Karakteristika grafa kvadratne funkcije. Kako pravilno izgraditi koordinatne ose? Iscrtavanje kvadratne funkcije

- — [] kvadratna funkcija Funkcija oblika y= ax2 + bx + c (a ? 0). Grafikon K.f. je parabola čiji vrh ima koordinate [ b / 2a, (b2 4ac) / 4a], za a> 0 grana parabole ... ...

KVADRATNA FUNKCIJA, matematička FUNKCIJA čija vrijednost zavisi od kvadrata nezavisne varijable, x, i data je, respektivno, kvadratnim POLINOMOM, na primjer: f(x) = 4x2 + 17 ili f(x) = x2 + 3x + 2. vidi i KVADRATI JEDNAČINU … Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik

kvadratna funkcija- Kvadratna funkcija je funkcija oblika y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Grafikon K.f. je parabola čiji vrh ima koordinate [b/ 2a, (b2 4ac) /4a], za a> 0 grane parabole su usmjerene prema gore, za a< 0 –вниз… …

- (kvadratna) funkcija koja ima sljedeći pogled: y=ax2+bx+c, gdje je a≠0 i najviši stepen x je kvadrat. Kvadratna jednadžba y=ax2 +bx+c=0 se takođe može rešiti korišćenjem sledeće formule: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Ovi koreni su pravi... Ekonomski rječnik

Afina kvadratna funkcija na afinom prostoru S je bilo koja funkcija Q: S→K koja ima oblik Q(x)=q(x)+l(x)+c u vektorizovanom obliku, gdje je q kvadratna funkcija, l je linearna funkcija, a c je konstanta. Sadržaj 1 Prijenos porijekla 2 ... ... Wikipedia

Afina kvadratna funkcija na afinom prostoru je svaka funkcija koja ima oblik u vektoriziranom obliku, gdje je simetrična matrica, linearna funkcija, konstanta. Sadržaj ... Wikipedia

Funkcija na vektorskom prostoru zadana homogenim polinomom drugog stepena u koordinatama vektora. Sadržaj 1 Definicija 2 Povezane definicije ... Wikipedia

- je funkcija koja u teoriji statističkih odluka karakteriše gubitke zbog pogrešnog odlučivanja na osnovu posmatranih podataka. Ako se rješava problem procjene parametra signala na pozadini smetnji, onda je funkcija gubitka mjera neslaganja ... ... Wikipedia

ciljna funkcija- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Engleski ruski rječnik elektrotehnike i energetike, Moskva, 1999] ciljna funkcija U ekstremnim problemima, funkcija čiji se minimum ili maksimum može pronaći. Ovo je… … Priručnik tehničkog prevodioca

ciljna funkcija- u ekstremnim problemima, funkcija čiji se minimum ili maksimum traži. Ovo je ključni koncept optimalnog programiranja. Nakon što je pronađen ekstremum C.f. a samim tim i određivanjem vrednosti kontrolisanih varijabli koje su mu ... ... Ekonomsko-matematički rječnik

Knjige

• Set stolova. Matematika. Grafovi funkcija (10 tabela) , . Edukativni album od 10 listova. Linearna funkcija. Grafička i analitička dodjela funkcija. Kvadratna funkcija. Transformacija grafa kvadratna funkcija. Funkcija y=sinx. Funkcija y=cosx.…
• Najvažnija funkcija školske matematike - kvadratna - u problemima i rješenjima, Petrov N.N. Kvadratna funkcija je glavna funkcija školski kurs matematike. Nije ni čudo. S jedne strane, jednostavnost ove funkcije, as druge strane, duboko značenje. Mnogi zadaci škole...

U mnogim problemima potrebno je izračunati maksimalni odn minimalna vrijednost kvadratna funkcija. Maksimum ili minimum se može pronaći ako je originalna funkcija upisana standardni obrazac: ili kroz koordinate vrha parabole: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Štaviše, maksimum ili minimum bilo koje kvadratne funkcije može se izračunati pomoću matematičkih operacija.

Koraci

Kvadratna funkcija je zapisana u standardnom obliku

Napišite funkciju u standardnom obliku. Kvadratna funkcija je funkcija čija jednadžba uključuje varijablu x 2 (\displaystyle x^(2)). Jednačina može, ali i ne mora uključivati ​​varijablu x (\displaystyle x). Ako jednadžba uključuje varijablu s eksponentom većim od 2, ona ne opisuje kvadratnu funkciju. Ako je potrebno, donesite slične pojmove i preuredite ih tako da napišu funkciju u standardnom obliku.

• Na primjer, data funkcija f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Dodajte pojmove s promjenljivom x 2 (\displaystyle x^(2)) i članovi sa varijablom x (\displaystyle x) da napišem jednačinu u standardnom obliku:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Graf kvadratne funkcije je parabola. Grane parabole pokazuju gore ili dolje. Ako je koeficijent a (\displaystyle a) sa promenljivom x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Evo a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Ovdje, dakle, parabola je usmjerena prema dolje.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Evo a = 1 (\displaystyle a=1) tako da je parabola usmjerena prema gore.
   • Ako je parabola usmjerena prema gore, potrebno je tražiti njen minimum. Ako je parabola usmjerena prema dolje, potražite njen maksimum.

2. Izračunajte -b/2a. Značenje − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) je koordinata x (\displaystyle x) vrh parabole. Ako je kvadratna funkcija zapisana u standardnom obliku a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), koristite koeficijente za x (\displaystyle x) i x 2 (\displaystyle x^(2)) na sljedeći način:

   • U funkcijskim koeficijentima a = 1 (\displaystyle a=1) i b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Kao drugi primjer, razmotrite funkciju . Evo a = − 3 (\displaystyle a=-3) i b = 6 (\displaystyle b=6). Stoga izračunajte x-koordinatu vrha parabole na sljedeći način:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Pronađite odgovarajuću vrijednost f(x). Zamijenite pronađenu vrijednost "x" u originalnu funkciju da biste pronašli odgovarajuću vrijednost f(x). Ovako ćete pronaći minimum ili maksimum funkcije.

   • U prvom primjeru f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) izračunali ste da je x-koordinata vrha parabole x = − 5 (\displaystyle x=-5). U originalnoj funkciji, umjesto x (\displaystyle x) zamjena − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f (x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • U drugom primjeru f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) otkrili ste da je x-koordinata vrha parabole x = 1 (\displaystyle x=1). U originalnoj funkciji, umjesto x (\displaystyle x) zamjena 1 (\displaystyle 1) da nađete njegovu maksimalnu vrijednost:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Zapišite odgovor. Ponovo pročitajte stanje problema. Ako trebate pronaći koordinate vrha parabole, upišite obje vrijednosti u svoj odgovor x (\displaystyle x) i y (\displaystyle y)(ili f (x) (\displaystyle f(x))). Ako trebate izračunati maksimum ili minimum funkcije, zapišite samo vrijednost u svoj odgovor y (\displaystyle y)(ili f (x) (\displaystyle f(x))). Pogledajte ponovo znak koeficijenta a (\displaystyle a) da provjerite jeste li izračunali maksimum ili minimum.

   • U prvom primjeru f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) značenje a (\displaystyle a) je pozitivan, pa ste izračunali minimum. Tem parabole leži u tački sa koordinatama (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26)), a minimalna vrijednost funkcije je − 26 (\displaystyle -26).
   • U drugom primjeru f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) značenje a (\displaystyle a) negativan, tako da ste našli maksimum. Tem parabole leži u tački sa koordinatama (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), a maksimalna vrijednost funkcije je jednaka − 1 (\displaystyle -1).

5. Odrediti smjer parabole. Da biste to učinili, pogledajte znak koeficijenta a (\displaystyle a). Ako je koeficijent a (\displaystyle a) pozitivna, parabola je usmjerena prema gore. Ako je koeficijent a (\displaystyle a) negativan, parabola je usmjerena prema dolje. Na primjer:

   • . Evo a = 2 (\displaystyle a=2), odnosno koeficijent je pozitivan, pa je parabola usmjerena prema gore.
   • . Evo a = − 3 (\displaystyle a=-3), odnosno koeficijent je negativan, pa je parabola usmjerena naniže.
   • Ako je parabola usmjerena prema gore, potrebno je izračunati minimalnu vrijednost funkcije. Ako je parabola usmjerena naniže, potrebno je pronaći maksimalnu vrijednost funkcije.

6. Pronađite minimalnu ili maksimalnu vrijednost funkcije. Ako je funkcija napisana u terminima koordinata vrha parabole, minimum ili maksimum jednak je vrijednosti koeficijenta k (\displaystyle k). U gornjim primjerima:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Evo k = − 4 (\displaystyle k=-4). Ovo je minimalna vrijednost funkcije jer je parabola usmjerena prema gore.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Evo k = 2 (\displaystyle k=2). Ovo je maksimalna vrijednost funkcije jer je parabola usmjerena prema dolje.

7. Pronađite koordinate vrha parabole. Ako je u zadatku potrebno pronaći vrh parabole, njene koordinate su (h , k) (\displaystyle (h,k)). Imajte na umu da kada je kvadratna funkcija zapisana u terminima koordinata vrha parabole, operacija oduzimanja mora biti zatvorena u zagradama (x − h) (\displaystyle (x-h)), dakle vrijednost h (\displaystyle h) uzeti sa suprotnim predznakom.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Ovdje je operacija sabiranja (x+1) zatvorena u zagrade, koja se može prepisati na sljedeći način: (x-(-1)). dakle, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Dakle, koordinate vrha parabole ove funkcije su (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Ovdje je u zagradama izraz (x-2). dakle, h = 2 (\displaystyle h=2). Koordinate vrha su (2,2).

Kako izračunati minimum ili maksimum pomoću matematičkih operacija

1. Razmotrimo prvo standardni oblik jednačine. Napišite kvadratnu funkciju u standardnom obliku: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Ako je potrebno, donesite slične članove i preuredite ih da dobijete standardnu ​​jednačinu.

   • Na primjer: .

2. Pronađite prvi izvod. Prvi izvod kvadratne funkcije, koji je napisan u standardnom obliku, jednak je f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). Prvi izvod ove funkcije se izračunava na sljedeći način:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Postavite izvod na nulu. Podsjetimo da je derivacija funkcije jednaka nagibu funkcije u određenoj tački. Na minimumu ili maksimumu nagib jednako nuli. Stoga, da bi se pronašla minimalna ili maksimalna vrijednost funkcije, izvod mora biti izjednačen sa nulom. U našem primjeru.

Lekcija 15.
Uticaj koeficijenataa, b isa na lokaciju
graf kvadratne funkcije

Ciljevi: nastaviti formiranje sposobnosti da se izgradi graf kvadratne funkcije i navede njena svojstva; otkrivaju uticaj koeficijenata a, b i sa na lokaciji grafa kvadratne funkcije.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat.

II. usmeni rad.

Odredite koji je graf funkcije prikazan na slici:

at = X 2 – 2X – 1;

at = –2X 2 – 8X;

at = X 2 – 4X – 1;

at = 2X 2 + 8X + 7;

at = 2X 2 – 1.

b)

at = X 2 – 2X;

at = –X 2 + 4X + 1;

at = –X 2 – 4X + 1;

at = –X 2 + 4X – 1;

at = –X 2 + 2X – 1.

III. Formiranje vještina i sposobnosti.

vježbe:

1. br. 127 (a).

