Zastosujmy wektor kierunkowy
do momentu
. Dystans Z punktu
prosto jest wysokością równoległoboku zbudowanego na wektorach oraz
. Znajdź obszar równoległoboku za pomocą produktu wektorowego:

Z drugiej strony, . Z równości prawych stron dwóch ostatnich relacji wynika, że:

. (3.27)

3.10. Elipsoida

Definicja. Elipsoida nazywana jest powierzchnią drugiego rzędu, która w pewnym układzie współrzędnych jest określona równaniem

. (3.28)

Równanie (3.28) nazywa się kanonicznym równaniem elipsoidy.

Z równania (3.28) wynika, że ​​płaszczyzny współrzędnych są płaszczyznami symetrii elipsoidy, a początkiem współrzędnych jest środek symetrii. Liczby
nazywane są półosiami elipsoidy i są długościami segmentów od początku do przecięcia elipsoidy z osiami współrzędnych. Elipsoida to ograniczona powierzchnia zamknięta w równoległościanie
,
,
.

Ustaw widok geometryczny elipsoidy. Aby to zrobić, znajdź kształt linii przecięcia jej płaszczyzn równoległych do osi współrzędnych.

Dla jednoznaczności rozważ linie przecięcia elipsoidy z płaszczyznami
, równolegle do płaszczyzny
. Równanie rzutu linii przecięcia na płaszczyznę
otrzymujemy z (3.28), jeśli w nim umieścimy
. Równanie tego rzutu ma postać

. (3.29)

Jeśli
, to (3.29) jest równaniem urojonej elipsy i punktów przecięcia elipsoidy z płaszczyzną
nie. Stąd wynika, że
. Jeśli
, to prosta (3.29) degeneruje się na punkty, czyli płaszczyzny
dotknij elipsoidy w punktach
oraz
. Jeśli
, następnie
i możemy wprowadzić notację

,
. (3.30)

Wtedy równanie (3.29) przyjmuje postać

, (3.31)

czyli rzut na płaszczyznę
linie przecięcia elipsoidy i płaszczyzny
jest elipsą o półosiach określonych przez równości (3.30). Ponieważ linia przecięcia powierzchni z płaszczyznami równoległymi do współrzędnych jest rzutem „podniesionym” na wysokość , to sama linia przecięcia jest elipsą.

Zmniejszając wartość wały osi oraz zwiększyć i osiągnąć maksymalną wartość przy
, czyli w przekroju elipsoidy przy płaszczyźnie współrzędnych
okazuje się, że największa elipsa z półosiami
oraz
.

Pojęcie elipsoidy można uzyskać w inny sposób. Rozważ w samolocie
rodzina elips (3.31) z półosiami oraz określone przez relacje (3.30) i w zależności od . Każda taka elipsa jest linią poziomu, czyli linią w każdym punkcie, której wartość na równi. "Podnoszenie" każdej takiej elipsy na wysokość , otrzymujemy przestrzenny widok elipsoidy.

Podobny obraz uzyskujemy, gdy dana powierzchnia jest przecinana przez płaszczyzny równoległe do płaszczyzn współrzędnych
oraz
.

Zatem elipsoida jest zamkniętą powierzchnią eliptyczną. Kiedy
elipsoida jest kulą.

Linia przecięcia elipsoidy z dowolną płaszczyzną jest elipsą, ponieważ taka linia jest linią ograniczoną drugiego rzędu, a jedyną linią ograniczoną drugiego rzędu jest elipsa.

Kurs wideo „Zdobądź piątkę” zawiera wszystkie tematy niezbędne do osiągnięcia sukcesu zdanie egzaminu z matematyki za 60-65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 z profilu USE w matematyce. Nadaje się również do zaliczenia podstawowego USE w matematyce. Jeśli chcesz zdać egzamin na 90-100 punktów, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowujący do egzaminu dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz do rozwiązania części 1 egzaminu z matematyki (12 pierwszych zadań) i zadania 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na Zjednoczonym Egzaminu Państwowym i ani stupunktowy student, ani humanista nie mogą się bez nich obejść.

Cała niezbędna teoria. Szybkie sposoby rozwiązania, pułapki i tajemnice egzaminu. Przeanalizowano wszystkie istotne zadania części 1 z zadań Banku FIPI. Kurs w pełni zgodny z wymaganiami USE-2018.

Kurs zawiera 5 duże tematy, 2,5 godziny każdy. Każdy temat podany jest od podstaw, prosto i przejrzyście.

Setki zadań egzaminacyjnych. Problemy tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiał referencyjny, analiza wszystkich typów zadań USE. Stereometria. Podstępne sztuczki rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw - do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Wizualne wyjaśnienie złożonych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa rozwiązania wymagające zadania 2 części egzaminu.

Oznacza to znalezienie kąta między tą linią a jej rzutem na daną płaszczyznę.

Na rysunku przedstawiono model przestrzenny ilustrujący problem.

Plan rozwiązania zadania:
1. Z dowolnego punktu A∈a upuść prostopadłą do płaszczyzny α ;
2. Określ punkt spotkania tej prostopadłej z płaszczyzną α . Kropka Aα- rzut prostopadły A do samolotu α ;
3. Znajdź punkt przecięcia linii a z samolotem α . Kropka α- śledź prosto a na powierzchni α ;
4. Wydajemy ( A α a α) - rzut linii prostej a do samolotu α ;
5. Określ rzeczywistą wartość ∠ Aa α A α, czyli ∠ φ .

Rozwiązanie problemu znajdź kąt między linią a płaszczyzną można znacznie uprościć, jeśli nie zdefiniujemy ∠ φ pomiędzy linią prostą a płaszczyzną i dopełnieniem do 90° ∠ γ . W takim przypadku nie ma potrzeby wyznaczania rzutu punktu A i rzuty linii prostej a do samolotu α . Znając wielkość γ , liczony według wzoru:

$ φ = 90° - γ $

a i samolot α podane przez równoległe linie m oraz n.

a α
Obrót wokół poziomu podane przez punkty 5 i 6 określamy wartość przyrodniczą ∠ γ . Znając wielkość γ , liczony według wzoru:

$ φ = 90° - γ $

Określanie kąta między linią a i samolot α podany przez trójkąt BCD.

Z dowolnego punktu na linii a upuść prostopadle do płaszczyzny α
Obracając się wokół poziomu podanego w punktach 3 i 4, wyznaczamy wartość naturalną ∠ γ . Znając wielkość γ , obliczona według wzoru.

Artykuł zaczyna się od definicji kąta między linią a płaszczyzną. W tym artykule pokażemy, jak znaleźć kąt między linią prostą a płaszczyzną za pomocą metody współrzędnych. Rozwiązanie przykładów i zadań zostanie szczegółowo omówione.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Po pierwsze, konieczne jest powtórzenie koncepcji linii prostej w przestrzeni i koncepcji płaszczyzny. Aby określić kąt między linią a płaszczyzną, potrzebnych jest kilka definicji pomocniczych. Rozważmy szczegółowo te definicje.

Definicja 1

Linia i płaszczyzna przecinają się kiedy mają jeden wspólny punkt, czyli jest to punkt przecięcia linii i płaszczyzny.

Linia przecinająca płaszczyznę może być prostopadła do płaszczyzny.

Definicja 2

Linia jest prostopadła do płaszczyzny gdy jest prostopadła do dowolnej linii na tej płaszczyźnie.

Definicja 3

Rzut punktu M na płaszczyznęγ jest samym punktem, jeśli leży w dany samolot, lub jest punktem przecięcia płaszczyzny z prostą prostopadłą do płaszczyzny γ przechodzącą przez punkt M , pod warunkiem że nie należy do płaszczyzny γ .

Definicja 4

Rzut prostej a na płaszczyznęγ to zbiór rzutów wszystkich punktów danej prostej na płaszczyznę.

