مشتق و ضد مشتق تابع نمایی. ضد مشتق تابع و شکل کلی
امروز در مورد مطالعه توابع صحبت خواهیم کرد. توجه به این نکته ضروری است که ریاضیات به همان ترتیب تنظیم شده است خانه معمولی: ابتدا پی ریزی می شود و سپس آجر لایه به لایه می شود. نقش پایه در ریاضیات توسط یک تابع (تطابق بین دو مجموعه) انجام می شود. پس از معرفی مفهوم یک تابع، آنها شروع به مطالعه آن به عنوان یک شی می کنند، همانطور که با اعداد انجام شد.
در واقع، ما اغلب در زندگی نه تنها از اشیاء، بلکه از مکاتبات بین آنها، روابط بین اشیا نیز استفاده می کنیم. به عنوان مثال کتاب هایی در مورد عشق (عشق رابطه بین مردم است).
پس از مطالعه توابع در ریاضیات، فرد شروع به مطالعه مجموعه توابع، سپس فضاهای توابع و غیره می کند. اما امروز در مورد تحلیل اولیه تابع صحبت خواهیم کرد.
تابع چیست؟ یک تابع مطابقت بین مجموعه ها است. در این درس در مورد آن صحبت خواهیم کرد توابع عددی، یعنی در مورد تطابق بین مجموعه های عددی. همچنین در مورد ویژگی محلی تابع (رفتار تابع در این نقطه خاص) و ویژگی جهانی (ویژگی مرتبط با کل محدوده تابع) صحبت خواهیم کرد. مشتق توصیفی از ویژگی‌های محلی توابع است و انتگرال توصیفی از ویژگی‌های جهانی است.
به عنوان مثال، دو تابع مختلف وجود دارد، اما در یک نقطه نمودار آنها بر هم منطبق است (شکل 1 را ببینید). اما تفاوت رفتار توابع در مجاورت این نقطه چیست؟ این مورد بحث خواهد شد.
برنج. 1. تقاطع نمودارهای دو تابع مختلف
از نمودار یک تابع، می توانید به راحتی ویژگی های آن را تعیین کنید: یکنواختی (افزایش یا کاهش تابع)، برابری (فرد) و تناوب (نگاه کنید به شکل 2).
برنج. 2. مشخصات ویژگی
همه این ویژگی ها ریاضی هستند. اما مشتق اغلب در زندگی استفاده می شود. اغلب، وقتی فرآیندی را با استفاده از نمودار توصیف می کنیم، به پویایی این فرآیند علاقه مندیم، یعنی به ارزش تابع در یک نقطه خاص توجه نمی کنیم، بلکه به نحوه رفتار تابع در آینده علاقه مند هستیم (آیا افزایش می یابد یا نزول کردن؟). به عنوان مثال، زمانی که می خواهیم افزایش قیمت ها را تحلیل کنیم یا قیمت ها را برای دوره های مختلفزمان ( ارزش های مطلقمی تواند تغییر کند، اما دینامیک یکسان باقی مانده است (شکل 3 را ببینید).
برنج. 3. پویایی قیمت طلا
مشتق کمک می کند تا بفهمیم تابع در همسایگی یک نقطه مشخص چگونه رفتار خواهد کرد.
شایان ذکر است که در مدرسه، اغلب، مشتق یک تابع در کل دامنه تعریف جستجو می شود. این به دلیل این واقعیت است که ویژگی های مورد بررسی "خوب" هستند، یعنی رفتار آنها در کل محور قابل پیش بینی است. اما به طور کلی مشتق یک مشخصه محلی یک تابع است.
به عنوان مثال، هنگام مشاهده عکس ها با سرعت های شاتر مختلف، ممکن است چندین گزینه وجود داشته باشد:
- اتومبیل ها ایستاده اند و مردم هر کدام در جای خود هستند (شکل 4 را ببینید).
- یک تصویر تار، می توانید ببینید چه کسی به کجا می رود (شکل 5 را ببینید).
برنج. 4. عکس با قرار گرفتن در معرض
برنج. 5. عکس با قرار گرفتن در معرض
گزینه دوم یک تصویر بصری از مشتق است (تار کردن تصویر).
در آن نقطه، تابع یک مقدار خاص به خود می گیرد و عملاً نمی توان از آن نتیجه گیری در مورد رفتار آن گرفت. و اگر همسایگی این نقطه را در نظر بگیریم، از قبل می توانیم بگوییم کدام طرف کوچکتر است (کدام بزرگتر) و نتیجه گیری کنیم که افزایش یا کاهش آن. یعنی وقتی سرعت شاتر کوتاه است، مقدار تابع را در یک نقطه می بینیم و وقتی تاخیر فریم را در نظر می گیریم، می توانیم رفتار تابع را از قبل تحلیل کنیم (شکل 6 را ببینید).
برنج. 6. قیاس بین مشتق و عکاسی
AT زندگی روزمرهما اغلب موقعیتی مانند تحلیل توابع در ریاضیات را تحلیل می کنیم. به عنوان مثال، وقتی می گوییم هوا در بیرون گرمتر (سردتر) می شود، دمای خاصی را در داخل نشان نمی دهیم این لحظه، اما منظور ما این است که به زودی دما افزایش (کاهش) خواهد داشت. این شبیه به محاسبه مشتق است (شکل 7 را ببینید).
برنج. 7. تجزیه و تحلیل تغییر دما
معرفی کنیم تعریف دقیقمشتق.
تابع مشتقدر نقطهحد را نسبت افزایش تابع در این نقطه به افزایش آرگومان می گویند (به شرطی که این حد وجود داشته باشد):
از آنجایی که می خواهیم چنین مفهومی را به عنوان نرخ تغییر یک تابع معرفی کنیم (کلمه اصلی این است سرعت) سپس می توانیم با فیزیک تشبیه کنیم. سرعت لحظه ای یک کمیت فیزیکی برداری است برابر با نسبت جابجایی به فاصله زمانی که در طی آن این جابجایی رخ داده است، اگر بازه زمانی به صفر گرایش داشته باشد:
سرعت لحظه ای، m/s. - جابجایی بدن، m (در )؛ - تمایل به فاصله زمانی صفر، s.
اما واضح است که وقتی در مورد دما صحبت کردیم، فقط ویژگی های کیفی فرآیند را نشان دادیم، اما در مورد میزان تغییر دما صحبت نکردیم. مشتق نرخ تغییر تابع را در نظر می گیرد. ویژگی ها می توانند به روش های مختلف رشد کنند. به عنوان مثال، سهمی () سریعتر از لگاریتم () افزایش می یابد (شکل 8 را ببینید).
برنج. 8. میزان افزایش نمودار توابع و
برای مقایسه نرخ افزایش (کاهش) تابعی است که معرفی می کنیم مشخصه خاصتوابع - مشتق. با رسم قیاس بین مشتق و سرعت حرکت یک جسم (سرعت عبارت است از نسبت مسافت طی شده به زمان یا تغییر مختصات در واحد زمان) می توان گفت که در حد، مشتق نسبت است. تغییر در تابع (یعنی مسیری که نقطه طی کرده است، اگر در امتداد نمودار تابع حرکت کرده باشد) به افزایش آرگومان (زمانی که در طی آن حرکت انجام شده است) (شکل 9 را ببینید). این معنای مکانیکی (فیزیکی) مشتق است.
برنج. 9. قیاس بین سرعت و مشتق
مشتق یک ویژگی محلی یک تابع است. مهم است که بین محاسبه مشتق در کل دامنه تعریف و در یک منطقه خاص تمایز قائل شویم، زیرا تابع در یک بازه می تواند درجه دوم باشد، از سوی دیگر - خطی، و غیره. اما این همه یک تابع است و در نقاط مختلف چنین عملکردی خواهد داشت معانی مختلفمشتق.
برای اکثر توابع داده شده به صورت تحلیلی (با یک فرمول خاص)، جدولی از مشتقات داریم (شکل 10 را ببینید). این یک آنالوگ جدول ضرب است ، یعنی توابع اساسی وجود دارد که مشتقات آنها قبلاً محاسبه شده است (می توان ثابت کرد که دقیقاً این شکل را دارند) و سپس قوانینی وجود دارد (شکل 11 را ببینید) (نگاه کنید به شکل 11). آنالوگ های ضرب یا تقسیم در یک ستون)، که با آن می توان مشتقات توابع پیچیده، محصولات مشتق و غیره را محاسبه کرد. بنابراین، تقریباً برای تمام توابع بیان شده بر حسب توابع شناخته شده برای ما، می‌توانیم رفتار تابع را در کل دامنه تعریف توصیف کنیم.
برنج. 10. جدول مشتقات
برنج. 11. قواعد تمایز
اما با این حال، تعریف مشتق که قبلاً ارائه کردیم، نکته‌ای است. برای تعمیم مشتق در یک نقطه به کل دامنه تابع، لازم است ثابت شود که در هر نقطه مقدار مشتق با مقادیر همان تابع مطابقت دارد.
اگر تابعی را تصور کنیم که به صورت تحلیلی نوشته نشده باشد، در مجاورت هر نقطه می توانیم آن را به شکل نمایش دهیم. تابع خطی. مشتق یک تابع خطی در یک همسایگی نقطه ای به راحتی قابل محاسبه است. اگر تابعی را به صورت خطی نشان دهیم، آنگاه با مماس آن منطبق است (شکل 12 را ببینید).
برنج. 12. نمایش تابع در هر نقطه به عنوان یک تابع خطی
از جانب راست گوشهمی دانیم که مماس برابر با نسبت استپای مخالف پای مجاور از این رو، معنی هندسیمشتق در این واقعیت نهفته است که مشتق مماس شیب مماس در این نقطه است (شکل 13 را ببینید).
برنج. 13. معنای هندسی مشتق
در مورد مشتق در مورد سرعت، می توان گفت که اگر تابع کاهشی باشد، مشتق آن منفی است و بالعکس، اگر تابع در حال افزایش باشد، مشتق آن مثبت است. از طرفی مشتق را مماس شیب مماس تعریف کرده ایم. این نیز به راحتی قابل توضیح است. اگر تابع در حال افزایش باشد، مماس یک زاویه حاد و مماس تشکیل می دهد زاویه حادمثبت بنابراین، مشتق مثبت است. همانطور که می بینید، معنای فیزیکی و هندسی مشتق بر هم منطبق است.
شتاب میزان تغییر سرعت (یعنی مشتق سرعت) است. از طرف دیگر سرعت مشتق جابجایی است. معلوم شد که شتاب دومین مشتق (مشتق مشتق) جابجایی است (شکل 14 را ببینید).
برنج. 14. کاربرد مشتق در فیزیک
مشتق وسیله ای برای مطالعه ویژگی های یک تابع است.
از مشتق برای حل مسائل بهینه سازی استفاده می شود. برای این توضیحی وجود دارد. از آنجایی که مشتق رشد تابع را نشان می دهد، می توان از آن برای یافتن حداکثر و حداقل محلی تابع استفاده کرد. با دانستن اینکه تابع در یک بخش افزایش یافته و سپس شروع به کاهش می کند، فرض می کنیم که در نقطه ای حداکثر محلی وجود دارد. به طور مشابه، اگر تابع در حال کاهش بود و سپس شروع به افزایش می کرد، یک حداقل محلی در نقطه ای وجود دارد (شکل 15 را ببینید).
برنج. 15. حداقل و ماکزیمم محلی یک تابع
در عمل، از این می توان برای یافتن، به عنوان مثال، حداکثر سود در شرایط معین استفاده کرد. برای انجام این کار، باید نقطه ای را پیدا کنید که در آن حداکثر محلی وجود داشته باشد. اگر نیاز به تعریف داشته باشیم حداقل هزینه ها، سپس، بر این اساس، لازم است نقطه ای را که حداقل محلی در آن قرار دارد، تعیین کنیم (شکل 16 را ببینید).
برنج. 16. یافتن حداکثر سود و حداقل هزینه
مدرسه بسیاری از مسائل بهینه سازی را حل می کند. بیایید یکی از آنها را در نظر بگیریم.
یک حصار مستطیلی با طول ثابت چگونه باید باشد تا حداکثر مساحت را در برگیرد (شکل 17 را ببینید)؟
برنج. 17. مشکل بهینه سازی
به نظر می رسد که حصار باید مربع باشد.
چنین وظایف زیادی وجود دارد، زمانی که یک پارامتر ثابت است، و پارامتر دوم نیاز به بهینه سازی دارد. پارامتری که ثابت شده است داده های وظیفه ما است (به عنوان مثال، مواد برای حصار). و پارامتری وجود دارد که می خواهیم حداقل یا حداکثر را بدست آوریم (مثلاً حداکثر مساحت، حداقل اندازه). یعنی یک جفت «منبع – اثر» تشکیل می شود. منبعی وجود دارد که در ابتدا تنظیم شده است، و مقداری اثر که می خواهیم به دست آوریم.
