U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: unakrsni proizvod vektora i mješoviti proizvod vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se desi da i za potpunu sreću, pored toga tačkasti proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Takva je vektorska ovisnost. Može se steći utisak da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. Ovo nije istina. U ovom dijelu više matematike općenito ima malo drva za ogrjev, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva teži od istog skalarni proizvod, čak tipični zadaci biće manje. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, kao što će mnogi vidjeti ili su već vidjeli, je NE POGREŠITI PRORAČUN. Ponovite kao čaroliju i bićete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munja na horizontu, nije važno, počnite s lekcijom Vektori za lutke vratiti ili otkupiti osnovno znanje o vektorima. Spremniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama, pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičan rad

Šta će vas usrećiti? Kada sam bila mala, znala sam da žongliram sa dve, pa čak i sa tri lopte. Dobro je ispalo. Sada nema potrebe za žongliranjem, jer ćemo razmotriti samo svemirski vektori, a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su se ove radnje rodile - vektor i mješoviti proizvod vektora su definirani i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već lakše!

U ovoj operaciji, na isti način kao u skalarnom proizvodu, dva vektora. Neka to budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno na sledeći način: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao da označavam unakrsni proizvod vektora na ovaj način, u uglastim zagradama sa krstom.

I to odmah pitanje: ako je unutra tačkasti proizvod vektora dva vektora su uključena, a ovdje se dva vektora također množe koja je razlika? Jasna razlika, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat skalarnog proizvoda vektora je BROJ:

Rezultat unakrsnog proizvoda vektora je VEKTOR: , odnosno množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Zatvoren klub. Zapravo, otuda i naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi oznake se također mogu razlikovati, koristit ću slovo .

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, zatim komentari.

Definicija: unakrsni proizvod nekolinearno vektori, primljeno dato naređenje , zove se VEKTOR, dužinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Definiciju analiziramo po kostima, ima dosta zanimljivih stvari!

Dakle, možemo istaći sljedeće značajne tačke:

1) Izvorni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearno. Događa se kolinearni vektori biće prikladno razmotriti malo kasnije.

2) Vektori uzeti po strogom redu: – "a" se množi sa "biti", a ne "biti" do "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR , koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože obrnutim redoslijedom, onda ćemo dobiti vektor jednake dužine i suprotnog smjera (grimizna boja). Odnosno, jednakost .

3) Hajde da se sada upoznamo sa geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (a samim tim i grimiznoga vektora) je numerički jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram obojen crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski, i, naravno, nazivna dužina poprečnog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Sjećamo se jednog od geometrijske formule: površina paralelograma jednaka je proizvodu susjedne stranke sinusom ugla između njih. Stoga, na osnovu prethodno navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da se u formuli govori o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Šta je praktično značenje? A značenje je takvo da se u problemima analitičke geometrije površina paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Hajdemo na trenutak važna formula. Dijagonala paralelograma (crvena tačkasta linija) dijeli ga na dva dijela jednak trougao. Stoga se površina trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći po formuli:

4) Ne manje od važna činjenica je da je vektor ortogonan na vektore, tj. . Naravno, suprotno usmjereni vektor (grimizna strelica) je također ortogonalan originalnim vektorima.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu Ima u pravu orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu O tome sam detaljno govorio orijentacija u ravnini, a sada ćemo shvatiti kakva je orijentacija prostora. Na prste ću ti objasniti desna ruka . Mentalno kombinujte kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. prstenjak i mali prst pritisnite u svoj dlan. Kao rezultat thumb - vektorski proizvod će tražiti gore. Ovo je desno orijentisana osnova (na slici). Sada zamijenite vektore ( indeks i srednji prsti ) na nekim mjestima, kao rezultat toga, palac će se okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je takođe prava orijentisana osnova. Možda imate pitanje: na kojoj osnovi je lijeva orijentacija? "Dodijelite" iste prste lijeva ruka vektori i dobiju lijevu bazu i orijentaciju lijevog prostora (u ovom slučaju, palac će biti lociran u smjeru donjeg vektora). Slikovito rečeno, ove baze "uvijaju" ili orijentiraju prostor različite strane. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, najobičnije ogledalo mijenja orijentaciju prostora, a ako "izvučete reflektirani predmet iz ogledala", onda općenito neće biti moguće kombinujte ga sa "originalom". Usput, prinesi tri prsta ogledalu i analiziraj odraz ;-)

