A soma de uma progressão geométrica crescente. Progressões aritméticas e geométricas

A fórmula para o enésimo membro de uma progressão geométrica é uma coisa muito simples. Tanto no sentido como no geral. Mas há todos os tipos de problemas para a fórmula do enésimo membro - desde os mais primitivos até os mais sérios. E no processo de nosso conhecimento, definitivamente consideraremos os dois. Bem, vamos nos encontrar?)

Então, para começar, na verdade Fórmulan

Aqui está ela:

b n = b 1 · q n -1

Fórmula como fórmula, nada de sobrenatural. Parece ainda mais simples e compacto do que a fórmula semelhante para . O significado da fórmula também é simples, como uma bota de feltro.

Esta fórmula permite encontrar QUALQUER membro de uma progressão geométrica PELO SEU NÚMERO " n".

Como você pode ver, o significado é uma analogia completa com uma progressão aritmética. Conhecemos o número n - também podemos calcular o termo sob esse número. O que nós queremos. Não multiplicando sequencialmente por "q" muitas e muitas vezes. Esse é o ponto.)

Entendo que neste nível de trabalho com progressões, todas as quantidades incluídas na fórmula já devem estar claras para você, mas considero meu dever decifrar cada uma. Apenas no caso de.

Então vamos:

b 1 – primeiro membro de uma progressão geométrica;

q – ;

n- número de membro;

b n – enésimo (nº) membro de uma progressão geométrica.

Esta fórmula liga os quatro parâmetros principais de qualquer progressão geométrica - bn, b 1 , q e n. E em torno dessas quatro figuras-chave, giram todas as tarefas em progressão.

"E como é exibido?"- Ouço uma pergunta curiosa... Elementar! Olhar!

O que é igual a segundo membro da progressão? Sem problemas! Escrevemos diretamente:

b 2 = b 1 q

E o terceiro membro? Também não é um problema! Multiplicamos o segundo termo novamente emq.

Assim:

B 3 \u003d b 2 q

Lembre-se agora que o segundo termo, por sua vez, é igual a b 1 q e substitua esta expressão em nossa igualdade:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Nós temos:

B 3 = b 1 q 2

Agora vamos ler nossa entrada em russo: o terceiro termo é igual ao primeiro termo multiplicado por q em segundo grau. Você entendeu? Ainda não? Ok, mais um passo.

Qual é o quarto termo? Tudo o mesmo! Multiplicar anterior(ou seja, o terceiro termo) em q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Total:

B 4 = b 1 q 3

E novamente traduzimos para o russo: quarto termo é igual ao primeiro termo multiplicado por q em terceiro grau.

etc. Então como? Você pegou o padrão? Sim! Para qualquer termo com qualquer número, o número de fatores iguais q (ou seja, a potência do denominador) sempre será um a menos que o número do membro desejadon.

Portanto, nossa fórmula será, sem opções:

bn =b 1 · q n -1

Isso é tudo.)

Bem, vamos resolver os problemas, certo?)

Resolvendo problemas em uma fórmulanº termo de uma progressão geométrica.

Vamos começar, como de costume, com uma aplicação direta da fórmula. Aqui está um problema típico:

Sabe-se exponencialmente que b 1 = 512 e q = -1/2. Encontre o décimo termo da progressão.

Claro, esse problema pode ser resolvido sem nenhuma fórmula. Assim como uma progressão geométrica. Mas precisamos nos aquecer com a fórmula do enésimo termo, certo? Aqui estamos nos separando.

Nossos dados para aplicação da fórmula são os seguintes.

O primeiro termo é conhecido. Este é 512.

b 1 = 512.

O denominador da progressão também é conhecido: q = -1/2.

Resta apenas descobrir a que número do termo n é igual. Sem problemas! Estamos interessados ​​no décimo mandato? Aqui substituímos em Fórmula geral dez em vez de n.

E calcule cuidadosamente a aritmética:

Resposta 1

Como você pode ver, o décimo termo da progressão acabou sendo um menos. Não é à toa: o denominador da progressão é -1/2, ou seja, negativo número. E isso nos diz que os sinais de nossa progressão se alternam, sim.)

Tudo é simples aqui. E aqui está um problema semelhante, mas um pouco mais complicado em termos de cálculos.

Em progressão geométrica, sabemos que:

b 1 = 3

Encontre o décimo terceiro termo da progressão.

Tudo é o mesmo, só que desta vez o denominador da progressão - irracional. Raiz de dois. Bem, não é grande coisa. A fórmula é uma coisa universal, lida com qualquer número.

Trabalhamos diretamente de acordo com a fórmula:

A fórmula, claro, funcionou como deveria, mas... é aqui que alguns vão travar. O que fazer a seguir com a raiz? Como elevar uma raiz à décima segunda potência?

Como-como... Você precisa entender que qualquer fórmula, é claro, é uma coisa boa, mas o conhecimento de toda a matemática anterior não é cancelado! Como aumentar? Sim, lembre-se das propriedades dos graus! Vamos mudar a raiz para grau fracionário e - pela fórmula de elevar uma potência a uma potência.

Assim:

Resposta: 192

E todas as coisas.)

Qual a principal dificuldade em aplicação direta fórmulas para o enésimo termo? Sim! A principal dificuldade é trabalhar com graus! Ou seja, a exponenciação números negativos, frações, raízes, etc. estruturas semelhantes. Então quem tiver problemas com isso, um pedido urgente para repetir os graus e suas propriedades! Caso contrário, você vai desacelerar neste tópico, sim ...)

Agora vamos resolver problemas de pesquisa típicos um dos elementos da fórmula se todos os outros forem dados. Para a solução bem-sucedida de tais problemas, a receita é única e simples de horror - escreva a fórmulanº membro em visão geral! Bem no caderno ao lado da condição. E então, a partir da condição, descobrimos o que nos é dado e o que não é suficiente. E expressamos o valor desejado da fórmula. Tudo!

Por exemplo, um problema tão inofensivo.

O quinto termo de uma progressão geométrica com denominador 3 é 567. Encontre o primeiro termo dessa progressão.

Nada complicado. Trabalhamos diretamente de acordo com o feitiço.

Escrevemos a fórmula do enésimo termo!

b n = b 1 · q n -1

O que nos é dado? Primeiro, o denominador da progressão é dado: q = 3.

Além disso, nos é dado quinto mandato: b 5 = 567 .

Tudo? Não! Também nos é dado o número n! Este é um cinco: n = 5.

Espero que você já entenda o que está no registro b 5 = 567 dois parâmetros estão ocultos ao mesmo tempo - este é o quinto membro (567) e seu número (5). Em uma aula semelhante já falei sobre isso, mas acho que não é supérfluo lembrar aqui.)

Agora substituímos nossos dados na fórmula:

567 = b 1 3 5-1

Consideramos aritmética, simplificamos e obtemos um simples equação linear:

81 b 1 = 567

Resolvemos e obtemos:

b 1 = 7

Como você pode ver, não há problemas em encontrar o primeiro membro. Mas ao procurar o denominador q e números n pode haver surpresas. E você também precisa estar preparado para elas (surpresas), sim.)

Por exemplo, tal problema:

O quinto termo de uma progressão geométrica com denominador positivo é 162, e o primeiro termo dessa progressão é 2. Encontre o denominador da progressão.

Desta vez, recebemos o primeiro e o quinto membros, e somos solicitados a encontrar o denominador da progressão. Aqui começamos.

Escrevemos a fórmulanº membro!

b n = b 1 · q n -1

Nossos dados iniciais serão os seguintes:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Valor insuficiente q. Sem problemas! Vamos encontrá-lo agora.) Substituímos tudo o que sabemos na fórmula.

Nós temos:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Uma equação simples do quarto grau. Mas agora - com cuidado! No este estágio soluções, muitos alunos imediatamente extraem com alegria a raiz (do quarto grau) e recebem uma resposta q=3 .

Assim:

q4 = 81

q = 3

Mas, em geral, esta é uma resposta inacabada. Ou melhor, incompleto. Por quê? A questão é que a resposta q = -3 também se encaixa: (-3) 4 também seria 81!

Isso ocorre porque a equação de potência xn = uma sempre tem duas raízes opostas no atén . Mais e menos:

Ambos se encaixam.

Por exemplo, resolver (ou seja, segundo graus)

x2 = 9

Por alguma razão você não está surpreso ao ver dois raízes x=±3? É o mesmo aqui. E com qualquer outro até grau (quarto, sexto, décimo, etc.) será o mesmo. Detalhes - no tópico sobre

então solução correta será assim:

q 4 = 81

q= ±3

Certo, já descobrimos os sinais. Qual deles está correto - mais ou menos? Bem, lemos novamente a condição do problema em busca de informação adicional. É claro que pode não existir, mas neste problema tal informação acessível. Em nossa condição, afirma-se diretamente que uma progressão é dada com denominador positivo.

Então a resposta é óbvia:

q = 3

Tudo é simples aqui. O que você acha que aconteceria se a declaração do problema fosse assim:

O quinto termo de uma progressão geométrica é 162, e o primeiro termo dessa progressão é 2. Encontre o denominador da progressão.

Qual é a diferença? Sim! Na condição nada nenhuma menção ao denominador. Nem direta nem indiretamente. E aqui o problema já teria duas soluções!

q = 3 e q = -3

Sim Sim! E com mais e menos.) Matematicamente, esse fato significaria que existem duas progressões que se encaixam na tarefa. E para cada um - seu próprio denominador. Por diversão, pratique e anote os primeiros cinco termos de cada um.)

Agora vamos praticar a localização do número do membro. Esse é o mais difícil, sim. Mas também mais criativo.

Dada uma progressão geométrica:

3; 6; 12; 24; …

Que número é 768 nesta progressão?

O primeiro passo é o mesmo: escreva a fórmulanº membro!

b n = b 1 · q n -1

E agora, como de costume, substituímos os dados que conhecemos nele. Hum... não cabe! Onde está o primeiro membro, onde está o denominador, onde está todo o resto?!

Onde, onde... Por que precisamos de olhos? Cílios esvoaçantes? Desta vez, a progressão nos é dada diretamente na forma sequências. Podemos ver o primeiro termo? Nós vemos! Este é um triplo (b 1 = 3). E o denominador? Ainda não o vemos, mas é muito fácil contar. Se, claro, você entender.

Aqui nós consideramos. Diretamente de acordo com o significado de uma progressão geométrica: pegamos qualquer um de seus membros (exceto o primeiro) e dividimos pelo anterior.

Pelo menos assim:

q = 24/12 = 2

O que mais sabemos? Também conhecemos algum membro desta progressão, igual a 768. Sob algum número n:

b n = 768

Não sabemos seu número, mas nossa tarefa é justamente encontrá-lo.) Então, estamos procurando. Já baixamos todos os dados necessários para substituição na fórmula. Imperceptivelmente.)

Aqui substituímos:

768 = 3 2n -1

Fazemos os elementares - dividimos ambas as partes por três e reescrevemos a equação na forma usual: a incógnita à esquerda, a conhecida à direita.

Nós temos:

2 n -1 = 256

Aqui está uma equação interessante. Precisamos encontrar "n". O que é incomum? Sim, eu não discuto. Na verdade, é o mais simples. É chamado assim porque o desconhecido (em este caso este número n) fica em indicador grau.

Na fase de familiarização com uma progressão geométrica (este é o nono ano) equações exponenciais eles não ensinam você a decidir, sim... Esse é o tema das turmas do último ano. Mas não há nada terrível. Mesmo que você não saiba como essas equações são resolvidas, vamos tentar encontrar nosso n guiados pela lógica simples e bom senso.

