نمونه هایی از حل نابرابری های لگاریتمی با پیچیدگی افزایش یافته. همه چیز درباره نابرابری های لگاریتمی تجزیه نمونه ها

آیا فکر می کنید هنوز تا امتحان زمان باقی است و برای آماده شدن زمان خواهید داشت؟ شاید اینطور باشد. اما در هر صورت، دانش آموز هر چه زودتر آموزش را شروع کند، امتحانات را با موفقیت بیشتری پشت سر می گذارد. امروز تصمیم گرفتیم مقاله ای را به نابرابری های لگاریتمی اختصاص دهیم. این یکی از وظایف است که به معنای فرصتی برای گرفتن یک امتیاز اضافی است.

آیا از قبل می دانید لگاریتم (log) چیست؟ ما واقعا امیدواریم. اما حتی اگر پاسخی برای این سوال ندارید، مشکلی نیست. درک اینکه لگاریتم چیست بسیار آسان است.

چرا دقیقا 4؟ برای بدست آوردن 81 باید عدد 3 را به چنین توانی برسانید. وقتی اصل را فهمیدید، می توانید محاسبات پیچیده تری را انجام دهید.

شما چند سال پیش از نابرابری ها گذشتید. و از آن زمان، شما دائماً آنها را در ریاضیات ملاقات می کنید. اگر در حل نابرابری ها مشکل دارید، بخش مربوطه را بررسی کنید.
حال که با مفاهیم به صورت جداگانه آشنا شدیم، به طور کلی به بررسی آنها خواهیم پرداخت.

ساده ترین نابرابری لگاریتمی

ساده ترین نابرابری های لگاریتمی به این مثال محدود نمی شود، سه مورد دیگر وجود دارد، فقط با علائم مختلف. چرا این مورد نیاز است؟ برای درک بهتر نحوه حل نابرابری با لگاریتم. اکنون یک مثال کاربردی‌تر می‌آوریم، که هنوز هم بسیار ساده است، نابرابری‌های لگاریتمی پیچیده را برای بعد می‌گذاریم.

چگونه آن را حل کنیم؟ همه چیز با ODZ شروع می شود. اگر می خواهید همیشه هر نابرابری را به راحتی حل کنید، باید در مورد آن بیشتر بدانید.

ODZ چیست؟ DPV برای نابرابری های لگاریتمی

مخفف عبارت area است مقادیر مجاز. در تکالیف برای امتحان، این عبارت اغلب ظاهر می شود. DPV نه تنها در مورد نابرابری های لگاریتمی برای شما مفید است.

دوباره به مثال بالا نگاه کنید. ما ODZ را بر اساس آن در نظر می گیریم، تا شما اصل را درک کنید، و حل نابرابری های لگاریتمی سوالی ایجاد نمی کند. از تعریف لگاریتم بر می آید که 2x+4 باید بزرگتر از صفر باشد. در مورد ما، این به معنای زیر است.

این عدد باید طبق تعریف مثبت باشد. نابرابری ارائه شده در بالا را حل کنید. حتی می توان این کار را به صورت شفاهی انجام داد، در اینجا مشخص است که X نمی تواند کمتر از 2 باشد. راه حل نابرابری، تعریف محدوده مقادیر قابل قبول خواهد بود.
حالا بیایید به حل ساده ترین نابرابری لگاریتمی برویم.

ما خود لگاریتم ها را از هر دو قسمت نابرابری حذف می کنیم. در نتیجه چه چیزی برای ما باقی می ماند؟ نابرابری ساده

حل آن آسان است. X باید بزرگتر از -0.5 باشد. اکنون دو مقدار بدست آمده را در سیستم ترکیب می کنیم. بدین ترتیب،

این ناحیه مقادیر قابل قبول برای نابرابری لگاریتمی در نظر گرفته شده خواهد بود.

چرا اصلاً ODZ مورد نیاز است؟ این فرصتی است برای از بین بردن پاسخ های نادرست و غیرممکن. اگر پاسخ در محدوده مقادیر قابل قبول نباشد، پاسخ به سادگی معنا ندارد. این ارزش را برای مدت طولانی به یاد داشته باشید، زیرا در امتحان اغلب نیاز به جستجوی ODZ وجود دارد و این نه تنها به نابرابری های لگاریتمی مربوط می شود.

