Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb jest bezpośrednio powiązana z największym wspólnym dzielnikiem tych liczb. Ten połączenie pomiędzy GCD i NOC jest określona przez następujące twierdzenie.

Twierdzenie.

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych aib jest równa iloczynowi aib podzielonemu przez największy wspólny dzielnik aib, czyli LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Dowód.

Pozwalać M jest pewną wielokrotnością liczb a i b. Oznacza to, że M jest podzielne przez a i zgodnie z definicją podzielności istnieje liczba całkowita k taka, że ​​prawdziwa jest równość M=a·k. Ale M jest także podzielne przez b, zatem a·k jest podzielne przez b.

Oznaczmy gcd(a, b) jako d. Wtedy możemy zapisać równości a=a 1 ·d i b=b 1 ·d, a a 1 =a:d i b 1 =b:d będą liczbami względnie pierwszymi. W rezultacie warunek otrzymany w poprzednim akapicie, że a · k jest podzielne przez b, można przeformułować w następujący sposób: a 1 · d · k dzieli się przez b 1 · d , co ze względu na właściwości podzielności jest równoważne warunkowi że a 1 · k jest podzielne przez b 1 .

Musisz także zapisać dwa ważne konsekwencje z rozważanego twierdzenia.

Wspólne wielokrotności dwóch liczb są takie same, jak wielokrotności ich najmniejszej wspólnej wielokrotności.

Rzeczywiście tak jest, ponieważ każda wspólna wielokrotność M liczb aib jest określona przez równość M=LMK(a, b)·t dla pewnej wartości całkowitej t.

Najmniejsza wspólna wielokrotność wzajemnie pierwszych liczb dodatnich aib jest równa ich iloczynowi.

Uzasadnienie tego faktu jest dość oczywiste. Ponieważ a i b są względnie pierwsze, to zatem gcd(a, b)=1 NWD(a, b)=a b: NWD(a, b)=a b:1=a b.

Najmniejsza wspólna wielokrotność trzech lub więcej liczb

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności trzech lub więcej liczb można sprowadzić do sekwencyjnego znajdowania LCM dwóch liczb. Jak to się robi, pokazuje poniższe twierdzenie. a 1 , a 2 , …, a k pokrywają się ze wspólnymi wielokrotnościami liczb m k-1 i a k ​​zatem pokrywają się ze wspólnymi wielokrotnościami liczby m k . A ponieważ najmniejszą dodatnią wielokrotnością liczby m k jest sama liczba m k, to najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb a 1, a 2, ..., a k jest m k.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. i inne. Klasa 6: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.
• Winogradow I.M. Podstawy teorii liczb.
• Mikhelovich Sh.H. Teoria liczb.
• Kulikov L.Ya. i inne. Zbiór problemów z algebry i teorii liczb: Instruktaż dla studentów fizyki i matematyki. specjalności instytutów pedagogicznych.

Jak znaleźć LCM (najmniejszą wspólną wielokrotność)

Wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych to liczba całkowita, która daje się równomiernie podzielić przez obie podane liczby bez pozostawiania reszty.

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych to najmniejsza ze wszystkich liczb całkowitych, która dzieli się przez obie podane liczby bez pozostawiania reszty.

Metoda 1. LCM można znaleźć z kolei dla każdej z podanych liczb, wypisując w kolejności rosnącej wszystkie liczby, które otrzymamy poprzez pomnożenie ich przez 1, 2, 3, 4 i tak dalej.

Przykład dla numerów 6 i 9.
Mnożymy liczbę 6 kolejno przez 1, 2, 3, 4, 5.
Otrzymujemy: 6, 12, 18 , 24, 30
Mnożymy liczbę 9 kolejno przez 1, 2, 3, 4, 5.
Otrzymujemy: 9, 18 , 27, 36, 45
Jak widać, LCM dla liczb 6 i 9 będzie wynosić 18.

Ta metoda jest wygodna, gdy obie liczby są małe i łatwo je pomnożyć przez ciąg liczb całkowitych. Są jednak chwile, kiedy trzeba znaleźć LCM dla dwucyfrowego lub liczby trzycyfrowe, a także gdy istnieją trzy lub nawet więcej liczb początkowych.

Metoda 2. LCM można znaleźć, rozkładając oryginalne liczby na czynniki pierwsze.
Po rozkładzie należy skreślić czynniki pierwsze z powstałego szeregu te same liczby. Pozostałe liczby pierwszej liczby będą mnożnikiem drugiej, a pozostałe liczby drugiej będą mnożnikiem pierwszej.

Przykład dla numerów 75 i 60.
Najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 75 i 60 można znaleźć bez zapisywania wielokrotności tych liczb z rzędu. Aby to zrobić, rozłóżmy 75 i 60 na proste czynniki:
75 = 3 * 5 * 5, A
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Jak widać, współczynniki 3 i 5 pojawiają się w obu wierszach. Mentalnie je „przekreślamy”.
Wypiszmy pozostałe czynniki biorące udział w rozwinięciu każdej z tych liczb. Po rozłożeniu liczby 75 zostaje nam liczba 5, a po rozłożeniu liczby 60 zostaje nam 2*2
Oznacza to, że aby wyznaczyć LCM dla liczb 75 i 60, należy pomnożyć liczby pozostałe z rozwinięcia 75 (to jest 5) przez 60, a liczby pozostałe z rozwinięcia 60 (to jest 2 * 2) przez 75. Oznacza to, że dla ułatwienia zrozumienia mówimy, że mnożymy „na krzyż”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
W ten sposób znaleźliśmy LCM dla liczb 60 i 75. To jest liczba 300.

Przykład. Określ LCM dla liczb 12, 16, 24
W w tym przypadku, nasze działania będą nieco bardziej skomplikowane. Ale najpierw, jak zawsze, rozłóżmy wszystkie liczby na czynniki
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Aby poprawnie wyznaczyć LCM, wybieramy najmniejszą ze wszystkich liczb (jest to liczba 12) i kolejno przechodzimy przez jej współczynniki, skreślając je, jeśli w przynajmniej jednym z pozostałych rzędów liczb napotkamy ten sam współczynnik, którego jeszcze nie ma został przekreślony.

Krok 1 . Widzimy, że 2 * 2 występuje we wszystkich seriach liczb. Przekreślmy je.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Krok 2. W czynnikach pierwszych liczby 12 pozostaje tylko liczba 3, ale jest ona obecna w czynnikach pierwszych liczby 24. Przekreślamy liczbę 3 z obu wierszy, natomiast w przypadku liczby 16 nie są wymagane żadne działania. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Jak widać, rozkładając liczbę 12, „przekreśliliśmy” wszystkie liczby. Oznacza to, że wyszukiwanie LOC zostało zakończone. Pozostaje tylko obliczyć jego wartość.
Dla liczby 12 weź pozostałe czynniki liczby 16 (następne w kolejności rosnącej)
12 * 2 * 2 = 48
To jest NOC

Jak widać, w tym przypadku znalezienie LCM było nieco trudniejsze, ale gdy trzeba go znaleźć dla trzech lub więcej liczb, ta metoda pozwala zrobić to szybciej. Jednak obie metody znalezienia LCM są prawidłowe.

Kontynuujmy rozmowę o najmniejszej wspólnej wielokrotności, którą rozpoczęliśmy w rozdziale „LCM – najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady”. W tym temacie przyjrzymy się sposobom znalezienia LCM dla trzech lub więcej liczb oraz przyjrzymy się pytaniu, jak znaleźć LCM liczby ujemnej.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) za pomocą GCD

Ustaliliśmy już związek między najmniejszą wspólną wielokrotnością a największą wspólny dzielnik. Nauczmy się teraz, jak określić LCM za pomocą GCD. Najpierw zastanówmy się, jak to zrobić dla liczb dodatnich.

Definicja 1

Najmniejszą wspólną wielokrotność można znaleźć poprzez największy wspólny dzielnik, korzystając ze wzoru LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Przykład 1

Musisz znaleźć LCM liczb 126 i 70.

Rozwiązanie

Weźmy a = 126, b = 70. Podstawmy wartości do wzoru na obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez największy wspólny dzielnik LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Znajduje gcd liczb 70 i 126. Do tego potrzebujemy algorytmu Euklidesa: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, zatem GCD (126 , 70) = 14 .

Obliczmy LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Odpowiedź: LCM(126, 70) = 630.

Przykład 2

Znajdź liczbę 68 i 34.

Rozwiązanie

NWD w tym przypadku nie jest trudne do znalezienia, ponieważ 68 jest podzielne przez 34. Obliczmy najmniejszą wspólną wielokrotność korzystając ze wzoru: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Odpowiedź: LCM(68, 34) = 68.

W tym przykładzie zastosowaliśmy regułę znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności dodatnich liczb całkowitych a i b: jeśli pierwsza liczba jest podzielna przez drugą, LCM tych liczb będzie równy pierwszej liczbie.

Znalezienie LCM poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Przyjrzyjmy się teraz metodzie wyznaczania LCM, która opiera się na rozłożeniu liczb na czynniki pierwsze.

Definicja 2

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, musimy wykonać kilka prostych kroków:

• tworzymy iloczyn wszystkich czynników pierwszych liczb, dla których musimy znaleźć LCM;
• wykluczamy wszystkie czynniki pierwsze z ich otrzymanych produktów;
• iloczyn otrzymany po wyeliminowaniu wspólnych czynników pierwszych będzie równy LCM podanych liczb.

Ta metoda znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności opiera się na równości LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Jeśli spojrzysz na wzór, stanie się jasne: iloczyn liczb aib jest równy iloczynowi wszystkich czynników biorących udział w rozkładzie tych dwóch liczb. W tym przypadku gcd dwóch liczb jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych, które są jednocześnie obecne w faktoryzacji tych dwóch liczb.

Przykład 3

Mamy dwie liczby 75 i 210. Możemy je rozłożyć na czynniki w następujący sposób: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Jeśli utworzysz iloczyn wszystkich czynników dwóch pierwotnych liczb, otrzymasz: 2 3 3 5 5 5 7.

Jeśli wykluczymy czynniki 3 i 5 wspólne dla obu liczb, otrzymamy iloczyn następujący typ: 2 3 5 5 7 = 1050. Ten produkt będzie naszym LCM dla numerów 75 i 210.

Przykład 4

Znajdź LCM liczb 441 I 700 , rozkładając obie liczby na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie

Znajdźmy wszystkie czynniki pierwsze liczb podanych w warunku:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Otrzymujemy dwa łańcuchy liczb: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7.

Iloczyn wszystkich czynników biorących udział w rozkładzie tych liczb będzie miał postać: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Znajdźmy wspólne czynniki. To jest liczba 7. Wykluczmy go z tego całkowity produkt: 2 2 3 3 5 5 7 7. Okazuje się, że NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Odpowiedź: LOC(441, 700) = 44100.

Podajmy inne sformułowanie metody znajdowania LCM poprzez rozkład liczb na czynniki pierwsze.

Definicja 3

Wcześniej wykluczyliśmy z całkowitej liczby czynników wspólnych dla obu liczb. Teraz zrobimy to inaczej:

• Rozłóżmy obie liczby na czynniki pierwsze:
• dodaj do iloczynu czynników pierwszych pierwszej liczby brakujące czynniki drugiej liczby;
• otrzymujemy iloczyn, który będzie pożądanym LCM dwóch liczb.

Przykład 5

Wróćmy do liczb 75 i 210, dla których szukaliśmy LCM już w jednym z poprzednich przykładów. Podzielmy je na proste czynniki: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Do iloczynu czynników 3, 5 i 5 liczby 75 dodają brakujące czynniki 2 I 7 numery 210. Otrzymujemy: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . To jest LCM liczb 75 i 210.

Przykład 6

Konieczne jest obliczenie LCM liczb 84 i 648.

Rozwiązanie

Rozłóżmy liczby z warunku na proste czynniki: 84 = 2 2 3 7 I 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodajmy do iloczynu czynniki 2, 2, 3 i 7 liczby 84 brakujące czynniki 2, 3, 3 i
3 numery 648. Otrzymujemy produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność 84 i 648.

Odpowiedź: LCM(84, 648) = 4536.

Znajdowanie LCM trzech lub więcej liczb

Niezależnie od tego z iloma liczbami mamy do czynienia, algorytm naszego działania zawsze będzie taki sam: znajdziemy po kolei LCM dwóch liczb. Istnieje twierdzenie dotyczące tego przypadku.

Twierdzenie 1

Załóżmy, że mamy liczby całkowite a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k liczby te można znaleźć, obliczając kolejno m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k - 1, a k).

Przyjrzyjmy się teraz, jak twierdzenie można zastosować do rozwiązania konkretnych problemów.

Przykład 7

Musisz obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność czterech liczb 140, 9, 54 i 250 .

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenie: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Zacznijmy od obliczenia m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Zastosujmy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD liczb 140 i 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Otrzymujemy: NWD (140, 9) = 1, NWD (140, 9) = 140 9: NWD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Dlatego m 2 = 1260.

Obliczmy teraz według tego samego algorytmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Podczas obliczeń otrzymujemy m 3 = 3 780.

Musimy tylko obliczyć m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Postępujemy według tego samego algorytmu. Otrzymujemy m 4 = 94 500.

LCM czterech liczb z przykładowego warunku wynosi 94500.

Odpowiedź: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Jak widać obliczenia są proste, ale dość pracochłonne. Aby zaoszczędzić czas, możesz wybrać inną drogę.

Definicja 4

Oferujemy następujący algorytm działań:

• rozkładamy wszystkie liczby na czynniki pierwsze;
• do iloczynu czynników pierwszej liczby dodajemy brakujące czynniki z iloczynu drugiej liczby;
• do iloczynu otrzymanego na poprzednim etapie dodajemy brakujące czynniki trzeciej liczby itp.;
• wynikowy iloczyn będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością wszystkich liczb z warunku.

Przykład 8

Musisz znaleźć LCM pięciu liczb 84, 6, 48, 7, 143.

Rozwiązanie

Rozłóżmy wszystkie pięć liczb na czynniki pierwsze: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Liczb pierwszych, czyli liczby 7, nie można rozłożyć na czynniki pierwsze. Liczby takie pokrywają się z ich rozkładem na czynniki pierwsze.

Weźmy teraz iloczyn czynników pierwszych 2, 2, 3 i 7 liczby 84 i dodajmy do nich brakujące czynniki drugiej liczby. Rozłożyliśmy liczbę 6 na 2 i 3. Czynniki te są już w iloczynie pierwszej liczby. Dlatego je pomijamy.

Kontynuujemy dodawanie brakujących mnożników. Przejdźmy do liczby 48, z iloczynu jej czynników pierwszych bierzemy 2 i 2. Następnie dodajemy czynnik pierwszy 7 z czwartej liczby oraz czynniki 11 i 13 z piątej. Otrzymujemy: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48048. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność z pięciu pierwotnych liczb.

Odpowiedź: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48048.

Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb ujemnych

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb ujemnych, liczby te należy najpierw zastąpić liczbami z przeciwny znak, a następnie przeprowadzić obliczenia korzystając z powyższych algorytmów.

Przykład 9

LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) i LCM (- 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Takie działania są dopuszczalne ze względu na to, że jeśli to zaakceptujemy A I - za– liczby przeciwne,
następnie zbiór wielokrotności liczby A dopasowuje zbiór wielokrotności liczby - za.

Przykład 10

Konieczne jest obliczenie LCM liczb ujemnych − 145 I − 45 .

Rozwiązanie

Zamieńmy liczby − 145 I − 45 do ich przeciwnych liczb 145 I 45 . Teraz korzystając z algorytmu obliczamy LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, wyznaczywszy wcześniej GCD za pomocą algorytmu Euklidesa.

Otrzymujemy, że LCM liczb wynosi - 145 i − 45 równa się 1 305 .

Odpowiedź: LCM (- 145, - 45) = 1305.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Nazywa się największą liczbę naturalną, przez którą liczby a i b są dzielone bez reszty Największy wspólny dzielnik te liczby. Oznacz NWD(a, b).

Rozważmy znalezienie GCD na przykładzie dwóch liczby naturalne 18 i 60:

1 Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Wyeliminuj z rozwinięcia pierwszej liczby wszystkie czynniki, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby, otrzymamy 2×3×3 .

3 Pozostałe czynniki pierwsze po przekreśleniu mnożymy i otrzymujemy największy wspólny dzielnik liczb: gcd( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Zauważ, że nie ma znaczenia, czy skreślimy czynniki z pierwszej czy drugiej liczby, wynik będzie taki sam:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 I 432

Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

Skreślając z pierwszej liczby czynniki, których nie ma w drugiej i trzeciej liczbie, otrzymujemy:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

W rezultacie GCD ( 324 , 111 , 432 )=3

Znajdowanie GCD za pomocą algorytmu Euklidesa

Drugim sposobem znalezienia największego wspólnego dzielnika jest użycie Algorytm euklidesowy. Algorytm Euklidesa jest najbardziej efektywny sposób odkrycie GCD, używając go, musisz stale znajdować resztę liczb dzielących i stosować formuła powtarzalności.

Formuła powtarzalności dla GCD, GCD(a, b)=NWD(b, a mod b), gdzie a mod b jest resztą z dzielenia przez b.

Algorytm Euklidesa

Przykład Znajdź największy wspólny dzielnik liczb 7920 I 594

Znajdźmy GCD( 7920 , 594 ) korzystając z algorytmu Euklidesa, resztę z dzielenia obliczymy za pomocą kalkulatora.

NWD( 7920 , 594 )

NWD( 594 , 7920 mod 594 ) = NWD( 594 , 198 )

NWD( 198 , 594 mod 198 ) = NWD( 198 , 0 )

NWD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0

W rezultacie otrzymujemy NWD( 7920 , 594 ) = 198

Najmniejsza wspólna wielokrotność

W celu znalezienia wspólny mianownik podczas dodawania i odejmowania ułamków za pomocą różne mianowniki trzeba wiedzieć i umieć liczyć najmniejsza wspólna wielokrotność(NIE).

Wielokrotność liczby „a” to liczba, która sama dzieli się przez liczbę „a” bez reszty.

Liczby będące wielokrotnościami 8 (to znaczy te liczby dzielą się przez 8 bez reszty): są to liczby 16, 24, 32...