Começamos a discutir. À esquerda temos um empate até um certo nível. Ainda não sabemos exatamente o que é esse grau, mas isso não é assustador. Mas, por outro lado, sabemos firmemente que este grau é igual a 256! Então, lembramos até que ponto o deuce nos dá 256. Lembra? Sim! NO oitavo graus!

256 = 2 8

Se você não se lembrou ou com o reconhecimento dos graus do problema, então também está tudo bem: nós apenas elevamos sucessivamente os dois ao quadrado, ao cubo, à quarta potência, à quinta e assim por diante. A seleção, de fato, mas nesse nível, é um passeio e tanto.

De uma forma ou de outra, teremos:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Então 768 é nono membro da nossa progressão. Pronto, problema resolvido.)

Resposta: 9

Que? Entediante? Cansado do elementar? Concordo. Eu também. Vamos para o próximo nível.)

Tarefas mais complexas.

E agora resolvemos os quebra-cabeças de forma mais abrupta. Não exatamente super legal, mas no qual você tem que trabalhar um pouco para chegar à resposta.

Por exemplo, assim.

Encontre o segundo termo de uma progressão geométrica se seu quarto termo for -24 e o sétimo termo for 192.

Este é um clássico do gênero. Alguns dois são conhecidos membros diferentes progressão, mas você precisa encontrar algum outro termo. Além disso, todos os membros NÃO são vizinhos. O que confunde no início, sim...

Como em , consideramos dois métodos para resolver tais problemas. A primeira forma é universal. Algébrico. Funciona perfeitamente com qualquer dado de origem. Então é por aí que vamos começar.)

Pintamos cada termo de acordo com a fórmula nº membro!

Tudo é exatamente o mesmo que com uma progressão aritmética. Só que desta vez estamos trabalhando com outro Fórmula geral. Isso é tudo.) Mas a essência é a mesma: nós pegamos e por sua vez substituímos nossos dados iniciais na fórmula do enésimo termo. Para cada membro - o seu próprio.

Para o quarto termo escrevemos:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Há. Uma equação está completa.

Para o sétimo termo escrevemos:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

No total, foram obtidas duas equações para a mesma progressão .

Montamos um sistema a partir deles:

Apesar de sua aparência formidável, o sistema é bastante simples. A maneira mais óbvia de resolver é a substituição usual. Nós expressamos b 1 da equação de cima e substituir na de baixo:

Um pouco de brincadeira com a equação inferior (reduzindo os expoentes e dividindo por -24) resulta:

q 3 = -8

A propósito, a mesma equação pode ser obtida de uma maneira mais simples! Que? Agora vou te mostrar outro segredo, mas muito bonito, poderoso e maneira útil soluções para tais sistemas. Tais sistemas, nas equações em que se situam só funciona. Pelo menos em um. chamado método de divisão de termos uma equação para outra.

Então temos um sistema:

Em ambas as equações à esquerda - trabalhar, e à direita é apenas um número. Isto é muito bom sinal.) Vamos pegar e... dividir, digamos, a equação inferior pela superior! O que significa, dividir uma equação por outra? Muito simples. Nós levamos lado esquerdo uma equação (inferior) e nós dividimos ela em lado esquerdo outra equação (superior). O lado direito é semelhante: lado direito uma equação nós dividimos no lado direito outro.

Todo o processo de divisão se parece com isso:

Agora, reduzindo tudo o que é reduzido, temos:

q 3 = -8

O que há de bom nesse método? Sim, porque no processo de tal divisão, tudo de ruim e inconveniente pode ser reduzido com segurança e permanece uma equação completamente inofensiva! Por isso é tão importante ter apenas multiplicações em pelo menos uma das equações do sistema. Não há multiplicação - não há nada para reduzir, sim ...

Em geral, esse método (como muitas outras formas não triviais de resolver sistemas) merece até uma lição à parte. Com certeza vou dar uma olhada mais de perto. Algum dia…

No entanto, não importa como você resolva o sistema, em qualquer caso, agora precisamos resolver a equação resultante:

q 3 = -8

Sem problemas: extraímos a raiz (cúbica) e pronto!

Observe que não é necessário colocar mais/menos aqui ao extrair. Temos uma raiz de grau ímpar (terceiro). E a resposta é a mesma, sim.

Assim, o denominador da progressão é encontrado. Menos dois. Multar! O processo está em andamento.)

Para o primeiro termo (digamos da equação de cima), temos:

Multar! Conhecemos o primeiro termo, conhecemos o denominador. E agora temos a oportunidade de encontrar qualquer membro da progressão. Incluindo o segundo.)

Para o segundo membro, tudo é bem simples:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Resposta: -6

Então, maneira algébrica Separamos as soluções para o problema. Complicado? Não muito, concordo. Longo e chato? Sim definitivamente. Mas às vezes você pode reduzir significativamente a quantidade de trabalho. Para isso existe maneira gráfica. Bom velho e familiar para nós por.)

Vamos desenhar o problema!

Sim! Exatamente. Novamente, descrevemos nossa progressão no eixo dos números. Não necessariamente por uma régua, não é necessário manter intervalos iguais entre os membros (que, aliás, não serão iguais, pois a progressão é geométrica!), mas simplesmente esquematicamente desenhe nossa sequência.

Eu peguei assim:

Agora olhe para a foto e pense. Quantos fatores iguais "q" compartilham quarto e sétimo membros? Isso mesmo, três!

Portanto, temos todo o direito de escrever:

-24q 3 = 192

A partir daqui agora é fácil encontrar q:

q 3 = -8

q = -2

Isso é ótimo, o denominador já está no nosso bolso. E agora olhamos para a imagem novamente: quantos denominadores estão entre segundo e quarto membros? Dois! Portanto, para registrar a relação entre esses membros, vamos levantar o denominador ao quadrado.

