Najmniejsza wartość funkcji na odcinku 2 4. Badanie wykresu funkcji

Drobna i ładna proste zadanie z kategorii tych, które służą jako ratownik dla pływającego ucznia. Mamy środek lipca, więc czas rozsiąść się z laptopem na plaży. Już od samego rana zaczął grać promień słońca teorii, by wkrótce skupić się na praktyce, która mimo deklarowanej łatwości zawiera w piasku odłamki szkła. W związku z tym radzę sumiennie rozważyć kilka przykładów z tej strony. Aby rozwiązać problemy praktyczne, trzeba to umieć znaleźć pochodne i zrozumieć treść artykułu Przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji.

Najpierw krótko o najważniejszej rzeczy. Na lekcji o ciągłość funkcji Podałem definicję ciągłości w punkcie i ciągłości w odstępie czasu. W podobny sposób formułuje się przykładowe zachowanie funkcji na segmencie. Funkcja jest ciągła na przedziale, jeśli:

1) jest ciągła na przedziale ;
2) ciągły w punkcie po prawej i w punkcie lewy.

W drugim akapicie mówiliśmy o tzw jednostronna ciągłość funkcjonuje w jednym punkcie. Istnieje kilka podejść do jego zdefiniowania, ja jednak będę trzymał się linii, którą zacząłem wcześniej:

Funkcja jest ciągła w punkcie po prawej, jeżeli jest ona zdefiniowana w danym punkcie i jej prawa granica pokrywa się z wartością funkcji w danym punkcie: . W tym punkcie jest ciągły lewy, jeżeli jest zdefiniowany w danym punkcie i jego lewa granica jest równa wartości w tym punkcie:

Wyobraź sobie, że zielone kropki to paznokcie z przyczepioną do nich magiczną gumką:

Mentalnie weź czerwoną linię w swoje ręce. Oczywiście niezależnie od tego jak bardzo rozciągniemy wykres w górę i w dół (wzdłuż osi), funkcja nadal pozostanie ograniczony– na górze płot, na dole płot, a nasz produkt pasie się na wybiegu. Zatem, funkcja ciągła na przedziale jest na nim ograniczona. W toku analizy matematycznej ten pozornie prosty fakt zostaje stwierdzony i rygorystycznie udowodniony. Pierwsze twierdzenie Weierstrassa....Wiele osób denerwuje, że twierdzenia elementarne są żmudnie uzasadniane w matematyce, ale ma to ważne znaczenie. Załóżmy, że pewien mieszkaniec średniowiecza frotte wyciągnął wykres w niebo poza granicami widoczności, został on wstawiony. Przed wynalezieniem teleskopu ograniczona funkcja w przestrzeni wcale nie była oczywista! Tak naprawdę, skąd wiesz, co nas czeka za horyzontem? Przecież kiedyś Ziemię uważano za płaską, więc dziś nawet zwykła teleportacja wymaga dowodu =)

Według Drugie twierdzenie Weierstrassa, ciągły w segmenciefunkcja osiąga swoją wartość dokładna górna granica i Twoje dokładnie dolna krawędź .

Numer jest również nazywany maksymalna wartość funkcji w segmencie i są oznaczone przez , a liczbą jest minimalna wartość funkcji w segmencie zaznaczone.

W naszym przypadku:

Notatka : teoretycznie nagrania są powszechne .

Z grubsza mówiąc, najwyższa wartość to najwyższy punkt wykresu, a najniższy to najniższy punkt.

Ważny! Jak już podkreślono w artykule o ekstrema funkcji, największą wartość funkcji I najmniejsza wartość Funkcje – NIE TEN SAM, Co maksymalna funkcja I funkcja minimalna. Zatem w rozważanym przykładzie liczba jest minimum funkcji, ale nie wartością minimalną.

Swoją drogą, co dzieje się poza segmentem? Tak, nawet powódź, w kontekście rozpatrywanego problemu, to nas w ogóle nie interesuje. Zadanie polega wyłącznie na znalezieniu dwóch liczb i to wszystko!

Co więcej, rozwiązanie ma zatem charakter czysto analityczny nie ma potrzeby rysowania!

Algorytm leży na powierzchni i sugeruje się z powyższego rysunku:

1) Znajdź wartości funkcji w punkt krytyczny, które należą do tego segmentu.

Złap kolejny bonus: tutaj nie ma potrzeby sprawdzania warunku wystarczającego ekstremum, ponieważ, jak właśnie pokazano, obecność minimum lub maksimum jeszcze nie gwarantuje jaka jest wartość minimalna lub maksymalna. Funkcja demonstracyjna osiąga maksimum i zgodnie z wolą losu ta sama liczba jest największą wartością funkcji w segmencie. Ale oczywiście taki zbieg okoliczności nie zawsze występuje.

Zatem w pierwszym kroku szybciej i łatwiej jest obliczyć wartości funkcji w punktach krytycznych należących do odcinka, nie przejmując się tym, czy występują w nich ekstrema, czy nie.

2) Obliczamy wartości funkcji na końcach segmentu.

3) Spośród wartości funkcji znajdujących się w akapicie 1. i 2. wybierz najmniejszą i największą duża liczba, zapisz odpowiedź.

Siadamy na brzegu błękitnego morza i uderzamy piętami w płytką wodę:

Przykład 1

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w segmencie

Rozwiązanie:
1) Obliczmy wartości funkcji w punktach krytycznych należących do tego odcinka:

Obliczmy wartość funkcji w drugim punkcie krytycznym:

2) Obliczmy wartości funkcji na końcach odcinka:

3) „Pogrubione” wyniki uzyskano z wykładnikami i logarytmami, co znacznie komplikuje ich porównanie. Z tego powodu uzbroimy się w kalkulator lub Excel i obliczmy przybliżone wartości, nie zapominając o tym, że:

Teraz wszystko jest jasne.

Odpowiedź:

Ułamkowy racjonalny przykład dla niezależna decyzja:

Przykład 6

Znajdź maksimum i minimalna wartość działa w przedziale

Standardowy algorytm rozwiązywania takich problemów polega po znalezieniu zer funkcji na wyznaczeniu znaków pochodnej na przedziałach. Następnie obliczenie wartości w znalezionych punktach maksymalnych (lub minimalnych) i na granicy przedziału, w zależności od tego, jakie pytanie znajduje się w warunku.

Radzę ci zrobić wszystko trochę inaczej. Dlaczego? Pisałem o tym.

Proponuję rozwiązać takie problemy w następujący sposób:

1. Znajdź pochodną.
2. Znajdź zera pochodnej.
3. Określ, które z nich należą do tego przedziału.
4. Obliczamy wartości funkcji na granicach przedziału i punktach kroku 3.
5. Wyciągamy wniosek (odpowiadamy na zadane pytanie).

Przy rozwiązywaniu przedstawionych przykładów rozwiązanie nie było szczegółowo rozważane równania kwadratowe, musisz to umieć. Oni też powinni wiedzieć.

Spójrzmy na przykłady:

77422. Znajdź największą wartość funkcji y=x 3 –3x+4 na odcinku [–2;0].

Znajdźmy zera pochodnej:

Punkt x = –1 należy do przedziału określonego w warunku.

Obliczamy wartości funkcji w punktach –2, –1 i 0:

Największą wartością funkcji jest 6.

Odpowiedź: 6

77425. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y = x 3 – 3x 2 + 2 na odcinku.

Znajdźmy pochodną dana funkcja:

Znajdźmy zera pochodnej:

Przedział określony w warunku zawiera punkt x = 2.

Obliczamy wartości funkcji w punktach 1, 2 i 4:

Najmniejsza wartość funkcji to –2.

Odpowiedź: –2

77426. Znajdź największą wartość funkcji y = x 3 – 6x 2 na odcinku [–3;3].

Znajdźmy pochodną danej funkcji:

Znajdźmy zera pochodnej:

Punkt x = 0 należy do przedziału określonego w warunku.

Obliczamy wartości funkcji w punktach –3, 0 i 3:

Najmniejsza wartość funkcji wynosi 0.

Odpowiedź: 0

77429. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y = x 3 – 2x 2 + x +3 na odcinku.

Znajdźmy pochodną danej funkcji:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Otrzymujemy pierwiastki: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Przedział określony w warunku zawiera tylko x = 1.

Znajdźmy wartości funkcji w punktach 1 i 4:

Ustaliliśmy, że najmniejsza wartość funkcji wynosi 3.

Odpowiedź: 3

77430. Znajdź największą wartość funkcji y = x 3 + 2x 2 + x + 3 na odcinku [– 4; -1].

Znajdźmy pochodną danej funkcji:

Znajdźmy zera pochodnej i rozwiążmy równanie kwadratowe:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Zdobądźmy korzenie:

Przedział określony w warunku zawiera pierwiastek x = –1.

Wartości funkcji znajdujemy w punktach –4, –1, –1/3 i 1:

Ustaliliśmy, że największą wartością funkcji jest 3.

Odpowiedź: 3

77433. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y = x 3 – x 2 – 40x +3 na odcinku.

Znajdźmy pochodną danej funkcji:

Znajdźmy zera pochodnej i rozwiążmy równanie kwadratowe:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Zdobądźmy korzenie:

Przedział określony w warunku zawiera pierwiastek x = 4.

Znajdź wartości funkcji w punktach 0 i 4:

Ustaliliśmy, że najmniejsza wartość funkcji to –109.

Odpowiedź: –109

Rozważmy sposób określenia największych i najmniejszych wartości funkcji bez pochodnej. Jeśli tak, możesz zastosować to podejście duże problemy. Zasada jest prosta – podstawiamy do funkcji wszystkie wartości całkowite z przedziału (fakt jest taki, że we wszystkich takich prototypach odpowiedzią jest liczba całkowita).

77437. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y=7+12x–x 3 na odcinku [–2;2].

Zastąp punkty od –2 do 2: Zobacz rozwiązanie

77434. Znajdź największą wartość funkcji y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 na odcinku [–2;0].

To wszystko. Powodzenia!

Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh.

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.

Z praktyczny punkt Z punktu widzenia największe zainteresowanie budzi wykorzystanie pochodnej do znalezienia największych i najmniejszych wartości funkcji. Z czym to się wiąże? Maksymalizacja zysków, minimalizacja kosztów, ustalenie optymalnego obciążenia sprzętu... Inaczej mówiąc, w wielu obszarach życia musimy rozwiązywać problemy optymalizacji niektórych parametrów. A to są zadania znalezienia największej i najmniejszej wartości funkcji.

Należy zauważyć, że największych i najmniejszych wartości funkcji szuka się zwykle na pewnym przedziale X, który jest albo całą dziedziną funkcji, albo częścią dziedziny definicji. Sam przedział X może być odcinkiem, przedziałem otwartym , nieskończony odstęp.

W tym artykule porozmawiamy o znalezieniu największych i najmniejszych wartości jawnie określonej funkcji jednej zmiennej y=f(x).

Nawigacja strony.

Największa i najmniejsza wartość funkcji - definicje, ilustracje.

Przyjrzyjmy się pokrótce głównym definicjom.

Największa wartość funkcji to dla każdego nierówność jest prawdziwa.

Najmniejsza wartość funkcji Taką wartością nazywamy y=f(x) w przedziale X to dla każdego nierówność jest prawdziwa.

Definicje te są intuicyjne: największą (najmniejszą) wartością funkcji jest największa (najmniejsza) akceptowana wartość na rozpatrywanym przedziale przy odciętej.

Punkty stacjonarne– są to wartości argumentu, przy których pochodna funkcji przyjmuje wartość zero.

Dlaczego potrzebujemy punktów stacjonarnych przy znajdowaniu największych i najmniejszych wartości? Odpowiedź na to pytanie daje twierdzenie Fermata. Z twierdzenia tego wynika, że ​​jeśli funkcja różniczkowalna ma w pewnym punkcie ekstremum (lokalne minimum lub lokalne maksimum), to punkt ten jest stacjonarny. Zatem funkcja często przyjmuje największą (najmniejszą) wartość w przedziale X w jednym ze stacjonarnych punktów tego przedziału.

Ponadto funkcja często może przyjmować swoje największe i najmniejsze wartości w punktach, w których pierwsza pochodna tej funkcji nie istnieje, a sama funkcja jest zdefiniowana.

Od razu odpowiedzmy na jedno z najczęstszych pytań w tym temacie: „Czy zawsze da się wyznaczyć największą (najmniejszą) wartość funkcji”? Nie, nie zawsze. Czasami granice przedziału X pokrywają się z granicami dziedziny definicji funkcji lub przedział X jest nieskończony. A niektóre funkcje w nieskończoności i na granicach dziedziny definicji mogą przyjmować zarówno nieskończenie duże, jak i nieskończenie małe wartości. W takich przypadkach nie można nic powiedzieć o największej i najmniejszej wartości funkcji.

Dla przejrzystości podamy ilustrację graficzną. Spójrz na zdjęcia, a wiele stanie się jaśniejsze.

Na segmencie

Na pierwszym rysunku funkcja przyjmuje największe (max y) i najmniejsze (min y) wartości w stacjonarnych punktach znajdujących się wewnątrz odcinka [-6;6].

Rozważmy przypadek pokazany na drugim rysunku. Zmieńmy segment na . W tym przykładzie najmniejszą wartość funkcji uzyskuje się w punkcie stacjonarnym, a największą w punkcie, którego odcięta odpowiada prawej granicy przedziału.

Na rysunku 3 punkty graniczne odcinka [-3;2] są odciętymi punktów odpowiadających największej i najmniejszej wartości funkcji.

W otwartej przerwie

Na czwartym rysunku funkcja przyjmuje największe (max y) i najmniejsze (min y) wartości w stacjonarnych punktach znajdujących się wewnątrz otwartego przedziału (-6;6).

W przedziale nie można wyciągnąć żadnych wniosków na temat największej wartości.

W nieskończoności

W przykładzie pokazanym na rysunku siódmym funkcja przyjmuje największą wartość (max y) w punkcie stacjonarnym o odciętej x=1, a najmniejszą wartość (min y) osiąga na prawej granicy przedziału. Przy minus nieskończoności wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do y=3.

W tym przedziale funkcja nie osiąga ani najmniejszej, ani największej wartości. Gdy x=2 zbliża się od prawej strony, wartości funkcji dążą do minus nieskończoności (prosta x=2 jest asymptotą pionową), a gdy odcięta dąży do plus nieskończoności, wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do y=3. Graficzną ilustrację tego przykładu pokazano na rysunku 8.

Algorytm znajdowania największych i najmniejszych wartości funkcji ciągłej w segmencie.

Napiszmy algorytm, który pozwoli nam znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w segmencie.

1. Znajdujemy dziedzinę definicji funkcji i sprawdzamy, czy zawiera ona cały segment.
2. Znajdujemy wszystkie punkty, w których nie istnieje pierwsza pochodna, a które mieszczą się w segmencie (zwykle takie punkty znajdują się w funkcjach z argumentem pod znakiem modułu oraz w funkcje mocy z wykładnikiem ułamkowo-wymiernym). Jeśli nie ma takich punktów, przejdź do następnego punktu.
3. Wyznaczamy wszystkie punkty stacjonarne mieszczące się w obrębie odcinka. Aby to zrobić, przyrównujemy to do zera, rozwiązujemy powstałe równanie i wybieramy odpowiednie pierwiastki. Jeśli nie ma punktów stacjonarnych lub żaden z nich nie mieści się w segmencie, przejdź do następnego punktu.
4. Wartości funkcji obliczamy w wybranych punktach stacjonarnych (jeśli występują), w punktach, w których nie istnieje pierwsza pochodna (jeśli występują), a także w x=a i x=b.
5. Z uzyskanych wartości funkcji wybieramy największą i najmniejszą - będą to wymagane odpowiednio największe i najmniejsze wartości funkcji.

Przeanalizujmy algorytm rozwiązania przykładu, aby znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji w segmencie.

Przykład.

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji

• na segmencie ;
• na segmencie [-4;-1] .

Rozwiązanie.

Dziedziną definicji funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych, tj. z wyjątkiem zera. Obydwa segmenty mieszczą się w domenie definicyjnej.

Znajdź pochodną funkcji po:

Oczywiście pochodna funkcji istnieje we wszystkich punktach odcinków i [-4;-1].

Z równania wyznaczamy punkty stacjonarne. Jedynym prawdziwym pierwiastkiem jest x=2. Ten nieruchomy punkt należy do pierwszego segmentu.

W pierwszym przypadku obliczamy wartości funkcji na końcach odcinka i w punkcie stacjonarnym, czyli dla x=1, x=2 i x=4:

Zatem największa wartość funkcji osiąga się przy x=1 i najmniejszej wartości – przy x=2.

W drugim przypadku wartości funkcji obliczamy tylko na końcach odcinka [-4;-1] (ponieważ nie zawiera on ani jednego punktu stacjonarnego):

W tym artykule omówię, jak zastosować umiejętność znajdowania do badania funkcji: znaleźć jej największą lub najmniejszą wartość. A następnie rozwiążemy kilka problemów z Zadania B15 z Otwartego Banku zadań dla.

Jak zwykle, najpierw przypomnijmy sobie teorię.

Na początku każdego badania funkcji znajdujemy ją

Aby znaleźć największą lub najmniejszą wartość funkcji, należy sprawdzić, w jakich przedziałach funkcja rośnie, a w jakich maleje.

Aby to zrobić, musimy znaleźć pochodną funkcji i zbadać jej przedziały stałego znaku, czyli przedziały, w których pochodna zachowuje swój znak.

Przedziały, w których pochodna funkcji jest dodatnia, są przedziałami funkcji rosnącej.

Przedziały, w których pochodna funkcji jest ujemna, to przedziały funkcji malejącej.

1. Rozwiążmy zadanie B15 (nr 245184)

Aby go rozwiązać, zastosujemy następujący algorytm:

a) Znajdź dziedzinę definicji funkcji

b) Znajdźmy pochodną funkcji.

c) Przyrównajmy to do zera.

d) Znajdźmy przedziały stałego znaku funkcji.

D) Znajdźmy punkt, w którym funkcja przyjmuje największą wartość.

f) Znajdź wartość funkcji w tym punkcie.

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania wyjaśniam w VIDEO TUTORIALE:

Twoja przeglądarka prawdopodobnie nie jest obsługiwana. Aby skorzystać z symulatora „Unified State Exam Hour”, spróbuj pobrać
Firefoksa

2. Rozwiążmy zadanie B15 (nr 282862)

Znajdź największą wartość funkcji na segmencie

Jest oczywiste, że funkcja przyjmuje największą wartość na odcinku w punkcie maksymalnym, przy x=2. Znajdźmy wartość funkcji w tym punkcie:

Odpowiedź: 5

3. Rozwiążmy zadanie B15 (nr 245180):

Znajdź największą wartość funkcji

1. tytuł="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Ponieważ zgodnie z dziedziną definicji oryginalnej funkcji title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Licznik jest równy zero w . Sprawdźmy, czy ODZ należy do funkcji. W tym celu sprawdźmy, czy warunek title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Tytuł="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

oznacza to, że punkt należy do funkcji ODZ

Zbadajmy znak pochodnej po prawej i lewej stronie punktu:

Widzimy, że funkcja przyjmuje największą wartość w punkcie . Teraz znajdźmy wartość funkcji w:

Uwaga 1. Należy zauważyć, że w tym zadaniu nie znaleźliśmy dziedziny definicji funkcji: ustaliliśmy jedynie ograniczenia i sprawdziliśmy, czy punkt, w którym pochodna jest równa zeru, należy do dziedziny definicji funkcji. To okazało się wystarczające do tego zadania. Jednak nie zawsze tak jest. To zależy od zadania.

Uwaga 2. Podczas badania zachowania złożona funkcja możesz skorzystać z tej reguły:

• jeśli funkcja zewnętrzna funkcji zespolonej rośnie, to funkcja ta przyjmuje największą wartość w tym samym punkcie, w którym funkcja wewnętrzna przyjmuje największą wartość. Wynika to z definicji funkcji rosnącej: funkcja rośnie w przedziale I jeśli wyższa wartość argument z tego przedziału odpowiada większej wartości funkcji.
• jeśli funkcja zewnętrzna funkcji zespolonej maleje, to funkcja ta przyjmuje największą wartość w tym samym punkcie, w którym funkcja wewnętrzna przyjmuje najmniejszą wartość . Wynika to z definicji funkcji malejącej: funkcja maleje na przedziale I, jeśli większej wartości argumentu z tego przedziału odpowiada mniejsza wartość funkcji

W naszym przykładzie funkcja zewnętrzna rośnie w całym obszarze definicji. Pod znakiem logarytmu znajduje się wyrażenie - trójmian kwadratowy, który przy ujemnym współczynniku wiodącym przyjmuje w tym punkcie największą wartość . Następnie podstawiamy tę wartość x do równania funkcji i znajdź jego największą wartość.