حالا بیایید به خصوصیات جهانی تابع برویم. ساده ترین حالت یک انتگرال را در نظر بگیرید. بیایید یک سری اعداد را در نظر بگیریم: . یک سری نیز یک تابع (از یک آرگومان طبیعی) است، هر عدد شماره سریال و مقدار خود را دارد. 
.
بیایید فرمول پیدا کردن مجموع این سری را بنویسیم:
جمع تا مقداری خاص، مقدار انتگرال خواهد بود.
به عنوان مثال، برای:
یعنی انتگرال در واقع مجموع (in این موردمجموع مقادیر تابع).
اکثر دانش آموزان انتگرال را با ناحیه مرتبط می دانند. بیایید سعی کنیم مثال را با مجموع سری و مساحت ارتباط دهیم. بیایید این سری را به صورت یک تابع خطی بازنویسی کنیم: .
سپس مجموع این سری، مجموع مساحت قسمت های زیر نمودار (در این مورد ذوزنقه ها) خواهد بود (شکل 18 را ببینید).
برنج. 18. مساحت زیر نمودار یک تابع
مجموع مساحت ها برابر است با مساحت مجموع (اگر قسمت هایی که شکل به آنها تقسیم می شود متقاطع نباشند). بنابراین انتگرال مساحت زیر نمودار تابع است. بنابراین، با یافتن انتگرال، می توانیم مساحت قسمتی از هواپیما را پیدا کنیم. به عنوان مثال، می توانید منطقه زیر نمودار را پیدا کنید.
اگر بخواهیم دقیقاً تعریف انتگرال را از نظر مساحت شکل زیر تابع معرفی کنیم، باید خود شکل را به قطعات بسیار کوچک تقسیم کنیم. محاسبه مساحت همیشه به اندازه یک تابع خطی راحت نیست. برای مثال یک تابع را در نظر بگیرید. اگر تابع را به صورت خطی تقریب کنیم (همانطور که در مورد مشتق پیشنهاد کردیم)، آنگاه، درست مانند مثال قبلی، یک تقسیم از کل منطقه به مجموع مساحت ذوزنقه ها خواهیم داشت (شکل 2 را ببینید). 19).
سپس، در حد، این انتگرال است، یعنی مساحت زیر نمودار تابع.
برنج. 19. مساحت زیر نمودار یک تابع
اما چگونه این مساحت (انتگرال) را محاسبه کنیم؟ برای توابع شناخته شده، جدولی از انتگرال ها (شبیه به جدول مشتقات) وجود دارد. اما در حالت کلی، تابع را با قطعات تقریب می‌کنیم و مجموع مساحت ذوزنقه‌های زیر این بخش‌ها را محاسبه می‌کنیم. با کاهش بخش ها، در حد، مقدار انتگرال را به دست می آوریم.
در مقابل مشتق، وقتی همیشه یک مشتق «خوب» برای یک تابع «خوب» به دست می‌آید، در مورد انتگرال اینطور نیست. به عنوان مثال، برای چنین تابع ساده ای که ما نمی توانیم انتگرال را محاسبه کنیم و آن را در قالب توابع تحلیلی ارائه کنیم (شکل 20 را ببینید).
محاسبه انتگرال کار آسانی نیست، و بنابراین وجود چنین فرمول ساده نیوتن-لایبنیتس (نگاه کنید به شکل 20)، که به ما امکان می دهد به سرعت مقدار انتگرال را محاسبه کنیم، اگر شکل آن را بدانیم، محاسبات را بسیار تسهیل می کند. . در غیر این صورت، محاسبه منطقه محدود کننده هر بار دشوار خواهد بود.
برنج. 20. فرمول نیوتن لایب نیتس برای محاسبه انتگرال
بنابراین، روش های اصلی محاسبه عبارتند از:
- جدول انتگرال ها برای توابعی که می توانیم محاسبه کنیم (شکل 21 را ببینید).
- ویژگی های انتگرال که به فرد امکان محاسبه را می دهد ترکیبات مختلف توابع جدول(نگاه کنید به شکل 22).
- فرمول نیوتن-لایبنیتس (اگر مقدار را در منتهی الیه سمت راست محاسبه کنیم و مقدار را در نقطه منتهی الیه سمت چپ کم کنیم، مساحت را بدست می آوریم) (شکل 20 را ببینید).
برنج. 21. جدول انتگرال ها
برنج. 22. خواص یک انتگرال معین
در مدرسه، فرمول نیوتن-لایبنیتس مشتق نشده است، اگرچه اگر انتگرال را به عنوان مساحت زیر نمودار تعریف کنید، انجام این کار دشوار نیست.
اطلاعات بیشتر در مورد اشتقاق فرمول نیوتن-لایبنیتس:
برای درک بهتر تفاوت بین خصوصیات محلی و جهانی یک تابع، مثال شلیک به هدف را در نظر بگیرید. اگر چندین عکس از اطراف بگیرید (هیچکدام به مرکز اصابت نکرد) و میانگین را محاسبه کنید، عملاً نتیجه خواهید گرفت (شکل 23 را ببینید). اگرچه در واقع تیرانداز می‌توانست تمام مدت در بالا یا پایین هدف ضربه بزند، اما میانگین آن همچنان نزدیک به .
برنج. 23. تیراندازی به هدف
می توانیم از فیزیک مثالی بزنیم - مرکز ثقل. جرم یکسان با مرکز ثقل یکسان می تواند به روش های کاملاً متفاوتی توزیع شود (شکل 24 را ببینید).
برنج. 24. انواع توزیع جرم با مرکز ثقل یکسان
به عنوان مثال دیگر، می توان دمای میانگینتوسط بیمارستان اگر فردی درجه حرارت داشته باشد و کسی آن را داشته باشد، به طور متوسط معلوم می شود و به نظر می رسد که بیماران چندان بیمار نیستند.
اگر در مورد ارتباط بین مشتق (ویژگی محلی) و انتگرال (ویژگی جهانی) صحبت کنیم، به طور شهودی واضح است که اینها مفاهیم متقابل معکوس هستند. در واقع اینطور است. اگر مشتق انتگرال یا انتگرال مشتق را بگیریم تابع اصلی به دست می آید. برای توضیح این موضوع، حرکت یک جسم را در نظر بگیرید. ما قبلاً می دانیم که سرعت مشتق جابجایی است. بیایید سعی کنیم عملیات معکوس را انجام دهیم. برای این کار حرکت را بر حسب سرعت و زمان بیان می کنیم:
و اگر به نمودار نگاه کنیم (سرعت به صورت خطی تغییر می کند) خواهیم دید که مسیر حاصل ضرب سرعت و زمان است. از سوی دیگر، این ناحیه زیر نمودار است (شکل 25 را ببینید).
