Vrijednost sinusa i kosinusa oštrog ugla. Sinus, kosinus, tangent: šta je to? Kako pronaći sinus, kosinus i tangent

Lekcija na temu "Sinus, kosinus i tangens oštrog ugla pravokutnog trokuta"

Ciljevi lekcije:

edukativni - uvesti pojam sinusa, kosinusa, tangenta oštrog ugla u pravouglom trouglu, istražiti zavisnosti i odnose između ovih veličina;

razvijanje - formiranje pojma sinusa, kosinusa, tangente kao funkcije ugla, domena definisanja trigonometrijskih funkcija, razvoj logičkog mišljenja, razvoj pravilnog matematičkog govora;

vaspitno - razvijanje vještine samostalnog rada, kulture ponašanja, tačnosti u vođenju evidencije.

Tok lekcije:

1. Organizacioni momenat

“Obrazovanje nije broj odslušanih lekcija, već broj shvaćenih. Dakle, ako želite ići naprijed, požurite polako i budite oprezni.

2. Motivacija časa.

Jedan mudar čovjek je rekao: „Najviša manifestacija duha je um. Najviša manifestacija uma je geometrija. Geometrijska ćelija je trokut. Neiscrpna je kao i svemir. Krug je duša geometrije. Znaj obim i ne samo da ćeš spoznati dušu geometrije, već ćeš uzdići svoju dušu.”

Zajedno ćemo pokušati malo istražiti. Hajde da podijelimo sve ideje koje vam padnu na pamet i ne bojte se pogriješiti, svaka misao može nam dati novi smjer traženja. Neka naša postignuća nekome ne izgledaju velika, ali to će biti naša vlastita postignuća!

3. Aktuelizacija osnovnih znanja.

Koji su uglovi?

Šta su trouglovi?

Koji su glavni elementi koji definiraju trokut?

Šta su trouglovi zasnovani na stranicama?

Šta su trouglovi zasnovani na uglovima?

Šta je katet?

Šta je hipotenuza?

Kako se zovu stranice pravouglog trougla?

Kakvi su odnosi između stranica i uglova ovog trougla?

Zašto trebate znati odnos između stranica i uglova?

Koji zadaci iz života mogu dovesti do potrebe za izračunavanjem nepoznatih stranica u trokutu?

Izraz "hipotenuza" dolazi od grčke riječi "iponeinous", što znači "natezanje preko nečega", "vučenje". Riječ potiče od slike starogrčkih harfi, na kojima su žice nategnute na krajevima dva međusobno okomita stalka. Izraz "katetos" potiče od grčke riječi "katetos", što znači početak "visona", "okomito".

Euklid je rekao: "Noge su stranice koje čine pravi ugao."

U staroj Grčkoj je već bila poznata metoda za konstruisanje pravouglog trougla na tlu. Za to je korišteno uže, na kojem je bilo vezano 13 čvorova, na istoj udaljenosti jedan od drugog. Prilikom izgradnje piramida u Egiptu, tako su napravljeni pravougli trouglovi. To je vjerovatno razlog zašto je pravougli trougao sa stranicama 3,4,5 nazvan egipatskim trouglom.

4. Učenje novog gradiva.

U davna vremena ljudi su pratili svjetiljke i na osnovu tih zapažanja vodili kalendar, računali datume sjetve, vrijeme poplava rijeka; brodove na moru, karavane na kopnu vodili su putem zvijezda. Sve je to dovelo do potrebe da naučimo kako izračunati stranice u trouglu, čija su dva vrha na tlu, a treći je predstavljen tačkom na zvjezdanom nebu. Na osnovu te potrebe nastala je nauka - trigonometrija - nauka koja proučava odnose između stranica u trouglu.

Šta mislite, da li su nam već poznati odnosi dovoljni za rješavanje ovakvih problema?

Svrha današnje lekcije je da se istraže nove veze i zavisnosti, da se izvedu relacije, pomoću kojih u narednim časovima geometrije možete rešavati ovakve probleme.

Osjetimo se u ulozi naučnika i, slijedeći antičke genije Talesa, Euklida, Pitagore, idemo putem traganja za istinom.

Za ovo nam je potrebna teorijska osnova.

Označite ugao A i nogu BC crvenom bojom.

Označite nogu AC zelenom bojom.

Izračunajmo koji je dio suprotan krak za oštar ugao A u odnosu na njegovu hipotenuzu, za to sastavljamo omjer suprotne krake prema hipotenuzi:

Ovaj omjer ima posebno ime - tako da svaka osoba u svakoj tački planete razumije da je riječ o broju koji predstavlja omjer suprotnog kraka oštrog ugla prema hipotenuzi. Riječ je sinusna. Zapisati. Pošto riječ sinus bez naziva ugla gubi svako značenje, matematička notacija je sljedeća:

Sada napravite omjer susjednog kraka i hipotenuze za oštar ugao A:

Ovaj omjer se naziva kosinus. Njegova matematička notacija:

Razmotrimo još jednu relaciju za oštar ugao A: omjer suprotne noge i susjedne noge:

Ovaj omjer se naziva tangenta. Njegova matematička notacija:

5. Konsolidacija novog materijala.

Objedinimo naša posredna otkrića.

Sinus je...

kosinus je...

Tangenta je...

Riješi usmeno br. 88, 889, 892 (rad u parovima).

Koristeći stečeno znanje za rješavanje praktičnog problema:

“Sa tornja svjetionika, visokog 70 m, vidljiv je brod pod uglom od 3 prema horizontu. Šta je

udaljenost od svjetionika do broda?

Zadatak se rješava frontalno. Tokom diskusije pravimo crtež i potrebne beleške na tabli i u sveskama.

Prilikom rješavanja problema koriste se Bradisove tabele.

Razmotrimo rješenje problema str.175.

Riješi #902(1).

6. Fizminutka za oči.

Ne okrećući glavu, pogledajte zid učionice u smjeru kazaljke na satu oko perimetra, tablu oko perimetra u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, trokut prikazan na postolju u smjeru kazaljke na satu i njegov jednak trokut u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Okrenite glavu ulijevo i pogledajte liniju horizonta, a sada i vrh nosa. Zatvorite oči, izbrojite do 5, otvorite oči i...

Stavili smo ruke na oči,
Očvrsnimo noge.
Okretanje udesno
Hajde da izgledamo veličanstveno.
I lijevo također
Pogledaj ispod dlanova.
I - desno! I dalje
Preko lijevog ramena!
a sada ćemo nastaviti sa radom.

7. Samostalni rad studenata.

Reši br.

8. Rezultati lekcije. Refleksija. D/s.

Šta ste novo naučili? na lekciji:

da li si razmatrao...

jesi li analizirao...

Dobili ste…

zaključio si...

napunili ste svoj vokabular sljedećim terminima...

Svjetska nauka je započela geometrijom. Osoba se ne može istinski kulturno i duhovno razvijati ako nije učila geometriju u školi. Geometrija je nastala ne samo iz praktičnih, već i duhovnih potreba čovjeka.

Ovako je poetski objasnila svoju ljubav prema geometriji

Volim geometriju...

Učim geometriju jer volim

Geometrija je potrebna, bez nje smo nigdje.

Sinus, kosinus, krug - ovdje je sve važno,

Ovdje je sve potrebno

Samo morate biti vrlo jasni i sve razumjeti.

Dovršite zadatke i kontrolne liste na vrijeme.

Mislim da zaslužuješ više od toga. Evo mog ključa za trigonometriju:

• Nacrtajte kupolu, zid i plafon
• Trigonometrijske funkcije nisu ništa drugo do procenti ova tri oblika.

Metafora za sinus i kosinus: kupola

Umjesto da samo gledate same trokute, zamislite ih u akciji pronalaženjem nekog konkretnog primjera iz stvarnog života.

Zamislite da se nalazite u sredini kupole i želite da okačite platno za filmski projektor. Upirete prstom u kupolu pod nekim "x" uglom i sa te tačke treba da visi paravan.

Ugao na koji pokazujete određuje:

• sinus(x) = sin(x) = visina ekrana (tačka montaže od poda do kupole)
• kosinus(x) = cos(x) = udaljenost od vas do ekrana (po spratu)
• hipotenuza, udaljenost od vas do vrha ekrana, uvijek ista, jednaka polumjeru kupole

Da li želite da ekran bude što veći? Okačite ga tačno iznad sebe.

Da li želite da ekran visi što dalje od vas? Objesite ga pravo okomito. Ekran će imati nultu visinu na ovoj poziciji i visit će onoliko koliko ste tražili.

Visina i udaljenost od ekrana su obrnuto proporcionalni: što je ekran bliže, to će njegova visina biti veća.

Sinus i kosinus su procenti

Niko mi u godinama studija, nažalost, nije objasnio da su trigonometrijske funkcije sinus i kosinus ništa drugo do procenti. Njihove vrijednosti se kreću od +100% do 0 do -100%, ili od pozitivnog maksimuma do nule do negativnog maksimuma.

Recimo da sam platio porez od 14 rubalja. Ne znaš koliko je to. Ali ako kažete da sam platio 95% poreza, shvatit ćete da sam jednostavno bio oguljen kao ljepljiv.

Apsolutna visina ne znači ništa. Ali ako je vrijednost sinusa 0,95, onda razumijem da televizor visi gotovo na vrhu vaše kupole. Vrlo brzo će dostići svoju maksimalnu visinu u centru kupole, a zatim će ponovo početi da opada.

Kako možemo izračunati ovaj procenat? Vrlo jednostavno: podijelite trenutnu visinu ekrana sa maksimalno mogućim (radijus kupole, koji se također naziva hipotenuza).

Zbog toga rečeno nam je da je "kosinus = suprotni krak / hipotenuza". Ovo je sve da bi se dobio procenat! Najbolji način da se definiše sinus je „procenat trenutne visine od maksimalno mogućeg”. (Sinus postaje negativan ako vaš ugao pokazuje "pod zemljom". Kosinus postaje negativan ako ugao pokazuje na tačku kupole iza vas.)

Pojednostavimo proračune uz pretpostavku da smo u centru jedinične kružnice (radijus = 1). Možemo preskočiti podjelu i samo uzeti sinus jednak visini.

Svaki krug je, zapravo, jedan, uvećan ili smanjen u mjerilu do željene veličine. Stoga odredite odnose na jediničnom krugu i primijenite rezultate na vašu određenu veličinu kruga.

Eksperimentirajte: uzmite bilo koji ugao i vidite koji postotak visine i širine prikazuje:

Grafikon rasta vrijednosti sinusa nije samo prava linija. Prvih 45 stepeni pokrivaju 70% visine, a poslednjih 10 stepeni (od 80° do 90°) pokrivaju samo 2%.

Ovo će vam biti jasno: ako idete u krug, na 0° se dižete gotovo okomito, ali kako se približavate vrhu kupole, visina se sve manje mijenja.

Tangenta i sekansa. Zid

Jednog dana komšija je sagradio zid ravno leđa uz leđa do vaše kupole. Plakao pogled iz prozora i dobra preprodajna cijena!

Ali da li je u ovoj situaciji moguće nekako pobijediti?

Naravno da. Šta ako okačimo filmsko platno pravo na susjedov zid? Ciljate u ugao (x) i dobijete:

• tan(x) = tan(x) = visina ekrana na zidu
• udaljenost od vas do zida: 1 (ovo je radijus vaše kupole, zid se ne pomiče nikuda od vas, zar ne?)
• secant(x) = sec(x) = "dužina merdevina" od vas koji stojite u centru kupole do vrha visećeg ekrana

Hajde da razjasnimo nekoliko stvari o tangenti, odnosno visini ekrana.

• počinje od 0 i može ići beskonačno visoko. Možete rastegnuti ekran sve više i više na zidu da biste dobili samo beskonačno platno za gledanje omiljenog filma! (Za tako ogroman, naravno, morat ćete potrošiti mnogo novca).
• tangenta je samo uvećana verzija sinusa! I dok se rast sinusa usporava kako se krećete prema vrhu kupole, tangenta nastavlja rasti!

Sekansu takođe ima čime da se pohvali:

• sekanta počinje od 1 (merdevine su na podu, dalje od vas prema zidu) i počinje da se penje odatle
• Sekans je uvijek duži od tangente. Nagnute merdevine na koje kačite ekran moraju biti duže od samog ekrana, zar ne? (Za nerealne veličine, kada je ekran jaaako dugačak i merdevine treba da budu postavljene skoro okomito, njihove veličine su skoro iste. Ali čak i tada će sekansa biti malo duža).

Zapamtite da su vrijednosti posto. Ako odlučite da okačite ekran pod uglom od 50 stepeni, tan(50)=1,19. Vaš ekran je 19% veći od udaljenosti do zida (radijus kupole).

(Unesite x=0 i testirajte svoju intuiciju - tan(0) = 0 i sec(0) = 1.)

Kotangens i kosekans. Plafon

Nevjerovatno, vaš komšija je sada odlučio da izgradi plafon iznad vaše kupole. (Šta mu je? Očigledno ne želi da mu viriš dok hoda po dvorištu gol...)

Pa, vrijeme je da napravimo izlaz na krov i porazgovaramo sa komšijom. Vi birate ugao nagiba i počinjete da gradite:

• vertikalno rastojanje između krovnog otvora i poda je uvijek 1 (polumjer kupole)
• cotangent(x) = cot(x) = rastojanje između vrha kupole i izlazne tačke
• kosekans(x) = csc(x) = dužina vašeg puta do krova

Tangenta i sekans opisuju zid, dok kotangens i kosekans opisuju pod.

Naši intuitivni zaključci ovoga puta slični su prethodnim:

• Ako uzmete ugao od 0°, vaš izlazak na krov će trajati zauvijek jer nikada neće doći do stropa. Problem.
• Najkraće "stepenište" do krova će se dobiti ako ga izgradite pod uglom od 90 stepeni u odnosu na pod. Kotangens će biti jednak 0 (uopće se ne krećemo duž krova, izlazimo striktno okomito), a kosekans će biti jednak 1 ("dužina ljestvi" će biti minimalna).

Vizualizirajte veze

Ako su sva tri slučaja nacrtana u kombinaciji kupola-zid-pod, dobiće se sljedeće:

Pa, vau, sve je to isti trokut, uvećan do zida i stropa. Imamo vertikalne stranice (sinus, tangenta), horizontalne stranice (kosinus, kotangens) i “hipotenuze” (sekans, kosekans). (Iz strelica možete vidjeti koliko daleko svaki element doseže. Kosekans je ukupna udaljenost od vas do krova).

Malo magije. Svi trouglovi dijele iste jednakosti:

Iz Pitagorine teoreme (a 2 + b 2 = c 2) vidimo kako su stranice svakog trougla povezane. Osim toga, omjer visine i širine također mora biti isti za sve trouglove. (Samo se vratite od najvećeg trougla do manjeg. Da, veličina se promijenila, ali proporcije stranica će ostati iste).

Znajući koja je strana u svakom trouglu 1 (poluprečnik kupole), lako možemo izračunati da je "sin/cos = tan/1".

Oduvijek sam pokušavao zapamtiti ove činjenice kroz jednostavnu vizualizaciju. Na slici možete jasno vidjeti ove ovisnosti i razumjeti odakle dolaze. Ova tehnika je mnogo bolja od pamćenja suhih formula.

Ne zaboravite druge uglove

Psst… Nema potrebe da se zaglavite na jednom grafikonu, misleći da je tangenta uvijek manja od 1. Ako povećate ugao, možete doći do stropa, a da ne stignete do zida:

Pitagorine veze uvijek rade, ali relativne veličine mogu biti različite.

(Vjerovatno ste primijetili da je omjer sinusa i kosinusa uvijek najmanji jer su zatvoreni unutar kupole.)

Da rezimiramo: šta treba da zapamtimo?

Za većinu nas, rekao bih da će ovo biti dovoljno:

• trigonometrija objašnjava anatomiju matematičkih objekata kao što su krugovi i intervali koji se ponavljaju
• analogija kupola/zid/krov pokazuje odnos između različitih trigonometrijskih funkcija
• rezultat trigonometrijskih funkcija su procenti koje primjenjujemo na naš scenarij.

Ne morate pamtiti formule kao što su 1 2 + dječji krevetić 2 = csc 2 . Pogodni su samo za glupe testove u kojima se znanje neke činjenice predstavlja kao njeno razumijevanje. Odvojite minut da nacrtate polukrug u obliku kupole, zida i krova, potpišite elemente i sve formule će vam biti tražene na papiru.

Primjena: Inverzne funkcije

Bilo koja trigonometrijska funkcija uzima ugao kao ulaz i vraća rezultat kao postotak. sin(30) = 0,5. To znači da ugao od 30 stepeni zauzima 50% maksimalne visine.

Inverzna trigonometrijska funkcija se piše kao sin -1 ili arcsin (“arksina”). Takođe se često piše asin u raznim programskim jezicima.

Ako je naša visina 25% visine kupole, koliki je naš ugao?

U našoj tabeli proporcija možete pronaći omjer gdje je sekans podijeljen sa 1. Na primjer, sekans sa 1 (hipotenuza prema horizontali) bit će jednak 1 podijeljen kosinusom:

Recimo da je naš sekans 3,5, tj. 350% polumjera jedinične kružnice. Kojem kutu nagiba prema zidu odgovara ova vrijednost?

Dodatak: Neki primjeri

Dosadan zadatak. Zakomplikujmo banalno "pronađi sinus" na "Kolika je visina kao procenat maksimuma (hipotenuze)?".

Prvo, primijetite da je trokut rotiran. Nema ništa loše u tome. Trougao takođe ima visinu, prikazana je zelenom bojom na slici.

Čemu je jednaka hipotenuza? Po Pitagorinoj teoremi znamo da:

3 2 + 4 2 = hipotenuza 2 25 = hipotenuza 2 5 = hipotenuza

Pa! Sinus je postotak visine od najduže strane trougla, odnosno hipotenuze. U našem primjeru, sinus je 3/5 ili 0,60.

Naravno, možemo ići na nekoliko načina. Sada znamo da je sinus 0,60 i možemo jednostavno pronaći arksinus:

Asin(0,6)=36,9

A evo još jednog pristupa. Imajte na umu da je trokut "licem u lice sa zidom", tako da možemo koristiti tangentu umjesto sinusa. Visina je 3, udaljenost od zida je 4, tako da je tangenta ¾ ili 75%. Možemo koristiti tangentu luka da idemo od procenta nazad do ugla:

Tan = 3/4 = 0,75 atan (0,75) = 36,9 Primjer: Hoćete li doplivati ​​do obale?

Nalazite se u čamcu i imate dovoljno goriva da preplovite 2 km. Sada ste 0,25 km od obale. Pod kojim maksimalnim uglom prema obali možete doplivati ​​do nje da biste imali dovoljno goriva? Dodatak uslovu zadatka: imamo samo tabelu vrednosti ark kosinusa.

Šta imamo? Obala se može predstaviti kao “zid” u našem poznatom trokutu, a “dužina stepenica” pričvršćenih za zid može se predstaviti kao najveća moguća udaljenost čamcem do obale (2 km). Pojavljuje se sekanta.

Prvo, morate se prebaciti na procente. Imamo 2 / 0,25 = 8, što znači da možemo preplivati ​​8 puta ravnu udaljenost do obale (ili do zida).

Postavlja se pitanje „Šta je sekans 8?“. Ali mi ne možemo dati odgovor na to, jer imamo samo lučni kosinus.

Koristimo naše prethodno izvedene zavisnosti da preslikamo sekantu na kosinus: “sec/1 = 1/cos”

Sekans od 8 jednak je kosinsu od ⅛. Ugao čiji je kosinus ⅛ je acos(1/8) = 82,8. A ovo je najveći kut koji možemo priuštiti na brodu s navedenom količinom goriva.

Nije loše, zar ne? Bez analogije kupola-zid-plafon, bio bih zbunjen u gomili formula i proračuna. Vizualizacija problema uvelike pojednostavljuje traženje rješenja, osim toga, zanimljivo je vidjeti koja će trigonometrijska funkcija na kraju pomoći.

Za svaki zadatak razmislite ovako: da li me zanima kupola (sin/cos), zid (tan/sec) ili plafon (krevetac/csc)?

I trigonometrija će postati mnogo ugodnija. Jednostavne kalkulacije za vas!

Trigonometrija je grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu u geometriji. Razvoj trigonometrije započeo je u danima antičke Grčke. Tokom srednjeg vijeka, naučnici sa Bliskog istoka i Indije dali su značajan doprinos razvoju ove nauke.

Ovaj članak je posvećen osnovnim pojmovima i definicijama trigonometrije. Raspravlja o definicijama glavnih trigonometrijskih funkcija: sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Njihovo značenje u kontekstu geometrije je objašnjeno i ilustrovano.

Yandex.RTB R-A-339285-1

U početku su definicije trigonometrijskih funkcija, čiji je argument ugao, izražene kroz omjer stranica pravokutnog trokuta.

Definicije trigonometrijskih funkcija

Sinus ugla (sin α) je omjer kraka nasuprot ovom kutu i hipotenuze.

Kosinus ugla (cos α) je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Tangent ugla (t g α) je omjer suprotnog kraka prema susjednom.

Kotangens ugla (c t g α) je omjer susjednog kraka i suprotnog.

Ove definicije su date za oštar ugao pravouglog trougla!

Hajde da damo ilustraciju.

U trouglu ABC sa pravim uglom C, sinus ugla A jednak je odnosu kraka BC i hipotenuze AB.

Definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa omogućavaju izračunavanje vrijednosti ovih funkcija iz poznatih dužina stranica trokuta.

Važno je zapamtiti!

Raspon vrijednosti sinusa i kosinusa: od -1 do 1. Drugim riječima, sinus i kosinus uzimaju vrijednosti od -1 do 1. Raspon vrijednosti tangente i kotangensa je cijela brojevna prava, tj. funkcije mogu uzeti bilo koju vrijednost.

Gore date definicije se odnose na oštre uglove. U trigonometriji se uvodi koncept ugla rotacije čija vrijednost, za razliku od oštrog ugla, nije ograničena okvirima od 0 do 90 stepeni. Ugao rotacije u stepenima ili radijanima izražava se bilo kojim realnim brojem od - ∞ do + ∞.

U ovom kontekstu, može se definirati sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla proizvoljne veličine. Zamislite jediničnu kružnicu sa središtem na početku kartezijanskog koordinatnog sistema.

Početna tačka A sa koordinatama (1, 0) rotira oko centra jedinične kružnice za neki ugao α i ide u tačku A 1 . Definicija je data kroz koordinate tačke A 1 (x, y).

Sinus (sin) ugla rotacije

Sinus ugla rotacije α je ordinata tačke A 1 (x, y). sinα = y

Kosinus (cos) ugla rotacije

Kosinus ugla rotacije α je apscisa tačke A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) ugla rotacije

Tangenta ugla rotacije α je odnos ordinate tačke A 1 (x, y) i njene apscise. t g α = y x

Kotangens (ctg) ugla rotacije

Kotangens ugla rotacije α je odnos apscise tačke A 1 (x, y) i njene ordinate. c t g α = x y

Sinus i kosinus su definirani za bilo koji kut rotacije. Ovo je logično, jer se apscisa i ordinata tačke nakon rotacije mogu odrediti pod bilo kojim uglom. Situacija je drugačija sa tangentom i kotangensom. Tangenta nije definisana kada tačka nakon rotacije ide u tačku sa nultom apscisom (0 , 1) i (0 , - 1). U takvim slučajevima izraz za tangentu t g α = y x jednostavno nema smisla, jer sadrži podjelu nulom. Slična je situacija i sa kotangensom. Razlika je u tome što kotangens nije definisan u slučajevima kada ordinata tačke nestaje.

Važno je zapamtiti!

Sinus i kosinus su definirani za bilo koje uglove α.

Tangenta je definirana za sve uglove osim α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kotangens je definiran za sve uglove osim α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Prilikom rješavanja praktičnih primjera nemojte reći "sinus ugla rotacije α". Riječi "ugao rotacije" jednostavno su izostavljene, što implicira da je iz konteksta već jasno o čemu je riječ.

Brojevi

Šta je sa definicijom sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja, a ne ugla rotacije?

Sinus, kosinus, tangent, kotangens broja

Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t naziva se broj, koji je, respektivno, jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu u t radian.

Na primjer, sinus od 10 π jednak je sinusu ugla rotacije od 10 π rad.

Postoji još jedan pristup definiciji sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Razmotrimo to detaljnije.

Bilo koji pravi broj t tačka na jediničnom krugu stavlja se u korespondenciju sa centrom u početku pravougaonog Dekartovog koordinatnog sistema. Sinus, kosinus, tangenta i kotangens su definisani u smislu koordinata ove tačke.

Početna tačka na kružnici je tačka A sa koordinatama (1, 0).

pozitivan broj t

Negativan broj t odgovara tački do koje će se početna tačka kretati ako se kreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko kružnice i prođe putanju t.

Sada kada je veza između broja i tačke na kružnici uspostavljena, prelazimo na definiciju sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa.

Sinus (sin) broja t

Sinus broja t- ordinata tačke jedinične kružnice koja odgovara broju t. sin t = y

Kosinus (cos) od t

Kosinus broja t- apscisa tačke jedinične kružnice koja odgovara broju t. cos t = x

Tangenta (tg) od t

Tangent broja t- odnos ordinate prema apscisi tačke jedinične kružnice koja odgovara broju t. t g t = y x = sin t cos t

Potonje definicije su konzistentne i nisu u suprotnosti sa definicijom datom na početku ovog odjeljka. Tačka na krugu koji odgovara broju t, poklapa se sa tačkom do koje prolazi početna tačka nakon skretanja kroz ugao t radian.

Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta

Svaka vrijednost ugla α odgovara određenoj vrijednosti sinusa i kosinusa ovog ugla. Kao i svi uglovi α osim α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) odgovara određenoj vrijednosti tangente. Kotangens, kao što je gore pomenuto, je definisan za sve α, osim za α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Možemo reći da su sin α , cos α , t g α , c t g α funkcije ugla alfa, ili funkcije kutnog argumenta.

Slično, može se govoriti o sinusima, kosinusima, tangentima i kotangensima kao funkcijama numeričkog argumenta. Svaki pravi broj t odgovara određenoj vrijednosti sinusa ili kosinusa broja t. Svi brojevi osim π 2 + π · k , k ∈ Z, odgovaraju vrijednosti tangente. Kotangens je na sličan način definiran za sve brojeve osim π · k , k ∈ Z.

Osnovne funkcije trigonometrije

Sinus, kosinus, tangent i kotangens su osnovne trigonometrijske funkcije.

Obično je iz konteksta jasno s kojim argumentom trigonometrijske funkcije (ugaoni argument ili numerički argument) imamo posla.

Vratimo se na podatke na samom početku definicija i ugao alfa koji se nalazi u rasponu od 0 do 90 stepeni. Trigonometrijske definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa su u potpunosti u skladu sa geometrijskim definicijama datim omjerima strana pravokutnog trokuta. Hajde da to pokažemo.

Uzmite jediničnu kružnicu sa središtem na pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu. Zarotirajmo početnu tačku A (1, 0) za ugao do 90 stepeni i povučemo iz rezultujuće tačke A 1 (x, y) okomito na x-osu. U rezultirajućem pravokutnom trokutu ugao A 1 O H jednak je kutu rotacije α, dužina kraka O H jednaka je apscisi tačke A 1 (x, y) . Dužina kraka nasuprot uglu jednaka je ordinati tačke A 1 (x, y), a dužina hipotenuze jednaka je jedan, jer je to poluprečnik jedinične kružnice.

U skladu sa definicijom iz geometrije, sinus ugla α jednak je omjeru suprotnog kraka prema hipotenuzi.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

To znači da je definicija sinusa oštrog ugla u pravokutnom trokutu kroz omjer stranica ekvivalentna definiciji sinusa ugla rotacije α, pri čemu alfa leži u rasponu od 0 do 90 stepeni.

Slično, korespondencija definicija se može pokazati za kosinus, tangent i kotangens.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Zove se omjer suprotnog kraka i hipotenuze sinus oštrog ugla pravougaonog trougla.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Kosinus oštrog ugla pravouglog trokuta

Zove se omjer najbližeg kraka i hipotenuze kosinus oštrog ugla pravougaonog trougla.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangenta oštrog ugla pravouglog trokuta

Zove se omjer suprotne noge i susjedne noge tangenta oštrog ugla pravougaonog trougla.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangens oštrog ugla pravouglog trokuta

Omjer susjedne noge i suprotne noge se naziva kotangens oštrog ugla pravougaonog trougla.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus proizvoljnog ugla

Poziva se ordinata tačke na jediničnom krugu kojoj odgovara ugao \alpha sinus proizvoljnog ugla rotacija \alpha .

\sin \alpha=y

Kosinus proizvoljnog ugla

Apscisa tačke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara ugao \alpha se naziva kosinus proizvoljnog ugla rotacija \alpha .

\cos \alpha=x

Tangenta proizvoljnog ugla

Omjer sinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog kosinusa naziva se tangenta proizvoljnog ugla rotacija \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangens proizvoljnog ugla

Omjer kosinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog sinusa naziva se kotangens proizvoljnog ugla rotacija \alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Primjer pronalaženja proizvoljnog ugla

Ako je \alpha neki ugao AOM , gdje je M tačka na jediničnom krugu, onda

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Na primjer, ako \ugao AOM = -\frac(\pi)(4), tada: ordinata tačke M je -\frac(\sqrt(2))(2), apscisa je \frac(\sqrt(2))(2) i zato

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \lijevo (-\frac(\pi)(4) \desno)=-1.

Tabela vrijednosti sinusa kosinusa tangenta kotangensa

Vrijednosti glavnih uglova koji se često susreću date su u tabeli:

Sinus oštar ugao α pravouglog trougla je omjer suprotno kateter do hipotenuze.
Označava se na sljedeći način: sin α.

Kosinus oštar ugao α pravokutnog trougla je omjer susjednog kraka i hipotenuze.
Označava se na sljedeći način: cos α.

Tangenta oštar ugao α je omjer suprotne noge i susjedne noge.
Označava se na sljedeći način: tg α.

Kotangens oštar ugao α je omjer susjednog kraka i suprotnog.
Označava se kako slijedi: ctg α.

Sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla zavise samo od veličine ugla.

pravila:

Osnovni trigonometrijski identiteti u pravokutnom trokutu:

(α - oštar ugao naspram noge b i uz nogu a . Side sa - hipotenuza. β - drugi oštri ugao).

Kako se akutni ugao povećavasinα itg α povećanje, icos α se smanjuje.

Za bilo koji oštar ugao α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Primjer objašnjenja:

Neka je pravougli trokut ABC
AB = 6,
BC = 3,
ugao A = 30º.

Pronađite sinus ugla A i kosinus ugla B.

Odluka.

1) Prvo, nalazimo vrijednost ugla B. Ovdje je sve jednostavno: budući da je u pravokutnom trokutu zbir oštrih uglova 90º, onda je ugao B = 60º:

B = 90º - 30º = 60º.

2) Izračunajte sin A. Znamo da je sinus jednak omjeru suprotnog kraka i hipotenuze. Za ugao A, suprotni krak je strana BC. dakle:

BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Sada izračunavamo cos B. Znamo da je kosinus jednak omjeru susjednog kraka i hipotenuze. Za ugao B, susjedni krak je ista stranica BC. To znači da opet trebamo podijeliti BC na AB - odnosno izvršiti iste radnje kao pri izračunavanju sinusa kuta A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Rezultat je:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Iz ovoga slijedi da je u pravokutnom trokutu sinus jednog oštrog ugla jednak kosinsu drugog oštrog ugla - i obrnuto. Upravo to znače naše dvije formule:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Pogledajmo ponovo:

1) Neka je α = 60º. Zamjenom vrijednosti α u sinusnu formulu, dobijamo:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Neka je α = 30º. Zamjenom vrijednosti α u kosinus formulu, dobijamo:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30°.

(Za više o trigonometriji, pogledajte odjeljak Algebra)