الگوریتم حل نابرابری لگاریتمی

راه حل شامل چندین مرحله است. ابتدا باید محدوده مقادیر قابل قبول را پیدا کرد. دو مقدار در ODZ وجود خواهد داشت، ما این را در بالا در نظر گرفتیم. مرحله بعدی حل خود نابرابری است. روش های حل به شرح زیر است:

• روش جایگزینی چند برابر؛
• تجزیه؛
• روش منطقی سازی

بسته به شرایط باید از یکی از روش های فوق استفاده کرد. بیایید مستقیم به سراغ راه حل برویم. ما محبوب ترین روشی را که برای حل وظایف USE در تقریباً همه موارد مناسب است، نشان خواهیم داد. در ادامه روش تجزیه را در نظر خواهیم گرفت. اگر با یک نابرابری «مختلف» مواجه شدید، می تواند کمک کند. بنابراین، الگوریتم برای حل نابرابری لگاریتمی.

نمونه های راه حل :

بیهوده نیست که دقیقاً چنین نابرابری را گرفتیم! به پایه توجه کنید. به یاد داشته باشید: اگر بزرگتر از یک باشد، هنگام یافتن محدوده مقادیر معتبر علامت ثابت می ماند. در غیر این صورت، علامت نابرابری باید تغییر کند.

در نتیجه، نابرابری را دریافت می کنیم:

اکنون ارائه می دهیم سمت چپبه شکل معادله برابر با صفر. به جای علامت "کمتر از"، "برابر" قرار می دهیم، معادله را حل می کنیم. بنابراین، ما ODZ را پیدا خواهیم کرد. امیدواریم با حل چنین مواردی معادله سادهمشکلی نخواهی داشت پاسخ ها -4 و -2 هستند. این همش نیست. شما باید این نقاط را در نمودار نمایش دهید، "+" و "-" را قرار دهید. برای این کار چه باید کرد؟ اعداد را از فواصل در عبارت جایگزین کنید. در جایی که مقادیر مثبت هستند، "+" را در آنجا قرار می دهیم.

پاسخ: x نمی تواند بزرگتر از -4 و کوچکتر از -2 باشد.

ما محدوده مقادیر معتبر را فقط برای سمت چپ پیدا کردیم، اکنون باید محدوده مقادیر معتبر را برای سمت راست پیدا کنیم. این به هیچ وجه ساده تر نیست. پاسخ: -2. هر دو ناحیه دریافتی را قطع می کنیم.

و فقط اکنون ما شروع به حل خود نابرابری می کنیم.

بیایید آن را تا حد امکان ساده کنیم تا تصمیم گیری آسان تر شود.

ما دوباره از روش فاصله در محلول استفاده می کنیم. بیایید از محاسبات بگذریم، با او همه چیز از مثال قبلی واضح است. پاسخ.

اما این روش در صورتی مناسب است که نابرابری لگاریتمی دارای پایه های یکسان باشد.

حل معادلات لگاریتمی و نامساوی با زمینه های مختلفمستلزم کاهش اولیه به یک پایه است. سپس از روش بالا استفاده کنید. اما بیشتر وجود دارد مورد دشوار. یکی از مهمترین آنها را در نظر بگیرید انواع پیچیدهنابرابری های لگاریتمی

نابرابری های لگاریتمی با پایه متغیر

چگونه می توان نابرابری ها را با چنین ویژگی هایی حل کرد؟ بله، و چنین چیزی را می توان در امتحان یافت. حل نابرابری ها به روش زیر نیز تأثیر مفیدی بر شما خواهد داشت فرآیند آموزشی. بیایید موضوع را درک کنیم در جزئیات. بیایید تئوری را کنار بگذاریم و مستقیم به سراغ عمل برویم. برای حل نابرابری های لگاریتمی کافی است یک بار با مثال آشنا شوید.

برای حل نابرابری لگاریتمی شکل ارائه شده، باید سمت راست را با همان پایه به لگاریتم بیاوریم. این اصل شبیه انتقال های معادل است. در نتیجه، نابرابری به این شکل خواهد بود.

در واقع، ایجاد سیستمی از نابرابری ها بدون لگاریتم باقی مانده است. با استفاده از روش منطقی سازی، به سیستم معادلی از نابرابری ها می رسیم. زمانی که مقادیر مناسب را جایگزین کنید و تغییرات آنها را دنبال کنید، خود قانون را درک خواهید کرد. این سیستم دارای نابرابری های زیر خواهد بود.

با استفاده از روش منطقی سازی، هنگام حل نابرابری ها، باید موارد زیر را به خاطر بسپارید: باید یکی را از پایه کم کنید، x، با تعریف لگاریتم، از هر دو قسمت نابرابری (راست از چپ) کم می شود، دو عبارت ضرب می شوند و در زیر علامت اصلی نسبت به صفر قرار می گیرند.

راه حل بیشتر با روش فاصله انجام می شود، همه چیز در اینجا ساده است. برای شما مهم است که تفاوت های روش های راه حل را درک کنید، سپس همه چیز به راحتی شروع به کار می کند.