برنج. 25. رابطه مشتق و انتگرال
اگر انتگرال سرعت را محاسبه کنید، مقدار مسیر را دریافت می کنید. و سرعت مشتق فاصله است.
بنابراین مشتق و انتگرال توابع معکوس متقابل هستند. شواهد محکمی برای این موضوع وجود دارد.
برنج. 26. رابطه مشتق و انتگرال
اما به منظور تجزیه و تحلیل، برای درک آنچه در سوال، و کار با عملیات تمایز (محاسبه مشتق) و یکپارچه سازی (محاسبه انتگرال)، آنچه در این درس گفته شد و مطالب دروس اصلی کافی خواهد بود.
وقتی باید خانه ای در خیابان پیدا کنیم. نوا، و از جلوی خانه بیرون رفتیم، سپس به سمت چپ یا راست این خانه می رویم تا بفهمیم شماره گذاری چگونه پیش می رود.
برنامه تابع نمایییک خط صاف منحنی بدون پیچ خوردگی است که در هر نقطه ای که از آن می گذرد می توان یک مماس به آن رسم کرد. منطقی است که فرض کنیم اگر امکان رسم مماس وجود داشته باشد، تابع در هر نقطه از دامنه تعریف خود قابل تمایز خواهد بود.
نمایش در یک محورهای مختصاتچندین نمودار از تابع y \u003d x a، برای a \u003d 2؛ a = 2.3; a = 3; a = 3.4.
در نقطه با مختصات (0;1). زوایای شیب این مماس ها به ترتیب تقریباً 35، 40، 48 و 51 درجه خواهد بود. منطقی است که فرض کنیم در فاصله 2 تا 3 عددی وجود دارد که در آن زاویه میل مماس 45 درجه خواهد بود.
بیایید فرمول دقیق این عبارت را ارائه دهیم: عددی بزرگتر از 2 و کوچکتر از 3 وجود دارد که با حرف e نشان داده می شود، که تابع نمایی y = e x در نقطه 0 مشتقی برابر با 1 دارد. یعنی: (e ∆x -1) / ∆x به 1 میل می کند همانطور که ∆x به صفر میل می کند.
شماره داده شده هغیر منطقی است و به صورت یک کسر اعشاری غیر تناوبی نامتناهی نوشته می شود:
e = 2.7182818284…
از آنجایی که عدد e مثبت و غیرصفر است، یک لگاریتم برای پایه e وجود دارد. این لگاریتم نامیده می شود لگاریتم طبیعی. ln(x) = log e (x) نشان داده می شود.
مشتق تابع نمایی
قضیه: تابع e x در هر نقطه از دامنه خود قابل تمایز است و (e x)’ = e x.
تابع نمایی a x در هر نقطه از دامنه تعریف خود قابل تمایز است و علاوه بر این (a x)’ = (a x)*ln(a).
پیامد این قضیه این واقعیت است که تابع نمایی در هر نقطه از دامنه تعریف خود پیوسته است.
مثال: مشتق تابع y = 2 x را پیدا کنید.
با توجه به فرمول مشتق تابع نمایی، به دست می آوریم:
(2x)' = (2x)*ln(2).
پاسخ: (2x)*ln(2).
ضد مشتق تابع نمایی
برای یک تابع نمایی a x داده شده روی مجموعه اعداد حقیقی، ضد مشتق تابع (a x)/(ln(a)) خواهد بود.
ln(a) مقداری ثابت است، سپس (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x برای هر x. ما این قضیه را ثابت کردیم.
مثالی از یافتن تابع نمایی ضد مشتق را در نظر بگیرید.
مثال: ضد مشتق تابع f(x) = 5 x را پیدا کنید. بیایید از فرمول بالا و قوانین برای یافتن ضد مشتقات استفاده کنیم. دریافت می کنیم: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.
\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)
محتواعناصر محتوا
مشتق، مماس، ضد مشتق، نمودار توابع و مشتقات.
مشتقاجازه دهید تابع \(f(x)\) در نزدیکی نقطه \(x_0\) تعریف شود.
مشتق تابع \(f\) در نقطه \(x_0\)حد نامیده می شود
\(f"(x_0)=\lim_(x\فلش راست x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0)،\)
اگر این محدودیت وجود داشته باشد.
مشتق یک تابع در یک نقطه، میزان تغییر این تابع را در یک نقطه مشخص می کند.
| عملکرد | مشتق |
| \(const\) | \(0\) |
| \(ایکس\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n\cdot x^(n-1)\) |
| \(\dfrac(1)(x)\) | \(-\dfrac(1)(x^2)\) |
| \(\sqrt(x)\) | \(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln(a)\) |
| \(\ln(x)\) | \(\dfrac(1)(x)\) |
| \(\log_a(x)\) | \(\dfrac(1)(x\n(a))\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tgx\) | \(\dfrac(1)(\cos^2 x)\) |
| \(\ctg x\) | \(-\dfrac(1)(\sin^2x)\) |
قوانین تمایز\(f\) و \(g\) توابعی هستند بسته به متغیر \(x\); \(c\) یک عدد است.
2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)
3) \((f+g)"= f"+g"\)
4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)
5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)
6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - مشتق تابع مختلط
معنای هندسی مشتق معادله یک خط مستقیم- محور غیر موازی \(Oy\) را می توان به صورت \(y=kx+b\) نوشت. ضریب \(k\) در این معادله نامیده می شود شیب یک خط مستقیم. او برابر با مماس زاویه شیباین خط مستقیم
زاویه مستقیم- زاویه بین جهت مثبت محور \(Ox\) و خط داده شده در جهت زوایای مثبت (یعنی در جهت کمترین چرخش از محور \(Ox\) به \(Oy) محاسبه می شود. \) محور).
مشتق تابع \(f(x)\) در نقطه \(x_0\) برابر است با شیب مماس بر نمودار تابع در نقطه داده شده: \(f"(x_0)=\tg \آلفا.\)
اگر \(f"(x_0)=0\)، آنگاه مماس بر نمودار تابع \(f(x)\) در نقطه \(x_0\) با محور \(Ox\) موازی است.
