أمثلة للدوال المثلثية العكسية. نعبر عن جميع الدوال المثلثية العكسية

يعكس الدوال المثلثية لديك تطبيق واسعفي التحليل الرياضي. ومع ذلك ، بالنسبة لمعظم طلاب المدارس الثانوية ، فإن المهام المرتبطة بهذا النوع من الوظائف تسبب صعوبات كبيرة. هذا يرجع أساسًا إلى حقيقة أنه في العديد من الكتب المدرسية و وسائل تعليميةتم إيلاء القليل من الاهتمام لمشاكل من هذا النوع. وإذا تعامل الطلاب بطريقة ما مع مهام حساب قيم الدوال المثلثية العكسية ، فإن المعادلات والمتباينات التي تحتوي على مثل هذه الدوال ، في معظم الأحيان ، تربك الأطفال. في الواقع ، هذا ليس مفاجئًا ، لأنه عمليًا لا يوجد كتاب مدرسي يشرح طريقة حل حتى أبسط المعادلات والمتباينات التي تحتوي على دوال مثلثية معكوسة.

ضع في اعتبارك عدة معادلات ومتباينات تحتوي على دوال مثلثية عكسية وحلها بشرح مفصل.

مثال 1

حل المعادلة: 3arccos (2x + 3) = 5π / 2.

المحلول.

نعبر عن الدالة المثلثية العكسية من المعادلة ، ونحصل على:

arccos (2x + 3) = 5π / 6. الآن دعونا نستخدم تعريف قوس جيب الزاوية.

جيب التمام القوسي لرقم معين a ينتمي إلى المقطع من -1 إلى 1 هو زاوية y من المقطع من 0 إلى بحيث يساوي جيب تمامه الرقم x. لذلك يمكن كتابتها على النحو التالي:

2 س + 3 = كوس 5/6.

نكتب الجانب الأيمن من المعادلة الناتجة وفقًا لصيغة الاختزال:

2x + 3 = cos (π - π / 6).

2x + 3 = -cos π / 6 ؛

2x + 3 = -3 / 2 ؛

2 س = -3 - √3 / 2.

لنجلب الطرف الأيمن إلى قاسم مشترك.

2x = - (6 + √3) / 2 ؛

س = - (6 + √3) / 4.

إجابه: -(6 + √3) / 4 .

مثال 2

حل المعادلة: cos (arccos (4x - 9)) = x 2-5x + 5.

المحلول.

بما أن cos (arcсos x) = x حيث تنتمي x إلى [-1 ؛ 1] ، فهذه المعادلة تعادل النظام:

(4 س - 9 = س 2-5 س + 5 ،
(-1 ≤ 4x - 9 1.

لنحل المعادلة المضمنة في النظام.

4 س - 9 = س 2-5 س + 5.

إنه مربع ، لذلك حصلنا على ذلك

× 2-9x + 14 \ u003d 0 ؛

د = 81-4 14 = 25 ؛

× 1 \ u003d (9 + 5) / 2 = 7 ؛

× 2 \ u003d (9-5) / 2 \ u003d 2.

لنحل المتباينة المزدوجة المضمنة في النظام.

1 4x - 9 1. أضف 9 إلى جميع الأجزاء ، سيكون لدينا:

8 ≤ 4x ≤ 10. اقسم كل رقم على 4 ، نحصل على:

2 × × 2.5.

الآن دعونا نجمع الردود. من السهل ملاحظة أن جذر x = 7 لا يحقق إجابة المتباينة. لذلك ، سيكون الحل الوحيد للمعادلة هو x = 2.

الجواب: 2.

مثال 3

حل المعادلة: tg (arctg (0.5 - x)) = x 2 - 4x + 2.5.

المحلول.

بما أن tg (arctg x) = x لجميع الأعداد الحقيقية ، فإن هذه المعادلة تعادل المعادلة:

0.5 - س \ u003d × 2 - 4x + 2.5.

