije prave uzima kao MANJI ugao, iz čega automatski slijedi da ne može biti tup. Na slici se ugao označen crvenim lukom ne smatra uglom između linija koje se seku. I njegov “zeleni” susjed ili suprotno orijentisan grimizni kutak.

Ako su linije okomite, tada se za ugao između njih može uzeti bilo koji od 4 ugla.

Kako se uglovi razlikuju? Orijentacija. Prvo, smjer "pomicanja" ugla je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani kut piše se sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da možete proći sa uobičajenim konceptom ugla. Činjenica je da se u formulama po kojima ćemo pronaći uglove lako dobiti negativan rezultat, a to vas ne bi trebalo iznenaditi. Ugao sa predznakom minus nije ništa lošiji i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativan ugao, neophodno je strelicom označiti njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu).

Kako pronaći ugao između dvije prave? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite ugao između linija

Odluka i Prvi metod

Razmotrimo dvije prave date jednadžbama u opštem obliku:

Ako je ravno nije okomito, onda orijentisan ugao između njih može se izračunati pomoću formule:

Obratite pažnju na imenilac - to je upravo tako skalarni proizvod vektori pravca pravih linija:

Ako je , tada nazivnik formule nestaje, a vektori će biti ortogonalni i linije će biti okomite. Zbog toga je stavljena rezerva na neupravnost linija u formulaciji.

Na osnovu prethodno navedenog, rješenje je prikladno formalizirano u dva koraka:

1) Izračunajte skalarni proizvod usmjeravajućih vektora pravih linija:
tako da linije nisu okomite.

2) Ugao između linija nalazimo po formuli:

Via inverzna funkcija lako pronaći sam ugao. U ovom slučaju koristimo neparnost tangente luka (vidi Sl. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovori:

U odgovoru naznačiti tačna vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti u stupnjevima i radijanima) izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa, minus, pa minus, u redu je. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće što se ugao pokazao negativno orijentisan, jer je u uslovu zadatka prvi broj prava linija i „uvijanje“ ugla je počelo upravo od nje.

Ako zaista želite da dobijete pozitivan ugao, trebate zamijeniti prave linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednačine , i uzeti koeficijente iz prve jednadžbe . Ukratko, morate početi s direktnim .

Ovaj članak govori o ovoj temi « udaljenost od tačke do linije », definicije udaljenosti od tačke do prave razmatraju se na ilustrovanim primjerima metodom koordinata. Svaki blok teorije na kraju je pokazao primjere rješavanja sličnih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Udaljenost od tačke do prave nalazi se određivanjem udaljenosti od tačke do tačke. Razmotrimo detaljnije.

Neka postoji prava a i tačka M 1 koja ne pripada datoj pravoj. Povucite liniju kroz nju koja je postavljena okomito na pravu a. Uzmite tačku preseka pravih kao H 1. Dobijamo da je M 1 H 1 okomica, koja je spuštena iz tačke M 1 na pravu a.

Definicija 1

Udaljenost od tačke M 1 do prave a naziva se rastojanje između tačaka M 1 i H 1 .

Postoje zapisi o definiciji sa figurom dužine okomice.

Definicija 2

Udaljenost od tačke do linije je dužina okomice povučene iz date tačke na datu pravu.

Definicije su ekvivalentne. Razmotrite sliku ispod.

Poznato je da je udaljenost od tačke do prave najmanja od svih mogućih. Pogledajmo ovo na primjeru.

Ako uzmemo tačku Q koja leži na pravoj a, a ne poklapa se sa tačkom M 1, onda dobijamo da se segment M 1 Q naziva kosim, spušten sa M 1 na pravu a. Potrebno je naznačiti da je okomica iz tačke M 1 manja od bilo koje druge kose povučene iz tačke na pravu.

