مشتق ومشتق عكسي للدالة الأسية. المشتق العكسي للدالة والشكل العام
اليوم سنتحدث عن دراسة الوظائف. من المهم ملاحظة أن الرياضيات مرتبة بنفس الطريقة منزل عادي: أولاً يتم وضع الأساس ، ثم يتم وضع الطوب طبقة تلو الأخرى. يتم لعب دور الأساس في الرياضيات من خلال وظيفة (المراسلات بين مجموعتين). بعد تقديم مفهوم الوظيفة ، بدأوا بدراستها ككائن بنفس الطريقة التي تم بها مع الأرقام.
في الواقع ، في الحياة ، غالبًا ما نستخدم ليس فقط الأشياء ، ولكن أيضًا المراسلات بينها ، العلاقات بين الأشياء. مثال على ذلك كتب عن الحب (الحب علاقة بين الناس).
بعد دراسة الدوال في الرياضيات ، يبدأ المرء بدراسة مجموعات من الوظائف ، ثم فضاءات الوظائف ، وما إلى ذلك. لكن اليوم سنتحدث عن التحليل الأساسي للوظيفة.
ما هي الوظيفة؟ الوظيفة هي المراسلات بين المجموعات. في هذا الدرس سنتحدث عن وظائف عددية، أي حول المراسلات بين المجموعات العددية. سنتحدث أيضًا عن الخاصية المحلية للوظيفة (سلوك الوظيفة في هذه النقطة بالذات) والملكية العامة (الخاصية المرتبطة بنطاق الوظيفة بالكامل). المشتق هو وصف للخصائص المحلية للوظائف ، والتكامل هو وصف للخصائص العامة.
على سبيل المثال ، هناك وظيفتان مختلفتان ، ولكن عند نقطة معينة تتطابق الرسوم البيانية الخاصة بهما (انظر الشكل 1). ولكن ما الفرق بين سلوك الدوال في محيط هذه النقطة؟ سيتم مناقشة هذا.
أرز. 1. تقاطع الرسوم البيانية لوظيفتين مختلفتين
من الرسم البياني للدالة ، يمكنك بسهولة تحديد خصائصها: الرتابة (زيادة أو نقصان الوظيفة) ، التكافؤ (الفردي) والدورية (انظر الشكل 2).
أرز. 2. مواصفات الميزات
كل هذه الخصائص رياضية. لكن المشتق غالبًا ما يستخدم في الحياة. في أغلب الأحيان ، عندما نصف عملية باستخدام رسم بياني ، فإننا مهتمون بديناميكيات هذه العملية ، أي ليس قيمة الوظيفة في نقطة معينة ، ولكن كيف ستتصرف الوظيفة في المستقبل (هل ستزيد أم ينقص؟). على سبيل المثال ، عندما نريد تحليل ارتفاع الأسعار أو مقارنة الأسعار فترات مختلفةالوقت ( القيم المطلقةيمكن أن تتغير ، لكن الديناميكيات ظلت كما هي) (انظر الشكل 3).
أرز. 3. ديناميكية أسعار الذهب
يساعد المشتق في معرفة كيفية تصرف الدالة في المنطقة المجاورة لنقطة معينة.
من الجدير توضيح أنه في المدرسة ، في أغلب الأحيان ، يتم البحث عن مشتق الوظيفة في مجال التعريف بأكمله. هذا يرجع إلى حقيقة أن الميزات قيد التحقيق "جيدة" ، أي أن سلوكها يمكن التنبؤ به على المحور بأكمله. ولكن بشكل عام فإن المشتق هو خاصية محلية للدالة.
على سبيل المثال ، عند عرض الصور بسرعات غالق مختلفة ، قد يكون هناك عدة خيارات:
- السيارات تقف والناس في مكانهم (انظر الشكل 4) ؛
- صورة ضبابية ، يمكنك أن ترى من ذاهب إلى أين (انظر الشكل 5).
أرز. 4. الصورة مع التعرض ل
أرز. 5. الصورة مع التعرض ل
الخيار الثاني هو توضيح مرئي للمشتق (تعتيم الصورة).
عند هذه النقطة ، تأخذ الوظيفة قيمة محددة ، ومن المستحيل عمليا استخلاص أي استنتاجات حول سلوكها منها. وإذا نظرنا إلى المنطقة المجاورة لهذه النقطة ، فيمكننا بالفعل تحديد الجانب الأصغر (أيهما أكبر) واستنتاج ما إذا كان يزيد أم ينقص. أي عندما تكون سرعة الغالق قصيرة ، نرى قيمة الوظيفة عند نقطة ما ، وعندما نفكر في تأخر الإطار ، يمكننا بالفعل تحليل سلوك الوظيفة (انظر الشكل 6).
أرز. 6. القياس بين المشتق والتصوير
في الحياة اليوميةغالبًا ما نحلل موقفًا مثل تحليل الوظائف في الرياضيات. على سبيل المثال ، عندما نقول إن الجو يزداد دفئًا (أكثر برودة) بالخارج ، فإننا لا نشير إلى درجة الحرارة المحددة في الداخل هذه اللحظةولكننا نعني أن درجة الحرارة سترتفع (تنخفض) قريبًا. هذا مشابه لحساب المشتق (انظر الشكل 7).
أرز. 7. تحليل تغير درجة الحرارة
دعنا نقدم تعريف دقيقالمشتق.
دالة مشتقةفي هذه النقطةيسمى الحد نسبة زيادة الوظيفة في هذه المرحلة إلى زيادة الوسيطة (بشرط وجود هذا الحد):
نظرًا لأننا نريد تقديم مفهوم مثل معدل تغيير الوظيفة (الكلمة الرئيسية هي سرعة) ، ثم يمكننا إجراء مقارنة مع الفيزياء. السرعة اللحظية هي كمية مادية متجهة تساوي نسبة الإزاحة إلى الفترة الزمنية التي حدث خلالها هذا الإزاحة ، إذا كانت الفترة الزمنية تميل إلى الصفر:
السرعة اللحظية ، م / ث ؛ - إزاحة الجسم ، م (في) ؛ - يميل إلى الصفر الفاصل الزمني ، s.
لكن من المهم توضيح أنه عندما تحدثنا عن درجة الحرارة ، أشرنا فقط إلى الخصائص النوعية للعملية ، لكننا لم نتحدث عن معدل تغير درجة الحرارة. يأخذ المشتق في الاعتبار معدل تغير الوظيفة. يمكن أن تنمو الميزات بطرق مختلفة. على سبيل المثال ، يزيد القطع المكافئ () أسرع من اللوغاريتم () (انظر الشكل 8).
أرز. 8. معدل زيادة الرسوم البيانية للوظائف و
إنها مقارنة معدل الزيادة (النقصان) للوظيفة التي نقدمها خاصية محددةوظائف - مشتق. رسم تشابه بين المشتق وسرعة حركة الجسم (السرعة هي نسبة المسافة المقطوعة إلى الوقت ، أو التغير في الإحداثيات لكل وحدة زمنية) ، يمكننا القول أنه في النهاية ، المشتق هو نسبة التغيير في الوظيفة (أي المسار الذي سلكته النقطة ، إذا تحركت على طول الرسم البياني للوظيفة) إلى زيادة الوسيطة (الوقت الذي تم خلاله تنفيذ الحركة) (انظر الشكل 9). هذا هو المعنى الميكانيكي (المادي) للمشتق.
أرز. 9. المقارنة بين السرعة ومشتقاتها
المشتق هو خاصية محلية للدالة. من المهم التمييز بين حساب المشتق على نطاق التعريف بأكمله وفي منطقة معينة ، لأن الوظيفة في أحد الفترات يمكن أن تكون تربيعية ، ومن ناحية أخرى - خطية ، وما إلى ذلك. لكن هذه كلها وظيفة واحدة ، وفي نقاط مختلفة سيكون لهذه الوظيفة معان مختلفةالمشتق.
بالنسبة لمعظم الدوال المعطاة تحليليًا (بصيغة محددة) ، لدينا جدول بالمشتقات (انظر الشكل 10). هذا تناظري لجدول الضرب ، أي أن هناك وظائف أساسية تم بالفعل حساب المشتقات من أجلها (يمكن إثبات أن لديهم هذا الشكل بالضبط) ، ثم هناك بعض القواعد (انظر الشكل 11) ( نظائرها من الضرب أو القسمة في عمود) ، والتي يمكن استخدامها لحساب مشتقات الوظائف المعقدة والمنتجات المشتقة وما إلى ذلك. وبالتالي ، بالنسبة لجميع الوظائف المعبر عنها تقريبًا من حيث الوظائف المعروفة لنا ، يمكننا وصف سلوك الوظيفة على نطاق التعريف بأكمله.
أرز. 10. جدول المشتقات
أرز. 11. قواعد التمايز
ولكن مع ذلك ، فإن تعريف المشتق ، الذي قدمناه سابقًا ، هو تعريف نقطي. لتعميم المشتق عند نقطة ما على مجال الوظيفة بالكامل ، من الضروري إثبات أن قيمة المشتق في كل نقطة ستتطابق مع قيم نفس الوظيفة.
إذا تخيلنا وظيفة غير مكتوبة بشكل تحليلي ، فيمكننا تمثيلها في الشكل المجاور لكل نقطة دالة خطية. من السهل حساب مشتق دالة خطية في منطقة مجاورة لنقطة ما. إذا كنا نمثل دالة خطيًا ، فإنها تتطابق مع ظلها (انظر الشكل 12).
أرز. 12. تمثيل الوظيفة في كل نقطة كدالة خطية
من عند مثلث قائمنحن نعلم أن الظل يساوي النسبةالرجل المقابلة للمجاورة. لذلك، المعنى الهندسيتكمن المشتقة في حقيقة أن المشتق هو مماس منحدر المماس عند هذه النقطة (انظر الشكل 13).
أرز. 13. المعنى الهندسي للمشتق
بالحديث عن المشتقة والسرعة ، يمكننا القول أنه إذا كانت الدالة تتناقص ، فإن مشتقها يكون سالبًا ، والعكس صحيح ، إذا كانت الدالة تتزايد ، فإن مشتقها يكون موجبًا. من ناحية أخرى ، حددنا المشتق على أنه مماس منحدر المماس. هذا أيضا سهل الشرح. إذا كانت الدالة تتزايد ، فإن الظل يشكل زاوية حادة ، والظل زاوية حادةإيجابي. لذلك ، فإن المشتق موجب. كما ترى ، تزامن المعنى المادي والهندسي للمشتق.
التسارع هو معدل تغير السرعة (أي مشتق السرعة). من ناحية أخرى ، السرعة هي مشتق الإزاحة. اتضح أن التسارع هو المشتق الثاني (مشتق من المشتق) للإزاحة (انظر الشكل 14).
أرز. 14. تطبيق المشتق في الفيزياء
المشتق هو وسيلة لدراسة خصائص الدالة.
المشتق يستخدم لحل مشاكل التحسين. هناك تفسير لذلك. بما أن المشتق يُظهر نمو الدالة ، فيمكن استخدامه لإيجاد القيمة العظمى والصغرى المحلية للدالة. مع العلم أن الوظيفة زادت في قسم واحد ، ثم بدأت في الانخفاض ، فإننا نفترض أن هناك حدًا أقصى محليًا في مرحلة ما. وبالمثل ، إذا كانت الدالة تتناقص ثم بدأت في الزيادة ، فهناك حد أدنى محلي عند نقطة ما (انظر الشكل 15).
أرز. 15. الحدود الدنيا والقصوى المحلية للدالة
في الممارسة العملية ، يمكن استخدام هذا للعثور ، على سبيل المثال ، على أقصى ربح في ظل ظروف معينة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد نقطة يكون عندها حد أقصى محلي. إذا كنا بحاجة إلى تحديد الحد الأدنى من التكاليفوبناءً عليه ، من الضروري تحديد النقطة التي يقع عندها الحد الأدنى المحلي (انظر الشكل 16).
أرز. 16. إيجاد أقصى ربح وأقل تكلفة
المدرسة تحل العديد من مشاكل التحسين. دعونا نفكر في واحد منهم.
ما هو السياج المستطيل ذو الطول الثابت بحيث يحيط بأقصى مساحة (انظر الشكل 17)؟
أرز. 17. مشكلة التحسين
اتضح أن السياج يجب أن يكون مربعًا.
هناك الكثير من هذه المهام ، عندما يتم إصلاح معلمة واحدة ، وتحتاج المعلمة الثانية إلى التحسين. المعلمة التي تم إصلاحها هي بيانات مهمتنا (على سبيل المثال ، مادة السياج). وهناك معلمة نريد الحصول على الحد الأدنى أو الحد الأقصى (على سبيل المثال ، الحد الأقصى للمساحة ، الحد الأدنى لحجم). أي ، يتم تشكيل زوج من "الموارد - التأثير". هناك بعض الموارد التي تم تعيينها في البداية ، وبعض التأثير الذي نريد الحصول عليه.
الآن دعنا ننتقل إلى الخصائص العامة للدالة. ضع في اعتبارك أبسط حالة للتكامل. لنأخذ سلسلة من الأرقام:. السلسلة هي أيضًا دالة (من وسيطة طبيعية) ، كل رقم له رقمه التسلسلي وقيمته الخاصة. 
.
لنكتب صيغة إيجاد مجموع هذه المتسلسلة:
سيكون مجموع بعض القيم المحددة هو قيمة التكامل.
على سبيل المثال ، من أجل:
وهذا يعني أن التكامل هو في الواقع المجموع (في هذه القضيةمجموع قيم الدالة).
يربط معظم الطلاب التكامل بالمنطقة. دعنا نحاول ربط المثال بمجموع المتسلسلة والمساحة. دعونا نعيد كتابة هذه السلسلة كدالة خطية:.
ثم سيكون مجموع هذه السلسلة هو مجموع مناطق الأجزاء تحت الرسم البياني (في هذه الحالة ، شبه المنحرف) (انظر الشكل 18).
أرز. 18. منطقة تحت الرسم البياني للدالة
مجموع المساحات يساوي مساحة المجموع (إذا كانت الأجزاء التي يقسم عليها الشكل لا تتقاطع). إذن ، التكامل هو المساحة الواقعة أسفل التمثيل البياني للدالة. وهكذا ، بعد إيجاد التكامل ، يمكننا إيجاد مساحة جزء ما من المستوى. على سبيل المثال ، يمكنك العثور على المنطقة الموجودة أسفل الرسم البياني.
إذا أردنا تقديم تعريف التكامل بدقة من حيث مساحة الشكل تحت الوظيفة ، فنحن بحاجة إلى تقسيم الشكل نفسه إلى أجزاء صغيرة جدًا. ليس من الملائم دائمًا حساب المساحة كما في حالة الدالة الخطية. لنأخذ دالة على سبيل المثال. إذا قمنا بتقريب الوظيفة خطيًا (كما اقترحنا القيام به في حالة المشتق) ، إذن ، تمامًا كما في المثال السابق ، سنحصل على قسم للمنطقة بأكملها في مجموع مناطق شبه المنحرف (انظر الشكل. 19).
ثم ، في النهاية ، هذا هو التكامل ، أي المساحة الواقعة أسفل التمثيل البياني للدالة.
أرز. 19. منطقة تحت الرسم البياني للدالة
ولكن كيف نحسب هذه المساحة (متكامل)؟ بالنسبة للدوال المعروفة ، يوجد جدول التكاملات (على غرار جدول المشتقات). لكن في الحالة العامة ، نقرب الوظيفة عن طريق المقاطع ونحسب مجموع مناطق شبه المنحرف تحت هذه الأجزاء. تقليل المقاطع ، في الحد نحصل على قيمة التكامل.
على عكس المشتق ، عندما يتم الحصول دائمًا على مشتق "جيد" لوظيفة "جيدة" ، فإن هذا ليس هو الحال في حالة التكامل. على سبيل المثال ، لمثل هذه الوظيفة البسيطة حيث لا يمكننا حساب التكامل وتقديمه في شكل وظائف تحليلية (انظر الشكل 20).
إن حساب التكامل ليس بالمهمة السهلة ، وبالتالي فإن وجود معادلة نيوتن-لايبنيز البسيطة (انظر الشكل 20) ، والتي تتيح لنا حساب قيمة التكامل بسرعة ، إذا عرفنا شكله ، يسهل العمليات الحسابية إلى حد كبير . خلاف ذلك ، سيكون من الصعب حساب المنطقة المحددة في كل مرة.
أرز. 20. صيغة نيوتن ليبنيز لحساب التكاملات
لذلك ، فإن طرق الحساب الرئيسية هي:
- جدول التكاملات للدوال التي يمكننا حسابها (انظر الشكل 21) ؛
- التكامل الذي يسمح للشخص بالحساب مجموعات مختلفة وظائف الجدول(انظر الشكل 22) ؛
- صيغة نيوتن-لايبنيز (إذا قمنا بحساب القيمة عند أقصى نقطة في اليمين وطرحنا القيمة عند أقصى نقطة يسارية ، نحصل على المنطقة) (انظر الشكل 20).
أرز. 21. جدول التكاملات
أرز. 22. خصائص لا يتجزأ محدد
في المدرسة ، لم يتم اشتقاق معادلة نيوتن-لايبنيز ، على الرغم من أنه ليس من الصعب القيام بذلك إذا حددت التكامل على أنه المنطقة الموجودة أسفل الرسم البياني.
المزيد عن اشتقاق صيغة نيوتن-لايبنيز:
لفهم الفرق بين الخصائص المحلية والعالمية للوظيفة بشكل أفضل ، ضع في اعتبارك مثال إطلاق النار على الهدف. إذا التقطت عدة لقطات (لم تصب أي منها في المركز) وحسبت المتوسط ، تحصل عمليًا (انظر الشكل 23). على الرغم من أن مطلق النار في الواقع يمكن أن يضرب طوال الوقت أعلى أو أسفل الهدف ، إلا أن المتوسط سيظل قريبًا من الهدف.
أرز. 23. الرماية
يمكننا إعطاء مثال من الفيزياء - مركز الثقل. يمكن توزيع نفس الكتلة مع نفس مركز الثقل بطرق مختلفة تمامًا (انظر الشكل 24).
أرز. 24. متغيرات توزيع الكتلة مع نفس مركز الثقل
كمثال آخر ، يمكن للمرء معدل الحرارةعن طريق المستشفى. إذا كان لدى شخص ما درجة حرارة وكان شخص ما يعاني منها ، فحينئذٍ يتضح في المتوسط أن المرضى ليسوا مرضى.
إذا تحدثنا عن العلاقة بين المشتق (الخاصية المحلية) والتكامل (الخاصية العالمية) ، فمن الواضح بشكل حدسي أن هذه مفاهيم معكوسة بشكل متبادل. في الحقيقة ، هو كذلك. إذا أخذنا مشتقة التكامل أو تكامل المشتق ، فسنحصل على الدالة الأصلية. لشرح ذلك ، ضع في اعتبارك حركة الجسم. نعلم بالفعل أن السرعة هي مشتق الإزاحة. دعنا نحاول إجراء العملية العكسية. للقيام بذلك ، نعبر عن الحركة من حيث السرعة والوقت:
وإذا نظرنا إلى الرسم البياني (تتغير السرعة خطيًا) ، فسنرى أن المسار هو نتاج السرعة والوقت. من ناحية أخرى ، إنها المنطقة الواقعة تحت الرسم البياني (انظر الشكل 25).
أرز. 25. العلاقة بين المشتق والتكامل
إذا قمت بحساب تكامل السرعة ، فستحصل على قيمة المسار. والسرعة هي مشتق المسافة.
لذلك ، فإن المشتق والتكامل هما دالتان معكوستان بشكل متبادل. هناك دليل قوي على ذلك.
أرز. 26. العلاقة بين المشتق والتكامل
ولكن من أجل التحليل ، لفهم ماذا في السؤال، والعمل مع عمليات التمايز (حساب المشتق) والتكامل (حساب التكامل) ، يكفي ما قيل في هذا الدرس والمواد من الدروس الرئيسية.
عندما نحتاج إلى العثور على منزل في شارع. نيفا ، وخرجنا أمام المنزل ، ثم نذهب إلى يسار هذا المنزل أو يمينه لنفهم كيف يتم الترقيم.
جدول دالة أسيةهو خط ناعم منحني بدون مكامن الخلل ، حيث يمكن رسم الظل عند كل نقطة يمر بها. من المنطقي أن نفترض أنه إذا كان من الممكن رسم ظل ، فإن الوظيفة ستكون قابلة للتفاضل في كل نقطة من مجال تعريفها.
عرض في واحد تنسيق المحاورعدة رسوم بيانية للوظيفة y \ u003d x a ، من أجل a \ u003d 2 ؛ أ = 2.3 ؛ أ = 3 ؛ أ = 3.4.
عند النقطة ذات الإحداثيات (0 ؛ 1). ستكون زوايا انحدار هذه المماسات حوالي 35 و 40 و 48 و 51 درجة على التوالي. من المنطقي أن نفترض أنه في الفترة من 2 إلى 3 يوجد رقم تكون فيه زاوية ميل الظل 45 درجة.
دعونا نعطي الصيغة الدقيقة لهذه العبارة: يوجد عدد أكبر من 2 وأقل من 3 ، يُشار إليه بالحرف e ، بحيث أن الدالة الأسية y = e x عند النقطة 0 لها مشتق يساوي 1. أي: (e ∆x -1) / ∆x تميل إلى 1 لأن ∆x تميل إلى الصفر.
عدد معين هغير منطقي ويتم كتابته ككسر عشري لانهائي غير دوري:
ه = 2.7182818284 ...
نظرًا لأن الرقم e موجب وغير صفري ، فهناك لوغاريتم للقاعدة e. يسمى هذا اللوغاريتم اللوغاريتم الطبيعي. يشار إليها ln (x) = log e (x).
مشتق من الدالة الأسية
النظرية: الوظيفة e x قابلة للاشتقاق في كل نقطة من مجالها ، و (e x) '= e x.
الدالة الأسية a x قابلة للتفاضل في كل نقطة من مجال تعريفها ، وعلاوة على ذلك (أ س) '= (أ س) * ل ن (أ).
نتيجة لهذه النظرية هي حقيقة أن الوظيفة الأسية مستمرة في أي نقطة في مجال تعريفها.
مثال: أوجد مشتق الدالة y = 2 x.
وفقًا لصيغة مشتق الدالة الأسية ، نحصل على:
(2x) '= (2x) * ln (2).
الجواب: (2x) * ln (2).
مشتق عكسي للدالة الأسية
بالنسبة للدالة الأسية a x المعطاة على مجموعة الأعداد الحقيقية ، ستكون المشتقة العكسية هي الوظيفة (a x) / (ln (a)).
ln (a) ثابت ، ثم (a x / ln (a)) '= (1 / ln (a)) * (a x) * ln (a) = a x لأي x. لقد أثبتنا هذه النظرية.
ضع في اعتبارك مثالًا لإيجاد دالة أسية عكسية.
مثال: أوجد المشتق العكسي للدالة f (x) = 5 x. دعنا نستخدم الصيغة أعلاه والقواعد لإيجاد المشتقات العكسية. نحصل على: F (x) = (5 x) / (ln (5)) + C.
\ (\ DeclareMathOperator (\ tg) (tg) \) \ (\ DeclareMathOperator (\ ctg) (ctg) \) \ (\ DeclareMathOperator (\ arctg) (arctg) \) \ (\ DeclareMathOperator (\ arcctg) (arcctg) \)
المحتوىعناصر المحتوى
المشتقات ، الظل ، المشتقات العكسية ، الرسوم البيانية للوظائف والمشتقات.
المشتقدع الدالة \ (f (x) \) تحدد في بعض المناطق المجاورة للنقطة \ (x_0 \).
مشتق الوظيفة \ (f \) عند النقطة \ (x_0 \)يسمى الحد
\ (f "(x_0) = \ lim_ (x \ rightarrow x_0) \ dfrac (f (x) -f (x_0)) (x-x_0)، \)
إذا كان هذا الحد موجودًا.
يميز مشتق دالة عند نقطة ما معدل تغير هذه الوظيفة عند نقطة معينة.
| وظيفة | المشتق |
| \(مقدار ثابت\) | \(0\) |
| \ (س \) | \(1\) |
| \ (س ^ n \) | \ (n \ cdot x ^ (n-1) \) |
| \ (\ dfrac (1) (س) \) | \ (- \ dfrac (1) (س ^ 2) \) |
| \ (\ الجذر التربيعي (س) \) | \ (\ dfrac (1) (2 \ مربع (س)) \) |
| \ (ه ^ س \) | \ (ه ^ س \) |
| \ (أ ^ س \) | \ (a ^ x \ cdot \ ln (a) \) |
| \ (\ ln (س) \) | \ (\ dfrac (1) (س) \) |
| \ (\ log_a (x) \) | \ (\ dfrac (1) (س \ ln (أ)) \) |
| \ (\ الخطيئة س \) | \ (\ كوس س \) |
| \ (\ كوس س \) | \ (- \ الخطيئة س \) |
| \ (\ tgx \) | \ (\ dfrac (1) (\ cos ^ 2 x) \) |
| \ (\ ctg س \) | \ (- \ dfrac (1) (\ الخطيئة ^ 2x) \) |
قواعد التمايز\ (f \) و \ (g \) هي وظائف تعتمد على المتغير \ (x \) ؛ \ (ج \) هو رقم.
2) \ ((c \ cdot f) "= c \ cdot f" \)
3) \ ((f + g) "= f" + g "\)
4) \ ((f \ cdot g) "= f" g + g "f \)
5) \ (\ left (\ dfrac (f) (g) \ right) "= \ dfrac (f" g-g "f) (g ^ 2) \)
6) \ (\ left (f \ left (g (x) \ right) \ right) "= f" \ left (g (x) \ right) \ cdot g "(x) \) - مشتق من دالة معقدة
المعنى الهندسي للمشتق معادلة الخط المستقيم- يمكن كتابة المحور غير المتوازي \ (Oy \) كـ \ (y = kx + b \). المعامل \ (ك \) في هذه المعادلة يسمى منحدر خط مستقيم. هو يساوي الظل زاوية الميلهذا الخط المستقيم.
زاوية قائمة- الزاوية بين الاتجاه الإيجابي للمحور \ (الثور \) والخط المستقيم المحدد ، مقاسة في اتجاه الزوايا الموجبة (أي في اتجاه أقل دوران من المحور \ (الثور \) إلى \ (Oy \) المحور).
مشتق الوظيفة \ (f (x) \) عند النقطة \ (x_0 \) يساوي ميل الظل للرسم البياني للوظيفة عند النقطة المحددة: \ (f "(x_0) = \ tg \ألفا.\)
إذا كان \ (f "(x_0) = 0 \) ، فإن مماس الرسم البياني للوظيفة \ (f (x) \) عند النقطة \ (x_0 \) موازٍ للمحور \ (Ox \).
معادلة الظل
معادلة المماس للرسم البياني للوظيفة \ (f (x) \) عند النقطة \ (x_0 \):
\ (y = f (x_0) + f "(x_0) (x-x_0) \)
رتابة الوظيفةإذا كان مشتق الدالة موجبًا في جميع النقاط في فترة ما ، فإن الدالة تتزايد في تلك الفترة.
إذا كانت مشتقة الدالة سالبة عند جميع النقاط في فترة ما ، فإن الدالة تتناقص في تلك الفترة.
الحد الأدنى والحد الأقصى ونقاط الانعطاف إيجابيعلى ال نفيعند هذه النقطة ، تكون \ (x_0 \) هي النقطة القصوى للدالة \ (f \).
إذا كانت الدالة \ (f \) متصلة عند النقطة \ (x_0 \) ، وتتغير قيمة مشتق هذه الوظيفة \ (f "\) من نفيعلى ال إيجابيعند هذه النقطة ، يكون \ (x_0 \) هو الحد الأدنى لنقطة الوظيفة \ (f \).
يتم استدعاء النقاط التي يكون عندها المشتق \ (f "\) مساويًا للصفر أو غير موجود نقاط حرجةوظائف \ (و \).
النقاط الداخلية لمنطقة تعريف الوظيفة \ (f (x) \) ، حيث \ (f "(x) = 0 \) يمكن أن تكون نقاط انعطاف دنيا أو قصوى أو نقاط انعطاف.
المعنى المادي للمشتقإذا تحركت نقطة مادية في خط مستقيم وتغير إحداثياتها اعتمادًا على الوقت وفقًا للقانون \ (x = x (t) \) ، فإن سرعة هذه النقطة تساوي مشتق التوقيت للإحداثيات:
إن تسارع نقطة مادية يساوي مشتق سرعة هذه النقطة فيما يتعلق بالوقت:
\ (a (t) = v "(t). \)
ملف للدرس 29.
المشتق. تطبيق مشتق. بدائي.
ميلمماس للرسم البياني للدالة عند النقطة التي بها المحور x 0 يساوي مشتق الدالة عند النقطة x 0. .
هؤلاء. مشتق الوظيفة عند النقطة x 0 يساوي ظل منحدر الظل المرسوم على الرسم البياني للوظيفة عند النقطة (x 0 ؛ f (x 0)).
يمارس 1. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للوظيفة y \ u003d f (x) وظلًا لهذا الرسم البياني ، مرسومًا عند نقطة مع حدود الإحداثيات x x 0 .
الجواب: 0.25
يمارس 2. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للوظيفة y \ u003d f (x) وظلًا لهذا الرسم البياني ، مرسومًا عند نقطة مع حدود الإحداثيات x 0. أوجد قيمة مشتق الدالة f (x) عند النقطة x 0. الجواب: 0.6
يمارس 3. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للوظيفة y \ u003d f (x) وظلًا لهذا الرسم البياني ، مرسومًا عند نقطة مع حدود الإحداثيات x 0. أوجد قيمة مشتق الدالة f (x) عند النقطة x 0. الجواب: -0.25
يمارس 4. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للوظيفة y \ u003d f (x) وظلًا لهذا الرسم البياني ، مرسومًا عند نقطة مع حدود الإحداثيات x 0. أوجد قيمة مشتق الدالة f (x) عند النقطة x 0. الجواب: -0.2.
حس ميكانيكي المشتق.
الخامس ( ر 0 ) = x ' ( ر 0 )
السرعة مشتق من الإحداثيات تشغيل الوقت. على نفس المنوال، التسارع هو مشتق السرعة بالنسبة للوقت :
أ = الخامس' ( ر ).
يمارس 5 . نقطة ماديةيتحرك بشكل مستقيم وفقًا للقانون x (t) = 12 t 2 +4 t + 27 ، حيث x هي المسافة من النقطة المرجعية بالأمتار ، t هو الوقت بالثواني المقاس من لحظة بدء الحركة. أوجد سرعتها (بالأمتار لكل ثانية) عندما تكون t = 2 s. الجواب: 52
المهمة 6. تتحرك النقطة المادية في خط مستقيم وفقًا للقانونس (ر) \ u003d 16 ر 3 + ر 2-8 ر + 180، أين x- المسافة من النقطة المرجعية بالأمتار ،ر- الوقت بالثواني ، منذ بداية الحركة. في أي وقت (بالثواني) كانت سرعتها تساوي 42 م / ث؟ الجواب: 1
علامة كافيةزيادة (تناقص) الوظيفة
1. إذا كانت f `(x) في كل نقطة من الفاصل الزمني (، فإن الوظيفة تزيد بمقدار (.
2. إذا كانت f `(x) في كل نقطة من الفاصل الزمني (، فإن الوظيفة تقل بمقدار (.
شرط ضروريأقصى
إذا كانت النقطة س 0 هي النقطة القصوى للدالة وعند هذه النقطة يوجد مشتق ، إذن F `( x 0 )=0
حالة كافية من الحالات القصوى
اذا كان F `( x 0 x 0 قيمة علامة التغييرات المشتقة من "+" إلى "-" ، إذن x 0 هي النقطة القصوى للدالة.
اذا كان F `( x 0 ) = 0 وعند المرور بالنقطة x 0 قيمة مشتق التغييرات علامة من "-" إلى "+" ، إذن x 0 هي النقطة الدنيا للدالة.
المهمة 7.يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتق الوظيفة و (خ)، المحددة في الفاصل الزمني (−7 ؛ 10). أوجد عدد النقاط الدنيا للدالة و (خ)على المقطع [−3 ؛ ثمانية].
المحلول.يتوافق الحد الأدنى من النقاط مع النقاط التي تتغير فيها علامة المشتق من سالب إلى موجب. على المقطع [−3 ؛ 8] الوظيفة لها نقطة واحدة كحد أدنى x= 4. ومن ثم ، فإن هذه النقطة هي 1. الإجابة: 1.
المهمة 8. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لوظيفة قابلة للتفاضل y = f (x) وتم تحديد سبع نقاط على المحور x: x 1 ، x 2 ، x 3 ، x 4 ، x 5 ، x 6 ، x 7. في أي عدد من هذه النقاط يكون مشتق الدالة f (x) سالب؟ الجواب: 3
المهمة 9. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لوظيفة قابلة للتفاضل y = f (x) محددة في الفاصل الزمني (- 11 ؛ - 1). أوجد نقطة من المقطع [- 7 ؛ - 2] ، حيث يكون مشتق الدالة f (x) يساوي 0. الإجابة: -4
المهمة 10. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للوظيفة y = f ′ (x) - مشتق الوظيفة f (x) ، المحدد في الفترة (2 ؛ 13). أوجد النقطة العظمى للدالة f (x). الجواب: 9
المهمة 11. يوضح الشكل الرسم البياني y = f ′ (x) لمشتق الوظيفة f (x) المحددة في الفترة (- 3 ؛ 8). في أي نقطة من المقطع [- 2 ؛ 3] الوظيفة f (x) تأخذها أصغر قيمة؟ الجواب: -2
المهمة 12.يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لـ y = f "(x) - مشتق الدالة f (x) المحددة في الفترة (- 2 ؛ 11). أوجد الحد الفاصل للنقطة التي عندها مماس الرسم البياني للدالة y = f (x) موازية لمحور الإحداثي أو تتزامن مع إجابتها: 3
المهمة 13.يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لـ y = f "(x) - مشتق الدالة f (x) ، المحددة في الفترة (- 4 ؛ 6). أوجد الحد الفاصل للنقطة التي عندها ظل المماس للرسم البياني الدالة y = f (x) موازية للخط y = 3x أو تطابقه
المهمة 14. يوضح الشكل الرسم البياني y = f "(x) - مشتق الدالة f (x) المحددة في الفترة (- 4 ؛ 13). أوجد عدد النقاط التي يكون فيها مماس الرسم البياني للدالة y = f (x) يوازي الخط y = - 2x − 10 أو يساوي ذلك الإجابة: 5
المهمة 15.الخط y = 5x -8 مماس للرسم البياني للدالة 4x 2-15x + c. يجد ج. يا جواب: 17.
عكسي
دالة عكسية و (س) للوظيفة و (خ) تسمى وظيفة المشتق وهو ما يساوي الوظيفة الأصلية. F " ( x )= F ( x ).
المهمة 16.يوضح الشكل رسم بياني ص = واو (x) أحد المشتقات العكسية لبعض الوظائف F(x) المحددة في الفاصل الزمني (1 ؛ 13). باستخدام الشكل ، حدد عدد حلول المعادلة F (x) = 0 في المقطع. الجواب: 4
المهمة 17.يوضح الشكل رسمًا بيانيًا y = F (x) لأحد المشتقات العكسية لبعض الوظائف f (x) المحددة في الفترة (- 7 ؛ 8). باستخدام الشكل ، حدد عدد حلول المعادلة f (x) = 0 على الفترة. الجواب: 1
المهمة 18. يوضح الشكل الرسم البياني y = F (x) لإحدى المشتقات العكسية لبعض الوظائف f (x) وثماني نقاط موضحة على المحور x: x1 ، x2 ، x3 ، x4 ، x5 ، x6 ، x7 ، x8. في أي عدد من هذه النقاط تكون الدالة f (x) سالبة؟ الجواب: 3
المهمة 19.يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف y = f (x). الدالة F (x) = 12x 3 −3x 2 + 152x − 92 هي إحدى المشتقات العكسية للدالة f (x). أوجد مساحة الشكل المظلل. الجواب: 592
خوارزمية لإيجاد النقاط القصوى
ابحث عن نطاق الوظيفة.
أوجد مشتق دالة F "( x)
العثور على النقاط حيث F "( x) = 0.
ضع علامة على خط الأعداد على مجال الوظيفة وجميع أصفار المشتق.
تحديد علامة المشتقلكل فترة. (لهذا نستبدل القيمة "الملائمة" x من هذا الفاصل إلى F "( x)).
تحديد من خلال علامات المشتق مناطق الزيادة والنقصان للوظيفة واستخلاص النتائج حول وجود أو عدم وجود الطرف الأقصى وطبيعته ( الأعلى أودقيقة ) في كل نقطة من هذه النقاط.
المهمة 20.أوجد النقطة القصوى للدالة y = (2x − 1) cosx − 2sinx + 5 ، والتي تنتمي إلى الفترة الزمنية (0 ؛ π / 2). الجواب: 0.5
المهمة 21.أوجد النقطة العظمى للدالةص =.الجواب: 6
إيجاد الخوارزمية أكبر وأصغر قيمة للدالة في الفترة
المهمة 22.أوجد أصغر قيمة للدالة y = x −6x +1 في القطعة. الجواب: -31
المهمة 23.أوجد أصغر قيمة للدالة y = 8cosx + 30x / π + 19 على الفترة [- 2π / 3 ؛ 0]. الجواب: -5
بالإضافة إلى ذلك. واحد.أوجد النقطة العظمى للدالة y = (x − 11) 2 ⋅e x - 7.
2. البحث أعلى قيمةالدوال y = x 5 -5x3 -20x على الفاصل الزمني [- 9 ؛ واحد]. الجواب: 48
هذا الدرس هو الأول في سلسلة مقاطع الفيديو حول التكامل. في ذلك ، سنحلل ماهية المشتق العكسي للدالة ، وكذلك دراسة الطرق الأولية لحساب هذه المشتقات العكسية.
في الواقع ، لا يوجد شيء معقد هنا: في الأساس ، كل شيء ينزل إلى مفهوم المشتق ، والذي يجب أن تكون على دراية به بالفعل. :)
ألاحظ ذلك على الفور ، لأن هذا هو الدرس الأول في موضوع جديد، اليوم لن تكون هناك حسابات وصيغ معقدة ، ولكن ما سوف ندرسه اليوم سيشكل أساسًا لحسابات وهياكل أكثر تعقيدًا عند حساب التكاملات والمساحات المعقدة.
بالإضافة إلى ذلك ، عند البدء في دراسة التكامل والتكاملات على وجه الخصوص ، نفترض ضمنيًا أن الطالب على الأقل على دراية بمفاهيم المشتق ولديه على الأقل مهارات أولية في حسابها. بدون فهم واضح لهذا ، لا يوجد شيء على الإطلاق للقيام به في التكامل.
ومع ذلك ، تكمن هنا واحدة من أكثر المشاكل شيوعًا وماكرة. الحقيقة هي أنه عند بدء حساب المشتقات العكسية الأولى ، يخلط العديد من الطلاب بينها وبين المشتقات. نتيجة لذلك ، في الامتحانات و عمل مستقلترتكب أخطاء غبية ومهينة.
لذلك ، لن أعطي الآن تعريفًا واضحًا للمشتق العكسي. وبالمقابل ، أقترح أن تنظر في كيفية النظر إليه من خلال مثال ملموس بسيط.
ما هي البدائية وكيف يتم النظر فيها
نحن نعرف هذه الصيغة:
\ [((\ left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]
يعتبر هذا المشتق أوليًا:
\ [(f) "\ left (x \ right) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) = 3 ((x) ^ (2)) \ ]
دعونا ننظر عن كثب إلى التعبير الناتج والتعبير عن $ ((x) ^ (2)) $:
\ [((x) ^ (2)) = \ frac (((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime))) (3) \]
لكن يمكننا أيضًا كتابتها بهذه الطريقة ، وفقًا لتعريف المشتق:
\ [((x) ^ (2)) = ((\ left (\ frac (((x) ^ (3))) (3) \ right)) ^ (\ prime)) \]
والانتباه الآن: ما كتبناه للتو هو تعريف المشتق العكسي. لكن لكتابتها بشكل صحيح ، عليك أن تكتب ما يلي:
لنكتب التعبير التالي بنفس الطريقة:
إذا قمنا بتعميم هذه القاعدة ، فيمكننا اشتقاق الصيغة التالية:
\ [((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]
الآن يمكننا صياغة تعريف واضح.
المشتق العكسي للدالة هو دالة مشتقها يساوي الوظيفة الأصلية.
أسئلة حول الوظيفة العكسية
يبدو أنه تعريف بسيط ومفهوم إلى حد ما. ومع ذلك ، عند سماعه ، سيكون لدى الطالب اليقظ على الفور عدة أسئلة:
- لنفترض ، حسنًا ، هذه الصيغة صحيحة. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، عندما يكون $ n = 1 $ ، لدينا مشاكل: يظهر "صفر" في المقام ، ومن المستحيل القسمة على "صفر".
- الصيغة تقتصر فقط على القوى. كيفية حساب المشتق العكسي ، على سبيل المثال ، الجيب وجيب التمام وأي حساب مثلثات آخر ، وكذلك الثوابت.
- سؤال وجودي: هل من الممكن دائمًا العثور على المشتقات العكسية على الإطلاق؟ إذا كان الأمر كذلك ، فماذا عن المجموع العكسي ، والفرق ، والمنتج ، وما إلى ذلك؟
سأجيب على السؤال الأخير على الفور. لسوء الحظ ، لا يتم دائمًا اعتبار المشتق العكسي ، على عكس المشتق. لايوجد مثيل صيغة عالمية، وفقًا لأي بناء أولي ، سنحصل على وظيفة تساوي هذا البناء المماثل. بالنسبة للقوى والثوابت ، سنتحدث عن ذلك الآن.
حل مشاكل وظائف الطاقة
\ [((x) ^ (- 1)) \ to \ frac (((x) ^ (- 1 + 1))) (- 1 + 1) = \ frac (1) (0) \]
كما نرى، صيغة معينةلـ $ ((x) ^ (- 1)) $ لا يعمل. السؤال الذي يطرح نفسه: ماذا بعد ذلك يعمل؟ ألا يمكننا حساب $ ((x) ^ (- 1)) $؟ بالطبع نستطيع. لنبدأ بهذا:
\ [((x) ^ (- 1)) = \ frac (1) (x) \]
لنفكر الآن: مشتق أي دالة يساوي $ \ frac (1) (x) $. من الواضح أن أي طالب شارك على الأقل قليلاً في هذا الموضوع سيتذكر أن هذا التعبير يساوي مشتق اللوغاريتم الطبيعي:
\ [((\ left (\ ln x \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (x) \]
لذلك يمكننا أن نكتب بكل ثقة ما يلي:
\ [\ frac (1) (x) = ((x) ^ (- 1)) \ to \ ln x \]
يجب معرفة هذه الصيغة ، تمامًا مثل مشتق دالة الأس.
إذن ما نعرفه حتى الآن:
- لوظيفة الطاقة - $ ((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) $
- للثابت - $ = const \ to \ cdot x $
- حالة خاصة لدالة الطاقة - $ \ frac (1) (x) \ to \ ln x $
وإذا بدأنا بضرب أبسط الدوال وقسمتها ، فكيف نحسب إذن المشتقة العكسية لمنتج أو حاصل قسمة. لسوء الحظ ، لا تعمل المقارنات مع مشتق منتج أو حاصل القسمة هنا. لا توجد صيغة قياسية. في بعض الحالات ، توجد صيغ خاصة صعبة - سنتعرف عليها في دروس الفيديو المستقبلية.
ومع ذلك ، تذكر: الصيغة العامة، لا توجد صيغة مماثلة لحساب مشتق حاصل القسمة والمنتج.
حل المشاكل الحقيقية
مهمة 1
دعونا كل وظائف الطاقةعد بشكل منفصل:
\ [((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) \]
بالعودة إلى تعبيرنا ، نكتب البناء العام:
المهمة رقم 2
كما قلت سابقًا ، لا يتم النظر في الأعمال البدائية والأعمال الخاصة "فارغة من خلال". ومع ذلك ، يمكنك هنا القيام بما يلي:
لقد قسمنا الكسر إلى مجموع كسرين.
دعنا نحسب:
الخبر السار هو أنه بمجرد أن تعرف معادلات حساب المشتقات العكسية ، ستتمكن بالفعل من حساب المزيد الهياكل المعقدة. ومع ذلك ، دعنا نمضي قدمًا ونوسع معرفتنا أكثر قليلاً. الحقيقة هي أن العديد من الإنشاءات والتعبيرات التي ، للوهلة الأولى ، لا علاقة لها بـ $ ((x) ^ (n)) $ يمكن تمثيلها كقوة مع مؤشر منطقي، يسمى:
\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \]
\ [\ sqrt [n] (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (n))) \]
\ [\ frac (1) (((x) ^ (n))) = ((x) ^ (- n)) \]
كل هذه التقنيات يمكن بل يجب دمجها. تعابير القوةتستطيع
- تتكاثر (تضاف الصلاحيات) ؛
- قسمة (يتم طرح الدرجات) ؛
- اضرب في ثابت ؛
- إلخ.
حل التعبيرات باستخدام الدرجة ذات الأس المنطقي
مثال 1
دعونا نحسب كل جذر على حدة:
\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (1) (2) +1))) (\ frac (1) (2) +1) = \ frac (((x) ^ (\ frac (3) (2)))) (\ frac (3) (2)) = \ frac (2 \ cdot (( x) ^ (\ frac (3) (2)))) (3) \]
\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (4))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (1) (4)))) (\ frac ( 1) (4) +1) = \ frac (((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (\ frac (5) (4)) = \ frac (4 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (5) \]
في المجموع ، يمكن كتابة البناء بالكامل على النحو التالي:
المثال رقم 2
\ [\ frac (1) (\ sqrt (x)) = ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (- 1)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac ( 1) (2))) \ right)) ^ (- 1)) = ((x) ^ (- \ frac (1) (2))) \]
لذلك سوف نحصل على:
\ [\ frac (1) (((x) ^ (3))) = ((x) ^ (- 3)) \ to \ frac (((x) ^ (- 3 + 1))) (- 3 +1) = \ frac (((x) ^ (- 2))) (- 2) = - \ frac (1) (2 ((x) ^ (2))) \]
في المجموع ، بجمع كل شيء في تعبير واحد ، يمكننا كتابة:
المثال رقم 3
أولاً ، لاحظ أننا قمنا بالفعل بحساب $ \ sqrt (x) $:
\ [\ sqrt (x) \ to \ frac (4 ((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (5) \]
\ [((x) ^ (\ frac (3) (2))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (3) (2) +1))) (\ frac (3) (2 ) +1) = \ frac (2 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (2)))) (5) \]
دعنا نعيد كتابة:
آمل ألا يفاجئ أي شخص إذا قلت أن ما درسناه للتو هو الأكثر حسابات بسيطةالبدائية ، معظم الإنشاءات الأولية. دعنا الآن نلقي نظرة على المزيد أمثلة معقدة، حيث ، بالإضافة إلى المشتقات العكسية المجدولة ، سيكون من الضروري أيضًا تذكرها المناهج الدراسيةوهي صيغ الضرب المختزلة.
حل المزيد من الأمثلة المعقدة
مهمة 1
تذكر معادلة مربع الفرق:
\ [((\ left (a-b \ right)) ^ (2)) = ((a) ^ (2)) - ab + ((b) ^ (2)) \]
دعنا نعيد كتابة وظيفتنا:
علينا الآن إيجاد المشتقة العكسية لمثل هذه الوظيفة:
\ [((x) ^ (\ frac (2) (3))) \ to \ frac (3 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (3)))) (5) \]
\ [((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ to \ frac (3 \ cdot ((x) ^ (\ frac (4) (3)))) (4) \]
نجمع كل شيء في تصميم مشترك:
المهمة رقم 2
في هذه الحالة ، نحتاج إلى فتح مكعب الفرق. فلنتذكر:
\ [((\ left (a-b \ right)) ^ (3)) = ((a) ^ (3)) - 3 ((a) ^ (2)) \ cdot b + 3a \ cdot ((b) ^ (2)) - ((ب) ^ (3)) \]
بالنظر إلى هذه الحقيقة يمكن كتابتها على النحو التالي:
دعنا نعدل وظيفتنا قليلاً:
نعتبر ، كما هو الحال دائمًا ، لكل مصطلح على حدة:
\ [((x) ^ (- 3)) \ to \ frac (((x) ^ (- 2))) (- 2) \]
\ [((x) ^ (- 2)) \ to \ frac (((x) ^ (- 1))) (- 1) \]
\ [((x) ^ (- 1)) \ to \ ln x \]
دعنا نكتب البناء الناتج:
المهمة رقم 3
في الأعلى لدينا مربع المجموع ، لنفتحه:
\ [\ frac (((\ left (x + \ sqrt (x) \ right)) ^ (2))) (x) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x \ cdot \ sqrt (x ) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (2))) (x) = \]
\ [= \ frac (((x) ^ (2))) (x) + \ frac (2x \ sqrt (x)) (x) + \ frac (x) (x) = x + 2 ((x) ^ (\ frac (1) (2))) + 1 \]
\ [((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ to \ frac (2 \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (2)))) (3) \]
لنكتب الحل النهائي:
والانتباه الآن! شئ مهم جدا يرتبط بنصيب الاسد من الاخطاء وسوء الفهم. الحقيقة هي أنه حتى الآن ، بحساب المشتقات العكسية بمساعدة المشتقات ، وإعطاء التحويلات ، لم نفكر في ما يساوي مشتق الثابت. لكن مشتق ثابت يساوي "صفر". وهذا يعني أنه يمكنك كتابة الخيارات التالية:
- $ ((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) $
- $ ((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) + 1 $
- $ ((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) + C $
من المهم جدًا فهم هذا: إذا كانت مشتقة الدالة هي نفسها دائمًا ، فإن نفس الوظيفة لها عدد لا حصر له من المشتقات العكسية. يمكننا ببساطة إضافة أي أعداد ثابتة إلى الأعداد الأولية والحصول على أعداد جديدة.
ليس من قبيل المصادفة أنه في شرح المهام التي قمنا بحلها للتو ، تم كتابة "اكتب الشكل العامالأوليات ". هؤلاء. يُفترض مسبقًا مسبقًا أنه لا يوجد واحد منهم ، بل مجموعة كاملة منهم. لكن في الواقع ، يختلفان فقط في $ C $ الثابت في النهاية. لذلك في مهامنا سنصحح ما لم نكمله.
مرة أخرى ، نعيد كتابة الإنشاءات الخاصة بنا:
في مثل هذه الحالات ، يجب إضافة أن $ C $ ثابت - $ C = const $.
في وظيفتنا الثانية ، نحصل على البناء التالي:
وآخر واحد:
والآن حصلنا حقًا على ما هو مطلوب منا في الحالة الأولية للمشكلة.
حل مسائل إيجاد المشتقات العكسية بنقطة معينة
الآن ، عندما نعرف عن الثوابت وخصائص كتابة المشتقات العكسية ، فإنها تنشأ منطقيًا تمامًا النوع التاليالمشاكل ، عندما يكون مطلوبًا من مجموعة جميع المشتقات العكسية العثور على واحد فقط من شأنه أن يمر نقطة معينة. ما هي هذه المهمة؟
الحقيقة هي أن جميع المشتقات العكسية لدالة معينة تختلف فقط من حيث أنها تُزاح عموديًا بواسطة رقم ما. وهذا يعني أنه بغض النظر عن النقطة التي نتخذها على المستوى الإحداثي الذي نتخذه ، فإن مشتق عكسي واحد سيمر بالتأكيد ، وعلاوة على ذلك ، واحد فقط.
لذا ، فإن المهام التي سنحلها الآن تتم صياغتها على النحو التالي: ليس من السهل العثور على المشتق العكسي ، مع معرفة صيغة الوظيفة الأصلية ، ولكن اختيار واحد منها بالضبط يمر عبر نقطة معينة ، إحداثياتها سوف في حالة المشكلة.
مثال 1
أولاً ، دعنا نحسب فقط كل مصطلح:
\ [((x) ^ (4)) \ to \ frac (((x) ^ (5))) (5) \]
\ [((x) ^ (3)) \ to \ frac (((x) ^ (4))) (4) \]
الآن نعوض بهذه التعبيرات في بنائنا:
يجب أن تمر هذه الوظيفة عبر النقطة $ M \ left (-1 ؛ 4 \ right) $. ماذا يعني أنه يمر عبر نقطة؟ هذا يعني أنه بدلاً من $ x $ وضعنا $ -1 $ في كل مكان ، وبدلاً من $ F \ left (x \ right) $ - $ -4 $ ، يجب أن نحصل على المساواة العددية الصحيحة. هيا بنا نقوم بذلك:
نرى أن لدينا معادلة لـ $ C $ ، لذا دعونا نحاول حلها:
دعنا نكتب الحل الذي كنا نبحث عنه:
المثال رقم 2
بادئ ذي بدء ، من الضروري فتح مربع الاختلاف باستخدام صيغة الضرب المختصرة:
\ [((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) \]
سيتم كتابة الهيكل الأصلي على النحو التالي:
لنجد الآن $ C $: استبدل إحداثيات النقطة $ M $:
\ [- 1 = \ frac (8) (3) -12 + 18 + C \]
نعبر عن $ C $:
يبقى لعرض التعبير النهائي:
حل المسائل المثلثية
كوتر أخير لما حللناه للتو ، أقترح التفكير في اثنين آخرين المهام الصعبةتحتوي على علم المثلثات. وبنفس الطريقة ، سيكون من الضروري إيجاد المشتقات العكسية لجميع الوظائف ، ثم اختر من هذه المجموعة المجموعة الوحيدة التي تمر عبر النقطة $ M $ على المستوى الإحداثي.
بالنظر إلى المستقبل ، أود أن أشير إلى أن التقنية التي سنستخدمها الآن لإيجاد المشتقات العكسية منها الدوال المثلثية، في الواقع ، هو استقبال عالميللاختبار الذاتي.
مهمة 1
لنتذكر الصيغة التالية:
\ [((\ left (\ text (tg) x \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (((\ cos) ^ (2)) x) \]
بناءً على ذلك يمكننا أن نكتب:
لنعوض بإحداثيات النقطة $ M $ في التعبير:
\ [- 1 = \ text (tg) \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (\ text (4)) + C \]
دعنا نعيد كتابة التعبير مع وضع هذه الحقيقة في الاعتبار:
المهمة رقم 2
هنا سيكون الأمر أكثر صعوبة بقليل. الآن سترى لماذا.
لنتذكر هذه الصيغة:
\ [((\ left (\ text (ctg) x \ right)) ^ (\ prime)) = - \ frac (1) (((\ sin) ^ (2)) x) \]
للتخلص من "الطرح" يجب القيام بما يلي:
\ [((\ left (- \ text (ctg) x \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (((\ sin) ^ (2)) x) \]
هنا تصميمنا
استبدل إحداثيات النقطة $ M $:
دعنا نكتب البناء النهائي:
هذا كل ما أردت إخبارك به اليوم. لقد درسنا مصطلح المشتقات العكسية ، وكيفية حسابها من وظائف الابتدائية، وكذلك كيفية إيجاد المشتق العكسي يمر عبر نقطة معينة على المستوى الإحداثي.
آمل أن يساعدك هذا الدرس قليلاً على الأقل في فهم هذا الموضوع المعقد. على أي حال ، فإن المشتقات العكسية هي التي لأجل غير مسمى و تكاملات غير محددة، لذلك من الضروري للغاية عدهم. هذا كل شيء بالنسبة لي. اراك قريبا!