Expansão de uma função potência em uma série de Taylor. Expansão de Taylor

Se a função f(x) tem em algum intervalo contendo um ponto uma, derivadas de todas as ordens, então a fórmula de Taylor pode ser aplicada a ela:

Onde rn- o chamado termo residual ou o restante da série, pode ser estimado usando a fórmula de Lagrange:

, onde o número x está entre X e uma.

Se por algum valor x r n®0 em n®¥, então no limite a fórmula de Taylor para este valor se transforma em uma fórmula convergente Série de Taylor:

Então a função f(x) pode ser expandida em uma série de Taylor no ponto considerado X, E se:

1) possui derivativos de todas as ordens;

2) a série construída converge neste ponto.

No uma=0 obtemos uma série chamada perto de Maclaurin:

Exemplo 1 f(x)= 2x.

Solução. Vamos encontrar os valores da função e suas derivadas em X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2x Em 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2 = log 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Substituindo os valores obtidos das derivadas na fórmula da série de Taylor, obtemos:

O raio de convergência desta série é igual ao infinito, então esta expansão é válida para -¥<x<+¥.

Exemplo 2 X+4) para a função f(x)= e x.

Solução. Encontrando as derivadas da função e x e seus valores no ponto X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Portanto, a série de Taylor desejada da função tem a forma:

Esta decomposição também é válida para -¥<x<+¥.

Exemplo 3 . Expandir função f(x)=ln x em uma série por graus ( X- 1),

(ou seja, em uma série de Taylor na vizinhança do ponto X=1).

Solução. Encontramos as derivadas desta função.

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos a série de Taylor desejada:

Com a ajuda do teste de d'Alembert, pode-se verificar que a série converge quando

½ X- 1½<1. Действительно,

A série converge se ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 obtemos uma série alternada que satisfaz as condições do teste de Leibniz. No X=0 função não está definida. Assim, a região de convergência da série de Taylor é o intervalo semiaberto (0;2).

Vamos apresentar as expansões assim obtidas na série de Maclaurin (ou seja, em uma vizinhança do ponto X=0) para algumas funções elementares:

(2) ,

(3) ,

( a última expansão é chamada série binomial)

Exemplo 4 . Expanda a função em uma série de potências

Solução. Na decomposição (1), substituímos X no - X 2, obtemos:

Exemplo 5 . Expanda a função em uma série de Maclaurin

Solução. Nós temos

Usando a fórmula (4), podemos escrever:

substituindo em vez de X na fórmula -X, Nós temos:

A partir daqui encontramos:

Expandindo os colchetes, reorganizando os termos da série e reduzindo os termos semelhantes, obtemos

Esta série converge no intervalo

(-1;1) uma vez que é derivado de duas séries, cada uma das quais converge neste intervalo.

Comente .

As fórmulas (1)-(5) também podem ser usadas para expandir as funções correspondentes em uma série de Taylor, ou seja, para a expansão de funções em potências inteiras positivas ( Há). Para fazer isso, é necessário realizar essas transformações idênticas em uma determinada função para obter uma das funções (1) - (5), na qual, em vez de X custa k( Há) m , onde k é um número constante, m é um número inteiro positivo. Muitas vezes é conveniente mudar a variável t=Há e expanda a função resultante em relação a t na série de Maclaurin.

Este método ilustra o teorema da unicidade da expansão de uma função em uma série de potências. A essência deste teorema é que na vizinhança de um mesmo ponto não podem ser obtidas duas séries de potências diferentes que convergiriam para a mesma função, não importando como sua expansão seja realizada.

Exemplo 6 . Expanda a função em uma série de Taylor em uma vizinhança de um ponto X=3.

Solução. Este problema pode ser resolvido, como antes, usando a definição da série de Taylor, para a qual é necessário encontrar as derivadas das funções e seus valores em X=3. No entanto, será mais fácil usar a decomposição existente (5):

A série resultante converge em ou -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Exemplo 7 . Escreva uma série de Taylor em potências ( X-1) características .

Solução.

A série converge em , ou 2< x£ 5.

Na teoria das séries funcionais, a seção dedicada à expansão de uma função em uma série ocupa um lugar central.

Assim, coloca-se o problema: para uma dada função é necessário encontrar tal série de potências

que convergia em algum intervalo e sua soma era igual a
, Essa.

= ..

Essa tarefa é chamada o problema de expandir uma função em uma série de potências.

Uma condição necessária para a expansão de uma função em uma série de potênciasé a sua diferenciabilidade um número infinito de vezes - isso decorre das propriedades das séries de potências convergentes. Esta condição é satisfeita, via de regra, para funções elementares em seu domínio de definição.

Então vamos supor que a função
tem derivadas de qualquer ordem. Pode ser expandido em uma série de potências, em caso afirmativo, como encontrar essa série? A segunda parte do problema é mais fácil de resolver, então vamos começar com ela.

Vamos supor que a função
pode ser representado como a soma de uma série de potências convergindo em um intervalo contendo um ponto X 0 :

= .. (*)

Onde uma 0 ,uma 1 ,uma 2 ,...,uma P ,... – coeficientes incertos (ainda).

Vamos colocar em igualdade (*) o valor x = x 0 , então nós obtemos

.

Diferenciamos a série de potências (*) termo a termo

= ..

e colocando aqui x = x 0 , Nós temos

.

Com a próxima diferenciação, obtemos a série

= ..

assumindo x = x 0 , Nós temos
, Onde
.

Depois P-diferenciação de dobras, obtemos

Supondo na última igualdade x = x 0 , Nós temos
, Onde

Então os coeficientes são encontrados

,
,
, …,
,….,

substituindo em uma linha (*), obtemos

A série resultante é chamada perto de taylor para função
.

Assim, estabelecemos que se a função pode ser expandida em uma série de potências em potências (x - x 0 ), então essa expansão é única e a série resultante é necessariamente uma série de Taylor.

Observe que a série de Taylor pode ser obtida para qualquer função que tenha derivadas de qualquer ordem no ponto x = x 0 . Mas isso ainda não significa que um sinal de igual pode ser colocado entre a função e a série resultante, ou seja, que a soma da série é igual à função original. Em primeiro lugar, tal igualdade só pode fazer sentido na região de convergência, e a série de Taylor obtida para a função pode divergir, e em segundo lugar, se a série de Taylor converge, então sua soma pode não coincidir com a função original.

3.2. Condições suficientes para a expansão de uma função em uma série de Taylor

Vamos formular uma declaração com a ajuda de que o problema declarado será resolvido.

Se a função
em alguma vizinhança do ponto x 0 tem derivadas até (n+ 1)-ésima ordem inclusive, então nesta vizinhança temosFórmula Taylor

OndeR n (X)-termo residual da fórmula de Taylor - tem a forma (forma de Lagrange)

Onde pontoξ fica entre x e x 0 .

Observe que há uma diferença entre a série de Taylor e a fórmula de Taylor: a fórmula de Taylor é uma soma finita, ou seja, P- Número fixo.

Lembre-se que a soma da série S(x) pode ser definido como o limite da sequência funcional de somas parciais S P (x) em algum intervalo X:

.

De acordo com isso, expandir uma função em uma série de Taylor significa encontrar uma série tal que para qualquer XX

Escrevemos a fórmula de Taylor na forma em que

notar que
define o erro que obtemos, substitua a função f(x) polinomial S n (x).

Se um
, então
,Essa. a função se expande em uma série de Taylor. Inversamente, se
, então
.

Assim, provamos critério para a expansão de uma função em uma série de Taylor.

Para que em algum intervalo a funçãof(x) se expande em uma série de Taylor, é necessário e suficiente que neste intervalo
, OndeR n (x) é o resto da série de Taylor.

Com a ajuda do critério formulado, pode-se obter suficientecondições para a expansão de uma função em uma série de Taylor.

Se emalguma vizinhança do ponto x 0 os valores absolutos de todas as derivadas de uma função são limitados pelo mesmo número M≥ 0, ou seja

, to nesta vizinhança, a função se expande em uma série de Taylor.

Do exposto segue algoritmoexpansão de função f(x) em uma série de Taylor nas proximidades do ponto X 0 :

1. Encontrando funções derivadas f(x):

f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (n) (x),…

2. Calculamos o valor da função e os valores de suas derivadas no ponto X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f'”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Escrevemos formalmente a série de Taylor e encontramos a região de convergência da série de potências resultante.

4. Verificamos o cumprimento de condições suficientes, ou seja, estabelecer para que X da região de convergência, termo restante R n (x) tende a zero em
ou
.

A expansão de funções em uma série de Taylor de acordo com este algoritmo é chamada expansão de uma função em uma série de Taylor por definição ou decomposição direta.

16.1. Expansão de funções elementares em séries de Taylor e

Maclaurin

Vamos mostrar que se uma função arbitrária é definida no conjunto
, nas proximidades do ponto
tem muitas derivadas e é a soma de uma série de potências:

então você pode encontrar os coeficientes desta série.

Substitua em uma série de potências
. Então
.

Encontre a primeira derivada da função
:

No
:
.

Para a segunda derivada temos:

No
:
.

Continuando este procedimento n uma vez que obtemos:
.

Assim, temos uma série de potências da forma:

,

que é chamado perto de taylor para função
ao redor do ponto
.

Um caso especial da série de Taylor é Série Maclaurin no
:

O restante da série de Taylor (Maclaurin) é obtido descartando a série principal n os primeiros termos e é denotado como
. Então a função
pode ser escrito como uma soma n os primeiros membros da série
e o restante
:,

.

O resto geralmente
expresso em diferentes fórmulas.

Um deles está na forma de Lagrange:

, Onde
.
.

Observe que, na prática, a série de Maclaurin é usada com mais frequência. Assim, para escrever a função
na forma de uma soma de uma série de potências, é necessário:

1) encontre os coeficientes da série de Maclaurin (Taylor);

2) encontre a região de convergência da série de potências resultante;

3) provar que a série dada converge para a função
.

Teorema1 (condição necessária e suficiente para a convergência da série de Maclaurin). Seja o raio de convergência da série
. Para que esta série convirja no intervalo
funcionar
, é necessário e suficiente que a seguinte condição seja satisfeita:
dentro do intervalo especificado.

Teorema 2. Se derivadas de qualquer ordem de uma função
em algum intervalo
limitado em valor absoluto ao mesmo número M, isso é
, então nesse intervalo a função
pode ser expandido em uma série de Maclaurin.

Exemplo1 . Expanda em uma série de Taylor em torno do ponto
função.

Solução.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Área de convergência
.

Exemplo2 . Expandir função em uma série de Taylor em torno de um ponto
.

Solução:

Encontramos o valor da função e suas derivadas em
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Substitua esses valores em uma linha. Nós temos:

ou
.

Vamos encontrar a região de convergência desta série. De acordo com o teste de d'Alembert, a série converge se

.

Portanto, para qualquer esse limite é menor que 1 e, portanto, a área de convergência da série será:
.

Consideremos vários exemplos da expansão na série de Maclaurin de funções elementares básicas. Lembre-se que a série de Maclaurin:

.

converge no intervalo
funcionar
.

Observe que para expandir a função em uma série, é necessário:

a) encontre os coeficientes da série de Maclaurin para uma dada função;

b) calcular o raio de convergência para a série resultante;

c) provar que a série resultante converge para a função
.

Exemplo 3 Considere a função
.

Solução.

Vamos calcular o valor da função e suas derivadas para
.

Então os coeficientes numéricos da série têm a forma:

para qualquer um n. Substituímos os coeficientes encontrados na série de Maclaurin e obtemos:

Encontre o raio de convergência da série resultante, a saber:

.

Portanto, a série converge no intervalo
.

Esta série converge para a função para quaisquer valores , pois em qualquer intervalo
função e suas derivadas de valor absoluto são limitadas pelo número .

Exemplo4 . Considere a função
.

Solução.

:

É fácil ver que as derivadas de ordem par
, e derivadas de ordem ímpar. Substituímos os coeficientes encontrados na série de Maclaurin e obtemos a expansão:

Vamos encontrar o intervalo de convergência desta série. De acordo com d'Alembert:

para qualquer um . Portanto, a série converge no intervalo
.

Esta série converge para a função
, porque todos os seus derivados estão limitados a um.

Exemplo5 .
.

Solução.

Vamos encontrar o valor da função e suas derivadas em
:

Assim, os coeficientes desta série:
e
, Consequentemente:

Da mesma forma com a série anterior, a área de convergência
. A série converge para a função
, porque todos os seus derivados estão limitados a um.

Observe que a função
expansão ímpar e em série em potências ímpares, função
– par e expansão em série em potências pares.

Exemplo6 . Série binomial:
.

Solução.

Vamos encontrar o valor da função e suas derivadas em
:

Isto mostra que:

Substituímos esses valores dos coeficientes na série de Maclaurin e obtemos a expansão dessa função em uma série de potências:

Vamos encontrar o raio de convergência desta série:

Portanto, a série converge no intervalo
. Nos pontos limite em
e
a série pode ou não convergir dependendo do expoente
.

A série estudada converge no intervalo
funcionar
, ou seja, a soma da série
no
.

Exemplo7 . Vamos expandir a função em uma série de Maclaurin
.

Solução.

Para expandir esta função em uma série, usamos a série binomial para
. Nós temos:

Com base na propriedade das séries de potências (uma série de potências pode ser integrada na região de sua convergência), encontramos a integral das partes esquerda e direita desta série:

Encontre a área de convergência desta série:
,

ou seja, a região de convergência desta série é o intervalo
. Vamos determinar a convergência da série nas extremidades do intervalo. No

. Essa série é uma série harmônica, ou seja, diverge. No
obtemos uma série numérica com um termo comum
.

A série de Leibniz converge. Assim, a região de convergência desta série é o intervalo
.

16.2. Aplicação de séries de potências em cálculos aproximados

As séries de potências desempenham um papel extremamente importante nos cálculos aproximados. Com a ajuda deles, foram compiladas tabelas de funções trigonométricas, tabelas de logaritmos, tabelas de valores de outras funções que são utilizadas em diversas áreas do conhecimento, por exemplo, em teoria das probabilidades e estatística matemática. Além disso, a expansão de funções em uma série de potências é útil para seu estudo teórico. O principal problema ao usar séries de potências em cálculos aproximados é a questão de estimar o erro ao substituir a soma de uma série pela soma de seu primeiro n membros.

Considere dois casos:

a função é expandida em uma série alternada;

a função é expandida em uma série de sinais constantes.

Cálculo usando séries alternadas

Deixe a função
expandido em uma série de potências alternadas. Então, ao calcular esta função para um valor específico obtemos uma série numérica à qual podemos aplicar o teste de Leibniz. De acordo com este critério, se a soma de uma série for substituída pela soma do seu primeiro n membros, então o erro absoluto não excede o primeiro termo do restante desta série, ou seja:
.

Exemplo8 . Calcular
com uma precisão de 0,0001.

Solução.

Usaremos a série de Maclaurin para
, substituindo o valor do ângulo em radianos:

Se compararmos o primeiro e o segundo membros da série com uma determinada precisão, então: .

Terceiro termo de expansão:

menor que a precisão de cálculo especificada. Portanto, para calcular
basta deixar dois termos da série, i.e.

.

Nesse caminho
.

Exemplo9 . Calcular
com uma precisão de 0,001.

Solução.

Usaremos a fórmula da série binomial. Para isso escrevemos
Como:
.

Nesta expressão
,

Vamos comparar cada um dos termos da série com a precisão que é dada. Está claro que
. Portanto, para calcular
basta deixar três membros da série.

ou
.

Cálculo usando séries de sinal positivo

Exemplo10 . Calcular número com uma precisão de 0,001.

Solução.

Em uma linha para uma função
substituto
. Nós temos:

Vamos estimar o erro que surge quando a soma da série é substituída pela soma da primeira membros. Vamos escrever a desigualdade óbvia:

ou seja, 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

De acordo com a condição do problema, você precisa encontrar n tal que vale a seguinte desigualdade:
ou
.

É fácil verificar que quando n= 6:
.

Consequentemente,
.

Exemplo11 . Calcular
com uma precisão de 0,0001.

Solução.

Observe que para calcular os logaritmos, pode-se aplicar a série para a função
, mas esta série converge muito lentamente e 9999 termos teriam que ser tomados para alcançar a precisão dada! Portanto, para calcular logaritmos, como regra, uma série para a função é usada
, que converge no intervalo
.

Calcular
com esta linha. Deixar
, então .

Consequentemente,
,

Para calcular
com uma determinada precisão, tome a soma dos quatro primeiros termos:
.

O resto da fila
descartar. Vamos estimar o erro. É óbvio que

ou
.

Assim, na série que foi utilizada para o cálculo, bastou tomar apenas os quatro primeiros termos ao invés de 9999 na série para a função
.

Perguntas para autodiagnóstico

1. O que é uma série de Taylor?

2. Que tipo de série Maclaurin tinha?

3. Formule um teorema sobre a expansão de uma função em uma série de Taylor.

4. Escreva a expansão na série de Maclaurin das funções principais.

5. Indique as áreas de convergência das séries consideradas.

6. Como estimar o erro em cálculos aproximados usando séries de potências?

Se a função f(x) tem derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo o ponto a, então a fórmula de Taylor pode ser aplicada a ela:
,
Onde rn- o chamado termo residual ou o restante da série, pode ser estimado usando a fórmula de Lagrange:
, onde o número x está entre x e a.

f(x)=

No ponto x 0 =
Número de elementos de linha 3 4 5 6 7
Use a expansão de funções elementares e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Regras de entrada de função:

Se por algum valor X rn→0 em n→∞, então no limite a fórmula de Taylor se transforma para este valor no convergente Série de Taylor:
,
Assim, a função f(x) pode ser expandida em uma série de Taylor no ponto considerado x se:
1) possui derivativos de todas as ordens;
2) a série construída converge neste ponto.

Para a = 0 obtemos uma série chamada perto de Maclaurin:
,
Expansão das funções mais simples (elementares) da série Maclaurin:
funções exponenciais
, R=∞
Funções trigonométricas
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
A função actgx não se expande em potências de x, porque ctg0=∞
Funções hiperbólicas


Funções logarítmicas
, -1
Série binomial
.

Exemplo 1. Expanda a função em uma série de potências f(x)= 2x.
Solução. Vamos encontrar os valores da função e suas derivadas em X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f""(x) = 2x Em 2 2, f""( 0) = 2 0 log 2 2 = log 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Substituindo os valores obtidos das derivadas na fórmula da série de Taylor, obtemos:

O raio de convergência desta série é igual ao infinito, então esta expansão é válida para -∞<x<+∞.

Exemplo #2. Escreva uma série de Taylor em potências ( X+4) para a função f(x)= e x.
Solução. Encontrando as derivadas da função e x e seus valores no ponto X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Portanto, a série de Taylor desejada da função tem a forma:

Esta expansão também é válida para -∞<x<+∞.

Exemplo #3. Expandir função f(x)=ln x em uma série por graus ( X- 1),
(ou seja, em uma série de Taylor na vizinhança do ponto X=1).
Solução. Encontramos as derivadas desta função.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1) n-1 (n-1)!
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos a série de Taylor desejada:

Com a ajuda do teste de d'Alembert, pode-se verificar que a série converge em ½x-1½<1 . Действительно,

A série converge se ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 obtemos uma série alternada que satisfaz as condições do teste de Leibniz. Para x=0 a função não está definida. Assim, a região de convergência da série de Taylor é o intervalo semiaberto (0;2).

Exemplo #4. Expanda a função em uma série de potências.
Solução. Na decomposição (1) substituímos x por -x 2, obtemos:
, -∞

Exemplo número 5. Expanda a função em uma série de Maclaurin.
Solução. Nós temos
Usando a fórmula (4), podemos escrever:

substituindo em vez de x na fórmula -x, temos:

A partir daqui encontramos: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Expandindo os colchetes, reorganizando os termos da série e reduzindo os termos semelhantes, obtemos
. Esta série converge no intervalo (-1;1) porque é obtida a partir de duas séries, cada uma das quais converge neste intervalo.

Comente .
As fórmulas (1)-(5) também podem ser usadas para expandir as funções correspondentes em uma série de Taylor, ou seja, para a expansão de funções em potências inteiras positivas ( Há). Para fazer isso, é necessário realizar essas transformações idênticas em uma determinada função para obter uma das funções (1) - (5), na qual, em vez de X custa k( Há) m , onde k é um número constante, m é um número inteiro positivo. Muitas vezes é conveniente mudar a variável t=Há e expanda a função resultante em relação a t na série de Maclaurin.

Este método é baseado no teorema da unicidade da expansão de uma função em uma série de potências. A essência deste teorema é que na vizinhança de um mesmo ponto não podem ser obtidas duas séries de potências diferentes que convergiriam para a mesma função, não importando como sua expansão seja realizada.

Exemplo nº 5a. Expanda a função em uma série de Maclaurin, indique a área de convergência.
Solução. Primeiro encontramos 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
ao elementar:

A fração 3/(1-3x) pode ser vista como a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente com denominador 3x se |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

com região de convergência |x|< 1/3.

Exemplo número 6. Expanda a função em uma série de Taylor na vizinhança do ponto x = 3.
Solução. Este problema pode ser resolvido, como antes, usando a definição da série de Taylor, para a qual é necessário encontrar as derivadas das funções e seus valores em X=3. No entanto, será mais fácil usar a decomposição existente (5):
=
A série resultante converge em ou -3

Exemplo número 7. Escreva uma série de Taylor em potências (x -1) da função ln(x+2) .
Solução.


A série converge em , ou -2< x < 5.

Exemplo número 8. Expanda a função f(x)=sin(πx/4) em uma série de Taylor em torno do ponto x =2.
Solução. Vamos fazer a substituição t=x-2:

Usando a expansão (3), na qual substituímos π / 4 t por x, obtemos:

A série resultante converge para a função dada em -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Nesse caminho,
, (-∞

Cálculos aproximados usando séries de potências

As séries de potências são amplamente utilizadas em cálculos aproximados. Com a ajuda deles, com uma determinada precisão, você pode calcular os valores de raízes, funções trigonométricas, logaritmos de números, integrais definidas. As séries também são usadas na integração de equações diferenciais.
Considere a expansão da função em uma série de potências:

Para calcular o valor aproximado de uma função em um determinado ponto X, pertencente à região de convergência da série indicada, a primeira n membros ( né um número finito), e os termos restantes são descartados:

Para estimar o erro do valor aproximado obtido, é necessário estimar o resíduo descartado r n (x) . Para isso, são utilizados os seguintes métodos:

• se a série resultante for de caracteres alternados, a seguinte propriedade será usada: para uma série alternada que satisfaça as condições de Leibniz, o valor absoluto do restante da série não excede o primeiro termo descartado.
• se a série dada é de sinal constante, então a série composta pelos termos descartados é comparada com uma progressão geométrica infinitamente decrescente.
• no caso geral, para estimar o restante da série de Taylor, você pode usar a fórmula de Lagrange: a x ).

Exemplo 1. Calcule ln(3) para dentro de 0,01.
Solução. Vamos usar a decomposição , onde x=1/2 (veja o exemplo 5 no tópico anterior):

Vamos verificar se podemos descartar o resto após os três primeiros termos da expansão, para isso avaliamos usando a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente:

Então podemos descartar esse resto e obter

Exemplo #2. Calcule para o 0,0001 mais próximo.
Solução. Vamos usar a série binomial. Como 5 3 é o cubo inteiro mais próximo de 130, é aconselhável representar o número 130 como 130=5 3 +5.



uma vez que o quarto termo da série de alternância de sinal obtida que satisfaz o teste de Leibniz já é menor que a precisão exigida:
, então ele e os termos que o seguem podem ser descartados.
Muitas integrais definidas ou impróprias praticamente necessárias não podem ser calculadas usando a fórmula de Newton-Leibniz, porque sua aplicação está associada a encontrar uma primitiva, muitas vezes não tendo uma expressão em funções elementares. Acontece também que encontrar uma antiderivada é possível, mas desnecessariamente trabalhoso. No entanto, se o integrando for expandido em uma série de potências e os limites de integração pertencerem ao intervalo de convergência dessa série, é possível um cálculo aproximado da integral com uma precisão predeterminada.

Exemplo #3. Calcule a integral ∫ 0 1 4 sen (x) x com uma precisão de 10 -5 .
Solução. A integral indefinida correspondente não pode ser expressa em funções elementares, ou seja, é uma "integral impossível". A fórmula de Newton-Leibniz não pode ser aplicada aqui. Vamos calcular a integral aproximadamente.
Dividindo termo por termo a série para o pecado x no x, Nós temos:

Integrando esta série termo a termo (isso é possível, pois os limites de integração pertencem ao intervalo de convergência desta série), obtemos:

Uma vez que a série resultante satisfaz as condições de Leibniz e basta tomar a soma dos dois primeiros termos para obter o valor desejado com uma dada precisão.
Assim, encontramos
.

Exemplo #4. Calcule a integral ∫ 0 1 4 e x 2 com uma precisão de 0,001.
Solução.
. Vamos verificar se podemos descartar o resto após o segundo termo da série resultante.
0,0001<0.001. Следовательно, .