دعونا نحل ملف معادلة من الدرجة الثانيةباستخدام المميز ، بعد أن أحضره مسبقًا إلى النموذج القياسي.

× 2 - 3 س + 2 = 0 ؛

د = 9-4 2 = 1 ؛

× 1 \ u003d (3 + 1) / 2 \ u003d 2 ؛

× 2 \ u003d (3-1) / 2 \ u003d 1.

الجواب: 1 ؛ 2.

مثال 4

حل المعادلة: arcctg (2x - 1) = arcctg (x 2/2 + x / 2).

المحلول.

بما أن arcctg f (x) = arcctg g (x) إذا وفقط إذا كانت f (x) = g (x) ، إذن

2x - 1 \ u003d x 2/2 + x / 2. لنحل المعادلة التربيعية الناتجة:

4x - 2 \ u003d × 2 + س ؛

س 2 - 3 س + 2 = 0.

من خلال نظرية فييتا ، حصلنا على ذلك

س = 1 أو س = 2.

الجواب: 1 ؛ 2.

مثال 5

حل المعادلة: arcsin (2x - 15) = arcsin (x 2-6x - 8).

المحلول.

بما أن معادلة النموذج arcsin f (x) = arcsin g (x) تعادل النظام

(و (س) = ز (س) ،
(f (x) € [-1 ؛ 1] ،

ثم المعادلة الأصلية تعادل النظام:

(2 س - 15 = س 2-6 س + 8 ،
(-1 2 س - 15 1.

لنحل النظام الناتج:

(× 2-8 س + 7 \ u003d 0 ،
(14 ≤ 2x ≤ 16.

من المعادلة الأولى ، وفقًا لنظرية فييتا ، لدينا أن x = 1 أو x = 7. لحل المتباينة الثانية في النظام ، نحصل على 7 ≤ x ≤ 8. لذلك ، فإن الجذر x = 7 فقط هو المناسب في الجواب النهائي.

الجواب: 7.

مثال 6

حل المعادلة: (arccos x) 2-6 arccos x + 8 = 0.

المحلول.

دع arccos x = t ، ثم t ينتمي إلى المقطع وتصبح المعادلة:

ر 2 - 6 ت + 8 = 0. نحل المعادلة التربيعية الناتجة باستخدام نظرية فييتا ، نحصل على t = 2 أو t = 4.

نظرًا لأن t = 4 لا تنتمي إلى المقطع ، فإننا نحصل على t = 2 ، أي arccos x \ u003d 2 ، مما يعني x \ u003d cos 2.

الجواب: cos 2.

مثال 7

حل المعادلة: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2/36.

المحلول.

نحن نستخدم المساواة arcsin x + arccos x = / 2 ونكتب المعادلة كـ

(arcsin x) 2 + (π / 2 - arcsin x) 2 = 5π 2/36.

دع arcsin x = t ، ثم t ينتمي إلى الفترة [-/ 2 ؛ π / 2] وتصبح المعادلة:

ر 2 + (/ 2 - ر) 2 = 5π 2/36.

لنحل المعادلة الناتجة:

ر 2 + 2/4 - t + ر 2 = 5π 2/36 ؛

2 طن 2 - t + 9π 2 / 36-5π 2/36 = 0 ؛

2 طن 2 - t + 4π 2/36 = 0 ؛

2t 2 - t + 2/9 = 0. اضرب كل حد في 9 للتخلص من الكسور في المعادلة ، نحصل على:

18 طن 2 - 9πt + 2 = 0.

أوجد المميز وحل المعادلة الناتجة:

د \ u003d (-9π) 2-4 18 π 2 \ u003d 9π 2.

ر = (9π - 3π) / 2 18 أو ر = (9π + 3π) / 2 18 ؛

ر = 6π / 36 أو ر = 12π / 36.

بعد التخفيض لدينا:

ر = π / 6 أو ر = π / 3. ثم

arcsin x = π / 6 أو arcsin x = π / 3.

