Kako izgledaju oštar i tupi uglovi? Pojam i vrste uglova

Ugao je geometrijska figura koja se sastoji od dvije različite zrake koje izlaze iz jedne tačke. AT ovaj slučaj, ove zrake se nazivaju stranicama ugla. Tačka koja je početak zraka naziva se vrh ugla. Na slici se vidi ugao sa vrhom u tački O, i stranke k i m.

Na stranama ugla su označene tačke A i C. Ovaj ugao se može označiti kao ugao AOC. U sredini mora biti naziv tačke u kojoj se nalazi ugaoni vrh. Postoje i druge oznake, ugao O ili ugao km. U geometriji se umjesto riječi ugao često ispisuje posebna ikona.

Okretni i neokretni ugao

Ako obje strane ugla leže na istoj pravoj liniji, onda se takav ugao naziva raspoređeno ugao. To jest, jedna strana ugla je nastavak druge strane ugla. Na slici ispod prikazan je ugao O.

Treba napomenuti da bilo koji ugao dijeli ravan na dva dijela. Ako ugao nije proširen, tada se jedan od dijelova naziva unutrašnja regija ugla, a drugi je vanjski dio ovog ugla. Na slici ispod prikazan je nespljošten ugao i označeni vanjski i unutrašnji dijelovi ovog ugla.

U slučaju razvijenog ugla, bilo koji od dva dijela na koje dijeli ravan može se smatrati vanjskim područjem ugla. Možemo govoriti o položaju tačke u odnosu na ugao. Tačka može ležati izvan ugla (u vanjskom dijelu), može biti na jednoj od njegovih strana ili može ležati unutar ugla (u unutrašnjem području).

Na slici ispod, tačka A leži izvan ugla O, tačka B leži na jednoj strani ugla, a tačka C leži unutar ugla.

Merenje ugla

Za mjerenje uglova postoji uređaj koji se zove kutomjer. Jedinica za ugao je stepen. Treba napomenuti da svaki ugao ima određenu mjeru stepena, koja je veća od nule.

U zavisnosti od stepena mere, uglovi se dele u nekoliko grupa.

Ovaj članak će razmotriti jedan od glavnih geometrijskih oblika - kut. Nakon opšteg uvoda u ovaj koncept, fokusiraćemo se na odvojene vrste takva figura. Pravi ugao je važan koncept u geometriji i bit će u fokusu ovog članka.

Uvod u pojam geometrijskog ugla

U geometriji postoji niz objekata koji čine osnovu svake nauke. Ugao se samo odnosi na njih i određuje se pomoću koncepta zraka, pa počnimo s njim.

Također, prije nego što nastavite s definicijom samog ugla, morate zapamtiti nekoliko jednako važnih objekata u geometriji - ovo je tačka, ravna linija na ravni i sama ravnina. Prava linija je najjednostavniji geometrijski lik, koji nema ni početak ni kraj. Ravan je površina koja ima dvije dimenzije. Pa, zraka (ili poluprava) u geometriji je dio prave linije koja ima početak, ali nema kraj.

Koristeći ove koncepte, možemo dati izjavu da je ugao geometrijska figura koja potpuno leži u određenoj ravni i sastoji se od dvije neusklađene zrake sa zajedničkim ishodištem. Takve zrake nazivaju se stranicama ugla, a zajednički početak stranica je njegov vrh.

Vrste uglova i geometrije

Znamo da uglovi mogu biti prilično različiti. Stoga će se mala klasifikacija dati malo niže, što će pomoći da se bolje razumiju vrste uglova i njihove glavne karakteristike. Dakle, postoji nekoliko vrsta uglova u geometriji:

1. Pravi ugao. Karakterizira ga vrijednost od 90 stepeni, što znači da su njegove strane uvijek okomite jedna na drugu.
2. Oštar ugao. Ovi uglovi uključuju sve njihove predstavnike, koji imaju veličinu manju od 90 stupnjeva.
3. Tupi ugao. Svi uglovi sa vrednošću od 90 do 180 stepeni takođe mogu biti ovde.
4. Prošireni kut. Ima veličinu od striktno 180 stepeni i spolja njegove strane čine jednu pravu liniju.

Koncept pravog ugla

Pogledajmo sada razvijeni ugao detaljnije. To je slučaj kada obje strane leže na istoj pravoj liniji, što se jasno vidi na slici malo niže. To znači da možemo sa sigurnošću reći da je jedna njegova strana u razvijenom kutu, zapravo, nastavak druge.

Vrijedno je zapamtiti činjenicu da se takav ugao uvijek može podijeliti pomoću zraka koji izlazi iz njegovog vrha. Kao rezultat, dobijamo dva ugla, koji se u geometriji nazivaju susjednim.

Takođe, razvijeni ugao ima nekoliko karakteristika. Da biste razgovarali o prvom od njih, morate zapamtiti koncept "simetrale ugla". Podsjetimo da je ovo zraka koja dijeli bilo koji ugao striktno na pola. Što se tiče pravog ugla, njegova simetrala ga dijeli na način da se formiraju dva prava ugla od 90 stepeni. Ovo je vrlo lako matematički izračunati: 180˚ (stepen ispravljenog ugla): 2 = 90˚.

Međutim, ako razvijeni ugao podijelimo potpuno proizvoljnom zrakom, onda kao rezultat uvijek dobijemo dva ugla, od kojih će jedan biti oštar, a drugi tup.

Flat Corner Properties

Biće zgodno razmotriti ovaj ugao, okupljajući sva njegova glavna svojstva, što smo uradili na ovoj listi:

1. Stranice pravog ugla su antiparalelne i čine pravu liniju.
2. Vrijednost razvijenog ugla je uvijek 180˚.
3. Dva susedna ugla zajedno uvek čine pravi ugao.
4. Pun ugao, koji iznosi 360˚, sastoji se od dva raspoređena i jednak je njihovom zbiru.
5. Pola ispravljenog ugla je pravi ugao.

Dakle, poznavajući sve ove karakteristike date vrste ugla, možemo ih koristiti za rješavanje niza geometrijskih problema.

Problemi sa ravnim uglovima

Kako biste shvatili da li ste savladali koncept pravog ugla, pokušajte odgovoriti na nekoliko sljedećih pitanja.

1. Koliki je pravi ugao ako njegove strane tvore okomitu liniju?
2. Hoće li dva ugla biti susjedna ako je veličina prvog 72˚, a drugog 118˚?
3. Ako se puni ugao sastoji od dva prava ugla, koliko pravih uglova ima?
4. Pravi ugao je podijeljen snopom na dva takva ugla da su njihove mjere stepena povezane kao 1:4. Izračunajte dobijene uglove.

Rješenja i odgovori:

1. Bez obzira na to kako se nalazi pravi ugao, on je po definiciji uvek jednak 180˚.
2. Susjedni uglovi imaju jednu zajedničku stranu. Stoga, da biste izračunali veličinu ugla koji su sastavili, trebate samo dodati vrijednost njihovih mjera stepena. Dakle, 72 +118 = 190. Ali po definiciji, pravi ugao je 180˚, što znači da dva data ugla ne mogu biti susedna.
3. Pravi ugao sadrži dva prava ugla. A pošto su u punoj dvije raspoređene, to znači da će u njoj biti 4 ravne linije.
4. Ako željene uglove nazovemo a i b, onda neka x bude koeficijent proporcionalnosti za njih, što znači da je a = x, i prema tome b = 4x. Pravi ugao u stepenima je 180˚. A prema njegovim svojstvima, da je stepenasta mera ugla uvek jednaka zbiru stepenastih mera onih uglova na koje ga deli bilo koja proizvoljna zraka koja prolazi između njegovih stranica, možemo zaključiti da je x + 4x = 180 ˚, što znači 5x = 180˚ . Odavde nalazimo: x=a=36˚ i b = 4x = 144˚. Odgovor: 36˚ i 144˚.

Ako ste uspjeli odgovoriti na sva ova pitanja bez nagoveštaja i bez zavirivanja u odgovore, onda ste spremni da pređete na sljedeću lekciju geometrije.

Šta je ugao?

Ugao je figura koju čine dvije zrake koje izlaze iz jedne tačke (Sl. 160).
Zrake koje se formiraju injekcija, nazivaju se stranice ugla, a tačka iz koje izlaze naziva se vrh ugla.
Na slici 160. stranice ugla su zrake OA i OB, a njegov vrh je tačka O. Ovaj ugao je označen na sljedeći način: AOB.

Kada pišete ugao u sredini, napišite slovo koje označava njegov vrh. Ugao se također može označiti jednim slovom - imenom njegovog vrha.

Na primjer, umjesto "ugao AOB" pišu kraće: "ugao O".

Umjesto riječi "ćošak" pišu znak.

Na primjer, AOB, O.

Na slici 161, tačke C i D leže unutar ugla AOB, tačke X i Y leže izvan ovog ugla, i bodova M i H - na stranama ugla.

Kao i svi geometrijske figure, uglovi se porede korišćenjem preklapanja.

Ako se jedan ugao može preklopiti na drugi tako da se poklapaju, onda su ti uglovi jednaki.

Na primjer, na slici 162 ABC = MNK.

Od vrha ugla SOK (Sl. 163) povučena je greda OR. On dijeli SOC ugao na dva ugla - COP i ROCK. Svaki od ovih uglova manji je od ROC ugla.

Napisao: COP< COK и POK < COK.

Pravo i pod uglom

Dvije komplementarne jedna drugoj greda formiraju presavijeni ugao. Stranice ovog ugla zajedno čine pravu liniju na kojoj se nalazi vrh proširenog ugla (Sl. 164).

Kazaljka sata i minuta na satu formiraju razvijeni ugao na 6 sati (sl. 165).

Dvaput savijmo komad papira na pola, a zatim ga rasklopimo (Sl. 166).

Linije pregiba formiraju 4 jednaka ugla. Svaki od ovih uglova jednak je polovini ispravljenog ugla. Takvi uglovi se nazivaju pravi uglovi.

Pravi ugao je pola ispravljenog ugla.

crtanje trougla

Za gradnju pravi ugao koristiti crtež trougao(Sl. 167). Za konstruiranje pravog ugla, čija je jedna strana zraka OL, potrebno je:

a) rasporedi trougao za crtanje tako da se vrh njegovog pravog ugla poklapa sa tačkom O, a jedna od stranica ide duž zraka OA;

b) nacrtajte zraku OB duž druge strane trougla.

Kao rezultat, dobijamo pravi ugao AOB.

Pitanja na temu

1.Šta je ugao?
2. Koji se ugao naziva raspoređenim?
3. Koji uglovi se nazivaju jednaki?
4. Koji se ugao naziva pravim?
5. Kako se pravi ugao gradi pomoću trougla za crtanje?

Već znamo da bilo koji ugao dijeli ravan na dva dijela. Ali, ako pod uglom obje strane leže na istoj pravoj liniji, onda se takav kut naziva raspoređenim. Odnosno, pod razvijenim uglom, jedna njegova strana je nastavak njegove druge strane ugla.

Pogledajmo sada sliku koja samo pokazuje razvijeni ugao O.

Ako uzmemo i povučemo zraku iz vrha pravog ugla, onda će ovaj pravi ugao podijeliti na još dva ugla, koji će imati jednu zajedničku stranu, a druga dva ugla će činiti pravu liniju. Odnosno, iz jednog rasklopljenog ugla, dobili smo dva susjedna.

Ako uzmemo ravan ugao i nacrtamo simetralu, onda će ta simetrala podijeliti pravi ugao na dva prava ugla.

A, u slučaju da iz vrha razvijenog ugla povučemo proizvoljni zrak koji nije simetrala, onda će takav zrak podijeliti prošireni ugao na dva ugla, od kojih će jedan biti oštar, a drugi tup.

Flat Corner Properties

Prošireni ugao ima sljedeća svojstva:

Prvo, stranice pravog ugla su antiparalelne i formiraju pravu liniju;
drugo, razvijeni ugao je 180°;
treće, dva susedna ugla čine pravi ugao;
četvrto, razvijeni ugao je polovina puni ugao;
peto, puni ugao će biti jednak zbiru dva razvijena ugla;
šesto, polovina ispravljenog ugla je pravi ugao.

Merenje ugla

Za mjerenje bilo kojeg ugla najčešće se u ove svrhe koristi kutomjer, u kojem je jedinica mjere jedan stepen. Prilikom mjerenja uglova, treba imati na umu da svaki ugao ima svoju specifičnu mjeru stepena, a prirodno je da je ova mjera veća od nule. A razvijeni ugao, kao što već znamo, jednak je 180 stepeni.

Odnosno, ako uzmemo bilo koju ravan kružnice i podijelimo je polumjerima sa 360 jednaki dijelovi, tada će 1/360 ovog kruga biti ugaoni stepen. Kao što već znate, stepen je označen određenom ikonom, koja izgleda ovako: "°".

Sada takođe znamo da je jedan stepen 1° = 1/360 kruga. Ako je ugao jednak ravni kružnice i iznosi 360 stepeni, onda je takav ugao pun.

A sada uzimamo i dijelimo ravan kružnice uz pomoć dva polumjera koja leže na jednoj pravoj liniji na dva jednaka dijela. Tada će u ovom slučaju ravnina polukruga biti polovina punog ugla, odnosno 360: 2 = 180 °. Dobili smo ugao koji je jednak poluravni kružnice i ima 180°. Ovo je uvrnuti ugao.

Praktični zadatak

1613. Imenuj uglove prikazane na slici 168. Zapiši njihove oznake.

1614. Nacrtaj četiri zraka: OA, OB, OS i OD. Zapišite nazive šest uglova čije su stranice ove zrake. Na koliko dijelova se dijele ovi zraci avion?

1615. Navedite koje tačke na slici 169 leže unutar ugla KOM. Koje tačke leže izvan ovog ugla? Koje tačke su na strani OK, a koje na OM strani?

1616. Nacrtajte ugao MOD i unutar njega nacrtajte zraku OT. Imenujte i označite uglove na koje ovaj zrak dijeli ugao MOD.

1617. Kazaljka minuta se za 10 minuta okrenula u ugao AOB, u narednih 10 minuta - u ugao BOC, a za još 15 minuta - u ugao COD. Uporedite uglove AOB i BOC, BOC i COD, AOC i AOB, AOC i COD (slika 170).

1618. Koristite trokut za crtanje da nacrtate 4 prava ugla na različitim pozicijama.

1619. Koristeći trokut za crtanje, pronađi prave uglove na slici 171. Zapišite njihove oznake.

1620. Istakni prave uglove u učionici.

a) 0,09 200; b) 208 0,4; c) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Koliko posto od 400 je broj 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Pronađite broj koji nedostaje:

a) 2 5 3 b) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Nacrtaj kvadrat čija je stranica jednaka dužini 10 ćelija sveske. Neka ovaj kvadrat predstavlja polje. Raž zauzima 12% polja, zob - 8%, pšenica - 64%, a ostatak polja zauzima heljda. Pokažite na slici dio polja koji zauzima svaka kultura. Koliki procenat polja zauzima heljda?

1632. Petja je tokom školske godine potrošio 40% sveska kupljenih početkom godine, a ostalo mu je 30 sveska. Koliko je sveska kupljeno za Petju na početku školske godine?

1633. Bronza je legura kalaja i bakra. Koliki postotak legure čini bakar u komadu bronze, koji se sastoji od 6 kg kalaja i 34 kg bakra?

1634. Aleksandrijski svjetionik, izgrađen u antici, koji je nazivan jednim od sedam svjetskih čuda, 1,7 puta je viši od kula Moskovskog Kremlja, ali niži od zgrade Moskovskog univerziteta za 119 m. Pronađite visinu svake od ovih građevina ako su kule Moskovskog Kremlja 49 m niže od Aleksandrijskog svjetionika.

1635. Pronađite uz pomoć mikrokalkulatora:

a) 4,5% od 168; c) 28,3% od 569,8;
b) 147,6% od 2500; d) 0,09% od 456.800.

1636. Riješite problem:

1) Površina vrta je 6,4 a. Prvog dana okopano je 30% bašte, a drugog dana 35% bašte. Koliko je ari ostalo za kopanje?

2) Serezha je imao 4,8 sati slobodnog vremena. Proveo je 35% tog vremena čitajući knjigu, a 40% gledajući TV emisije. Koliko mu je vremena ostalo?

1637. Uradite sljedeće:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 Nacrtajte ugao BAC i označite po jednu tačku unutar ugla, izvan ugla i na stranama ugla.

1639. Koje od tačaka označenih na slici 172 leže unutar ugla AMK. Koja tačka leži unutar ugla AMB> ali izvan ugla AMK. Koje tačke leže na stranicama ugla AMK?

1640. Koristite trougao za crtanje da pronađete prave uglove na slici 173.

1641. Konstruiraj kvadrat sa stranicom 43 mm. Izračunajte njegov opseg i površinu.

1642. Pronađite vrijednost izraza:

a) 14,791: a + 160,961: b, ako je a = 100, b = 10;
b) 361,62s + 1848: d ako je c = 100, d = 100.

1643. Radnik je morao izraditi 450 dijelova. Prvog dana uradio je 60% delova, a drugi ostatak. Koliko je delova radnik drugog dana?

1644. U biblioteci je bilo 8.000 knjiga. Godinu dana kasnije njihov broj se povećao za 2000 knjiga. Za koji procenat se povećao broj knjiga u biblioteci?

1645. Kamioni su prvog dana prešli 24% predviđenog puta, drugog dana - 46% puta, a trećeg - preostalih 450 km. Koliko su kilometara prešli ovi kamioni?

1646. Pronađite koliko ih ima:

a) 1% tone; c) 5% od 7 tona;
b) 1% litra; d) 6% od 80 km.

1647. Masa mladunaca morža je 9 puta manja od mase odraslog morža. Kolika je masa odraslog morža ako je, zajedno sa mladunčetom, njihova masa 0,9 tona?

1648. Za vrijeme manevara komandant je ostavio 0,3 svih svojih vojnika da čuvaju prelaz, a ostale podijelio u 2 odreda za odbranu dvije visine. Prvi odred je imao 6 puta više vojnika od drugog. Koliko je vojnika bilo u prvom odredu ako je bilo ukupno 200 vojnika?

N.Ya. VILENKIN, V. I. ŽOKHOV, A. S. ČESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematika 5. razred, Udžbenik za obrazovne ustanove

Učenici su upoznati sa pojmom ugla u osnovna škola. Ali kao geometrijsku figuru sa određenim svojstvima, počinju je učiti od 7. razreda iz geometrije. izgleda, dosta jednostavna figura šta se može reći o njoj. Ali, stječući nova znanja, školarci sve više razumiju da o njoj možete naučiti prilično zanimljive činjenice.

U kontaktu sa

Kada se proučavaju

Školski predmet geometrije podijeljen je u dva dijela: planimetrija i geometrija tijela. Svako od njih ima veliku pažnju. dato uglovima:

• U planimetriji je dat njihov osnovni koncept, odvija se upoznavanje s njihovim tipovima u veličini. Osobine svake vrste trokuta se detaljnije proučavaju. Pojavljuju se nove definicije za učenike - to su geometrijski oblici koji nastaju na presjeku dvije prave jedne s drugima i sjecištu nekoliko linija sekante.
• U stereometriji se proučavaju prostorni uglovi - diedarski i triedarski.

Pažnja! Ovaj članak govori o svim vrstama i svojstvima uglova u planimetriji.

Definicija i mjerenje

Počevši da učim, prvo odredi, šta je ugao u planimetriji.

Ako uzmemo određenu tačku na ravnini i iz nje nacrtamo dvije proizvoljne zrake, dobićemo geometrijsku figuru - ugao, koji se sastoji od sljedećih elemenata:

• vrh - tačka iz koje su povučene zrake označena je velikim slovom latinice;
• strane su poluprave povučene odozgo.

Svi elementi koji formiraju figuru koju razmatramo dijele ravan na dva dela:

• unutrašnji - u planimetriji ne prelazi 180 stepeni;
• vanjski.

Princip mjerenja uglova u planimetriji objasnjeno intuitivno. Za početak, učenici se upoznaju sa konceptom razvijenog ugla.

Bitan! Kaže se da je ugao razvijen ako poluprave koje izlaze iz njegovog vrha čine pravu liniju. Neokrenuti ugao su svi ostali slučajevi.

Ako se podijeli na 180 jednakih dijelova, tada je uobičajeno smatrati mjeru jednog dijela jednakim 10. U ovom slučaju kažu da se mjerenje vrši u stepenima, a mjera stepena takve figure je 180 stepeni.

Glavni tipovi

Tipovi uglova su podeljeni prema kriterijumima kao što su stepen stepena, priroda njihovog formiranja i kategorije ispod.

Po veličini

S obzirom na veličinu, uglovi se dijele na:

• deployed;
• ravno;
• tup;
• ljuto.

Koji se ugao naziva raspoređenim je predstavljen gore. Hajde da definišemo pojam prave linije.

Može se dobiti dijeljenjem raspoređenog na dva jednaka dijela. U ovom slučaju, lako je odgovoriti na pitanje: pravi ugao, koliko je to stepeni?

Podelite 180 stepeni sa 2 da dobijete pravi ugao je 90 stepeni. Ovo je divna figura, jer su mnoge činjenice u geometriji povezane s njom.

Također ima svoje karakteristike u oznaci. Da bi se na slici prikazao pravi ugao, on nije označen lukom, već kvadratom.

Uglovi koji se dobiju dijeljenjem proizvoljne zrake prave se nazivaju oštri. Prema logici stvari, proizilazi da je oštar ugao manji od pravog ugla, ali se njegova mjera razlikuje od 0 stepeni. To jest, ima vrijednost od 0 do 90 stepeni.

Tup ugao je veći od pravog ugla, ali manji od pravog ugla. Njena mera stepena varira od 90 do 180 stepeni.

Ovaj element se može podijeliti na različite vrste uzeti u obzir brojke, isključujući prošireni.

Bez obzira na to kako je nerotirani ugao prekinut, uvijek se koristi osnovni aksiom planimetrije - "glavno svojstvo mjerenja".

At dijeljenje ugla jednim snopom ili nekoliko, stepen stepena date figure je jednak zbiru mera uglova na koje je podeljena.

Na nivou 7. razreda tu se završavaju vrste uglova po njihovoj veličini. Ali da bi se povećala erudicija, može se dodati da postoje i druge varijante koje imaju stepen stepena veću od 180 stepeni.Zovu se konveksne.

Slike na preseku linija

Sljedeće vrste uglova sa kojima se učenici upoznaju su elementi koji nastaju kada se dvije prave seku. Figure koje su postavljene jedna naspram druge nazivaju se vertikalne. Njih razlikovna karakteristika- jednaki su.

Elementi koji su susjedni istoj liniji nazivaju se susjedni. Teorema o preslikavanju njihovog svojstva to kaže Susjedni uglovi iznose 180 stepeni.

Elementi u trouglu

Ako posmatramo figuru kao element u trokutu, onda se uglovi dijele na unutrašnje i vanjske. Trougao je omeđen sa tri segmenta i sastoji se od tri vrha. Uglovi koji se nalaze unutar trougla na svakom vrhu, naziva internim.

Ako uzmemo bilo koji unutrašnji element na bilo kojem vrhu i produžimo bilo koju stranu, tada se ugao koji je formiran i koji je u susjedstvu unutarnjeg naziva vanjskim. Ovaj par elemenata ima slijedeća nekretnina: njihov zbir je 180 stepeni.

Presjek dvije prave linije

Raskrsnica linija

Kada se dvije prave seku, formiraju se i uglovi, koji su obično raspoređeni u parovima. Svaki par elemenata ima svoje ime. izgleda ovako:

• unutrašnja poprečna: ∟4 i ∟6, ∟3 i ∟5;
• unutrašnje jednostrano: ∟4 i ∟5, ∟3 i ∟6;
• odgovaraju: ∟1 i ∟5, ∟2 i ∟6, ∟4 i ∟8, ∟3 i ∟7.

Kada sekansa siječe dva

U ovom članku ćemo sveobuhvatno analizirati jedan od glavnih geometrijskih oblika - ugao. Počnimo s pomoćnim pojmovima i definicijama koje će nas dovesti do definicije ugla. Nakon toga dajemo prihvaćene metode za označavanje uglova. Zatim ćemo se detaljno pozabaviti procesom mjerenja uglova. U zaključku ćemo pokazati kako možete označiti uglove na crtežu. Svu teoriju smo obezbijedili potrebnim crtežima i grafičkim ilustracijama za bolje pamćenje gradiva.

Navigacija po stranici.

Definicija ugla.

Ugao je jedna od najvažnijih figura u geometriji. Definicija ugla je data kroz definiciju zraka. Zauzvrat, ideja zraka se ne može dobiti bez poznavanja takvih geometrijskih figura kao što su tačka, ravna linija i ravnina. Stoga, prije upoznavanja sa definicijom ugla, preporučujemo da osvježite teoriju iz odjeljaka i.

Dakle, počećemo od pojmova tačke, prave linije na ravni i ravni.

Hajde da prvo damo definiciju zraka.

Neka nam je data neka prava linija na ravni. Označimo ga slovom a. Neka je O neka tačka prave a . Tačka O dijeli pravu a na dva dijela. Svaki od ovih dijelova zajedno sa tačkom O naziva se greda, a tačka O se zove početak grede. Također možete čuti da se zraka zove poludirektan.

Radi kratkoće i praktičnosti, uvedena je sljedeća oznaka za zrake: zraka se označava ili malim latiničnim slovom (na primjer zrak p ili zrak k), ili dva velika latinična slova, od kojih prvo odgovara početku zraka, a druga označava neku tačku ove zrake (na primjer, zraka OA ili zraka CD). Pokažimo sliku i oznaku zraka na crtežu.

Sada možemo dati prvu definiciju ugla.

Definicija.

Injekcija- ovo je ravna geometrijska figura (to jest, koja u potpunosti leži u određenoj ravni), koja se sastoji od dvije neusklađene zrake sa zajedničkim porijeklom. Svaki od zraka se zove ugaona strana, zajednički početak strana ugla se zove gornji ugao.

Moguće je da strane ugla čine pravu liniju. Ovaj ugao ima svoje ime.

Definicija.

Ako obje strane ugla leže na istoj pravoj, onda se ugao naziva raspoređeno.

Predstavljamo vam grafičku ilustraciju razvijenog ugla.

Simbol ugla se koristi za označavanje ugla. Ako su stranice ugla označene malim latiničnim slovima (na primjer, jedna strana ugla je k, a druga h), tada se za označavanje ovog ugla, nakon znaka ugla, ispisuju slova koja odgovaraju stranicama red, a redosled snimanja nije bitan (odnosno ili). Ako su strane ugla označene sa dva velika latinična slova (na primer, jedna strana ugla OA, a druga strana ugla OB), onda se ugao označava na sledeći način: iza znaka ugla su tri slova napisano koje sudjeluju u označavanju stranica kuta, i slovo koje odgovara vrhu ugla, smještenom u sredini (u našem slučaju, kut će biti označen kao ili ). Ako vrh ugla nije vrh nekog drugog ugla, onda se takav ugao može označiti slovom koje odgovara vrhu ugla (na primjer, ). Ponekad možete vidjeti da su uglovi na crtežima označeni brojevima (1, 2, itd.), ovi uglovi su označeni kao i tako dalje. Radi jasnoće, predstavljamo sliku na kojoj su uglovi prikazani i naznačeni.

Bilo koji ugao dijeli ravan na dva dijela. Štaviše, ako ugao nije razvijen, tada se naziva jedan dio ravnine područje unutrašnjeg ugla, i drugi vanjski kut. Sljedeća slika objašnjava koji dio ravnine odgovara unutrašnjosti ugla, a koji vanjski.

Bilo koji od dva dijela na koje spljošteni ugao dijeli ravan može se smatrati unutrašnjim područjem spljoštenog ugla.

Definicija unutrašnjosti ugla vodi nas do druge definicije ugla.

Definicija.

Injekcija- ovo je geometrijska figura, koja se sastoji od dvije neusklađene zrake sa zajedničkim ishodištem i odgovarajućim unutrašnjim područjem ugla.

Treba napomenuti da je druga definicija ugla stroža od prve, jer sadrži više uslova. Međutim, ne treba odbaciti prvu definiciju ugla, niti odvojeno razmatrati prvu i drugu definiciju ugla. Hajde da objasnimo ovu tačku. Kada mi pričamo o uglu kao geometrijskoj figuri, onda se pod uglom podrazumeva figura sastavljena od dve zrake sa zajedničkim poreklom. Ako je potrebno izvršiti bilo kakvu radnju s ovim uglom (na primjer, mjerenje ugla), tada bi ugao već trebalo shvatiti kao dvije zrake sa zajedničkim ishodištem i unutrašnjim područjem (inače bi nastala dvostruka situacija zbog prisustvo unutrašnjeg i spoljašnjeg regiona ugla).

Dajemo više definicija susjednih i vertikalnih uglova.

Definicija.

Susedni uglovi- to su dva ugla kod kojih je jedna strana zajednička, a druge dvije čine pravi ugao.

Iz definicije proizilazi da se susjedni uglovi međusobno nadopunjuju do pravog ugla.

Definicija.

Vertikalni uglovi su dva ugla u kojima su stranice jednog ugla produžeci stranica drugog.

Na slici su prikazani vertikalni uglovi.

Očigledno, dvije linije koje se seku čine četiri para susjednih uglova i dva para vertikalnih uglova.

Poređenje uglova.

U ovom pasusu članka bavićemo se definicijama jednakih i nejednakih uglova, a takođe i u slučaju nejednakih uglova objasnićemo koji se ugao smatra velikim, a koji manjim.

Podsjetimo da se dvije geometrijske figure nazivaju jednakima ako se mogu preklopiti.

Neka nam budu data dva ugla. Hajde da damo obrazloženje koje će nam pomoći da dobijemo odgovor na pitanje: „Jesu li ova dva ugla jednaka ili ne“?

Očigledno, uvijek možemo uskladiti vrhove dva ugla, kao i jednu stranu prvog ugla sa bilo kojom stranom drugog ugla. Kombinirajmo stranu prvog ugla sa stranom drugog ugla tako da preostale strane uglova budu na istoj strani ravne linije na kojoj leže kombinovane strane uglova. Zatim, ako su druge dvije strane uglova poravnate, onda se uglovi pozivaju jednaka.

Ako se druge dvije strane uglova ne podudaraju, onda se uglovi nazivaju nejednako, i manji ugao se smatra dijelom drugog ( veliki je ugao koji u potpunosti sadrži drugi ugao).

Očigledno, dva ravna ugla su jednaka. Takođe je očigledno da je razvijeni ugao veći od bilo kog nerazvijenog ugla.

Merenje ugla.

Merenje ugla se zasniva na poređenju izmerenog ugla sa uglom uzetim kao jedinicom mere. Proces mjerenja uglova izgleda ovako: počevši od jedne od strana mjerenog ugla, njegovo unutrašnje područje se uzastopno popunjava pojedinačnim uglovima, čvrsto ih slažući jedan na drugi. Istovremeno se pamti broj naslaganih uglova, što daje meru izmerenog ugla.

Zapravo, bilo koji ugao se može uzeti kao jedinica mjere za uglove. Međutim, postoje mnoge opšte prihvaćene jedinice mjerenja uglova raznim oblastima nauke i tehnologije, dobili su posebna imena.

Jedna od jedinica za mjerenje uglova je stepen.

Definicija.

jedan stepen je ugao jednak stoosamdesetom dijelu ispravljenog ugla.

Stepen je označen simbolom "", dakle, jedan stepen je označen kao.

Dakle, u razvijenom uglu, možemo uklopiti 180 uglova u jedan stepen. Izgledat će kao pola okrugle pite izrezane na 180 jednakih komada. Vrlo važno: "komadi pite" čvrsto pristaju jedan uz drugi (odnosno, strane uglova su poravnate), pri čemu je strana prvog ugla poravnata sa jednom stranom spljoštenog ugla, a strana zadnjeg ugla jedinice poklopila s drugom stranom spljoštenog ugla.

Kada merite uglove, saznajte koliko puta stepen (ili druga jedinica mere uglova) stane u izmereni ugao na puna pokrivenost unutrašnja površina izmjerenog ugla. Kao što smo već videli, u razvijenom uglu stepen se uklapa tačno 180 puta. Ispod su primjeri uglova u kojima se ugao od jednog stepena uklapa tačno 30 puta (takav ugao je šestina ispravljenog ugla) i tačno 90 puta (pola ispravljenog ugla).

Da biste izmerili uglove manje od jednog stepena (ili druge merne jedinice uglova) iu slučajevima kada se ugao ne može izmeriti u celom broju stepeni (uzete jedinice), morate koristiti delove stepena (delove uzetih jedinica od mjerenje). Pojedini dijelovi diplome dobili su posebna imena. Najrasprostranjeniji dobio takozvane minute i sekunde.

Definicija.

Minuta je jedna šezdesetina stepena.

Definicija.

Sekunda je šezdeseti dio minute.

Drugim riječima, postoji šezdeset sekundi u minuti i šezdeset minuta (3600 sekundi) u stepenu. Simbol "" se koristi za označavanje minuta, a simbol "" se koristi za označavanje sekundi (ne brkati sa znakovima izvoda i drugog izvoda). Zatim, sa uvedenim definicijama i notacijom, imamo , a ugao u koji 17 stepeni 3 minuta i 59 sekundi stane može se označiti kao .

Definicija.

Stepen mjera ugla naziva se pozitivnim brojem, koji pokazuje koliko puta se stepen i njegovi dijelovi uklapaju dati ugao.

Na primjer, stepen stepena ispravljenog ugla je sto osamdeset, a stepen stepena ugla je .

Za mjerenje uglova postoje posebni merni instrumenti, najpoznatiji od njih je kutomjer.

Ako su poznate i oznaka ugla (na primjer) i njegova mjera stepena (neka 110), tada koristite kratku notaciju oblika i recite: "Ugao AOB je sto deset stepeni."

Iz definicija ugla i stepena mere ugla sledi da se u geometriji mera ugla u stepenima izražava realnim brojem iz intervala (0, 180] (u trigonometriji uglovi sa proizvoljnom stepenom mere se smatraju, nazivaju se).Ugao od devedeset stepeni ima poseban naziv, zove se pravi ugao. Ugao manji od 90 stepeni se naziva oštar ugao. Ugao veći od devedeset stepeni se naziva tupi ugao. Dakle, mjera oštar ugao u stepenima se izražava kao broj iz intervala (0, 90), mera tupog ugla - kao broj iz intervala (90, 180), pravi ugao je jednak devedeset stepeni. Evo ilustracija oštrog ugla, tupog ugla i pravog ugla.

Iz principa merenja uglova proizilazi da su stepene mere jednakih uglova iste, stepen mere većeg ugla je veći od stepena mere manjeg, a stepen mere ugla koji se sastoji od više uglova je jednak zbiru stepena mjera komponentnih uglova. Na slici ispod prikazan je ugao AOB, koji se sastoji od uglova AOC, COD i DOB, dok .

dakle, zbir susednih uglova je sto osamdeset stepeni, budući da formiraju pravi ugao.

Iz ove tvrdnje slijedi da . Zaista, ako su uglovi AOB i COD vertikalni, onda su uglovi AOB i BOC susedni, a uglovi COD i BOC su takođe susedni, dakle važe jednakosti i iz kojih sledi jednakost.

Zajedno sa stepenom naziva se i zgodna jedinica za mjerenje uglova radian. Radijanska mjera se široko koristi u trigonometriji. Hajde da definišemo radijan.

Definicija.

Jedan radijanski ugao- Ovo centralni ugao, što odgovara dužini luka, jednaka dužini poluprečnik odgovarajućeg kruga.

Dajemo grafičku ilustraciju ugla od jednog radijana. Na crtežu je dužina poluprečnika OA (kao i poluprečnik OB) jednaka dužini luka AB, pa je po definiciji ugao AOB jednak jednom radijanu.

Skraćenica "rad" koristi se za označavanje radijana. Na primjer, pisanje 5 rad znači 5 radijana. Međutim, u pisanoj formi, oznaka "rad" se često izostavlja. Na primjer, kada je napisano da je ugao jednak pi, to znači pi rad.

Posebno treba napomenuti da vrijednost ugla, izražena u radijanima, ne ovisi o dužini polumjera kruga. To je zbog činjenice da su figure omeđene datim kutom i luk kruga sa središtem na vrhu datog ugla slični jedni drugima.

Mjerenje uglova u radijanima može se obaviti na isti način kao i mjerenje uglova u stepenima: saznajte koliko puta ugao od jednog radijana (i njegovi dijelovi) stane u dati ugao. I možete izračunati dužinu luka odgovarajućeg centralnog ugla, a zatim ga podijeliti s dužinom polumjera.

Za potrebe prakse korisno je znati u kakvom su međusobnom odnosu mjere stepena i radijana, budući da se dosta toga mora izvesti. U ovom članku je uspostavljena veza između stepena i radijanske mjere ugla, te su dati primjeri pretvaranja stupnjeva u radijane i obrnuto.

Označavanje uglova na crtežu.

Na crtežima, radi praktičnosti i jasnoće, uglovi se mogu označiti lukovima, koji se obično crtaju u unutrašnjem dijelu ugla od jedne do druge strane ugla. Jednaki uglovi označi sa istim brojem lukova, nejednakih uglova - različit iznos lukovi. Pravi uglovi na crtežu su označeni simbolom oblika "", koji je prikazan u unutrašnjoj oblasti pravog ugla od jedne do druge strane ugla.

Ako na crtežu morate označiti mnogo različitih uglova (obično više od tri), tada je pri označavanju uglova, pored običnih lukova, dozvoljeno koristiti i lukove nekih posebna vrsta. Na primjer, možete prikazati nazubljene lukove ili nešto slično.

Treba napomenuti da se ne biste trebali zanositi označavanjem uglova na crtežima i ne zatrpavati crteže. Preporučujemo označavanje samo onih uglova koji su neophodni u procesu rješavanja ili dokazivanja.

Bibliografija.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. 7. - 9. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.
• Pogorelov A.V., Geometrija. Udžbenik za 7-11 razred obrazovnih ustanova.