Wielokrotności 9: 18, 27, 36, 45…

Istnieje nieskończenie wiele wielokrotności danej liczby a, w przeciwieństwie do dzielników tej samej liczby. Istnieje skończona liczba dzielników.

Wspólną wielokrotnością dwóch liczb naturalnych jest liczba, która dzieli się przez obie te liczby..

Najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) dwóch lub więcej liczb naturalnych to najmniejsza liczba naturalna, która sama jest podzielna przez każdą z tych liczb.

Jak znaleźć NOC

LCM można znaleźć i zapisać na dwa sposoby.

Pierwszy sposób na znalezienie LOC

Ta metoda jest zwykle stosowana w przypadku małych liczb.

1. Zapisujemy wielokrotności każdej liczby w wierszu, aż znajdziemy wielokrotność taką samą dla obu liczb.
2. Wielokrotność liczby „a” oznacza się dużą literą „K”.

Przykład. Znajdź LCM 6 i 8.

Drugi sposób na znalezienie LOC

Ta metoda jest wygodna w użyciu, aby znaleźć LCM dla trzech lub więcej liczb.

Liczba identycznych czynników w dekompozycji liczb może być różna.

Podczas rozwijania mniejszych liczb podkreśl czynniki, które nie są uwzględnione w rozwinięciu większej liczby (w naszym przykładzie jest to 2) i dodaj te czynniki do rozwinięcia większej liczby.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2

Wynikowy produkt zapisz jako odpowiedź.
Odpowiedź: LCM (24, 60) = 120

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) można również sformalizować w następujący sposób. Znajdźmy LOC (12, 16, 24).

24 = 2 2 2 3

Jak widzimy z rozkładu liczb, wszystkie czynniki 12 są uwzględniane w rozkładzie 24 (największa z liczb), więc dodajemy tylko jedno 2 z rozkładu liczby 16 do LCM.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Odpowiedź: LCM (12, 16, 24) = 48

Szczególne przypadki znalezienia NPL

Jeżeli jedna z liczb jest podzielna przez pozostałe, to najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb jest równa tej liczbie.

Na przykład LCM (60, 15) = 60
Ponieważ liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych czynników pierwszych, ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa iloczynowi tych liczb.

Na naszej stronie możesz także skorzystać ze specjalnego kalkulatora, który pozwoli Ci znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność online i sprawdzić swoje obliczenia.

Jeśli liczba naturalna dzieli się tylko przez 1 i samą siebie, nazywa się ją liczbą pierwszą.

Każda liczba naturalna jest zawsze podzielna przez 1 i samą siebie.

Liczba 2 jest najmniejszą liczbą pierwszą. Jest to jedyna liczba parzysta, pozostałe liczby pierwsze są nieparzyste.

Liczb pierwszych jest wiele, a pierwszą z nich jest liczba 2. Nie ma jednak ostatniej liczby pierwszej. W sekcji „Do nauki” możesz pobrać tabelę liczby pierwsze do 997.

Ale wiele liczb naturalnych dzieli się także przez inne liczby naturalne.

• liczba 12 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;
• Liczba 36 dzieli się przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.

Liczby, przez które liczba jest podzielna przez całość (w przypadku 12 są to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazywane są dzielnikami liczby.

Dzielnik liczby naturalnej a to liczba naturalna, która dzieli daną liczbę „a” bez reszty.

Liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki, nazywamy złożoną.

Należy pamiętać, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Te liczby to: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12.

Wspólnym dzielnikiem dwóch danych liczb „a” i „b” jest liczba, przez którą obie liczby „a” i „b” są dzielone bez reszty.

Największy wspólny dzielnik(NWD) dwóch danych liczb „a” i „b” to największa liczba, przez którą obie liczby „a” i „b” dzielą się bez reszty.

W skrócie, największy wspólny dzielnik liczb „a” i „b” zapisuje się w następujący sposób::

Przykład: gcd (12; 36) = 12.

Dzielniki liczb w zapisie rozwiązania są oznaczone dużą literą „D”.

Liczby 7 i 9 mają tylko jeden wspólny dzielnik – liczbę 1. Takie liczby nazywane są liczby względnie pierwsze.

Liczby względnie pierwsze- są to liczby naturalne, które mają tylko jeden wspólny dzielnik - liczbę 1. Ich gcd to 1.

Jak znaleźć największy wspólny dzielnik

Aby znaleźć gcd dwóch lub więcej liczb naturalnych, potrzebujesz:

• rozkładać dzielniki liczb na czynniki pierwsze;

Wygodnie jest pisać obliczenia za pomocą pionowej kreski. Po lewej stronie linii najpierw zapisujemy dywidendę, po prawej - dzielnik. Następnie w lewej kolumnie zapisujemy wartości ilorazów.

Wyjaśnijmy to od razu na przykładzie. Rozłóżmy liczby 28 i 64 na czynniki pierwsze.

W obu liczbach podkreślamy te same czynniki pierwsze.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Znajdź iloczyn identycznych czynników pierwszych i zapisz odpowiedź;
NWD (28; 64) = 2 2 = 4

Odpowiedź: NWD (28; 64) = 4

Możesz sformalizować lokalizację GCD na dwa sposoby: w kolumnie (jak pokazano powyżej) lub „w rzędzie”.

Pierwszy sposób na napisanie gcd

Znajdź gcd 48 i 36.

NWD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Drugi sposób zapisu gcd

Zapiszmy teraz w wierszu rozwiązanie wyszukiwania GCD. Znajdź gcd 10 i 15.

Na naszej stronie informacyjnej możesz także skorzystać z internetowego pomocnika Greatest Common Divisor, aby sprawdzić swoje obliczenia.

Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności, metody, przykłady znajdowania LCM.

Prezentowany poniżej materiał to logiczna kontynuacja teorie z artykułu LCM - najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady, powiązanie LCM z NWD. Tutaj będziemy rozmawiać znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM), I Specjalna uwaga Skupmy się na rozwiązywaniu przykładów. Najpierw pokażemy, jak oblicza się LCM dwóch liczb za pomocą NWD tych liczb. Następnie przyjrzymy się znajdowaniu najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech i więcej liczb, a także zwróć uwagę na obliczenie LCM liczb ujemnych.

Nawigacja strony.

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) za pomocą GCD

Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest relacja między LCM i GCD. Istniejące połączenie między LCM i GCD pozwala nam obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych poprzez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła to LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Przyjrzyjmy się przykładom znajdowania LCM za pomocą podanego wzoru.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70.

W tym przykładzie a=126, b=70. Wykorzystajmy związek pomiędzy LCM i NWD, wyrażony wzorem LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb za pomocą zapisanego wzoru.

Znajdźmy NWD(126, 70) korzystając z algorytmu Euklidesa: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, zatem GCD(126, 70)=14.

Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(126, 70)=126,70:GCD(126, 70)= 126,70:14=630.

Ile wynosi LCM(68, 34)?

Ponieważ 68 jest podzielne przez 34, to NWD(68, 34)=34. Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Należy zauważyć, że poprzedni przykład pasuje do następującej reguły znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych a i b: jeśli a jest podzielne przez b, to najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a.

Znalezienie LCM poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli ułożysz iloczyn ze wszystkich czynników pierwszych danych liczb, a następnie wykluczysz z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze występujące w rozwinięciach danych liczb, to otrzymany iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności danych liczb .

Podana zasada znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Rzeczywiście, iloczyn liczb aib jest równy iloczynowi wszystkich czynników biorących udział w rozszerzaniu liczb aib. Z kolei NWD(a, b) jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych występujących jednocześnie w rozwinięciach liczb a i b (co opisano w rozdziale o znajdowaniu NWD za pomocą rozwinięcia liczb na czynniki pierwsze).

Podajmy przykład. Powiedz nam, że 75=3,5,5 i 210=2,3,5,7. Utwórzmy iloczyn ze wszystkich czynników tych rozwinięć: 2,3,3,5,5,5,7 . Teraz z tego iloczynu wykluczymy wszystkie czynniki występujące zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak i rozwinięciu liczby 210 (te czynniki to 3 i 5), wówczas iloczyn przyjmie postać 2,3,5,5,7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 75 i 210, czyli LCM(75, 210)= 2,3,5,5,7=1050.

Rozłóż liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze i znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze:

Otrzymujemy 441=3·3·7·7 i 700=2·2·5·5·7.

Utwórzmy teraz iloczyn ze wszystkich czynników biorących udział w rozwinięciu tych liczb: 2,2,3,3,5,5,7,7,7. Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik – jest to liczba 7): 2,2,3,3,5,5,7,7. Zatem LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

NOC(441, 700)= 44 100 .

Regułę znajdowania LCM za pomocą faktoryzacji liczb na czynniki pierwsze można sformułować nieco inaczej. Jeśli brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b dodamy do czynników z rozwinięcia liczby a, wówczas wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.

Weźmy na przykład te same liczby 75 i 210, ich rozkład na czynniki pierwsze wygląda następująco: 75=3,5,5 i 210=2,3,5,7. Do czynników 3, 5 i 5 z rozwinięcia liczby 75 dodajemy brakujące czynniki 2 i 7 z rozwinięcia liczby 210 i otrzymujemy iloczyn 2,3,5,5,7, którego wartość wynosi równe LCM(75, 210).

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 84 i 648.

Najpierw uzyskujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2·2·3·7 i 648=2·2·2·3·3·3·3. Do czynników 2, 2, 3 i 7 z rozwinięcia liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2, 3, 3 i 3 z rozwinięcia liczby 648 i otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7, co jest równe 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność 84 i 648 wynosi 4536.

Znajdowanie LCM trzech lub więcej liczb

Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, znajdując kolejno LCM dwóch liczb. Przypomnijmy odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.

Niech zostaną podane dodatnie liczby całkowite a 1 , a 2 , …, a k, najmniejsza wspólna wielokrotność m k tych liczb zostanie znaleziona poprzez kolejne obliczenie m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Rozważmy zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.

Znajdź LCM czterech liczb 140, 9, 54 i 250.

Najpierw znajdujemy m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . Aby to zrobić, korzystając z algorytmu Euklidesa, wyznaczamy NWD(140, 9), mamy 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, zatem GCD(140, 9)=1, skąd LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260. Oznacza to, że m 2 = 1 260.

Teraz znajdujemy m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). Obliczmy to poprzez NWD(1 260, 54), które również wyznaczamy za pomocą algorytmu Euklidesa: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Wtedy gcd(1260, 54)=18, skąd gcd(1260, 54)= 1260·54:gcd(1260, 54)= 1260·54:18=3780. Oznacza to, że m 3 =3 780.

Pozostaje znaleźć m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250). Aby to zrobić, znajdujemy NWD(3,780, 250) za pomocą algorytmu Euklidesa: 3,780=250·15+30, 250=30,8+10, 30=10,3. Zatem NWD(3780, 250)=10, z czego GCD(3780, 250)= 3780·250:GCD(3780, 250)= 3780·250:10=94500. Oznacza to, że m 4 = 94 500.

Zatem najmniejsza wspólna wielokrotność pierwotnych czterech liczb wynosi 94 500.

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500 .

W wielu przypadkach wygodnie jest znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, stosując rozkład na czynniki pierwsze podanych liczb. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się w następujący sposób: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby dodawane są do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia do otrzymanych czynników dodaje się trzecią liczbę i tak dalej.

Spójrzmy na przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności przy użyciu rozkładu na czynniki pierwsze.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84, 6, 48, 7, 143.

Najpierw otrzymujemy rozkład tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 jest liczbą pierwszą, pokrywa się z rozkładem na czynniki pierwsze) i 143=11·13.

Aby znaleźć LCM tych liczb, do współczynników pierwszej liczby 84 (są to 2, 2, 3 i 7), należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6. Rozkład liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozkładzie pierwszej liczby 84. Następnie do czynników 2, 2, 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 i otrzymujemy zbiór czynników 2, 2, 2, 2, 3 i 7. W następnym kroku nie będzie potrzeby dodawania mnożników do tego zestawu, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do współczynników 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143. Otrzymujemy iloczyn 2,2,2,2,3,7,11,13, który jest równy 48,048.

Dlatego LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48 048 .

Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb ujemnych

Czasami zdarzają się zadania, w których trzeba znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb, spośród których jedna, kilka lub wszystkie liczby są ujemne. W takich przypadkach wszystko liczby ujemne musisz zastąpić je odpowiadającymi im liczbami, a następnie znaleźć LCM liczb dodatnich. W ten sposób można znaleźć LCM liczb ujemnych. Na przykład LCM(54, −34) = LCM(54, 34) i LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Możemy to zrobić, ponieważ zbiór wielokrotności a jest taki sam, jak zbiór wielokrotności −a (a i −a są liczbami przeciwnymi). Rzeczywiście, niech b będzie pewną wielokrotnością a, wówczas b jest podzielne przez a, a koncepcja podzielności stwierdza istnienie liczby całkowitej q takiej, że b=a·q. Ale prawdziwa będzie także równość b=(−a)·(−q), co na mocy tej samej koncepcji podzielności oznacza, że ​​b jest podzielne przez −a, czyli b jest wielokrotnością −a. Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: jeśli b jest pewną wielokrotnością -a, to b jest również wielokrotnością a.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb ujemnych –145 i –45.

Zastąpmy liczby ujemne -145 i -45 ich przeciwstawnymi liczbami 145 i 45. Mamy LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Po ustaleniu GCD(145, 45)=5 (np. korzystając z algorytmu Euklidesa) obliczamy GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Zatem najmniejsza wspólna wielokrotność ujemnych liczb całkowitych -145 i -45 wynosi 1,305.

www.cleverstudents.ru

Kontynuujemy naukę podziału. Na tej lekcji przyjrzymy się takim pojęciom jak GCD I NOC.

GCD jest największym wspólnym dzielnikiem.

NOC jest najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Temat jest dość nudny, ale zdecydowanie trzeba go zrozumieć. Bez zrozumienia tego tematu nie będziesz w stanie efektywnie pracować z ułamkami zwykłymi, które są prawdziwą przeszkodą w matematyce.

Największy wspólny dzielnik

Definicja. Największy wspólny dzielnik liczb A I B A I B podzielone bez reszty.

Aby dobrze zrozumieć tę definicję, podstawmy zmienne A I B na przykład dowolne dwie liczby zamiast zmiennej A Zastąpmy liczbę 12 i zamiast zmiennej B numer 9. Spróbujmy teraz przeczytać tę definicję:

Największy wspólny dzielnik liczb 12 I 9 nazywa się największą liczbą, według której 12 I 9 podzielone bez reszty.

Z definicji jasno wynika, że ​​mówimy o wspólnym dzielniku liczb 12 i 9, a ten dzielnik jest największy ze wszystkich istniejących dzielników. Należy znaleźć ten największy wspólny dzielnik (NWD).

Aby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb, stosuje się trzy metody. Pierwsza metoda jest dość pracochłonna, ale pozwala jasno zrozumieć istotę tematu i poczuć jego pełny sens.

Druga i trzecia metoda są dość proste i umożliwiają szybkie znalezienie GCD. Przyjrzymy się wszystkim trzem metodom. A który z nich zastosujesz w praktyce, zależy od Ciebie.

Pierwsza metoda polega na znalezieniu wszystkich możliwych dzielników dwóch liczb i wybraniu największej. Przyjrzyjmy się tej metodzie następujący przykład: znajdź największy wspólny dzielnik liczb 12 i 9.

Najpierw znajdziemy wszystkie możliwe dzielniki liczby 12. Aby to zrobić, podzielimy 12 przez wszystkie dzielniki z zakresu od 1 do 12. Jeśli dzielnik pozwala nam podzielić 12 bez reszty, to podświetlimy to w niebieski i dokonaj odpowiedniego wyjaśnienia w nawiasach.

12: 1 = 12
(12 dzieli się przez 1 bez reszty, co oznacza, że ​​1 jest dzielnikiem liczby 12)

12: 2 = 6
(12 dzieli się przez 2 bez reszty, co oznacza, że ​​2 jest dzielnikiem liczby 12)

12: 3 = 4
(12 dzieli się przez 3 bez reszty, co oznacza, że ​​3 jest dzielnikiem liczby 12)

12: 4 = 3
(12 dzieli się przez 4 bez reszty, co oznacza, że ​​4 jest dzielnikiem liczby 12)

12: 5 = 2 (2 pozostały)
(12 nie dzieli się przez 5 bez reszty, co oznacza, że ​​5 nie jest dzielnikiem liczby 12)

12: 6 = 2
(12 dzieli się przez 6 bez reszty, co oznacza, że ​​6 jest dzielnikiem liczby 12)

12: 7 = 1 (5 pozostałych)
(12 nie dzieli się przez 7 bez reszty, co oznacza, że ​​7 nie jest dzielnikiem liczby 12)

12: 8 = 1 (4 pozostałe)
(12 nie dzieli się przez 8 bez reszty, co oznacza, że ​​8 nie jest dzielnikiem 12)

12: 9 = 1 (3 pozostałe)
(12 nie dzieli się przez 9 bez reszty, co oznacza, że ​​9 nie jest dzielnikiem liczby 12)

12: 10 = 1 (2 pozostałe)
(12 nie dzieli się przez 10 bez reszty, co oznacza, że ​​10 nie jest dzielnikiem liczby 12)

12: 11 = 1 (1 pozostałość)
(12 nie jest dzielone przez 11 bez reszty, co oznacza, że ​​11 nie jest dzielnikiem 12)

12: 12 = 1
(12 dzieli się przez 12 bez reszty, co oznacza, że ​​12 jest dzielnikiem liczby 12)

Teraz znajdźmy dzielniki liczby 9. Aby to zrobić, sprawdź wszystkie dzielniki od 1 do 9

9: 1 = 9
(9 dzieli się przez 1 bez reszty, co oznacza, że ​​1 jest dzielnikiem liczby 9)

9: 2 = 4 (1 pozostałość)
(9 nie dzieli się przez 2 bez reszty, co oznacza, że ​​2 nie jest dzielnikiem liczby 9)

9: 3 = 3
(9 dzieli się przez 3 bez reszty, co oznacza, że ​​3 jest dzielnikiem liczby 9)

9: 4 = 2 (1 pozostałość)
(9 nie jest dzielone przez 4 bez reszty, co oznacza, że ​​4 nie jest dzielnikiem liczby 9)

9: 5 = 1 (4 resztki)
(9 nie dzieli się przez 5 bez reszty, co oznacza, że ​​5 nie jest dzielnikiem liczby 9)

9: 6 = 1 (3 pozostałe)
(9 nie dzieli się przez 6 bez reszty, co oznacza, że ​​6 nie jest dzielnikiem liczby 9)

9: 7 = 1 (2 pozostałe)
(9 nie dzieli się przez 7 bez reszty, co oznacza, że ​​7 nie jest dzielnikiem liczby 9)

9: 8 = 1 (1 pozostałość)
(9 nie jest dzielone przez 8 bez reszty, co oznacza, że ​​8 nie jest dzielnikiem liczby 9)

9: 9 = 1
(9 dzieli się przez 9 bez reszty, co oznacza, że ​​9 jest dzielnikiem liczby 9)

Zapiszmy teraz dzielniki obu liczb. Liczby zaznaczone na niebiesko to dzielniki. Zapiszmy je:

Wypisując dzielniki, możesz od razu określić, który jest największy i najczęstszy.

Z definicji największym wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 9 jest liczba dzieląca 12 i 9 bez reszty. Największym i wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 9 jest liczba 3

Zarówno liczba 12, jak i liczba 9 są podzielne przez 3 bez reszty:

Zatem gcd (12 i 9) = 3

Drugi sposób na znalezienie GCD

Przyjrzyjmy się teraz drugiej metodzie znajdowania największego wspólnego dzielnika. Esencja Ta metoda polega na rozłożeniu obu liczb na czynniki pierwsze i pomnożeniu wspólnych.

Przykład 1. Znajdź gcd liczb 24 i 18

Najpierw rozłóżmy obie liczby na czynniki pierwsze:

Teraz pomnóżmy ich wspólne czynniki. Aby uniknąć nieporozumień, można podkreślić wspólne czynniki.

Przyglądamy się rozwinięciu liczby 24. Jej pierwszym dzielnikiem jest 2. Szukamy tego samego czynnika przy rozwinięciu liczby 18 i widzimy, że on też tam jest. Podkreślamy oba:

Patrzymy ponownie na rozwinięcie liczby 24. Jej drugi dzielnik również wynosi 2. Szukamy tego samego czynnika w rozwinięciu liczby 18 i widzimy, że po raz drugi już go nie ma. Wtedy niczego nie podkreślamy.

Kolejne dwa w rozwinięciu liczby 24 są również nieobecne w rozwinięciu liczby 18.

Przejdźmy do ostatniego czynnika rozwinięcia liczby 24. To jest czynnik 3. Szukamy tego samego czynnika w rozwinięciu liczby 18 i widzimy, że on też tam jest. Podkreślamy obie trójki:

Zatem wspólnymi czynnikami liczb 24 i 18 są czynniki 2 i 3. Aby otrzymać NWD, należy pomnożyć te czynniki:

Zatem gcd (24 i 18) = 6

Trzeci sposób na znalezienie GCD

Przyjrzyjmy się teraz trzeciemu sposobowi znalezienia największego wspólnego dzielnika. Istota tej metody polega na tym, że liczby, które należy znaleźć dla największego wspólnego dzielnika, rozkłada się na czynniki pierwsze. Następnie z rozwinięcia pierwszej liczby skreśla się czynniki, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby. Pozostałe liczby z pierwszego rozwinięcia są mnożone i otrzymywane GCD.

Na przykład, przy użyciu tej metody znajdźmy GCD dla liczb 28 i 16. Najpierw rozkładamy te liczby na czynniki pierwsze:

Otrzymaliśmy dwa rozwinięcia: i

Teraz z rozkładu pierwszej liczby usuniemy czynniki, które nie są uwzględnione w rozkładzie drugiej liczby. Rozwinięcie drugiej liczby nie obejmuje siedmiu. Skreślmy to z pierwszego rozwinięcia:

Teraz mnożymy pozostałe czynniki i otrzymujemy NWD:

Liczba 4 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 28 i 16. Obie te liczby dzielą się przez 4 bez reszty:

Przykład 2. Znajdź gcd liczb 100 i 40

Faktoring liczby 100

Rozłóż na czynniki liczbę 40

Dostaliśmy dwa rozszerzenia:

Teraz z rozkładu pierwszej liczby usuniemy czynniki, które nie są uwzględnione w rozkładzie drugiej liczby. Rozwinięcie drugiej liczby nie obejmuje jednej piątki (jest tylko jedna piątka). Skreślmy to z pierwszego rozszerzenia

Pomnóżmy pozostałe liczby:

Otrzymaliśmy odpowiedź 20. Oznacza to, że liczba 20 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 100 i 40. Te dwie liczby dzielą się przez 20 bez reszty:

NWD (100 i 40) = 20.

Przykład 3. Znajdź gcd liczb 72 i 128

Rozłóż na czynniki liczbę 72

Rozłóż na czynniki liczbę 128

2×2×2×2×2×2×2

Teraz z rozkładu pierwszej liczby usuniemy czynniki, które nie są uwzględnione w rozkładzie drugiej liczby. Rozwinięcie drugiej liczby nie obejmuje dwóch trójek (w ogóle ich nie ma). Skreślmy je z pierwszego rozwinięcia:

Otrzymaliśmy odpowiedź 8. Oznacza to, że liczba 8 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 72 i 128. Te dwie liczby są podzielne przez 8 bez reszty:

NWD (72 i 128) = 8

Znajdowanie GCD dla kilku liczb

Największy wspólny dzielnik można znaleźć dla kilku liczb, a nie tylko dwóch. W tym celu liczby, które należy znaleźć dla największego wspólnego dzielnika, rozkłada się na czynniki pierwsze, a następnie oblicza się iloczyn wspólnych czynników pierwszych tych liczb.

Na przykład znajdźmy GCD dla liczb 18, 24 i 36

Rozłóżmy na czynniki liczbę 18

Rozłóżmy na czynniki liczbę 24

Rozłóżmy na czynniki liczbę 36

Dostaliśmy trzy rozszerzenia:

Teraz podkreślmy i podkreślmy wspólne czynniki w tych liczbach. Wspólne czynniki muszą występować we wszystkich trzech liczbach:

Widzimy, że wspólnymi czynnikami dla liczb 18, 24 i 36 są czynniki 2 i 3. Mnożąc te czynniki, otrzymujemy szukaną wartość gcd:

Otrzymaliśmy odpowiedź 6. Oznacza to, że liczba 6 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18, 24 i 36. Te trzy liczby dzielą się przez 6 bez reszty:

NWD (18, 24 i 36) = 6

Przykład 2. Znajdź NWD dla liczb 12, 24, 36 i 42

Rozłóżmy każdą liczbę na czynniki pierwsze. Następnie znajdujemy iloczyn wspólnych czynników tych liczb.

Weź pod uwagę liczbę 12

Rozłóżmy na czynniki liczbę 42

Dostaliśmy cztery rozszerzenia:

Teraz podkreślmy i podkreślmy wspólne czynniki w tych liczbach. Wspólne czynniki muszą występować we wszystkich czterech liczbach:

Widzimy, że wspólne czynniki dla liczb 12, 24, 36 i 42 to czynniki 2 i 3. Mnożenie tych czynników razem daje nam szukany gcd:

Otrzymaliśmy odpowiedź 6. Oznacza to, że liczba 6 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 12, 24, 36 i 42. Liczby te dzielą się przez 6 bez reszty:

NWD (12, 24, 36 i 42) = 6

Z poprzedniej lekcji wiemy, że jeśli liczba jest dzielona przez inną bez reszty, nazywa się to wielokrotnością tej liczby.

Okazuje się, że kilka liczb może mieć wspólną wielokrotność. A teraz będziemy zainteresowani wielokrotnością dwóch liczb i powinna ona być jak najmniejsza.

Definicja. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb A I B- A I B A i numer B.

Definicja zawiera dwie zmienne A I B. Zamiast tych zmiennych podstawimy dowolne dwie liczby. Na przykład zamiast zmiennej A Zastąpmy liczbę 9 i zamiast zmiennej B Zastąpmy liczbę 12. Spróbujmy teraz przeczytać definicję:

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb 9 I 12 - Ten najmniejsza liczba, czyli wielokrotność 9 I 12 . Innymi słowy, jest to tak mała liczba, która jest podzielna bez reszty przez tę liczbę 9 i według numeru 12 .

Z definicji jasno wynika, że ​​LCM to najmniejsza liczba, która dzieli się bez reszty przez 9 i 12. Należy znaleźć LCM.

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM), możesz skorzystać z dwóch metod. Pierwszy sposób polega na tym, że możesz zapisać pierwsze wielokrotności dwóch liczb, a następnie spośród tych wielokrotności wybrać liczbę, która będzie wspólna dla obu liczb i będzie mała. Użyjmy tej metody.

Najpierw znajdźmy pierwsze wielokrotności liczby 9. Aby znaleźć wielokrotności 9, musisz pomnożyć te dziewięć przez liczby od 1 do 9. Otrzymane odpowiedzi będą wielokrotnościami liczby 9. Zatem zaczynajmy. Zaznaczymy wielokrotności na czerwono:

Teraz znajdujemy wielokrotności liczby 12. Aby to zrobić, mnożymy 12 jeden po drugim przez wszystkie liczby od 1 do 12.

Aby zrozumieć, jak obliczyć LCM, musisz najpierw określić znaczenie terminu „wielokrotność”.

Wielokrotność A jest liczbą naturalną, która dzieli się przez A bez reszty. Zatem liczby będące wielokrotnością 5 można uznać za 15, 20, 25 i tak dalej.

Liczba dzielników określonej liczby może być ograniczona, ale istnieje nieskończona liczba wielokrotności.

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych to liczba, którą można przez nie podzielić bez pozostawiania reszty.

Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb (dwa, trzy lub więcej) to najmniejsza liczba naturalna, która dzieli się przez wszystkie te liczby.

Aby znaleźć LOC, możesz skorzystać z kilku metod.

W przypadku małych liczb wygodnie jest zapisać wszystkie wielokrotności tych liczb w jednym wierszu, aż znajdziesz wśród nich coś wspólnego. Wielokrotności oznacza się wielką literą K.

Na przykład wielokrotności liczby 4 można zapisać w następujący sposób:

K. (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K. (6) = (12, 18, 24, ...)

Zatem widać, że najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest liczba 24. Zapis ten wykonuje się w następujący sposób:

LCM(4, 6) = 24

Jeśli liczby są duże, znajdź wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, wtedy lepiej zastosować inną metodę obliczenia LCM.

Aby wykonać zadanie, należy rozłożyć podane liczby na czynniki pierwsze.

Najpierw musisz zapisać rozkład największej liczby na linii, a poniżej - resztę.

W rozwinięciu każdej liczby może być inna ilość mnożniki.

Na przykład, rozłóżmy liczby 50 i 20 na czynniki pierwsze.

Przy rozwinięciu mniejszej liczby należy zaznaczyć czynniki, których brakuje przy rozwinięciu pierwszej największej liczby, a następnie dodać je do niej. W przedstawionym przykładzie brakuje dwójki.

Teraz możesz obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność 20 i 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Zatem iloczyn czynników pierwszych większej liczby i czynników drugiej liczby, które nie zostały uwzględnione w rozwinięciu większej liczby, będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, należy je wszystkie rozłożyć na czynniki pierwsze, tak jak w poprzednim przypadku.

Jako przykład możesz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Zatem tylko dwie dwójki z rozwinięcia szesnastu nie zostały uwzględnione w faktoryzacji większej liczby (jedna jest w rozwinięciu dwudziestu czterech).

Należy je zatem dodać do rozwinięcia większej liczby.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Istnieją szczególne przypadki wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności. Jeśli więc jedną z liczb można podzielić bez reszty przez inną, wówczas większa z tych liczb będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Na przykład LCM wynoszący dwanaście i dwadzieścia cztery to dwadzieścia cztery.

Jeśli konieczne jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb względnie pierwszych, które nie mają identycznych dzielników, wówczas ich LCM będzie równa ich iloczynowi.

Na przykład LCM (10, 11) = 110.