Da bismo to dokazali, razmotrimo trougao M 1 Q 1 H 1 , gdje je M 1 Q 1 hipotenuza. Poznato je da je njegova dužina uvijek veća od dužine bilo koje noge. Dakle, imamo da je M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Početni podaci za pronalaženje od tačke do prave omogućavaju korištenje nekoliko metoda rješenja: kroz Pitagorinu teoremu, definicije sinusa, kosinusa, tangenta ugla i dr. Većina zadataka ovog tipa rješava se u školi na časovima geometrije.

Kada je pri pronalaženju udaljenosti od tačke do prave moguće uneti pravougaoni koordinatni sistem, tada se koristi koordinatni metod. U ovom odlomku razmatramo dvije glavne metode za pronalaženje željene udaljenosti od dati poen.

Prva metoda uključuje pronalaženje udaljenosti kao okomice povučene iz M 1 na pravu a. Druga metoda koristi normalnu jednadžbu prave a za pronalaženje tražene udaljenosti.

Ako na ravni postoji tačka sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) koja se nalazi u pravougaonom koordinatnom sistemu, pravoj liniji a, i treba da pronađete rastojanje M 1 H 1, možete izračunati na dva načina. Hajde da ih razmotrimo.

Prvi način

Ako postoje koordinate tačke H 1 jednake x 2, y 2, tada se udaljenost od tačke do prave izračunava iz koordinata iz formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Pređimo sada na pronalaženje koordinata tačke H 1.

Poznato je da prava linija u O x y odgovara jednačini prave linije u ravni. Hajdemo na način da specificiramo pravu liniju a kroz pisanje opšte jednačine prave ili jednačine sa nagibom. Sastavljamo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku M 1 okomito na datu pravu a. Označimo liniju sa bukva b . H 1 je tačka presjeka pravih a i b, tako da da biste odredili koordinate, morate koristiti članak u kojem u pitanju na koordinatama tačaka preseka dve prave.

Vidi se da se algoritam za pronalaženje udaljenosti od date tačke M 1 (x 1, y 1) do prave a izvodi prema tačkama:

Definicija 3

• pronalaženje opće jednadžbe prave a, koja ima oblik A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, ili jednadžbe s koeficijentom nagiba, koja ima oblik y = k 1 x + b 1;
• dobivanje opće jednadžbe prave b, koja ima oblik A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ili jednadžbe s nagibom y = k 2 x + b 2 ako pravac b siječe tačku M 1 i okomita je na datu pravu a;
• određivanjem koordinata x 2, y 2 tačke H 1, koja je tačka preseka a i b, za to se rešava sistem linearnih jednačina A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ili y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• izračunavanje potrebne udaljenosti od tačke do prave, koristeći formulu M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Drugi način

Teorema može pomoći u odgovoru na pitanje pronalaženja udaljenosti od date tačke do date prave na ravni.

Teorema

Pravougaoni koordinatni sistem ima O x y ima tačku M 1 (x 1, y 1), iz koje je povučena prava linija a na ravan, datu normalnom jednačinom ravni, koja ima oblik cos α x + cos β y - p = 0, jednako modulu vrijednosti dobivene na lijevoj strani jednadžbe normalne prave linije, izračunate na x = x 1, y = y 1, znači da je M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Dokaz

Prava a odgovara normalnoj jednačini ravni, koja ima oblik cos α x + cos β y - p = 0, tada se n → = (cos α , cos β) smatra normalnim vektorom prave a na a udaljenost od početka do prave a sa p jedinicama . Potrebno je prikazati sve podatke na slici, dodati tačku sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) , gdje je radijus vektor tačke M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Od tačke do prave je potrebno povući pravu liniju koju ćemo označiti sa M 1 H 1 . Potrebno je prikazati projekcije M 2 i H 2 tačaka M 1 i H 2 na pravu koja prolazi kroz tačku O sa usmjeravajućim vektorom oblika n → = (cos α , cos β) , a označavamo numerička projekcija vektora kao O M 1 → = (x 1 , y 1) na pravac n → = (cos α , cos β) kao n p n → O M 1 → .

Varijacije zavise od lokacije same tačke M 1. Razmotrite sliku ispod.