Z tego otrzymujemy, że rzut prostej prostopadłej do płaszczyzny γ ma punkt przecięcia. Otrzymujemy, że rzut prostej a jest prostą należącą do płaszczyzny γ i przechodzącą przez punkt przecięcia prostej a i płaszczyzny. Rozważ poniższy rysunek.

Na ten moment mamy wszystkie niezbędne informacje i dane do sformułowania definicji kąta między prostą a płaszczyzną

Definicja 5

Kąt między linią a płaszczyzną nazywamy kątem między tą linią a jej rzutem na tę płaszczyznę, a linia nie jest do niej prostopadła.

Podana powyżej definicja kąta pozwala stwierdzić, że kąt między prostą a płaszczyzną jest kątem między dwiema przecinającymi się liniami, czyli daną linią wraz z jej rzutem na płaszczyznę. Oznacza to, że kąt między nimi zawsze będzie ostry. Spójrzmy na poniższy obrazek.

Kąt leżący między linią a płaszczyzną jest uważany za prawy, czyli równy 90 stopni, a kąt leżący między równoległymi liniami nie jest zdefiniowany. Zdarzają się przypadki, gdy jego wartość jest równa zeru.

Zadania, w których konieczne jest znalezienie kąta między linią prostą a płaszczyzną, mają wiele wariantów rozwiązania. Sam przebieg rozwiązania zależy od dostępnych danych o stanie. Częstymi towarzyszami rozwiązania są znaki podobieństwa lub równości liczb, cosinusów, sinusów, stycznych kątów. Znalezienie kąta jest możliwe przy użyciu metody współrzędnych. Rozważmy to bardziej szczegółowo.

Jeżeli w trójwymiarowej przestrzeni O x y z wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych, to ustawia się w nim linię prostą a przecinającą płaszczyznę γ w punkcie M i nie jest ona prostopadła do płaszczyzny. Konieczne jest znalezienie kąta α znajdującego się między daną linią prostą a płaszczyzną.

Najpierw musisz zastosować definicję kąta między linią a płaszczyzną za pomocą metody współrzędnych. Następnie otrzymujemy następujące.

W układzie współrzędnych O x y z dana jest prosta a, której odpowiadają równania prostej w przestrzeni i wektor kierujący przestrzeni bezpośredniej, dla płaszczyzny γ odpowiada równanie płaszczyzny i wektor normalny samolot. Wtedy a → = (a x , a y , a z) jest wektorem kierunkowym danej prostej a , a n → (n x , n y , n z) jest wektorem normalnym płaszczyzny γ . Jeśli wyobrazimy sobie, że mamy współrzędne wektora kierującego prostej a i wektora normalnego płaszczyzny γ, to ich równania są znane, to znaczy są podane przez warunek, wtedy można wyznaczyć wektory a → i n → , na podstawie równania.

Aby obliczyć kąt, musisz przekształcić formułę, która pozwala uzyskać wartość tego kąta za pomocą dostępnych współrzędnych wektora kierunkowego wektora prostego i normalnego.

Należy odroczyć wektory a → i n → , zaczynając od punktu przecięcia prostej a z płaszczyzną γ . Istnieją 4 opcje lokalizacji tych wektorów względem podanych linii i płaszczyzny. Rozważ poniższy obrazek, który ma wszystkie 4 warianty.

Stąd otrzymujemy, że kąt między wektorami a → i n → ma oznaczenie a → , n → ^ i jest ostry, to żądany kąt α leżący między prostą a płaszczyzną jest uzupełniony, czyli otrzymujemy wyrażenie forma a → , n → ^ = 90 ° - α . Gdy warunek a → , n → ^ > 90 ° , wtedy mamy a → , n → ^ = 90 ° + α .

Stąd mamy, że cosinusy równe kąty są równe, to ostatnie równości są zapisywane jako system

cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°

Aby uprościć wyrażenia, należy użyć formuł rzutowania. Następnie otrzymujemy równości postaci cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°.