Odluka

Pravo at = 6X + b dodiruje parabolu at = X 2 + 8, odnosno ima samo jednu zajedničku tačku sa sobom u slučaju kada je jednačina 6 X + b = X 2 + 8 imat će jedinstveno rješenje.

Ova jednadžba je kvadratna, hajde da nađemo njen diskriminant:

X 2 – 6X + 8 + b = 0;

D 1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;

D 1 = 0 ako je 1 + b= 0, tj b= –1.

odgovor: b= –1.

3. Otkriti uticaj koeficijenata a, b i sa na lokaciju grafa funkcije at = Oh 2 + bx + sa.

Učenici imaju dovoljno znanja da sami urade ovaj zadatak. Treba ih pozvati da sve nalaze zapišu u svesku, ističući „glavnu“ ulogu svakog od koeficijenata.

1) Koeficijent a utiče na pravac grana parabole: kada a> 0 - grane su usmjerene prema gore, sa a < 0 – вниз.

2) Koeficijent b utiče na lokaciju vrha parabole. At b= 0 vrh leži na osi OU.

3) Koeficijent sa prikazuje tačku preseka parabole sa osom OU.

Zatim se može dati primjer koji pokazuje šta se može reći o koeficijentima a, b i sa prema grafu funkcije.

Značenje sa može se nazvati precizno: pošto graf prelazi osu OU u tački (0; 1), onda sa = 1.

Koeficijent a može se porediti sa nulom: pošto su grane parabole usmerene nadole, onda a < 0.

znak koeficijenta b može se naći iz formule koja određuje apscisu vrha parabole: t= , pošto a < 0 и t= 1, onda b> 0.

4. Odredite koji je graf funkcije prikazan na slici, na osnovu vrijednosti koeficijenata a, b i sa.

at = –X 2 + 2X;

at = X 2 + 2X + 2;

at = 2X 2 – 3X – 2;

at = X 2 – 2.

Odluka

a, b i sa:

a> 0, jer su grane parabole usmjerene prema gore;

b OU;

sa= -2, pošto parabola seče y-osu u tački (0; -2).

at = 2X 2 – 3X – 2.

at = X 2 – 2X;

at = –2X 2 + X + 3;

at = –3X 2 – X – 1;

at = –2,7X 2 – 2X.

Odluka

Na osnovu prikazanog grafikona donosimo sljedeće zaključke o koeficijentima a, b i sa:

a < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

b≠ 0, budući da vrh parabole ne leži na osi OU;

sa= 0, pošto parabola seče osu OU u tački (0; 0).

Sve ove uslove zadovoljava samo funkcija at = –2,7X 2 – 2X.

5. Planirana funkcija at = Oh 2 + bx + sa a, b i sa:

a) b)

Odluka

a) Grane parabole su usmjerene prema gore, dakle a > 0.

Parabola siječe y-osu u donjoj poluravni, dakle sa < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b koristimo formulu da pronađemo apscisu vrha parabole: t= . Iz grafikona se vidi da t < 0, и мы определим, что a> 0. Dakle b> 0.

b) Slično određujemo predznake koeficijenata a, b i sa:

a < 0, sa > 0, b< 0.

Studentima koji su jaki u studijama može se dodatno dati broj 247.

Odluka

at = X 2 + px + q.

a) Prema Vietinoj teoremi, poznato je da ako X 1 i X 2 - korijeni jednadžbe X 2 +
+ px + q= 0 (tj. nule ove funkcije), onda X jedan · X 2 = q i X 1 + X 2 = –R. Shvatili smo to q= 3 4 = 12 i R = –(3 + 4) = –7.

b) Tačka preseka parabole sa osom OUće dati vrijednost parametra q, tj q= 6. Ako grafik funkcije prelazi os OH u tački (2; 0), tada je broj 2 korijen jednačine X 2 + px + q= 0. Zamjena vrijednosti X= 2 u ovu jednačinu, dobijamo to R = –5.

c) Ova kvadratna funkcija dostiže svoju najmanju vrijednost na vrhu parabole, dakle , odakle R= -12. Po uvjetu, vrijednost funkcije at = X 2 – 12X + q u tački x= 6 je jednako 24. Zamjena x= 6 i at= 24 in ovu funkciju, nalazimo to q= 60.

IV. Posao verifikacije.

Opcija 1

1. Grafikujte funkciju at = 2X 2 + 4X– 6 i pronađite pomoću grafikona:

a) nule funkcije;

b) intervali u kojima at> 0 i y < 0;

G) najmanju vrijednost funkcije;

e) opseg funkcije.

2. Ne crtanje funkcije at = –X 2 + 4X, pronađi:

a) nule funkcije;

c) opseg funkcije.

3. Planirana funkcija at = Oh 2 + bx + sa odrediti predznake koeficijenata a, b i sa:

Opcija 2

1. Grafikujte funkciju at = –X 2 + 2X+ 3 i pronađite pomoću grafa:

a) nule funkcije;

b) intervali u kojima at> 0 i y < 0;

c) intervali povećanja i smanjenja funkcije;

G) najveća vrijednost funkcije;

e) opseg funkcije.

2. Ne crtanje funkcije at = 2X 2 + 8X, pronađi:

a) nule funkcije;

b) intervali povećanja i smanjenja funkcije;

c) opseg funkcije.

3. Planirana funkcija at = Oh 2 + bx + sa odrediti predznake koeficijenata a, b i sa:

V. Rezultati lekcije.

Pitanja

– Opišite algoritam za konstruisanje kvadratne funkcije.

– Navedite svojstva funkcije at = Oh 2 + bx + sa at a> 0 i a < 0.

– Kako koeficijenti utiču a, b i sa na lokaciji grafa kvadratne funkcije?

Zadaća: br. 127 (b), br. 128, br. 248.

Dopunski: br. 130.

Na časovima matematike u školi već ste se upoznali s najjednostavnijim svojstvima i grafom funkcije y=x2. Proširimo svoja znanja kvadratna funkcija.

Vježba 1.

Iscrtajte funkciju y=x2. Skala: 1 = 2 cm Označite tačku na osi Oy F(0; 1/4). Koristeći kompas ili traku papira, izmjerite udaljenost od tačke F do neke tačke M parabole. Zatim pričvrstite traku u tački M i zarotirajte je oko ove tačke tako da postane okomita. Kraj trake će pasti malo ispod x-ose (sl. 1). Označite na traci koliko ide dalje od x-ose. Uzmite sada još jednu tačku na paraboli i ponovite mjerenje ponovo. Koliko je rub trake sada pao iznad x-ose?

rezultat: bez obzira koju točku na paraboli y = x 2 uzmete, udaljenost od ove točke do točke F (0; 1/4) bit će veća od udaljenosti od iste točke do x-ose uvijek za isto broj - za 1/4.

Može se reći drugačije: udaljenost od bilo koje tačke parabole do tačke (0; 1/4) jednaka je udaljenosti od iste tačke parabole do prave y = -1/4. Ova divna tačka F(0; 1/4) se zove fokus parabole y = x 2, i prava linija y = -1/4 - ravnateljica ova parabola. Svaka parabola ima direktrisu i fokus.

Zanimljiva svojstva parabole:

1. Bilo koja tačka parabole jednako je udaljena od neke tačke, koja se zove fokus parabole, i neke prave, koja se zove njena direktrisa.

2. Ako zarotirate parabolu oko ose simetrije (na primjer, parabolu y = x 2 oko ose Oy), dobit ćete vrlo zanimljivu površinu, koja se zove paraboloid okretanja.

Površina tekućine u rotirajućoj posudi ima oblik paraboloida okretanja. Ovu površinu možete vidjeti ako žličicom snažno promiješate u nepotpunoj čaši čaja, a zatim izvadite žlicu.