Rezultate fiksiramo pomoću formule M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Zatim donosimo jednakost u ovaj oblik M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p da bismo dobili n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Skalarni proizvod vektora rezultira transformiranom formulom oblika n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , što je proizvod u koordinatnom obliku oblik n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Dakle, dobijamo da je n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Iz toga slijedi da je M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Teorema je dokazana.

Dobijamo da se za pronalaženje udaljenosti od tačke M 1 (x 1, y 1) do prave linije a na ravni mora izvršiti nekoliko radnji:

Definicija 4

• dobijanje normalne jednačine prave a cos α · x + cos β · y - p = 0, pod uslovom da nije u zadatku;
• izračunavanje izraza cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , pri čemu rezultirajuća vrijednost uzima M 1 H 1 .

Primijenimo ove metode za rješavanje problema s pronalaženjem udaljenosti od tačke do ravni.

Primjer 1

Nađi udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 1 , 2) do prave 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Odluka

Koristimo prvi metod za rješavanje.

Da biste to učinili, morate pronaći opću jednačinu prave b, koja prolazi kroz datu tačku M 1 (- 1 , 2) okomito na pravu 4 x - 3 y + 35 = 0. Iz uslova se vidi da je prava b okomita na pravu a, tada njen vektor pravca ima koordinate jednake (4, - 3) . Tako imamo priliku da napišemo kanonsku jednačinu prave b na ravni, pošto postoje koordinate tačke M 1, koja pripada pravoj b. Odredimo koordinate usmjeravajućeg vektora prave b . Dobijamo da je x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Rezultirajuća kanonska jednačina se mora pretvoriti u opštu. Onda to shvatamo

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Nađimo koordinate tačaka presjeka pravih koje ćemo uzeti kao oznaku H 1. Transformacije izgledaju ovako:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Iz navedenog imamo da su koordinate tačke H 1 (- 5; 5) .

Potrebno je izračunati udaljenost od tačke M 1 do prave a. Imamo da su koordinate tačaka M 1 (- 1, 2) i H 1 (- 5, 5), zatim ubacimo u formulu za pronalaženje udaljenosti i dobijemo da

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 \u003d 5

Drugo rješenje.

Za rješavanje na drugi način potrebno je dobiti normalnu jednačinu prave. Izračunavamo vrijednost faktora normalizacije i množimo obje strane jednačine 4 x - 3 y + 35 = 0 . Odavde dobijamo da je faktor normalizacije - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , a normalna jednačina će biti oblika - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Prema algoritmu proračuna, potrebno je dobiti normalnu jednačinu prave i izračunati je sa vrijednostima x = - 1 , y = 2 . Onda to shvatamo

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Odavde dobijamo da rastojanje od tačke M 1 (- 1 , 2) do date prave 4 x - 3 y + 35 = 0 ima vrednost - 5 = 5 .

odgovor: 5 .

Vidi se da u ovu metodu važno je koristiti normalnu jednačinu prave, jer je ova metoda najkraća. Ali prva metoda je zgodna po tome što je dosljedna i logična, iako ima više računskih bodova.

Primjer 2

Na ravni se nalazi pravougaoni koordinatni sistem O x y sa tačkom M 1 (8, 0) i pravom linijom y = 1 2 x + 1. Pronađite udaljenost od date tačke do prave linije.

Odluka

Rješenje na prvi način podrazumijeva redukciju date jednadžbe sa koeficijentom nagiba na jednačinu opšti pogled. Da pojednostavimo, možete to učiniti drugačije.

Ako proizvod nagiba okomitih linija ima vrijednost - 1, onda nagib prava okomita na dato y = 1 2 x + 1 ima vrijednost 2 . Sada dobijamo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku sa koordinatama M 1 (8, 0) . Imamo da je y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Nastavljamo s pronalaženjem koordinata tačke H 1, odnosno tačaka presjeka y = - 2 x + 16 i y = 1 2 x + 1. Sastavljamo sistem jednačina i dobijamo:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Iz toga slijedi da je udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (8 , 0) do prave y = 1 2 x + 1 jednaka udaljenosti od početne i krajnje tačke sa koordinatama M 1 (8 , 0) i H 1 (6 , 4) . Izračunajmo i dobijemo da je M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Rješenje na drugi način je prijeći iz jednačine s koeficijentom u njen normalni oblik. To jest, dobijamo y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, tada će vrijednost faktora normalizacije biti - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 . Slijedi da normalna jednačina prave linije ima oblik - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Izračunajmo od tačke M 1 8 , 0 do prave linije oblika - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Dobijamo:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

odgovor: 2 5 .

