O que é afetado por c em uma função quadrática. Tutoriais em vídeo com uma parábola. Caso IV, "b" aparece

Função da forma , onde é chamado função quadrática.

Cronograma função quadrática – parábola.

Considere os casos:

CASO I, PARÁBOLA CLÁSSICA

Ou seja, ,

Para construir, preencha a tabela substituindo os valores de x na fórmula:

Marcar pontos (0;0); (1;1); (-1;1) etc. no plano de coordenadas (no passo menor tomamos os valores de x (em este caso passo 1), e quanto mais valores de x tomarmos, mais suave será a curva), obtemos uma parábola:

É fácil ver que se tomarmos o caso , , , ou seja, obtemos uma parábola simétrica em relação ao eixo (ox). É fácil verificar isso preenchendo uma tabela semelhante:

II CASO, "um" DIFERENTE DE UM

O que acontecerá se tomarmos , , ? Como o comportamento da parábola mudará? Com title="(!LANG:Renderizado por QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

A primeira foto (veja acima) mostra claramente que os pontos da tabela para a parábola (1;1), (-1;1) foram transformados em pontos (1;4), (1;-4), ou seja, com os mesmos valores, a ordenada de cada ponto é multiplicada por 4. Isso acontecerá com todos os pontos-chave da tabela original. Argumentamos de forma semelhante nos casos das figuras 2 e 3.

E quando a parábola "fica mais larga":

Vamos recapitular:

1)O sinal do coeficiente é responsável pela direção dos ramos. Com title="(!LANG:Renderizado por QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Valor absoluto coeficiente (módulo) é responsável pela “expansão”, “compressão” da parábola. Quanto maior, mais estreita a parábola, quanto menor |a|, mais larga a parábola.

CASO III, "C" APARECE

Agora vamos colocar em jogo (ou seja, consideramos o caso quando ), vamos considerar parábolas da forma . É fácil adivinhar (você sempre pode consultar a tabela) que a parábola se moverá para cima ou para baixo ao longo do eixo, dependendo do sinal:

IV CASO, "b" APARECE

Quando a parábola “se partirá” do eixo e finalmente “caminhará” ao longo de todo o plano de coordenadas? Quando deixa de ser igual.

Aqui, para construir uma parábola, precisamos fórmula para calcular o vértice: , .

Então, neste ponto (como no ponto (0; 0) novo sistema coordenadas) construiremos uma parábola, que já está ao nosso alcance. Se estamos lidando com o caso, então do topo separamos um único segmento para a direita, um para cima, - o ponto resultante é nosso (da mesma forma, um passo para a esquerda, um passo para cima é o nosso ponto); se estamos lidando com, por exemplo, do topo, separamos um único segmento para a direita, dois para cima, etc.

Por exemplo, o vértice de uma parábola:

Agora o principal a entender é que neste vértice vamos construir uma parábola de acordo com o modelo da parábola, porque no nosso caso.

Ao construir uma parábola depois de encontrar as coordenadas do vértice é muitoÉ conveniente considerar os seguintes pontos:

1) parábola deve passar pelo ponto . De fato, substituindo x=0 na fórmula, obtemos que . Ou seja, a ordenada do ponto de intersecção da parábola com o eixo (oy), isto é. Em nosso exemplo (acima), a parábola intercepta o eixo y em , já que .

2) eixo de simetria parábolas é uma linha reta, então todos os pontos da parábola serão simétricos em relação a ela. Em nosso exemplo, pegamos imediatamente o ponto (0; -2) e construímos uma parábola simétrica em torno do eixo de simetria, obtemos o ponto (4; -2), pelo qual a parábola passará.

3) Igualando a , encontramos os pontos de intersecção da parábola com o eixo (ox). Para isso, resolvemos a equação. Dependendo do discriminante, obteremos um (, ), dois ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . No exemplo anterior, temos uma raiz do discriminante - não um inteiro, ao construí-lo, faz pouco sentido encontrarmos as raízes, mas podemos ver claramente que teremos dois pontos de interseção com o (oh) axis (desde title = "(!LANG: Renderizado por QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Então vamos malhar

Algoritmo para construir uma parábola se for dado na forma

1) determinar a direção dos ramos (a>0 - para cima, a<0 – вниз)

2) encontrar as coordenadas do vértice da parábola pela fórmula , .

3) encontramos o ponto de intersecção da parábola com o eixo (oy) pelo termo livre, construímos um ponto simétrico ao dado em relação ao eixo de simetria da parábola (deve-se notar que acontece que é inútil marcar este ponto, por exemplo, porque o valor é grande... pulamos este ponto...)

4) No ponto encontrado - o topo da parábola (como no ponto (0; 0) do novo sistema de coordenadas), construímos uma parábola. If title="(!LANG:Renderizado por QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Encontramos os pontos de intersecção da parábola com o eixo (oy) (se eles próprios ainda não “emergirem”), resolvendo a equação

Exemplo 1

Exemplo 2

Observação 1. Se a parábola nos for dada inicialmente na forma , onde estão alguns números (por exemplo, ), será ainda mais fácil construí-la, porque já recebemos as coordenadas do vértice . Por quê?

Vamos levar trinômio quadrado e selecione um quadrado completo nele: Olha, aqui temos isso , . Anteriormente chamamos o topo da parábola, ou seja, agora,.

Por exemplo, . Marcamos o topo da parábola no plano, entendemos que os ramos são direcionados para baixo, a parábola é expandida (relativamente). Ou seja, realizamos os passos 1; 3; 4; 5 do algoritmo para a construção de uma parábola (ver acima).

Observação 2. Se a parábola é dada de uma forma semelhante a esta (ou seja, representada como um produto de dois fatores lineares), então vemos imediatamente os pontos de interseção da parábola com o eixo (x). Neste caso - (0;0) e (4;0). De resto, agimos de acordo com o algoritmo, abrindo os colchetes.

Como construir uma parábola? Existem várias maneiras de representar graficamente uma função quadrática. Cada um deles tem seus prós e contras. Vamos considerar duas maneiras.

Vamos começar traçando uma função quadrática como y=x²+bx+cey= -x²+bx+c.

Exemplo.

Plote a função y=x²+2x-3.

Decisão:

y=x²+2x-3 é uma função quadrática. O gráfico é uma parábola com ramos para cima. Coordenadas do vértice da parábola

A partir do vértice (-1;-4) construímos um gráfico da parábola y=x² (a partir da origem. Em vez de (0;0) - o vértice (-1;-4). De (-1;- 4) vamos para a direita em 1 unidade e para cima em 1, depois para a esquerda em 1 e para cima em 1, então: 2 - direita, 4 - acima, 2 - esquerda, 4 - acima, 3 - direita, 9 - acima, 3 - esquerda, 9 - para cima. esses 7 pontos não são suficientes, então - 4 para a direita, 16 - para cima, etc.).

O gráfico da função quadrática y= -x²+bx+c é uma parábola cujos ramos são direcionados para baixo. Para construir um grafo, procuramos as coordenadas do vértice e a partir dele construímos uma parábola y= -x².

Exemplo.

Plote a função y= -x²+2x+8.

Decisão:

y= -x²+2x+8 é uma função quadrática. O gráfico é uma parábola com ramos para baixo. Coordenadas do vértice da parábola

De cima, construímos uma parábola y = -x² (1 - direita, 1 - baixo; 1 - esquerda, 1 - baixo; 2 - direita, 4 - baixo; 2 - esquerda, 4 - baixo, etc.):

Este método permite construir uma parábola rapidamente e não causa dificuldades se você souber plotar as funções y=x² e y= -x². Desvantagem: se as coordenadas do vértice são números fracionários, plotar não é muito conveniente. Se você precisa saber valores exatos pontos de interseção do gráfico com o eixo Ox, você terá que resolver adicionalmente a equação x² + bx + c = 0 (ou -x² + bx + c = 0), mesmo que esses pontos possam ser determinados diretamente a partir da figura.

Outra forma de construir uma parábola é por pontos, ou seja, você pode encontrar vários pontos no gráfico e desenhar uma parábola através deles (levando em conta que a reta x=xₒ é seu eixo de simetria). Normalmente, para isso, eles pegam o topo da parábola, os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados e 1-2 pontos adicionais.

Plote a função y=x²+5x+4.

Decisão:

y=x²+5x+4 é uma função quadrática. O gráfico é uma parábola com ramos para cima. Coordenadas do vértice da parábola

ou seja, o topo da parábola é o ponto (-2,5; -2,25).

Estão procurando. No ponto de intersecção com o eixo Ox y=0: x²+5x+4=0. As raízes da equação quadrática x1 \u003d -1, x2 \u003d -4, ou seja, receberam dois pontos no gráfico (-1; 0) e (-4; 0).

No ponto de intersecção do gráfico com o eixo Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Ganhei um ponto (0; 4).

Para refinar o gráfico, você pode encontrar um ponto adicional. Vamos pegar x=1, então y=1²+5∙1+4=10, ou seja, mais um ponto do gráfico - (1; 10). Marcamos esses pontos no plano coordenado. Levando em conta a simetria da parábola em relação à reta que passa pelo seu vértice, marcamos mais dois pontos: (-5; 6) e (-6; 10) e traçamos uma parábola através deles:

Plote a função y= -x²-3x.

Decisão:

y= -x²-3x é uma função quadrática. O gráfico é uma parábola com ramos para baixo. Coordenadas do vértice da parábola

O topo (-1,5; 2,25) é o primeiro ponto da parábola.

Nos pontos de intersecção do gráfico com o eixo x y=0, ou seja, resolvemos a equação -x²-3x=0. Suas raízes são x=0 e x=-3, ou seja, (0; 0) e (-3; 0) são mais dois pontos no gráfico. O ponto (o; 0) é também o ponto de intersecção da parábola com o eixo y.

Em x=1 y=-1²-3∙1=-4, ou seja, (1; -4) é um ponto adicional para plotagem.

Construir uma parábola a partir de pontos é um método mais demorado em comparação com o primeiro. Se a parábola não cruzar o eixo Ox, mais pontos adicionais serão necessários.

Antes de continuarmos plotando funções quadráticas da forma y=ax²+bx+c, vamos considerar plotar funções usando transformações geométricas. Gráficos de funções da forma y=x²+c também são mais convenientes para construir usando uma dessas transformações - tradução paralela.

Uma função quadrática é uma função da forma:
y=a*(x^2)+b*x+c,
onde a é o coeficiente no grau mais alto da incógnita x,
b - coeficiente em desconhecido x,
e c é um membro livre.
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. Forma geral parábola é mostrada na figura abaixo.

Fig.1 Vista geral da parábola.

Existem vários várias maneiras plotando uma função quadrática. Vamos considerar o principal e mais geral deles.

Algoritmo para traçar um gráfico de uma função quadrática y=a*(x^2)+b*x+c

1. Construa um sistema de coordenadas, marque um único segmento e assine eixos de coordenadas.

2. Determine a direção dos ramos da parábola (para cima ou para baixo).
Para fazer isso, você precisa olhar para o sinal do coeficiente a. Se positivo - os ramos são direcionados para cima, se menos - os ramos são direcionados para baixo.

3. Determine a coordenada x do topo da parábola.
Para fazer isso, você precisa usar a fórmula Tops = -b / 2 * a.

4. Determine a coordenada no topo da parábola.
Para fazer isso, substitua o valor do Top encontrado na etapa anterior na equação do Top = a * (x ^ 2) + b * x + c em vez de x.

5. Coloque o ponto resultante no gráfico e desenhe um eixo de simetria através dele, paralelo ao eixo coordenado Oy.

6. Encontre os pontos de interseção do gráfico com o eixo x.
Isso requer resolver Equação quadrática a*(x^2)+b*x+c = 0 por um dos maneiras conhecidas. Se a equação não tem raízes reais, então o gráfico da função não intercepta o eixo x.

7. Encontre as coordenadas do ponto de intersecção do gráfico com o eixo Oy.
Para fazer isso, substituímos o valor x = 0 na equação e calculamos o valor de y. Marcamos isso e o ponto simétrico a ele no gráfico.

8. Encontre as coordenadas de um ponto arbitrário A (x, y)
Para fazer isso, escolhemos um valor arbitrário da coordenada x e o substituímos em nossa equação. Obtemos o valor de y neste ponto. Coloque um ponto no gráfico. E também marque um ponto no gráfico que seja simétrico ao ponto A (x, y).

9. Conecte os pontos obtidos no gráfico com uma linha suave e continue o gráfico por pontos extremos, até o final do eixo de coordenadas. Assine o gráfico na legenda ou, se o espaço permitir, ao longo do próprio gráfico.

Um exemplo de plotagem de um gráfico

Como exemplo, vamos traçar uma função quadrática dado pela equação y=x^2+4*x-1
1. Desenhe eixos de coordenadas, assine-os e marque um único segmento.
2. Os valores dos coeficientes a=1, b=4, c= -1. Como \u003d 1, que é maior que zero, os ramos da parábola são direcionados para cima.
3. Determine a coordenada X do topo da parábola Tops = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Determine a coordenada No topo da parábola
Partes superiores = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Marque o vértice e desenhe um eixo de simetria.
6. Encontramos os pontos de intersecção do gráfico de uma função quadrática com o eixo Ox. Resolvemos a equação quadrática x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Marcamos os valores obtidos no gráfico.
7. Encontre os pontos de intersecção do gráfico com o eixo Oy.
x=0; y=-1
8. Escolha um ponto arbitrário B. Seja uma coordenada x=1.
Então y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Conectamos os pontos recebidos e assinamos o gráfico.

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