3. Ako bacite kamen u prazninu pod određenim uglom u odnosu na horizont, tada će letjeti duž parabole (Sl. 2).

4. Ako presječete površinu stošca ravninom koja je paralelna s bilo kojim od njegovih generatora, tada ćete u presjeku dobiti parabolu (sl. 3).

5. U zabavnim parkovima ponekad uređuju smiješnu atrakciju pod nazivom Paraboloid čuda. Svakom od onih koji stoje unutar rotirajućeg paraboloida čini se da on stoji na podu, a ostali ljudi se nekim čudom drže na zidovima.

6. U reflektirajućim teleskopima koriste se i parabolična ogledala: svjetlost udaljene zvijezde, koja putuje u paralelnom snopu, pada na ogledalo teleskopa, sakuplja se u fokusu.

7. Za reflektore, ogledalo se obično pravi u obliku paraboloida. Ako postavite izvor svjetlosti u fokus paraboloida, tada se reflektiraju zrake parabolično ogledalo, formiraju paralelnu gredu.

Iscrtavanje kvadratne funkcije

Na časovima matematike učili ste kako dobiti grafove funkcija oblika iz grafa funkcije y = x 2:

1) y=ax2– proširenje grafika y = x 2 duž ose Oy u |a| puta (za |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, pirinač. 4).

2) y=x2+n– pomak grafikona za n jedinica duž ose Oy, a ako je n > 0, onda je pomak gore, a ako je n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m)2– pomak grafikona za m jedinica duž ose Ox: ako je m< 0, то вправо, а если m >0, zatim lijevo, (sl. 5).

4) y=-x2- simetričan prikaz oko ose Ox grafika y = x 2 .

Hajde da se zadržimo na crtanju grafa funkcije detaljnije. y = a(x - m) 2 + n.

Kvadratna funkcija oblika y = ax 2 + bx + c uvijek se može svesti na oblik

y = a (x - m) 2 + n, gdje je m \u003d -b / (2a), n = - (b 2 - 4ac) / (4a).

Dokažimo to.

stvarno,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a).

Hajde da uvedemo novu notaciju.

Neka bude m = -b/(2a), a n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

tada dobijamo y = a(x - m) 2 + n ili y - n = a(x - m) 2 .

Napravimo još neke zamjene: neka je y - n = Y, x - m = X (*).

Tada dobijamo funkciju Y = aX 2, čiji je graf parabola.

Tem parabole je u početku. x=0; Y = 0.

Zamjenom koordinata vrha u (*) dobijamo koordinate vrha grafa y = a(x - m) 2 + n: x = m, y = n.

Dakle, da bi se nacrtala kvadratna funkcija predstavljena kao

y = a(x - m) 2 + n

transformacijom možete postupiti na sljedeći način:

a) izgraditi graf funkcije y = x 2 ;

b) paralelnim prevođenjem duž ose Ox za m jedinica i duž ose Oy za n jedinica - prenijeti vrh parabole iz ishodišta u tačku s koordinatama (m; n) (sl. 6).

Napišite transformacije:

y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a(x - m) 2 → y = a(x - m) 2 + n.

Primjer.

Koristeći transformacije, konstruirajte graf funkcije y = 2(x - 3) 2 u Dekartovom koordinatnom sistemu – 2.

Odluka.

Lanac transformacija:

y=x2 (1) → y = (x - 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x - 3) 2 - 2 (4) .

Konstrukcija grafa je prikazana u pirinač. 7.

Možete sami vježbati crtanje kvadratne funkcije. Na primjer, napravite graf funkcije y = 2(x + 3) 2 + 2 u jednom koordinatnom sistemu koristeći transformacije. Ako imate pitanja ili želite da dobijete savjet od nastavnika, onda imate priliku da provedete besplatna 25-minutna lekcija sa online tutorom nakon registracije. Za dalji rad Sa nastavnikom možete odabrati tarifni plan koji Vama odgovara.

Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate grafički prikazati kvadratnu funkciju?
Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.