Um círculo é uma coleção visível de muitos pontos que estão à mesma distância do centro. Para encontrar sua área, você precisa saber qual é o raio, o diâmetro, o número π e a circunferência.

Quantidades envolvidas no cálculo da área de um círculo

A distância limitada pelo ponto central do círculo e qualquer um dos pontos do círculo é chamada de raio desse círculo. figura geométrica. Os comprimentos de todos os raios de um círculo são os mesmos. O segmento de reta entre quaisquer 2 pontos no círculo que passa pelo ponto central é chamado de diâmetro. O comprimento do diâmetro é igual ao comprimento do raio multiplicado por 2.

Para calcular a área de um círculo, o valor do número π é usado. Este valor é igual à razão entre a circunferência e o comprimento do diâmetro do círculo e tem um valor constante. Π = 3,1415926. A circunferência é calculada pela fórmula L=2πR.

Encontre a área de um círculo usando o raio

Portanto, a área de um círculo é igual ao produto do número π e o raio do círculo elevado à 2ª potência. Como exemplo, vamos pegar o comprimento do raio do círculo igual a 5 cm. Então a área do círculo S será igual a 3,14 * 5 ^ 2 = 78,5 metros quadrados. cm.

Área do círculo em termos de diâmetro

A área de um círculo também pode ser calculada conhecendo o diâmetro do círculo. Neste caso, S = (π/4)*d^2, onde d é o diâmetro do círculo. Vamos pegar o mesmo exemplo onde o raio é 5 cm. Então seu diâmetro será 5*2=10 cm. A área do círculo é S=3.14/4*10^2=78.5 sq.cm. O resultado, que é igual ao total dos cálculos no primeiro exemplo, confirma a exatidão dos cálculos em ambos os casos.

Área de um círculo em termos de circunferência

Se o raio de um círculo é representado em termos da circunferência, então a fórmula terá próxima visualização: R=(L/2)π. Substitua esta expressão na fórmula da área de um círculo e como resultado obtemos S=(L^2)/4π. Considere um exemplo em que a circunferência é de 10 cm. Então a área do círculo é S = (10 ^ 2) / 4 * 3,14 = 7,96 metros quadrados. cm.

Área de um círculo em termos do comprimento de um lado de um quadrado inscrito

Se um quadrado está inscrito em um círculo, então o comprimento do diâmetro do círculo é igual ao comprimento da diagonal do quadrado. Conhecendo o tamanho do lado do quadrado, você pode encontrar facilmente o diâmetro do círculo pela fórmula: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2. Em outras palavras, o diâmetro elevado a 2 é igual ao lado do quadrado elevado a 2 vezes 2.

Tendo calculado o valor do comprimento do diâmetro de um círculo, você também pode descobrir seu raio e usar uma das fórmulas para determinar a área de um círculo.

Área do setor de um círculo

Um setor é uma parte de um círculo limitado por 2 raios e um arco entre eles. Para descobrir sua área, você precisa medir o ângulo do setor. Depois disso, é necessário compor uma fração, em cujo numerador haverá o valor do ângulo do setor e no denominador - 360. Para calcular a área do setor, o valor obtido como resultado da divisão da fração deve ser multiplicado pela área do círculo calculado usando uma das fórmulas acima.

- Esta é uma figura plana, que é um conjunto de pontos equidistantes do centro. Todos eles estão à mesma distância e formam um círculo.

Um segmento de linha que liga o centro de um círculo com pontos em sua circunferência é chamado raio. Em cada círculo, todos os raios são iguais entre si. A linha que une dois pontos de uma circunferência e passa pelo centro chama-se diâmetro. A fórmula para a área de um círculo é calculada usando uma constante matemática - o número π ..

É interessante : O número pi. é a razão entre a circunferência de um círculo e o comprimento de seu diâmetro e é um valor constante. O valor π = 3,1415926 foi usado após o trabalho de L. Euler em 1737.

A área de um círculo pode ser calculada usando a constante π. e o raio do círculo. A fórmula para a área de um círculo em termos de raio é assim:

Considere um exemplo de cálculo da área de um círculo usando o raio. Seja dado um círculo com raio R = 4 cm. Vamos encontrar a área da figura.

A área do nosso círculo será igual a 50,24 metros quadrados. cm.

Existe uma fórmula a área de um círculo em termos de diâmetro. Também é amplamente utilizado para calcular os parâmetros necessários. Essas fórmulas podem ser usadas para encontrar .

Considere um exemplo de cálculo da área de um círculo através do diâmetro, conhecendo seu raio. Seja dado um círculo com um raio R = 4 cm Primeiro, vamos encontrar o diâmetro, que, como você sabe, é o dobro do raio.


Agora usamos os dados para o exemplo de cálculo da área de um círculo usando a fórmula acima:

Como você pode ver, como resultado, obtemos a mesma resposta que nos primeiros cálculos.

O conhecimento das fórmulas padrão para calcular a área de um círculo ajudará no futuro a determinar facilmente área do setor e é fácil encontrar as quantidades que faltam.

Já sabemos que a fórmula da área de um círculo é calculada através do produto do valor constante π pelo quadrado do raio do círculo. O raio pode ser expresso em termos da circunferência de um círculo e substituir a expressão na fórmula da área de um círculo em termos da circunferência:
Agora substituímos essa igualdade na fórmula para calcular a área de um círculo e obtemos a fórmula para encontrar a área do círculo, através da circunferência

Considere um exemplo de cálculo da área de um círculo através da circunferência. Seja um círculo com comprimento l = 8 cm. Vamos substituir o valor na fórmula derivada:

A área total do círculo será de 5 metros quadrados. cm.

Área de um círculo circunscrito ao redor de um quadrado

É muito fácil encontrar a área de um círculo circunscrito em torno de um quadrado.

Isso requer apenas o lado do quadrado e conhecimento fórmulas simples. A diagonal do quadrado será igual à diagonal do círculo circunscrito. Conhecendo o lado a, ele pode ser encontrado usando o teorema de Pitágoras: daqui.
Depois de encontrarmos a diagonal, podemos calcular o raio: .
E então substituímos tudo na fórmula básica para a área de um círculo circunscrito ao redor de um quadrado:

Os círculos exigem uma abordagem mais cuidadosa e são muito menos comuns em tarefas B5. No entanto, esquema geral as soluções são ainda mais simples do que no caso de polígonos (veja a lição "Áreas de polígonos em uma grade de coordenadas").

Tudo o que é necessário em tais tarefas é encontrar o raio do círculo R . Então você pode calcular a área do círculo usando a fórmula S = πR 2 . Também segue desta fórmula que é suficiente encontrar R 2 para a solução.

Para encontrar os valores indicados, basta indicar no círculo um ponto situado na interseção das linhas da grade. E então use o teorema de Pitágoras. Considerar exemplos concretos cálculos de raio:

Uma tarefa. Encontre os raios dos três círculos mostrados na figura:

Vamos realizar construções adicionais em cada círculo:

Em cada caso, o ponto B é escolhido no círculo para estar na interseção das linhas de grade. O ponto C nos círculos 1 e 3 completa a figura até triângulo retângulo. Resta encontrar os raios:

Considere o triângulo ABC no primeiro círculo. De acordo com o teorema de Pitágoras: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Para o segundo círculo, tudo é óbvio: R = AB = 2.

O terceiro caso é semelhante ao primeiro. Do triângulo ABC de acordo com o teorema de Pitágoras: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5.

Agora sabemos como encontrar o raio de um círculo (ou pelo menos seu quadrado). Portanto, podemos encontrar a área. Existem tarefas em que é necessário encontrar a área de um setor, e não o círculo inteiro. Nesses casos, é fácil descobrir qual parte do círculo é esse setor e, assim, encontrar a área.

Uma tarefa. Encontre a área S do setor sombreado. Indique S / π em sua resposta.

Obviamente, o setor é um quarto do círculo. Portanto, S = 0,25 S do círculo.

Resta encontrar o S do círculo - a área do círculo. Para fazer isso, vamos realizar uma construção adicional:

O triângulo ABC é um triângulo retângulo. Pelo teorema de Pitágoras, temos: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Agora encontramos a área do círculo e o setor: S do círculo = πR 2 = 8π; S = 0,25 S círculo = 2π.

Finalmente, o valor desejado é igual a S /π = 2.

Área do setor com raio desconhecido

É perfeito novo tipo tarefas, não houve nada semelhante em 2010-2011. Por condição, nos é dado um círculo certa área(precisamente a área, não o raio!). Então, dentro desse círculo, é alocado um setor, cuja área deve ser encontrada.

A boa notícia é que esses problemas são os mais fáceis de todos os problemas do quadrado, que estão no exame de matemática. Além disso, o círculo e o setor são sempre colocados na grade de coordenadas. Portanto, para aprender a resolver esses problemas, basta dar uma olhada na imagem:

Deixe o círculo original ter área S do círculo = 80. Então ele pode ser dividido em dois setores de área S = 40 cada (veja o passo 2). Da mesma forma, cada um desses "meios" setores pode ser dividido pela metade novamente - obtemos quatro setores de área S = 20 cada (veja o passo 3). Finalmente, você pode dividir cada um desses setores em mais dois - obtemos 8 setores - "pequenos pedaços". A área de cada um desses "pedaços" será S = 10.

Por favor, note: uma partição mais fina em nenhum USE tarefa sem matemática! Assim, o algoritmo para resolver o problema B-3 é o seguinte:

1. Corte o círculo original em 8 setores - "peças". A área de cada um deles é exatamente 1/8 da área de todo o círculo. Por exemplo, se de acordo com a condição o círculo tem a área S do círculo = 240, então os “grumos” têm a área S = 240: 8 = 30;
2. Descubra quantos "grumos" cabem no setor original, cuja área você deseja encontrar. Por exemplo, se o nosso setor contém 3 “grumos” com uma área de 30, então a área do setor desejado é S = 3 30 = 90. Esta será a resposta.

Isso é tudo! O problema é resolvido praticamente oralmente. Se você ainda não entendeu alguma coisa, compre uma pizza e corte-a em 8 pedaços. Cada uma dessas peças será o mesmo setor - "pedaço" que pode ser combinado em peças maiores.

E agora vamos ver exemplos do exame de teste:

Uma tarefa. Um círculo com área de 40 é desenhado em papel quadriculado. Encontre a área da figura sombreada.

Então, a área do círculo é 40. Divida-o em 8 setores - cada um com uma área de S = 40: 5 = 8. Obtemos:

Obviamente, o setor sombreado consiste em exatamente dois setores "pequenos". Portanto, sua área é 2 5 = 10. Essa é toda a solução!

Uma tarefa. Um círculo com área de 64 é desenhado em papel quadriculado. Encontre a área da figura sombreada.

Novamente, divida o círculo inteiro em 8 setores iguais. Obviamente, a área de um deles só precisa ser encontrada. Portanto, sua área é S = 64: 8 = 8.

Uma tarefa. Um círculo com área de 48 é desenhado em papel quadriculado. Encontre a área da figura sombreada.

Novamente, divida o círculo em 8 setores iguais. A área de cada um deles é igual a S = 48: 8 = 6. Exatamente três setores "pequenos" são colocados no setor desejado (veja a figura). Portanto, a área do setor desejado é 3 6 = 18.

Como sabemos de currículo escolar, um círculo é geralmente chamado de figura geométrica plana, que consiste em muitos pontos equidistantes do centro da figura. Como estão todos à mesma distância, eles formam um círculo.

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Calculadora de área do círculo