Po przekształceniach układ przyjmuje postać sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^

Stąd otrzymujemy, że sinus kąta między prostą a płaszczyzną jest równy modułowi cosinusa kąta między wektorem kierującym prostej a wektorem normalnym danej płaszczyzny.

Sekcja dotycząca znajdowania kąta utworzonego przez dwa wektory wykazała, że ​​kąt ten przyjmuje wartość iloczynu skalarnego wektorów i iloczynu tych długości. Proces obliczania sinusa kąta uzyskanego przez przecięcie linii prostej i płaszczyzny odbywa się za pomocą wzoru

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Oznacza to, że wzór na obliczenie kąta między prostą a płaszczyzną ze współrzędnymi wektora kierunkowego prostej i wektora normalnego płaszczyzny po transformacji okazuje się być

α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Znalezienie cosinusa ze znanym sinusem jest dopuszczalne przez zastosowanie podstawowego tożsamość trygonometryczna. Forma przecięcia linii i płaszczyzny ostry róg. Sugeruje to, że jego wartość będzie liczbą dodatnią, a jej obliczenia są dokonywane ze wzoru cos α \u003d 1 - sin α.

Rozwiążmy kilka podobnych przykładów, aby skonsolidować materiał.

Przykład 1

Znajdź kąt, sinus, cosinus kąta utworzonego przez prostą x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 i płaszczyznę 2 x + z - 1 = 0 .

Rozwiązanie

Aby uzyskać współrzędne wektora kierującego, konieczne jest uwzględnienie równań kanonicznych linii prostej w przestrzeni. Wtedy otrzymujemy, że a → = (3, - 2, 6) jest wektorem kierunkowym prostej x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 .

Aby znaleźć współrzędne wektora normalnego, należy wziąć pod uwagę ogólne równanie płaszczyzny, ponieważ ich obecność jest określona przez współczynniki dostępne przed zmienne równania. Wtedy otrzymujemy, że dla płaszczyzny 2 x + z - 1 = 0 wektor normalny ma postać n → = (2 , 0 , 1 ).

Konieczne jest przystąpienie do obliczenia sinusa kąta między linią a płaszczyzną. Aby to zrobić, konieczne jest podstawienie współrzędnych wektorów a → i b → do podanej formuły. Dostajemy wyrażenie jak

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + (- 2 ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5

Stąd znajdujemy wartość cosinusa i wartość samego kąta. Otrzymujemy:

cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5

Odpowiadać: sin α = 12 7 5 , cos α = 101 7 5 , α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5 .

Przykład 2

Istnieje piramida zbudowana z wartości wektorów A B → = 1 , 0 , 2 , A C → = ( ​​- 1 , 3 , 0 ) , A D → = 4 , 1 , 1 . Znajdź kąt między linią A D a płaszczyzną A B C.

Rozwiązanie

Aby obliczyć żądany kąt, konieczne jest posiadanie wartości współrzędnych wektora kierunkowego linii i wektora normalnego płaszczyzny. dla prostej AD wektor kierunkowy ma współrzędne AD → = 4 , 1 , 1 .

Wektor normalny n → należący do płaszczyzny A B C jest prostopadły do ​​wektora A B → i A C → . Oznacza to, że można wziąć pod uwagę wektor normalny płaszczyzny A B C produkt wektorowy wektory A B → i A C → . Obliczamy to według wzoru i otrzymujemy:

n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 i → - 2 j → + 3 k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )

Konieczne jest podstawienie współrzędnych wektorów, aby obliczyć żądany kąt utworzony przez przecięcie prostej i płaszczyzny. otrzymujemy wyrażenie takie jak:

α = a r c sin A D → , n → ^ A D → n → = a r c sin 4 - 6 + 1 - 2 + 1 3 4 2 + 1 2 + 1 2 - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2

Odpowiadać: a r c sin 23 21 2 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter