O triângulo é uma figura familiar a todos. E isso apesar da rica variedade de suas formas. Retangular, equilátero, agudo, isósceles, obtuso. Cada um deles é diferente de alguma forma. Mas para qualquer um você precisa descobrir a área de um triângulo.

Fórmulas comuns a todos os triângulos que usam comprimentos de lados ou alturas

As designações neles adotadas: lados - a, b, c; alturas nos lados correspondentes em a, n in, n com.

1. A área de um triângulo é calculada como o produto de ½ de um lado e a altura subtraída dele. S = ½ * a * n a. As fórmulas para os outros dois lados devem ser escritas de forma semelhante.

2. Fórmula de Heron, na qual aparece o semiperímetro (geralmente é denotado pela letra minúscula p, em contraste com o perímetro total). O semiperímetro deve ser calculado da seguinte forma: some todos os lados e divida por 2. A fórmula do semiperímetro é: p = (a+b+c) / 2. Então a igualdade para a área de ​​a figura fica assim: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Se você não quiser usar um semiperímetro, uma fórmula que contenha apenas os comprimentos dos lados será útil: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). É um pouco mais longo que o anterior, mas ajudará caso você tenha esquecido como encontrar o semiperímetro.

Fórmulas gerais envolvendo os ângulos de um triângulo

Notações necessárias para a leitura das fórmulas: α, β, γ - ângulos. Eles ficam em lados opostos a, b, c, respectivamente.

1. Segundo ele, metade do produto de dois lados e o seno do ângulo entre eles é igual à área do triângulo. Ou seja: S = ½ a * b * sin γ. As fórmulas para os outros dois casos devem ser escritas de forma semelhante.

2. A área de um triângulo pode ser calculada a partir de um lado e três ângulos conhecidos. S = (a 2 * sen β * sen γ) / (2 sen α).

3. Também existe uma fórmula com um festa conhecida e dois ângulos adjacentes. Fica assim: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

As duas últimas fórmulas não são as mais simples. É muito difícil lembrá-los.

Fórmulas gerais para situações onde os raios dos círculos inscritos ou circunscritos são conhecidos

Designações adicionais: r, R - raios. O primeiro é usado para o raio do círculo inscrito. O segundo é para o descrito.

1. A primeira fórmula pela qual a área de um triângulo é calculada está relacionada ao semiperímetro. S=r*r. Outra forma de escrever é: S = ½ r * (a + b + c).

2. No segundo caso, você precisará multiplicar todos os lados do triângulo e dividi-los pelo quádruplo do raio do círculo circunscrito. Na expressão literal fica assim: S = (a * b * c) / (4R).

3. A terceira situação permite dispensar o conhecimento dos lados, mas você precisará dos valores dos três ângulos. S = 2 R 2 * sen α * sen β * sen γ.

Caso especial: triângulo retângulo

Este é o mais situação simples, uma vez que apenas o comprimento de ambas as pernas é necessário. Eles são designados pelas letras latinas a e b. Quadrado triângulo retângulo igual à metade da área do retângulo adicionado a ele.

Matematicamente fica assim: S = ½ a * b. É o mais fácil de lembrar. Por se parecer com a fórmula da área de um retângulo, aparece apenas uma fração, indicando metade.

Caso especial: triângulo isósceles

Por ter dois lados iguais, algumas fórmulas para sua área parecem um tanto simplificadas. Por exemplo, a fórmula de Heron, que calcula a área Triângulo isósceles, assume a seguinte forma:

S = ½ em √((a + ½ pol)*(a - ½ pol)).

Se você transformá-lo, ele ficará mais curto. Neste caso, a fórmula de Heron para um triângulo isósceles é escrita da seguinte forma:

S = ¼ em √(4 * a 2 - b 2).

A fórmula da área parece um pouco mais simples do que a de um triângulo arbitrário se os lados e o ângulo entre eles forem conhecidos. S = ½ a 2 * sen β.

Caso especial: triângulo equilátero

Normalmente, nos problemas, o lado sobre isso é conhecido ou pode ser descoberto de alguma forma. Então a fórmula para encontrar a área desse triângulo é a seguinte:

S = (a 2 √3) / 4.

Problemas para encontrar a área se o triângulo estiver representado em papel xadrez

A situação mais simples é quando um triângulo retângulo é desenhado de forma que seus catetos coincidam com as linhas do papel. Então você só precisa contar o número de células que cabem nas pernas. Em seguida, multiplique-os e divida por dois.

Quando o triângulo é agudo ou obtuso, ele precisa ser desenhado em um retângulo. Então a figura resultante terá 3 triângulos. Um é aquele dado no problema. E os outros dois são auxiliares e retangulares. As áreas dos dois últimos precisam ser determinadas usando o método descrito acima. Em seguida, calcule a área do retângulo e subtraia dela as calculadas para os auxiliares. A área do triângulo é determinada.

A situação em que nenhum dos lados do triângulo coincide com as linhas do papel acaba sendo muito mais complicada. Em seguida, ele precisa ser inscrito em um retângulo de modo que os vértices da figura original fiquem de lado. Neste caso, haverá três triângulos retângulos auxiliares.

Exemplo de problema usando a fórmula de Heron

Doença. Algum triângulo tem lados conhecidos. Eles são iguais a 3, 5 e 6 cm. Você precisa descobrir sua área.

Agora você pode calcular a área do triângulo usando a fórmula acima. Sob a raiz quadrada está o produto de quatro números: 7, 4, 2 e 1. Ou seja, a área é √(4 * 14) = 2 √(14).

Se não for necessária maior precisão, você poderá extrair a raiz quadrada de 14. É igual a 3,74. Então a área será 7,48.

Responder. S = 2 √14 cm 2 ou 7,48 cm 2.

Problema de exemplo com triângulo retângulo

Doença. Uma perna de um triângulo retângulo é 31 cm maior que a segunda. Você precisa descobrir seus comprimentos se a área do triângulo for 180 cm 2.
Solução. Teremos que resolver um sistema de duas equações. O primeiro está relacionado à área. A segunda é com a proporção das pernas, que é dada no problema.
180 = ½a*b;

uma = b + 31.
Primeiro, o valor de “a” deve ser substituído na primeira equação. Acontece: 180 = ½ (pol + 31) * pol. Possui apenas uma incógnita, por isso é fácil de resolver. Depois de abrir os colchetes obtemos Equação quadrática: in 2 + 31 in - 360 = 0. Fornece dois valores para "in": 9 e - 40. O segundo número não é adequado como resposta, pois o comprimento do lado de um triângulo não pode ser negativo valor.

Resta calcular a segunda etapa: adicione 31 ao número resultante. Acontece 40. Essas são as quantidades procuradas no problema.

Responder. Os catetos do triângulo medem 9 e 40 cm.

Problema de encontrar um lado através da área, lado e ângulo de um triângulo

Doença. A área de um certo triângulo é 60 cm 2. É necessário calcular um de seus lados se o segundo lado tiver 15 cm e o ângulo entre eles for 30º.

Solução. Com base na notação aceita, o lado desejado é “a”, o lado conhecido é “b”, o ângulo dado é “γ”. Então a fórmula da área pode ser reescrita da seguinte forma:

60 = ½ a * 15 * sen 30º. Aqui o seno de 30 graus é 0,5.

Após as transformações, “a” acaba sendo igual a 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Isso é 16.

Responder. O lado necessário é de 16 cm.

Problema sobre um quadrado inscrito em um triângulo retângulo

Doença. O vértice de um quadrado com lado de 24 cm coincide com o ângulo reto do triângulo. Os outros dois ficam nas laterais. O terceiro pertence à hipotenusa. O comprimento de uma das pernas é 42 cm. Qual é a área do triângulo retângulo?

Solução. Considere dois triângulos retângulos. O primeiro é aquele especificado na tarefa. O segundo é baseado na perna conhecida do triângulo original. Eles são semelhantes porque possuem um ângulo comum e são formados por linhas paralelas.

Então as proporções de suas pernas são iguais. Os catetos do triângulo menor são iguais a 24 cm (lado do quadrado) e 18 cm (dada perna 42 cm subtraia o lado do quadrado 24 cm). Os catetos correspondentes de um grande triângulo têm 42 cm e x cm. É esse “x” que é necessário para calcular a área do triângulo.

18/42 = 24/x, ou seja, x = 24 * 42/18 = 56 (cm).

Então a área é igual ao produto de 56 e 42 dividido por dois, ou seja, 1176 cm 2.

Responder. A área necessária é 1176 cm 2.

Do vértice oposto) e divida o produto resultante por dois. Parece assim:

S = ½ * a * h,

Onde:
S – área do triângulo,
a é o comprimento do seu lado,
h é a altura baixada para este lado.

O comprimento e a altura lateral devem ser apresentados nas mesmas unidades de medida. Neste caso, a área do triângulo será obtida nas unidades “ ” correspondentes.

Exemplo.
De um lado de um triângulo escaleno de 20 cm de comprimento, uma perpendicular do vértice oposto de 10 cm de comprimento é baixada.
A área do triângulo é obrigatória.
Solução.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Se os comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo escaleno e o ângulo entre eles forem conhecidos, use a fórmula:

S = ½ * a * b * sinγ,

onde: a, b são os comprimentos de dois lados arbitrários e γ é o ângulo entre eles.

Na prática, por exemplo, ao medir terrenos, o uso das fórmulas acima às vezes é difícil, pois requer construção e medição adicionais de ângulos.

Se você conhece os comprimentos de todos os três lados de um triângulo escaleno, use a fórmula de Heron:

S = √(p(pa)(pb)(pc)),

a, b, c – comprimentos dos lados do triângulo,
p – semiperímetro: p = (a+b+c)/2.

Se, além dos comprimentos de todos os lados, o raio do círculo inscrito no triângulo for conhecido, use a seguinte fórmula compacta:

onde: r – raio do círculo inscrito (р – semiperímetro).

Para calcular a área de um triângulo escaleno e o comprimento de seus lados, use a fórmula:

onde: R – raio do círculo circunscrito.

Se você conhece o comprimento de um dos lados do triângulo e três ângulos (em princípio, dois são suficientes - o valor do terceiro é calculado a partir da igualdade da soma dos três ângulos do triângulo - 180º), então use a fórmula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

onde α é o valor do ângulo oposto ao lado a;
β, γ – valores dos dois ângulos restantes do triângulo.

A necessidade de encontrar vários elementos, incluindo áreas triângulo, apareceu muitos séculos antes de Cristo entre astrônomos eruditos Grécia antiga. Quadrado triângulo pode ser calculado jeitos diferentes usando fórmulas diferentes. O método de cálculo depende de quais elementos triângulo conhecido.

Instruções

Se pela condição conhecemos os valores dos dois lados b, c e o ângulo formado por eles?, então a área triângulo ABC é encontrado pela fórmula:
S = (bcsin?)/2.

Se pela condição conhecemos os valores dos dois lados a, b e o ângulo não formado por eles?, então a área triângulo ABC é encontrado da seguinte forma:
Encontrando o ângulo?, pecado? = bsin?/a, então use a tabela para determinar o próprio ângulo.
Encontrando o ângulo?, ? = 180°-?-?.
Encontramos a própria área S = (absin?)/2.

Se pela condição conhecemos os valores de apenas três lados triângulo a, b e c, então a área triângulo ABC é encontrado pela fórmula:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), onde p é o semiperímetro p = (a+b+c)/2

Se a partir das condições do problema soubermos a altura triângulo h e o lado para o qual esta altura é abaixada, então a área triângulo ABC de acordo com a fórmula:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Se conhecermos o significado dos lados triângulo a, b, c e o raio descrito sobre este triângulo R, então a área deste triângulo ABC é determinado pela fórmula:
S = abc/4R.
Se três lados a, b, c e o raio do inscrito forem conhecidos, então a área triângulo ABC é encontrado pela fórmula:
S = pr, onde p é o semiperímetro, p = (a+b+c)/2.

Se ABC for equilátero, então a área é encontrada pela fórmula:
S = (a^2v3)/4.
Se o triângulo ABC for isósceles, então a área é determinada pela fórmula:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, onde c – triângulo.
Se o triângulo ABC for retângulo, a área será determinada pela fórmula:
S = ab/2, onde a e b são pernas triângulo.
Se o triângulo ABC for um triângulo isósceles retângulo, então a área é determinada pela fórmula:
S = c ^ 2/4 = a ^ 2/2, onde c é a hipotenusa triângulo, a=b – perna.

Vídeo sobre o tema

Fontes:

• como medir a área de um triângulo

Dica 3: Como encontrar a área de um triângulo se o ângulo for conhecido

Conhecer apenas um parâmetro (o ângulo) não é suficiente para encontrar a área três quadrado . Se houver algum tamanhos adicionais, então para determinar a área você pode escolher uma das fórmulas em que o valor do ângulo também é usado como uma das variáveis ​​​​conhecidas. Várias das fórmulas usadas com mais frequência são fornecidas abaixo.

Instruções

Se, além do tamanho do ângulo (γ) formado pelos dois lados três quadrado , os comprimentos desses lados (A e B) também são conhecidos, então quadrado(S) de uma figura pode ser definido como metade do produto dos comprimentos dos lados e o seno deste ângulo conhecido: S=½×A×B×sin(γ).

Conceito de área

O conceito de área de qualquer figura geométrica, em particular de um triângulo, estará associado a uma figura como um quadrado. Para a área unitária de qualquer figura geométrica tomaremos a área de um quadrado cujo lado é igual a um. Para completar, vamos relembrar duas propriedades básicas para o conceito de áreas de figuras geométricas.

Propriedade 1: Se as figuras geométricas forem iguais, então suas áreas também serão iguais.

Propriedade 2: Qualquer figura pode ser dividida em várias figuras. Além disso, a área da figura original é igual à soma das áreas de todas as suas figuras constituintes.

Vejamos um exemplo.

Exemplo 1

Obviamente, um dos lados do triângulo é uma diagonal de um retângulo, um lado do qual tem comprimento de $5$ (já que há $5$ células) e o outro tem $6$ (já que há $6$ células). Portanto, a área deste triângulo será igual à metade desse retângulo. A área do retângulo é

Então a área do triângulo é igual a

Resposta: $ 15 $.

A seguir, consideraremos vários métodos para encontrar as áreas dos triângulos, nomeadamente utilizando a altura e a base, utilizando a fórmula de Heron e a área de um triângulo equilátero.

Como encontrar a área de um triângulo usando sua altura e base

Teorema 1

A área de um triângulo pode ser encontrada como metade do produto do comprimento de um lado pela altura desse lado.

Matematicamente é assim

$S=\frac(1)(2)αh$

onde $a$ é o comprimento do lado, $h$ é a altura desenhada para ele.

Prova.

Considere um triângulo $ABC$ em que $AC=α$. A altura $BH$ é desenhada para este lado, que é igual a $h$. Vamos construí-lo até o quadrado $AXYC$ como na Figura 2.

A área do retângulo $AXBH$ é $h\cdot AH$, e a área do retângulo $HBYC$ é $h\cdot HC$. Então

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Portanto, a área necessária do triângulo, pela propriedade 2, é igual a

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

O teorema foi provado.

Exemplo 2

Encontre a área do triângulo na figura abaixo se a célula tiver uma área igual a um

A base deste triângulo é igual a $9$ (já que $9$ são $9$ quadrados). A altura também é $ 9$. Então, pelo Teorema 1, obtemos

$S=\frac(1)(2)\cponto 9\cponto 9=40,5$

Resposta: $ 40,5 $.

Fórmula de Heron

Teorema 2

Se tivermos três lados de um triângulo $α$, $β$ e $γ$, então sua área pode ser encontrada da seguinte forma

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

aqui $ρ$ significa o semiperímetro deste triângulo.

Prova.

Considere a seguinte figura:

Pelo teorema de Pitágoras, do triângulo $ABH$ obtemos

Do triângulo $CBH$, segundo o teorema de Pitágoras, temos

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Destas duas relações obtemos a igualdade

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Como $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, então $α+β+γ=2ρ$, o que significa

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Pelo Teorema 1, obtemos

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Um triângulo é assim figura geométrica, que consiste em três linhas conectadas em pontos que não estão na mesma linha. Os pontos de conexão das linhas são os vértices do triângulo, que são designados por letras latinas (por exemplo, A, B, C). As linhas retas que conectam um triângulo são chamadas de segmentos, que também são geralmente denotados por letras latinas. Distinguir seguintes tipos triângulos:

• Retangular.
• Obtuso.
• Angular agudo.
• Versátil.
• Equilátero.
• Isósceles.

Fórmulas gerais para calcular a área de um triângulo

Fórmula para a área de um triângulo com base no comprimento e altura

S= a*h/2,
onde a é o comprimento do lado do triângulo cuja área precisa ser encontrada, h é o comprimento da altura desenhada até a base.

Fórmula de Heron

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
onde √ está Raiz quadrada, p é o semiperímetro do triângulo, a,b,c é o comprimento de cada lado do triângulo. O semiperímetro de um triângulo pode ser calculado usando a fórmula p=(a+b+c)/2.

Fórmula para a área de um triângulo com base no ângulo e no comprimento do segmento

S = (a*b*sin(α))/2,
Onde b,c é o comprimento dos lados do triângulo, sin(α) é o seno do ângulo entre os dois lados.

Fórmula para a área de um triângulo dado o raio do círculo inscrito e três lados

S=p*r,
onde p é o semiperímetro do triângulo cuja área precisa ser encontrada, r é o raio do círculo inscrito neste triângulo.

Fórmula para a área de um triângulo com base em três lados e no raio do círculo circunscrito ao seu redor

S= (a*b*c)/4*R,
onde a,b,c é o comprimento de cada lado do triângulo, R é o raio do círculo circunscrito ao triângulo.

Fórmula para a área de um triângulo usando as coordenadas cartesianas dos pontos

As coordenadas cartesianas dos pontos são coordenadas no sistema xOy, onde x é a abcissa, y é a ordenada. O sistema de coordenadas cartesianas xOy em um plano são os eixos numéricos mutuamente perpendiculares Ox e Oy com uma origem comum no ponto O. Se as coordenadas dos pontos neste plano são dadas na forma A(x1, y1), B(x2, y2 ) e C(x3, y3 ), então você pode calcular a área do triângulo usando a seguinte fórmula, obtida de produto vetorial dois vetores.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
onde || significa módulo.

Como encontrar a área de um triângulo retângulo

Um triângulo retângulo é um triângulo com um ângulo medindo 90 graus. Um triângulo pode ter apenas um desses ângulos.

Fórmula para a área de um triângulo retângulo em dois lados

S = a*b/2,
onde a,b é o comprimento das pernas. Pernas são os lados adjacentes a um ângulo reto.

Fórmula para a área de um triângulo retângulo baseada na hipotenusa e no ângulo agudo

S = a*b*sin(α)/ 2,
onde a, b são os catetos do triângulo e sin(α) é o seno do ângulo no qual as retas a, b se cruzam.

Fórmula para a área de um triângulo retângulo com base no lado e no ângulo oposto

S = a*b/2*tg(β),
onde a, b são os catetos do triângulo, tan(β) é a tangente do ângulo no qual os catetos a, b estão conectados.

Como calcular a área de um triângulo isósceles

Um triângulo isósceles é aquele que possui dois lados iguais. Esses lados são chamados de lados e o outro lado é a base. Para calcular a área de um triângulo isósceles, você pode usar uma das seguintes fórmulas.

Fórmula básica para calcular a área de um triângulo isósceles

S=h*c/2,
onde c é a base do triângulo, h é a altura do triângulo abaixado até a base.

Fórmula de um triângulo isósceles com base no lado e na base

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
onde c é a base do triângulo, a é o tamanho de um dos lados do triângulo isósceles.

Como encontrar a área de um triângulo equilátero

Um triângulo equilátero é um triângulo em que todos os lados são iguais. Para calcular a área de um triângulo equilátero, você pode usar a seguinte fórmula:
S = (√3*a*a)/4,
onde a é o comprimento do lado do triângulo equilátero.

As fórmulas acima permitirão calcular a área necessária do triângulo. É importante lembrar que para calcular a área dos triângulos é preciso considerar o tipo de triângulo e os dados disponíveis que podem ser utilizados para o cálculo.

Para determinar a área de um triângulo, você pode usar diferentes fórmulas. De todos os métodos, o mais fácil e mais utilizado é multiplicar a altura pelo comprimento da base e depois dividir o resultado por dois. No entanto este método longe de ser o único. Abaixo você pode ler como encontrar a área de um triângulo usando diferentes fórmulas.

Separadamente, veremos maneiras de calcular a área de tipos específicos de triângulos - retangulares, isósceles e equiláteros. Acompanhamos cada fórmula com uma breve explicação que o ajudará a compreender a sua essência.

Métodos universais para encontrar a área de um triângulo

As fórmulas abaixo usam notação especial. Vamos decifrar cada um deles:

• a, b, c – os comprimentos dos três lados da figura que estamos considerando;
• r é o raio do círculo que pode ser inscrito em nosso triângulo;
• R é o raio do círculo que pode ser descrito em torno dele;
• α é a magnitude do ângulo formado pelos lados b e c;
• β é a magnitude do ângulo entre a e c;
• γ é a magnitude do ângulo formado pelos lados a e b;
• h é a altura do nosso triângulo, abaixado do ângulo α para o lado a;
• p – metade da soma dos lados a, b e c.

É logicamente claro por que você pode encontrar a área de um triângulo dessa forma. O triângulo pode ser facilmente completado em um paralelogramo, no qual um lado do triângulo atuará como diagonal. A área de um paralelogramo é encontrada multiplicando o comprimento de um de seus lados pelo valor da altura desenhada nele. A diagonal divide este paralelogramo condicional em 2 triângulos idênticos. Portanto, é bastante óbvio que a área do nosso triângulo original deve ser igual à metade da área deste paralelogramo auxiliar.

S = ½ a b sen γ

Segundo esta fórmula, a área de um triângulo é encontrada multiplicando-se os comprimentos de seus dois lados, ou seja, a e b, pelo seno do ângulo por eles formado. Esta fórmula é logicamente derivada da anterior. Se diminuirmos a altura do ângulo β para o lado b, então, de acordo com as propriedades de um triângulo retângulo, quando multiplicamos o comprimento do lado a pelo seno do ângulo γ, obtemos a altura do triângulo, ou seja, h .

A área da figura em questão é encontrada multiplicando a metade do raio do círculo que nela pode ser inscrito pelo seu perímetro. Em outras palavras, encontramos o produto do semiperímetro pelo raio do círculo mencionado.

S = abc/4R

De acordo com esta fórmula, o valor que precisamos pode ser encontrado dividindo o produto dos lados da figura por 4 raios do círculo descrito ao seu redor.

Estas fórmulas são universais, pois permitem determinar a área de qualquer triângulo (escaleno, isósceles, equilátero, retangular). Isso também pode ser feito usando mais cálculos complexos, sobre o qual não nos deteremos em detalhes.

Áreas de triângulos com propriedades específicas

Como encontrar a área de um triângulo retângulo? A peculiaridade desta figura é que seus dois lados são simultaneamente suas alturas. Se a e b são catetos e c se torna a hipotenusa, então encontramos a área assim:

Como encontrar a área de um triângulo isósceles? Possui dois lados de comprimento a e um lado de comprimento b. Consequentemente, sua área pode ser determinada dividindo por 2 o produto do quadrado do lado a pelo seno do ângulo γ.

Como encontrar a área de um triângulo equilátero? Nele, o comprimento de todos os lados é igual a a, e a magnitude de todos os ângulos é α. Sua altura é igual à metade do produto do comprimento do lado a pela raiz quadrada de 3. Para encontrar a área de um triângulo regular, você precisa multiplicar o quadrado do lado a pela raiz quadrada de 3 e dividir por 4.