Izračunajte bočnu površinu. Kako izračunati površinu piramide: baza, bočna i puna
Znamo šta je konus, pokušajmo pronaći njegovu površinu. Zašto je potrebno riješiti takav problem? Na primjer, morate razumjeti koliko test će proći napraviti kornet za vafle? Ili koliko je cigli potrebno za izgradnju krov od cigle dvorac?
Nije lako izmjeriti bočnu površinu konusa. Ali zamislite isti rog umotan u tkaninu. Da biste pronašli površinu komada tkanine, morate ga izrezati i raširiti po stolu. Dobijamo ravnu figuru, možemo pronaći njegovu površinu.
Rice. 1. Presjek konusa duž generatrise
Uradimo isto sa konusom. Hajde da ga isečemo bočna površina duž bilo koje generatrike, na primjer, (vidi sliku 1).
Sada "odmotavamo" bočnu površinu na ravan. Dobijamo sektor. Središte ovog sektora je vrh konusa, polumjer sektora jednak je generatrisi konusa, a dužina njegovog luka poklapa se sa obimom osnove konusa. Takav sektor se naziva razvoj bočne površine stošca (vidi sliku 2).
Rice. 2. Razvoj bočne površine
Rice. 3. Mjerenje ugla u radijanima
Pokušajmo pronaći površinu sektora prema dostupnim podacima. Prvo, uvedemo oznaku: neka ugao na vrhu sektora bude u radijanima (vidi sliku 3).
Često ćemo se susresti sa uglom na vrhu zamaha u zadacima. U međuvremenu, pokušajmo da odgovorimo na pitanje: zar ovaj ugao ne može biti veći od 360 stepeni? Odnosno, neće li se ispostaviti da će se zamah nametnuti? Naravno da ne. Dokažimo to matematički. Neka se sweep "preklapa" sam. To znači da je dužina luka zamaha veća od obima polumjera . Ali, kao što je već spomenuto, dužina luka zamaha je obim polumjera. A polumjer osnove stošca je, naravno, manji od generatrikse, na primjer, jer je krak pravokutnog trokuta manji od hipotenuze
Zatim se prisjetimo dvije formule iz kursa planimetrije: dužina luka. Područje sektora: .
U našem slučaju ulogu igra generatriksa , a dužina luka jednaka je obimu osnove stošca, tj. Imamo:
Konačno dobijamo:
Uz bočnu površinu, može se pronaći i ukupna površina. Da biste to učinili, dodajte osnovnu površinu bočnoj površini. Ali baza je krug radijusa , čija je površina, prema formuli, .
Konačno imamo: , gdje je polumjer osnove cilindra, je generatrisa.
Rešimo nekoliko zadataka na datim formulama.
Rice. 4. Željeni ugao
Primjer 1. Razvoj bočne površine stošca je sektor sa uglom na vrhu. Nađite ovaj ugao ako je visina konusa 4 cm, a poluprečnik osnove 3 cm (vidi sliku 4).
Rice. 5. Pravokutni trokut koji formira konus
Prvom radnjom, prema Pitagorinoj teoremi, nalazimo generatricu: 5 cm (vidi sliku 5). Dalje, mi to znamo .
Primjer 2. Površina aksijalnog presjeka konusa je , visina je . Pronađite ukupnu površinu (vidi sliku 6).
- ovo je figura, u čijoj osnovi leži proizvoljni poligon, a bočne strane su predstavljene trokutima. Njihovi vrhovi leže u jednoj tački i odgovaraju vrhu piramide.
Piramida može biti raznolika - trouglasta, četverokutna, šesterokutna itd. Njegovo ime može se odrediti ovisno o broju uglova koji se nalaze uz bazu.
Ispravna piramida zove se piramida, u kojoj su stranice osnove, uglovi i ivice jednaki. Također, u takvoj piramidi, površina bočnih strana će biti jednaka.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbir površina svih njenih strana: 
Odnosno, da bi se izračunala površina bočne površine proizvoljne piramide, potrebno je pronaći površinu svakog pojedinačnog trokuta i sabrati ih. Ako je piramida skraćena, tada su njena lica predstavljena trapezom. Za ispravnu piramidu postoji još jedna formula. U njemu se bočna površina izračunava kroz poluperimetar baze i dužinu apoteme:
Razmotrimo primjer izračunavanja površine bočne površine piramide.
Neka je data pravilna četvorougaona piramida. Osnovna strana b= 6 cm, i apotema a\u003d 8 cm. Pronađite površinu bočne površine.
U osnovi pravilne četvorougaone piramide leži kvadrat. Prvo, pronađimo njegov perimetar:
Sada možemo izračunati površinu bočne površine naše piramide: 
Da biste pronašli ukupne površine poliedar, morate pronaći površinu njegove baze. Formula za površinu osnove piramide može se razlikovati, ovisno o tome koji poligon leži u osnovi. Da biste to učinili, koristite formulu za površinu trokuta, oblast paralelograma itd.
Razmotrimo primjer izračunavanja površine osnove piramide date našim uvjetima. Pošto je piramida pravilna, u osnovi ima kvadrat.
kvadratna površina izračunato po formuli: ,
gdje je a stranica kvadrata. Imamo ga jednako 6 cm. Dakle, površina osnove piramide: 
Sada ostaje samo pronaći ukupnu površinu poliedra. Formula za površinu piramide je zbir površine njene osnove i bočne površine.
U ovoj lekciji:
- Zadatak 1. Nađite ukupnu površinu piramide
- Zadatak 2. Nađite površinu bočne površine pravilne trokutaste piramide
.
Bilješka . Ako trebate riješiti problem iz geometrije kojeg ovdje nema - pišite o tome na forumu. U zadacima se umjesto simbola "kvadratni korijen" koristi funkcija sqrt (), u kojoj je sqrt simbol kvadratni korijen, a radikalni izraz je naveden u zagradama. Za jednostavne radikalne izraze može se koristiti znak "√"..
Zadatak 1. Pronađite ukupnu površinu pravilne piramide
Visina osnove pravilne trouglaste piramide je 3 cm, a ugao između bočne strane i osnove piramide je 45 stepeni.Pronađite ukupnu površinu piramide
Odluka.
U osnovi pravilne trouglaste piramide leži jednakostranični trokut.
Stoga, da bismo riješili problem, koristimo svojstva pravilnog trokuta: 
Znamo visinu trougla, odakle možemo pronaći njegovu površinu.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3
Odakle će površina osnove biti jednaka:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3
Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Ugao OKM, prema opisu problema, je 45 stepeni.
ovako:
OK / MK = cos 45
Koristimo tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija i zamjenu poznate vrednosti.
OK / MK = √2/2
Uzimamo u obzir da je OK jednak poluprečniku upisan krug. Onda
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1
Onda
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2
Površina bočne strane je tada jednaka polovini umnoška visine i osnove trokuta.
Strana = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6
Dakle, ukupna površina piramide će biti jednaka
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6
Odgovori: 3√3 + 18/√6
Zadatak 2. Nađite površinu bočne površine pravilne piramide
U pravilnoj trouglastoj piramidi visina je 10 cm, a stranica osnove 16 cm . Pronađite bočnu površinu .Odluka.
Pošto je osnova pravilne trouglaste piramide jednakostraničan trokut, tada je AO polumjer opisane kružnice oko baze.
(Slijedi iz)
Poluprečnik kružnice opisane oko jednakostraničnog trougla nalazi se iz njegovih svojstava
Otuda će dužina ivica pravilne trouglaste piramide biti jednaka:
AM 2 = MO 2 + AO 2
visina piramide je poznata pod uslovom (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)
Svaka strana piramide je jednakokraki trougao. Square jednakokraki trougao pronađite iz prve formule ispod 
S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 m² (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)
Pošto su sve tri strane pravilne piramide jednake, bočna površina će biti jednaka
3S = 48√(91/3)
odgovor: 48 √(91/3)
Zadatak 3. Nađite ukupnu površinu pravilne piramide
Stranica pravilne trouglaste piramide je 3 cm, a ugao između bočne strane i osnove piramide je 45 stepeni. Pronađite ukupnu površinu piramide.
Odluka.
Pošto je piramida pravilna, u osnovi ima jednakostranični trougao. Dakle, površina baze je 
Dakle = 9 * √3/4
Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Ugao OKM, prema opisu problema, je 45 stepeni.
ovako:
OK / MK = cos 45
Hajde da koristimo
Prilikom pripreme za ispit iz matematike, studenti moraju sistematizovati svoja znanja iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, kako izračunati površinu piramide. Štaviše, počevši od baze i bočnih strana do cijele površine. Ako je situacija jasna sa bočnim stranama, budući da su trouglovi, onda je baza uvijek drugačija.
Šta učiniti kada se pronađe površina osnove piramide?
To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trougla do n-ugla. A ova baza, pored razlike u broju uglova, može biti pravilna ili netačna figura. U zadacima USE od interesa za školsku djecu postoje samo zadaci s tačnim ciframa u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.
pravougaonog trougla
To je jednakostrano. Onaj u kojem su sve strane jednake i označene slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide se izračunava po formuli:
S = (a 2 * √3) / 4.
Square
Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:
Proizvoljni regularni n-ugao
Strana poligona ima istu oznaku. Za broj uglova koristi se latinično slovo n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Kako postupiti pri izračunavanju bočne i ukupne površine?
Jer temelj je tačna figura, tada su sve strane piramide jednake. Štaviše, svaki od njih je jednakokraki trokut, jer su bočne ivice jednake. Zatim da bi izračunali bočno područje piramide, trebat će vam formula koja se sastoji od zbira identičnih monoma. Broj pojmova je određen brojem stranica baze.
Površina jednakokračnog trokuta izračunava se po formuli u kojoj se polovina proizvoda baze pomnoži s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotema. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu izgleda ovako:
S \u003d ½ P * A, gdje je P obim baze piramide.
Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su date bočne ivice (c) i ravan ugao na njenom vrhu (α). Tada bi trebalo koristiti takvu formulu za izračunavanje bočne površine piramide:
S = n/2 * u 2 sin α .
Zadatak #1
Stanje. Naći ukupne površine piramida, ako njena osnova leži sa stranicom od 4 cm, a apotema ima vrijednost √3 cm.
Odluka. Morate početi s izračunavanjem perimetra baze. Pošto je ovo pravilan trokut, onda je P = 3 * 4 = 12 cm. Pošto je apotema poznata, možete odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.
Za trokut na bazi dobit će se sljedeća vrijednost površine: (4 2 * √3) / 4 = 4√3 cm 2.
Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete sabrati dvije rezultirajuće vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Odgovori. 10√3 cm2.
Zadatak #2
Stanje. Postoji pravilna četvorougaona piramida. Dužina stranice baze je 7 mm, bočne ivice 16 mm. Morate znati njegovu površinu.
Odluka. Pošto je poliedar četvorougao i pravilan, onda je njegova osnova kvadrat. Nakon što smo naučili površine baze i bočnih strana, bit će moguće izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A na bočnim stranama poznate su sve strane trougla. Stoga možete koristiti Heronovu formulu da izračunate njihove površine.
Prvi proračuni su jednostavni i dovode do ovog broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost, morat ćete izračunati poluperimetar: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trougla: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trougla, tako da kada izračunate konačni broj, morat ćete ga pomnožiti sa 4.
Ispada: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.
Odgovori. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.
Zadatak #3
Stanje. Za pravilnu četvorougaonu piramidu morate izračunati površinu. U njemu je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.
Odluka. Najlakši način je korištenje formule s umnoškom perimetra i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugi je malo teži.
Moraćemo da se setimo Pitagorine teoreme i razmotrimo da je formirana visinom piramide i apoteme, koja je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovini stranice kvadrata, jer visina poliedra pada u njegovu sredinu.
Željena apotema (hipotenuza pravouglog trougla) je √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Sada možete izračunati željenu vrijednost: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).
Odgovori. 96 cm2.
Zadatak #4
Stanje. Dana desna strana njegove osnove su 22 mm, bočna rebra - 61 mm. Kolika je površina bočne površine ovog poliedra?
Odluka. Obrazloženje u njemu je isto kao što je opisano u problemu br. 2. Samo tamo je data piramida sa kvadratom u osnovi, a sada je to šestougao.
Prije svega, površina baze se izračunava pomoću gornje formule: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 cm 2.
Sada morate saznati poluperimetar jednakokračnog trokuta, koji je bočna strana. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Ostaje izračunati površinu svakog takvog trokuta pomoću Heronove formule, a zatim je pomnožiti sa šest i dodati onom koji je ispao za baza.
Proračuni pomoću Heronove formule: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) = √ 435600 = 660 cm 2. Izračuni koji će dati bočnu površinu: 660 * 6 = 3960 cm 2. Ostaje da ih zbrojimo kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.
Odgovori. Baza - 726√3 cm 2, bočna površina - 3960 cm 2, cela površina - 5217 cm 2.
Definicija. Bočno lice- ovo je trokut u kojem jedan ugao leži na vrhu piramide, a njegova suprotna strana poklapa se sa stranom baze (poligona).
Definicija. Bočna rebra su zajedničke strane bočnih strana. Piramida ima onoliko ivica koliko ima uglova u poligonu.
Definicija. visina piramide je okomica spuštena od vrha do osnove piramide.
Definicija. Apothem- ovo je okomita bočna strana piramide, spuštena sa vrha piramide na stranu osnove.
Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.
Definicija. Ispravna piramida- Ovo je piramida u kojoj je osnova pravilan poligon, a visina se spušta do centra osnove.
Zapremina i površina piramide
Formula. zapremina piramide kroz površinu osnove i visinu:
svojstva piramide
Ako su sve bočne ivice jednake, tada se krug može opisati oko osnove piramide, a središte baze se poklapa sa središtem kružnice. Također, okomica spuštena s vrha prolazi kroz centar baze (krug).
Ako su sva bočna rebra jednaka, onda su nagnuta prema ravni osnove pod istim uglovima.
Bočna rebra su jednaka kada se formiraju sa ravninom osnove jednakih uglova ili ako se krug može opisati oko osnove piramide.
Ako su bočne strane nagnute prema ravni osnove pod jednim uglom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide se projektuje u njeno središte.
Ako su bočne strane nagnute u odnosu na osnovnu ravninu pod jednim uglom, onda su apoteme bočnih strana jednake.
Svojstva pravilne piramide
1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih uglova baze.
2. Sve bočne ivice su jednake.
3. Sva bočna rebra su nagnuta pod istim uglovima u odnosu na bazu.
4. Apoteme svih bočnih strana su jednake.
5. Površine svih bočnih strana su jednake.
6. Sva lica imaju iste diedarske (ravne) uglove.
7. Oko piramide se može opisati sfera. Središte opisane sfere bit će presječna tačka okomica koje prolaze kroz sredinu ivica.
8. Sfera se može upisati u piramidu. Središte upisane sfere bit će presječna tačka simetrala koje izlaze iz ugla između ivice i baze.
9. Ako se centar upisane sfere poklapa sa centrom opisane sfere, tada je zbir ravnih uglova na vrhu jednak π ili obrnuto, jedan ugao je jednak π / n, gde je n broj uglova u osnovi piramide.
Veza piramide sa sferom
Sfera se može opisati oko piramide kada u osnovi piramide leži poliedar oko kojeg se može opisati krug (nužan i dovoljan uslov). Centar sfere će biti tačka preseka ravnina koje prolaze okomito kroz sredine bočnih ivica piramide.
Sfera se uvijek može opisati oko bilo koje trouglaste ili pravilne piramide.
Sfera se može upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u jednoj tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će biti centar sfere.
Veza piramide sa konusom
Konus se naziva upisanim u piramidu ako im se vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa upisana u bazu piramide.
Konus se može upisati u piramidu ako su apotemi piramide jednaki.
Za konus se kaže da je opisan oko piramide ako im se vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa opisana oko osnove piramide.
Konus se može opisati oko piramide ako su sve bočne ivice piramide jednake jedna drugoj.
Veza piramide sa cilindrom
Za piramidu se kaže da je upisana u cilindar ako vrh piramide leži na jednoj osnovi cilindra, a osnova piramide upisana u drugu bazu cilindra.
Cilindar se može opisati oko piramide ako se krug može opisati oko osnove piramide.
Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest ivica, pri čemu bilo koje dvije ivice nemaju zajednički vrh ali se ne dodiruju.
Svaki vrh se sastoji od tri lica i ivica koje se formiraju triedarski ugao.
Segment koji povezuje vrh tetraedra sa centrom suprotnog lica naziva se medijana tetraedra(GM).
Bimedijan naziva se segment koji povezuje sredine suprotnih ivica koje se ne dodiruju (KL).
Sve bimedijane i medijane tetraedra seku se u jednoj tački (S). U ovom slučaju, bimedijane su podijeljene na pola, a medijane u omjeru 3:1 počevši od vrha.
Definicija. Piramida sa oštrim uglom je piramida u kojoj je apotema više od polovine dužine stranice baze.
Definicija. tupa piramida je piramida u kojoj je apotema manja od polovine dužine stranice baze.
Definicija. pravilni tetraedar Tetraedar čija su četiri lica jednakostranični trouglovi. On je jedan od pet pravilni poligoni. U pravilnom tetraedru, svi diedarski uglovi (između lica) i triedarski uglovi (u vrhu) su jednaki.
Definicija. Pravougaoni tetraedar naziva se tetraedar koji ima pravi ugao između tri ivice na vrhu (ivice su okomite). Formiraju se tri lica pravougaoni trougao a ivice su pravokutnih trouglova, a osnova je proizvoljan trokut. Apotema bilo kojeg lica jednaka je polovini stranice baze na koju apotema pada.
Definicija. Izoedarski tetraedar Tetraedar se naziva u kojem su bočne strane jednake jedna drugoj, a osnova je pravilan trokut. Lica takvog tetraedra su jednakokraki trouglovi.
Definicija. Ortocentrični tetraedar tetraedar se naziva u kojem se sve visine (okomice) koje se spuštaju od vrha do suprotne strane sijeku u jednoj tački.
Definicija. zvezdana piramida Poliedar čija je osnova zvijezda naziva se.
