O que significa encontrar o menor valor de uma função. Os maiores e menores valores de uma função em um segmento

O processo de encontrar os menores e maiores valores de uma função em um segmento lembra um voo fascinante em torno de um objeto (gráfico de função) em um helicóptero com disparo de um canhão de longo alcance em determinados pontos e escolha desses pontos muito pontos especiais para tiros de controle. Os pontos são selecionados de uma certa maneira e de acordo com certas regras. Por quais regras? Falaremos sobre isso mais adiante.

Se a função y = f(x) é contínua no intervalo [ uma, b] , então atinge este segmento ao menos e valores mais altos . Isso pode acontecer tanto em pontos extremos ou nas extremidades do segmento. Portanto, para encontrar ao menos e os maiores valores da função , contínua no segmento [ uma, b] , você precisa calcular seus valores em todos Pontos críticos e nas extremidades do segmento e, em seguida, escolha o menor e o maior deles.

Suponha, por exemplo, que seja necessário definir valor mais alto funções f(x) no segmento [ uma, b] . Para fazer isso, encontre todos os seus pontos críticos sobre [ uma, b] .

ponto crítico é chamado de ponto em que função definida, e ela derivadoé zero ou não existe. Então você deve calcular os valores da função em pontos críticos. E, por fim, deve-se comparar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do segmento ( f(uma) e f(b)). O maior desses números será o maior valor da função no intervalo [uma, b] .

O problema de encontrar os menores valores da função .

Estamos procurando os menores e maiores valores da função juntos

Exemplo 1. Encontre os menores e maiores valores de uma função no segmento [-1, 2] .

Solução. Encontramos a derivada desta função. Iguale a derivada a zero () e obtenha dois pontos críticos: e . Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um determinado segmento, basta calcular seus valores nas extremidades do segmento e no ponto , pois o ponto não pertence ao segmento [-1, 2] . Esses valores de função são os seguintes: , , . Segue que menor valor de função(marcado em vermelho no gráfico abaixo), igual a -7, é alcançado na extremidade direita do segmento - no ponto , e o melhor(também vermelho no gráfico), é igual a 9, - no ponto crítico .

Se a função é contínua em um determinado intervalo e esse intervalo não é um segmento (mas é, por exemplo, um intervalo; a diferença entre um intervalo e um segmento: os pontos de fronteira do intervalo não estão incluídos no intervalo, mas o pontos de limite do segmento estão incluídos no segmento), então entre os valores da função pode não haver o menor e o maior. Assim, por exemplo, a função representada na figura abaixo é contínua em ]-∞, +∞[ e não possui o maior valor.

No entanto, para qualquer intervalo (fechado, aberto ou infinito), vale a seguinte propriedade de funções contínuas.

Exemplo 4. Encontre os menores e maiores valores de uma função no segmento [-1, 3] .

Solução. Encontramos a derivada desta função como a derivada do quociente:

.

Igualamos a derivada a zero, o que nos dá um ponto crítico: . Pertence ao intervalo [-1, 3] . Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um determinado segmento, encontramos seus valores nas extremidades do segmento e no ponto crítico encontrado:

Vamos comparar esses valores. Conclusão: igual a -5/13, no ponto e o maior valor igual a 1 no ponto .

Continuamos a procurar os menores e maiores valores da função juntos

Há professores que, no tópico de encontrar os menores e maiores valores de uma função, não dão aos alunos para resolver exemplos mais complicados do que os que acabamos de considerar, ou seja, aqueles em que a função é um polinômio ou uma fração, cujo numerador e denominador são polinômios. Mas não nos limitaremos a tais exemplos, pois entre os professores há amantes de fazer os alunos pensarem por completo (tabela de derivadas). Portanto, o logaritmo e a função trigonométrica serão usados.

Exemplo 6. Encontre os menores e maiores valores de uma função no segmento .

Solução. Encontramos a derivada desta função como derivado do produto :

Igualamos a derivada a zero, o que dá um ponto crítico: . Pertence ao segmento. Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um determinado segmento, encontramos seus valores nas extremidades do segmento e no ponto crítico encontrado:

O resultado de todas as ações: função atinge o menor valor , igual a 0, em um ponto e em um ponto e o maior valor igual a e², no ponto.

Exemplo 7. Encontre os menores e maiores valores de uma função no segmento .