إذن ، x = sin π / 6 أو x = sin π / 3. أي x = 1/2 أو x = √3 / 2.

الجواب: 1/2 ؛ √3 / 2.

المثال 8

أوجد قيمة التعبير 5nx 0 ، حيث n هو عدد الجذور ، و x 0 هو الجذر السالب للمعادلة 2 arcsin x = - π - (x + 1) 2.

المحلول.

منذ -π / 2 ≤ arcsin x ≤ π / 2 ، ثم-≤ 2 arcsin x ≤ π. علاوة على ذلك ، (x + 1) 2 ≥ 0 لكل x حقيقي ،
ثم - (x + 1) 2 ≤ 0 و-- (x + 1) 2 ≤ -π.

وبالتالي ، يمكن أن يكون للمعادلة حل إذا كان كلا الجزأين متساويين في نفس الوقت مع ، أي المعادلة تعادل النظام:

(2 قوسين س =-،
(-π - (س + 1) 2 =-.

لنحل نظام المعادلات الناتج:

(arcsin x =-/ 2 ،
((س + 1) 2 = 0.

من المعادلة الثانية لدينا أن x \ u003d -1 ، على التوالي ، n \ u003d 1 ، ثم 5nx 0 \ u003d 5 1 (-1) \ u003d -5.

الجواب: -5.

كما تبين الممارسة ، فإن القدرة على حل المعادلات ذات الدوال المثلثية العكسية هي شرط ضروري تسليم ناجحالامتحانات. هذا هو السبب في أن التدريب على حل مثل هذه المشكلات ضروري ببساطة وإلزامي في التحضير للامتحان.

هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيف تحل المعادلات؟
للحصول على مساعدة من مدرس -.
الدرس الأول مجاني!

blog.site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، مطلوب ارتباط بالمصدر.

الدوال المثلثية العكسية هي دوال رياضية مقلوبة للدوال المثلثية.

الدالة y = arcsin (x)

قوس الجيب للرقم α هو مثل هذا الرقم α من الفاصل الزمني [-/ 2 ؛ π / 2] ، الذي يساوي جيبه α.
رسم بياني وظيفي
الوظيفة y \ u003d sin⁡ (x) على الفاصل الزمني [-/ 2 ؛ / 2] ، تتزايد بشكل صارم ومستمرة ؛ لذلك لديها وظيفة عكسية، بشكل صارم ومتزايد.
الوظيفة العكسية للدالة y = sin⁡ (x) ، حيث x ∈ [-/ 2 ؛ π / 2] ، تسمى القوسين ويشار إليها y = arcsin (x) ، حيث x∈ [-1 ؛ 1 ].
لذلك ، وفقًا لتعريف الدالة العكسية ، فإن مجال تعريف القوس هو المقطع [-1 ؛ 1] ، ومجموعة القيم هي المقطع [-/ 2 ؛ / 2].
لاحظ أن الرسم البياني للدالة y = arcsin (x) ، حيث x ∈ [-1 ؛ 1]. متماثل مع الرسم البياني للدالة y = sin (⁡x) ، حيث x∈ [-/ 2 ؛ π / 2] بالنسبة للمنصف تنسيق الزواياالربع الأول والثالث.

نطاق الدالة y = arcsin (x).

مثال رقم 1.

البحث عن arcsin (1/2)؟

بما أن نطاق الدالة arcsin (x) ينتمي إلى الفترة [-/ 2 ؛ / 2] ، فإن القيمة π / 6 فقط هي المناسبة ، لذلك ، arcsin (1/2) = π / 6.
الجواب: π / 6

المثال رقم 2.
أوجد arcsin (- (3) / 2)؟

بما أن نطاق arcsin (x) x ∈ [-/ 2 ؛ π / 2] ، فقط القيمة -π / 3. مناسبة لذلك ، arcsin (- (√3) / 2) = - / 3.