تفاوت های ظریف زیادی در نابرابری های لگاریتمی وجود دارد. حل ساده ترین آنها به اندازه کافی آسان است. چگونه می توان آن را طوری ساخت که هر یک از آنها را بدون مشکل حل کنیم؟ شما قبلا تمام پاسخ ها را در این مقاله دریافت کرده اید. اکنون تمرین طولانی در پیش دارید. به طور مداوم حل کردن را بیشتر تمرین کنید وظایف مختلفدر طول امتحان و شما قادر خواهید بود بالاترین امتیاز را کسب کنید. در کار دشوار خود موفق باشید!

در میان انواع نابرابری های لگاریتمی، نابرابری های با پایه متغیر به طور جداگانه مورد بررسی قرار می گیرند. آنها طبق فرمول خاصی حل می شوند که به دلایلی به ندرت در مدرسه تدریس می شود:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0

به جای یک جکدا "∨"، می توانید هر علامت نابرابری را قرار دهید: کم و بیش. نکته اصلی این است که در هر دو نابرابری علائم یکسان است.

بنابراین ما از شر لگاریتم خلاص شده و مشکل را به کاهش می دهیم نابرابری منطقی. حل دومی بسیار ساده تر است، اما هنگام کنار گذاشتن لگاریتم ها، ممکن است ریشه های اضافی ظاهر شوند. برای قطع کردن آنها کافی است محدوده مقادیر قابل قبول را پیدا کنید. اگر ODZ لگاریتم را فراموش کرده اید، اکیداً توصیه می کنم آن را تکرار کنید - به "لگاریتم چیست" مراجعه کنید.

همه چیز مربوط به محدوده مقادیر قابل قبول باید به طور جداگانه نوشته و حل شود:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

این چهار نابرابری یک سیستم را تشکیل می دهند و باید به طور همزمان برآورده شوند. وقتی محدوده مقادیر قابل قبول پیدا شد، باقی می ماند که با حل یک نابرابری منطقی از آن عبور کنیم - و پاسخ آماده است.

وظیفه. حل نابرابری:

ابتدا بیایید ODZ لگاریتم را بنویسیم:

دو نابرابری اول به طور خودکار انجام می شود و آخرین مورد باید نوشته شود. از آنجایی که مربع یک عدد صفر است اگر و فقط اگر خود عدد صفر باشد، داریم:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

معلوم می شود که ODZ لگاریتم همه اعداد به جز صفر است: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). اکنون نابرابری اصلی را حل می کنیم:

ما انتقال از نابرابری لگاریتمی به نابرابری منطقی را انجام می دهیم. در نابرابری اصلی یک علامت "کمتر از" وجود دارد، بنابراین نابرابری حاصل نیز باید با علامت "کمتر از" باشد. ما داریم:

(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

صفرهای این عبارت: x = 3; x = -3; x = 0. علاوه بر این، x = 0 ریشه کثرت دوم است، به این معنی که هنگام عبور از آن، علامت تابع تغییر نمی کند. ما داریم:

x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) را دریافت می کنیم. این مجموعهبه طور کامل در ODZ لگاریتم موجود است، بنابراین این پاسخ است.

تبدیل نابرابری های لگاریتمی

اغلب نابرابری اصلی با نابرابری بالا متفاوت است. رفع این مشکل طبق قوانین استاندارد برای کار با لگاریتم آسان است - به "ویژگی های اساسی لگاریتم ها" مراجعه کنید. برای مثال:

1. هر عددی را می توان به صورت لگاریتمی با پایه معین نشان داد.
2. مجموع و تفاضل لگاریتم هایی با پایه یکسان را می توان با یک لگاریتم جایگزین کرد.

به طور جداگانه، می خواهم به شما در مورد محدوده مقادیر قابل قبول یادآوری کنم. از آنجایی که ممکن است چندین لگاریتم در نابرابری اصلی وجود داشته باشد، لازم است DPV هر یک از آنها را پیدا کنید. بدین ترتیب، طرح کلیحل نابرابری های لگاریتمی به صورت زیر است:

1. ODZ هر لگاریتم موجود در نابرابری را بیابید.
2. با استفاده از فرمول‌های جمع و تفریق لگاریتم، نابرابری را به استاندارد کاهش دهید.
3. نابرابری حاصل را طبق طرح بالا حل کنید.

وظیفه. حل نابرابری:

دامنه تعریف (ODZ) لگاریتم اول را پیدا کنید:

ما با روش فاصله حل می کنیم. یافتن صفرهای صورتگر:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

سپس - صفرهای مخرج:

x − 1 = 0;
x = 1.