Primjer 3

Potrebno je izračunati rastojanje od tačke sa koordinatama M 1 (- 2 , 4) do pravih 2 x - 3 = 0 i y + 1 = 0 .

Odluka

Dobijamo jednačinu normalnog oblika prave linije 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Zatim prelazimo na izračunavanje udaljenosti od tačke M 1 - 2, 4 do prave linije x - 3 2 = 0 . Dobijamo:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Jednačina prave linije y + 1 = 0 ima faktor normalizacije sa vrijednošću -1. To znači da će jednačina imati oblik - y - 1 = 0 . Nastavljamo sa izračunavanjem udaljenosti od tačke M 1 (- 2 , 4) do prave linije - y - 1 = 0 . Dobijamo da je jednako - 4 - 1 = 5.

odgovor: 3 1 2 i 5 .

Pogledajmo bliže pronalaženje udaljenosti od date tačke ravni do koordinatne ose O x i O y.

U pravokutnom koordinatnom sistemu, os O y ima jednadžbu prave linije, koja je nepotpuna i ima oblik x = 0, a O x - y = 0. Jednačine su normalne za koordinatne ose, tada je potrebno pronaći rastojanje od tačke sa koordinatama M 1 x 1 , y 1 do pravih linija. Ovo se radi na osnovu formula M 1 H 1 = x 1 i M 1 H 1 = y 1 . Razmotrite sliku ispod.

Primjer 4

Pronađite udaljenost od tačke M 1 (6, - 7) do koordinatnih linija koje se nalaze u ravni O x y.

Odluka

Budući da se jednadžba y = 0 odnosi na liniju O x, možete pronaći udaljenost od M 1 sa datim koordinatama do ove linije pomoću formule. Dobijamo da je 6 = 6.

Budući da se jednadžba x \u003d 0 odnosi na liniju O y, možete pronaći udaljenost od M 1 do ove linije pomoću formule. Tada dobijamo da je - 7 = 7.

odgovor: udaljenost od M 1 do O x ima vrijednost 6, a od M 1 do O y vrijednost 7.

Kada u trodimenzionalnom prostoru imamo tačku sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1), potrebno je pronaći rastojanje od tačke A do prave a.

Razmotrite dva načina koji vam omogućavaju da izračunate udaljenost od tačke do prave linije a koja se nalazi u prostoru. Prvi slučaj razmatra rastojanje od tačke M 1 do prave, gde se tačka na pravoj naziva H 1 i osnova je okomice povučene iz tačke M 1 na pravu a. Drugi slučaj sugeriše da se tačke ove ravni moraju tražiti kao visina paralelograma.

Prvi način

Iz definicije imamo da je udaljenost od tačke M 1 koja se nalazi na pravoj a dužina okomice M 1 H 1, onda to dobijemo sa pronađenim koordinatama tačke H 1, zatim nalazimo udaljenost između M 1 (x 1, y 1, z 1 ) i H 1 (x 1, y 1, z 1) na osnovu formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Dobijamo da se cijelo rješenje svodi na pronalaženje koordinata osnove okomice povučene iz M 1 na pravu a. Ovo se radi na sledeći način: H 1 je tačka u kojoj se prava a seče sa ravni koja prolazi kroz datu tačku.

