Proširenje funkcije snage u Taylorov niz. Taylor ekspanzija

Ako je funkcija f(x) ima na nekom intervalu koji sadrži tačku a, derivati ​​svih redova, onda se na njega može primijeniti Taylorova formula:

gdje rn- takozvani rezidualni član ili ostatak serije, može se procijeniti pomoću Lagrangeove formule:

, gdje je broj x zatvoren između X i a.

Ako za neku vrijednost x r n®0 at n®¥, tada se u granici Taylor formula za ovu vrijednost pretvara u konvergentnu Taylor serija:

Dakle, funkcija f(x) može se proširiti u Taylorov niz u razmatranoj tački X, ako:

1) ima derivate svih naloga;

2) konstruisani niz konvergira u ovoj tački.

At a=0 dobijamo niz pod nazivom blizu Maclaurina:

Primjer 1 f(x)= 2x.

Odluka. Nađimo vrijednosti funkcije i njenih derivata na X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2x u 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Zamjenom dobijenih vrijednosti derivata u formulu Taylorovog reda, dobivamo:

Poluprečnik konvergencije ovog niza jednak je beskonačnosti, tako da ovo proširenje vrijedi za -¥<x<+¥.

Primjer 2 X+4) za funkciju f(x)= e x.

Odluka. Pronalaženje izvoda funkcije e x i njihove vrijednosti u tom trenutku X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Stoga, željeni Taylorov niz funkcije ima oblik:

Ova dekompozicija vrijedi i za -¥<x<+¥.

Primjer 3 . Funkcija proširenja f(x)=ln x u nizu po stepenima ( X- 1),

(tj. u Tejlorovom nizu u blizini tačke X=1).

Odluka. Pronalazimo izvode ove funkcije.

Zamjenom ovih vrijednosti u formulu, dobijamo željeni Taylorov niz:

Uz pomoć d'Alembertovog testa, može se potvrditi da se niz konvergira kada

½ X- 1½<1. Действительно,

Niz konvergira ako je ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 dobijamo naizmeničnu seriju koja zadovoljava uslove Lajbnicovog testa. At X=0 funkcija nije definirana. Dakle, područje konvergencije Taylorovog reda je poluotvoreni interval (0;2).

Predstavimo proširenja dobijena na ovaj način u Maclaurinov red (tj. u okolini tačke X=0) za neke elementarne funkcije:

(2) ,

(3) ,

( poziva se posljednje proširenje binomni niz)

Primjer 4 . Proširite funkciju u niz stepena

Odluka. U dekompoziciji (1) zamjenjujemo X na - X 2, dobijamo:

Primjer 5 . Proširite funkciju u Maclaurin seriju

Odluka. Imamo

Koristeći formulu (4), možemo napisati:

zamjena umjesto X u formulu -X, dobijamo:

Odavde nalazimo:

Proširujući zagrade, preuređujući članove serije i praveći redukciju sličnih pojmova, dobijamo

Ovaj niz konvergira u intervalu

(-1;1) budući da je izveden iz dva niza, od kojih svaki konvergira u ovom intervalu.

Komentar .

Formule (1)-(5) se također mogu koristiti za proširenje odgovarajućih funkcija u Taylorov niz, tj. za proširenje funkcija u pozitivnim cijelim potencijama ( Ha). Da biste to učinili, potrebno je izvršiti takve identične transformacije na datoj funkciji kako bi se dobila jedna od funkcija (1) - (5), u kojoj umjesto X košta k( Ha) m , gdje je k konstantan broj, m je pozitivan cijeli broj. Često je zgodno promijeniti varijablu t=Ha i proširi rezultujuću funkciju u odnosu na t u Maclaurinovom nizu.

Ova metoda ilustruje teoremu o jedinstvenosti proširenja funkcije u stepenu niz. Suština ove teoreme je da se u okolini iste tačke ne mogu dobiti dva različita niza stepena koji bi konvergirali istoj funkciji, bez obzira na to kako se vrši njeno proširenje.

Primjer 6 . Proširite funkciju u Taylorov niz u susjedstvu tačke X=3.

Odluka. Ovaj se problem može riješiti, kao i do sada, korištenjem definicije Taylorovog reda, za koji je potrebno pronaći izvode funkcija i njihove vrijednosti na X=3. Međutim, bit će lakše koristiti postojeću dekompoziciju (5):

Rezultirajući niz konvergira na ili -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Primjer 7 . Napišite Taylorov niz po moćima ( X-1) karakteristike .

Odluka.

Serija se konvergira na , ili 2< x£5.

U teoriji funkcionalnih nizova centralno mjesto zauzima dio posvećen proširenju funkcije u niz.

Tako se postavlja problem: za datu funkciju potrebno je pronaći takav niz stepena

koji je konvergirao na nekom intervalu i njegov zbir je bio jednak
, one.

= ..

Ovaj zadatak se zove problem proširenja funkcije u niz stepena.

Neophodan uslov za proširenje funkcije u niz stepena je njegova diferencijabilnost beskonačan broj puta - to proizilazi iz svojstava konvergentnih redova stepena. Ovaj uslov je, po pravilu, zadovoljen za elementarne funkcije u njihovom domenu definicije.

Dakle, pretpostavimo da je funkcija
ima derivate bilo kojeg reda. Može li se proširiti u niz stepena, ako može, kako pronaći ovu seriju? Drugi dio problema je lakše riješiti, pa počnimo s njim.

Pretpostavimo da je funkcija
može se predstaviti kao zbir niza stepena koji konvergiraju u intervalu koji sadrži tačku X 0 :

= .. (*)

gdje a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a P ,... – neizvjesni (još) koeficijenti.

Stavimo u jednakost (*) vrijednost x = x 0 , onda dobijamo

.

Razlikujemo redove stepena (*) po članu

= ..

i stavljanje ovde x = x 0 , dobijamo

.

Sa sljedećom diferencijacijom dobijamo seriju

= ..

pod pretpostavkom x = x 0 , dobijamo
, gdje
.

Poslije P-prestruku diferencijaciju dobijamo

Uz pretpostavku u zadnjoj jednakosti x = x 0 , dobijamo
, gdje

Dakle, koeficijenti su pronađeni

,
,
, …,
,….,

zamjenjujući koje u red (*), dobijamo

Rezultirajuća serija se zove blizu Taylor za funkciju
.

Tako smo to ustanovili ako se funkcija može proširiti u niz stepena po stepenu (x - x 0 ), onda je ovo proširenje jedinstveno i rezultirajući niz je nužno Taylorov niz.

Imajte na umu da se Taylorov red može dobiti za bilo koju funkciju koja ima derivate bilo kojeg reda u tački x = x 0 . Ali to još ne znači da se između funkcije i rezultirajućeg niza može staviti znak jednakosti, tj. da je zbir niza jednak originalnoj funkciji. Prvo, takva jednakost može imati smisla samo u području konvergencije, a Taylorov red koji se dobije za funkciju može divergirati, a drugo, ako se Taylorov red konvergira, onda se njegov zbir možda neće poklapati s originalnom funkcijom.

3.2. Dovoljni uslovi za proširenje funkcije u Taylorov red

Formulirajmo iskaz uz pomoć kojeg će se navedeni problem riješiti.

Ako je funkcija
u nekoj okolini tačke x 0 ima derivate do (n+ 1)-ti red uključujući, onda u ovom susjedstvu imamoformula Taylor

gdjeR n (X)-rezidualni član Taylorove formule - ima oblik (Lagrangeov oblik)

gdje dotξ leži između x i x 0 .

Imajte na umu da postoji razlika između Taylorovog reda i Taylorove formule: Taylorova formula je konačan zbir, tj. P - fiksni broj.

Podsjetimo da je zbir serije S(x) može se definirati kao granica funkcionalnog niza parcijalnih suma S P (x) u nekom intervalu X:

.

Prema ovome, proširiti funkciju u Taylorov red znači pronaći niz takav da za bilo koji XX

Zapisujemo Taylorovu formulu u obliku gdje

primeti, to
definira grešku koju dobivamo, zamijenite funkciju f(x) polinom S n (x).

Ako a
, onda
, one. funkcija se proširuje u Taylorov niz. Obrnuto, ako
, onda
.

Tako smo dokazali kriterij za proširenje funkcije u Taylorov red.

Da bi u nekom intervalu funkcijaf(x) se širi u Tejlorov red, potrebno je i dovoljno da na ovom intervalu
, gdjeR n (x) je ostatak Taylorovog niza.

Uz pomoć formulisanog kriterijuma može se dobiti dovoljnouslovi za proširenje funkcije u Taylorov red.

Ako uneka okolina tačke x 0 apsolutne vrijednosti svih izvoda funkcije ograničene su istim brojem M≥ 0, tj.

, to u ovom susjedstvu, funkcija se širi u Taylorov niz.

Iz navedenog slijedi algoritamproširenje funkcije f(x) u Taylor seriji u blizini tačke X 0 :

1. Pronalaženje derivacijskih funkcija f(x):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…

2. Izračunavamo vrijednost funkcije i vrijednosti njenih derivacija u tački X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Formalno pišemo Taylorov red i nalazimo područje konvergencije rezultirajućeg potencijskog reda.

4. Provjeravamo ispunjenost dovoljnih uslova, tj. ustanoviti za koje X iz regije konvergencije, preostali član R n (x) teži nuli na
ili
.

Proširivanje funkcija u Taylorov red prema ovom algoritmu se naziva proširenje funkcije u Taylorov red po definiciji ili direktno razlaganje.

16.1. Proširenje elementarnih funkcija u Taylorov red i

Maclaurin

Pokažimo da ako je na skupu definirana proizvoljna funkcija
, u blizini tačke
ima mnogo izvoda i zbir je niza stepena:

tada možete pronaći koeficijente ove serije.

Zamjena u nizu po stepenu
. Onda
.

Pronađite prvi izvod funkcije
:

At
:
.

Za drugi izvod dobijamo:

At
:
.

Nastavak ove procedure n kada dobijemo:
.

Tako smo dobili niz stepena oblika:

,

koji se zove blizu Taylor za funkciju
oko tačke
.

Poseban slučaj Taylorove serije je Maclaurin serija at
:

Ostatak Taylor (Maclaurin) serije se dobija odbacivanjem glavne serije n prvi pojmovi i označava se kao
. Zatim funkcija
može se napisati kao zbir n prvi članovi serije
i ostatak
:,

.

Ostalo je obično
izraženo različitim formulama.

Jedan od njih je u Lagrangeovom obliku:

, gdje
.
.

Imajte na umu da se u praksi češće koristi Maclaurin serija. Dakle, da bi se zapisala funkcija
u obliku zbira potencijskog reda, potrebno je:

1) naći koeficijente Maclaurin (Taylor) reda;

2) naći oblast konvergencije rezultujućeg niza stepena;

3) dokazati da dati niz konvergira funkciji
.

Teorema1 (neophodan i dovoljan uslov za konvergenciju Maclaurinovog reda). Neka je radijus konvergencije serije
. Da bi se ovaj niz konvergirao u intervalu
da funkcioniše
, potrebno je i dovoljno da je ispunjen sljedeći uslov:
unutar navedenog intervala.

Teorema 2. Ako su derivati ​​bilo kojeg reda funkcije
u nekom intervalu
ograničen u apsolutnoj vrijednosti na isti broj M, tj
, zatim u ovom intervalu funkcija
može se proširiti u Maclaurin seriju.

Primjer1 . Proširite u Taylorov niz oko tačke
funkcija.

Odluka.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Područje konvergencije
.

Primjer2 . Funkcija proširenja u Taylorovoj seriji oko tačke
.

Odluka:

Nalazimo vrijednost funkcije i njenih derivata na
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Zamijenite ove vrijednosti u nizu. Dobijamo:

ili
.

Nađimo područje konvergencije ovog niza. Prema d'Alembertovom testu, red konvergira ako

.

Stoga, za bilo koje ova granica je manja od 1, pa će stoga područje konvergencije serije biti:
.

Razmotrimo nekoliko primjera proširenja u Maclaurinov niz osnovnih elementarnih funkcija. Podsjetimo da je Maclaurin serija:

.

konvergira na intervalu
da funkcioniše
.

Imajte na umu da je za proširenje funkcije u niz potrebno:

a) pronaći koeficijente Maclaurinovog reda za datu funkciju;

b) izračunati radijus konvergencije za rezultirajući niz;

c) dokazati da rezultirajući niz konvergira funkciji
.

Primjer 3 Razmotrite funkciju
.

Odluka.

Izračunajmo vrijednost funkcije i njenih derivata za
.

Tada numerički koeficijenti serije imaju oblik:

za bilo koga n. Pronađene koeficijente zamjenjujemo u Maclaurinov red i dobivamo:

Pronađite radijus konvergencije rezultirajućeg niza, i to:

.

Dakle, niz konvergira na intervalu
.

Ovaj niz konvergira funkciji za bilo koje vrednosti , jer na bilo kojem intervalu
funkcija a njegove apsolutne vrijednosti derivati ​​su ograničeni brojem .

Primjer4 . Razmotrite funkciju
.

Odluka.

:

Lako je vidjeti da su parni derivati
, i derivati ​​neparnog reda. Pronađene koeficijente zamjenjujemo u Maclaurinov red i dobivamo ekspanziju:

Nađimo interval konvergencije ovog niza. Prema d'Alambertu:

za bilo koga . Dakle, niz konvergira na intervalu
.

Ovaj niz konvergira funkciji
, jer su svi njegovi derivati ​​ograničeni na jedan.

Primjer5 .
.

Odluka.

Nađimo vrijednost funkcije i njenih derivata na
:

Dakle, koeficijenti ove serije:
i
, dakle:

Slično kao u prethodnoj seriji, područje konvergencije
. Serija konvergira funkciji
, jer su svi njegovi derivati ​​ograničeni na jedan.

Imajte na umu da je funkcija
neparno i nizovo proširenje po neparnim stepenima, funkcija
– čak i širenje u nizu u parnim snagama.

Primjer6 . Binomni niz:
.

Odluka.

Nađimo vrijednost funkcije i njenih derivata na
:

Ovo pokazuje da:

Zamjenjujemo ove vrijednosti koeficijenata u Maclaurinov red i dobijamo proširenje ove funkcije u niz stepena:

Nađimo radijus konvergencije ovog niza:

Dakle, niz konvergira na intervalu
. Na graničnim tačkama na
i
nizovi se mogu ili ne moraju konvergirati ovisno o eksponentu
.

Proučeni niz konvergira na intervalu
da funkcioniše
, odnosno zbir serije
at
.

Primjer7 . Proširimo funkciju u Maclaurinovu seriju
.

Odluka.

Za proširenje ove funkcije u niz koristimo binomni niz za
. Dobijamo:

Na osnovu svojstva redova stepena (redovi stepena se mogu integrisati u oblasti njegove konvergencije), nalazimo integral levog i desnog dela ovog niza:

Pronađite područje konvergencije ovog niza:
,

odnosno, područje konvergencije ovog niza je interval
. Odredimo konvergenciju niza na krajevima intervala. At

. Ovaj niz je harmonijski niz, odnosno divergira. At
dobijamo niz brojeva sa zajedničkim pojmom
.

Lajbnizova serija konvergira. Dakle, područje konvergencije ovog niza je interval
.

16.2. Primjena niza stepena snaga u približnim proračunima

Redovi snaga igraju izuzetno važnu ulogu u približnim proračunima. Uz njihovu pomoć sastavljene su tablice trigonometrijskih funkcija, tablice logaritama, tablice vrijednosti drugih funkcija koje se koriste u različitim područjima znanja, na primjer, u teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici. Osim toga, proširenje funkcija u niz stepena korisno je za njihovo teorijsko proučavanje. Glavni problem pri korištenju niza stepena u približnim proračunima je pitanje procjene greške pri zamjeni sume niza zbirom njegovih prvih nčlanovi.

Razmotrite dva slučaja:

funkcija se proširuje u naizmjeničnu seriju;

funkcija je proširena u niz konstantnih predznaka.

Proračun korištenjem naizmjeničnih serija

Neka funkcija
proširen u niz naizmjeničnih snaga. Zatim, prilikom izračunavanja ove funkcije za određenu vrijednost dobijamo niz brojeva na koji možemo primijeniti Leibnizov test. U skladu s ovim kriterijem, ako se zbir niza zamijeni zbirom njegovog prvog nčlanova, tada apsolutna greška ne prelazi prvi član ostatka ovog niza, odnosno:
.

Primjer8 . Izračunati
sa tačnošću od 0,0001.

Odluka.

Koristit ćemo Maclaurin seriju za
, zamjenjujući vrijednost ugla u radijanima:

Ako uporedimo prvi i drugi član serije sa datom tačnošću, onda: .

Treći termin proširenja:

manja od navedene tačnosti proračuna. Stoga, da izračunate
dovoljno je ostaviti dva člana serije, tj.

.

Dakle
.

Primjer9 . Izračunati
sa tačnošću od 0,001.

Odluka.

Koristićemo formulu binomnog niza. Za ovo pišemo
kao:
.

U ovom izrazu
,

Uporedimo svaki od pojmova serije sa tačnošću koja je data. To je jasno
. Stoga, da izračunate
dovoljno je ostaviti tri člana serije.

ili
.

Proračun korištenjem znakovno-pozitivnih serija

Primjer10 . Izračunaj broj sa tačnošću od 0,001.

Odluka.

U nizu za funkciju
zamjena
. Dobijamo:

Procijenimo grešku koja nastaje kada se zbir serije zamijeni zbirom prvog članovi. Zapišimo očiglednu nejednakost:

tj. 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Prema stanju problema, potrebno je pronaći n tako da vrijedi sljedeća nejednakost:
ili
.

Lako je to provjeriti kada n= 6:
.

dakle,
.

Primjer11 . Izračunati
sa tačnošću od 0,0001.

Odluka.

Imajte na umu da se za izračunavanje logaritama može primijeniti niz za funkciju
, ali ovaj niz konvergira vrlo sporo i trebalo bi uzeti 9999 članova da bi se postigla zadana tačnost! Stoga se za izračunavanje logaritama u pravilu koristi niz za funkciju
, koji konvergira na intervalu
.

Izračunaj
sa ovim redom. Neka bude
, onda .

dakle,
,

Da bi izračunali
sa datom tačnošću, uzmi zbir prva četiri člana:
.

Ostatak reda
odbaciti. Procijenimo grešku. Očigledno je da

ili
.

Tako je u nizu koji je korišten za izračunavanje bilo dovoljno uzeti samo prva četiri člana umjesto 9999 u nizu za funkciju
.

Pitanja za samodijagnozu

1. Šta je Taylor serija?

2. kakvu je seriju imao Maclaurin?

3. Formulirajte teoremu o proširenju funkcije u Taylorov red.

4. Napišite proširenje u Maclaurinov niz glavnih funkcija.

5. Navedite područja konvergencije razmatranih serija.

6. Kako procijeniti grešku u aproksimativnim proračunima pomoću nizova stepena?

Ako funkcija f(x) ima derivate svih redova na nekom intervalu koji sadrži tačku a, tada se na nju može primijeniti Taylorova formula:
,
gdje rn- takozvani rezidualni član ili ostatak serije, može se procijeniti pomoću Lagrangeove formule:
, gdje broj x leži između x i a.

f(x)=

U tački x 0 =
Broj elemenata reda 3 4 5 6 7
Koristite proširenje elementarnih funkcija e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Pravila unosa funkcije:

Ako za neku vrijednost X rn→0 at n→∞, tada se u granici Taylor formula za ovu vrijednost pretvara u konvergentnu Taylor serija:
,
Dakle, funkcija f(x) može se proširiti u Taylorov red u razmatranoj točki x ako:
1) ima derivate svih naloga;
2) konstruisani niz konvergira u ovoj tački.

Za a = 0 dobijamo niz tzv blizu Maclaurina:
,
Proširenje najjednostavnijih (elementarnih) funkcija u Maclaurin seriji:
eksponencijalne funkcije
, R=∞
Trigonometrijske funkcije
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcija actgx se ne širi po stepenu x, jer ctg0=∞
Hiperboličke funkcije


Logaritamske funkcije
, -1
Binomni nizovi
.

Primjer #1. Proširite funkciju u niz stepena f(x)= 2x.
Odluka. Nađimo vrijednosti funkcije i njenih derivata na X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f""(x) = 2x u 2 2, f""( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Zamjenom dobijenih vrijednosti derivata u formulu Taylorovog reda, dobivamo:

Radijus konvergencije ovog niza je jednak beskonačnosti, tako da ovo proširenje vrijedi za -∞<x<+∞.

Primjer #2. Napišite Taylorov niz po moćima ( X+4) za funkciju f(x)= e x.
Odluka. Pronalaženje izvoda funkcije e x i njihove vrijednosti u tom trenutku X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Stoga, željeni Taylorov niz funkcije ima oblik:

Ovo proširenje vrijedi i za -∞<x<+∞.

Primjer #3. Funkcija proširenja f(x)=ln x u nizu po stepenima ( X- 1),
(tj. u Tejlorovom nizu u blizini tačke X=1).
Odluka. Pronalazimo izvode ove funkcije.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1) n-1 (n-1)!
Zamjenom ovih vrijednosti u formulu, dobijamo željeni Taylorov niz:

Uz pomoć d'Alembertovog testa, može se potvrditi da se niz konvergira na ½x-1½<1 . Действительно,

Niz konvergira ako je ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 dobijamo naizmeničnu seriju koja zadovoljava uslove Lajbnicovog testa. Za x=0 funkcija nije definirana. Dakle, područje konvergencije Taylorovog reda je poluotvoreni interval (0;2).

Primjer #4. Proširite funkciju u nizu snaga.
Odluka. U dekompoziciji (1) zamjenjujemo x sa -x 2, dobijamo:
, -∞

Primjer broj 5. Proširite funkciju u Maclaurin seriju.
Odluka. Imamo
Koristeći formulu (4), možemo napisati:

zamjenom umjesto x u formuli -x, dobijamo:

Odavde nalazimo: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Proširujući zagrade, preuređujući članove serije i praveći redukciju sličnih pojmova, dobijamo
. Ovaj niz konvergira u intervalu (-1;1) jer se dobija iz dva niza, od kojih svaki konvergira u ovom intervalu.

Komentar .
Formule (1)-(5) se također mogu koristiti za proširenje odgovarajućih funkcija u Taylorov niz, tj. za proširenje funkcija u pozitivnim cijelim potencijama ( Ha). Da biste to učinili, potrebno je izvršiti takve identične transformacije na datoj funkciji kako bi se dobila jedna od funkcija (1) - (5), u kojoj umjesto X košta k( Ha) m , gdje je k konstantan broj, m je pozitivan cijeli broj. Često je zgodno promijeniti varijablu t=Ha i proširi rezultujuću funkciju u odnosu na t u Maclaurinovom nizu.

Ova metoda je zasnovana na teoremi o jedinstvenosti proširenja funkcije u niz stepena. Suština ove teoreme je da se u okolini iste tačke ne mogu dobiti dva različita niza stepena koji bi konvergirali istoj funkciji, bez obzira na to kako se vrši njeno proširenje.

Primjer br. 5a. Proširite funkciju u Maclaurinovu seriju, označite područje konvergencije.
Odluka. Prvo nalazimo 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
na osnovnu:

Razlomak 3/(1-3x) se može posmatrati kao zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije sa nazivnikom 3x ako je |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

sa područjem konvergencije |x|< 1/3.

Primjer broj 6. Proširite funkciju u Taylorov red u blizini tačke x = 3.
Odluka. Ovaj se problem može riješiti, kao i do sada, korištenjem definicije Taylorovog reda, za koji je potrebno pronaći izvode funkcija i njihove vrijednosti na X=3. Međutim, bit će lakše koristiti postojeću dekompoziciju (5):
=
Rezultirajući niz konvergira na ili -3

Primjer broj 7. Napišite Taylorov red po stepenu (x -1) funkcije ln(x+2) .
Odluka.


Serija konvergira na , ili -2< x < 5.

Primjer broj 8. Proširite funkciju f(x)=sin(πx/4) u Taylorov red oko tačke x =2.
Odluka. Napravimo zamjenu t=x-2:

Koristeći ekspanziju (3), u kojoj zamjenjujemo π / 4 t za x, dobivamo:

Rezultirajući niz konvergira datoj funkciji na -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞dakle,
, (-∞

Približni proračuni korištenjem niza stepena

Redovi snaga se široko koriste u približnim proračunima. Uz njihovu pomoć, sa datom preciznošću, možete izračunati vrijednosti korijena, trigonometrijske funkcije, logaritme brojeva, određene integrale. Redovi se također koriste u integraciji diferencijalnih jednačina.
Razmotrimo proširenje funkcije u niz stepena:

Za izračunavanje približne vrijednosti funkcije u datoj tački X, koji pripada području konvergencije naznačenog niza, prvi nčlanovi ( n je konačan broj), a preostali članovi se odbacuju:

Za procjenu greške dobijene približne vrijednosti potrebno je procijeniti odbačeni ostatak r n (x) . Za to se koriste sljedeće metode:

• ako je rezultirajući niz naizmjeničan karakter, tada se koristi sljedeće svojstvo: za naizmjenični niz koji zadovoljava Leibnizove uslove, apsolutna vrijednost ostatka serije ne prelazi prvi odbačeni član.
• ako je dati niz konstantnog predznaka, tada se niz sastavljen od odbačenih članova upoređuje sa beskonačno opadajućom geometrijskom progresijom.
• u općem slučaju, da biste procijenili ostatak Taylorovog niza, možete koristiti Lagrangeovu formulu: a x ).

Primjer #1. Izračunajte ln(3) na 0,01.
Odluka. Koristimo dekompoziciju, gdje je x=1/2 (vidi primjer 5 u prethodnoj temi):

Provjerimo možemo li odbaciti ostatak nakon prva tri člana ekspanzije, za to ga procjenjujemo pomoću sume beskonačno opadajuće geometrijske progresije:

Tako da možemo odbaciti ovaj ostatak i dobiti

Primjer #2. Izračunajte na najbližih 0,0001.
Odluka. Koristimo binomni niz. Kako je 5 3 najbliža cjelobrojna kocka 130, preporučljivo je broj 130 predstaviti kao 130=5 3 +5.



budući da je četvrti član dobijenog niza alternirajućih znakova koji zadovoljava Leibnizov test već manji od tražene tačnosti:
, tako da se on i uslovi koji slijede mogu odbaciti.
Mnogi praktično potrebni određeni ili nepravilni integrali ne mogu se izračunati pomoću Newton-Leibnizove formule, jer je njena primjena povezana s pronalaženjem antiderivata, koji često nema izraz u elementarnim funkcijama. Dešava se i da je pronalaženje antiderivata moguće, ali nepotrebno naporno. Međutim, ako se integrand proširi u stepen stepena, a granice integracije pripadaju intervalu konvergencije ovog niza, tada je moguće približno izračunavanje integrala sa unapred određenom tačnošću.

Primjer #3. Izračunajte integral ∫ 0 1 4 sin (x) x na 10 -5 .
Odluka. Odgovarajući neodređeni integral ne može se izraziti u elementarnim funkcijama, tj. je "nemogući integral". Ovdje se ne može primijeniti Newton-Leibnizova formula. Izračunajmo integral približno.
Dijeljenje pojma po pojmu niz za grijeh x na x, dobijamo:

Integrirajući ovaj niz pojam po član (ovo je moguće, budući da granice integracije pripadaju intervalu konvergencije ovog niza), dobijamo:

Pošto rezultujući niz zadovoljava Lajbnicove uslove i dovoljno je uzeti zbir prva dva člana da bi se dobila željena vrednost sa datom tačnošću.
Dakle, nalazimo
.

Primjer #4. Izračunajte integral ∫ 0 1 4 e x 2 s točnošću od 0,001.
Odluka.
. Provjerimo možemo li odbaciti ostatak nakon drugog člana rezultirajućeg niza.
0,0001<0.001. Следовательно, .