Propriedades adicionais de logaritmos. Expressões logarítmicas. exemplos

O que é um logaritmo?

Atenção!
Existem adicionais
materiais na Seção Especial 555.
Para quem é muito "não muito..."
E para quem “muito…”)

O que é um logaritmo? Como resolver logaritmos? Essas questões confundem muitos graduados. Tradicionalmente, o tema dos logaritmos é considerado complexo, incompreensível e assustador. Principalmente equações com logaritmos.

Isto não é absolutamente verdade. Absolutamente! Não acredite em mim? Multar. Agora, em apenas 10 a 20 minutos você:

1. Você vai entender o que é um logaritmo.

2. Aprenda a resolver uma aula inteira equações exponenciais. Mesmo que você não tenha ouvido nada sobre eles.

3. Aprenda a calcular logaritmos simples.

Além disso, para isso você só precisará conhecer a tabuada e como elevar um número a uma potência...

Sinto que você tem dúvidas... Pois bem, marque a hora! Ir!

Primeiro, resolva esta equação mentalmente:

Se você gosta deste site...

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)

Você pode se familiarizar com funções e derivadas.

As propriedades básicas do logaritmo natural, gráfico, domínio de definição, conjunto de valores, fórmulas básicas, derivada, integral, expansão em série de potência e representação da função ln x usando números complexos.

Definição

Logaritmo naturalé a função y = Em x, o inverso do exponencial, x = e y, e é o logaritmo da base do número e: ln x = log e x.

O logaritmo natural é amplamente utilizado em matemática porque sua derivada tem a forma mais simples: (ln x)′ = 1/ x.

Baseado definições, a base do logaritmo natural é o número e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Gráfico da função y = Em x.

Gráfico do logaritmo natural (funções y = Em x) é obtido a partir do gráfico exponencial imagem espelhada em relação à linha reta y = x.

O logaritmo natural é definido para valores positivos da variável x. Aumenta monotonicamente em seu domínio de definição.

Em x → 0 o limite do logaritmo natural é menos infinito (-∞).

Como x → + ∞, o limite do logaritmo natural é mais infinito (+ ∞). Para x grande, o logaritmo aumenta lentamente. Qualquer Função liga-desliga x a com um expoente positivo a cresce mais rápido que o logaritmo.

Propriedades do logaritmo natural

Domínio de definição, conjunto de valores, extremos, aumento, diminuição

O logaritmo natural é uma função monotonicamente crescente, portanto não possui extremos. As principais propriedades do logaritmo natural são apresentadas na tabela.

Em x valores

Em 1 = 0

Fórmulas básicas para logaritmos naturais

Fórmulas seguintes da definição da função inversa:

A principal propriedade dos logaritmos e suas consequências

Fórmula de substituição de base

Qualquer logaritmo pode ser expresso em termos de logaritmos naturais usando a fórmula de substituição de base:

As provas dessas fórmulas são apresentadas na seção “Logaritmo”.

Função inversa

O inverso do logaritmo natural é o expoente.

Se então

Se então.

Derivada ln x

Derivada do logaritmo natural:
.
Derivada do logaritmo natural do módulo x:
.
Derivada de enésima ordem:
.
Derivando fórmulas >>>

Integrante

A integral é calculada por integração por partes:
.
Então,

Expressões usando números complexos

Considere a função da variável complexa z:
.
Vamos expressar a variável complexa z através do módulo R e argumento φ :
.
Usando as propriedades do logaritmo, temos:
.
Ou
.
O argumento φ não é definido exclusivamente. Se você colocar
, onde n é um número inteiro,
será o mesmo número para n diferentes.

Portanto, o logaritmo natural, como função de uma variável complexa, não é uma função de valor único.

Expansão da série de potências

Quando a expansão ocorre:

Referências:
EM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes universitários, “Lan”, 2009.

Continuamos a estudar logaritmos. Neste artigo falaremos sobre calculando logaritmos, esse processo é chamado logaritmo. Primeiro entenderemos o cálculo de logaritmos por definição. A seguir, veremos como os valores dos logaritmos são encontrados usando suas propriedades. Depois disso, nos concentraremos no cálculo de logaritmos por meio dos valores inicialmente especificados de outros logaritmos. Finalmente, vamos aprender como usar tabelas de logaritmos. Toda a teoria é fornecida com exemplos com soluções detalhadas.

