Bezpośrednie i odwrotna proporcjonalność

Jeżeli t to czas marszu (w godzinach), s to przebyta odległość (w kilometrach), a porusza się on jednostajnie z prędkością 4 km/h, to zależność między tymi wielkościami można wyrazić wzorem s = 4t. Ponieważ każda wartość t odpowiada unikalnej wartości s, możemy powiedzieć, że funkcja jest podana za pomocą wzoru s = 4t. Nazywa się to bezpośrednią proporcjonalnością i jest zdefiniowane w następujący sposób.

Definicja. Proporcjonalność bezpośrednia to funkcja, którą można określić za pomocą wzoru y \u003d kx, gdzie k jest niezerową liczbą rzeczywistą.

Nazwa funkcji y \u003d k x wynika z faktu, że we wzorze y \u003d kx znajdują się zmienne x i y, które mogą być wartościami ilości. A jeśli stosunek dwóch wartości jest równy jakiejś liczbie innej niż zero, nazywa się je wprost proporcjonalne . W naszym przypadku = k (k≠0). Ten numer nazywa się współczynnik proporcjonalności.

Funkcja y \u003d k x jest modelem matematycznym wielu rzeczywistych sytuacji rozważanych już w kurs podstawowy matematyka. Jedna z nich została opisana powyżej. Inny przykład: jeśli w jednym opakowaniu znajdują się 2 kg mąki, a x takich opakowań jest kupowanych, wówczas całą masę zakupionej mąki (oznaczamy ją przez y) można przedstawić jako formułę y \u003d 2x, tj. zależność między liczbą opakowań a całkowitą masą zakupionej mąki jest wprost proporcjonalna do współczynnika k=2.

Przypomnij sobie niektóre właściwości bezpośredniej proporcjonalności, które są badane w szkolnym kursie matematyki.

1. Dziedziną funkcji y \u003d k x i dziedziną jej wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.

2. Wykres bezpośredniej proporcjonalności jest linią prostą przechodzącą przez początek. Dlatego do skonstruowania wykresu o bezpośredniej proporcjonalności wystarczy znaleźć tylko jeden punkt, który do niego należy i nie pokrywa się z początkiem, a następnie poprowadzić linię prostą przez ten punkt i początek.

Na przykład, aby wykreślić funkcję y = 2x, wystarczy mieć punkt o współrzędnych (1, 2), a następnie poprowadzić przez niego linię prostą i początek (rys. 7).

3. Dla k > 0 funkcja y = kx rośnie w całej dziedzinie definicji; widelec< 0 - убывает на всей области определения.

4. Jeśli funkcja f jest wprost proporcjonalnością i (x 1, y 1), (x 2, y 2) - pary odpowiednich wartości zmiennych x i y oraz x 2 ≠ 0 to.

Rzeczywiście, jeśli funkcja f jest bezpośrednią proporcjonalnością, można ją podać wzorem y \u003d kx, a następnie y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2. Ponieważ przy x 2 ≠0 i k≠0, to y 2 ≠0. Dlatego i oznacza .

Jeżeli wartości zmiennych x i y są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, to udowodnioną właściwość bezpośredniej proporcjonalności można sformułować w następujący sposób: przy kilkukrotnym wzroście (spadku) wartości zmiennej x odpowiednia wartość zmiennej y wzrasta (spada) o tę samą kwotę.

Ta właściwość jest nieodłączna tylko w bezpośredniej proporcjonalności i może być używana do rozwiązywania problemów tekstowych, w których brane są pod uwagę wielkości wprost proporcjonalne.

Zadanie 1. W ciągu 8 godzin tokarz wykonał 16 części. Ile godzin zajmie tokarzowi wyprodukowanie 48 części, jeśli będzie pracował z taką samą wydajnością?

Rozwiązanie. Problem dotyczy ilości - czasu tokarza, ilości wykonanych przez niego części oraz wydajności (czyli ilości części wyprodukowanych przez tokarza w ciągu 1 godziny), przy czym ta ostatnia wartość jest stała, a pozostałe dwie biorą różne znaczenia. Ponadto liczba wykonanych części i czas pracy są wprost proporcjonalne, ponieważ ich stosunek jest równy pewnej liczbie, która nie jest równa zeru, a mianowicie liczbie części wykonanych przez tokarza w ciągu 1 godziny. wykonanych części oznaczono literą y, czas pracy to x, a wydajność - k, wtedy otrzymujemy, że = k lub y = kx, czyli matematycznym modelem sytuacji przedstawionej w zadaniu jest bezpośrednia proporcjonalność.

Problem można rozwiązać na dwa sposoby arytmetyczne:

1 droga: 2 droga:

1) 16:8 = 2 (dzieci) 1) 48:16 = 3 (razy)

2) 48:2 = 24(godz.) 2) 8-3 = 24(godz.)

Rozwiązując problem w pierwszy sposób, najpierw znaleźliśmy współczynnik proporcjonalności k, który jest równy 2, a następnie, wiedząc, że y \u003d 2x, znaleźliśmy wartość x, pod warunkiem, że y \u003d 48.

Rozwiązując problem w drugi sposób, wykorzystaliśmy właściwość bezpośredniej proporcjonalności: ile razy zwiększa się liczba części wykonanych przez tokarza, czas ich wytwarzania wzrasta o tę samą ilość.

Przejdźmy teraz do rozważenia funkcji zwanej odwrotną proporcjonalnością.

Jeżeli t to czas ruchu pieszego (w godzinach), v to jego prędkość (w km/h) i przebył 12 km, to zależność między tymi wartościami można wyrazić wzorem v∙t = 20 lub v = .

Ponieważ każda wartość t (t ≠ 0) odpowiada pojedynczej wartości prędkości v, możemy powiedzieć, że funkcja jest podana za pomocą wzoru v = . Nazywa się to odwrotną proporcjonalnością i jest zdefiniowane w następujący sposób.

Definicja. Odwrotna proporcjonalność to funkcja, którą można określić za pomocą wzoru y \u003d, gdzie k jest niezerową liczbą rzeczywistą.

Nazwa tej funkcji wzięła się stąd, że y= istnieją zmienne x i y, które mogą być wartościami wielkości. A jeśli iloczyn dwóch wielkości jest równy jakiejś liczbie innej niż zero, to nazywa się je odwrotnie proporcjonalnymi. W naszym przypadku xy = k(k ≠ 0). Ta liczba k nazywana jest współczynnikiem proporcjonalności.

Funkcjonować y= jest matematycznym modelem wielu rzeczywistych sytuacji rozważanych już na początkowym toku matematyki. Jedna z nich została opisana przed definicją odwrotnej proporcjonalności. Inny przykład: jeśli kupiłeś 12 kg mąki i umieściłeś je w l: puszkach o wadze y kg każda, to zależność między tymi ilościami można przedstawić jako x-y= 12, tj. jest odwrotnie proporcjonalna do współczynnika k=12.

Przypomnijmy niektóre własności odwrotnej proporcjonalności, znane z kurs szkolny matematyka.

1. Zakres funkcji y= a jego zakres x jest zbiorem niezerowych liczb rzeczywistych.

2. Wykres odwrotnej proporcjonalności to hiperbola.

3. Dla k > 0 gałęzie hiperboli znajdują się w 1. i 3. ćwiartce, a funkcja y= maleje na całej domenie x (rys. 8).

Ryż. 8 Rys.9

Kiedy k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y= rośnie w całej dziedzinie x (ryc. 9).

4. Jeśli funkcja f jest odwrotnie proporcjonalna, a (x 1, y 1), (x 2, y 2) są parami odpowiednich wartości zmiennych x i y, to.

Rzeczywiście, jeśli funkcja f jest odwrotnie proporcjonalna, to można ją podać wzorem y= ,i wtedy . Ponieważ x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, to

Jeżeli wartości zmiennych x i y są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, to tę właściwość odwrotnej proporcjonalności można sformułować w następujący sposób: przy kilkukrotnym wzroście (spadku) wartości zmiennej x odpowiednia wartość zmiennej y maleje (rośnie) o tę samą kwotę.

Ta właściwość jest nieodłączna tylko w odwrotnej proporcjonalności i może być używana do rozwiązywania zadań tekstowych, w których brane są pod uwagę wielkości odwrotnie proporcjonalne.

Zadanie 2. Rowerzysta poruszający się z prędkością 10 km/h pokonał dystans z punktu A do punktu B w 6 godzin.

Rozwiązanie. Problem uwzględnia następujące wielkości: prędkość rowerzysty, czas poruszania się i odległość od A do B, przy czym ta ostatnia wartość jest stała, a dwie pozostałe przyjmują różne wartości. Ponadto prędkość i czas ruchu są odwrotnie proporcjonalne, ponieważ ich iloczyn jest równy pewnej liczbie, a mianowicie przebytej odległości. Jeśli czas ruchu rowerzysty jest oznaczony literą y, prędkość wynosi x, a odległość AB to k, to otrzymujemy xy \u003d k lub y \u003d, tj. matematycznym modelem sytuacji przedstawionej w zadaniu jest odwrócona proporcjonalność.

Możesz rozwiązać problem na dwa sposoby:

1 droga: 2 droga:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (razy)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(godz.)

Rozwiązując problem w pierwszy sposób, najpierw znaleźliśmy współczynnik proporcjonalności k, który jest równy 60, a następnie, wiedząc, że y \u003d, znaleźliśmy wartość y, pod warunkiem, że x \u003d 20.

Rozwiązując problem w drugi sposób, wykorzystaliśmy właściwość odwrotnej proporcjonalności: ile razy prędkość ruchu wzrasta, czas przebycia tej samej odległości zmniejsza się o tę samą wartość.

Zwróć uwagę, że podczas rozwiązywania specyficzne zadania przy ilościach odwrotnie proporcjonalnych lub wprost proporcjonalnych pewne ograniczenia są nakładane na x i y, w szczególności można je rozpatrywać nie na całym zbiorze liczb rzeczywistych, ale na jego podzbiorach.

Problem 3. Lena kupiła x ołówków, a Katia kupiła 2 razy więcej. Oznacz liczbę ołówków kupionych przez Katię jako y, wyraź y jako x i wykreśl ustalony wykres korespondencji, pod warunkiem, że x ≤ 5. Czy to pasuje do funkcji? Jaka jest jego domena definicji i zakresu wartości?

Rozwiązanie. Katya kupiła u = 2 ołówki. Wykreślając funkcję y=2x należy wziąć pod uwagę, że zmienna x oznacza liczbę ołówków i x≤5, co oznacza, że ​​może przyjmować tylko wartości 0, 1, 2, 3, 4, 5. To będzie domena tej funkcji. Aby uzyskać zasięg tej funkcji, należy pomnożyć każdą wartość x z dziedziny definicji przez 2, czyli będzie to zestaw (0, 2, 4, 6, 8, 10). Dlatego wykres funkcji y \u003d 2x z dziedziną definicji (0, 1, 2, 3, 4, 5) będzie zbiorem punktów pokazanym na rysunku 10. Wszystkie te punkty należą do linii y \u003d 2x.

Przykład

Współczynnik proporcjonalności

Nazywa się stały stosunek proporcjonalnych wielkości współczynnik proporcjonalności. Współczynnik proporcjonalności pokazuje, ile jednostek jednej wielkości przypada na jednostkę innej.

Proporcjonalność bezpośrednia

Proporcjonalność bezpośrednia- zależność funkcjonalna, w której pewna wielkość zależy od innej wielkości w taki sposób, że ich stosunek pozostaje stały. Innymi słowy, te zmienne się zmieniają proporcjonalnie, w równych częściach, to znaczy, jeśli argument zmienił się dwukrotnie w dowolnym kierunku, to funkcja zmienia się również dwukrotnie w tym samym kierunku.

Matematycznie bezpośrednia proporcjonalność jest zapisana jako formuła:

f(x) = ax,a = const

Odwrotna proporcjonalność

Odwrotna proporcja- jest to zależność funkcjonalna, w której wzrost wartości niezależnej (argumentu) powoduje proporcjonalny spadek wartości zależnej (funkcji).

Matematycznie odwrotna proporcjonalność jest zapisana jako formuła:

Właściwości funkcji:

Źródła

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Dzisiaj przyjrzymy się, jakie wielkości nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi, jak wygląda wykres odwrotnej proporcjonalności i jak to wszystko może Ci się przydać nie tylko na lekcjach matematyki, ale także poza murami szkoły.

Takie różne proporcje

Proporcjonalność wymień dwie wielkości, które są od siebie zależne.

Zależność może być bezpośrednia i odwrotna. Dlatego związek między wielkościami opisuje proporcjonalność bezpośrednią i odwrotną.

Proporcjonalność bezpośrednia- jest to taki związek między dwiema wielkościami, w którym wzrost lub spadek jednej z nich prowadzi do wzrostu lub spadku drugiej. Tych. ich nastawienie się nie zmienia.

Na przykład im więcej wysiłku włożysz w przygotowanie do egzaminów, tym wyższe będą Twoje oceny. Albo im więcej rzeczy zabierzesz ze sobą na wędrówkę, tym trudniej będzie nosić plecak. Tych. ilość wysiłku włożonego w przygotowanie do egzaminów jest wprost proporcjonalna do otrzymanych ocen. A ilość rzeczy spakowanych w plecaku jest wprost proporcjonalna do jego wagi.

Odwrotna proporcjonalność- to jest zależność funkcjonalna, przy której kilkukrotny spadek lub wzrost wartości niezależnej (nazywa się to argumentem) powoduje proporcjonalny (tj. o tę samą kwotę) wzrost lub spadek wartości zależnej (nazywa się to funkcją).

Zilustrować prosty przykład. Chcesz kupić jabłka na targu. Jabłka na ladzie i ilość pieniędzy w twoim portfelu są ze sobą odwrotnie proporcjonalne. Tych. im więcej kupisz jabłek, tym mniej pieniędzy Ci zostanie.

Funkcja i jej wykres

Odwrotną funkcję proporcjonalności można opisać jako y = k/x. W którym x≠ 0 i k≠ 0.

Ta funkcja ma następujące właściwości:

1. Jego domeną definicji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem x = 0. D(tak): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Zakres obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem tak= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nie ma wartości maksymalnych ani minimalnych.
4. Jest dziwny, a jego wykres jest symetryczny względem pochodzenia.
5. Nieokresowe.
6. Jego wykres nie przecina osi współrzędnych.
7. Nie ma zer.
8. Jeśli k> 0 (czyli argument rośnie), funkcja zmniejsza się proporcjonalnie na każdym ze swoich przedziałów. Jeśli k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Wraz ze wzrostem argumentu ( k> 0) wartości ujemne funkcji znajdują się w przedziale (-∞; 0), a wartości dodatnie w przedziale (0; +∞). Kiedy argument maleje ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Wykres funkcji odwrotnej proporcjonalności nazywa się hiperbolą. Przedstawione w następujący sposób:

Odwrotne problemy proporcjonalne

Aby było to jaśniejsze, spójrzmy na kilka zadań. Nie są one zbyt skomplikowane, a ich rozwiązanie pomoże Ci zobrazować, czym jest odwrotna proporcja i jak ta wiedza może być przydatna w Twoim codziennym życiu.

Zadanie numer 1. Samochód porusza się z prędkością 60 km/h. Dotarcie do celu zajęło mu 6 godzin. Ile czasu zajmie mu pokonanie tego samego dystansu, jeśli porusza się z podwójną prędkością?

Możemy zacząć od wypisania wzoru opisującego zależność czasu, odległości i prędkości: t = S/V. Zgadzam się, to bardzo przypomina nam funkcję odwrotnej proporcjonalności. A wskazuje, że czas, jaki samochód spędza na drodze, i prędkość, z jaką się porusza, są odwrotnie proporcjonalne.

Aby to zweryfikować, znajdźmy V 2, które według warunków jest 2 razy wyższe: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Następnie obliczamy odległość ze wzoru S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Teraz nie jest trudno znaleźć czas t 2, który jest od nas wymagany w zależności od stanu problemu: t 2 = 360/120 = 3 godziny.

Jak widać, czas podróży i prędkość są rzeczywiście odwrotnie proporcjonalne: przy prędkości 2 razy większej niż pierwotna samochód spędzi na drodze 2 razy mniej czasu.

Rozwiązanie tego problemu można również zapisać proporcjonalnie. Dlaczego tworzymy taki diagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Strzałki wskazują odwrotną zależność. Sugerują również, że podczas sporządzania proporcji należy odwrócić prawą stronę rekordu: 60/120 \u003d x / 6. Gdzie otrzymujemy x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 godziny.

Zadanie nr 2. Warsztat zatrudnia 6 pracowników, którzy radzą sobie z zadanym nakładem pracy w ciągu 4 godzin. Jeśli liczba pracowników zmniejszy się o połowę, ile czasu zajmie pozostałym pracownikom wykonanie tej samej pracy?

Warunki zadania zapisujemy w formularzu schemat wizualny:

↓ 6 pracowników - 4 godziny

↓ 3 pracowników - x h

Zapiszmy to jako proporcję: 6/3 = x/4. I otrzymujemy x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 godzin. Jeśli jest 2 razy mniej pracowników, reszta poświęci 2 razy więcej czasu na wykonanie całej pracy.

Zadanie nr 3. Do basenu prowadzą dwie rury. Przez jedną rurę woda wchodzi z prędkością 2 l / s i wypełnia basen w 45 minut. Inną rurą basen zostanie napełniony w 75 minut. Jak szybko woda dostaje się do basenu przez tę rurę?

Na początek sprowadzimy wszystkie podane nam wielkości zgodnie ze stanem problemu do tych samych jednostek miary. Aby to zrobić, wyrażamy szybkość napełniania basenu w litrach na minutę: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Ponieważ wynika to z tego, że basen jest napełniany wolniej przez drugą rurę, oznacza to, że prędkość dopływu wody jest mniejsza. Na twarzy odwrotnej proporcji. Wyraźmy nieznaną nam prędkość w postaci x i sporządźmy następujący schemat:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

A potem zrobimy proporcję: 120 / x \u003d 75/45, skąd x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

W zadaniu szybkość napełniania basenu wyrażona jest w litrach na sekundę, sprowadźmy naszą odpowiedź do tej samej postaci: 72/60 = 1,2 l/s.

Zadanie nr 4. Wizytówki drukowane są w małej prywatnej drukarni. Pracownik drukarni pracuje z prędkością 42 wizytówek na godzinę i pracuje w pełnym wymiarze godzin - 8 godzin. Gdyby pracował szybciej i drukował 48 wizytówek na godzinę, o ile wcześniej mógłby wrócić do domu?

Idziemy w sprawdzony sposób i sporządzamy schemat zgodnie ze stanem problemu, oznaczając żądaną wartość jako x:

↓ 42 wizytówki/h – 8 h

↓ 48 wizytówek/h – xh

Przed nami relacja odwrotnie proporcjonalna: ile razy więcej wizytówek pracownik drukarni drukuje na godzinę, tyle samo czasu zajmie mu wykonanie tej samej pracy. Wiedząc o tym, możemy ustawić proporcje:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 godzin.

Tak więc, po wykonaniu pracy w 7 godzin, pracownik drukarni mógł wrócić do domu godzinę wcześniej.

Wniosek

Wydaje nam się, że te problemy z odwrotną proporcjonalnością są naprawdę proste. Mamy nadzieję, że teraz i Ty tak uważasz. A co najważniejsze ta wiedza o plecach zależność proporcjonalna wartości naprawdę mogą Ci się przydać więcej niż raz.

Nie tylko na lekcjach matematyki i egzaminach. Ale nawet wtedy, gdy wybierasz się w podróż, robisz zakupy, decydujesz się zarobić na święta itp.

Powiedz nam w komentarzach, jakie przykłady odwrotnej i bezpośredniej proporcjonalności zauważysz wokół siebie. Niech to będzie gra. Zobaczysz, jakie to ekscytujące. Nie zapomnij udostępnić tego artykułu w sieciach społecznościowych aby twoi przyjaciele i koledzy z klasy również mogli grać.

blog.site, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.