معادله مماس
معادله مماس بر نمودار تابع \(f(x)\) در نقطه \(x_0\):
\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)
یکنواختی عملکرداگر مشتق یک تابع در تمام نقاط یک بازه مثبت باشد، در آن بازه تابع در حال افزایش است.
اگر مشتق یک تابع در تمام نقاط یک بازه منفی باشد، آنگاه تابع در آن بازه کاهش می یابد.
حداقل، حداکثر و نقاط عطف مثبتبر روی منفیدر این نقطه، \(x_0\) حداکثر نقطه تابع \(f\) است.
اگر تابع \(f\) در نقطه \(x_0\) پیوسته باشد و مقدار مشتق این تابع \(f"\) از منفیبر روی مثبتدر این نقطه، \(x_0\) حداقل نقطه تابع \(f\) است.
نقاطی که مشتق \(f"\) برابر با صفر است یا وجود ندارد، نامیده می شوند نقاط بحرانیتوابع \(f\).
نقاط داخلی ناحیه تعریف تابع \(f(x)\)، که در آن \(f"(x)=0\) می تواند حداقل، حداکثر یا نقاط عطف باشد.
معنای فیزیکی مشتقاگر نقطه مادی در یک خط مستقیم حرکت کند و مختصات آن بسته به زمان با توجه به قانون \(x=x(t)\ تغییر کند، سرعت این نقطه برابر است با مشتق زمانی مختصات:
شتاب یک نقطه مادی برابر است با مشتق سرعت این نقطه نسبت به زمان:
\(a(t)=v"(t).\)
فایل درس 29.
مشتق. کاربرد مشتق. اولیه.
شیبمماس بر نمودار تابع در نقطه ای با آبسیسا x 0 برابر با مشتق تابع در نقطه x است 0. .
آن ها مشتق تابع در نقطه x 0 برابر است با مماس شیب مماس ترسیم شده به نمودار تابع در نقطه (x 0؛ f (x 0)).
ورزش 1. شکل نموداری از تابع y \u003d f (x) و مماس بر این نمودار را نشان می دهد که در یک نقطه با ابسیسا ترسیم شده است. ایکس ایکس 0 .
پاسخ: 0.25
ورزش 2. شکل نموداری از تابع y \u003d f (x) و مماس بر این نمودار را نشان می دهد که در یک نقطه با ابسیسا ترسیم شده است. ایکس 0 . مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه پیدا کنید ایکس 0 . پاسخ: 0.6
ورزش 3. شکل نموداری از تابع y \u003d f (x) و مماس بر این نمودار را نشان می دهد که در یک نقطه با ابسیسا ترسیم شده است. ایکس 0 . مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه پیدا کنید ایکس 0 . پاسخ: -0.25
ورزش 4. شکل نموداری از تابع y \u003d f (x) و مماس بر این نمودار را نشان می دهد که در یک نقطه با ابسیسا ترسیم شده است. ایکس 0 . مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه پیدا کنید ایکس 0 . پاسخ: -0.2.
حس مکانیکی مشتق.
v ( تی 0 ) = x' ( تی 0 )
سرعت مشتق مختصات است بر زمان. به همین ترتیب، شتاب مشتق سرعت نسبت به زمان است :
آ = v ( تی ).
ورزش 5 . نقطه مادیطبق قانون x(t)=12 t 2 +4 t+27 به صورت مستقیم حرکت می کند، که x فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر است، t زمان بر حسب ثانیه است که از لحظه شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن را (بر حسب متر بر ثانیه) در زمان t=2 s بیابید. جواب: 52
وظیفه 6. نقطه مادی طبق قانون در یک خط مستقیم حرکت می کندx (t) \u003d 16 t 3 + t 2 - 8 t + 180، جایی که ایکس- فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر،تی- زمان بر حسب ثانیه، از زمان شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت او در چه مقطع زمانی (بر حسب ثانیه) برابر با 42 متر بر ثانیه بود؟ پاسخ 1
علامت کافیعملکرد افزایش (کاهش)
1. اگر f `(x ) در هر نقطه از بازه (، آنگاه تابع با ( افزایش می یابد.
2. اگر f `(x ) در هر نقطه از بازه (، آنگاه تابع با ( کاهش می یابد.
شرط لازمنقاط بحرانی
اگر نقطه x 0 نقطه منتهی تابع است و در این نقطه یک مشتق وجود دارد، پس f `( ایکس 0 )=0
شرایط اکسترومی کافی
اگر یک f `( ایکس 0 ایکس 0 مقدار مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد، سپس ایکس 0 حداکثر نقطه تابع است.
اگر یک f `( ایکس 0 ) = 0 و هنگام عبور از نقطه ایکس 0 مقدار مشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد، سپس ایکس 0 حداقل نقطه تابع است.
وظیفه 7.شکل نموداری از مشتق تابع را نشان می دهد f(x)، در بازه (-7؛ 10) تعریف شده است. تعداد حداقل نقاط یک تابع را بیابید f(x)در بخش [-3; هشت].
راه حل.حداقل امتیاز مربوط به نقاطی است که علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می کند. در بخش [-3; 8] تابع یک حداقل نقطه دارد ایکس= 4. بنابراین چنین نقطه ای 1 است. پاسخ: 1.
وظیفه 8. شکل نموداری از یک تابع متمایز y=f(x) را نشان می‌دهد و هفت نقطه را در محور x مشخص کرده است: x1، x2، x3، x4، x5، x6، x 7. مشتق تابع f(x) در چند نقطه از این نقاط منفی است؟ جواب: 3
وظیفه 9. شکل نموداری از یک تابع متمایز y=f(x) را نشان می دهد که در بازه (- 11 ; − 1) تعریف شده است. یک نقطه از بخش [- 7 ; − 2]، که در آن مشتق تابع f(x) برابر با 0 است. پاسخ: -4
وظیفه 10. شکل نموداری از تابع y=f′(x) را نشان می دهد - مشتق تابع f(x)، که در بازه (2 ; 13) تعریف شده است. حداکثر نقطه تابع f(x) را پیدا کنید. جواب: 9
وظیفه 11. شکل نمودار y=f′(x) مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه (- 3; 8) تعریف شده است. در کدام نقطه از بخش [- 2; 3] تابع f(x) می گیرد کوچکترین ارزش? پاسخ: -2
وظیفه 12.شکل نمودار y=f "(x) را نشان می دهد - مشتق تابع f(x) که در بازه (− 2 ; 11) تعریف شده است. y=f(x) موازی با محور آبسیسا یا منطبق بر آن است پاسخ: 3
وظیفه 13.شکل نمودار y=f "(x) را نشان می دهد - مشتق تابع f(x) که در بازه (− 4 ; 6) تعریف شده است. آبسیسا نقطه ای را که مماس بر نمودار تابع y=f(x) موازی با خط y=3x است یا با آن مطابقت دارد. پاسخ: 5
وظیفه 14. شکل نمودار y=f "(x) را نشان می دهد - مشتق تابع f(x) که در بازه (− 4 ; 13) تعریف شده است. تعداد نقاط مماس بر نمودار تابع y= را بیابید. f(x) موازی خط y=− 2x−10 یا مساوی با آن است پاسخ: 5
وظیفه 15.خط y =5x -8 مماس بر نمودار تابع 4x 2 -15x +c است. پیدا کردن ج. ای پاسخ: 17.
ضد مشتق
تابع ضد مشتق F(x) برای عملکرد f(x) تابع نامیده می شود مشتق که برابر با تابع اصلی است. اف " ( ایکس )= f ( ایکس ).
وظیفه 16.شکل یک نمودار را نشان می دهد y=F (ایکس) یکی از پاد مشتق های فلان تابع f(ایکس) در بازه (1;13) تعریف شده است. با استفاده از شکل، تعداد جواب های معادله را مشخص کنید f (ایکس)=0 در بخش. جواب: 4
وظیفه 17.شکل نمودار y=F(x) یکی از پاد مشتق‌های تابع f(x) را نشان می‌دهد که در بازه (- 7; 8) تعریف شده است. با استفاده از شکل، تعداد جواب های معادله f(x)=0 را در بازه مشخص کنید. پاسخ 1
وظیفه 18. شکل نمودار y=F(x) یکی از پادمشتق‌های تابع f(x) را نشان می‌دهد و هشت نقطه روی محور x مشخص شده‌اند: x1، x2، x3، x4، x5، x6، x7، x8. تابع f(x) در چند نقطه از این نقاط منفی است؟ جواب: 3
وظیفه 19.شکل نموداری از تابع y=f(x) را نشان می دهد. تابع F(x)=12x 3-3x2 +152x-92 یکی از پاد مشتق های تابع f(x) است. مساحت شکل سایه دار را پیدا کنید. جواب: 592
الگوریتم برای یافتن نقاط اکسترموم
محدوده تابع را پیدا کنید.
مشتق تابع را بیابید f "( ایکس)
نقاطی را که در آن قرار دارند بیابید f "( ایکس) = 0.
دامنه تابع و تمام صفرهای مشتق را روی خط اعداد علامت بزنید.
علامت را تعریف کنید مشتقبرای هر بازه (برای این ما مقدار "مناسب" را جایگزین می کنیم ایکس از این فاصله تا f "( ایکس)).
با نشانه های مشتق مناطق افزایش و کاهش تابع را تعیین کنید و در مورد وجود یا عدم وجود یک اکستروم و ماهیت آن نتیجه بگیرید. حداکثر یادقیقه ) در هر یک از این نقاط.
وظیفه 20.حداکثر نقطه تابع y=(2x−1)cosx−2sinx+5 را پیدا کنید که به بازه (0 ; π/2) تعلق دارد. پاسخ: 0.5
وظیفه 21.حداکثر نقطه تابع را پیدا کنیدy=.پاسخ: 6
یافتن الگوریتم بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع در بازه
وظیفه 22.کوچکترین مقدار تابع y =x −6x +1 را در قسمت پیدا کنید. پاسخ: -31
وظیفه 23.کوچکترین مقدار تابع y=8cosx+30x/π+19 را در بازه [- 2π/3; 0]. پاسخ: -5
علاوه بر این. یکیحداکثر نقطه تابع y=(x−11) 2 ⋅e x − 7 را پیدا کنید.
2. پیدا کنید بالاترین ارزشتوابع y=x 5 -5x 3 -20x در بازه [− 9 ; یک]. جواب: 48
این درس اولین درس از سری ویدیوهای یکپارچه سازی است. در آن، ما آنتی مشتق یک تابع را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد و همچنین روش های ابتدایی محاسبه این ضد مشتقات را مطالعه خواهیم کرد.
در واقع، در اینجا هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد: در اصل، همه چیز به مفهوم مشتق می رسد که قبلاً باید با آن آشنا باشید. :)
من فوراً به این نکته توجه می کنم، زیرا این اولین درس ما است موضوع جدید، امروز هیچ محاسبات و فرمول های پیچیده ای وجود نخواهد داشت، اما آنچه امروز مطالعه خواهیم کرد، اساس محاسبات و ساختارهای بسیار پیچیده تری را هنگام محاسبه انتگرال ها و مساحت های پیچیده تشکیل می دهد.
علاوه بر این، هنگام شروع مطالعه انتگرال و انتگرال به طور خاص، ما به طور ضمنی فرض می کنیم که دانش آموز از قبل حداقل با مفاهیم مشتق آشنا بوده و حداقل مهارت های ابتدایی در محاسبه آنها دارد. بدون درک روشنی از این، مطلقاً هیچ کاری برای ادغام وجود ندارد.
با این حال، یکی از شایع ترین و موذی ترین مشکلات در اینجا نهفته است. واقعیت این است که با شروع محاسبه اولین ضد مشتقات خود، بسیاری از دانش آموزان آنها را با مشتقات اشتباه می گیرند. در نتیجه در امتحانات و کار مستقلاشتباهات احمقانه و توهین آمیز انجام می شود.
بنابراین، اکنون تعریف روشنی از ضد مشتق ارائه نمی کنم. و در عوض، من به شما پیشنهاد می کنم در یک مثال عینی ساده به نحوه در نظر گرفتن آن نگاه کنید.
چه چیزی ابتدایی است و چگونه در نظر گرفته می شود
ما این فرمول را می دانیم:
\[((\left(((x)^(n)) \راست))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
این مشتق ابتدایی در نظر گرفته می شود:
\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \راست))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
بیایید از نزدیک به عبارت حاصل نگاه کنیم و $((x)^(2))$ را بیان کنیم:
\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \راست))^(\prime )))(3)\]
اما با توجه به تعریف مشتق می توانیم آن را به این صورت نیز بنویسیم:
\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \راست))^(\prime ))\]
و اکنون توجه کنید: آنچه که ما نوشتیم، تعریف ضد مشتق است. اما برای نوشتن صحیح باید موارد زیر را بنویسید:
بیایید عبارت زیر را به همین صورت بنویسیم:
اگر این قانون را تعمیم دهیم، می توانیم فرمول زیر را استخراج کنیم:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
اکنون می‌توانیم تعریف روشنی ارائه کنیم.
پاد مشتق تابع تابعی است که مشتق آن برابر تابع اصلی باشد.
سوالاتی در مورد تابع ضد مشتق
به نظر می رسد که یک تعریف نسبتاً ساده و قابل درک است. با این حال، پس از شنیدن آن، دانش آموز توجه بلافاصله چندین سوال خواهد داشت:
- بیایید بگوییم، خوب، این فرمول درست است. با این حال، در این مورد، وقتی $n=1$، مشکلاتی داریم: "صفر" در مخرج ظاهر می شود و تقسیم بر "صفر" غیرممکن است.
- فرمول فقط محدود به قدرت است. نحوه محاسبه ضد مشتق، به عنوان مثال، سینوس، کسینوس و هر مثلثات دیگر، و همچنین ثابت.
- یک سؤال وجودی: آیا اصلاً همیشه می توان یک ضد مشتق پیدا کرد؟ اگر چنین است، در مورد جمع ضد مشتق، تفاوت، محصول و غیره چطور؟
من بلافاصله به سوال آخر پاسخ خواهم داد. متأسفانه، ضد مشتق، بر خلاف مشتق، همیشه در نظر گرفته نمی شود. چنین چیزی وجود ندارد فرمول جهانی، که توسط آن از هر ساخت اولیه تابعی به دست خواهیم آورد که برابر با این ساخت مشابه خواهد بود. در مورد توان ها و ثابت ها، اکنون در مورد آن صحبت خواهیم کرد.
حل مسائل با توابع قدرت
\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
همانطور که می بینیم، فرمول داده شدهبرای $((x)^(-1))$ کار نمی کند. این سوال مطرح می شود: پس چه کار می کند؟ آیا نمی توانیم $((x)^(-1))$ را بشماریم؟ البته که میتونیم. بیایید با این شروع کنیم:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
حالا بیایید فکر کنیم: مشتق کدام تابع برابر با $\frac(1)(x)$ است. بدیهی است که هر دانش آموزی که حداقل اندکی درگیر این موضوع بوده است به یاد می آورد که این عبارت برابر با مشتق لگاریتم طبیعی است:
\[((\چپ(\ln x \راست))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
بنابراین، می توانیم با اطمینان موارد زیر را بنویسیم:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]
این فرمول باید دقیقاً مانند مشتق تابع توان شناخته شود.
بنابراین آنچه تاکنون می دانیم:
- برای تابع توان - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- برای یک ثابت - $=const\to \cdot x$
- یک مورد خاص از یک تابع توان - $\frac(1)(x)\to \ln x$
و اگر شروع به ضرب و تقسیم ساده ترین توابع کنیم، چگونه می توان ضد مشتق یک محصول یا یک ضریب را محاسبه کرد. متأسفانه، قیاس با مشتق یک محصول یا یک ضریب در اینجا کار نمی کند. هیچ فرمول استانداردی وجود ندارد. برای برخی موارد، فرمول‌های ویژه پیچیده‌ای وجود دارد - در آموزش‌های ویدیویی آینده با آنها آشنا خواهیم شد.
با این حال، به یاد داشته باشید: فرمول کلی، هیچ فرمول مشابهی برای محاسبه مشتق یک ضریب و یک محصول وجود ندارد.
حل مشکلات واقعی
وظیفه شماره 1
بیایید هر کدام توابع قدرتجداگانه بشمار:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
با بازگشت به بیان خود، ساختار کلی را می نویسیم:
وظیفه شماره 2
همانطور که قبلاً گفتم، آثار بدوی و خصوصی "خالی از طریق" در نظر گرفته نمی شوند. با این حال، در اینجا می توانید کارهای زیر را انجام دهید:
کسر را به مجموع دو کسر تقسیم کرده ایم.
بیایید محاسبه کنیم:
خبر خوب این است که وقتی فرمول های محاسبه ضد مشتقات را بدانید، می توانید تعداد بیشتری را محاسبه کنید. ساختارهای پیچیده. با این حال، بیایید جلوتر برویم و دانش خود را کمی بیشتر گسترش دهیم. واقعیت این است که بسیاری از ساختارها و عباراتی که در نگاه اول هیچ ربطی به $((x)^(n))$ ندارند را می توان به عنوان یک توان با شاخص منطقی، برای مثال:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
همه این تکنیک ها را می توان و باید با هم ترکیب کرد. عبارات قدرتمی توان
- ضرب (قدرت ها اضافه می شوند)؛
- تقسیم (درجات کم می شوند)؛
- ضرب در یک ثابت؛
- و غیره.
حل عبارات با درجه با توان گویا
مثال شماره 1
بیایید هر ریشه را جداگانه بشماریم:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4)))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
در مجموع، کل ساخت و ساز ما را می توان به صورت زیر نوشت:
مثال شماره 2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \راست))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \راست))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
بنابراین، به دست خواهیم آورد:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
در مجموع، با جمع آوری همه چیز در یک عبارت، می توانیم بنویسیم:
مثال شماره 3
ابتدا توجه داشته باشید که ما قبلاً $\sqrt(x)$ را محاسبه کرده ایم:
\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
بیایید بازنویسی کنیم:
امیدوارم کسی را غافلگیر نکنم اگر بگویم آنچه که اخیراً مطالعه کرده‌ایم فقط بیشترین است محاسبات سادهابتدایی ترین ساخت و سازهای ابتدایی. حالا بیایید کمی بیشتر نگاه کنیم نمونه های پیچیده، که در آن علاوه بر ضد مشتقات جدولی، یادآوری آن نیز ضروری خواهد بود برنامه آموزشی مدرسه، یعنی فرمول های ضرب کاهش یافته.
حل مثال های پیچیده تر
وظیفه شماره 1
فرمول مربع اختلاف را به خاطر بیاورید:
\[((\left(a-b \راست))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
بیایید تابع خود را بازنویسی کنیم:
اکنون باید ضد مشتق چنین تابعی را پیدا کنیم:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3)))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3)))(4)\]
ما همه چیز را در یک طرح مشترک جمع آوری می کنیم:
وظیفه شماره 2
در این حالت باید مکعب اختلاف را باز کنیم. یادمان باشد:
\[((\left(a-b \راست))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((ب)^(3))\]
با توجه به این واقعیت می توان به صورت زیر نوشت:
بیایید عملکرد خود را کمی تغییر دهیم:
ما مانند همیشه برای هر دوره به طور جداگانه در نظر می گیریم:
\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\به \ln x\]
بیایید ساختار حاصل را بنویسیم:
وظیفه شماره 3
در بالا، مربع حاصل را داریم، بیایید آن را باز کنیم:
\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \راست))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \راست))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2)))(3)\]
بیایید راه حل نهایی را بنویسیم:
و حالا توجه! یک چیز بسیار مهم که با سهم شیر از اشتباهات و سوء تفاهم همراه است. واقعیت این است که تا به حال با شمردن ضد مشتق ها به کمک مشتق ها، دادن تبدیل، به این فکر نمی کردیم که مشتق یک ثابت با چه چیزی برابر است. اما مشتق یک ثابت برابر با «صفر» است. و این بدان معنی است که شما می توانید گزینه های زیر را بنویسید:
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$
درک این موضوع بسیار مهم است: اگر مشتق یک تابع همیشه یکسان باشد، همان تابع دارای تعداد بی نهایت پاد مشتق است. ما به سادگی می توانیم هر عدد ثابتی را به اعداد اولیه خود اضافه کنیم و اعداد جدیدی بدست آوریم.
تصادفی نیست که در توضیح تکالیفی که به تازگی حل کرده ایم، نوشته شده است «بنویس فرم کلیبدوی ها." آن ها قبلاً فرض شده است که نه یک، بلکه تعداد زیادی از آنها وجود دارد. اما، در واقع، آنها تنها در ثابت $C$ در پایان متفاوت هستند. بنابراین، در وظایف خود، آنچه را که تکمیل نکرده ایم، اصلاح خواهیم کرد.
یک بار دیگر، ساختارهای خود را بازنویسی می کنیم:
در چنین مواردی، باید اضافه کرد که $C$ یک ثابت است — $C=const$.
در تابع دوم ما ساختار زیر را دریافت می کنیم:
و آخرین مورد:
و اکنون ما واقعاً آنچه را که در شرایط اولیه مشکل از ما خواسته بود به دست آوردیم.
حل مسائل مربوط به یافتن ضد مشتقات با یک نقطه داده شده
اکنون، زمانی که ما از ثوابت و ویژگی های نوشتن ضد مشتقات می دانیم، کاملاً منطقی به وجود می آید. نوع بعدیمشکلات، زمانی که از مجموعه همه ضد مشتقات لازم است که یک و تنها آن را پیدا کنیم که از آن عبور کند نقطه داده شده. این تکلیف چیست؟
واقعیت این است که همه پاد مشتق‌های یک تابع معین فقط از این جهت متفاوت هستند که با مقداری عمودی جابه‌جا می‌شوند. و این بدان معنی است که مهم نیست در چه نقطه ای از صفحه مختصات انتخاب می کنیم، یک پاد مشتق قطعا عبور می کند، و علاوه بر این، فقط یک.
بنابراین، وظایفی که اکنون حل خواهیم کرد به صورت زیر فرموله می شوند: یافتن ضد مشتق با دانستن فرمول تابع اصلی آسان نیست، اما انتخاب دقیقاً یکی از آنها که از یک نقطه معین می گذرد، مختصات آن را انتخاب کنید. در شرایط مشکل داده شود.
مثال شماره 1
ابتدا اجازه دهید هر عبارت را محاسبه کنیم:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]
اکنون این عبارات را در ساخت خود جایگزین می کنیم:
این تابع باید از نقطه $M\left(-1;4 \right)$ عبور کند. عبور از نقطه ای به چه معناست؟ این بدان معنی است که اگر به جای $x$ همه جا $-1$ و به جای $F\left(x \right)$ - $-4$ قرار دهیم، باید برابری عددی صحیح را بدست آوریم. بیا انجامش بدیم:
می بینیم که معادله ای برای $C$ داریم، پس بیایید سعی کنیم آن را حل کنیم:
بیایید همان راه حلی را که به دنبال آن بودیم بنویسیم:
مثال شماره 2
اول از همه، لازم است مربع اختلاف را با استفاده از فرمول ضرب اختصاری باز کنید:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
ساختار اصلی به صورت زیر نوشته می شود:
حالا بیایید $C$ را پیدا کنیم: مختصات نقطه $M$ را جایگزین کنیم:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
ما $C$ را بیان می کنیم:
برای نمایش عبارت نهایی باقی می ماند:
حل مسائل مثلثاتی
به عنوان آخرین آکورد آنچه که اکنون تحلیل کردیم، پیشنهاد می کنم دو مورد دیگر را در نظر بگیریم کارهای چالش برانگیزحاوی مثلثات در آنها، به همین ترتیب، لازم است که برای همه توابع پاد مشتق پیدا کنیم، سپس از این مجموعه تنها موردی را انتخاب کنیم که از نقطه $M$ در صفحه مختصات می گذرد.
با نگاهی به آینده، می‌خواهم به تکنیکی اشاره کنم که اکنون از آن برای یافتن ضد مشتقات استفاده می‌کنیم توابع مثلثاتی، در واقع است پذیرش جهانیبرای خودآزمایی
وظیفه شماره 1
بیایید فرمول زیر را به خاطر بسپاریم:
\[((\left(\text(tg)x \راست))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
بر این اساس می توانیم بنویسیم:
بیایید مختصات نقطه $M$ را در عبارت خود جایگزین کنیم:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
بیایید این عبارت را با در نظر گرفتن این واقعیت بازنویسی کنیم:
وظیفه شماره 2
در اینجا کار کمی دشوارتر خواهد بود. حالا خواهید دید که چرا.
بیایید این فرمول را به خاطر بسپاریم:
\[((\left(\text(ctg)x \راست))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
برای خلاص شدن از شر "منفی"، باید موارد زیر را انجام دهید:
\[((\left(-\text(ctg)x \راست))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
طراحی ما اینجاست
مختصات نقطه $M$ را جایگزین کنید:
بیایید ساخت و ساز نهایی را بنویسیم:
این تمام چیزی است که امروز می خواستم به شما بگویم. ما اصطلاح ضد مشتقات را مطالعه کرده‌ایم، که چگونه آنها را از بین ببریم توابع ابتداییو همچنین نحوه یافتن پاد مشتق عبوری از یک نقطه خاص در صفحه مختصات.
امیدوارم این درس حداقل برای درک این موضوع پیچیده به شما کمک کند. در هر صورت، بر ضد مشتقات است که نامعین و انتگرال های نامعین، بنابراین شمارش آنها کاملاً ضروری است. این همه برای من است. به زودی میبینمت!