Zasada d'Alemberta dotycząca punktu materialnego stwierdza: Zasada mechaniki teoretycznej D'Alemberta. Zasada D'Alemberta dla układu mechanicznego

zasada d'Alemberta stosuje się przy rozwiązywaniu pierwszego głównego problemu dynamiki punktu nieswobodnego, gdy znany jest ruch punktu i działające na niego siły czynne i poszukuje się wynikowej reakcji połączenia.

Napiszmy podstawowe równanie dynamiki punktu nieswobodnego układ inercyjny odliczanie:

Przepiszmy równanie jako:

.

Oznaczając , otrzymujemy

, (11.27)

gdzie wektor jest nazywany Siła bezwładności D'Alemberta.

Oświadczenie zasady: W każdym momencie ruchu nieswobodnego punktu materialnego siła czynna i reakcja połączenia równoważą się siłą bezwładności D'Alemberta.

Rzutowanie równania wektorowego (11.27) na dowolny osie współrzędnych, otrzymamy odpowiednie równania równowagi, dzięki którym możemy znaleźć nieznane reakcje.

Rzućmy równanie (11.27) na osie naturalne:

(11.28)

Gdzie nazywa się siłą odśrodkową bezwładności, zawsze skierowaną do wewnątrz zła strona główny normalny; .

Uwagi:

1). W rzeczywistości oprócz sił na punkt nie działają żadne inne siły fizyczne, a te trzy siły nie tworzą zrównoważonego układu sił. W tym sensie siła bezwładności d'Alemberta jest fikcyjną siłą przyłożoną warunkowo do punktu.

2). Zasadę d'Alemberta należy uznać za wygodne narzędzie metodologiczne, które pozwala sprowadzić problem dynamiki do problemu statyki.

Przykład 1. Wyznaczmy reakcję sprzęgania działającą na pilota podczas opuszczania nadlatującego statku powietrznego płaszczyzna pionowa, z lotu nurkowego (ryc. 11.5).

Na pilota wpływa grawitacja i reakcja fotela. Zastosujmy zasadę D'Alemberta, dodając do tych sił siłę bezwładności D'Alemberta:

(11.29)

Zapiszmy równanie (11.29) w rzutach na normalną:

(11.30)

Gdzie R- promień okręgu w momencie wejścia statku powietrznego w lot poziomy,

Maksymalna prędkość samolot w tej chwili.

Z równania (11.30)

(11.31)

Przykład 2. Wyznaczmy teraz taką samą reakcję działającą na pilota w momencie wyjścia ze wznoszenia (rys. 11.6).

Ruch względny punktu materialnego

Jeżeli układy odniesienia nie poruszają się translacyjnie względem inercjalnego układu odniesienia lub początki ich współrzędnych poruszają się nierównomiernie lub krzywoliniowo, wówczas takie układy odniesienia są nieinercyjny. W tych układach odniesienia aksjomaty A 1 i A 2 nie są obserwowane, ale nie wynika z tego, że w dynamice badane są jedynie ruchy występujące w inercyjnych układach odniesienia. Rozważmy ruch punktu materialnego w nieinercjalnym układzie współrzędnych, jeśli znane są siły działające na punkt materialny i określony jest ruch nieinercjalnego układu odniesienia względem inercjalnego układu odniesienia. W dalszej części inercjalny układ odniesienia będzie nazywany układem stacjonarnym, a nieinercjalny układ odniesienia będzie nazywany ruchomym układem odniesienia. Niech będzie wypadkową sił czynnych działających na punkt i niech będzie wypadkową reakcji wiązań; - stały układ współrzędnych; - ruchomy układ współrzędnych.

Rozważmy ruch punktu materialnego M(Rys. 11.7), nie połączony sztywno z ruchomym układem współrzędnych, ale poruszający się względem niego. W kinematyce ten ruch punktu nazywano względnym, ruch punktu względem ustalonego układu współrzędnych nazywano absolutnym, a ruch ruchomego układu współrzędnych nazywano przenośnym.

Podstawowa zasada dynamiki ruchu bezwzględnego punktu M będzie wyglądać jak

(11.33)

gdzie jest bezwzględnym przyspieszeniem punktu.

Na podstawie twierdzenia o dodawaniu przyspieszeń kinematyki (twierdzenie Coriolisa) przyspieszenie bezwzględne jest sumą przyspieszeń względnych, transportowych i Coriolisa

. (11.34)

Podstawiając (11.34) do (11.33) otrzymujemy

oraz po przeniesieniu i wprowadzeniu zapisów

(11.35)

Gdzie ; wektor nazywany jest przenoszeniem siły bezwładności; - Siła bezwładności Coriolisa.

Równość (11.35) wyraża prawo względnego ruchu punktu. W konsekwencji ruch punktu w nieinercjalnym układzie odniesienia można uznać za ruch w układzie inercjalnym, jeśli do liczby sił czynnych i reakcji sprzęgających działających na punkt dodamy przeniesienie i siły bezwładności Coriolisa.

Na poprzednich wykładach omawiane były metody rozwiązywania problemów dynamiki w oparciu o prawa Newtona. W mechanice teoretycznej opracowano inne metody rozwiązywania problemów dynamicznych, które opierają się na innych punkty początkowe, zwane zasadami mechaniki.

Najważniejszą z zasad mechaniki jest zasada D'Alemberta. Metoda kinetostatyki jest ściśle związana z zasadą d'Alemberta - metodą rozwiązywania problemów dynamiki, w której równania dynamiczne zapisuje się w postaci równań równowagi. Metoda kinetostatyczna jest szeroko stosowana w takich ogólnych dziedzinach inżynierii, jak wytrzymałość materiałów, teoria mechanizmów i maszyn oraz inne dziedziny mechaniki stosowanej. Zasada D'Alemberta jest również skutecznie stosowana w samej mechanice teoretycznej, gdzie przy jej pomocy stworzyli skuteczne sposoby rozwiązywanie problemów dynamiki.

Zasada D'Alemberta dla punktu materialnego

Niech materialny punkt masy wykonuje ruch nieswobodny względem inercyjnego układu współrzędnych Oxyz pod wpływem siły czynnej i reakcji sprzęgania R (ryc. 57).

Zdefiniujmy wektor

liczbowo równy iloczynowi masy punktu i jego przyspieszenia i skierowany przeciwnie do wektora przyspieszenia. Wektor ma wymiar siły i nazywany jest siłą bezwładności (D'Alemberta) punktu materialnego.

Zasada D’Alemberta dla punktu materialnego sprowadza się do następującego stwierdzenia: jeśli warunkowo dodamy siłę bezwładności punktu do sił działających na punkt materialny, otrzymamy zrównoważony układ sił, tj.

Przywołując ze statyki warunek równowagi sił zbiegających się, zasadę d’Alemberta można zapisać także w postaci:

Łatwo zauważyć, że zasada D'Alemberta jest równoważna podstawowemu równaniu dynamiki i odwrotnie, z podstawowego równania dynamiki wynika zasada D'Alemberta. Rzeczywiście, przenosząc wektor z ostatniej równości na drugą część równości i zastępując go przez , otrzymujemy podstawowe równanie dynamiki. I odwrotnie, przesuwając człon m w głównym równaniu dynamiki na tę samą stronę, co siły i stosując zapis , otrzymujemy zapis zasady d’Alemberta.

Zasada D'Alemberta dla punktu materialnego, będąca całkowicie równoważna podstawowemu prawu dynamiki, wyraża to prawo w zupełnie innej formie - w postaci równania statyki. Umożliwia to stosowanie metod statycznych przy układaniu równań dynamicznych, co nazywa się metodą kinetostatyczną.

Metoda kinetostatyczna jest szczególnie wygodna do rozwiązania pierwszego problemu dynamiki.

Przykład. Z najwyższego punktu gładkiej kopuły sferycznej o promieniu R zsuwa się punkt materialny o masie M o znikomej masie prędkość początkowa(ryc. 58). Określ, gdzie punkt opuści kopułę.

Rozwiązanie. Punkt będzie się przesuwał po łuku jakiegoś południka. Niech w pewnym (aktualnym) momencie promień OM tworzy kąt z pionem. Rozbudowując przyspieszenie punktu a na styczną ) i normalną, przedstawmy siłę bezwładności punktu również w postaci sumy dwóch składowych:

Składowa styczna siły bezwładności ma moduł i jest skierowana przeciwnie do przyspieszenia stycznego, składowa normalna ma moduł i jest skierowana przeciwnie do przyspieszenia normalnego.

Dodając te siły do ​​siły czynnej i reakcji kopuły N faktycznie działającej na punkt, tworzymy równanie kinetostatyczne

Wszystkie metody rozwiązywania problemów dynamiki, które do tej pory rozważaliśmy, opierają się na równaniach wynikających albo bezpośrednio z praw Newtona, albo z ogólnych twierdzeń będących konsekwencjami tych praw. Jednak ta droga nie jest jedyna. Okazuje się, że równania ruchu lub warunki równowagi układu mechanicznego można otrzymać, korzystając z innych praw zamiast praw Newtona Postanowienia ogólne, zwane zasadami mechaniki. W wielu przypadkach zastosowanie tych zasad pozwala, jak zobaczymy, znaleźć więcej skuteczne metody rozwiązywanie odpowiednich problemów. W tym rozdziale przyjrzymy się jednemu z ogólne zasady mechaniki, zwanej zasadą d'Alemberta.

Załóżmy, że mamy system składający się z N punkty materialne. Wybierzmy jeden z punktów układu o masie . Pod wpływem czynników zewnętrznych i siły wewnętrzne oraz (co obejmuje zarówno siły czynne, jak i reakcje sprzęgania) punkt otrzymuje pewne przyspieszenie względem inercjalnego układu odniesienia.

Weźmy pod uwagę ilość

mający wymiar siły. Wielkość wektora równa iloczynowi masy punktu i jego przyspieszenia i skierowana przeciwnie do tego przyspieszenia nazywana jest siłą bezwładności punktu (czasami siłą bezwładności d'Alemberta).

Okazuje się wówczas, że ruch punktu ma następujący charakter wspólna własność: jeśli w każdym momencie do sił faktycznie działających na punkt dodamy siłę bezwładności, to powstały układ sił będzie zrównoważony, tj. będzie

.

To wyrażenie wyraża zasadę d'Alemberta w jednym materialnym punkcie. Łatwo zauważyć, że jest to równoważne drugiemu prawu Newtona i odwrotnie. W rzeczywistości drugie prawo Newtona dla omawianego punktu daje . Przenosząc tutaj wyraz na prawą stronę równości, dochodzimy do ostatniej relacji.

Powtarzając powyższe rozumowanie w odniesieniu do każdego z punktów systemu, dochodzimy do następującego wyniku, wyrażającego zasadę D'Alemberta dla systemu: jeśli w dowolnym momencie do każdego punktu układu zostaną przyłożone odpowiednie siły bezwładności, oprócz faktycznie działających na niego sił zewnętrznych i wewnętrznych, wówczas powstały układ sił będzie w równowadze i wszystkie równania statyczne będą mogły być spełnione zastosował się do tego.

Znaczenie zasady d'Alemberta polega na tym, że równania ruchu układu, zastosowane bezpośrednio do zagadnień dynamiki, układają się w postaci dobrze znanych równań równowagi; co zapewnia jednolite podejście do rozwiązywania problemów i zwykle znacznie upraszcza odpowiednie obliczenia. Ponadto w związku z zasadą możliwe ruchy co zostanie omówione w następnym rozdziale, zasada d'Alemberta pozwala nam uzyskać nowe metoda ogólna rozwiązywanie problemów dynamiki.

Stosując zasadę d'Alemberta należy pamiętać, że na punkt układu mechanicznego, którego ruch jest badany, działają wyłącznie siły zewnętrzne i wewnętrzne oraz powstałe w wyniku oddziaływania punktów system ze sobą oraz z podmiotami nieuwzględnionymi w systemie; pod wpływem tych sił punkty układu poruszają się z odpowiednimi przyspieszeniami. Siły bezwładności, o których mowa w zasadzie D'Alemberta, nie działają na punkty ruchome (w przeciwnym razie punkty te byłyby w spoczynku lub poruszały się bez przyspieszenia i wtedy nie byłoby samych sił bezwładności). Wprowadzenie sił bezwładności to po prostu technika, która pozwala na układanie równań dynamicznych przy użyciu większej liczby sił proste metody statyka.

Ze statyki wiadomo, że suma geometryczna siły w równowadze i suma ich momentów względem dowolnego środka O są równe zeru i zgodnie z zasadą krzepnięcia dotyczy to sił działających nie tylko na ciało stałe, ale także na dowolny układ zmienny. Zatem, zgodnie z zasadą D'Alemberta, tak powinno być.

Siły bezwładności w dynamice punktu materialnego i układu mechanicznego

Siłą bezwładności punktu materialnego to iloczyn masy punktu i jego przyspieszenia, przyjmowany ze znakiem minus, co oznacza, że ​​siły bezwładności w dynamice stosuje się w następujących przypadkach:

• 1. Badając ruch punktu materialnego nieinercyjny(ruchomy) układ współrzędnych, czyli ruch względny. Są to siły transportu i siły bezwładności Coriolisa, które często nazywane są siłami Eulera.
• 2. Przy rozwiązywaniu problemów dynamiki metodą kinetostatyczną. Metoda ta opiera się na zasadzie d’Alemberta, zgodnie z którą siły bezwładności punktu materialnego lub układu punktów materialnych poruszających się z pewnym przyspieszeniem inercyjny układu odniesienia. Te siły bezwładności nazywane są siłami d'Alemberta.
• 3. Siły bezwładności D'Alemberta wykorzystuje się także przy rozwiązywaniu problemów dynamiki z wykorzystaniem zasady Lagrange'a-D'Alemberta lub ogólnego równania dynamiki.

Wyrażenie w rzutach na osie współrzędnych kartezjańskich

Gdzie - moduły rzutów przyspieszenia punktu na osi współrzędnych kartezjańskich.

Na ruch krzywoliniowy punktów siłę bezwładności można rozłożyć na styczną i normalną:; , - moduł przyspieszeń stycznych i normalnych; - promień krzywizny trajektorii;

V- prędkość punktowa.

Zasada D'Alemberta dla punktu materialnego

Jeśli nie jest darmowy punkt materialny poruszający się pod działaniem przyłożonych sił czynnych i sił reakcji wiązania, przyłożyć jego siłę bezwładności, wówczas w dowolnym momencie powstały układ sił zostanie zrównoważony, czyli suma geometryczna tych sił będzie równa zeru.

materiał korpusu punktu mechanicznego

Gdzie - wypadkowa sił czynnych przyłożonych do punktu; - wypadkowa reakcji wiązań nałożonych na punkt; siła bezwładności punktu materialnego. Uwaga: W rzeczywistości siła bezwładności punktu materialnego jest przykładana nie do samego punktu, ale do ciała, które nadaje przyspieszenie temu punktowi.

Zasada D'Alemberta dla układu mechanicznego

Suma geometryczna główne wektory siły zewnętrzne, działające na układ, a siły bezwładności wszystkich punktów układu, a także suma geometryczna głównych momentów tych sił względem jakiegoś środka dla nieswobodnego układu mechanicznego w dowolnym momencie są równe zeru, tj.

Główny wektor i Głównym punktem siły bezwładności ciała sztywnego

Wektor główny i główny moment sił bezwładności punktów układu wyznacza się odrębnie dla każdego ciała sztywnego wchodzącego w skład danego układu mechanicznego. Ich definicja opiera się na znanej ze statyki metodzie Poinsota polegającej na sprowadzeniu dowolnego układu sił do zadanego środka.

W oparciu o tę metodę siły bezwładności wszystkich punktów ciała, w ogólnym przypadku, jego ruchy można sprowadzić do środka masy i zastąpić głównym wektorem * i głównym momentem względem środka masy. Są one określone przez formuły tj. dla dowolnego ruch ciała sztywnego wektor główny siły bezwładności są równe, ze znakiem minus, iloczynowi masy ciała i przyspieszenia środka masy ciała; ,Gdzie R kc -- wektor promienia k-ty punkty pobrane ze środka masy. Wzory te w szczególnych przypadkach ruchu ciała sztywnego mają postać:

1. Ruch do przodu.

2. Obrót ciała wokół osi przechodzącej przez środek masy

3. Ruch płasko-równoległy

Wprowadzenie do mechaniki analitycznej

Podstawowe pojęcia mechaniki analitycznej

Mechanika analityczna- dziedzina (dział) mechaniki, w której bada się ruch lub równowagę układów mechanicznych przy użyciu ogólnych, ujednoliconych metod analitycznych stosowanych dla dowolnych układów mechanicznych.

Rozważmy najbardziej charakterystyczne pojęcia mechaniki analitycznej.

1. Połączenia i ich klasyfikacja.

Znajomości-- wszelkie ograniczenia w postaci ciał lub wszelkich warunków kinematycznych nałożonych na ruchy punktów układu mechanicznego. Ograniczenia te można zapisać w postaci równań lub nierówności.

Połączenia geometryczne-- połączenia, których równania zawierają tylko współrzędne punktów, tzn. ograniczenia nakładane są tylko na współrzędne punktów. Są to połączenia w postaci brył, powierzchni, linii itp.

Połączenia różnicowe- połączenia, które nakładają ograniczenia nie tylko na współrzędne punktów, ale także na ich prędkość.

Połączenia holonomiczne — wszystkie połączenia geometryczne i te różniczkowe, których równania dają się całkować.

Połączenia nieholonomiczne-- połączenia różniczkowe niecałkowalne.

Połączenia stacjonarne -- połączenia, których równania nie uwzględniają wyraźnie czasu.

Łączność niestacjonarna- połączenia zmieniające się w czasie, tj. których równania wyraźnie uwzględniają czas.

Połączenia dwukierunkowe (podtrzymujące) -- połączenia ograniczające ruch punktu w dwóch przeciwnych kierunkach. Połączenia takie opisują równania .

Jednostronny połączenia (nieutwierdzające) - połączenia ograniczające ruch tylko w jednym kierunku. Połączenia takie opisują nierówności

2. Możliwe (wirtualne) i rzeczywiste ruchy.

Możliwy Lub wirtualny przemieszczenia punktów układu mechanicznego to wyimaginowane, nieskończenie małe ruchy, które umożliwiają narzucenie połączeń na układ.

Możliwy Ruch układu mechanicznego to zbiór możliwych jednocześnie ruchów punktów układu zgodnych z połączeniami. Niech układ mechaniczny będzie mechanizmem korbowym.

Możliwy ruch punktu A to ruch, który ze względu na swoją małość uważany jest za prostoliniowy i skierowany prostopadle do niego OA.

Możliwy ruch punktu W(suwak) porusza się w prowadnicach. Możliwy ruch korby OA jest kątem obrotu i korbowodem AB-- do kąta wokół MCS (pkt R).

Ważny przemieszczenia punktów układu nazywane są także przemieszczeniami elementarnymi, które pozwalają na nakładanie się połączeń, ale z uwzględnieniem początkowych warunków ruchu i sił działających na układ.

Liczba stopni wolność S układu mechanicznego to liczba jego niezależnych możliwych ruchów, które można przekazać punktom układu w ustalonym momencie.

Zasada możliwych ruchów (zasada Lagrange'a)

Zasada możliwych przemieszczeń lub zasada Lagrange'a wyraża stan równowagi nieswobodnego układu mechanicznego pod wpływem przyłożonych sił czynnych. Oświadczenie o zasadzie.

Dla równowagi dla nieswobodnego układu mechanicznego o połączeniach dwukierunkowych, stacjonarnych, holonomicznych i idealnych, który znajduje się w spoczynku pod działaniem przyłożonych sił czynnych, konieczne i wystarczające jest, aby suma prac elementarnych wszystkich sił czynnych była równa pocisk na ewentualne przemieszczenie układu z rozpatrywanego położenia równowagi:

Ogólne równanie dynamiki (zasada Lagrange'a-D'Alemberta)

Ogólne równanie dynamiki stosuje się do badania ruchu nieswobodnych układów mechanicznych, których ciała lub punkty poruszają się z określonymi przyspieszeniami.

Zgodnie z zasadą d'Alemberta suma sił czynnych przyłożonych do układu mechanicznego, sił reakcji sprzężenia i sił bezwładności we wszystkich punktach układu tworzy zrównoważony układ sił.

Jeżeli do takiego układu zastosujemy zasadę możliwych przemieszczeń (zasadę Lagrange’a), otrzymamy złożoną zasadę Lagrange’a-D’Alemberta lub ogólne równanie dynamiki.Oświadczenie tej zasady.

Kiedy poruszasz się nieswobodnie układu mechanicznego o połączeniach dwukierunkowych, idealnych, stacjonarnych i holonomicznych, suma prac elementarnych wszystkich sił czynnych i sił bezwładności przyłożonych do punktów układu przy każdym możliwym ruchu układu wynosi zero:

Równania Lagrange'a drugiego rodzaju

Równania Lagrange'a drugiego rodzaju są równania różniczkowe ruchu układu mechanicznego we współrzędnych uogólnionych.

Dla systemu z S stopni swobody, równania te mają postać

Różnica Całkowita pochodna czasowa pochodnej cząstkowej energia kinetyczna układu pod względem uogólnionej prędkości, a cząstkowa pochodna energii kinetycznej wzdłuż uogólnionej współrzędnej jest równa uogólnionej sile.

Równania Lagrange'a dla konserwatywnych układów mechanicznych. Współrzędne cykliczne i całki

W przypadku układu zachowawczego siły uogólnione wyznacza się na podstawie energii potencjalnej układu zgodnie ze wzorem

Następnie równania Lagrange'a zostaną przepisane do postaci

Ponieważ energia potencjalna układ jest funkcją tylko uogólnionych współrzędnych, czyli biorąc to pod uwagę, przedstawiamy go w postaci, gdzie T - P = L -- Funkcja Lagrange'a (potencjał kinetyczny). Wreszcie równania Lagrange'a dla układu konserwatywnego

Stabilność położenia równowagi układu mechanicznego

Zagadnienie stabilności położenia równowagi układów mechanicznych ma bezpośrednie znaczenie w teorii drgań układów.

Położenie równowagi może być stabilne, niestabilne i obojętne.

Zrównoważony położenie równowagi - położenie równowagi, w którym usunięte z tego położenia punkty układu mechanicznego przemieszczają się następnie pod działaniem sił znajdujących się w bezpośrednim sąsiedztwie ich położenia równowagi.

Ruch ten będzie miał pewien stopień powtarzalności w czasie, tj. system będzie wykonywał ruch oscylacyjny.

Nietrwały pozycja równowagi - pozycja równowagi, od której przy dowolnie małym odchyleniu punktów układu w przyszłości siły aktywne punkty odsuną się jeszcze dalej od swojego położenia równowagi .

Obojętny położenie równowagi - położenie równowagi, gdy przy dowolnym niewielkim początkowym odchyleniu punktów układu od tego położenia, w nowym położeniu układ również pozostaje w równowadze. .

Istnieją różne metody określania stabilnego położenia równowagi układu mechanicznego.

Rozważmy definicję stabilnej pozycji równowagi opartą na Twierdzenia Lagrange'a-Dirichleta

Jeśli na stanowisku równowaga konserwatywnego układu mechanicznego z ideałem i stałe połączenia jego energia potencjalna ma minimum, wówczas to położenie równowagi jest stabilne.

Zjawisko uderzenia. Siła uderzenia i impuls uderzenia

Zjawisko, w którym w pomijalnie małym okresie czasu prędkości punktów na ciele zmieniają się o skończoną wielkość, nazywa się cios. Ten okres czasu nazywa się czas uderzenia. Podczas uderzenia siła uderzenia jest wywierana przez nieskończenie krótki okres czasu. Siła uderzenia nazywana siłą, której pęd podczas uderzenia ma wartość skończoną.

Jeśli siła ma skończony moduł działa w czasie, rozpoczynając swoje działanie w danym momencie , wówczas jego impuls ma postać

Ponadto, gdy siła uderzenia działa na punkt materialny, możemy powiedzieć, że:

działanie sił chwilowych podczas uderzenia można pominąć;

ruch punktu materialnego podczas uderzenia można zignorować;

wynik działania siły uderzenia na punkt materialny wyraża się końcową zmianą jego wektora prędkości podczas uderzenia.

Twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego pod wpływem uderzenia

zmiana pędu układu mechanicznego podczas uderzenia jest równa sumie geometrycznej wszystkich zewnętrznych impulsy uderzeniowe, zastosowany do punktów układów, Gdzie - wielkość ruchu układu mechanicznego w momencie ustania sił uderzenia, - wielkość ruchu układu mechanicznego w momencie rozpoczęcia działania sił uderzenia, - zewnętrzny impuls uderzeniowy.

Rozważane dotychczas metody rozwiązywania problemów mechanicznych opierają się na równaniach wynikających albo bezpośrednio z praw Newtona, albo z ogólnych twierdzeń będących konsekwencjami tych praw. Jednak ta droga nie jest jedyna. Okazuje się, że równania ruchu lub warunki równowagi układu mechanicznego można otrzymać opierając je na innych ogólnych zasadach, zwanych zasadami mechaniki, a nie na prawach Newtona. W wielu przypadkach zastosowanie tych zasad pozwala, jak zobaczymy, na znalezienie skuteczniejszych metod rozwiązywania odpowiednich problemów. W tym rozdziale przeanalizujemy jedną z ogólnych zasad mechaniki, zwaną zasadą d'Alemberta.

Znajdźmy najpierw wyrażenie zasady dla jednego punktu materialnego. Niech na punkt materialny posiadający masę działa układ sił czynnych, których wypadkowa będzie oznaczona reakcją sprzęgania N (jeśli punkt nie jest swobodny). Pod wpływem wszystkich tych sił punkt będzie przemieszczał się względem inercjalnego układu odniesienia z pewnym przyspieszeniem a.

Weźmy pod uwagę ilość

mający wymiar siły. Wielkość wektora równa iloczynowi masy punktu i jego przyspieszenia i skierowana przeciwnie do tego przyspieszenia nazywana jest siłą bezwładności punktu.

Wtedy okazuje się, że ruch punktu ma następującą właściwość: jeśli w dowolnym momencie do sił czynnych działających na punkt i reakcji sprzęgania dodamy siłę bezwładności, to powstały układ sił będzie zrównoważony, tj.

Stanowisko to wyraża zasadę d'Alemberta dotyczącą kwestii materialnej. Łatwo zauważyć, że jest to równoważne drugiemu prawu Newtona i odwrotnie. Faktycznie, drugie prawo Newtona dla rozpatrywanego punktu daje: Przenosząc tutaj wartość m na prawą stronę równości i biorąc pod uwagę zapis (84), dochodzimy do zależności (85). Przeciwnie, przenosząc wielkość z równania (85) na drugą część równości i uwzględniając zapis (84), otrzymujemy wyrażenie na drugie prawo Newtona.

Rozważmy teraz układ mechaniczny składający się z punktów materialnych. Wybierzmy jeden z punktów układu o masie . Pod wpływem przyłożonych do niego sił zewnętrznych i wewnętrznych (do których zaliczają się zarówno siły czynne, jak i reakcje sprzęgania) punkt będzie przemieszczał się względem inercjalnego układu odniesienia z pewnym przyspieszeniem. Wprowadzając dla tego punktu siłę bezwładności otrzymujemy wg do równości (85), że

tj. tworzą zrównoważony układ sił. Powtarzając takie rozumowanie dla każdego punktu układu, dochodzimy do następującego wyniku, wyrażającego zasadę D'Alemberta dla układu: jeśli w dowolnym momencie do każdego z punktów układu dodamy odpowiednie siły bezwładności, oprócz działających na niego sił zewnętrznych i wewnętrznych, wówczas powstały układ sił zostanie zrównoważony i można będzie do niego zastosować wszystkie równania statyki.

Matematycznie zasadę d'Alemberta dla układu wyrażają równości wektorowe postaci (85), które są oczywiście równoważne równania różniczkowe ruch układu (13), otrzymany w § 106. W konsekwencji z zasady d'Alemberta, a także z równań (13) można otrzymać wszystkie ogólne twierdzenia dynamiki.

Znaczenie zasady d'Alemberta polega na tym, że równania ruchu układu, zastosowane bezpośrednio do zagadnień dynamiki, układają się w postaci dobrze znanych równań równowagi; ujednolica to podejście do rozwiązywania problemów i często upraszcza odpowiednie obliczenia. Ponadto, w połączeniu z zasadą możliwych przemieszczeń, która zostanie omówiona w następnym rozdziale, zasada d'Alemberta pozwala nam uzyskać nową ogólną metodę rozwiązywania problemów dynamiki (patrz § 141).

Ze statyki wiadomo, że suma geometryczna sił w równowadze oraz suma ich momentów względem dowolnego środka O jest równa zeru i, jak pokazano w § 120, dotyczy to sił działających nie tylko na ciało sztywne, ale również w dowolnym zmiennym układzie mechanicznym.

Następnie, w oparciu o zasadę D'Alemberta, powinno być:

Wprowadźmy następującą notację:

Wielkości reprezentują wektor główny i moment główny względem środka O układu sił bezwładności. W rezultacie, biorąc pod uwagę, że suma geometryczna sił wewnętrznych i suma ich momentów są równe zero, otrzymujemy z równości (86):

Zastosowanie równań (88), wynikających z zasady d'Alemberta, upraszcza proces rozwiązywania problemów, gdyż równania te nie zawierają sił wewnętrznych. W zasadzie równania (88) są równoważne równaniom wyrażającym twierdzenia o zmianach pędu i głównego momentu pędu układu, a różnią się od nich jedynie formą.

Równania (88) są szczególnie wygodne w użyciu podczas badania ruchu sztywnego ciała lub układu ciała stałe. Do pełnego badania ruchu dowolnego układu zmiennego równania te nie wystarczą, podobnie jak równania statyki nie wystarczą do badania równowagi dowolnego układu mechanicznego (patrz § 120).

W rzutach na osie współrzędnych równości (88) dają równania podobne do odpowiadających im równań statycznych (patrz § 16, 30). Aby użyć tych równań przy rozwiązywaniu problemów, musisz znać wyrażenia na wektor główny i główny moment sił bezwładności.

Podsumowując, należy podkreślić, że badając ruch względem rozważanego tu inercjalnego układu odniesienia, siły bezwładności wprowadza się dopiero wtedy, gdy do rozwiązania problemów stosuje się zasadę d'Alemberta