Aqui escrevemos:

b 2 · q 2 = -24 , Onde b 2 = -24/ q 2

Substituímos nosso denominador encontrado na expressão para b 2 , contamos e obtemos:

Resposta: -6

Como você pode ver, tudo é muito mais simples e rápido do que pelo sistema. Além disso, aqui nem precisamos contar o primeiro termo! De forma alguma.)

Aqui está uma luz de caminho tão simples e visual. Mas também tem uma séria desvantagem. Adivinhou? Sim! Só é bom para partes muito curtas de progressão. Aquelas onde as distâncias entre os membros de nosso interesse não são muito grandes. Mas em todos os outros casos já é difícil fazer um desenho, sim... Então resolvemos o problema analiticamente, através de um sistema.) E sistemas são uma coisa universal. Lidar com qualquer número.

Mais um épico:

O segundo termo da progressão geométrica é 10 a mais que o primeiro, e o terceiro termo é 30 a mais que o segundo. Encontre o denominador da progressão.

O que é legal? De jeito nenhum! Tudo o mesmo. Novamente traduzimos a condição do problema em álgebra pura.

1) Pintamos cada termo de acordo com a fórmula nº membro!

Segundo termo: b 2 = b 1 q

Terceiro termo: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Nós anotamos a relação entre os membros da condição do problema.

Lendo a condição: "O segundo termo de uma progressão geométrica é 10 a mais que o primeiro." Pare, isso é valioso!

Então escrevemos:

b 2 = b 1 +10

E traduzimos esta frase em matemática pura:

b 3 = b 2 +30

Temos duas equações. Nós os combinamos em um sistema:

O sistema parece simples. Mas há muitos índices diferentes para letras. Vamos substituir em vez do segundo e terceiro membros de sua expressão pelo primeiro membro e denominador! Em vão, ou o quê, nós os pintamos?

Nós temos:

Mas tal sistema não é mais um dom, sim... Como resolver isso? Infelizmente, o feitiço secreto universal para resolver não linear Não há sistemas em matemática e não pode haver. É fantástico! Mas a primeira coisa que deve vir à sua mente ao tentar quebrar uma noz tão dura é descobrir e nenhuma das equações do sistema se reduz a vista bonita, permitindo, por exemplo, expressar facilmente uma das variáveis ​​em função da outra?

Vamos adivinhar. A primeira equação do sistema é claramente mais simples que a segunda. Vamos torturá-lo.) Por que não tentar da primeira equação alguma coisa expressar através alguma coisa? Como queremos encontrar o denominador q, então seria mais vantajoso para nós expressar b 1 Através dos q.

Então vamos tentar fazer esse procedimento com a primeira equação, usando as boas e velhas:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Tudo! Aqui expressamos desnecessário nos a variável (b 1) através necessário(q). Sim, não é a expressão mais simples recebida. Algum tipo de fração... Mas nosso sistema é de um nível decente, sim.)

Típica. O que fazer - nós sabemos.

Nós escrevemos ODZ (necessariamente!) :

q ≠ 1

Multiplicamos tudo pelo denominador (q-1) e reduzimos todas as frações:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Dividimos tudo por dez, abrimos os colchetes, coletamos tudo à esquerda:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Resolvemos o resultado e obtemos duas raízes:

q 1 = 1

q 2 = 3

Há apenas uma resposta final: q = 3 .

Resposta: 3

Como você pode ver, a maneira de resolver a maioria dos problemas para a fórmula do enésimo membro de uma progressão geométrica é sempre a mesma: lemos atentamente condição do problema e usando a fórmula do enésimo termo traduzimos todo o informação útil em álgebra pura.

Nomeadamente:

1) Escrevemos separadamente cada membro dado no problema de acordo com a fórmulanº membro.

2) Da condição do problema traduzimos a conexão entre os membros em forma matemática. Nós compomos uma equação ou um sistema de equações.

3) Resolvemos a equação ou sistema de equações resultante, encontramos os parâmetros desconhecidos da progressão.

4) Em caso de resposta ambígua, lemos atentamente a condição do problema em busca de informações adicionais (se houver). Também verificamos a resposta recebida com as condições da ODZ (se houver).

E agora listamos os principais problemas que mais frequentemente levam a erros no processo de resolução de problemas de progressão geométrica.

1. Aritmética elementar. Operações com frações e números negativos.

2. Se pelo menos um desses três pontos for um problema, você inevitavelmente se enganará neste tópico. Infelizmente... Portanto, não seja preguiçoso e repita o que foi mencionado acima. E siga os links - vá. Às vezes ajuda.)

Fórmulas modificadas e recorrentes.

E agora vamos dar uma olhada em alguns problemas típicos de exames com uma apresentação menos familiar da condição. Sim, sim, você adivinhou! Isso é modificado e recorrente fórmulas do enésimo membro. Já encontramos tais fórmulas e trabalhamos em progressão aritmética. Tudo é parecido aqui. A essência é a mesma.

Por exemplo, tal problema do OGE:

A progressão geométrica é dada pela fórmula b n = 3 2 n . Encontre a soma do primeiro e do quarto termos.

Desta vez, a progressão nos é dada não exatamente como de costume. Algum tipo de fórmula. E daí? Esta fórmula é também uma fórmulanº membro! Todos sabemos que a fórmula do enésimo termo pode ser escrita tanto na forma geral, por meio de letras, quanto por progressão específica. Com específico primeiro termo e denominador.

No nosso caso, temos, de fato, uma fórmula de termo geral para uma progressão geométrica com os seguintes parâmetros:

b 1 = 6

q = 2

Vamos verificar?) Vamos escrever a fórmula do enésimo termo na forma geral e substituí-la b 1 e q. Nós temos:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Simplificamos, usando as propriedades de fatoração e potência, e obtemos:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Como você pode ver, tudo é justo. Mas nosso objetivo com você não é demonstrar a derivação de uma fórmula específica. Isso é verdade, digressão lírica. Puramente para compreensão.) Nosso objetivo é resolver o problema de acordo com a fórmula que nos é dada na condição. Você entendeu?) Então, estamos trabalhando diretamente com a fórmula modificada.

Contamos o primeiro termo. Substituto n=1 na fórmula geral:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Assim. A propósito, não sou muito preguiçoso e mais uma vez chamarei sua atenção para um erro típico com o cálculo do primeiro termo. NÃO olhe para a fórmula b n= 3 2n, correm imediatamente para escrever que o primeiro membro é uma troika! É um grande erro, sim...)

Nós continuamos. Substituto n=4 e considere o quarto termo:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

E, finalmente, calculamos a quantidade necessária:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Resposta: 54

Outro problema.

A progressão geométrica é dada pelas condições:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Encontre o quarto termo da progressão.

Aqui a progressão é dada pela fórmula recorrente. Bem, tudo bem.) Como trabalhar com esta fórmula - também sabemos.

Aqui estamos atuando. Passo a passo.

1) contando dois sucessivo integrante da progressão.

O primeiro termo já nos foi dado. Menos sete. Mas o próximo, segundo termo, pode ser facilmente calculado usando a fórmula recursiva. Se você entender como funciona, é claro.)

Aqui consideramos o segundo termo em famoso primeiro:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Consideramos o denominador da progressão

Também não há problema. Direto, compartilhe segundo pau em primeiro.

Nós temos:

q = -21/(-7) = 3

3) Escreva a fórmulanº membro na forma usual e considere o membro desejado.

Então, conhecemos o primeiro termo, o denominador também. Aqui escrevemos:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Resposta: -189

Como você pode ver, trabalhar com essas fórmulas para uma progressão geométrica não é essencialmente diferente de uma progressão aritmética. Só é importante entender senso comum e o significado dessas fórmulas. Bem, o significado da progressão geométrica também precisa ser entendido, sim.) E então não haverá erros estúpidos.

Bem, vamos decidir por conta própria?)

Tarefas bastante elementares, para aquecimento:

1. Dada uma progressão geométrica na qual b 1 = 243, e q = -2/3. Encontre o sexto termo da progressão.

2. O termo comum de uma progressão geométrica é dado pela fórmula b n = 5∙2 n +1 . Encontre o número do último membro de três dígitos dessa progressão.

3. A progressão geométrica é dada pelas condições:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Encontre o quinto termo da progressão.

Um pouco mais complicado:

4. Dada uma progressão geométrica:

b 1 =2048; q =-0,5

Qual é o sexto termo negativo dele?

O que parece super difícil? De jeito nenhum. A lógica e a compreensão do significado da progressão geométrica salvarão. Bem, a fórmula do enésimo termo, é claro.

5. O terceiro termo da progressão geométrica é -14 e o oitavo termo é 112. Encontre o denominador da progressão.

6. A soma do primeiro e do segundo termos de uma progressão geométrica é 75, e a soma do segundo e terceiro termos é 150. Encontre o sexto termo da progressão.

Respostas (em desordem): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Isso é quase tudo. Resta apenas aprender a contar a soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica sim descobrir progressão geométrica infinitamente decrescente e sua quantidade. Uma coisa muito interessante e inusitada, aliás! Mais sobre isso em lições posteriores.)

Vamos considerar uma série.

7 28 112 448 1792...

É absolutamente claro que o valor de qualquer um de seus elementos é exatamente quatro vezes maior que o anterior. Portanto, esta série é uma progressão.

Uma progressão geométrica é uma sequência infinita de números Característica principal que é isso próximo número obtido do anterior multiplicando por algum número específico. Isso é expresso pela fórmula a seguir.

a z +1 =a z q, onde z é o número do elemento selecionado.

Assim, z ∈ N.

O período em que uma progressão geométrica é estudada na escola é o 9º ano. Exemplos ajudarão você a entender o conceito:

0.25 0.125 0.0625...

Com base nesta fórmula, o denominador da progressão pode ser encontrado da seguinte forma:

Nem q nem b z podem ser zero. Além disso, cada um dos elementos da progressão não deve ser igual a zero.

Assim, para descobrir o próximo número da série, você precisa multiplicar o último por q.

Para especificar essa progressão, você deve especificar seu primeiro elemento e denominador. Depois disso, é possível encontrar qualquer um dos termos subsequentes e sua soma.

Variedades

Dependendo de q e a 1, essa progressão é dividida em vários tipos:

• Se a 1 e q são maiores que um, então tal sequência é uma progressão geométrica que aumenta com cada elemento seguinte. Um exemplo disso é apresentado a seguir.

Exemplo: a 1 =3, q=2 - ambos os parâmetros são maiores que um.

Então a sequência numérica pode ser escrita assim:

3 6 12 24 48 ...

• Se |q| menos de um, ou seja, a multiplicação por ele equivale à divisão, então uma progressão com condições semelhantes é uma progressão geométrica decrescente. Um exemplo disso é apresentado a seguir.

Exemplo: a 1 =6, q=1/3 - a 1 é maior que um, q é menor.

Então a sequência numérica pode ser escrita da seguinte forma:

6 2 2/3 ... - qualquer elemento mais elemento, seguindo-o, 3 vezes.

• Variável de sinal. Se q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exemplo: a 1 = -3 , q = -2 - ambos os parâmetros são menores que zero.

Então a sequência pode ser escrita assim:

3, 6, -12, 24,...

Fórmulas

Para uso conveniente de progressões geométricas, existem muitas fórmulas:

• Fórmula do membro z-ésimo. Permite calcular o elemento sob um número específico sem calcular os números anteriores.

Exemplo:q = 3, uma 1 = 4. É necessário calcular o quarto elemento da progressão.

Decisão:uma 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• A soma dos primeiros elementos cujo número é z. Permite calcular a soma de todos os elementos de uma sequência atéazinclusivo.

Desde (1-q) está no denominador, então (1 - q)≠ 0, portanto q não é igual a 1.

Nota: se q=1, então a progressão seria uma série de um número infinitamente repetido.

A soma de uma progressão geométrica, exemplos:uma 1 = 2, q= -2. Calcule S 5 .

Decisão:S 5 = 22 - cálculo por fórmula.

• Montante se |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exemplo:uma 1 = 2 , q= 0,5. Encontre a quantidade.

Decisão:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Algumas propriedades:

• propriedade característica. Se a seguinte condição realizado para qualquerz, então a série numérica dada é uma progressão geométrica:

az 2 = az -1 · umaz+1

• Além disso, o quadrado de qualquer número de uma progressão geométrica é encontrado pela soma dos quadrados de quaisquer outros dois números em uma determinada série, se eles forem equidistantes desse elemento.

az 2 = az - t 2 + az + t 2 , Ondeté a distância entre esses números.

• Elementosdiferem em quma vez.
• Os logaritmos dos elementos de progressão também formam uma progressão, mas já aritmética, ou seja, cada um deles é maior que o anterior por um determinado número.

Exemplos de alguns problemas clássicos

Para entender melhor o que é uma progressão geométrica, exemplos com uma solução para o 9º ano podem ajudar.

• Condições:uma 1 = 3, uma 3 = 48. Encontrarq.

Solução: cada elemento subsequente é maior que o anterior emq uma vez.É necessário expressar alguns elementos por meio de outros usando um denominador.

Conseqüentemente,uma 3 = q 2 · uma 1

Ao substituirq= 4

• Condições:uma 2 = 6, uma 3 = 12. Calcule S 6 .

Decisão:Para fazer isso, basta encontrar q, o primeiro elemento e substituí-lo na fórmula.

uma 3 = q· uma 2 , conseqüentemente,q= 2

a 2 = q um 1,É por isso um 1 = 3

S 6 = 189

• · uma 1 = 10, q= -2. Encontre o quarto elemento da progressão.

Solução: para isso, basta expressar o quarto elemento pelo primeiro e pelo denominador.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Exemplo de aplicação:

• O cliente do banco fez um depósito no valor de 10.000 rublos, nos termos dos quais todos os anos o cliente adicionará 6% ao valor principal. Quanto dinheiro estará na conta após 4 anos?

Solução: O valor inicial é de 10 mil rublos. Assim, um ano após o investimento, a conta terá um valor igual a 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10.000 1,06

Assim, o valor na conta após mais um ano será expresso da seguinte forma:

(10.000 1,06) 0,06 + 10.000 1,06 = 1,06 1,06 10.000

Ou seja, a cada ano o valor aumenta em 1,06 vezes. Isso significa que para encontrar a quantidade de fundos na conta após 4 anos, basta encontrar o quarto elemento da progressão, que é dado pelo primeiro elemento igual a 10 mil e o denominador igual a 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Exemplos de tarefas para calcular a soma:

Em vários problemas, uma progressão geométrica é usada. Um exemplo para encontrar a soma pode ser dado da seguinte forma:

uma 1 = 4, q= 2, calculeS5.

Solução: todos os dados necessários para o cálculo são conhecidos, basta substituí-los na fórmula.

S 5 = 124

• uma 2 = 6, uma 3 = 18. Calcule a soma dos seis primeiros elementos.

Decisão:

Geom. progressão, cada próximo elemento é q vezes maior que o anterior, ou seja, para calcular a soma, você precisa conhecer o elementouma 1 e denominadorq.

uma 2 · q = uma 3

q = 3

Da mesma forma, precisamos encontraruma 1 , sabendouma 2 eq.

uma 1 · q = uma 2

um 1 =2

S 6 = 728.

>>Matemática: Progressão geométrica

Para conveniência do leitor, esta seção segue exatamente o mesmo plano que seguimos na seção anterior.

1. Conceitos básicos.

Definição. Uma sequência numérica cujos membros são todos diferentes de 0 e cada membro, a partir do segundo, é obtido do membro anterior multiplicando-o pelo mesmo número é chamado de progressão geométrica. Nesse caso, o número 5 é chamado de denominador de uma progressão geométrica.

Assim, uma progressão geométrica é uma sequência numérica (b n) dada recursivamente pelas relações

É possível, olhando para uma sequência numérica, determinar se é uma progressão geométrica? Lata. Se você está convencido de que a razão de qualquer membro da sequência para o membro anterior é constante, então você tem uma progressão geométrica.
Exemplo 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Exemplo 2

Trata-se de uma progressão geométrica que
Exemplo 3

Trata-se de uma progressão geométrica que
Exemplo 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Esta é uma progressão geométrica onde b 1 - 8, q = 1.

Observe que esta sequência também é uma progressão aritmética (veja o Exemplo 3 do § 15).

Exemplo 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Esta é uma progressão geométrica, na qual b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Obviamente, uma progressão geométrica é uma sequência crescente se b 1 > 0, q > 1 (ver Exemplo 1), e uma sequência decrescente se b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Para indicar que a sequência (b n) é uma progressão geométrica, a seguinte notação às vezes é conveniente:

O ícone substitui a frase "progressão geométrica".
Notamos uma propriedade curiosa e ao mesmo tempo bastante óbvia de uma progressão geométrica:
Se a sequência é uma progressão geométrica, então a sequência de quadrados, i.e. é uma progressão geométrica.
Na segunda progressão geométrica, o primeiro termo é igual a a igual a q 2.
Se descartarmos todos os termos que seguem b n exponencialmente, obtemos uma progressão geométrica finita
Nos próximos parágrafos desta seção, consideraremos os mais propriedades importantes progressão geométrica.

2. Fórmula do n-ésimo termo de uma progressão geométrica.

Considere uma progressão geométrica denominador q. Nós temos:

Não é difícil adivinhar que para qualquer número n a igualdade

Esta é a fórmula para o enésimo termo de uma progressão geométrica.

Comente.

Se você leu a importante observação do parágrafo anterior e a entendeu, tente provar a fórmula (1) por indução matemática, assim como foi feito para a fórmula do enésimo termo de uma progressão aritmética.

Vamos reescrever a fórmula do enésimo termo da progressão geométrica

e introduza a notação: Obtemos y \u003d mq 2, ou, mais detalhadamente,
O argumento x está contido no expoente, então essa função é chamada de função exponencial. Isso significa que uma progressão geométrica pode ser considerada como uma função exponencial dada no conjunto N dos números naturais. Na fig. 96a mostra um gráfico da função da Fig. 966 - gráfico de funções Em ambos os casos, temos pontos isolados (com abcissas x = 1, x = 2, x = 3, etc.) situados em alguma curva (ambas as figuras mostram a mesma curva, apenas diferentemente localizadas e representadas em diferentes escalas). Essa curva é chamada de expoente. Mais sobre a função exponencial e seu gráfico serão discutidos no curso de álgebra do 11º ano.

Vamos voltar aos exemplos 1-5 do parágrafo anterior.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Esta é uma progressão geométrica, na qual b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Vamos fazer uma fórmula para o enésimo termo
2) Esta é uma progressão geométrica, na qual vamos formular o n-ésimo termo

Trata-se de uma progressão geométrica que Componha a fórmula para o enésimo termo
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Esta é uma progressão geométrica, na qual b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Vamos fazer uma fórmula para o enésimo termo
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Esta é uma progressão geométrica, em que b 1 = 2, q = -1. Componha a fórmula para o enésimo termo

Exemplo 6

Dada uma progressão geométrica

Em todos os casos, a solução é baseada na fórmula do enésimo membro de uma progressão geométrica

a) Colocando n = 6 na fórmula do enésimo termo da progressão geométrica, obtemos

b) temos

Desde 512 \u003d 2 9, obtemos n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

e) Temos

Exemplo 7

A diferença entre o sétimo e o quinto membros da progressão geométrica é 48, a soma do quinto e sexto membros da progressão também é 48. Encontre o décimo segundo membro desta progressão.

Primeira etapa. Elaboração de um modelo matemático.

As condições da tarefa podem ser resumidamente escritas da seguinte forma:

Usando a fórmula do n-ésimo membro de uma progressão geométrica, temos:
Então a segunda condição do problema (b 7 - b 5 = 48) pode ser escrita como

A terceira condição do problema (b 5 +b 6 = 48) pode ser escrita como

Como resultado, obtemos um sistema de duas equações com duas variáveis ​​b 1 e q:

que, em combinação com a condição 1) escrita acima, é o modelo matemático do problema.

Segunda fase.

Trabalhando com o modelo compilado. Igualando as partes esquerdas de ambas as equações do sistema, obtemos:

(dividimos ambos os lados da equação na expressão b 1 q 4 , que é diferente de zero).

Da equação q 2 - q - 2 = 0 encontramos q 1 = 2, q 2 = -1. Substituindo o valor q = 2 na segunda equação do sistema, obtemos
Substituindo o valor q = -1 na segunda equação do sistema, obtemos b 1 1 0 = 48; esta equação não tem soluções.

Então, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - este par é a solução para o sistema de equações compilado.

Agora podemos escrever uma progressão geométrica, sobre a qual em questão no problema: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Terceira etapa.

A resposta para a pergunta do problema. É necessário calcular b 12 . Nós temos

Resposta: b 12 = 2048.

3. A fórmula da soma dos membros de uma progressão geométrica finita.

Seja uma progressão geométrica finita

Denote por S n a soma de seus termos, ou seja,

Vamos derivar uma fórmula para encontrar essa soma.

Vamos começar com o caso mais simples, quando q = 1. Então a progressão geométrica b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn consiste em n números iguais a b 1 , ou seja. a progressão é b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . A soma desses números é nb 1 .

Vamos agora q = 1 Para encontrar S n usamos um método artificial: vamos realizar algumas transformações da expressão S n q. Nós temos:

Realizando transformações, utilizamos, primeiramente, a definição de progressão geométrica, segundo a qual (ver terceira linha de raciocínio); em segundo lugar, eles adicionaram e subtraíram por que o significado da expressão, é claro, não mudou (veja a quarta linha de raciocínio); em terceiro lugar, usamos a fórmula do n-ésimo membro de uma progressão geométrica:

Da fórmula (1) encontramos:

Esta é a fórmula para a soma de n membros de uma progressão geométrica (para o caso em que q = 1).

Exemplo 8

Dada uma progressão geométrica finita

a) a soma dos membros da progressão; b) a soma dos quadrados de seus termos.

b) Acima (veja p. 132) já notamos que se todos os membros de uma progressão geométrica forem ao quadrado, então uma progressão geométrica com o primeiro membro b 2 e o denominador q 2 será obtida. Então a soma dos seis termos da nova progressão será calculada por

Exemplo 9

Encontre o 8º termo de uma progressão geométrica para a qual

De fato, provamos o seguinte teorema.

Uma sequência numérica é uma progressão geométrica se e somente se o quadrado de cada um de seus termos, exceto o primeiro (e o último, no caso de uma sequência finita), for igual ao produto dos termos anteriores e subsequentes. (uma propriedade característica de uma progressão geométrica).

Matemática é o queas pessoas controlam a natureza e a si mesmas.

O matemático soviético, acadêmico A.N. Kolmogorov

Progressão geométrica.

Juntamente com as tarefas de progressão aritmética, tarefas relacionadas ao conceito de progressão geométrica também são comuns em testes de entrada em matemática. Para resolver esses problemas com sucesso, você precisa conhecer as propriedades de uma progressão geométrica e ter boas habilidades em usá-las.

Este artigo é dedicado à apresentação das principais propriedades de uma progressão geométrica. Ele também fornece exemplos de resolução de problemas típicos, emprestado das tarefas de testes de admissão em matemática.

Observemos preliminarmente as principais propriedades de uma progressão geométrica e recordemos as mais fórmulas importantes e declarações, associados a este conceito.

Definição. Uma sequência numérica é chamada de progressão geométrica se cada um de seus números, a partir do segundo, for igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número. O número é chamado de denominador de uma progressão geométrica.

Para uma progressão geométricaas fórmulas são válidas

, (1)

Onde . A fórmula (1) é chamada de fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, e a fórmula (2) é a principal propriedade de uma progressão geométrica: cada membro da progressão coincide com a média geométrica de seus membros vizinhos e .

Observação, que é justamente por causa dessa propriedade que a progressão em questão é chamada de "geométrica".

As fórmulas (1) e (2) acima são resumidas da seguinte forma:

, (3)

Para calcular a soma primeiro membros de uma progressão geométricaa fórmula se aplica

se nós designássemos

Onde . Como , a fórmula (6) é uma generalização da fórmula (5).

No caso em que e progressão geométricaé infinitamente decrescente. Para calcular a somade todos os membros de uma progressão geométrica infinitamente decrescente, a fórmula é usada

. (7)

Por exemplo , usando a fórmula (7), pode-se mostrar, que

Onde . Essas igualdades são obtidas pela fórmula (7) desde que , (a primeira igualdade) e , (a segunda igualdade).

Teorema. Se então

Prova. Se então ,

O teorema foi provado.

Vamos passar a considerar exemplos de resolução de problemas no tópico "Progressão geométrica".

Exemplo 1 Dado: , e . Encontrar .

Decisão. Se a fórmula (5) for aplicada, então

Responda: .

Exemplo 2 Deixe e. Encontrar .

Decisão. Como e , usamos as fórmulas (5), (6) e obtemos o sistema de equações

Se a segunda equação do sistema (9) for dividida pela primeira, então ou . A partir disso segue . Vamos considerar dois casos.

1. Se , então da primeira equação do sistema (9) temos.

2. Se , então .

Exemplo 3 Deixe , e . Encontrar .

Decisão. Segue da fórmula (2) que ou . Desde , então ou .

Por condição. No entanto, portanto . Porque e, então aqui temos um sistema de equações

Se a segunda equação do sistema for dividida pela primeira, então ou .

Desde , a equação tem uma única raiz adequada . Neste caso, a primeira equação do sistema implica .

Levando em conta a fórmula (7), obtemos.

Responda: .

Exemplo 4 Dado: e . Encontrar .

Decisão. Desde então .

Porque então ou

De acordo com a fórmula (2), temos . A este respeito, da igualdade (10) obtemos ou .

No entanto, por condição , portanto .

Exemplo 5 Sabe-se que . Encontrar .

Decisão. De acordo com o teorema, temos duas igualdades

Desde , então ou . Porque , então .

Responda: .

Exemplo 6 Dado: e . Encontrar .

Decisão. Levando em conta a fórmula (5), obtemos

Desde então . Desde , e , então .

Exemplo 7 Deixe e. Encontrar .

Decisão. Pela fórmula (1), podemos escrever

Portanto, temos ou . Sabe-se que e , portanto e .

Responda: .

Exemplo 8 Encontre o denominador de uma progressão geométrica infinita decrescente se

e .

Decisão. Da fórmula (7) segue e . A partir daqui e da condição do problema, obtemos o sistema de equações

Se a primeira equação do sistema for elevada ao quadrado, e depois divida a equação resultante pela segunda equação, então obtemos

Ou .

Responda: .

Exemplo 9 Encontre todos os valores para os quais a sequência , , é uma progressão geométrica.

Decisão. Deixe , e . De acordo com a fórmula (2), que define a principal propriedade de uma progressão geométrica, podemos escrever ou .

A partir daqui, obtemos a equação quadrática, cujas raízes são e .

Vamos verificar: se, então , e ; se , então , e .

No primeiro caso temos e , e no segundo - e .

Responda: , .

Exemplo 10resolva a equação

, (11)

onde e .

Decisão. Lado esquerdo a equação (11) é a soma de uma progressão geométrica infinita decrescente, na qual e , fornecido: e .

Da fórmula (7) segue, que . A este respeito, a equação (11) assume a forma ou . raiz adequada Equação quadráticaé um

Responda: .

Exemplo 11. P sequência de números positivosforma uma progressão aritmética, uma - progressão geométrica, o que isso tem a ver com . Encontrar .

Decisão. Como sequência aritmética, então (a principal propriedade de uma progressão aritmética). Na medida em que, então ou . Isso implica , que a progressão geométrica é. De acordo com a fórmula (2), então escrevemos isso .

Desde e , então . Nesse caso, a expressão toma a forma ou . Por condição, então da equaçãoobtemos a solução única do problema em consideração, ou seja .

Responda: .

Exemplo 12. Calcular soma

. (12)

Decisão. Multiplique os dois lados da igualdade (12) por 5 e obtenha

Se subtrairmos (12) da expressão resultante, então

ou .

Para calcular, substituímos os valores na fórmula (7) e obtemos . Desde então .

Responda: .

Os exemplos de resolução de problemas apresentados aqui serão úteis para os candidatos em preparação para Exames de admissão. Para um estudo mais profundo dos métodos de resolução de problemas, associada a uma progressão geométrica, pode ser usado guias de estudo da lista de literatura recomendada.

1. Recolha de tarefas em matemática para candidatos a universidades técnicas / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matemática para alunos do ensino médio: seções adicionais currículo escolar. – M.: Lenand/URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Curso completo matemática elementar em tarefas e exercícios. Livro 2: Sequências numéricas e progressões. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

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