الوظيفة y = arccos (x)

قوس جيب الزاوية لعدد α هو رقم α من الفترة التي يساوي جيب تمامها α.

رسم بياني وظيفي

الدالة y = cos (⁡x) في الفترة تتناقص بشكل صارم ومستمرة ؛ لذلك ، لها دالة عكسية متناقصة ومستمرة بشكل صارم.
الدالة العكسية للدالة y = cos⁡x ، حيث تسمى x ∈ جيب التمام القوسيويرمز إلى y = arccos (x) ، حيث x ∈ [-1 ؛ 1].
لذلك ، وفقًا لتعريف الدالة العكسية ، يكون مجال تعريف قوس القوس هو المقطع [-1 ؛ 1] ، ومجموعة القيم هي المقطع.
لاحظ أن الرسم البياني للدالة y = arccos (x) ، حيث x ∈ [-1 ؛ 1] متماثل مع الرسم البياني للدالة y = cos (⁡x) ، حيث x ∈ ، فيما يتعلق بمنصف تنسيق زوايا الربع الأول والثالث.

نطاق الدالة y = arccos (x).

المثال رقم 3.

البحث عن arccos (1/2)؟

بما أن نطاق arccos (x) هو x∈ ، فإن القيمة π / 3. فقط هي المناسبة لذلك ، arccos (1/2) = π / 3.
رقم المثال 4.
أوجد arccos (- (2) / 2)؟

بما أن نطاق الدالة arccos (x) ينتمي إلى الفترة الزمنية ، فإن القيمة 3π / 4. فقط هي المناسبة لذلك ، arccos (- (√2) / 2) = 3π / 4.

الجواب: 3π / 4

الدالة y = arctg (x)

الظل القوسي لرقم α هو مثل هذا الرقم α من الفاصل الزمني [-/ 2 ؛ π / 2] ، الظل الذي يساوي α.

رسم بياني وظيفي

دالة الظل مستمرة وتتزايد بشكل صارم على الفاصل الزمني (-/ 2 ؛ π / 2) ؛ لذلك ، لها دالة عكسية مستمرة وتتزايد بشكل صارم.
الدالة العكسية للدالة y = tg⁡ (x) ، حيث x∈ (-/ 2 ؛ π / 2) ؛ يسمى قوس ظل الزاوية ويرمز له بـ y = arctg (x) ، حيث x∈R.
لذلك ، وفقًا لتعريف الدالة العكسية ، يكون مجال تعريف قوس الظل هو الفاصل الزمني (-∞ ؛ + ∞) ، ومجموعة القيم هي الفاصل الزمني
(-/ 2 ؛ / 2).
لاحظ أن الرسم البياني للدالة y = arctg (x) ، حيث x∈R ، متماثل مع الرسم البياني للدالة y = tg⁡x ، حيث x ∈ (-π / 2 ؛ π / 2) ، فيما يتعلق منصف زوايا إحداثيات الربعين الأول والثالث.

نطاق الدالة y = arctg (x).

المثال الخامس؟

أوجد arctg ((√3) / 3).

بما أن نطاق arctan (x) x ∈ (-/ 2 ؛ π / 2) ، فإن القيمة / 6 فقط هي المناسبة ، لذلك ، arctg ((√3) / 3) = π / 6.
رقم المثال 6.
البحث عن arctg (-1)؟

بما أن نطاق arctg (x) x ∈ (-/ 2؛ π / 2) ، فقط القيمة -π / 4 هي المناسبة لذلك ، arctg (-1) = - π / 4.

الدالة y = arctg (x)

الظل القوسي لرقم α هو مثل هذا الرقم α من الفاصل الزمني (0 ؛ π) الذي يكون ظل التماس فيه مساويًا لـ α.