روی فلش مختصات صفرها و علائم را علامت گذاری می کنیم:

x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) را بدست می آوریم. لگاریتم دوم ODZ یکسان خواهد بود. اگر باور ندارید، می توانید بررسی کنید. حالا لگاریتم دوم را طوری تبدیل می کنیم که پایه دو شود:

همانطور که می بینید، سه گانه در پایه و قبل از لگاریتم کوچک شده اند. دو لگاریتم با پایه یکسان بدست آورید. بیایید آنها را کنار هم بگذاریم:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

ما نابرابری لگاریتمی استاندارد را به دست آورده ایم. با فرمول از شر لگاریتم خلاص می شویم. از آنجایی که علامت «کمتر از» در نابرابری اصلی وجود دارد، نتیجه می شود بیان منطقیهمچنین باید کمتر از صفر باشد. ما داریم:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1؛ 3).

ما دو ست گرفتیم:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. پاسخ نامزد: x ∈ (-1؛ 3).

باقی مانده است که از این مجموعه ها عبور کنیم - ما پاسخ واقعی را دریافت می کنیم:

ما به تقاطع مجموعه ها علاقه مندیم، بنابراین فواصل سایه دار روی هر دو فلش را انتخاب می کنیم. x ∈ (-1; 2/3)∪(1; 3) را دریافت می کنیم - همه نقاط سوراخ می شوند.

تعریف لگاریتمساده ترین راه برای نوشتن آن به صورت ریاضی این است:

تعریف لگاریتم را می توان به شکل دیگری نوشت:

به محدودیت هایی که بر اساس لگاریتم اعمال می شود توجه کنید ( آ) و روی عبارت زیر لگاریتمی ( ایکس). در آینده، این شرایط به محدودیت‌های مهمی برای ODZ تبدیل خواهد شد که باید در حل هر معادله با لگاریتم در نظر گرفته شود. بنابراین، در حال حاضر، علاوه بر شرایط استاندارد منجر به محدودیت در ODZ (مثبت بودن عبارات در ریشه های زوج، عدم تساوی مخرج به صفر و غیره)، شرایط زیر نیز باید در نظر گرفته شود:

• عبارت زیر لگاریتمی فقط می تواند مثبت باشد.
• پایه لگاریتم فقط می تواند مثبت باشد و برابر با یک نباشد..

توجه داشته باشید که نه پایه لگاریتم و نه عبارت زیر لگاریتمی نمی توانند برابر با صفر باشند. همچنین توجه داشته باشید که مقدار خود لگاریتم می تواند تمام مقادیر ممکن را به خود بگیرد. لگاریتم می تواند مثبت، منفی یا صفر باشد. لگاریتم ها چیزهای زیادی دارند خواص مختلف، که از خواص توان ها و تعریف لگاریتم به دست می آیند. بیایید آنها را فهرست کنیم. بنابراین، خواص لگاریتم:

لگاریتم محصول:

لگاریتم کسر:

خارج کردن درجه از علامت لگاریتم:

به آن دسته از آخرین ویژگی های فهرست شده که در آنها علامت مدول پس از اعلام درجه ظاهر می شود، توجه ویژه ای داشته باشید. فراموش نکنید که هنگام گرفتن درجه یکنواخت فراتر از علامت لگاریتم، زیر لگاریتم یا در پایه، باید علامت مدول را ترک کنید.

دیگر ویژگی های مفیدلگاریتم:

آخرین ویژگی اغلب در معادلات و نابرابری های لگاریتمی پیچیده استفاده می شود. باید آن را نیز مانند دیگران به خاطر بسپارید، اگرچه اغلب فراموش می شود.

ساده ترین معادلات لگاریتمی عبارتند از:

و حل آنها با فرمولی که مستقیماً از تعریف لگاریتم ناشی می شود، به دست می آید:

ساده‌ترین معادلات لگاریتمی دیگر معادلات لگاریتمی هستند که با استفاده از تبدیل‌های جبری و فرمول‌ها و ویژگی‌های لگاریتمی فوق می‌توان به شکل زیر تقلیل داد:

حل چنین معادلاتی با در نظر گرفتن ODZ به شرح زیر است:

برخی دیگر معادلات لگاریتمی با یک متغیر در پایهرا می توان اینگونه خلاصه کرد:

در چنین معادلات لگاریتمی فرم کلیراه حل نیز مستقیماً از تعریف لگاریتم ناشی می شود. فقط در این مورد، محدودیت های اضافی برای DHS وجود دارد که باید در نظر گرفته شود. در نتیجه، برای حل یک معادله لگاریتمی با یک متغیر در پایه، باید سیستم زیر را حل کنید:

هنگام حل معادلات لگاریتمی پیچیده تر که نمی توان آنها را به یکی از معادلات فوق تقلیل داد، به طور فعال نیز استفاده می شود. روش تغییر متغیر. طبق معمول، هنگام استفاده از این روش، باید به خاطر داشت که پس از معرفی جایگزین، معادله باید ساده شود و دیگر شامل مجهول قدیمی نباشد. همچنین باید به یاد داشته باشید که جایگزینی معکوس متغیرها را انجام دهید.