To znači da algoritam za određivanje udaljenosti od tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) do prave linije a prostora podrazumeva nekoliko tačaka:

Definicija 5

• sastavljanje jednačine ravnine χ kao jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomito na pravu;
• određivanje koordinata (x 2 , y 2 , z 2) koje pripadaju tački H 1 koja je tačka preseka prave a i ravni χ ;
• izračunavanje udaljenosti od tačke do prave pomoću formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Drugi način

Iz uslova imamo pravu a, tada možemo odrediti vektor pravca a → = a x, a y, a z sa koordinatama x 3, y 3, z 3 i određenom tačkom M 3 koja pripada pravoj a. S obzirom na koordinate tačaka M 1 (x 1 , y 1) i M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → može se izračunati:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Potrebno je odgoditi vektore a → \u003d a x, a y, a z i M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 iz tačke M 3, povezati i dobiti figura paralelograma. M 1 H 1 je visina paralelograma.

Razmotrite sliku ispod.

Imamo da je visina M 1 H 1 željeno rastojanje, onda je morate pronaći pomoću formule. Odnosno, tražimo M 1 H 1 .

Označite površinu paralelograma slovom S, nalazi se po formuli pomoću vektora a → = (a x , a y , a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Formula površine ima oblik S = a → × M 3 M 1 → . Također, površina figure jednaka je proizvodu dužina njegovih stranica i visine, dobijamo da je S = a → M 1 H 1 sa a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, što je dužina vektora a → \u003d (a x, a y, a z), koja je jednaka strani paralelograma. Dakle, M 1 H 1 je rastojanje od tačke do prave. Nalazi se po formuli M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Da biste pronašli udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do prave linije a u prostoru, potrebno je izvesti nekoliko tačaka algoritma:

Definicija 6

• određivanje vektora pravca a - a → = (a x , a y , a z) ;
• izračunavanje dužine vektora pravca a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• dobijanje koordinata x 3 , y 3 , z 3 koje pripadaju tački M 3 koja se nalazi na pravoj a;
• izračunavanje koordinata vektora M 3 M 1 → ;
• nalaz vektorski proizvod vektori a → (a x , a y , a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 kao a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 da se dobije dužina prema formuli a → × M 3 M 1 → ;
• izračunavanje udaljenosti od tačke do prave M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Rješavanje zadataka na pronalaženje udaljenosti od date tačke do date prave u prostoru

Primjer 5

Pronađite udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 2 , - 4 , - 1 do prave x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Odluka

Prva metoda počinje pisanjem jednačine ravnine χ koja prolazi kroz M 1 i okomita je na datu tačku. Dobijamo izraz kao:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Potrebno je pronaći koordinate tačke H 1, koja je tačka preseka sa ravni χ do prave linije zadate uslovom. Trebalo bi se preseliti iz kanonski oblik na onaj koji se ukršta. Tada dobijamo sistem jednačina oblika:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Potrebno je izračunati sistem x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Cramerovom metodom, onda dobijamo:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z - ∆ 60 = 0

Dakle, imamo da je H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Drugi metod se mora započeti traženjem koordinata u kanonskoj jednadžbi. Da biste to učinili, obratite pažnju na nazivnike razlomka. Tada je a → = 2 , - 1 , 5 vektor pravca x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Potrebno je izračunati dužinu koristeći formulu a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jasno je da prava x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 siječe tačku M 3 (- 1 , 0 , - 5), pa imamo da je vektor sa ishodištem M 3 (- 1 , 0 , - 5) i njegov kraj u tački M 1 2 , - 4 , - 1 je M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Naći vektorski proizvod a → = (2, - 1, 5) i M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Dobijamo izraz oblika a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

dobijamo da je dužina unakrsnog proizvoda a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Imamo sve podatke da koristimo formulu za izračunavanje udaljenosti od tačke za pravu liniju, pa je primijenimo i dobijemo:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

odgovor: 11 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Određivanje udaljenosti

Udaljenosti od tačke do tačke i od tačke do linije

Udaljenost od tačke do tačke je određen dužinom segmenta koji povezuje ove tačke. Kao što je gore prikazano, ovaj problem se može riješiti bilo metodom pravokutnog trougla ili zamjenom ravni projekcije pomicanjem segmenta na poziciju ravnine.

Udaljenost od tačke do linije mjereno segmentom okomice povučene od tačke do prave. Segment ove okomice prikazan je u punoj veličini na ravni projekcije ako je povučen na liniju projektovanja. Dakle, najprije se prava linija mora prebaciti u projekcijski položaj, a zatim na nju spustiti okomicu iz date tačke. Na sl. 1 prikazuje rješenje ovog problema. Za direktan prevod opšti položaj AB na poziciji direktnog nivoa potrošiti x14 IIA1 B1. Zatim se AB prebacuje u projekcijski položaj uvođenjem dodatne ravni projekcije P5, za koju se izvodi nova os projekcije x45 \ A4 B4.

Slika 1

Slično tačkama A i B, tačka M se projektuje na ravan projekcije P5.

Projekcija K5 osnove K okomice spuštene iz tačke M na pravu AB, na ravninu projekcije P5, poklopit će se sa odgovarajućim projekcijama tačaka

A i B. Projekcija M5 K5 okomice MK je prirodna vrijednost udaljenosti od tačke M do prave AB.

U sistemu projekcijskih ravnina P4 / P5, okomita MK će biti ravna linija, jer leži u ravni paralelnoj sa ravninom projekcija P5. Dakle, njegova projekcija M4 K4 na ravan P4 je paralelna sa x45 , tj. okomito na projekciju A4 B4. Ovi uslovi određuju položaj projekcije K4 osnove okomice K, koji se nalazi povlačenjem prave linije od M4 paralelno sa x45 dok se ne ukrsti sa projekcijom A4 B4. Preostale projekcije okomice nalaze se projektovanjem tačke K na ravan projekcija P1 i P2.

Udaljenost od tačke do ravni

Rješenje ovog problema je prikazano na sl. 2. Udaljenost od tačke M do ravni (ABC) mjeri se segmentom okomice spuštene iz tačke na ravan.

Slika 2

Pošto je okomita na ravan projekcije ravna linija, prevodimo u ovu poziciju dati avion, usled čega na novouvedenoj projekcijskoj ravni P4 dobijamo degenerisanu projekciju C4 B4 ravni ABC. Zatim projektiramo tačku M na P4. Prirodna vrijednost udaljenosti od tačke M do ravni određena je segmentom okomice

[MK]=[M4 K4]. Preostale projekcije okomice se konstruišu na isti način kao u prethodnom zadatku, tj. uzimajući u obzir činjenicu da je segment MK u sistemu projekcijskih ravnina P1 / P4 ravna linija i da je njegova projekcija M1 K1 paralelna sa osom

x14.

Udaljenost između dvije prave linije

Najkraća udaljenost između kosih linija mjeri se segmentom zajedničke okomice na njih, odsječenom ovim linijama. Problem se rješava izborom (kao rezultat dva uzastopne zamjene) ravan projekcije okomita na jednu od pravih koja se seku. U tom slučaju, željeni segment okomice bit će paralelan s odabranom ravninom projekcije i na njoj će biti prikazan bez izobličenja. Na sl. Na slici 3 prikazane su dvije prave koje se ukrštaju definisane segmentima AB i CD.

Slika 3

Prave se na početku projektuju na ravan projekcije P4, paralelno sa jednom (bilo kojom) od njih, na primjer, AB, i okomito na P1.

Na ravni projekcija P4, segment AB će biti prikazan bez izobličenja. Segmenti se zatim projektuju na novi avion P5 okomito na istu pravu AB i ravan P4. Na ravni projekcija P5, projekcija segmenta AB okomita na nju degeneriše se u tačku A5 =B5, a željena vrijednost N5 M5 segmenta NM je okomita na C5 D5 i prikazana je u punoj veličini. Koristeći odgovarajuće komunikacione linije, projekcije segmenta MN se grade na inicijal

crtanje. Kao što je ranije prikazano, projekcija N4 M4 željenog segmenta na ravan P4 je paralelna sa osom projekcija x45, budući da je to linija nivoa u sistemu projekcijskih ravni P4/P5.

Zadatak određivanja udaljenosti D između dvije paralelne prave AB do CD - poseban slučaj prethodni (sl. 4).

Slika 4

Dvostrukom zamjenom ravni projekcije, paralelne prave se prenose u položaj projekcije, zbog čega ćemo na ravni projekcije P5 imati dvije degenerirane projekcije A5 = B5 i C5 = D5 pravih AB i CD. Udaljenost između njih D će biti jednaka njegovoj prirodnoj vrijednosti.

Udaljenost od prave do ravni koja joj je paralelna mjeri se segmentom okomice ispuštenom iz bilo koje tačke na pravoj liniji na ravan. Dakle, dovoljno je ravan opšte pozicije transformisati u poziciju projektovane ravni, uzeti direktnu tačku, a rešenje zadatka će se svesti na određivanje udaljenosti od tačke do ravni.

Da bi se odredila udaljenost između paralelnih ravnina, potrebno ih je prevesti u projekcijski položaj i konstruisati okomicu na degenerisane projekcije ravnina čiji će segment između njih biti tražena udaljenost.

Udaljenost od tačke do prave je dužina okomice od tačke do prave. AT deskriptivna geometrija određuje se grafički prema donjem algoritmu.

Algoritam

1. Prava linija se prenosi u poziciju u kojoj će biti paralelna s bilo kojom ravninom projekcije. Da biste to učinili, primijenite metode transformacije ortogonalnih projekcija.
2. Nacrtajte okomicu iz tačke na pravu. U srži ovu konstrukciju je teorema projekcije pravog ugla.
3. Dužina okomice se određuje pretvaranjem njenih projekcija ili upotrebom način pravougaonog trougla.

Sljedeća slika prikazuje složeni crtež tačke M i prave b definisane segmentom linije CD. Morate pronaći udaljenost između njih.

Prema našem algoritmu, prva stvar koju treba učiniti je pomjeriti liniju na poziciju paralelno sa ravninom projekcije. Važno je shvatiti da se nakon transformacije stvarna udaljenost između tačke i prave ne bi trebala mijenjati. Zbog toga je zgodno koristiti ovdje metoda zamjene aviona, koji ne uključuje kretanje figura u prostoru.

U nastavku su prikazani rezultati prve faze izgradnje. Na slici je prikazano kako se paralelno sa b uvodi dodatna frontalna ravan P 4. AT novi sistem(P 1 , P 4) tačke C"" 1, D"" 1, M"" 1 su na istoj udaljenosti od ose X 1 kao C"", D"", M"" od X ose.

Izvodeći drugi dio algoritma, sa M"" 1 spuštamo okomicu M"" 1 N"" 1 na pravu b"" 1, pošto je pravi ugao MND između b i MN projektovan na ravan P 4 u puna veličina. Određujemo položaj tačke N" duž komunikacijske linije i crtamo projekciju M"N" segmenta MN.

Na završna faza potrebno je odrediti vrijednost segmenta MN njegovim projekcijama M"N" i M"" 1 N"" 1 . Za ovo gradimo pravougaonog trougla M"" 1 N"" 1 N 0 , čiji je krak N"" 1 N 0 jednak razlici (Y M 1 – Y N 1) uklanjanja tačaka M" i N" sa ose X 1. Dužina hipotenuze M"" 1 N 0 trougla M"" 1 N"" 1 N 0 odgovara željenoj udaljenosti od M do b.

Drugi način rješavanja

• Paralelno sa CD uvodimo novu frontalnu ravan P 4 . Seče P 1 duž X 1 ose, a X 1 ∥C"D". U skladu sa metodom zamjene ravni, određujemo projekcije tačaka C"" 1, D"" 1 i M"" 1, kao što je prikazano na slici.
• Okomito na C "" 1 D "" 1 gradimo dodatnu horizontalnu ravninu P 5 na koju se projicira prava linija b na tačku C" 2 \u003d b" 2.
• Udaljenost između tačke M i prave linije b određena je dužinom odsječka M "2 C" 2 označenog crvenom bojom.

Povezani zadaci: