Tabela de proporcionalidade direta e inversa. Posts marcados como "proporcionalidade direta"

Exemplo

Fator de proporcionalidade

A razão constante de grandezas proporcionais é chamada coeficiente de proporcionalidade. O coeficiente de proporcionalidade mostra quantas unidades de uma quantidade caem sobre uma unidade de outra.

Proporcionalidade direta

Proporcionalidade direta- dependência funcional, em que uma quantidade depende de outra quantidade de tal forma que sua razão permanece constante. Em outras palavras, essas variáveis ​​mudam proporcionalmente, em partes iguais, ou seja, se o argumento mudou duas vezes em qualquer direção, então a função também muda duas vezes na mesma direção.

Matematicamente, a proporcionalidade direta é escrita como uma fórmula:

f(x) = umax,uma = const

Proporcionalidade inversa

Proporção inversa- esta é uma dependência funcional, na qual um aumento no valor independente (argumento) causa uma diminuição proporcional no valor dependente (função).

Matematicamente, a proporcionalidade inversa é escrita como uma fórmula:

Propriedades da função:

Fontes

Fundação Wikimedia. 2010.

Tipos de dependência

Considere o carregamento da bateria. Como primeiro valor, vamos usar o tempo que leva para carregar. O segundo valor é o tempo que funcionará após o carregamento. Quanto mais tempo a bateria for carregada, mais tempo ela durará. O processo continuará até que a bateria esteja totalmente carregada.

A dependência da vida útil da bateria no tempo em que é carregada

Observação 1

Essa dependência é chamada direto:

À medida que um valor aumenta, o outro também aumenta. À medida que um valor diminui, o outro valor também diminui.

Vamos considerar outro exemplo.

Quanto mais livros um aluno lê, mais menos erros fará no ditado. Ou quanto mais alto você subir as montanhas, menor será a pressão atmosférica.

Observação 2

Essa dependência é chamada marcha ré:

À medida que um valor aumenta, o outro diminui. À medida que um valor diminui, o outro valor aumenta.

Assim, no caso dependência direta ambas as quantidades mudam da mesma maneira (aumentam ou diminuem), e no caso relação inversa - oposto (um aumenta e o outro diminui, ou vice-versa).

Determinando dependências entre quantidades

Exemplo 1

O tempo que leva para visitar um amigo é de $ 20 $ minutos. Com um aumento na velocidade (do primeiro valor) em $2$ vezes, descobriremos como o tempo (segundo valor) que será gasto no caminho para um amigo mudará.

Obviamente, o tempo diminuirá em $2$ vezes.

Observação 3

Essa dependência é chamada proporcional:

Quantas vezes um valor muda, quantas vezes o segundo mudará.

Exemplo 2

Por um pão de $ 2 em uma loja, você tem que pagar 80 rublos. Se você precisar comprar pães de $4$ (a quantidade de pão aumenta $2$ vezes), quanto mais você terá que pagar?

Obviamente, o custo também aumentará $ 2 $ vezes. Temos um exemplo de dependência proporcional.

Em ambos os exemplos, as dependências proporcionais foram consideradas. Mas no exemplo com pães, os valores mudam em uma direção, portanto, a dependência é direto. E no exemplo com uma viagem a um amigo, a relação entre velocidade e tempo é marcha ré. Assim, há relação diretamente proporcional e relação inversamente proporcional.

Proporcionalidade direta

Considere quantidades proporcionais de $ 2: o número de pães e seu custo. Deixe que os pães de $ 2 $ custem $ 80 $ rublos. Com um aumento no número de rolos em $4$ vezes ($8$ rolos), seu custo total será de $320$ rublos.

A proporção do número de rolos: $\frac(8)(2)=4$.

Taxa de custo de rolagem: $\frac(320)(80)=4$.

Como você pode ver, essas proporções são iguais entre si:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definição 1

A igualdade de duas relações é chamada proporção.

Com uma relação diretamente proporcional, uma proporção é obtida quando a mudança no primeiro e no segundo valores é a mesma:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definição 2

As duas grandezas são chamadas diretamente proporcional se, ao alterar (aumentar ou diminuir) um deles, o outro valor se altera (aumenta ou diminui em conformidade) no mesmo valor.

Exemplo 3

O carro percorreu $ 180 $ km em $ 2 $ horas. Encontre o tempo que ele leva para percorrer $ 2 vezes a distância com a mesma velocidade.

Solução.

O tempo é diretamente proporcional à distância:

$t=\frac(S)(v)$.

Quantas vezes a distância aumentará velocidade constante, o tempo aumentará na mesma quantidade:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

O carro percorreu $180$ km - no tempo de $2$ hora

O carro percorre $180 \cdot 2=360$ km - no tempo de $x$ horas

Quanto mais distância o carro percorrer, mais tempo levará. Portanto, a relação entre as quantidades é diretamente proporcional.

Vamos fazer uma proporção:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Responda: O carro precisará de $ 4 $ horas.

Proporcionalidade inversa

Definição 3

Solução.

O tempo é inversamente proporcional à velocidade:

$t=\frac(S)(v)$.

Quantas vezes a velocidade aumenta, com a mesma trajetória, o tempo diminui na mesma proporção:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Vamos escrever a condição do problema na forma de uma tabela:

O carro percorreu $ 60$ km - no tempo de $ 6$ horas

Um carro percorre $ 120$ km - em um tempo de $ x $ horas

Quanto mais rápido o carro, menos tempo levará. Portanto, a relação entre as quantidades é inversamente proporcional.

Vamos fazer uma proporção.

Porque proporcionalidade é inversa, viramos a segunda razão na proporção:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Responda: O carro precisará de $ 3 $ horas.

O conceito de proporcionalidade direta

Imagine que você está pensando em comprar seu doce favorito (ou o que você realmente gosta). Os doces da loja têm seu próprio preço. Suponha 300 rublos por quilograma. Quanto mais doces você comprar, mais mais dinheiro pagar. Ou seja, se você quiser 2 quilos - pague 600 rublos e se quiser 3 quilos - dê 900 rublos. Tudo parece estar claro com isso, certo?

Se sim, então agora está claro para você o que é a proporcionalidade direta - este é um conceito que descreve a razão de duas quantidades que dependem uma da outra. E a razão dessas quantidades permanece inalterada e constante: em quantas partes uma delas aumenta ou diminui, em quantas partes a segunda aumenta ou diminui proporcionalmente.

A proporcionalidade direta pode ser descrita pela seguinte fórmula: f(x) = a*x, e a nesta fórmula é um valor constante (a = const). Em nosso exemplo de doces, o preço é uma constante, uma constante. Não aumenta nem diminui, não importa quantos doces você decida comprar. A variável independente (argumento) x é quantos quilos de doces você vai comprar. E a variável dependente f(x) (função) é quanto dinheiro você acaba pagando por sua compra. Assim, podemos substituir os números na fórmula e obter: 600 r. = 300 r. * 2kg.

A conclusão intermediária é esta: se o argumento aumenta, a função também aumenta, se o argumento diminui, a função também diminui

Função e suas propriedades

Função proporcional diretaé caso especial Função linear. Se a função linear é y = k*x + b, então para proporcionalidade direta fica assim: y = k*x, onde k é chamado de fator de proporcionalidade, e este é sempre um número diferente de zero. Calcular k é fácil - é encontrado como um quociente de uma função e um argumento: k = y/x.

Para ficar mais claro, vamos dar outro exemplo. Imagine que um carro está se movendo do ponto A para o ponto B. Sua velocidade é de 60 km/h. Se assumirmos que a velocidade do movimento permanece constante, então ela pode ser considerada constante. E então escrevemos as condições na forma: S \u003d 60 * t, e esta fórmula é semelhante à função de proporcionalidade direta y \u003d k * x. Vamos traçar um paralelo: se k \u003d y / x, a velocidade do carro pode ser calculada, conhecendo a distância entre A e B e o tempo gasto na estrada: V \u003d S / t.

E agora, da aplicação aplicada do conhecimento sobre proporcionalidade direta, voltemos à sua função. As propriedades dos quais incluem:

seu domínio de definição é o conjunto de todos os números reais (assim como seu subconjunto);

a função é ímpar;

a mudança nas variáveis ​​é diretamente proporcional a todo o comprimento da reta numérica.

A proporcionalidade direta e seu gráfico

Um gráfico de uma função proporcional direta é uma linha reta que intercepta o ponto de origem. Para construí-lo, basta marcar apenas mais um ponto. E conecte-o e a origem da linha.

No caso de um gráfico, isso é declive. Se a inclinação for menor que zero (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), o gráfico e a forma do eixo x canto afiado, e a função é crescente.

E mais uma propriedade do gráfico da função de proporcionalidade direta está diretamente relacionada à inclinação k. Suponha que temos duas funções não idênticas e, portanto, dois gráficos. Então, se os coeficientes k dessas funções são iguais, seus gráficos são paralelos no eixo de coordenadas. E se os coeficientes k não forem iguais entre si, os gráficos se cruzam.

Exemplos de tarefas

Vamos decidir um casal problemas de proporcionalidade direta

Vamos começar simples.

Tarefa 1: Imagine que 5 galinhas puseram 5 ovos em 5 dias. E se houver 20 galinhas, quantos ovos elas botarão em 20 dias?

Solução: Denote a incógnita como x. E vamos raciocinar da seguinte forma: quantas vezes houve mais galinhas? Divida 20 por 5 e descubra 4 vezes. E quantas vezes mais ovos 20 galinhas botarão nos mesmos 5 dias? Também 4 vezes mais. Então, encontramos o nosso assim: 5 * 4 * 4 \u003d 80 ovos serão postos por 20 galinhas em 20 dias.

Agora o exemplo é um pouco mais complicado, vamos reformular o problema da "Aritmética Geral" de Newton. Tarefa 2: Um escritor pode escrever 14 páginas de um novo livro em 8 dias. Se ele tivesse assistentes, quantas pessoas seriam necessárias para escrever 420 páginas em 12 dias?

Solução: Nós raciocinamos que o número de pessoas (escritor + assistentes) aumenta com o aumento da quantidade de trabalho se ele tivesse que ser feito no mesmo período de tempo. Mas quantas vezes? Dividindo 420 por 14, descobrimos que aumenta 30 vezes. Mas como, de acordo com a condição da tarefa, é dado mais tempo para o trabalho, o número de assistentes não aumenta 30 vezes, mas desta forma: x \u003d 1 (escritor) * 30 (vezes): 12/8 (dias). Vamos transformar e descobrir que x = 20 pessoas escreverão 420 páginas em 12 dias.

Vamos resolver outro problema semelhante aos que tivemos nos exemplos.

Tarefa 3: Dois carros partem na mesma jornada. Um estava se movendo a uma velocidade de 70 km/h e percorreu a mesma distância em 2 horas que o outro em 7 horas. Encontre a velocidade do segundo carro.

Solução: Como você lembra, o caminho é determinado através da velocidade e do tempo - S = V *t. Como os dois carros viajaram da mesma maneira, podemos igualar as duas expressões: 70*2 = V*7. Onde encontramos que a velocidade do segundo carro é V = 70*2/7 = 20 km/h.

E mais alguns exemplos de tarefas com funções de proporcionalidade direta. Às vezes, em problemas, é necessário encontrar o coeficiente k.

Tarefa 4: Dadas as funções y \u003d - x / 16 e y \u003d 5x / 2, determine seus coeficientes de proporcionalidade.

Solução: Como você se lembra, k = y/x. Assim, para a primeira função, o coeficiente é -1/16, e para a segunda, k = 5/2.

E você também pode se deparar com uma tarefa como a Tarefa 5: Anote a fórmula da proporcionalidade direta. Seu gráfico e o gráfico da função y \u003d -5x + 3 estão localizados em paralelo.

Solução: A função que nos é dada na condição é linear. Sabemos que a proporcionalidade direta é um caso especial de função linear. E também sabemos que se os coeficientes de k funções são iguais, seus gráficos são paralelos. Isso significa que tudo o que é necessário é calcular o coeficiente de uma função conhecida e definir a proporcionalidade direta usando a fórmula familiar: y \u003d k * x. Coeficiente k \u003d -5, proporcionalidade direta: y \u003d -5 * x.

Conclusão

Agora que você aprendeu (ou lembrou, caso já tenha abordado este tópico antes), o que é chamado proporcionalidade direta, e considerou exemplos. Também falamos sobre a função de proporcionalidade direta e seu gráfico, resolvemos alguns problemas por exemplo.

Se este artigo foi útil e ajudou a entender o assunto, conte-nos nos comentários. Para que saibamos se podemos beneficiá-lo.

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Exemplo

Fator de proporcionalidade

A razão constante de grandezas proporcionais é chamada coeficiente de proporcionalidade. O coeficiente de proporcionalidade mostra quantas unidades de uma quantidade caem sobre uma unidade de outra.

Proporcionalidade direta

Proporcionalidade direta- dependência funcional, em que uma quantidade depende de outra quantidade de tal forma que sua razão permanece constante. Em outras palavras, essas variáveis ​​mudam proporcionalmente, em partes iguais, ou seja, se o argumento mudou duas vezes em qualquer direção, então a função também muda duas vezes na mesma direção.

Matematicamente, a proporcionalidade direta é escrita como uma fórmula:

f(x) = umax,uma = const

Proporcionalidade inversa

Proporção inversa- esta é uma dependência funcional, na qual um aumento no valor independente (argumento) causa uma diminuição proporcional no valor dependente (função).

Matematicamente, a proporcionalidade inversa é escrita como uma fórmula:

Propriedades da função:

Fontes

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que é "Proporcionalidade direta" em outros dicionários:

proporcionalidade direta- - [A.S. Goldberg. Dicionário de Energia Inglês Russo. 2006] Temas energia em geral EN relação direta … Manual do Tradutor Técnico

proporcionalidade direta- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. proporcionalidade direta vok. direkte Proporcionalitat, f rus. proporcionalidade direta, f pranc. rationalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

- (de lat. proporcionalis proporcional, proporcional). Proporcionalidade. Dicionário palavras estrangeiras incluído no idioma russo. Chudinov A.N., 1910. PROPORCIONALIDADE otlat. proporcional, proporcional. Proporcionalidade. Explicação de 25000… … Dicionário de palavras estrangeiras da língua russa

PROPORCIONALIDADE, proporcionalidade, pl. não, fêmea (livro). 1. distração substantivo para proporcional. Proporcionalidade das peças. proporcionalidade do corpo. 2. Tal relação entre quantidades quando são proporcionais (veja proporcional ... Dicionário Ushakov

Duas quantidades mutuamente dependentes são chamadas de proporcionais se a razão de seus valores permanecer inalterada .. Conteúdo 1 Exemplo 2 Coeficiente de proporcionalidade ... Wikipedia

PROPORCIONALIDADE, e, esposas. 1. ver proporcional. 2. Em matemática: tal relação entre quantidades, quando um aumento em uma delas implica uma mudança na outra na mesma quantidade. P. direta (quando cortada com um aumento de um valor ... ... Dicionário explicativo de Ozhegov

E; e. 1. para Proporcional (1 dígito); proporcionalidade. P. partes. P. físico. P. representação no parlamento. 2. Matemática. Dependência entre quantidades que mudam proporcionalmente. Fator de proporcionalidade. Direto p. (Em que com ... ... dicionário enciclopédico

A proporcionalidade é a relação entre duas grandezas, na qual uma mudança em uma delas acarreta uma mudança na outra na mesma quantidade.

A proporcionalidade é direta e inversa. Nesta lição, veremos cada um deles.

Proporcionalidade direta

Suponha que um carro esteja se movendo a uma velocidade de 50 km/h. Lembramos que a velocidade é a distância percorrida por unidade de tempo (1 hora, 1 minuto ou 1 segundo). No nosso exemplo, o carro está se movendo a uma velocidade de 50 km/h, ou seja, em uma hora percorrerá uma distância igual a cinquenta quilômetros.

Vamos traçar a distância percorrida pelo carro em 1 hora.

Deixe o carro dirigir por mais uma hora na mesma velocidade de cinquenta quilômetros por hora. Então acontece que o carro percorrerá 100 km

Como pode ser visto no exemplo, dobrar o tempo levou a um aumento na distância percorrida na mesma quantidade, ou seja, duas vezes.

Quantidades como tempo e distância são ditas diretamente proporcionais. A relação entre essas quantidades é chamada de proporcionalidade direta.

A proporcionalidade direta é a relação entre duas grandezas, na qual o aumento de uma delas acarreta o aumento da outra na mesma proporção.

e vice-versa, se um valor diminui um certo número de vezes, o outro diminui na mesma quantidade.

Vamos supor que foi originalmente planejado para dirigir um carro 100 km em 2 horas, mas depois de dirigir 50 km, o motorista decidiu fazer uma pausa. Então acontece que, reduzindo a distância pela metade, o tempo diminuirá na mesma quantidade. Em outras palavras, uma diminuição na distância percorrida levará a uma diminuição no tempo pelo mesmo fator.

Uma característica interessante das grandezas diretamente proporcionais é que sua razão é sempre constante. Ou seja, ao alterar os valores de quantidades diretamente proporcionais, sua proporção permanece inalterada.

No exemplo considerado, a distância foi inicialmente igual a 50 km e o tempo foi de uma hora. A razão entre a distância e o tempo é o número 50.

Mas aumentamos o tempo de movimento em 2 vezes, tornando-o igual a duas horas. Como resultado, a distância percorrida aumentou na mesma proporção, ou seja, tornou-se igual a 100 km. A razão de cem quilômetros para duas horas é novamente o número 50

O número 50 é chamado coeficiente de proporcionalidade direta. Mostra quanta distância existe por hora de movimento. NO este caso o coeficiente desempenha o papel da velocidade do movimento, pois a velocidade é a razão entre a distância percorrida e o tempo.

As proporções podem ser feitas a partir de quantidades diretamente proporcionais. Por exemplo, as razões e compõem a proporção:

Cinquenta quilômetros estão relacionados a uma hora, assim como cem quilômetros estão relacionados a duas horas.

Exemplo 2. O custo e a quantidade dos bens adquiridos são diretamente proporcionais. Se 1 kg de doces custa 30 rublos, 2 kg dos mesmos doces custarão 60 rublos, 3 kg - 90 rublos. Com o aumento do custo dos bens adquiridos, sua quantidade aumenta na mesma quantidade.

Como o valor de uma mercadoria e sua quantidade são diretamente proporcionais, sua razão é sempre constante.

Vamos escrever a proporção de trinta rublos para um quilograma

Agora vamos escrever o que a proporção de sessenta rublos para dois quilogramas é igual. Essa proporção será novamente igual a trinta:

Aqui, o coeficiente de proporcionalidade direta é o número 30. Este coeficiente mostra quantos rublos por quilo de doces. Neste exemplo, o coeficiente desempenha o papel do preço de um quilograma de mercadoria, pois o preço é a razão entre o custo da mercadoria e sua quantidade.

Proporcionalidade inversa

Considerar próximo exemplo. A distância entre as duas cidades é de 80 km. O motociclista saiu da primeira cidade, e em uma velocidade de 20 km/h chegou à segunda cidade em 4 horas.

Se a velocidade de um motociclista era de 20 km/h, isso significa que a cada hora ele percorreu uma distância igual a vinte quilômetros. Representemos na figura a distância percorrida pelo motociclista e o tempo de seu deslocamento:

Na volta, a velocidade do motociclista era de 40 km/h, e ele passou 2 horas no mesmo trajeto.

É fácil ver que quando a velocidade muda, o tempo do movimento muda na mesma proporção. E mudou em lado reverso- ou seja, a velocidade aumentou e o tempo, ao contrário, diminuiu.

Quantidades como velocidade e tempo são chamadas de inversamente proporcionais. A relação entre essas quantidades é chamada de proporcionalidade inversa.

A proporcionalidade inversa é a relação entre duas grandezas, na qual o aumento de uma delas acarreta a diminuição da outra na mesma quantidade.

e vice-versa, se um valor diminui um certo número de vezes, o outro aumenta na mesma quantidade.

Por exemplo, se na volta a velocidade de um motociclista fosse de 10 km/h, então ele percorreria os mesmos 80 km em 8 horas:

Como pode ser visto no exemplo, uma diminuição na velocidade levou a um aumento no tempo de viagem pelo mesmo fator.

A peculiaridade das quantidades inversamente proporcionais é que seu produto é sempre constante. Ou seja, ao alterar os valores de quantidades inversamente proporcionais, seu produto permanece inalterado.

No exemplo considerado, a distância entre as cidades foi de 80 km. Ao alterar a velocidade e o tempo do motociclista, essa distância sempre permaneceu inalterada.

Um motociclista pode percorrer essa distância a uma velocidade de 20 km/h em 4 horas, a uma velocidade de 40 km/h em 2 horas e a uma velocidade de 10 km/h em 8 horas. Em todos os casos, o produto da velocidade pelo tempo foi igual a 80 km

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