... kako je dobro to što sada znaš desno i lijevo orijentisan baze, jer su izjave nekih predavača o promeni orijentacije strašne =)

Vektorski proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno razrađena, ostaje da se otkrije šta se dešava kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš paralelogram se također "preklapa" u jednu pravu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerisati paralelogram je nula. Isto proizlazi iz formule - sinus od nule ili 180 stepeni jednak je nuli, što znači da je površina nula

Dakle, ako , onda . Strogo govoreći, sam unakrsni proizvod je jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je jednostavno jednak nuli.

poseban slučaj je unakrsni proizvod vektora i samog sebe:

Koristeći unakrsni proizvod, možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora i ovaj zadatak između ostalog, analiziraćemo.

Za rješenja praktični primjeri može biti potrebno trigonometrijska tabela da se iz njega pronađu vrijednosti sinusa.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Nađite dužinu vektorskog proizvoda vektora if

b) Nađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Odluka: Ne, ovo nije greška u kucanju, namjerno sam napravio iste početne podatke u stavkama uslova. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema uslovu, potrebno je pronaći dužina vektor (vektorski proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovori:

Pošto je postavljeno pitanje o dužini, onda u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema uslovu, potrebno je pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma je numerički jednaka dužini poprečnog proizvoda:

Odgovori:

Napominjemo da u odgovoru o vektorskom proizvodu uopće nema govora, o čemu su nas pitali područje figure, odnosno, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvek gledamo ŠTA je potrebno da se nađe uslovom, i na osnovu toga formulišemo jasno odgovori. Možda se čini kao bukvalnost, ali među nastavnicima ima dovoljno literalista, a zadatak sa dobrim izgledima biće vraćen na doradu. Iako ovo nije posebno nategnuto prigovaranje - ako je odgovor netačan, onda se stječe utisak da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili nisu razumjeli suštinu zadatka. Ovaj trenutak uvijek treba držati pod kontrolom, rješavajući svaki problem višu matematiku a i u drugim predmetima.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu bi se moglo dodatno zaglaviti u rješenju, ali da bih skratio zapis, nisam. Nadam se da svi to razumiju i da je oznaka iste stvari.

Popularan primjer za nezavisna odluka:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U praksi je zadatak zaista vrlo čest, trokuti se generalno mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema potrebno nam je:

Svojstva unakrsnog proizvoda vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovu listu.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj, sljedeća svojstva:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka se obično ne razlikuje u svojstvima, ali je u praktičnom smislu veoma važna. Neka bude.

2) - o imovini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost. Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) - kombinacija ili asocijativni zakoni o vektorskim proizvodima. Konstante se lako izvlače iz granica vektorskog proizvoda. Stvarno, šta oni tamo rade?

4) - distribucija ili distribucija zakoni o vektorskim proizvodima. Nema problema ni sa otvaranjem zagrada.

Kao demonstraciju, razmotrite kratak primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Odluka: Po uslovu, opet je potrebno pronaći dužinu vektorskog proizvoda. Oslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima izvlačimo konstante izvan granica vektorskog proizvoda.

(2) Konstantu vadimo iz modula, dok modul „jede“ znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ono što slijedi je jasno.

Odgovori:

Vrijeme je da se baci drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Odluka: Pronađite površinu trokuta koristeći formulu . Problem je u tome što su vektori "ce" i "te" sami predstavljeni kao sume vektora. Algoritam ovdje je standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 iz lekcije. Tačkasti proizvod vektora. Podijelimo to u tri koraka radi jasnoće:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod kroz vektorski proizvod, zapravo, izraziti vektor u terminima vektora. Još nema riječi o dužini!