رسم بياني وظيفي

على الفاصل الزمني (0 ؛ π) ، تقل وظيفة ظل التمام بشكل صارم ؛ علاوة على ذلك ، فهو مستمر في كل نقطة من هذه الفترة ؛ لذلك ، في الفترة الزمنية (0 ؛ π) ، تحتوي هذه الوظيفة على دالة عكسية تتناقص بشكل صارم ومستمرة.
الوظيفة العكسية للدالة y = ctg (x) ، حيث x ∈ (0 ؛ π) ، تسمى قوس ظل التمام ويشار إليها y = arcctg (x) ، حيث x∈R.
لذلك ، وفقًا لتعريف الدالة العكسية ، سيكون مجال تعريف المماس المعكوس صالقيم - الفترة (0 ؛ π). الرسم البياني للدالة y = arcctg (x) ، حيث x∈R متماثل مع الرسم البياني للدالة y = ctg (x) x∈ (0 ؛ π) ، مع فيما يتعلق بمنصف زوايا إحداثيات الربعين الأول والثالث.

نطاق الدالة y = arcctg (x).

رقم المثال 7.
أوجد arcctg ((√3) / 3)؟

بما أن نطاق arcctg (x) x ∈ (0؛ π) فقط القيمة π / 3 هي المناسبة لذلك ، arccos ((√3) / 3) = π / 3.

مثال رقم 8.
أوجد arcctg (- (√3) / 3)؟

بما أن نطاق arcctg (x) x∈ (0؛ π) فإن القيمة 2π / 3 هي فقط المناسبة لذلك ، arccos (- (√3) / 3) = 2π / 3.

المحررين: أجيفا ليوبوف أليكساندروفنا ، جافريلينا آنا فيكتوروفنا

الدروس 32-33. الدوال المثلثية العكسية

09.07.2015 5917 0

استهداف: النظر في الدوال المثلثية العكسية ، واستخدامها لكتابة حلول المعادلات المثلثية.

I. توصيل الموضوع وأهداف الدروس

ثانيًا. تعلم مواد جديدة

1. الدوال المثلثية العكسية

لنبدأ هذا الموضوع بالمثال التالي.

مثال 1

لنحل المعادلة:أ) الخطيئة س = 1/2 ؛ ب) الخطيئة س \ u003d أ.

أ) على المحور الإحداثي ، ضع القيمة 1/2 ورسم الزوايا جانباً× 1 و x2 ، لذلكالخطيئة x = 1/2. في هذه الحالة ، x1 + x2 = ، ومن أين x2 = π -× 1 . وفقًا لجدول قيم الدوال المثلثية ، نجد القيمة x1 = π / 6 ، إذننأخذ في الاعتبار دورية دالة الجيب ونكتب حلول هذه المعادلة:أين ك ∈ Z.

ب) من الواضح أن الخوارزمية لحل المعادلةالخطيئة س = أ هو نفسه كما في الفقرة السابقة. بالطبع ، يتم الآن رسم قيمة a على طول المحور y. هناك حاجة إلى تحديد الزاوية x1 بطريقة أو بأخرى. اتفقنا على الإشارة إلى هذه الزاوية بالرمزقوس الخطيئة أ. ثم يمكن كتابة حلول هذه المعادلة كـيمكن دمج هاتين الصيغتين في صيغة واحدة:حيث

يتم تقديم الدوال المثلثية العكسية الأخرى بالمثل.

في كثير من الأحيان يكون من الضروري تحديد قيمة الزاوية من خلال قيمة معروفةوظيفتها المثلثية. هذه المشكلة متعددة القيم - هناك عدد لا حصر له من الزوايا التي تكون وظائفها المثلثية مساوية لنفس القيمة. لذلك ، بناءً على رتابة الدوال المثلثية ، يتم تقديم الدوال المثلثية العكسية التالية لتحديد الزوايا بشكل فريد.

قوس قوس من (arcsin ، الذي يساوي جيبه a ، أي

قوس جيب التمام لعددأ (arccos أ) - هذه الزاوية أ من الفاصل ، وجيب التمام يساوي أ ، أي

ظل القوس لرقمأ (arctg أ) - هذه الزاوية من الفاصل الزمنيالذي هو الظل ، أيtg a = أ.

ظل القوس لرقمأ (arctg أ) - هذه الزاوية أ من الفاصل الزمني (0 ؛ π) ، التي يكون ظلها يساوي a ، أي ctg أ = أ.

مثال 2

لنجد:

بالنظر إلى تعريفات الدوال المثلثية العكسية ، نحصل على:

مثال 3

إحصاء - عد

دع الزاوية a = arcsin 3/5 ثم بالتعريفالخطيئة أ = 3/5 و . لذلك ، نحن بحاجة إلى إيجادكوس أ. باستخدام ملف الهوية المثلثية، نحن نحصل:يؤخذ في الاعتبار أن cos a ≥ 0. إذن ،

خصائص الوظيفة	دور
	ص = arcsin x	y = arccos x	y = arctg x	y = arcctg x
اِختِصاص	س ∈ [-1 ؛ واحد]	س ∈ [-1 ؛ واحد]	س ∈ (-؛ + ∞)	س ∈ (-+ ∞)
مدى من القيم	ص ∈ [-/ 2 ؛ π / 2]	ذ ∈	ص ∈ (-/ 2 ؛ / 2)	ص ∈ (0 ؛ π)
التكافؤ	الفردية	لا زوجي ولا فردي	الفردية	لا زوجي ولا فردي
أصفار الوظيفة (ص = 0)	عندما س = 0	بالنسبة إلى x = 1	عندما س = 0	ذ ≠ 0
فترات الثبات	y> 0 لـ x (0 ؛ 1] ، في< 0 при х ∈ [-1; 0)	y> 0 لـ x ∈ [-1 ؛ واحد)	y> 0 لـ x ∈ (0 ؛ + ∞) ، في< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y> 0 لـ x (-؛ + ∞)
روتيني	في ازدياد	النقصان	في ازدياد	النقصان
العلاقة بالدالة المثلثية	الخطيئة ص \ u003d س	كوس ص = س	tg y = x	ctg y = x
برنامج

دعونا نقدم عددًا من الأمثلة النموذجية المتعلقة بالتعاريف والخصائص الأساسية للوظائف المثلثية العكسية.

مثال 4

أوجد مجال الوظيفة

من أجل تعريف الدالة y ، من الضروري أن تكون المتباينةوهو ما يعادل نظام عدم المساواةحل المتراجحة الأولى هو المجال x∈ (-∞ ؛ + ∞) ، الثاني -هذه الفترة وهو حل لنظام عدم المساواة ، ومن ثم مجال الوظيفة

مثال 5

أوجد منطقة تغيير الوظيفة

ضع في اعتبارك سلوك الوظيفةض = 2x - x2 (انظر الشكل).

يمكن ملاحظة أن z ∈ (-∞؛ 1]. بالنظر إلى أن الحجةض تختلف وظيفة المماس المعكوس ضمن الحدود المحددة ، من البيانات الموجودة في الجدول نحصل عليهاوبالتالي ، مجال التغيير

مثال 6

دعونا نثبت أن الدالة y = arctg x غريب. يتركثم tg a \ u003d -x أو x \ u003d - tg a \ u003d tg (- a) ، و لذلك ، - a \ u003d arctg x أو a \ u003d - arctg X. وهكذا نرى ذلكعلى سبيل المثال ، y (x) دالة فردية.

مثال 7

نعبر عن جميع الدوال المثلثية العكسية

يترك من الواضح أن ثم منذ ذلك الحين

دعونا نقدم زاوية لان ومن بعد

وبالمثل ، لذلك و

لذا،

المثال 8

لنقم ببناء رسم بياني للوظيفة y \ u003dكوس (arcsin x).

دلالة a \ u003d arcsin x ، إذن نأخذ في الاعتبار أن x \ u003d sin a و y \ u003d cos a ، أي x 2 + y2 = 1 ، والقيود المفروضة على x (x∈ [-واحد؛ 1]) و y (y ≥ 0). ثم الرسم البياني للدالة y =كوس (قوسين س) نصف دائرة.

المثال 9

لنقم ببناء رسم بياني للوظيفة y \ u003d arccos (كوسكس).

منذ دالة cos التغييرات س على المقطع [-1 ؛ 1] ، ثم يتم تعريف الدالة y على المحور الحقيقي بأكمله وتتغير في الفترة. سوف نضع في اعتبارنا أن y = arccos (كوسكس) \ u003d س على المقطع ؛ الدالة y زوجية ودورية بفترة 2π. بالنظر إلى أن الوظيفة لها هذه الخصائصكوس x ، الآن من السهل التخطيط.

نلاحظ بعض المساواة المفيدة:

المثال 10

العثور على أصغر و أعظم قيمةالمهامدل ومن بعد احصل على وظيفة هذه الوظيفة لها حد أدنى عند هذه النقطة z = π / 4 وهي تساوي يتم الوصول إلى الحد الأقصى لقيمة الوظيفة عند هذه النقطةض =-/ 2 ، وهي تساوي وهكذا و

المثال 11

لنحل المعادلة

نحن نأخذ ذلك في الاعتبار ثم تبدو المعادلة كما يلي:أو أين من خلال تعريف قوس الظل ، نحصل على:

2. حل أبسط المعادلات المثلثية

على غرار المثال 1 ، يمكنك الحصول على حلول لأبسط المعادلات المثلثية.

المعادلة	المحلول
tgx = أ
ctg x = أ

المثال 12

لنحل المعادلة

نظرًا لأن دالة الجيب فردية ، نكتب المعادلة بالصيغةحلول هذه المعادلة:أين نجد

المثال 13

لنحل المعادلة

وفقًا للصيغة أعلاه ، نكتب حلول المعادلة:ويجد

لاحظ أنه في حالات معينة (أ = 0 ؛ ± 1) عند حل المعادلاتالخطيئة س = أ وجيب التمام س = أ أسهل وأكثر ملاءمة لاستخدام لا الصيغ العامة، واكتب الحلول بناءً على دائرة الوحدة:

للمعادلة sin x = 1 الحل

للمعادلة sin x \ u003d 0 حلول x \ u003d π k ؛

للمعادلة sin x = -1 حلول

للمعادلة cos س = 1 حل س = 2πك؛

للمعادلة cos x = 0 الحل

لحل المعادلة cos x = -1

المثال 14

لنحل المعادلة

منذ في هذا المثال هناك حالة خاصةالمعادلات ، ثم وفقًا للصيغة المقابلة نكتب الحل:أين نجد

ثالثا. أسئلة الاختبار(استطلاع أمامي)

1. تعريف وسرد الخصائص الرئيسية للدوال المثلثية العكسية.

2. أعط رسومات بيانية للوظائف المثلثية العكسية.

3. حل أبسط المعادلات المثلثية.

رابعا. التنازل في الدروس

§ 15 ، رقم 3 (أ ، ب) ؛ 4 (ج ، د) ؛ 7 (أ) ؛ 8 (أ) ؛ 12 (ب) ؛ 13 (أ) ؛ 15 (ج) ؛ 16 (أ) ؛ 18 (أ ، ب) ؛ 19 (ج) ؛ 21 ؛

§ 16 ، رقم 4 (أ ، ب) ؛ 7 (أ) ؛ 8 (ب) ؛ 16 (أ ، ب) ؛ 18 (أ) ؛ 19 (ج ، د) ؛

§ 17 ، رقم 3 (أ ، ب) ؛ 4 (ج ، د) ؛ 5 (أ ، ب) ؛ 7 (ج ، د) ؛ 9 (ب) ؛ 10 (أ ، ج).

V. الواجب المنزلي

§ 15 ، رقم 3 (ج ، د) ؛ 4 (أ ، ب) ؛ 7 (ج) ؛ 8 (ب) ؛ 12 (أ) ؛ 13 (ب) ؛ 15 (د) ؛ 16 (ب) ؛ 18 (ج ، د) ؛ 19 (د) ؛ 22 ؛

§ 16 ، رقم 4 (ج ، د) ؛ 7 (ب) ؛ 8 (أ) ؛ 16 (ج ، د) ؛ 18 (ب) ؛ 19 (أ ، ب) ؛

§ 17 ، رقم 3 (ج ، د) ؛ 4 (أ ، ب) ؛ 5 (ج ، د) ؛ 7 (أ ، ب) ؛ 9 (د) ؛ 10 (ب ، د).

السادس. المهام الإبداعية

1. ابحث عن نطاق الوظيفة:

الإجابات:

2. ابحث عن نطاق الوظيفة:

الإجابات:

3. رسم الوظيفة:

سابعا. تلخيص الدروس

يتم إعطاء تعريفات الدوال المثلثية العكسية والرسوم البيانية الخاصة بهم. بالإضافة إلى الصيغ المتعلقة بالدوال المثلثية العكسية ، وصيغ المجاميع والاختلافات.

تعريف الدوال المثلثية العكسية

نظرًا لأن الدوال المثلثية دورية ، فإن الوظائف العكسية لها ليست ذات قيمة واحدة. إذن ، المعادلة y = الخطيئة x، على سبيل المثال ، له جذور عديدة لانهائية. في الواقع ، بسبب دورية الجيب ، إذا كانت x مثل هذا الجذر ، إذن س + 2 ن(حيث n عدد صحيح) سيكون أيضًا جذر المعادلة. في هذا الطريق، الدوال المثلثية العكسية متعددة القيم. لتسهيل العمل معهم ، يتم تقديم مفهوم قيمهم الرئيسية. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، الجيب: y = الخطيئة x. إذا قصرنا السعة x على الفترة الزمنية ، فعندها تكون الدالة y = الخطيئة xيزيد بشكل رتيب. لذلك ، لها دالة عكسية أحادية القيمة ، تسمى القوسين: x = أركسين ذ.

ما لم يذكر خلاف ذلك ، تعني الدوال المثلثية العكسية قيمها الأساسية ، والتي يتم تحديدها من خلال التعريفات التالية.

أركسين ( ص = أركسين x) هي الدالة العكسية للجيب ( س = شقي

جيب التمام القوسي ( ص = arccos x) هي الدالة العكسية لجيب التمام ( س = مريح) له مجال تعريف ومجموعة من القيم.

قوس ظل ( ص = arctg x) هي الوظيفة العكسية للماس ( س = tg ذ) له مجال تعريف ومجموعة من القيم.

ظل القوس ( ص = أركتج س) هي الدالة العكسية للظل التمام ( س = ctg ذ) له مجال تعريف ومجموعة من القيم.

الرسوم البيانية للدوال المثلثية العكسية

يتم الحصول على الرسوم البيانية للدوال المثلثية العكسية من الرسوم البيانية للوظائف المثلثية انعكاس المرآةبالنسبة إلى الخط المستقيم y = x. انظر أقسام الجيب وجيب التمام والظل والظل.

ص = أركسين x

ص = arccos x

ص = arctg x

ص = أركتج س

الصيغ الأساسية

هنا ، يجب إيلاء اهتمام خاص للفترات الزمنية التي تكون فيها الصيغ صالحة.

arcsin (sin x) = xفي
الخطيئة (arcsin x) = x
arccos (cos x) = xفي
كوس (arccos x) = x

arctg (tg x) = xفي
tg (arctg x) = x
arcctg (ctg x) = xفي
ctg (arctg x) = x

الصيغ المتعلقة بالدوال المثلثية العكسية

صيغ الجمع والفرق

في أو

في و

في و

في أو

في و

في و

في

في

في

في