Solução. Encontramos a derivada desta função:

Igualando a derivada a zero:

O único ponto crítico pertence ao segmento. Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um determinado segmento, encontramos seus valores nas extremidades do segmento e no ponto crítico encontrado:

Conclusão: a função atinge seu valor mínimo, igual a , no ponto e o maior valor, igual a , no ponto .

Em problemas extremos aplicados, encontrar os menores (maiores) valores da função, via de regra, é reduzido a encontrar o mínimo (máximo). Mas não são os mínimos ou máximos em si que têm maior interesse prático, mas os valores do argumento em que são alcançados. Ao resolver problemas aplicados, surge uma dificuldade adicional - a compilação de funções que descrevem o fenômeno ou processo em consideração.

Exemplo 8 Deve ser estanhado um tanque com capacidade para 4, em forma de paralelepípedo com base quadrada e aberto na parte superior. Quais devem ser as dimensões do tanque para cobri-lo com a menor quantidade de material?

Solução. Deixar x- lado da base h- altura do tanque, S- sua superfície sem cobertura, V- seu volume. A área de superfície do tanque é expressa pela fórmula , ou seja, é uma função de duas variáveis. Para expressar S como função de uma variável, usamos o fato de que , de onde . Substituindo a expressão encontrada h na fórmula de S:

Vamos examinar esta função para um extremo. É definido e diferenciável em todos os lugares em ]0, +∞[ , e

.

Igualamos a derivada a zero () e encontramos o ponto crítico. Além disso, em , a derivada não existe, mas esse valor não está incluído no domínio de definição e, portanto, não pode ser um ponto extremo. Então, - o único ponto crítico. Vamos verificar a presença de um extremo usando o segundo sinal suficiente. Vamos encontrar a segunda derivada. Quando a segunda derivada for maior que zero (). Isso significa que quando a função atinge um mínimo . Porque isso mínimo - o único extremo desta função, é o seu menor valor. Portanto, o lado da base do tanque deve ser igual a 2 m e sua altura.

Exemplo 9 Do parágrafo UMA, localizado na linha férrea, até o ponto A PARTIR DE, a uma distância dele eu, as mercadorias devem ser transportadas. O custo de transporte de uma unidade de peso por unidade de distância por via férrea é igual a , e por rodovia é igual a . Até que ponto M linhas estrada de ferro uma rodovia deve ser construída para que o transporte de mercadorias MAS dentro A PARTIR DE foi o mais econômico AB ferrovia é considerada reta)?

Vamos ver como explorar uma função usando um gráfico. Acontece que olhando para o gráfico, você pode descobrir tudo o que nos interessa, a saber:

• escopo da função
• intervalo de funções
• função zeros
• períodos de aumento e diminuição
• pontos altos e baixos
• o maior e o menor valor da função no segmento.

Vamos esclarecer a terminologia:

Abscissaé a coordenada horizontal do ponto.
Ordenar- coordenada vertical.
abscissa- o eixo horizontal, mais frequentemente chamado de eixo.
Eixo Y - eixo vertical, ou eixo .

Argumentoé uma variável independente da qual dependem os valores da função. Na maioria das vezes indicado.
Em outras palavras, nós mesmos escolhemos , substituímos na fórmula da função e obtemos .

Domínio funções - o conjunto daqueles (e somente aqueles) valores do argumento para o qual a função existe.
Denotado: ou .

Em nossa figura, o domínio da função é um segmento. É neste segmento que se desenha o gráfico da função. Só aqui determinada função existe.

Faixa de funçõesé o conjunto de valores que a variável assume. Em nossa figura, este é um segmento - do menor ao maior valor.

Zeros de função- pontos onde o valor da função é igual a zero, ou seja . Em nossa figura, esses são os pontos e .

Os valores da função são positivos Onde . Em nossa figura, esses são os intervalos e .
Os valores da função são negativos Onde . Temos esse intervalo (ou intervalo) de até.

Os conceitos mais importantes - função crescente e decrescente em algum conjunto. Como um conjunto, você pode pegar um segmento, um intervalo, uma união de intervalos ou a reta numérica inteira.

Função aumenta

Ou seja, quanto mais , mais , ou seja, o gráfico vai para a direita e para cima.

Função diminui no conjunto se para qualquer e pertencendo ao conjunto a desigualdade implica a desigualdade .

Para uma função decrescente maior valor corresponde ao valor inferior. O gráfico vai para a direita e para baixo.

Em nossa figura, a função aumenta no intervalo e diminui nos intervalos e .

Vamos definir o que é pontos de máximo e mínimo da função.

Ponto máximo- este é um ponto interno do domínio de definição, tal que o valor da função nele é maior do que em todos os pontos suficientemente próximos a ele.
Em outras palavras, o ponto máximo é tal ponto, o valor da função em que mais do que nas vizinhas. Esta é uma "colina" local no gráfico.

Em nossa figura - o ponto máximo.

Ponto baixo- um ponto interno do domínio de definição, tal que o valor da função nele seja menor do que em todos os pontos suficientemente próximos a ele.
Ou seja, o ponto mínimo é tal que o valor da função nele é menor do que nas vizinhas. No gráfico, este é um “buraco” local.

Em nossa figura - o ponto mínimo.

O ponto é o limite. Não é um ponto interior do domínio de definição e, portanto, não se enquadra na definição de ponto máximo. Afinal, ela não tem vizinhos à esquerda. Da mesma forma, não pode haver ponto mínimo em nosso gráfico.

Os pontos máximo e mínimo são chamados coletivamente pontos extremos da função. No nosso caso, isso é e .

Mas e se você precisar encontrar, por exemplo, função mínima no corte? NO este caso responda: . Porque função mínimaé o seu valor no ponto mínimo.

Da mesma forma, o máximo de nossa função é . É alcançado no ponto .

Podemos dizer que os extremos da função são iguais a e .

Às vezes em tarefas você precisa encontrar os maiores e menores valores da função em um determinado segmento. Eles não coincidem necessariamente com os extremos.

No nosso caso menor valor de função no intervalo é igual e coincide com o mínimo da função. Mas seu maior valor neste segmento é igual a . Ele é alcançado na extremidade esquerda do segmento.

Em qualquer caso, os maiores e menores valores de uma função contínua em um segmento são alcançados nos pontos extremos ou nas extremidades do segmento.

Muitas vezes, em física e matemática, é necessário encontrar o menor valor de uma função. Como fazer isso, vamos agora dizer.

Como encontrar o menor valor de uma função: instrução

1. Para calcular o menor valor de uma função contínua em um determinado intervalo, você precisa seguir este algoritmo:
2. Encontre a derivada de uma função.
3. Encontre em um determinado segmento os pontos em que a derivada é igual a zero, bem como todos os pontos críticos. Então descubra os valores da função nesses pontos, ou seja, resolva a equação onde x é igual a zero. Descubra qual dos valores é o menor.
4. Descubra qual valor a função tem nas extremidades. Determine o menor valor da função nesses pontos.
5. Compare os dados recebidos com o menor valor. O menor dos números recebidos será o menor valor da função.

Observe que se a função no intervalo não tiver pontos menores, o que significa que neste segmento ela aumenta ou diminui. Portanto, o menor valor deve ser calculado nos segmentos finitos da função.

Em todos os outros casos, o valor da função é calculado de acordo com o algoritmo especificado. Em cada etapa do algoritmo, você precisará resolver um problema simples equação linear com uma raiz. Resolva a equação usando o desenho para evitar erros.

Como encontrar o menor valor de uma função em um segmento semiaberto? Em meio aberto ou período aberto função, o menor valor deve ser encontrado como segue. Nas extremidades do valor da função, calcule o limite unilateral da função. Em outras palavras, resolva uma equação na qual os pontos de tendência são dados pelos valores a+0 e b+0, onde aeb são os nomes dos pontos críticos.

Agora você sabe como encontrar o menor valor de uma função. O principal é fazer todos os cálculos corretamente, com precisão e sem erros.

Neste artigo vou falar sobre algoritmo para encontrar o maior e o menor valor função, pontos mínimo e máximo.

Da teoria, definitivamente precisaremos tabela de derivativos e regras de diferenciação. Está tudo neste quadro:

Algoritmo para encontrar os maiores e menores valores.

Eu acho mais fácil explicar exemplo específico. Considerar:

Exemplo: Encontre o maior valor da função y=x^5+20x^3–65x no segmento [–4;0].

Passo 1. Tomamos a derivada.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Passo 2 Encontrar pontos extremos.

ponto extremo nomeamos tais pontos em que a função atinge seu valor máximo ou mínimo.

Para encontrar os pontos extremos, é necessário igualar a derivada da função a zero (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Agora resolvemos esta equação biquadrática e as raízes encontradas são nossos pontos extremos.

Eu resolvo essas equações substituindo t = x^2, então 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Reduza a equação por 5, temos: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + quadrado(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - quadrado(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Fazemos a substituição inversa x^2 = t:

X_(1 e 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 e 4) = ±sqrt(-13) (excluímos, sob a raiz não pode ser números negativos(a menos, é claro, que estamos falando de números complexos)

Total: x_(1) = 1 e x_(2) = -1 - estes são nossos pontos extremos.

etapa 3 Determine o maior e o menor valor.

Método de substituição.

Na condição, nos foi dado o segmento [b][–4;0]. O ponto x=1 não está incluído neste segmento. Então não consideramos. Mas além do ponto x=-1, também precisamos considerar as bordas esquerda e direita do nosso segmento, ou seja, os pontos -4 e 0. Para fazer isso, substituímos todos esses três pontos na função original. Observe que o original é aquele dado na condição (y=x^5+20x^3–65x), alguns começam a substituir na derivada...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Isso significa que o valor máximo da função é [b]44 e é atingido nos pontos [b]-1, que é chamado de ponto máximo da função no segmento [-4; 0].

Decidimos e obtivemos uma resposta, estamos ótimos, pode relaxar. Mas pare! Você não acha que contar y(-4) é de alguma forma muito complicado? Em condições de tempo limitado, é melhor usar outro método, eu chamo assim:

Através de intervalos de constância.

Essas lacunas são encontradas para a derivada da função, ou seja, para nossa equação biquadrática.

Eu faço da seguinte forma. Eu desenho uma linha direcional. Eu defino os pontos: -4, -1, 0, 1. Apesar do fato de 1 não estar incluído no segmento fornecido, ainda deve ser observado para determinar corretamente os intervalos de constância. Vamos pegar um número muitas vezes maior que 1, digamos 100, substituí-lo mentalmente em nossa equação biquadrática 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Mesmo sem contar nada, fica óbvio que no ponto 100 a função tem sinal de mais. Isso significa que para intervalos de 1 a 100 tem um sinal de mais. Ao passar por 1 (vamos da direita para a esquerda), a função mudará de sinal para menos. Ao passar pelo ponto 0, a função manterá seu sinal, pois este é apenas o limite do segmento, e não a raiz da equação. Ao passar por -1, a função mudará novamente o sinal para mais.

Da teoria, sabemos que onde está a derivada da função (e desenhamos isso para ela) muda o sinal de mais para menos (ponto -1 no nosso caso) função atinge seu máximo local (y(-1)=44 conforme calculado anteriormente) neste segmento (isso é logicamente muito claro, a função parou de aumentar, pois atingiu seu máximo e começou a diminuir).

Assim, onde a derivada da função muda o sinal de menos para mais, alcançou mínimo local de uma função. Sim, sim, também descobrimos que o ponto mínimo local é 1, e y(1) é valor mínimo funções em um segmento, digamos de -1 a +∞. Observe que este é apenas um MÍNIMO LOCAL, ou seja, um mínimo em um determinado segmento. Como a função mínima real (global) chegará a algum lugar lá, em -∞.

Na minha opinião, o primeiro método é mais simples teoricamente, e o segundo é mais simples em termos de operações aritméticas, mas muito mais difícil em termos de teoria. Afinal, às vezes há casos em que a função não muda de sinal ao passar pela raiz da equação e, de fato, você pode se confundir com esses máximos e mínimos locais e globais, embora tenha que dominá-lo bem de qualquer maneira se planejar para entrar em uma universidade técnica (e por que mais fazer o exame de perfil e resolver essa tarefa). Mas a prática, e somente a prática, ensinará como resolver esses problemas de uma vez por todas. E você pode treinar em nosso site. Aqui .

Se você tiver alguma dúvida, ou algo não estiver claro, não deixe de perguntar. Terei o maior prazer em respondê-lo e fazer alterações, adições ao artigo. Lembre-se que estamos fazendo este site juntos!

Seja a função $z=f(x,y)$ definida e contínua em algum domínio fechado limitado $D$. Seja a função dada ter derivadas parciais finitas de primeira ordem nesta região (com a possível exceção de um número finito de pontos). Para encontrar os maiores e menores valores de uma função de duas variáveis ​​em uma determinada região fechada, são necessários três passos de um algoritmo simples.

Algoritmo para encontrar os maiores e menores valores da função $z=f(x,y)$ no domínio fechado $D$.

1. Encontre os pontos críticos da função $z=f(x,y)$ que pertencem à região $D$. Calcular valores de função em pontos críticos.
2. Investigue o comportamento da função $z=f(x,y)$ na fronteira da região $D$ encontrando os pontos de valores máximos e mínimos possíveis. Calcule os valores da função nos pontos obtidos.
3. Dos valores da função obtidos nos dois parágrafos anteriores, escolha o maior e o menor.

O que são pontos críticos? aparecer esconder

Debaixo Pontos críticos implicam pontos em que ambas as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero (ou seja, $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ e $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) ou pelo menos uma derivada parcial não existe.

Freqüentemente, os pontos em que as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero são chamados pontos estacionários. Assim, os pontos estacionários são um subconjunto de pontos críticos.

Exemplo 1

Encontre os valores máximo e mínimo da função $z=x^2+2xy-y^2-4x$ na região fechada delimitada pelas linhas $x=3$, $y=0$ e $y=x +1$.

Seguiremos o anterior, mas primeiro trataremos do desenho de uma determinada área, que denotaremos pela letra $D$. Nos é dado equações de três retas, que limitam esta área. A reta $x=3$ passa pelo ponto $(3;0)$ paralelo ao eixo y (eixo Oy). A reta $y=0$ é a equação do eixo das abcissas (eixo Ox). Bem, para construir uma reta $y=x+1$, vamos encontrar dois pontos pelos quais traçamos essa reta. Você pode, é claro, substituir alguns valores arbitrários em vez de $x$. Por exemplo, substituindo $x=10$, obtemos: $y=x+1=10+1=11$. Encontramos o ponto $(10;11)$ na reta $y=x+1$. No entanto, é melhor encontrar os pontos onde a linha $y=x+1$ cruza com as linhas $x=3$ e $y=0$. Por que é melhor? Porque deitaremos dois pássaros com uma pedra: obteremos dois pontos para construir a linha reta $y=x+1$ e ao mesmo tempo descobrir em que pontos essa linha cruza outras linhas que limitam o dado área. A linha $y=x+1$ intercepta a linha $x=3$ no ponto $(3;4)$, e a linha $y=0$ - no ponto $(-1;0)$. Para não confundir o curso da solução com explicações auxiliares, colocarei em nota a questão da obtenção desses dois pontos.

Como foram obtidos os pontos $(3;4)$ e $(-1;0)$? aparecer esconder

Vamos começar do ponto de intersecção das linhas $y=x+1$ e $x=3$. As coordenadas do ponto desejado pertencem à primeira e à segunda linha; portanto, para encontrar coordenadas desconhecidas, você precisa resolver o sistema de equações:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

A solução de tal sistema é trivial: substituindo $x=3$ na primeira equação teremos: $y=3+1=4$. O ponto $(3;4)$ é o ponto de interseção desejado das linhas $y=x+1$ e $x=3$.

Agora vamos encontrar o ponto de intersecção das linhas $y=x+1$ e $y=0$. Novamente, compomos e resolvemos o sistema de equações:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Substituindo $y=0$ na primeira equação, obtemos: $0=x+1$, $x=-1$. O ponto $(-1;0)$ é o ponto de interseção desejado das linhas $y=x+1$ e $y=0$ (eixo das abcissas).

Tudo está pronto para construir um desenho que ficará assim:

A questão da nota parece óbvia, porque tudo pode ser visto da figura. No entanto, vale lembrar que o desenho não pode servir de prova. A figura é apenas uma ilustração para maior clareza.

Nossa área foi definida usando as equações das linhas que a limitam. É óbvio que essas linhas definem um triângulo, não é? Ou não é muito óbvio? Ou talvez tenhamos uma área diferente, delimitada pelas mesmas linhas:

Claro, a condição diz que a área está fechada, então a imagem mostrada está errada. Mas para evitar tais ambiguidades, é melhor definir as regiões por desigualdades. Estamos interessados ​​na parte do avião localizada sob a linha $y=x+1$? Ok, então $y ≤ x+1$. Nossa área deve estar localizada acima da linha $y=0$? Ótimo, então $y ≥ 0$. A propósito, as duas últimas desigualdades são facilmente combinadas em uma: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Essas desigualdades definem o domínio $D$ e o definem de forma única, sem ambiguidades. Mas como isso nos ajuda na pergunta do início da nota de rodapé? Também ajudará :) Precisamos verificar se o ponto $M_1(1;1)$ pertence à região $D$. Vamos substituir $x=1$ e $y=1$ no sistema de desigualdades que definem esta região. Se ambas as desigualdades forem satisfeitas, então o ponto está dentro da região. Se pelo menos uma das desigualdades não for satisfeita, então o ponto não pertence à região. Então:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(alinhado) \right.$$

Ambas as desigualdades são verdadeiras. O ponto $M_1(1;1)$ pertence à região $D$.

Agora é a vez de investigar o comportamento da função na fronteira do domínio, ou seja, Vá para. Vamos começar com a linha reta $y=0$.

A reta $y=0$ (eixo das abcissas) limita a região $D$ sob a condição $-1 ≤ x ≤ 3$. Substituir $y=0$ em determinada função$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. A função de substituição resultante de uma variável $x$ será denotada como $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Agora para a função $f_1(x)$ precisamos encontrar os maiores e menores valores no intervalo $-1 ≤ x ≤ 3$. Encontre a derivada desta função e iguale-a a zero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

O valor $x=2$ pertence ao segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, então também adicionamos $M_2(2;0)$ à lista de pontos. Além disso, calculamos os valores da função $z$ nas extremidades do segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, ou seja, nos pontos $M_3(-1;0)$ e $M_4(3;0)$. A propósito, se o ponto $M_2$ não pertencesse ao segmento em consideração, é claro que não haveria necessidade de calcular o valor da função $z$ nele.

Então, vamos calcular os valores da função $z$ nos pontos $M_2$, $M_3$, $M_4$. Você pode, é claro, substituir as coordenadas desses pontos na expressão original $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Por exemplo, para o ponto $M_2$ temos:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

No entanto, os cálculos podem ser um pouco simplificados. Para isso, vale lembrar que no segmento $M_3M_4$ temos $z(x,y)=f_1(x)$. Vou explicar em detalhes:

\begin(alinhado) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(alinhado)

Obviamente, geralmente não há necessidade de entradas tão detalhadas e, no futuro, começaremos a escrever todos os cálculos de maneira mais curta:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Agora vamos voltar para a linha reta $x=3$. Esta linha limita o domínio $D$ sob a condição $0 ≤ y ≤ 4$. Substitua $x=3$ na função dada $z$. Como resultado dessa substituição, obtemos a função $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Para a função $f_2(y)$, você precisa encontrar os maiores e menores valores no segmento $0 ≤ y ≤ 4$. Encontre a derivada desta função e iguale-a a zero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

O valor $y=3$ pertence ao intervalo $0 ≤ y ≤ 4$, então adicionamos $M_5(3;3)$ aos pontos encontrados anteriormente. Além disso, é necessário calcular o valor da função $z$ nos pontos nas extremidades do segmento $0 ≤ y ≤ 4$, ou seja, nos pontos $M_4(3;0)$ e $M_6(3;4)$. No ponto $M_4(3;0)$ já calculamos o valor de $z$. Vamos calcular o valor da função $z$ nos pontos $M_5$ e $M_6$. Deixe-me lembrá-lo que no segmento $M_4M_6$ temos $z(x,y)=f_2(y)$, portanto:

\begin(alinhado) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(alinhado)

E, finalmente, considere o último limite de $D$, ou seja, linha $y=x+1$. Esta linha limita a região $D$ sob a condição $-1 ≤ x ≤ 3$. Substituindo $y=x+1$ na função $z$, teremos:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Mais uma vez temos uma função de uma variável $x$. E, novamente, você precisa encontrar os maiores e menores valores dessa função no segmento $-1 ≤ x ≤ 3$. Encontre a derivada da função $f_(3)(x)$ e iguale-a a zero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

O valor $x=1$ pertence ao intervalo $-1 ≤ x ≤ 3$. Se $x=1$, então $y=x+1=2$. Vamos adicionar $M_7(1;2)$ à lista de pontos e descobrir qual é o valor da função $z$ neste ponto. Os pontos nas extremidades do segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, ou seja, pontos $M_3(-1;0)$ e $M_6(3;4)$ foram considerados anteriormente, já encontramos o valor da função neles.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

A segunda etapa da solução está concluída. Temos sete valores:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Vamos recorrer. Escolhendo os maiores e menores valores desses números que foram obtidos no terceiro parágrafo, teremos:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

O problema está resolvido, resta apenas escrever a resposta.

Responda: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Exemplo #2

Encontre os maiores e menores valores da função $z=x^2+y^2-12x+16y$ na região $x^2+y^2 ≤ 25$.

Vamos construir um desenho primeiro. A equação $x^2+y^2=25$ (esta é a linha de fronteira da área dada) define um círculo com um centro na origem (ou seja, no ponto $(0;0)$) e um raio de 5. A desigualdade $x^2 +y^2 ≤ 25$ satisfaz todos os pontos dentro e sobre o círculo mencionado.

Nós vamos agir. Vamos encontrar derivadas parciais e descobrir os pontos críticos.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Não há pontos em que as derivadas parciais encontradas não existam. Vamos descobrir em que pontos ambas as derivadas parciais são simultaneamente iguais a zero, ou seja, encontrar pontos estacionários.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(alinhado) \right.$$

Conseguimos um ponto estacionário $(6;-8)$. No entanto, o ponto encontrado não pertence à região $D$. Isso é fácil de mostrar sem recorrer ao desenho. Vamos verificar se a desigualdade $x^2+y^2 ≤ 25$, que define nosso domínio $D$, é válida. Se $x=6$, $y=-8$, então $x^2+y^2=36+64=100$, ou seja, a desigualdade $x^2+y^2 ≤ 25$ não é satisfeita. Conclusão: o ponto $(6;-8)$ não pertence à região $D$.

Assim, não há pontos críticos dentro de $D$. Vamos seguir em frente, para. Precisamos investigar o comportamento da função na fronteira da área dada, ou seja, no círculo $x^2+y^2=25$. Você pode, é claro, expressar $y$ em termos de $x$, e então substituir a expressão resultante em nossa função $z$. Da equação do círculo obtemos: $y=\sqrt(25-x^2)$ ou $y=-\sqrt(25-x^2)$. Substituindo, por exemplo, $y=\sqrt(25-x^2)$ na função dada, teremos:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

A outra solução será completamente idêntica ao estudo do comportamento da função na fronteira da região no exemplo anterior nº 1. No entanto, parece-me mais razoável nesta situação aplicar o método de Lagrange. Estamos interessados ​​apenas na primeira parte deste método. Após aplicar a primeira parte do método de Lagrange, obteremos pontos nos quais e examinaremos a função $z$ para os valores mínimo e máximo.

Compomos a função de Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Encontramos as derivadas parciais da função de Lagrange e compomos o sistema de equações correspondente:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (alinhado) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(alinhado) \ direita. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( alinhado)\right.$$

Para resolver este sistema, vamos indicar imediatamente que $\lambda\neq -1$. Por que $\lambda\neq -1$? Vamos tentar substituir $\lambda=-1$ na primeira equação:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

A contradição resultante $0=6$ diz que o valor $\lambda=-1$ é inválido. Saída: $\lambda\neq -1$. Vamos expressar $x$ e $y$ em termos de $\lambda$:

\begin(alinhado) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(alinhado)

Acredito que fica óbvio aqui porque estipulamos especificamente a condição $\lambda\neq -1$. Isso foi feito para encaixar a expressão $1+\lambda$ nos denominadores sem interferência. Ou seja, para ter certeza de que o denominador é $1+\lambda\neq 0$.

Vamos substituir as expressões obtidas para $x$ e $y$ na terceira equação do sistema, i.e. em $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Segue da igualdade obtida que $1+\lambda=2$ ou $1+\lambda=-2$. Assim, temos dois valores do parâmetro $\lambda$, a saber: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Assim, obtemos dois pares de valores $x$ e $y$:

\begin(alinhado) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(alinhado)

Então, temos dois pontos de um possível extremo condicional, ou seja, $M_1(3;-4)$ e $M_2(-3;4)$. Encontre os valores da função $z$ nos pontos $M_1$ e $M_2$:

\begin(alinhado) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(alinhado)

Devemos escolher os maiores e menores valores daqueles que obtivemos na primeira e segunda etapas. Mas neste caso, a escolha é pequena :)

$$z_(min)=-75; \; z_(máx.)=125. $$

Responda: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.