(1) Zamjenjujemo izraze vektora .

(2) Koristeći distributivne zakone, otvorite zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, izvlačimo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, radnje 2 i 3 mogu se izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član su jednaki nuli (nulti vektor) zbog ugodnog svojstva . U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je i bilo potrebno da se postigne:

2) U drugom koraku nalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite površinu željenog trokuta:

Koraci 2-3 rješenja mogu se poredati u jedan red.

Odgovori:

Razmatrani problem je prilično čest u kontrolni rad, evo primjera za "uradi sam" rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Unakrsni proizvod vektora u koordinatama

, dato u ortonormalnoj bazi , izražava se formulom:

Formula je zaista jednostavna: koordinatne vektore upisujemo u gornji red determinante, koordinate vektora „spakujemo“ u drugi i treći red i stavljamo u strogom redu- prvo koordinate vektora "ve", zatim koordinate vektora "double-ve". Ako se vektori trebaju pomnožiti drugim redoslijedom, tada treba zamijeniti i linije:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
a)
b)

Odluka: Test se zasniva na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, onda je njihov unakrsni proizvod nula (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski proizvod:

Odgovori: a) nije kolinearna, b)

Ovdje su, možda, sve osnovne informacije o vektorskom proizvodu vektora.

Ovaj odjeljak neće biti jako velik, jer postoji nekoliko problema gdje se koristi mješoviti proizvod vektora. Zapravo, sve će počivati ​​na definiciji, geometrijsko značenje i nekoliko radnih formula.

mješoviti proizvod vektori je proizvod tri vektora :

Ovako su se poređali kao voz i čekaju, jedva čekaju dok se ne obračunaju.

Prvo opet definicija i slika:

Definicija: Mješoviti proizvod nekoplanarni vektori, uzeti ovim redoslijedom, zove se zapremine paralelepipeda, izgrađen na ovim vektorima, opremljen znakom "+" ako je osnova desna i znakom "-" ako je osnova lijeva.

Hajde da crtamo. Linije koje su nama nevidljive iscrtane su isprekidanom linijom:

Uronimo u definiciju:

2) Vektori uzeti određenim redosledom, odnosno permutacija vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne prolazi bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očiglednu činjenicu: mješoviti proizvod vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti nešto drugačiji, ja sam označavao mješoviti proizvod kroz, a rezultat proračuna slovom "pe".

A-prioritet mješoviti proizvod je zapremina paralelepipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). Odnosno, broj je jednak zapremini datog paralelepipeda.

Bilješka : Crtež je šematski.

4) Nemojmo se opet zamarati konceptom orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti proizvod može biti negativan: .

Formula za izračunavanje volumena paralelepipeda izgrađenog na vektorima slijedi direktno iz definicije.

Da biste detaljno razmotrili ovu temu, potrebno je pokriti još nekoliko odjeljaka. Tema je direktno povezana s pojmovima kao što su tačka i unakrsni proizvod. U ovom članku pokušali smo dati precizna definicija, navedite formulu koja će pomoći u određivanju proizvoda koristeći koordinate vektora. Osim toga, članak uključuje dijelove u kojima se navode svojstva djela i predstavlja detaljna analiza tipične jednakosti i problemi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Termin

Da bi se utvrdilo šta je ovaj termin, trebate uzeti tri vektora.

Definicija 1

mješoviti proizvod a → , b → i d → je vrijednost koja je jednaka tačkastom proizvodu a → × b → i d → , gdje je a → × b → množenje a → i b → . Operacija množenja a → , b → i d → često se označava sa a → · b → · d → . Formulu možete transformisati ovako: a → b → d → = (a → × b → , d →) .

Množenje u koordinatnom sistemu

Vektore možemo množiti ako su specificirani na koordinatnoj ravni.

Uzmite i → , j → , k →

Proizvod vektora u datom konkretan slučajće imati sljedeći pogled: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →

Definicija 2

Za izvođenje dot product u koordinatni sistem morate dodati rezultate dobijene tokom množenja koordinata.

dakle:

a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →

Mi također možemo definirati mješoviti proizvod vektora ako su u datom koordinatnom sistemu specificirane koordinate vektora koji se množe.

a → × b → = (a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → , d x i → + d y j → + d z k →) = = a y a z b y b z d x - a x a z b x b z d y + a x a y b x b y k

Dakle, može se zaključiti da:

a → b → d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Definicija 3

Mješoviti proizvod se može izjednačiti na determinantu matrice čiji su redovi vektorske koordinate. Vizuelno, to izgleda ovako: a → b → d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Svojstva operacija na vektorima Iz karakteristika koje se ističu u skalarnom ili vektorskom proizvodu, možete izvesti karakteristike koje karakterišu mješoviti proizvod. U nastavku predstavljamo glavne karakteristike.

1. (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R;
2. a → b → d → = d → a → b → = b → d → a → ; a → d → b → = b → a → d → = d → b → a → ;
3. (a (1) → + a (2) →) b → d → = a (1) → b → d → + a (2) → b → d → a → (b(1 ) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →

Pored gore navedenih svojstava, treba pojasniti da ako je faktor nula, onda će i rezultat množenja biti nula.

Rezultat množenja će također biti nula ako su dva ili više faktora jednaka.

Zaista, ako je a → = b → , onda je, slijedeći definiciju vektorskog proizvoda [ a → × b → ] = a → b → sin 0 = 0 , mješoviti proizvod jednak nuli, jer ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Ako je a → = b → ili b → = d → , tada je ugao između vektora [ a → × b → ] i d → jednak π 2 . Po definiciji skalarnog proizvoda vektora ([ a → × b → ] , d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Svojstva operacije množenja najčešće se traže prilikom rješavanja problema.
Da bismo detaljnije analizirali ovu temu, uzmimo nekoliko primjera i detaljno ih opiši.

Primjer 1

Dokazati jednakost ([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) , gdje je λ neki realan broj.

Da bismo pronašli rješenje za ovu jednakost, moramo je transformirati lijeva strana. Da biste to učinili, trebate koristiti treće svojstvo miješanog proizvoda, koje glasi:

([ a → × b → ] , d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
Analizirali smo da je (([ a → × b → ] , b →) = 0. Iz ovoga slijedi da je
([ a → × b → ] , d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)

Prema prvom svojstvu ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) , i ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) = 0 . Dakle, ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) . dakle,
([ a ⇀ × b ⇀ ] , d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →)

Jednakost je dokazana.

Primjer 2

Potrebno je dokazati da modul mješovitog proizvoda tri vektora nije veći od proizvoda njihovih dužina.

Odluka

Na osnovu uslova možemo predstaviti primjer kao nejednakost a → × b → , d → ≤ a → b → d → .

Po definiciji, transformiramo nejednakost a → × b → , d → = a → × b → d → cos (a → × b → ^ , d →) = = a → b → sin (a → , b → ^) d → cos ([ a → × b → ^ ] , d)

Koristeći elementarne funkcije, možemo zaključiti da je 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1 , 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ] , d →) ≤ 1 .

Iz ovoga se može zaključiti da
(a → × b → , d →) = a → b → sin (a → , b →) ^ d → cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → b → 1 d → 1 = a → b → d →

Nejednakost je dokazana.

Analiza tipičnih zadataka

Da bi se utvrdilo koliki je proizvod vektora, treba znati koordinate pomnoženih vektora. Za operaciju možete koristiti sljedeću formulu a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Primjer 3

U pravokutnom koordinatnom sistemu postoje 3 vektora sa sljedećim koordinatama: a → = (1 , - 2 , 3) ​​, b → (- 2 , 2 , 1) , d → = (3 , - 2 , 5 ) . Potrebno je odrediti čemu je jednak proizvod navedenih vektora a → · b → · d →.

Na osnovu gore predstavljene teorije, možemo koristiti pravilo koje kaže da se mješoviti proizvod može izračunati u smislu matrične determinante. To će izgledati ovako: a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7

Primjer 4

Potrebno je pronaći proizvod vektora i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 k → , gdje su i → , j → , k → jedinični vektori pravougaonika Dekartov koordinatni sistem.

Na osnovu uslova da se vektori nalaze u datom koordinatnom sistemu, možemo izvesti njihove koordinate: i → + j → = (1 , 1 , 0) i → + j → - k → = (1 , 1 , - 1 ) i → + j → + 2 k → = (1 , 1 , 2)

Koristite gornju formulu
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0

Također je moguće definirati mješoviti proizvod koristeći dužinu vektora, koja je već poznata, i ugao između njih. Analizirajmo ovu tezu na primjeru.

Primjer 5

U pravougaonom koordinatnom sistemu postoje tri vektora a → , b → i d → koji su jedan na drugi okomiti. Oni su prava trojka i njihove dužine su 4, 2 i 3. Moramo pomnožiti vektore.

Označimo c → = a → × b → .

Prema pravilu, rezultat množenja skalarnih vektora je broj koji je jednak rezultatu množenja dužina vektora korištenih kosinusom ugla između njih. Zaključujemo da je a → b → d → = ([ a → × b → ] , d →) = c → , d → = c → d → cos (c → , d → ^) .

Koristimo dužinu vektora d → specificiranu u primjeru uvjeta: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . Potrebno je definirati c → i c → , d → ^ . Po uslovu a → , b → ^ = π 2 , a → = 4 , b → = 2 . Vektor c → nalazimo pomoću formule: c → = [ a → × b → ] = a → b → sin a → , b → ^ = 4 2 sin π 2 = 8
Može se zaključiti da je c → okomito na a → i b → . Vektori a → , b → , c → će biti desna trojka, pa se koristi Dekartov koordinatni sistem. Vektori c → i d → će biti jednosmjerni, odnosno c → , d → ^ = 0 . Koristeći izvedene rezultate, rješavamo primjer a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .

a → · b → · d → = 24 .

Koristimo faktore a → , b → i d → .

Vektori a → , b → i d → dolaze iz iste tačke. Koristimo ih kao strane za izgradnju figure.

Označimo da je c → = [ a → × b → ] . Za ovaj slučaj može se definirati proizvod vektora kao a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = c → n p c → d → , gdje je n p c → d → numerička projekcija vektora d → na vektorski pravac c → = [ a → × b → ] .

Apsolutna vrijednost n p c → d → jednaka je broju, koji je također jednak visini figure, za koju se kao stranice koriste vektori a → , b → i d →. Na osnovu ovoga treba pojasniti da je c → = [ a → × b → ] okomito na a → i vektor i vektor prema definiciji vektorskog množenja. Vrijednost c → = a → x b → jednaka je površini paralelepipeda izgrađenog na vektorima a → i b → .

Zaključujemo da je modul proizvoda a → b → d → = c → n p c → d → jednak rezultatu množenja površine baze visinom figure koja se gradi na vektorima a → , b → i d → .

Definicija 4

Apsolutna vrijednost unakrsnog proizvoda je zapremina paralelepipeda: V parallelelelepi pida = a → · b → · d → .

Ova formula i geometrijski je.

Definicija 5

Zapremina tetraedra, koji je izgrađen na a → , b → i d → , jednak je 1/6 zapremine paralelepipeda = 1 6 · a → · b → · d → .

Kako bismo konsolidirali znanje, analizirat ćemo nekoliko tipičnih primjera.

Primjer 6

Potrebno je pronaći zapreminu paralelepipeda čije su stranice A B → = (3 , 6 , 3), A C → = (1 , 3 , - 2) , A A 1 → = (2 , 2 , 2) , dat u pravougaonom koordinatnom sistemu . Volumen paralelepipeda može se pronaći pomoću formule za apsolutna vrijednost. Iz ovoga slijedi: A B → A C → A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 3 2 + 6 (- 2) 2 + 3 1 2 - 3 3 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18

Tada je V parallelele pipeda = - 18 = 18 .

V parallelelelepipida = 18

Primjer 7

Koordinatni sistem sadrži tačke A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (- 2, 3, 1) . Potrebno je odrediti zapreminu tetraedra, koji se nalazi na ovim tačkama.

Upotrijebimo formulu V t e t r hedra = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Koordinate vektora možemo odrediti iz koordinata tačaka: A B → = (3 - 0 , - 1 - 1 , 5 - 0) = (3 , - 2 , 5) A C → = (1 - 0 , 0) - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) ​​A D → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0) = (- 2 , 2 , 1)

Zatim definiramo mješoviti proizvod A B → A C → A D → po koordinatama vektora: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) 3 (- 2) + 5 1 2 - 5 (- 1) (- 2) - (- 2) 1 1 - 3 3 2 = - 7 Volumen V t e r a hedra = 1 6 - 7 = 7 6 .

V t e t ra hedra = 7 6 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Mješoviti (ili vektorsko-skalarni) proizvod tri vektora a, b, c (uzeta ovim redom) nazivaju se skalarnim proizvodom vektora a i vektorskog proizvoda b x c, odnosno brojem a(b x c), ili, što je isto, (b x c)a.
Oznaka: abc.

Imenovanje. Online kalkulator je dizajniran za izračunavanje mješovitog proizvoda vektora. Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku. Osim toga, u Excelu se kreira predložak rješenja.

a( ; ; )
b( ; ; )
c( ; ; )
Prilikom izračunavanja determinante koristite pravilo trokuta

Znakovi vektorske komplanarnosti

Za tri vektora (ili više) se kaže da su komplanarni ako, kada su svedeni na zajedničko ishodište, leže u istoj ravni.
Ako je barem jedan od tri vektora nula, tada se i tri vektora smatraju komplanarnim.

Znak koplanarnosti. Ako je sistem a, b, c ispravan, tada je abc>0; ako je lijevo, onda abc Geometrijsko značenje mješovitog proizvoda. Mješoviti proizvod abc tri nekoplanarna vektora a, b, c jednak je zapremini paralelepipeda izgrađenog na vektorima a, b, c, uzetih sa znakom plus ako je sistem a, b, c pravi, i sa predznakom minus ako je ovaj sistem ostavljen.

Mešana svojstva proizvoda

1. Sa kružnom permutacijom faktora, mješoviti proizvod se ne mijenja, sa permutacijom dva faktora, on obrće svoj znak: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   To proizilazi iz geometrijskog značenja.
2. (a+b)cd=acd+bcd (distributivno svojstvo). Proširuje se na bilo koji broj pojmova.
   To proizilazi iz definicije mješovitog proizvoda.
3. (ma)bc=m(abc) (asociativno svojstvo u odnosu na skalarni faktor).
   To proizilazi iz definicije mješovitog proizvoda. Ova svojstva omogućavaju primjenu transformacija na mješovite proizvode koji se razlikuju od običnih algebarskih samo po tome što se redoslijed faktora može mijenjati samo uzimajući u obzir predznak proizvoda.
4. Mješoviti proizvod koji ima najmanje dva jednaka faktora jednak je nuli: aab=0.

Primjer #1. Pronađite mješoviti proizvod. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Primjer #2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca . Svi članovi, osim dva ekstremna, jednaki su nuli. Također, bca=abc . Stoga (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Primjer #3. Izračunajte mješoviti proizvod tri vektora a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Odluka. Da bi se izračunao mješoviti proizvod vektora, potrebno je pronaći determinantu sistema sastavljenog od koordinata vektora. Zapisujemo sistem u obliku

The online kalkulator izračunava mješoviti proizvod vektora. dato detaljno rješenje. Da biste izračunali mješoviti proizvod vektora, odaberite način predstavljanja vektora (po koordinatama ili po dvije točke), unesite podatke u ćelije i kliknite na "Izračunaj".

×

Upozorenje

Obrisati sve ćelije?

Zatvori Clear

Uputstvo za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623 itd.), decimalni brojevi (npr. 67., 102,54 itd.) ili razlomci. Razlomak se mora upisati u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli brojevi ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, itd.

Mješoviti proizvod vektora (teorija)

mješoviti proizvod tri vektora je broj koji je rezultat tačkasti proizvod rezultat vektorski proizvod prva dva vektora do trećeg vektora. Drugim riječima, data su tri vektora a, b i c, zatim da se dobije mješoviti proizvod ovih vektora, prvo prva dva vektora i rezultirajući vektor [ ab] je skalarno pomnoženo vektorom c.

Mješoviti proizvod tri vektora a, b i c označeno ovako: abc ili tako ( a,b,c). Tada možete napisati:

abc=([ab],c)

Prije nego što formulišete teoremu koja predstavlja geometrijsko značenje mješovitog proizvoda, upoznajte se s konceptima desne trojke, lijeve trojke, desnog koordinatnog sistema, lijevog koordinatnog sistema (definicije 2, 2" i 3 na stranici unakrsni proizvod vektora na mreži).

Radi određenosti, u nastavku ćemo razmatrati samo desnoruke koordinatne sisteme.

Teorema 1. Mješoviti proizvod vektora ([ab],c) jednak je volumenu paralelepeda izgrađenog na vektorima svedenim na zajedničko ishodište a, b, c, uzeto sa znakom plus, ako je trostruko a, b, c desno, i sa znakom minus ako je trojka a, b, c lijevo. Ako vektori a, b, c su komplanarni, onda ([ ab],c) je nula.

Korol 1. Vrijedi sljedeća jednakost:

Stoga nam je dovoljno da to dokažemo

([ab],c)=([bc],a)

(3)

Iz izraza (3) se vidi da su lijevi i desni dio jednaki zapremini paralelipeda. Ali znakovi desne i lijeve strane također se poklapaju, budući da su trojke vektora abc i bca imaju istu orijentaciju.

Dokazana jednakost (1) nam omogućava da zapišemo mješoviti proizvod tri vektora a, b, c samo u formi abc, bez specificiranja koja se dva vektora množe vektorski sa prva dva ili zadnja dva.

Korolar 2. Neophodan i dovoljan uslov da tri vektora budu koplanarna je da njihov mješoviti proizvod nestane.

Dokaz slijedi iz teoreme 1. Zaista, ako su vektori koplanarni, onda je mješoviti proizvod ovih vektora jednak nuli. Suprotno tome, ako je mješoviti proizvod jednak nuli, onda koplanarnost ovih vektora slijedi iz teoreme 1 (pošto je volumen paralelepipeda izgrađenog na vektorima svedenim na zajednički početak jednak nuli).

Posljedica 3. Mješoviti proizvod tri vektora, od kojih su dva ista, jednak je nuli.

Zaista. Ako su dva od tri vektora ista, onda su koplanarni. Prema tome, mješoviti proizvod ovih vektora je nula.

Mješoviti proizvod vektora u dekartovskim koordinatama

Teorema 2. Neka su tri vektora a, b i c definisane njihovim kartezijanskim pravougaonim koordinatama

Dokaz. mješoviti proizvod abc jednak je skalarnom proizvodu vektora [ ab] i c. Vektorski proizvod vektora [ ab] u kartezijanskim koordinatama izračunava se po formuli ():

Posljednji izraz se može napisati korištenjem determinanti drugog reda:

potrebno je i dovoljno da determinanta bude jednaka nuli, čiji su redovi ispunjeni koordinatama ovih vektora, tj.:

.

(7)

Da bismo dokazali korolar, dovoljno je razmotriti formulu (4) i korolar 2.

Mješoviti proizvod vektora s primjerima

Primjer 1. Naći mješoviti proizvod vektora abs, gdje

Mješoviti proizvod vektora a, b, c jednako matričnoj determinanti L. Izračunajte determinantu matrice L, proširujući determinantu duž reda 1:

Vektorska krajnja tačka a.