گاهی اوقات هنگام حل معادلات لگاریتمی باید از آن استفاده کرد روش گرافیکی . این روشاین است که نمودارهای توابعی را که در سمت چپ و راست معادله قرار دارند تا حد امکان با دقت در همان صفحه مختصات بسازیم و سپس مختصات نقاط تقاطع آنها را طبق نقشه پیدا کنیم. ریشه های به دست آمده از این طریق باید با جایگزینی در معادله اصلی تأیید شوند.

هنگام حل معادلات لگاریتمی، اغلب مفید است روش گروه بندی. هنگام استفاده از این روش، نکته اصلی این است که: برای اینکه حاصل ضرب چند عامل برابر با صفر شود، لازم است حداقل یکی از آنها برابر با صفر باشد. و بقیه وجود داشت. وقتی فاکتورها لگاریتمی یا براکتی با لگاریتم هستند، و نه فقط براکت هایی با متغیرهایی که در معادلات منطقی، ممکن است خطاهای زیادی رخ دهد. از آنجایی که لگاریتم ها محدودیت های زیادی در ناحیه ای که در آن وجود دارند، دارند.

هنگام تصمیم گیری سیستم های معادلات لگاریتمیاغلب شما باید از روش جایگزینی یا روش جایگزینی متغیر استفاده کنید. اگر چنین امکانی وجود دارد، پس هنگام حل سیستم های معادلات لگاریتمی، باید تلاش کرد تا اطمینان حاصل شود که هر یک از معادلات سیستم به طور جداگانه به شکلی کاهش می یابد که در آن امکان انتقال از یک معادله لگاریتمی به یک منطقی

ساده ترین نابرابری های لگاریتمی تقریباً به روش معادلات مشابه حل می شوند. ابتدا باید با کمک تبدیل های جبری و خواص لگاریتم ها، آنها را به شکلی رساند که لگاریتم های سمت چپ و راست نابرابری دارای پایه های یکسان باشند، یعنی. یک نابرابری از فرم را بدست آورید:

پس از آن، باید به یک نابرابری گویا بروید، با توجه به اینکه این انتقال باید به صورت زیر انجام شود: اگر پایه لگاریتم بزرگتر از یک باشد، علامت نابرابری نیازی به تغییر ندارد، و اگر پایه لگاریتم کمتر از یک است، پس باید علامت نابرابری را به عکس تغییر دهید (این به معنای تغییر "کمتر" به "بزرگتر" یا برعکس است). در عین حال، علائم منفی به مثبت، با دور زدن قوانین قبلاً مطالعه شده، نیازی به تغییر در هیچ نقطه ای ندارند. بیایید آنچه را که در نتیجه چنین انتقالی به دست می آوریم به صورت ریاضی بنویسیم. اگر پایه بزرگتر از یک باشد، بدست می آوریم:

اگر پایه لگاریتم کوچکتر از یک باشد، علامت نابرابری را تغییر دهید و سیستم زیر را بدست آورید:

همانطور که می بینیم، هنگام حل نابرابری های لگاریتمی، طبق معمول، ODZ نیز در نظر گرفته می شود (این سومین شرط در سیستم های بالا است). علاوه بر این، در این مورد ممکن است به مثبت بودن هر دو عبارت زیر لگاریتمی نیاز نباشد، اما کافی است فقط به مثبت بودن کوچکتر آنها نیاز داشته باشیم.

هنگام تصمیم گیری نابرابری های لگاریتمی با یک متغیر در پایهلگاریتم، لازم است هر دو گزینه را به طور مستقل در نظر بگیرید (زمانی که پایه کمتر از یک و بیش از یک است) و راه حل های این موارد را در یک مجموعه ترکیب کنید. در عین حال، نباید ODZ را فراموش کرد، یعنی. در مورد این واقعیت که هم پایه و هم تمام عبارات زیر لگاریتمی باید مثبت باشند. بنابراین، هنگام حل یک نابرابری از فرم:

مجموعه سیستم های زیر را دریافت می کنیم:

نابرابری های لگاریتمی پیچیده تر را نیز می توان با استفاده از تغییر متغیرها حل کرد. برخی از نابرابری های لگاریتمی دیگر (و همچنین معادلات لگاریتمی) نیاز به روش گرفتن لگاریتم هر دو بخش نابرابری یا معادله توسط همان مبنای. بنابراین، هنگام انجام چنین رویه ای با نابرابری های لگاریتمی، یک ظرافت وجود دارد. توجه داشته باشید که هنگام گرفتن لگاریتمی با پایه بزرگتر از یک، علامت نابرابری تغییر نمی کند و اگر پایه کمتر از یک باشد، علامت نابرابری معکوس می شود.