Navegação na página.

Calculando logaritmos por definição

Nos casos mais simples é possível realizar com bastante rapidez e facilidade encontrando o logaritmo por definição. Vamos dar uma olhada mais de perto em como esse processo acontece.

Sua essência é representar o número b na forma a c, a partir do qual, pela definição de logaritmo, o número c é o valor do logaritmo. Ou seja, por definição, a seguinte cadeia de igualdades corresponde a encontrar o logaritmo: log a b=log a a c =c.

Portanto, calcular um logaritmo por definição se resume a encontrar um número c tal que a c = b, e o próprio número c é o valor desejado do logaritmo.

Levando em consideração as informações dos parágrafos anteriores, quando o número sob o sinal do logaritmo é dado por uma certa potência da base do logaritmo, você pode indicar imediatamente a que o logaritmo é igual - é igual ao expoente. Vamos mostrar soluções para exemplos.

Exemplo.

Encontre log 2 2 −3 e calcule também o logaritmo natural do número e 5,3.

Solução.

A definição do logaritmo permite-nos dizer imediatamente que log 2 2 −3 =−3. Na verdade, o número sob o sinal do logaritmo é igual à base 2 elevado à potência -3.

Da mesma forma, encontramos o segundo logaritmo: lne 5,3 =5,3.

Responder:

log 2 2 −3 =−3 e lne 5,3 =5,3.

Se o número b sob o sinal do logaritmo não for especificado como uma potência da base do logaritmo, será necessário observar cuidadosamente se é possível encontrar uma representação do número b na forma a c . Muitas vezes esta representação é bastante óbvia, especialmente quando o número sob o sinal do logaritmo é igual à base elevada à potência de 1, ou 2, ou 3, ...

Exemplo.

Calcule os logaritmos log 5 25 e .

Solução.

É fácil ver que 25=5 2, isso permite calcular o primeiro logaritmo: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Vamos prosseguir para o cálculo do segundo logaritmo. O número pode ser representado como uma potência de 7: (veja se necessário). Por isso, .

Vamos reescrever o terceiro logaritmo em o seguinte formulário. Agora você pode ver isso , do qual concluímos que . Portanto, pela definição de logaritmo .

Resumidamente, a solução poderia ser escrita da seguinte forma: .

Responder:

registro 5 25=2 , E .

Quando sob o sinal do logaritmo há um valor suficientemente grande número natural, então não faria mal nenhum decompô-lo em fatores primos. Muitas vezes ajuda representar esse número como alguma potência da base do logaritmo e, portanto, calcular esse logaritmo por definição.

Exemplo.

Encontre o valor do logaritmo.

Solução.

Algumas propriedades dos logaritmos permitem especificar imediatamente o valor dos logaritmos. Essas propriedades incluem a propriedade do logaritmo de um e a propriedade do logaritmo de um número igual à base: log 1 1=log a a 0 =0 e log a a=log a a 1 =1. Ou seja, quando sob o sinal do logaritmo existe um número 1 ou um número a igual à base do logaritmo, então nestes casos os logaritmos são iguais a 0 e 1, respectivamente.

Exemplo.

A que são iguais logaritmos e log10?

Solução.

Desde então, da definição de logaritmo segue .

No segundo exemplo, o número 10 sob o sinal do logaritmo coincide com sua base, portanto o logaritmo decimal de dez é igual a um, ou seja, lg10=lg10 1 =1.

Responder:

E lg10=1.

Observe que o cálculo de logaritmos por definição (que discutimos no parágrafo anterior) implica o uso do log de igualdade a a p =p, que é uma das propriedades dos logaritmos.

Na prática, quando um número sob o sinal do logaritmo e a base do logaritmo são facilmente representados como uma potência de um determinado número, é muito conveniente usar a fórmula , que corresponde a uma das propriedades dos logaritmos. Vejamos um exemplo de como encontrar um logaritmo que ilustra o uso desta fórmula.

Exemplo.

Calcule o logaritmo.

Solução.

Responder:

.

Propriedades de logaritmos não mencionadas acima também são utilizadas em cálculos, mas falaremos sobre isso nos parágrafos seguintes.

Encontrar logaritmos através de outros logaritmos conhecidos

As informações neste parágrafo dão continuidade ao tópico do uso das propriedades dos logaritmos ao calculá-los. Mas aqui a principal diferença é que as propriedades dos logaritmos são usadas para expressar o logaritmo original em termos de outro logaritmo, cujo valor é conhecido. Vamos dar um exemplo para esclarecimento. Digamos que sabemos que log 2 3≈1,584963, então podemos encontrar, por exemplo, log 2 6 fazendo uma pequena transformação usando as propriedades do logaritmo: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

No exemplo acima, bastou-nos utilizar a propriedade do logaritmo de um produto. Porém, com muito mais frequência é necessário utilizar um arsenal mais amplo de propriedades dos logaritmos para calcular o logaritmo original através dos dados.

Exemplo.

Calcule o logaritmo de 27 na base 60 se você souber que log 60 2=a e log 60 5=b.

Solução.

Então precisamos encontrar log 60 27 . É fácil ver que 27 = 3 3 , e o logaritmo original, devido à propriedade do logaritmo da potência, pode ser reescrito como 3·log 60 3 .

Agora vamos ver como expressar log 60 3 em termos de logaritmos conhecidos. A propriedade do logaritmo de um número igual à base permite-nos escrever o log da igualdade 60 60=1. Por outro lado, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Por isso, 2 log 60 2 + log 60 3 + log 60 5 = 1. Por isso, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Finalmente, calculamos o logaritmo original: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Responder:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Separadamente, vale mencionar o significado da fórmula de transição para uma nova base do logaritmo da forma . Permite passar de logaritmos com qualquer base para logaritmos com base específica, cujos valores são conhecidos ou é possível encontrá-los. Normalmente, do logaritmo original, utilizando a fórmula de transição, passam para logaritmos em uma das bases 2, e ou 10, pois para essas bases existem tabelas de logaritmos que permitem calcular seus valores com um certo grau de precisão. No próximo parágrafo mostraremos como isso é feito.

Tabelas de logaritmos e seus usos

Para cálculo aproximado de valores logarítmicos pode ser usado tabelas de logaritmos. A tabela de logaritmo de base 2, tabela de logaritmo natural e tabela de logaritmo decimal mais comumente usadas. Ao trabalhar no sistema numérico decimal, é conveniente usar uma tabela de logaritmos baseada na base dez. Com sua ajuda aprenderemos a encontrar os valores dos logaritmos.

A tabela apresentada permite encontrar os valores dos logaritmos decimais dos números de 1.000 a 9.999 (com três casas decimais) com precisão de um décimo de milésimo. Analisaremos o princípio de encontrar o valor de um logaritmo usando uma tabela de logaritmos decimais em exemplo específico– fica mais claro assim. Vamos encontrar log1.256.

Na coluna esquerda da tabela de logaritmos decimais encontramos os dois primeiros dígitos do número 1,256, ou seja, encontramos 1,2 (este número está circulado em azul para maior clareza). O terceiro dígito do número 1.256 (dígito 5) encontra-se na primeira ou última linha à esquerda da linha dupla (este número está circulado em vermelho). O quarto dígito do número original 1.256 (dígito 6) é encontrado na primeira ou última linha à direita da linha dupla (este número está circulado com uma linha verde). Agora encontramos os números nas células da tabela de logaritmos na intersecção da linha marcada e das colunas marcadas (esses números estão destacados laranja). A soma dos números marcados dá o valor desejado do logaritmo decimal com precisão de quarta casa decimal, ou seja, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

É possível, utilizando a tabela acima, encontrar os valores dos logaritmos decimais dos números que possuem mais de três dígitos após a vírgula, bem como daqueles que ultrapassam a faixa de 1 a 9,999? Sim você pode. Vamos mostrar como isso é feito com um exemplo.

Vamos calcular lg102.76332. Primeiro você precisa anotar número em forma padrão : 102,76332=1,0276332·10 2. Após isso, a mantissa deve ser arredondada para a terceira casa decimal, temos 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, enquanto o logaritmo decimal original é aproximadamente igual ao logaritmo do número resultante, ou seja, tomamos log102.76332≈lg1.028·10 2. Agora aplicamos as propriedades do logaritmo: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Por fim, encontramos o valor do logaritmo lg1,028 na tabela de logaritmos decimais lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Como resultado, todo o processo de cálculo do logaritmo fica assim: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Concluindo, é importante notar que usando uma tabela de logaritmos decimais você pode calcular o valor aproximado de qualquer logaritmo. Para isso, basta utilizar a fórmula de transição para ir aos logaritmos decimais, encontrar seus valores na tabela e realizar os demais cálculos.

Por exemplo, vamos calcular log 2 3 . De acordo com a fórmula de transição para uma nova base do logaritmo, temos . Na tabela de logaritmos decimais encontramos log3≈0,4771 e log2≈0,3010. Por isso, .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e outros. Álgebra e os primórdios da análise: Livro didático para 10ª a 11ª séries de instituições de ensino geral.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para quem ingressa em escolas técnicas).

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Vamos explicar de forma mais simples. Por exemplo, \(\log_(2)(8)\) é igual à potência à qual \(2\) deve ser elevado para obter \(8\). Disto fica claro que \(\log_(2)(8)=3\).

Argumento e base do logaritmo

Qualquer logaritmo tem a seguinte “anatomia”:

O argumento de um logaritmo geralmente é escrito em seu nível, e a base é escrita em subscrito mais próximo do sinal do logaritmo. E esta entrada é assim: “logaritmo de vinte e cinco na base cinco”.

Como calcular o logaritmo?

Para calcular o logaritmo, você precisa responder à pergunta: a que potência a base deve ser elevada para obter o argumento?

Por exemplo, calcule o logaritmo: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) A que potência \(4\) deve ser elevado para obter \(16\)? Obviamente o segundo. É por isso:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) A que potência \(\sqrt(5)\) deve ser elevado para obter \(1\)? Que poder torna qualquer número um? Zero, claro!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) A que potência \(\sqrt(7)\) deve ser elevado para obter \(\sqrt(7)\)? Em primeiro lugar, qualquer número elevado à primeira potência é igual a si mesmo.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) A que potência \(3\) deve ser elevado para obter \(\sqrt(3)\)? Sabemos que é uma potência fracionária, o que significa Raiz quadradaé a potência de \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemplo : Calcule o logaritmo \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Solução :

Responder : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Por que o logaritmo foi inventado?

Para entender isso, vamos resolver a equação: \(3^(x)=9\). Basta combinar \(x\) para fazer a equação funcionar. Claro, \(x=2\).

Agora resolva a equação: \(3^(x)=8\).A que x é igual? Essa é a questão.

Os mais espertos dirão: “X é um pouco menos que dois”. Como exatamente escrever esse número? Para responder a esta pergunta, o logaritmo foi inventado. Graças a ele, a resposta aqui pode ser escrita como \(x=\log_(3)(8)\).

Quero enfatizar que \(\log_(3)(8)\), como qualquer logaritmo é apenas um número. Sim, parece incomum, mas é curto. Porque se quiséssemos escrever na forma decimal, então ficaria assim: \(1.892789260714.....\)

Exemplo : Resolva a equação \(4^(5x-4)=10\)

Solução :

Responder : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmos decimais e naturais

Conforme afirmado na definição de logaritmo, sua base pode ser qualquer número positivo, exceto um \((a>0, a\neq1)\). E entre todos razões possíveis Existem dois que ocorrem com tanta frequência que uma notação curta especial foi inventada para logaritmos com eles:

Logaritmo natural: um logaritmo cuja base é o número de Euler \(e\) (igual a aproximadamente \(2,7182818…\)), e o logaritmo é escrito como \(\ln(a)\).

Aquilo é, \(\ln(a)\) é o mesmo que \(\log_(e)(a)\)

Logaritmo Decimal: Um logaritmo cuja base é 10 é escrito \(\lg(a)\).

Aquilo é, \(\lg(a)\) é o mesmo que \(\log_(10)(a)\), onde \(a\) é algum número.

Identidade logarítmica básica

Os logaritmos têm muitas propriedades. Um deles é chamado de “Básico identidade logarítmica" e fica assim:

Esta propriedade segue diretamente da definição. Vamos ver exatamente como surgiu essa fórmula.

Lembremos uma breve notação da definição de logaritmo:

se \(a^(b)=c\), então \(\log_(a)(c)=b\)

Ou seja, \(b\) é o mesmo que \(\log_(a)(c)\). Então podemos escrever \(\log_(a)(c)\) em vez de \(b\) na fórmula \(a^(b)=c\). Descobriu-se que \(a^(\log_(a)(c))=c\) - a principal identidade logarítmica.

Você pode encontrar outras propriedades dos logaritmos. Com a ajuda deles, você pode simplificar e calcular os valores de expressões com logaritmos, que são difíceis de calcular diretamente.

Exemplo : Encontre o valor da expressão \(36^(\log_(6)(5))\)

Solução :

Responder : \(25\)

Como escrever um número como logaritmo?

Como mencionado acima, qualquer logaritmo é apenas um número. O inverso também é verdadeiro: qualquer número pode ser escrito como logaritmo. Por exemplo, sabemos que \(\log_(2)(4)\) é igual a dois. Então você pode escrever \(\log_(2)(4)\) em vez de dois.

Mas \(\log_(3)(9)\) também é igual a \(2\), o que significa que também podemos escrever \(2=\log_(3)(9)\) . Da mesma forma com \(\log_(5)(25)\), e com \(\log_(9)(81)\), etc. Ou seja, acontece

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Assim, se precisarmos, podemos escrever dois como um logaritmo com qualquer base em qualquer lugar (seja numa equação, numa expressão ou numa inequação) - simplesmente escrevemos a base ao quadrado como um argumento.

É o mesmo com o triplo – pode ser escrito como \(\log_(2)(8)\), ou como \(\log_(3)(27)\), ou como \(\log_(4)( 64) \)... Aqui escrevemos a base do cubo como argumento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

E com quatro:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

E com menos um:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

E com um terço:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Qualquer número \(a\) pode ser representado como um logaritmo com base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemplo : Encontre o significado da expressão \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Solução :

Responder : \(1\)

Logaritmo de um número N baseado em A chamado expoente X , para o qual você precisa construir A para obter o número N

Providenciou que
,
,

Da definição de logaritmo segue que
, ou seja
- esta igualdade é a identidade logarítmica básica.

Logaritmos na base 10 são chamados de logaritmos decimais. Em vez de
escrever
.

Logaritmos na base e são chamados naturais e são designados
.

Propriedades básicas dos logaritmos.

O logaritmo de um é igual a zero para qualquer base.

O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

3) O logaritmo do quociente é igual à diferença dos logaritmos

Fator
chamado de módulo de transição dos logaritmos para a base a para logaritmos na base b .

Usando as propriedades 2 a 5, muitas vezes é possível reduzir o logaritmo de uma expressão complexa ao resultado de operações aritméticas simples sobre logaritmos.

Por exemplo,

Tais transformações de um logaritmo são chamadas logaritmos. As transformações inversas aos logaritmos são chamadas de potencialização.

Capítulo 2. Elementos de matemática superior.

1. Limites

Limite da função
é um número finito A se, como xx 0 para cada predeterminado
, existe um tal número
que assim que
, Que
.

Uma função que tem um limite difere dela por uma quantidade infinitesimal:
, onde- b.m.v., ou seja,
.

Exemplo. Considere a função
.

Ao se esforçar
, função sim tende a zero:

1.1. Teoremas básicos sobre limites.

O limite de um valor constante é igual a este valor constante

.

O limite da soma (diferença) de um número finito de funções é igual à soma (diferença) dos limites dessas funções.

O limite do produto de um número finito de funções é igual ao produto dos limites dessas funções.

O limite do quociente de duas funções é igual ao quociente dos limites dessas funções se o limite do denominador não for zero.

Limites Maravilhosos

,
, Onde

1.2. Exemplos de cálculo de limite

No entanto, nem todos os limites são calculados tão facilmente. Mais frequentemente, calcular o limite se resume a revelar uma incerteza do tipo: ou .

.

2. Derivada de uma função

Deixe-nos ter uma função
, contínuo no segmento
.

Argumento teve algum aumento
. Então a função receberá um incremento
.

Valor do argumento corresponde ao valor da função
.

Valor do argumento
corresponde ao valor da função.

Por isso, .

Vamos encontrar o limite desta razão em
. Se este limite existir, então ele é chamado de derivada da função dada.

Definição 3 Derivada de uma determinada função
por argumento é chamado de limite da razão entre o incremento de uma função e o incremento do argumento, quando o incremento do argumento tende arbitrariamente a zero.

Derivada de uma função
pode ser designado da seguinte forma:

; ; ; .

Definição 4A operação para encontrar a derivada de uma função é chamada diferenciação.

2.1. Significado mecânico de derivada.

Consideremos o movimento retilíneo de algum corpo rígido ou ponto material.

Deixe em algum momento ponto móvel
estava à distância da posição inicial
.

Depois de algum período de tempo
ela se moveu uma distância
. Atitude =- velocidade média ponto material
. Vamos encontrar o limite desta relação, levando em conta que
.

Conseqüentemente, determinar a velocidade instantânea de movimento de um ponto material se reduz a encontrar a derivada do caminho em relação ao tempo.

2.2. Valor geométrico da derivada

Vamos ter uma função definida graficamente
.

Arroz. 1. Significado geométrico da derivada

Se
, então aponte
, se moverá ao longo da curva, aproximando-se do ponto
.

Por isso
, ou seja o valor da derivada para um determinado valor do argumento numericamente igual à tangente do ângulo formado pela tangente em um determinado ponto com a direção positiva do eixo
.

2.3. Tabela de fórmulas básicas de diferenciação.

Função liga-desliga

Função exponencial

Função logarítmica

Função trigonométrica

Função trigonométrica inversa

2.4. Regras de diferenciação.

Derivada de

Derivada da soma (diferença) de funções

Derivada do produto de duas funções

Derivada do quociente de duas funções

2.5. Derivada de função complexa.

Deixe a função ser dada
tal que possa ser representado na forma

E
, onde a variável é um argumento intermediário, então

A derivada de uma função complexa é igual ao produto da derivada da função dada em relação ao argumento intermediário e a derivada do argumento intermediário em relação a x.

Exemplo 1.

Exemplo 2.

3. Função diferencial.

Deixe estar
, diferenciável em um determinado intervalo
deixa para lá no esta função tem uma derivada

,

então podemos escrever

(1),

Onde - uma quantidade infinitesimal,

Desde quando

Multiplicando todos os termos de igualdade (1) por
Nós temos:

Onde
- b.m.v. ordem superior.

Magnitude
chamado de diferencial da função
e é designado

.

3.1. Valor geométrico do diferencial.

Deixe a função ser dada
.

Figura 2. Significado geométrico de diferencial.

.

Obviamente, o diferencial da função
é igual ao incremento da ordenada da tangente em um determinado ponto.

3.2. Derivadas e diferenciais de diversas ordens.

Se lá
, Então
é chamada de primeira derivada.

A derivada da primeira derivada é chamada de derivada de segunda ordem e é escrita
.

Derivada da enésima ordem da função
é chamada de derivada de ordem (n-1) e é escrita:

.

O diferencial do diferencial de uma função é chamado de segundo diferencial ou diferencial de segunda ordem.

.

.

3.3 Resolução de problemas biológicos por diferenciação.

Tarefa 1. Estudos têm demonstrado que o crescimento de uma colônia de microrganismos obedece à lei
, Onde N – número de microrganismos (em milhares), t – tempo (dias).

b) A população da colônia aumentará ou diminuirá durante este período?

Responder. O tamanho da colônia aumentará.

Tarefa 2. A água do lago é testada periodicamente para monitorar o conteúdo de bactérias patogênicas. Através t dias após o teste, a concentração de bactérias é determinada pela proporção

.

Quando o lago terá concentração mínima de bactérias e será possível nadar nele?

Solução: Uma função atinge máximo ou mínimo quando sua derivada é zero.

,

Vamos determinar o máximo ou mínimo em 6 dias. Para fazer isso, vamos calcular a segunda derivada.

Resposta: Após 6 dias haverá uma concentração mínima de bactérias.