Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije da poboljšamo usluge koje pružamo i da vam damo preporuke u vezi sa našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudski nalog, in parnica, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Također možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge javne važnim prilikama.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Općinski obrazovne ustanove

prosjek sveobuhvatne škole №1

Art. Bryukhovetskaya

općina Bryukhovetski okrug

Nastavnik matematike

Gučenko Anžela Viktorovna

godina 2014

Funkcija y =
, njegova svojstva i graf

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva

Ciljevi lekcije:

Zadaci riješeni na lekciji:

naučiti studente samostalnom radu;

praviti pretpostavke i nagađanja;

biti u stanju da generalizuje proučavane faktore.

Oprema: tabla, kreda, multimedijalni projektor, Handout

Određivanje vremena lekcije.

Određivanje teme časa zajedno sa učenicima -1 min.

Određivanje ciljeva i zadataka časa zajedno sa učenicima -1 min.

Ažuriranje znanja (frontalna anketa) -3 min.

Usmeni rad -3 min.

Objašnjenje novog materijala, izgrađenog na kreiranju problemskih situacija -7min

Fizminutka -2 minute.

Izgradnja grafa zajedno sa razredom sa projektovanjem konstrukcije u sveskama i određivanjem svojstava funkcije, rad sa udžbenikom -10 minuta.

Učvršćivanje stečenog znanja i razvoj veština za transformaciju grafova -9min .

Sumiranje lekcije, utvrđivanje povratne informacije – 3 min.

Zadaća -1 min.

Ukupno 40 minuta.

Tokom nastave.

Određivanje teme časa zajedno sa učenicima (1 min).

Temu lekcije učenici određuju uz pomoć navodnih pitanja:

funkcija- rad koji obavlja tijelo, tijelo u cjelini.

funkcija- mogućnost, opcija, sposobnost programa ili uređaja.

funkcija- dužnost, opseg aktivnosti.

funkcija lik u književnom delu.

funkcija- vrsta potprograma iz informatike

funkcija u matematici, zakon zavisnosti jedne veličine od druge.

Utvrđivanje ciljeva i zadataka časa zajedno sa učenicima (1 min).

Nastavnik, uz pomoć učenika, formuliše i izgovara ciljeve i zadatke ovog časa.

Aktuelizacija znanja (frontalni pregled - 3 min).

Usmeni rad - 3 min.

Front work.

(A i B pripadaju, C ne)

Objašnjenje novog materijala (na osnovu kreiranja problemskih situacija - 7 min).

Problemska situacija: opisati svojstva nepoznate funkcije.

Podijelite razred u timove od 4-5 ljudi, podijelite formulare za odgovore na pitanja

Obrazac №1

y=0, na x=?

Opseg funkcije.

Skup vrijednosti funkcije.

Na svako pitanje odgovara jedan od predstavnika tima, ostali timovi glasaju „za“ ili „protiv“ signalnim karticama i po potrebi dopunjuju odgovore drugova iz razreda.

Zajedno sa klasom izvući zaključak o domenu definicije, skupu vrijednosti, nulama funkcije y=.

Problemska situacija : pokušajte da napravite graf nepoznate funkcije (postoji diskusija u timovima, traženje rješenja).

Sa nastavnikom se podseća algoritam za konstruisanje grafova funkcija. Učenici u timovima pokušavaju nacrtati graf funkcije y \u003d na obrascima, a zatim međusobno razmjenjuju obrasce radi samostalne i međusobne provjere.

Fizminutka

Izrada grafa zajedno sa časom sa osmišljavanjem konstrukcije u sveskama - 10 min.

Nakon opće rasprave, zadatak konstruiranja grafa funkcije y = svaki učenik pojedinačno izvodi u bilježnici. Nastavnik u ovom trenutku pruža diferenciranu pomoć učenicima. Nakon obavljenog zadatka, učenicima se prikazuje grafik funkcije na tabli i učenicima se traži da odgovore na sljedeća pitanja:

zaključak: zajedno sa učenicima još jednom izvući zaključak o svojstvima funkcije i pročitati ih iz udžbenika:

Učvršćivanje stečenog znanja i razvoj vještina za transformaciju grafa - 9 min.

Učenici rade na svojoj kartici (prema opcijama), zatim mijenjaju i provjeravaju jedni druge. Grafikoni se zatim prikazuju na tabli, a učenici ocjenjuju svoj rad upoređujući ga sa pločom.

Kartica #1

Kartica #2

zaključak: o transformacijama grafikona

1) paralelno prevođenje duž OS ose

2) pomak duž ose OX.

9. Sumiranje lekcije, uspostavljanje povratne informacije - 3 min.

SLAJDOVI – ubacite riječi koje nedostaju

Opseg ove funkcije, svi brojevi, osim ... (negativno).

Grafikon funkcije nalazi se u ... (ja)četvrtine.

Kada je vrijednost argumenta x = 0, vrijednost ... (funkcije) y = ... (0).

Najveća vrijednost funkcije ... (ne postoji), najmanju vrijednost - …(jednako 0)

10. Domaći (sa komentarima - 1 min).

Prema udžbeniku- §trinaest

Prema knjizi problema- br. 13.3, br. 74 (ponavljanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi)

Osnovni ciljevi:

1) formirati ideju o svrsishodnosti generaliziranog proučavanja zavisnosti stvarnih veličina na primjeru veličina, srodni odnos y=

2) formiranje sposobnosti za crtanje y= i njegovih svojstava;

3) ponoviti i konsolidovati metode usmenog i pismenog računanja, kvadriranja, vađenja kvadratnog korena.

Oprema, demonstracioni materijal: brošura.

1. Algoritam:

2. Uzorak za izvršavanje zadatka u grupama:

3.Uzorak za samotestiranje samostalnog rada:

4. Kartica za fazu refleksije:

1) Shvatio sam kako grafički prikazati funkciju y=.

2) Mogu navesti njegove nekretnine prema rasporedu.

3) Nisam pogriješio u samostalnom radu.

4) Napravio sam greške u samostalnom radu (navedite ove greške i navedite njihov razlog).

Tokom nastave

1. Samoopredjeljenje za aktivnosti učenja

Svrha bine:

1) uključi učenike u aktivnosti učenja;

2) odredite sadržaj lekcije: nastavljamo raditi s realnim brojevima.

Organizacija obrazovni proces u koraku 1:

Šta smo učili na prošloj lekciji? (Proučavali smo skup realnih brojeva, akcije s njima, izgradili algoritam za opisivanje svojstava funkcije, ponovili funkcije proučavane u 7. razredu).

– Danas ćemo nastaviti da radimo sa skupom realnih brojeva, funkcijom.

2. Ažuriranje znanja i otklanjanje poteškoća u aktivnostima

Svrha bine:

1) ažurirati obrazovni sadržaj potreban i dovoljan za percepciju novog gradiva: funkcija, nezavisna varijabla, zavisna varijabla, grafikoni

y = kx + m, y = kx, y \u003d c, y = x 2, y = x 2,

2) ažurirati mentalne operacije neophodne i dovoljne za percepciju novog materijala: poređenje, analiza, generalizacija;

3) popraviti sve ponovljene koncepte i algoritme u obliku šema i simbola;

4) popraviti individualnu poteškoću u aktivnosti, pokazujući nedovoljnost postojećeg znanja na lično značajnom nivou.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 2:

1. Prisjetimo se kako možete postaviti zavisnosti između veličina? (preko teksta, formule, tabele, grafikona)

2. Šta se zove funkcija? (Odnos između dvije veličine, gdje svaka vrijednost jedne varijable odgovara jednoj vrijednosti druge varijable y = f(x)).

Kako se zove x? (Nezavisna varijabla - argument)

kako ti je ime? (Zavisna varijabla).

3. Da li smo učili funkcije u 7. razredu? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = - x 2 , ).

Individualni zadatak:

Kakav je graf funkcija y = kx + m, y =x 2 , y = ?

3. Identifikacija uzroka poteškoća i postavljanje cilja aktivnosti

Svrha bine:

1) organizovati komunikativnu interakciju, tokom koje se razlikovna karakteristika zadaci koji su izazivali poteškoće u obrazovnim aktivnostima;

2) dogovorite se o svrsi i temi časa.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 3:

Šta je posebno u ovom zadatku? (Zavisnost je data formulom y = koju još nismo upoznali).

- Koja je svrha lekcije? (Upoznajte se s funkcijom y \u003d, njenim svojstvima i grafikonom. Funkcija u tabeli određuje vrstu zavisnosti, izgradi formulu i grafikon.)

- Možete li pogoditi temu lekcije? (Funkcija y=, njena svojstva i graf).

- Zapišite temu u svoju svesku.

4. Izrada projekta za izlazak iz poteškoća

Svrha bine:

1) organizovati komunikativnu interakciju kako bi se izgradio novi način delovanja koji eliminiše uzrok identifikovane teškoće;

2) popraviti novi način radnje u znaku, verbalnom obliku i uz pomoć standarda.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 4:

Rad u fazi se može organizirati u grupe pozivanjem grupa da nacrtaju y = , a zatim analiziraju rezultate. Također, grupe se mogu ponuditi da opišu svojstva ove funkcije prema algoritmu.

5. Primarna konsolidacija u vanjskom govoru

Svrha etape: fiksirati proučavani obrazovni sadržaj u eksternom govoru.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 5:

Napravite graf y= - i opišite njegova svojstva.

Svojstva y= - .

1. Opseg definicije funkcije.

2. Opseg vrijednosti funkcije.

3. y=0, y>0, y<0.

y=0 ako je x=0.

y<0, если х(0;+)

4. Povećanje, smanjenje funkcije.

Funkcija se smanjuje na x.

Nacrtajmo y=.

Odaberimo njegov dio na segmentu. Zapazimo to kod Naima. = 1 za x = 1, i y max. \u003d 3 za x \u003d 9.

Odgovor: naim. = 1, pri maks. =3

6. Samostalan rad sa samotestiranjem prema standardu

Svrha faze: testirati vašu sposobnost primjene novih obrazovnih sadržaja u standardnim uvjetima na osnovu poređenja vašeg rješenja sa standardom za samotestiranje.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 6:

Učenici samostalno izvršavaju zadatak, vrše samotestiranje prema standardu, analiziraju, ispravljaju greške.

Nacrtajmo y=.

Koristeći graf, pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu.

7. Uključivanje u sistem znanja i ponavljanje

Svrha etape: osposobljavanje vještina korištenja novih sadržaja u sprezi sa prethodno proučavanim: 2) ponoviti nastavni sadržaj koji će biti potreban u narednim časovima.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 7:

Riješite grafički jednadžbu: \u003d x - 6.

Jedan učenik za tablom, ostali u sveskama.

8. Odraz aktivnosti

Svrha bine:

1) popraviti novi sadržaj naučen u lekciji;

2) evaluiraju sopstvene aktivnosti na času;

3) zahvaliti drugarima iz razreda koji su pomogli da se dobije rezultat časa;

4) popraviti nerešene poteškoće kao pravce za buduće aktivnosti učenja;

5) Razgovarajte i zapišite domaći zadatak.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 8:

- Momci, šta nam je bio cilj danas? (Proučite funkciju y \u003d, njena svojstva i grafikon).

- Koja znanja su nam pomogla da postignemo cilj? (Sposobnost traženja obrazaca, sposobnost čitanja grafikona.)

- Pregledajte svoje aktivnosti na času. (kartice za razmišljanje)

Zadaća

tačka 13 (do primjera 2) № 13.3, 13.4

Riješite grafički jednačinu:

Nacrtajte graf funkcije i opišite njegova svojstva.

8. razred

Predavač: Melnikova T.V.

Ciljevi lekcije:

Oprema:

Računar, interaktivna tabla, materijal.

Prezentacija za lekciju.

TOKOM NASTAVE

Plan lekcije.

Uvod od strane nastavnika.

Ponavljanje prethodno naučenog gradiva.

Učenje novog gradiva (rad u grupi).

Funkcionalno istraživanje. Svojstva grafikona.

Diskusija o rasporedu (frontalni rad).

Igra matematičkih karata.

Rezultati lekcije.

I. Aktuelizacija osnovnih znanja.

Pozdrav ucitelju.

Učitelju :

Ovisnost jedne varijable o drugoj naziva se funkcija. Do sada ste proučavali funkcije y = kx + b; y = k / x, y = x 2. Danas ćemo nastaviti naše proučavanje funkcija. U današnjoj lekciji naučit ćete kako izgleda graf funkcije kvadratnog korijena, naučiti kako sami izgraditi grafove funkcija kvadratnog korijena.

Zapišite temu lekcije (slajd1).

2. Ponavljanje proučenog materijala.

1. Kako se zovu funkcije definirane formulama:

a) y=2x+3; b) y=5/x; c) y \u003d -1 / 2x + 4; d) y=2x; e) y = -6 / x e) y = x 2?

2. Kakav je njihov raspored? Kako se nalazi? Odredite opseg i opseg svake od ovih funkcija ( na sl. prikazani su grafikoni funkcija koje su date ovim formulama, za svaku funkciju označite njen tip) (slajd2).

3. Koji je graf svake funkcije, kako se ovi grafovi grade?

(slajd 3, shematski su konstruirani grafovi funkcija).

3. Učenje novog gradiva.

Učitelju:

Dakle, danas proučavamo funkciju
i njen raspored.

Znamo da je graf funkcije y \u003d x 2 parabola. Kakav će biti graf funkcije y = x 2 ako uzmemo samo x ≥ 0? To je dio parabole - njene desne grane. Sada nacrtajmo funkciju
.

Ponovimo algoritam za konstruisanje grafova funkcija ( slajd 4, sa algoritmom)

Pitanje : Što mislite, gledajući analitičku notaciju funkcije, možete reći koje vrijednosti X dozvoljeno? (Da, x≥0). Od izraza
ima smisla za sve x veće ili jednako 0.

Učitelj: U prirodnim pojavama, u ljudskoj djelatnosti, često postoje odnosi između dvije veličine. Koji graf može predstavljati ovaj odnos? ( grupni rad)

Razred je podijeljen u grupe. Svaka grupa dobija zadatak: nacrtati graf funkcije
na milimetarskom papiru, prateći sve tačke algoritma. Zatim predstavnik svake grupe izlazi i pokazuje rad grupe. (Otvara se magacin 5, provjera je u toku, zatim se raspored ugrađuje u sveske)

4. Proučavanje funkcije (Grupni rad se nastavlja)

Učitelj:

pronaći opseg funkcije;

pronaći opseg funkcije;

odrediti intervale smanjenja (porasta) funkcije;

y>0, y<0.

Zapišite rezultate (slajd 6).

Učitelj: Hajde da analiziramo grafikon. Graf funkcije je grana parabole.

Pitanje : Recite mi, jeste li već vidjeli ovu kartu?

Pogledaj graf i reci mi da li seče pravu OX? (ne) OU? (ne). Pogledajte graf i recite mi da li graf ima centar simetrije? Osa simetrije?

Hajde da rezimiramo:

Sada povjerujmo kako smo naučili novu temu i ponovili obrađeno gradivo. Igra matematičkih karata. (Pravila igre: svakoj grupi od 5 ljudi nudi se set karata (25 karata). Svaki igrač dobija 5 karata na kojima su napisana pitanja. Prvi učenik daje jednu od kartica drugom učeniku, ko mora da odgovori na pitanje sa kartice. Ako učenik odgovori na pitanje, karta se tuče, ako ne, onda učenik uzima kartu za sebe i izdaje potez itd. samo 5 poteza. Ako učeniku nema više karata , tada je rezultat -5, postoji 1 karta s rezultatom 4, 2 karte - rezultat 3, 3 karte - rezultat - 2)

5. Rezultati lekcije.(učenici se ocjenjuju na kontrolnim listama)

Domaći zadatak.

Studijska tačka 8.

Riješi #172, #179, #183.

Pripremiti izvještaje na temu “Primjena funkcije u različitim oblastima nauke i književnosti”.

Refleksija.

Pokažite svoje raspoloženje slikama na stolu.

Današnja lekcija

Sviđa mi se.

Nije mi se svidjelo.

Materijal za lekciju i razumeo, ne razumeo).

Date su glavne karakteristike funkcija snage, uključujući formule i svojstva korijena. Derivat, integral, proširenje u snaga serije i predstavljanje pomoću kompleksnih brojeva funkcije stepena.

Definicija

Definicija
Funkcija snage sa eksponentom p je funkcija f (x) = xp, čija je vrijednost u tački x jednaka vrijednosti eksponencijalne funkcije sa bazom x u tački p .
Pored toga, f (0) = 0 p = 0 za p > 0 .

Za prirodne vrijednosti eksponenta, funkcija stepena je proizvod n brojeva jednakih x:
.
Definiran je za sve realne.

Za pozitivne racionalne vrijednosti eksponenta, funkcija stepena je proizvod n korijena stepena m iz broja x:
.
Za neparan m, definiran je za sve realne x. Za paran m , funkcija snage je definirana za nenegativnu .

Za negativ, funkcija snage je definirana formulom:
.
Stoga nije definirano u tački .

Za iracionalne vrijednosti eksponenta p, eksponencijalna funkcija je određena formulom:
,
gdje je a proizvoljan pozitivan broj koji nije jednak jedinici: .
Za , to je definirano za .
Za , funkcija snage je definirana za .

Kontinuitet. Funkcija moći je kontinuirana u svojoj domeni definicije.

Svojstva i formule funkcije stepena za x ≥ 0

Ovdje razmatramo svojstva funkcije stepena za nenegativne vrijednosti argumenta x. Kao što je gore spomenuto, za neke vrijednosti eksponenta p, eksponencijalna funkcija je također definirana za negativne vrijednosti x. U ovom slučaju, njegova svojstva se mogu dobiti iz svojstava na , koristeći parni ili neparni paritet. Ovi slučajevi su razmotreni i detaljno ilustrovani na stranici "".

Funkcija stepena, y = x p , sa eksponentom p ima sljedeća svojstva:
(1.1) definisano i kontinuirano na setu
u ,
at ;
(1.2) ima mnogo značenja
u ,
at ;
(1.3) striktno raste na ,
striktno opada na ;
(1.4) at ;
at ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Dokaz svojstava je dat na stranici Funkcija snage (Dokaz kontinuiteta i svojstva).

Korijeni - definicija, formule, svojstva

Definicija
Korijen od x na stepen od n je broj čije podizanje na stepen n daje x:
.
Ovdje n = 2, 3, 4, ... je prirodan broj veći od jedan.

Također možete reći da je korijen broja x stepena n korijen (odnosno rješenje) jednačine
.
Imajte na umu da je funkcija inverzna funkciji.

Kvadratni korijen od broja x je korijen stepena 2: .

Kockasti korijen od x je korijen stepena 3: .

Čak i stepen

Za parne snage n = 2 m, korijen je definiran za x ≥ 0 . Često korištena formula vrijedi i za pozitivan i za negativan x:
.
Za kvadratni korijen:
.

Ovdje je važan redoslijed kojim se operacije izvode - to jest, prvo se izvrši kvadriranje, što rezultira nenegativnim brojem, a zatim se iz njega izvlači korijen (iz nenegativnog broja možete izdvojiti kvadratni korijen ). Ako bismo promijenili redoslijed: , tada bi za negativan x korijen bio nedefiniran, a time bi i cijeli izraz bio nedefiniran.

neparan stepen

Za neparne potencije, korijen je definiran za sve x:
;
.

Svojstva i formule korijena

Koren od x je funkcija stepena:
.
Za x ≥ 0 vrijede sljedeće formule:
;
;
, ;
.

Ove formule se mogu primijeniti i za negativne vrijednosti varijabli. Potrebno je samo osigurati da radikalni izraz parnih moći ne bude negativan.

Privatne vrijednosti

Korijen od 0 je 0: .
Korijen od 1 je 1: .
Kvadratni korijen od 0 je 0: .
Kvadratni korijen od 1 je 1: .

Primjer. Korijen iz korijena

Razmotrimo primjer kvadratnog korijena:
.
Pretvorite unutrašnji kvadratni korijen koristeći gornju formulu:
.
Sada transformirajmo originalni korijen:
.
dakle,
.

y = x p za različite vrijednosti eksponenta p.

Ovdje su grafovi funkcije za nenegativne vrijednosti argumenta x. Grafovi funkcije snage definirane za negativne vrijednosti x dati su na stranici "Funkcija snage, njena svojstva i grafovi"

Inverzna funkcija

Inverzna funkcija stepena sa eksponentom p je funkcija stepena sa eksponentom 1/p.

Ako onda .

Derivat funkcije moći

Derivat n-tog reda:
;

Izvođenje formula > > >

Integral funkcije snage

P≠- 1 ;
.

Proširenje serije snaga

u - 1 < x < 1 odvija se sljedeća razgradnja:

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
f (z) = z t.
Kompleksnu varijablu z izražavamo u terminima modula r i argumenta φ (r = |z| ):
z = r e i φ .
Kompleksni broj t predstavljamo kao realne i imaginarne dijelove:
t = p + i q .
Imamo:

Nadalje, uzimamo u obzir da argument φ nije jednoznačno definiran:
,

Razmotrimo slučaj kada je q = 0 , odnosno eksponent je realan broj, t = p. Onda
.

Ako je p cijeli broj, tada je i kp cijeli broj. Zatim, zbog periodičnosti trigonometrijskih funkcija:
.
tj eksponencijalna funkcija sa celobrojnim eksponentom, za dati z, ima samo jednu vrijednost i stoga je jednoznačan.

Ako je p iracionalno, tada proizvodi kp ne daju cijeli broj za bilo koji k. Pošto k prolazi kroz beskonačan niz vrijednosti k = 0, 1, 2, 3, ..., tada funkcija z p ima beskonačno mnogo vrijednosti. Kad god se povećava argument z 2 π(jedan okret), prelazimo na novu granu funkcije.

Ako je p racionalno, onda se može predstaviti kao:
, gdje m,n- cela, ne sadrži zajednički djelitelji. Onda
.
Prvih n vrijednosti, za k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, dati n različita značenja kp :
.
Međutim, sljedeće vrijednosti daju vrijednosti koje se razlikuju od prethodnih za cijeli broj. Na primjer, za k = k 0+n imamo:
.
Trigonometrijske funkcije, čiji se argumenti razlikuju za višestruke vrijednosti 2 pi, imaju jednake vrijednosti. Stoga, daljim povećanjem k, dobijamo iste vrijednosti z p kao za k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Dakle, eksponencijalna funkcija sa racionalni indikator stepen je višeznačan i ima n vrijednosti (grana). Kad god se povećava argument z 2 pi(jedan okret), prelazimo na novu granu funkcije. Nakon n takvih okreta, vraćamo se na prvu granu od koje je počelo odbrojavanje.

Konkretno, korijen stepena n ima n vrijednosti. Kao primjer, razmotrite n-ti korijen realnog pozitivnog broja z = x. U ovom slučaju φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Dakle, za kvadratni korijen, n = 2 ,
.
Za parno k, (- 1 ) k = 1. Za neparan k, (- 1 ) k = - 1.
Odnosno, kvadratni korijen ima dva značenja: + i -.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.