اگر نابرابری لگاریتمی را نتوان به یک نابرابری منطقی کاهش داد یا با جایگزینی حل کرد، در این صورت لازم است اعمال شود. روش بازه تعمیم یافته، که به شرح زیر است:

• ODZ را تعیین کنید.
• نابرابری را طوری تبدیل کنید که در سمت راست صفر باشد (در سمت چپ، در صورت امکان، منجر به مخرج مشترک، فاکتورسازی و غیره)؛
• تمام ریشه های صورت و مخرج را بیابید و روی خط اعداد قرار دهید و اگر نامساوی سخت نبود، روی ریشه های صورت رنگ بزنید، اما در هر صورت ریشه های مخرج را نقطه بگذارید.
• علامت کل عبارت را در هر یک از بازه ها پیدا کنید و عددی از بازه داده شده را به نابرابری تبدیل شده جایگزین کنید. در عین حال، دیگر نمی توان به هیچ وجه با عبور از نقاطی روی محور، علائم را جایگزین کرد. باید علامت عبارت را در هر بازه با جایگزین کردن مقدار بازه به این عبارت و به همین ترتیب برای هر بازه تعیین کرد. هیچ کاری بیشتر نمی توان کرد (این همان چیزی است که طبق روی هم رفته، تفاوت بین روش بازه تعمیم یافته و معمول)؛
• محل تقاطع ODZ و فواصلی را که نابرابری را برآورده می کنند، بیابید، در حالی که نقاط تکی را که نابرابری را برآورده می کنند، از دست ندهید (ریشه های شمارنده در نامعادله های غیر دقیق)، و فراموش نکنید که همه ریشه های مخرج در همه نامساوی ها را از پاسخ حذف کنید.

• بازگشت
• رو به جلو

چگونه با موفقیت برای CT در فیزیک و ریاضی آماده شویم؟

برای آمادگی موفقیت آمیز برای CT در فیزیک و ریاضیات، از جمله موارد دیگر، سه شرط حیاتی باید برآورده شود:

1. تمام مباحث را مطالعه کنید و تمام تست ها و تکالیفی که در مطالب مطالعه در این سایت داده شده است را تکمیل کنید. برای انجام این کار، به هیچ چیز نیاز ندارید، یعنی: هر روز سه تا چهار ساعت را به آماده شدن برای سی تی در فیزیک و ریاضیات، مطالعه تئوری و حل مسائل اختصاص دهید. واقعیت این است که سی تی امتحانی است که در آن فقط دانستن فیزیک یا ریاضی کافی نیست، بلکه باید بتوانید سریع و بدون شکست آن را حل کنید. تعداد زیادی ازوظایف برای موضوعات مختلفو با پیچیدگی های مختلف. دومی را فقط با حل هزاران مشکل می توان آموخت.
2. تمام فرمول ها و قوانین در فیزیک و فرمول ها و روش ها در ریاضیات را بیاموزید. در واقع، انجام این کار نیز بسیار آسان است، فرمول های لازمدر فیزیک فقط حدود 200 قطعه وجود دارد و در ریاضیات حتی کمی کمتر. در هر یک از این موضوعات حدود دوازده روش استاندارد برای حل مسائل وجود دارد. سطح پایهمشکلاتی که می توان آنها را نیز یاد گرفت و بنابراین، به طور کاملاً خودکار و بدون مشکل حل می شوند لحظه مناسببیشتر CT پس از آن، فقط باید به سخت ترین کارها فکر کنید.
3. در هر سه مرحله تست تمرینی فیزیک و ریاضی شرکت کنید. هر RT را می توان دو بار برای حل هر دو گزینه بازدید کرد. مجدداً در DT علاوه بر توانایی حل سریع و کارآمد مسائل و دانش فرمول ها و روش ها، برنامه ریزی صحیح زمان، توزیع نیروها و از همه مهمتر پرکردن صحیح فرم پاسخ نیز ضروری است. ، بدون اینکه تعداد پاسخ ها و وظایف یا نام خانوادگی خود را اشتباه بگیرید. همچنین، در طول RT، مهم است که به سبک طرح سوالات در وظایف عادت کنید، که ممکن است برای یک فرد ناآماده در DT بسیار غیرعادی به نظر برسد.

اجرای موفق، سخت کوش و مسئولانه این سه نقطه به شما امکان می دهد در VU نشان دهید نتیجه عالی، حداکثر توانایی شما.

خطایی پیدا کردید؟

اگر فکر می کنید خطایی در آن پیدا کرده اید مواد آموزشی، لطفاً از طریق پست در مورد آن بنویسید. همچنین می توانید یک اشکال را گزارش کنید شبکه اجتماعی(). در نامه موضوع (فیزیک یا ریاضی)، نام یا شماره مبحث یا تست، شماره تکلیف یا جایی در متن (صفحه) که به نظر شما خطایی وجود دارد را مشخص کنید. همچنین توضیح دهید که خطای ادعا شده چیست. نامه شما بی توجه نخواهد ماند، یا خطا تصحیح می شود، یا به شما توضیح داده می شود که چرا اشتباه نیست.

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط‌مشی رازداری ایجاد کرده‌ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را توضیح می‌دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اطلاق می شود که می توان از آنها برای شناسایی یک فرد خاص یا تماس با او استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
• هر از چند گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اخطارها و ارتباطات مهم به شما استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای اهداف داخلی مانند حسابرسی، تجزیه و تحلیل داده ها و مطالعات مختلفبرای بهبود خدماتی که ارائه می کنیم و توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما ارائه می دهیم.
• اگر در قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابه شرکت کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، که در دعوی قضایی، و/یا بر اساس درخواست ها یا درخواست های عمومی از سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین در صورتی که تشخیص دهیم که چنین افشایی برای امنیت، اجرای قانون یا سایر افکار عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم. مناسبت های مهم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

نابرابری های لگاریتمی

در درس های قبلی با معادلات لگاریتمی آشنا شدیم و اکنون می دانیم که چه هستند و چگونه آنها را حل کنیم. و درس امروز به مطالعه نابرابری های لگاریتمی اختصاص دارد. این نابرابری ها چیست و چه تفاوتی بین حل معادله لگاریتمی و نابرابری ها وجود دارد؟

نابرابری های لگاریتمینابرابری هایی هستند که یک متغیر در زیر علامت لگاریتم یا در پایه آن دارند.

یا همچنین می توان گفت که نابرابری لگاریتمی نابرابری است که مقدار مجهول آن، مانند معادله لگاریتمی، زیر علامت لگاریتم خواهد بود.

ساده ترین نابرابری های لگاریتمی به صورت زیر است:

که در آن f(x) و g(x) عباراتی هستند که به x بستگی دارند.

بیایید با استفاده از مثال زیر به این موضوع نگاه کنیم: f(x)=1+2x+x2، g(x)=3x−1.

حل نابرابری های لگاریتمی

قبل از حل نابرابری های لگاریتمی، شایان ذکر است که زمانی که آنها حل می شوند، شبیه به نابرابری های نمایی، برای مثال:

ابتدا، هنگام حرکت از لگاریتم به عبارات زیر علامت لگاریتم، همچنین باید پایه لگاریتم را با یک مقایسه کنیم.

ثانیاً، هنگام حل یک نابرابری لگاریتمی با استفاده از تغییر متغیرها، باید نابرابری ها را با توجه به تغییر حل کنیم تا زمانی که ساده ترین نابرابری را بدست آوریم.

اما این ما بودیم که لحظه های مشابه حل نابرابری های لگاریتمی را در نظر گرفتیم. حالا بیایید به یک تفاوت نسبتاً مهم نگاه کنیم. من و تو این را می دانیم تابع لگاریتمیدارد منطقه محدودبنابراین، هنگام حرکت از لگاریتم به عبارات تحت علامت لگاریتم، لازم است که محدوده مقادیر قابل قبول (ODV) را در نظر بگیریم.

یعنی باید در نظر گرفت که معادله لگاریتمیابتدا می توانیم ریشه های معادله را پیدا کنیم و سپس این راه حل را بررسی کنیم. اما حل نابرابری لگاریتمی به این ترتیب کار نخواهد کرد، زیرا حرکت از لگاریتم به عبارات زیر علامت لگاریتم، نوشتن ODZ نابرابری ضروری خواهد بود.

علاوه بر این، لازم به یادآوری است که نظریه نابرابری ها از اعداد حقیقی تشکیل شده است که مثبت و اعداد منفیو همچنین عدد 0.

به عنوان مثال، وقتی عدد "a" مثبت است، باید از نماد زیر استفاده شود: a > 0. در این صورت هم مجموع و هم حاصلضرب این اعداد نیز مثبت خواهد بود.

اصل اساسی حل یک نابرابری این است که آن را با یک نابرابری ساده تر جایگزین کنیم، اما نکته اصلی این است که معادل با داده شده باشد. علاوه بر این، ما نیز یک نابرابری به دست آوردیم و دوباره آن را با یکی که شکل ساده تری دارد جایگزین کردیم و غیره.

برای حل نابرابری ها با یک متغیر، باید تمام راه حل های آن را پیدا کنید. اگر دو نامعادله دارای متغیر x یکسانی باشند، آنگاه این نامعادله ها معادل هستند، مشروط بر اینکه جواب های آنها یکسان باشد.

هنگام انجام وظایف برای حل نابرابری های لگاریتمی، لازم است به یاد داشته باشید که وقتی a> 1 باشد، تابع لگاریتمی افزایش می یابد و زمانی که 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

راه های حل نابرابری های لگاریتمی

حال بیایید به برخی از روش هایی که هنگام حل نامساوی لگاریتمی انجام می شود نگاه کنیم. برای درک بهتر و یکسان سازی، سعی می کنیم با استفاده از مثال های خاص آنها را درک کنیم.

می دانیم که ساده ترین نابرابری لگاریتمی به شکل زیر است:

در این نابرابری، V - یکی از علائم نابرابری است:<,>، ≤ یا ≥.

هنگامی که پایه این لگاریتم بزرگتر از یک باشد (a>1)، انتقال از لگاریتم به عبارات زیر علامت لگاریتم انجام می شود، در این نسخه علامت نابرابری حفظ می شود و نابرابری به شکل زیر خواهد بود:

که معادل سیستم زیر است:

در صورتی که پایه لگاریتم بزرگتر از صفر و کوچکتر از یک باشد (0

این معادل این سیستم است:

بیایید نمونه های بیشتری از حل ساده ترین نابرابری های لگاریتمی نشان داده شده در تصویر زیر را بررسی کنیم:

حل نمونه ها

ورزش.بیایید سعی کنیم این نابرابری را حل کنیم:

تصمیم منطقه مقادیر قابل قبول.

حالا بیایید سعی کنیم سمت راست آن را در ضرب کنیم:

بیایید ببینیم چه کاری می توانیم انجام دهیم:

حالا بیایید به سمت تبدیل عبارات زیر لگاریتمی برویم. از آنجایی که پایه لگاریتم 0 است< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

و از اینجا نتیجه می شود که بازه ای که به دست آورده ایم کاملاً به ODZ تعلق دارد و راه حلی برای چنین نابرابری است.

پاسخی که گرفتیم این است:

برای حل نابرابری های لگاریتمی چه چیزی لازم است؟

حال بیایید سعی کنیم آنچه را که برای حل موفقیت آمیز نابرابری های لگاریتمی نیاز داریم، تجزیه و تحلیل کنیم؟

ابتدا تمام توجه خود را متمرکز کنید و سعی کنید هنگام انجام تبدیل هایی که در این نابرابری داده می شود اشتباه نکنید. همچنین، باید به خاطر داشت که هنگام حل چنین نابرابری هایی، باید از گسترش و باریک شدن نابرابری ODZ جلوگیری کرد، که می تواند منجر به از دست دادن یا دستیابی به راه حل های اضافی شود.

ثانیاً، هنگام حل نابرابری های لگاریتمی، باید یاد بگیرید که منطقی فکر کنید و تفاوت بین مفاهیمی مانند سیستم نابرابری ها و مجموعه ای از نابرابری ها را درک کنید، تا بتوانید به راحتی راه حل های یک نابرابری را انتخاب کنید، در حالی که توسط DHS آن هدایت می شوید.

ثالثاً، برای حل موفقیت آمیز چنین نابرابری ها، هر یک از شما باید تمام ویژگی ها را کاملاً بدانید توابع ابتداییو معنای آنها را به وضوح درک کنید. چنین توابعی نه تنها شامل لگاریتمی، بلکه منطقی، توانی، مثلثاتی و غیره نیز می شود، در یک کلام، همه آنهایی که در سراسر آن مطالعه کردید. تحصیل در مدرسهجبر

همانطور که می بینید، با مطالعه مبحث نابرابری های لگاریتمی، حل این نابرابری ها هیچ مشکلی ندارد، مشروط بر اینکه در رسیدن به اهداف خود دقت و پشتکار داشته باشید. برای اینکه در حل نابرابری ها مشکلی وجود نداشته باشد، باید تا حد امکان تمرین کنید، وظایف مختلف را حل کنید و در عین حال راه های اصلی حل این گونه نابرابری ها و سیستم های آنها را به خاطر بسپارید. با راه‌حل‌های ناموفق برای نابرابری‌های لگاریتمی، باید اشتباهات خود را با دقت تجزیه و تحلیل کنید تا در آینده دوباره به آنها برنگردید.

مشق شب

برای جذب بهتر موضوع و تثبیت مطالب تحت پوشش، نابرابری های زیر را حل کنید: