كيفية حل المتباينات بدالة أسية. المعادلات الأسية. حالات أكثر صعوبة

تأمل في مثال: حل المتباينة (0.5) (7 - 3 * x)< 4.

لاحظ أن 4 = (0.5) 2. ثم تأخذ المتباينة الشكل (0.5) (7 - 3 * x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

نحصل على: 7 - 3 * x> -2.

من هنا: x<3.

الجواب: x<3.

إذا كانت القاعدة في المتباينة أكبر من واحد ، فعند التخلص من القاعدة ، لا يلزم تغيير علامة عدم المساواة.

المعادلات الأسية وعدم المساواة هي تلك المعادلات والمتباينات التي فيها المجهول موجود في الأس.

غالبًا ما ينتهي حل المعادلات الأسية إلى حل المعادلة أ س \ u003d أ ب ، حيث أ> 0 ، أ ≠ 1 ، س غير معروف. تحتوي هذه المعادلة على جذر واحد x \ u003d b ، حيث أن النظرية التالية صحيحة:

نظرية. إذا كانت a> 0 و a 1 و a x 1 = a x 2 ، فإن x 1 = x 2.

دعونا نبرر التأكيد المدروس.

افترض أن المساواة x 1 = x 2 غير راضية ، أي × 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1 ، ثم الدالة الأسية y \ u003d a x تزيد وبالتالي المتباينة a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >أ × 2. في كلتا الحالتين ، حصلنا على تناقض مع الشرط أ س 1 = أ س 2.

لنأخذ في الاعتبار عدة مهام.

حل المعادلة ٤ ٢ س = ١.

قرار.

نكتب المعادلة بالصيغة 2 2 ∙ 2 x = 2 0-2 x + 2 = 2 0 س = -2.

إجابه. س = -2.

حل المعادلة ٢ ٣ س ∙ ٣ س = ٥٧٦.

قرار.

بما أن 2 3x \ u003d (2 3) x \ u003d 8 x، 576 \ u003d 24 2 ، يمكن كتابة المعادلة بالصيغة 8 x ∙ 3 x \ u003d 24 2 أو بالصيغة 24 x \ u003d 24 2.

من هنا نحصل على x = 2.

إجابه. س = 2.

حل المعادلة 3 س + 1 - 2 ∙ 3 ​​س - 2 = 25.

قرار.

عند وضع أقواس للعامل المشترك 3 × - 2 على الجانب الأيسر ، نحصل على 3 × - 2 ∙ (3 3-2) \ u003d 25-3 × - 2 25 \ u003d 25 ،

من أين 3 × - 2 = 1 ، أي س - 2 = 0 ، س = 2.

إجابه. س = 2.

حل المعادلة ٣ س = ٧ س.

قرار.

بما أن 7 × 0 ، يمكن كتابة المعادلة على أنها 3 س / 7 س = 1 ، وبالتالي (3/7) س = 1 ، س = 0.

إجابه. س = 0.

حل المعادلة 9 س - 4 3 س - 45 = 0.

قرار.

عن طريق استبدال 3 س \ u003d أ ، يتم تقليل هذه المعادلة إلى معادلة من الدرجة الثانية أ 2 - 4 أ - 45 \ u003d 0.

لحل هذه المعادلة ، نجد جذورها: أ 1 \ u003d 9 ، و 2 \ u003d -5 ، من حيث 3 × \ u003d 9 ، 3 × \ u003d -5.

المعادلة 3 س \ u003d 9 لها جذر 2 ، والمعادلة 3 س \ u003d -5 ليس لها جذور ، لأن الدالة الأسية لا يمكن أن تأخذ قيمًا سالبة.

إجابه. س = 2.

غالبًا ما ينتهي حل المتباينات الأسية إلى حل المتباينات أ> أ ب أو س< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

دعنا نفكر في بعض المهام.

حل المتباينة 3 س< 81.

قرار.

نكتب المتباينة بالصورة 3 x< 3 4 . Так как 3 >1 ، ثم الوظيفة y \ u003d 3 x تتزايد.

لذلك ، بالنسبة إلى x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

وهكذا ، بالنسبة لـ x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 ×< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

إجابه. X< 4.

حل المتباينة 16 x +4 x - 2> 0.

قرار.

دلالة 4 س \ u003d t ، ثم نحصل عليها عدم المساواة التربيعية t2 + t-2> 0.

هذه المتباينة تنطبق على t< -2 и при t > 1.

بما أن t = 4 x ، فسنحصل على متباينتين 4 x< -2, 4 х > 1.

لا يوجد حل للمتباينة الأولى ، بما أن 4 x> 0 لجميع x ∈ R.

نكتب المتباينة الثانية بالصيغة 4 x> 4 0 ، حيث x> 0.

إجابه. x> 0.

حل المعادلة بيانياً (1/3) x = x - 2/3.

قرار.

1) لنرسم الرسوم البيانية للوظائف y \ u003d (1/3) x و y \ u003d x - 2/3.

2) بناءً على الشكل الخاص بنا ، يمكننا أن نستنتج أن الرسوم البيانية للوظائف المدروسة تتقاطع عند نقطة مع الإحداثي x 1. ويثبت التحقق أن

س \ u003d 1 - جذر هذه المعادلة:

(1/3) 1 = 1/3 و1-2/3 = 1/3.

بعبارة أخرى ، وجدنا أحد جذور المعادلة.

3) ابحث عن جذور أخرى أو أثبت عدم وجودها. تتناقص الدالة (1/3) x ، وتتزايد الدالة y \ u003d x - 2/3. لذلك ، بالنسبة إلى x> 1 ، تكون قيم الوظيفة الأولى أقل من 1/3 ، والثانية أكبر من 1/3 ؛ في x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 و x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

إجابه. س = 1.

لاحظ أنه من حل هذه المشكلة ، على وجه الخصوص ، يترتب على ذلك أن المتباينة (1/3) x> x - 2/3 تتحقق من أجل x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

يعتقد الكثير من الناس أن التفاوتات الأسية شيء معقد للغاية وغير مفهوم. وهذا التعلم لحلها يكاد يكون فنًا رائعًا ، لا يستطيع فهمه سوى المختارين ...

هراء كامل! من السهل عدم المساواة الأسية. وهي دائما سهلة الحل. حسنًا ، دائمًا تقريبًا. :)

اليوم سنقوم بتحليل هذا الموضوع على نطاق واسع. سيكون هذا الدرس مفيدًا جدًا لأولئك الذين بدأوا للتو في فهم هذا القسم من الرياضيات المدرسية. دعنا نبدء ب مهام بسيطةودعنا ننتقل إلى المزيد أسئلة صعبة. لن يكون هناك صفيح اليوم ، لكن ما ستقرأه الآن سيكون كافيًا لحل معظم التفاوتات في جميع أنواع السيطرة و عمل مستقل. وفي هذا امتحانك أيضًا.

كالعادة ، لنبدأ بتعريف. المتباينة الأسية هي أي متباينة تحتوي على دالة أسية. بعبارة أخرى ، يمكن دائمًا اختزالها إلى عدم مساواة بالصيغة

\ [((a) ^ (x)) \ gt b \]

أين يمكن أن يكون دور $ b $ رقم مشترك، وربما شيء أكثر صرامة. أمثلة؟ نعم من فضلك:

\ [\ start (align) & ((2) ^ (x)) \ gt 4؛ \ quad ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2))؛ \ رباعي ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16 ؛ \\ & ((0،1) ^ (1-x)) \ lt 0.01؛ \ quad ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4 ) (خ))). \\\ end (محاذاة) \]

أعتقد أن المعنى واضح: هناك دالة أسية $ ((a) ^ (x)) $ ، تتم مقارنتها بشيء ما ، ثم يُطلب منها العثور على $ x $. في الحالات السريرية بشكل خاص ، بدلاً من المتغير $ x $ ، يمكنهم وضع بعض الوظائف $ f \ left (x \ right) $ وبالتالي يعقدون عدم المساواة قليلاً. :)

بالطبع ، في بعض الحالات ، قد يبدو عدم المساواة أكثر حدة. علي سبيل المثال:

\ [((9) ^ (x)) + 8 \ gt ((3) ^ (x + 2)) \]

أو حتى هذا:

بشكل عام ، يمكن أن يكون تعقيد مثل هذه التفاوتات مختلفًا تمامًا ، لكن في النهاية لا يزالون يتحولون إلى بناء بسيط $ ((a) ^ (x)) \ gt b $. وسنتعامل بطريقة ما مع مثل هذا التصميم (في الحالات السريرية بشكل خاص ، عندما لا يتبادر إلى الذهن شيء ، اللوغاريتمات ستساعدنا). لذلك ، سوف نتعلم الآن كيفية حل مثل هذه الإنشاءات البسيطة.

حل أبسط المتباينات الأسية

لنلقِ نظرة على شيء بسيط للغاية. على سبيل المثال ، ها هو:

\ [((2) ^ (x)) \ gt 4 \]

من الواضح أن الرقم الموجود على اليمين يمكن إعادة كتابته كقوة اثنين: $ 4 = ((2) ^ (2)) $. وبالتالي ، تتم إعادة كتابة عدم المساواة الأصلية في شكل مناسب للغاية:

\ [((2) ^ (x)) \ gt ((2) ^ (2)) \]

والآن تتشوق العقربان "لشطب" الثياب ، واقفة في قواعد الدرجات ، من أجل الحصول على الإجابة $ x \ gt 2 $. لكن قبل أن نشطب أي شيء ، لنتذكر قوى اثنين:

\ [(2) ^ (1)) = 2 ؛ \ quad ((2) ^ (2)) = 4 ؛ \ quad ((2) ^ (3)) = 8 ؛ \ quad ((2) ^ ( 4)) = 16 ... \]

كما ترى ، كلما زاد الرقم في الأس ، زاد عدد المخرجات. "شكرا ، كاب!" سوف يصيح أحد الطلاب. هل يحدث بشكل مختلف؟ لسوء الحظ ، هذا يحدث. علي سبيل المثال:

\ [((\ left (\ frac (1) (2) \ right)) ^ (1)) = \ frac (1) (2)؛ \ quad ((\ left (\ frac (1) (2) \ يمين)) ^ (2)) = \ frac (1) (4) ؛ \ quad ((\ left (\ frac (1) (2) \ right)) ^ (3)) = \ frac (1) (8 ) ؛ ... \]

هنا أيضًا ، كل شيء منطقي: فكلما زادت الدرجة ، زاد عدد مرات ضرب الرقم 0.5 في نفسه (أي أنه مقسم إلى نصفين). وبالتالي ، فإن تسلسل الأرقام الناتج يتناقص ، ويكون الفرق بين التسلسل الأول والثاني في القاعدة فقط:

• إذا كانت قاعدة الدرجة $ a \ gt 1 $ ، فمع نمو الأس $ n $ ، سيزداد الرقم $ ((a) ^ (n)) $ أيضًا ؛
• بالمقابل ، إذا كان $ 0 \ lt a \ lt 1 $ ، فمع نمو الأس $ n $ ، سينخفض ​​الرقم $ ((a) ^ (n)) $.

بتلخيص هذه الحقائق ، نحصل على العبارة الأكثر أهمية ، والتي يعتمد عليها الحل الكامل لعدم المساواة الأسية:

إذا كان $ a \ gt 1 $ ، فإن المتباينة $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ تعادل عدم المساواة $ x \ gt n $. إذا كان $ 0 \ lt a \ lt 1 $ ، فإن المتباينة $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ تعادل عدم المساواة $ x \ lt n $.

بمعنى آخر ، إذا كانت القاعدة أكبر من واحد ، فيمكنك إزالتها ببساطة - لن تتغير علامة عدم المساواة. وإذا كانت القاعدة أقل من واحد ، فيمكن إزالتها أيضًا ، ولكن يجب أيضًا تغيير علامة عدم المساواة.

لاحظ أننا لم نأخذ في الاعتبار الخيارين $ a = 1 $ و $ a \ le 0 $. لأنه في هذه الحالات هناك عدم يقين. افترض كيف نحل متباينة بالصيغة $ ((1) ^ (x)) \ gt 3 $؟ واحد إلى أي قوة سيعطي واحدًا مرة أخرى - لن نحصل أبدًا على ثلاثة أو أكثر. هؤلاء. لا توجد حلول.

مع القواعد السلبية ، يكون الأمر أكثر إثارة للاهتمام. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، عدم المساواة التالية:

\ [((\ left (-2 \ right)) ^ (x)) \ gt 4 \]

للوهلة الأولى ، كل شيء بسيط:

بشكل صحيح؟ لكن لا! يكفي استبدال زوج من الأرقام الزوجية والزوج بدلاً من $ x $ الأعداد الفرديةللتأكد من أن الحل خاطئ. إلق نظرة:

\ [\ start (align) & x = 4 \ Rightarrow ((\ left (-2 \ right)) ^ (4)) = 16 \ gt 4 ؛ \\ & x = 5 \ Rightarrow ((\ left (-2 \ right)) ^ (5)) = - 32 \ lt 4 ؛ \\ & x = 6 \ Rightarrow ((\ left (-2 \ right)) ^ (6)) = 64 \ gt 4 ؛ \\ & x = 7 \ Rightarrow ((\ left (-2 \ right)) ^ (7)) = - 128 \ lt 4. \ end (محاذاة) \]

كما ترى ، الإشارات تتبدل. ولكن لا تزال هناك درجات كسرية وغيرها من القصدير. كيف ، على سبيل المثال ، يمكنك طلب حساب $ ((\ left (-2 \ right)) ^ (\ sqrt (7))) $ (ناقص اثنين مرفوعًا إلى جذر السبعة)؟ مستحيل!

لذلك ، من أجل التحديد ، نفترض أنه في جميع المتباينات الأسية (وبالمناسبة ، بالمناسبة ، أيضًا) $ 1 \ ne a \ gt 0 $. وبعد ذلك يتم حل كل شيء بكل بساطة:

\ [((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) \ Rightarrow \ left [\ begin (align) & x \ gt n \ quad \ left (a \ gt 1 \ right) ، \\ & x \ lt n \ رباعي \ يسار (0 \ lt a \ lt 1 \ right). \\\ end (محاذاة) \ يمين. \]

بشكل عام ، تذكر مرة أخرى القاعدة الرئيسية: إذا كانت القاعدة في المعادلة الأسية أكبر من واحد ، فيمكنك ببساطة إزالتها ؛ وإذا كانت القاعدة أقل من واحد ، فيمكن إزالتها أيضًا ، لكن هذا سيغير علامة عدم المساواة.

أمثلة الحل

لذلك ، ضع في اعتبارك بعض التفاوتات الأسية البسيطة:

\ [\ start (align) & ((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) ؛ \\ & ((0،1) ^ (1-x)) \ lt 0.01 ؛ \\ & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16 ؛ \\ & ((0،2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25). \\\ end (محاذاة) \]

المهمة الأساسية هي نفسها في جميع الحالات: لتقليل التفاوتات إلى أبسط صورة $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $. هذا ما سنفعله الآن مع كل متباينة ، وفي نفس الوقت سنكرر خواص القوى والدالة الأسية. إذا هيا بنا!

\ [((2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \]

ما الذي يمكن القيام به هنا؟ حسنًا ، على اليسار لدينا بالفعل تعبير توضيحي - لا شيء يحتاج إلى التغيير. لكن على اليمين يوجد نوع من الهراء: كسر ، وحتى جذر في المقام!

ومع ذلك ، تذكر قواعد التعامل مع الكسور والقوى:

\ [\ start (align) & \ frac (1) (((a) ^ (n))) = ((a) ^ (- n)) ؛ \\ & \ sqrt [k] (a) = ((a) ^ (\ frac (1) (k))). \\\ end (محاذاة) \]

ماذا يعني ذلك؟ أولًا ، يمكننا بسهولة التخلص من الكسر بتحويله إلى أس سالب. وثانيًا ، بما أن المقام هو الجذر ، فسيكون من الجيد تحويله إلى درجة - هذه المرة بأسس كسرية.

دعنا نطبق هذه الإجراءات بالتسلسل على الجانب الأيمن من عدم المساواة ونرى ما سيحدث:

\ [\ frac (1) (\ sqrt (2)) = ((\ left (\ sqrt (2) \ right)) ^ (- 1)) = ((\ left (((2) ^ (\ frac ( 1) (3))) \ right)) ^ (- 1)) = ((2) ^ (\ frac (1) (3) \ cdot \ left (-1 \ right))) = ((2) ^ (- \ فارك (1) (3))) \]

لا تنسَ أنه عند رفع درجة إلى قوة ، يُضاف أس هذه الدرجات. وبشكل عام ، عند التعامل مع المعادلات الأسية وعدم المساواة ، من الضروري للغاية معرفة أبسط قواعد التعامل مع القوى على الأقل:

\ [\ start (align) & ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)) = ((a) ^ (x + y)) ؛ \\ & \ frac (((a) ^ (x))) (((a) ^ (y))) = ((a) ^ (x-y)) ؛ \\ & ((\ left (((a) ^ (x)) \ right)) ^ (y)) = ((a) ^ (x \ cdot y)). \\\ end (محاذاة) \]

فعلا، آخر حكملقد تقدمنا ​​للتو. لذلك ، ستتم إعادة كتابة المتباينة الأصلية على النحو التالي:

\ [(2) ^ (x-1)) \ le \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ Rightarrow ((2) ^ (x-1)) \ le ((2) ^ (- \ فارك (1) (3))) \]

الآن نتخلص من الشيطان في القاعدة. بما أن 2> 1 ، تظل علامة عدم المساواة كما هي:

\ [\ start (align) & x-1 \ le - \ frac (1) (3) \ Rightarrow x \ le 1- \ frac (1) (3) = \ frac (2) (3)؛ \\ & x \ in \ left (- \ infty؛ \ frac (2) (3) \ right]. \\\ end (align) \]

هذا هو الحل الكامل! لا تكمن الصعوبة الرئيسية على الإطلاق في الوظيفة الأسية ، ولكن في التحول المختص للتعبير الأصلي: تحتاج إلى جعله بعناية وبأسرع وقت ممكن في أبسط أشكاله.

ضع في اعتبارك عدم المساواة الثانية:

\ [((0،1) ^ (1-x)) \ lt 0،01 \]

لا بأس. نحن هنا في انتظار الكسور العشرية. كما قلت مرات عديدة ، في أي تعبيرات ذات قوى ، يجب أن تتخلص من الكسور العشرية - غالبًا ما تكون هذه هي الطريقة الوحيدة لرؤية حل سريع وسهل. إليك ما سنتخلص منه:

\ [\ start (align) & 0،1 = \ frac (1) (10)؛ \ quad 0،01 = \ frac (1) (100) = ((\ left (\ frac (1) (10) \ يمين)) ^ (2)) ؛ \\ & ((0،1) ^ (1-x)) \ lt 0،01 \ Rightarrow ((\ left (\ frac (1) (10) \ right)) ^ (1-x)) \ lt ( (\ يسار (\ frac (1) (10) \ يمين)) ^ (2)). \\\ end (محاذاة) \]

أمامنا مرة أخرى أبسط متباينة ، وحتى مع الأساس 1/10 ، أي أقل من واحد. حسنًا ، نزيل القواعد ، ونغير العلامة في نفس الوقت من "أقل" إلى "أكبر" ، ونحصل على:

\ [\ start (align) & 1-x \ gt 2؛ \\ & -x \ GT 2-1 ؛ \\ & -x \ GT 1 ؛ \\ & x \ lt -1. \\\ end (محاذاة) \]

حصلنا على الإجابة النهائية: $ x \ in \ left (- \ infty؛ -1 \ right) $. يرجى ملاحظة أن الإجابة هي بالضبط المجموعة ، ولا يتم بأي حال من الأحوال إنشاء النموذج $ x \ lt -1 $. لأن مثل هذا البناء رسميًا ليس مجموعة على الإطلاق ، ولكنه متباين فيما يتعلق بالمتغير $ x $. نعم ، الأمر بسيط للغاية ، لكنه ليس الجواب!

ملاحظة مهمة. يمكن حل هذه المتباينة بطريقة أخرى - عن طريق اختزال كلا الجزأين إلى قوة أساسها أكبر من واحد. إلق نظرة:

\ [\ frac (1) (10) = ((10) ^ (- 1)) \ Rightarrow ((\ left (((10) ^ (- 1)) \ right)) ^ (1-x)) \ lt ((\ left (((10) ^ (- 1)) \ right)) ^ (2)) \ Rightarrow ((10) ^ (- 1 \ cdot \ left (1-x \ right))) \ lt ((10) ^ (- 1 \ cdot 2)) \]

بعد هذا التحول ، نحصل مرة أخرى على متباينة أسية ، ولكن مع أساس 10> 1. وهذا يعني أنه يمكنك ببساطة حذف العشرة - لن تتغير علامة عدم المساواة. نحن نحصل:

\ [\ start (align) & -1 \ cdot \ left (1-x \ right) \ lt -1 \ cdot 2 ؛ \\ & x-1 \ lt-2 ؛ \\ & x \ lt -2 + 1 = -1 ؛ \\ & x \ lt -1. \\\ end (محاذاة) \]

كما ترى ، فإن الإجابة هي نفسها تمامًا. في الوقت نفسه ، أنقذنا أنفسنا من الحاجة إلى تغيير العلامة وتذكر عمومًا بعض القواعد هناك. :)

\ [((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt 16 \]

ومع ذلك ، لا تدع هذا يخيفك. مهما كانت المؤشرات ، فإن التكنولوجيا المستخدمة في حل عدم المساواة نفسها تظل كما هي. لذلك ، نلاحظ أولًا أن 16 = 2 4. دعونا نعيد كتابة المتباينة الأصلية مع مراعاة هذه الحقيقة:

\ [\ begin (align) & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \ lt ((2) ^ (4)) ؛ \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 14 \ lt 4 ؛ \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 10 \ lt 0. \\\ end (محاذاة) \]

الصيحة! لقد حصلنا على متباينة المربعات المعتادة! لم تتغير العلامة في أي مكان ، لأن القاعدة شيطان - رقم أكبر من واحد.

وظيفة الأصفار على خط الأعداد

نرتب إشارات الدالة $ f \ left (x \ right) = ((x) ^ (2)) - 7x + 10 $ - من الواضح أن الرسم البياني الخاص بها سيكون قطعًا مكافئًا بفروع لأعلى ، لذلك سيكون هناك "إيجابيات " على الجوانب. نحن مهتمون بالمنطقة التي تكون فيها الوظيفة أقل من الصفر ، أي $ x \ in \ left (2؛ 5 \ right) $ هو حل المشكلة الأصلية.

أخيرًا ، ضع في اعتبارك عدم مساواة أخرى:

\ [((0،2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \]

مرة أخرى ، نرى دالة أسية بها كسر عشري في القاعدة. لنحول هذا الكسر إلى كسر مشترك:

\ [\ start (align) & 0،2 = \ frac (2) (10) = \ frac (1) (5) = ((5) ^ (- 1)) \ Rightarrow \\ & \ Rightarrow ((0 ، 2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) = ((\ left (((5) ^ (- 1)) \ right)) ^ (1 + ((x) ^ (2) ))) = ((5) ^ (- 1 \ cdot \ left (1 + ((x) ^ (2)) \ right))) \ end (align) \]

في هذه الحالة ، استفدنا من الملاحظة التي تم الإدلاء بها سابقًا - قمنا بتقليص القاعدة إلى الرقم 5 \ u003e 1 من أجل تبسيط قرارنا الإضافي. لنفعل الشيء نفسه مع الجانب الأيمن:

\ [\ frac (1) (25) = ((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ (2)) = ((\ left (((5) ^ (- 1)) \ يمين)) ^ (2)) = ((5) ^ (- 1 \ cdot 2)) = ((5) ^ (- 2)) \]

دعونا نعيد كتابة المتباينة الأصلية ، مع الأخذ في الاعتبار كلا التحولين:

\ [((0،2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \ ge \ frac (1) (25) \ Rightarrow ((5) ^ (- 1 \ cdot \ left (1+ ((x) ^ (2)) \ right))) \ ge ((5) ^ (- 2)) \]

القواعد على كلا الجانبين هي نفسها وأكبر من واحد. لا توجد مصطلحات أخرى على اليمين واليسار ، لذلك نقوم فقط "بشطب" الخمسات ونحصل على تعبير بسيط للغاية:

\ [\ start (align) & -1 \ cdot \ left (1 + ((x) ^ (2)) \ right) \ ge -2 ؛ \\ & -1 - ((x) ^ (2)) \ ge -2 ؛ \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -2 + 1 ؛ \\ & - ((x) ^ (2)) \ ge -1 ؛ \ quad \ left | \ cdot \ يسار (-1 \ يمين) \ يمين. \\ & ((x) ^ (2)) \ le 1. \\\ end (محاذاة) \]

هذا هو المكان الذي يجب أن تكون فيه حذرا. يحب العديد من الطلاب الاستخراج ببساطة الجذر التربيعيكلا الجزأين من المتباينة واكتب شيئًا مثل $ x \ le 1 \ Rightarrow x \ in \ left (- \ infty؛ -1 \ right] $. يجب ألا تفعل هذا أبدًا ، لأن جذر المربع المحدد هو الوحدة النمطية ، و ليس المتغير الأصلي بأي حال من الأحوال:

\ [\ sqrt (((x) ^ (2))) = \ يسار | س \ الحق | \]

ومع ذلك ، فإن العمل مع الوحدات ليس أكثر تجربة ممتعة ، أليس كذلك؟ لذلك لن نعمل. بدلًا من ذلك ، ننقل كل الحدود إلى اليسار ونحل المتباينة المعتادة باستخدام طريقة الفاصل:

$ \ start (align) & ((x) ^ (2)) - 1 \ le 0 ؛ \\ & \ left (x-1 \ right) \ left (x + 1 \ right) \ le 0 \\ & ((x) _ (1)) = 1 ؛ \ quad ((x) _ (2)) = -1 ؛ \\\ end (محاذاة) $

مرة أخرى ، نحدد النقاط التي تم الحصول عليها على خط الأعداد وننظر إلى العلامات:

بما أننا كنا نحل متباينة غير صارمة ، فإن كل النقاط على التمثيل البياني مظللة. لذلك ، ستكون الإجابة: $ x \ in \ left [-1 ؛ 1 \ right] $ ليس فاصلاً ، بل مقطعًا.

بشكل عام ، أود أن أشير إلى أنه لا يوجد شيء معقد في عدم المساواة الأسية. يتلخص معنى جميع التحولات التي أجريناها اليوم في خوارزمية بسيطة:

• أوجد الأساس الذي سنختزل إليه جميع الدرجات ؛
• قم بإجراء التحويلات بعناية للحصول على عدم المساواة بالصيغة $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $. بالطبع ، بدلاً من المتغيرين $ x $ و $ n $ ، يمكن أن تكون هناك دوال أكثر تعقيدًا ، لكن هذا لا يغير المعنى ؛
• اشطب قواعد الدرجات. في هذه الحالة ، قد تتغير علامة عدم المساواة إذا كان الأساس $ a \ lt 1 $.

في الواقع ، هذه خوارزمية عالمية لحل كل هذه التفاوتات. وكل شيء آخر سيتم إخبارك به حول هذا الموضوع هو مجرد حيل وحيل محددة لتبسيط عملية التحول وتسريعها. إليك إحدى تلك الحيل التي سنتحدث عنها الآن. :)

طريقة الترشيد

ضع في اعتبارك مجموعة أخرى من عدم المساواة:

\ [\ start (محاذاة) & ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)) ؛ \\ & ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 ؛ \\ & ((\ left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ left (\ frac (1) (9) \ يمين)) ^ (16-س)) ؛ \\ & ((\ left (3-2 \ sqrt (2) \ right)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1. \\\ end (align) \]

حسنًا ، ما هو الشيء المميز عنهم؟ كما أنها خفيفة الوزن. على الرغم من توقف! هل باي مرفوع إلى قوة؟ أي نوع من الهراء؟

وكيف نرفع الرقم $ 2 \ sqrt (3) -3 $ إلى أس؟ أو 3-2 دولار مربع (2) دولار؟ من الواضح أن جامعي المشكلات شربوا الكثير من "الزعرور" قبل الجلوس للعمل. :)

في الواقع ، لا حرج في هذه المهام. دعني أذكرك: الدالة الأسية هي تعبير بالصيغة $ ((a) ^ (x)) $ ، حيث الأساس $ a $ هو أي رقم موجب ، باستثناء واحد. الرقم موجب - نعلم ذلك بالفعل. الأرقام $ 2 \ sqrt (3) -3 $ و $ 3-2 \ sqrt (2) $ موجبة أيضًا - من السهل معرفة ما إذا كنا نقارنها بصفر.

اتضح أن كل هذه التفاوتات "المرعبة" لا تختلف عن تلك البسيطة التي نوقشت أعلاه؟ ويفعلون ذلك بنفس الطريقة؟ نعم ، صحيح تمامًا. ومع ذلك ، باستخدام مثالهم ، أود التفكير في خدعة واحدة توفر الكثير من الوقت في العمل المستقل والامتحانات. سنتحدث عن طريقة الترشيد. لذا انتبه:

أي متباينة أسية بالصيغة $ ((a) ^ (x)) \ gt ((a) ^ (n)) $ تعادل عدم المساواة $ \ left (x-n \ right) \ cdot \ left (a-1 \ يمين) \ gt 0 $.

هذه هي الطريقة الكاملة. :) هل تعتقد أنه سيكون هناك نوع من المباراة القادمة؟ لا شيء من هذا القبيل! لكن هذه الحقيقة البسيطة ، المكتوبة حرفيًا في سطر واحد ، ستعمل على تبسيط عملنا بشكل كبير. إلق نظرة:

\ [\ start (matrix) ((\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) ^ (x + 7)) \ gt ((\ text () \! \! \ pi \ ! \! \ text ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)) \\ \ Downarrow \\ \ left (x + 7- \ left (((x) ^ (2)) -3x + 2 \ right) \ right) \ cdot \ left (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () -1 \ right) \ gt 0 \\\ end (matrix) \]

لا يوجد المزيد من الوظائف الأسية! وليس عليك أن تتذكر ما إذا كانت العلامة تتغير أم لا. لكن هناك مشكلة جديدة: ماذا تفعل بالمضاعف اللعين \ [\ left (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () -1 \ right) \]؟ لا نعرف كيف يبدو الأمر القيمة الدقيقةأرقام π. ومع ذلك ، يبدو أن القبطان يلمح إلى الأمور الواضحة:

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () \ حوالي 3،14 ... \ gt 3 \ Rightarrow \ text () \! \! \ pi \! \! \ text ( ) -1 \ GT 3-1 = 2 \]

بشكل عام ، القيمة الدقيقة لـ π لا تزعجنا كثيرًا - من المهم فقط بالنسبة لنا أن نفهم ذلك على أي حال $ \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () -1 \ gt 2 $ ، ر. هو ثابت موجب ، ويمكننا قسمة طرفي المتباينة عليه:

\ [\ start (align) & \ left (x + 7- \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ right) \ right) \ cdot \ left (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () -1 \ right) \ gt 0 \\ & x + 7- \ left (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \ right) \ gt 0 ؛ \\ & x + 7 - ((x) ^ (2)) + 3x-2 \ gt 0 ؛ \\ & - ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ gt 0؛ \ quad \ left | \ cdot \ يسار (-1 \ يمين) \ يمين. \\ & ((x) ^ (2)) - 4x-5 \ lt 0 ؛ \\ & \ يسار (x-5 \ يمين) \ يسار (x + 1 \ يمين) \ lt 0. \\\ end (محاذاة) \]

كما ترى ، في نقطة معينة ، كان علينا القسمة على ناقص واحد ، وتغيرت علامة عدم المساواة. في النهاية ، قمت بتوسيع المربع ثلاثي الحدود وفقًا لنظرية فييتا - من الواضح أن الجذور تساوي $ ((x) _ (1)) = 5 $ و $ ((x) _ (2)) = - 1 دولار. ثم تقرر كل شيء الطريقة الكلاسيكيةفترات:

يتم ثقب جميع النقاط لأن المتباينة الأصلية صارمة. نحن مهتمون بالمنطقة ذات القيم السالبة ، لذا فإن الإجابة هي $ x \ in \ left (-1 ؛ 5 \ right) $. هذا هو الحل. :)

دعنا ننتقل إلى المهمة التالية:

\ [((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 \]

كل شيء هنا بسيط ، لأن هناك وحدة على اليمين. ونتذكر أن الوحدة هي أي عدد مرفوع للقوة الأسية صفر. حتى لو كان هذا الرقم تعبيرًا غير منطقي ، فالوقوف في القاعدة على اليسار:

\ [\ start (align) & ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt 1 = ((\ left (2 \ الجذر التربيعي (3) -3 \ يمين)) ^ (0)) ؛ \\ & ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ right)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \ lt ((\ left (2 \ sqrt (3) -3 \ يمين)) ^ (0)) ؛ \\\ end (محاذاة) \]

لذلك دعونا نبرر:

\ [\ start (align) & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot \ left (2 \ sqrt (3) -3-1 \ right) \ lt 0 ؛ \\ & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot \ left (2 \ sqrt (3) -4 \ right) \ lt 0 ؛ \\ & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 0. \\\ end (align) \ ]

يبقى فقط للتعامل مع العلامات. المضاعف $ 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) $ لا يحتوي على المتغير $ x $ - إنه مجرد ثابت ، وعلينا معرفة علامته. للقيام بذلك ، لاحظ ما يلي:

\ [\ start (matrix) \ sqrt (3) \ lt \ sqrt (4) = 2 \\ \ Downarrow \ 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 2 \ cdot \ left (2 -2 \ يمين) = 0 \ نهاية (مصفوفة) \]

اتضح أن العامل الثاني ليس مجرد ثابت ، بل ثابت سلبي! وعند القسمة عليها ، ستتغير علامة المتباينة الأصلية إلى العكس:

\ [\ start (align) & \ left (((x) ^ (2)) - 2x-0 \ right) \ cdot 2 \ left (\ sqrt (3) -2 \ right) \ lt 0 ؛ \\ & ((x) ^ (2)) - 2x-0 \ gt 0 ؛ \\ & x \ يسار (x-2 \ يمين) \ gt 0. \\\ end (محاذاة) \]

الآن أصبح كل شيء واضحًا تمامًا. جذور المثلث التربيعي على اليمين هي $ ((x) _ (1)) = 0 $ و $ ((x) _ (2)) = 2 $. نضعها على خط الأعداد وننظر إلى إشارات الدالة $ f \ left (x \ right) = x \ left (x-2 \ right) $:

نحن مهتمون بالفترات الزمنية المميزة بعلامة الجمع. يبقى فقط كتابة الإجابة:

دعنا ننتقل إلى المثال التالي:

\ [(\ left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \ gt ((\ left (\ frac (1) (9) \ يمين)) ^ (16-س)) \]

حسنًا ، كل شيء واضح تمامًا هنا: القواعد هي قوى من نفس العدد. لذلك سأكتب كل شيء باختصار:

\ [\ start (matrix) \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1))؛ \ quad \ frac (1) (9) = \ frac (1) (((3) ^ ( 2))) = ((3) ^ (- 2)) \\ \ Downarrow \\ ((\ left (((3) ^ (- 1)) \ right)) ^ (((x) ^ (2) ) + 2x)) \ gt ((\ left (((3) ^ (- 2)) \ right)) ^ (16-x)) \ end (matrix) \]

\ [\ begin (align) & ((3) ^ (- 1 \ cdot \ left (((x) ^ (2)) + 2x \ right))) \ gt ((3) ^ (- 2 \ cdot \ يسار (16-س \ يمين))) ؛ \\ & ((3) ^ (- ((x) ^ (2)) - 2x)) \ gt ((3) ^ (- 32 + 2x)) ؛ \\ & \ left (- ((x) ^ (2)) - 2x- \ left (-32 + 2x \ right) \ right) \ cdot \ left (3-1 \ right) \ gt 0 ؛ \\ & - ((x) ^ (2)) - 2x + 32-2x \ gt 0 ؛ \\ & - ((x) ^ (2)) - 4x + 32 \ gt 0 ؛ \ quad \ left | \ cdot \ يسار (-1 \ يمين) \ يمين. \\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \ lt 0 ؛ \\ & \ يسار (x + 8 \ يمين) \ يسار (x-4 \ يمين) \ lt 0. \\\ end (محاذاة) \]

كما ترى ، في عملية التحولات ، كان علينا الضرب في رقم سالب، لذلك تغيرت علامة عدم المساواة. في النهاية ، طبقت مرة أخرى نظرية فييتا لتحليل ثلاثي الحدود المربع. نتيجة لذلك ، ستكون الإجابة كالتالي: $ x \ in \ left (-8؛ 4 \ right) $ - يمكن لمن يرغب في التحقق من ذلك عن طريق رسم خط الأعداد وتعليم النقاط وعلامات العد. في غضون ذلك ، سوف ننتقل إلى آخر متباينة من "المجموعة" الخاصة بنا:

\ [((\ left (3-2 \ sqrt (2) \ right)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt 1 \]

كما ترى ، القاعدة مرة أخرى رقم غير نسبي ، والوحدة مرة أخرى على اليمين. لذلك ، نعيد كتابة المتباينة الأسية على النحو التالي:

\ [((\ left (3-2 \ sqrt (2) \ right)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \ lt ((\ left (3-2 \ sqrt (2) \ يمين)) ^ (0)) \]

دعونا نبرر:

\ [\ start (align) & \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot \ left (3-2 \ sqrt (2) -1 \ right) \ lt 0 ؛ \\ & \ يسار (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot \ left (2-2 \ sqrt (2) \ right) \ lt 0 ؛ \\ & \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot 2 \ left (1- \ sqrt (2) \ right) \ lt 0. \\\ end (align) \ ]

ومع ذلك ، فمن الواضح تمامًا أن $ 1- \ sqrt (2) \ lt 0 $ ، منذ $ \ sqrt (2) \ حوالي 1.4 ... \ gt 1 $. لذلك ، فإن العامل الثاني هو مرة أخرى ثابت سالب ، والذي بواسطته يمكن تقسيم جزأي المتباينة:

\ [\ start (matrix) \ left (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ right) \ cdot 2 \ left (1- \ sqrt (2) \ right) \ lt 0 \\ \ Downarrow \ \\ نهاية (مصفوفة) \]

\ [\ start (align) & 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \ gt 0 ؛ \\ & 3x - ((x) ^ (2)) \ gt 0 ؛ \ quad \ left | \ cdot \ يسار (-1 \ يمين) \ يمين. \\ & ((x) ^ (2)) - 3x \ lt 0 ؛ \\ & x \ يسار (x-3 \ يمين) \ lt 0. \\\ end (محاذاة) \]

التغيير إلى قاعدة أخرى

هناك مشكلة منفصلة في حل المتباينات الأسية وهي البحث عن الأساس "الصحيح". لسوء الحظ ، عند النظرة الأولى على المهمة ، فإنه ليس من الواضح دائمًا ما يجب اتخاذه كأساس ، وما يجب القيام به كدرجة لهذا الأساس.

لكن لا تقلق: لا توجد تقنيات سحرية و "سرية" هنا. في الرياضيات ، يمكن تطوير أي مهارة لا يمكن خوارزميتها بسهولة من خلال الممارسة. لكن لهذا سيتعين عليك حل المشكلات ذات المستويات المختلفة من التعقيد. على سبيل المثال ، هذه هي:

\ [\ start (align) & ((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))) ؛ \\ & ((\ left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)) ؛ \\ & ((\ left (0،16 \ right)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ left (6،25 \ right)) ^ (x)) \ ge 1 ؛ \\ & ((\ left (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ right)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81. \\\ نهاية (محاذاة) \]

معقد؟ مخيف؟ نعم إنه أسهل من دجاجة على الأسفلت! لنجرب. عدم المساواة الأول:

\ [((2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((4) ^ (\ frac (4) (x))) \]

حسنًا ، أعتقد أن كل شيء واضح هنا:

نعيد كتابة المتباينة الأصلية ، ونختزل كل شيء إلى الأساس "اثنان":

\ [(2) ^ (\ frac (x) (2))) \ lt ((2) ^ (\ frac (8) (x))) \ Rightarrow \ left (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ يمين) \ cdot \ يسار (2-1 \ يمين) \ lt 0 \]

نعم ، نعم ، لقد فهمت بشكل صحيح: لقد طبقت للتو طريقة التبرير الموضحة أعلاه. نحتاج الآن إلى العمل بعناية: لدينا متباينة كسرية عقلانية (هذا متغير له متغير في المقام) ، لذا قبل معادلة شيء ما بصفر ، عليك إحضار كل شيء إلى القاسم المشتركوتخلص من المضاعف الثابت.

\ [\ start (align) & \ left (\ frac (x) (2) - \ frac (8) (x) \ right) \ cdot \ left (2-1 \ right) \ lt 0 ؛ \\ & \ يسار (\ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ right) \ cdot 1 \ lt 0 ؛ \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \ lt 0. \\\ end (align) \]

الآن نستخدم طريقة الفاصل القياسية. أصفار البسط: $ x = \ pm 4 $. ينتقل المقام إلى الصفر فقط عندما يكون $ x = 0 $. في المجموع ، هناك ثلاث نقاط يجب تحديدها على خط الأعداد (كل النقاط مثقوبة ، لأن علامة عدم المساواة صارمة). نحن نحصل:

كما قد تتخيل ، فإن التظليل يشير إلى الفترات التي يأخذ فيها التعبير الموجود على اليسار قيمًا سالبة. لذلك ، ستدخل فترتان في الإجابة النهائية مرة واحدة:

لم تدخل النهايات في الإجابة لأن المتراجحة الأصلية كانت صارمة. لا مزيد من التحقق من صحة هذه الإجابة مطلوب. في هذا الصدد ، تكون التفاوتات الأسية أبسط بكثير من اللوغاريتمية: لا توجد DPV ، ولا قيود ، وما إلى ذلك.

دعنا ننتقل إلى المهمة التالية:

\ [((\ left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)) \]

لا توجد مشاكل هنا أيضًا ، لأننا نعلم بالفعل أن $ \ frac (1) (3) = ((3) ^ (- 1)) $ ، لذلك يمكن إعادة كتابة المتباينة بالكامل على النحو التالي:

\ [\ start (align) & ((\ left (((3) ^ (- 1)) \ right)) ^ (\ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x )) \ Rightarrow ((3) ^ (- \ frac (3) (x))) \ ge ((3) ^ (2 + x)) ؛ \\ & \ left (- \ frac (3) (x) - \ left (2 + x \ right) \ right) \ cdot \ left (3-1 \ right) \ ge 0 ؛ \\ & \ left (- \ frac (3) (x) -2-x \ right) \ cdot 2 \ ge 0 ؛ \ quad \ left | : \ يسار (-2 \ يمين) \ يمين. \\ & \ frac (3) (x) + 2 + x \ le 0 ؛ \\ & \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) \ le 0. \\\ end (align) \]

يرجى ملاحظة: في السطر الثالث ، قررت عدم إضاعة الوقت في تفاهات وقسمة كل شيء على الفور على (2). ذهب مينول إلى القوس الأول (يوجد الآن إيجابيات في كل مكان) ، وتم تقليل الشيطان بمضاعف ثابت. هذا هو بالضبط ما يجب عليك فعله عند إجراء حسابات حقيقية على المستقلين و مراقبة العمل- لا حاجة لرسم كل عمل وتحويل بشكل مباشر.

بعد ذلك ، يتم تشغيل طريقة الفواصل المألوفة. أصفار البسط: لكن لا شيء. لأن المميز سيكون سالب. في المقابل ، يتم ضبط المقام على الصفر فقط عندما يكون $ x = 0 $ - تمامًا مثل المرة السابقة. حسنًا ، من الواضح أنه على يمين $ x = 0 $ سيأخذ الكسر قيمًا موجبة ، وإلى اليسار - سلبية. نظرًا لأننا مهتمون فقط بالقيم السالبة ، فإن الإجابة النهائية هي $ x \ in \ left (- \ infty؛ 0 \ right) $.

\ [((\ left (0،16 \ right)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ left (6،25 \ right)) ^ (x)) \ ge 1 \]

وماذا يجب فعله مع الكسور العشرية في المتباينات الأسية؟ هذا صحيح: تخلص منهم بتحويلهم إلى أشياء عادية. نحن هنا نترجم:

\ [\ start (align) & 0،16 = \ frac (16) (100) = \ frac (4) (25) \ Rightarrow ((\ left (0،16 \ right)) ^ (1 + 2x)) = ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (1 + 2x)) ؛ \\ & 6،25 = \ frac (625) (100) = \ frac (25) (4) \ Rightarrow ((\ left (6،25 \ right)) ^ (x)) = ((\ left (\ frac (25) (4) \ right)) ^ (x)). \\\ end (محاذاة) \]

حسنًا ، ما الذي حصلنا عليه في قواعد الدوال الأسية؟ وحصلنا على رقمين متبادلين:

\ [\ frac (25) (4) = ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (- 1)) \ Rightarrow ((\ left (\ frac (25) (4) \ يمين)) ^ (x)) = ((\ left (((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (- 1)) \ right)) ^ (x)) = ((\ يسار (\ frac (4) (25) \ يمين)) ^ (- x)) \]

وبالتالي ، يمكن إعادة كتابة عدم المساواة الأصلية على النحو التالي:

\ [\ start (align) & ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (1 + 2x)) \ cdot ((\ left (\ frac (4) (25) \ right) ) ^ (- x)) \ ge 1 ؛ \\ & ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (1 + 2x + \ left (-x \ right))) \ ge ((\ left (\ frac (4) (25) \ يمين)) ^ (0)) ؛ \\ & ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (0) ). \\\ end (محاذاة) \]

بالطبع ، عند ضرب الأسس بنفس القاعدة ، تضاف مؤشراتها ، وهو ما حدث في السطر الثاني. بالإضافة إلى ذلك ، قمنا بتمثيل الوحدة على اليمين ، أيضًا كقوة في القاعدة 4/25. يبقى فقط للترشيد:

\ [((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (x + 1)) \ ge ((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (0)) \ Rightarrow \ left (x + 1-0 \ right) \ cdot \ left (\ frac (4) (25) -1 \ right) \ ge 0 \]

لاحظ أن $ \ frac (4) (25) -1 = \ frac (4-25) (25) \ lt 0 $ ، أي العامل الثاني ثابت سالب ، وعند القسمة عليه ، ستتغير علامة عدم المساواة:

\ [\ start (align) & x + 1-0 \ le 0 \ Rightarrow x \ le -1؛ \\ & x \ in \ left (- \ infty ؛ -1 \ يمين]. \\\ end (محاذاة) \]

أخيرًا ، آخر متباينة من "المجموعة" الحالية:

\ [(\ left (\ frac (27) (\ sqrt (3)) \ right)) ^ (- x)) \ lt ((9) ^ (4-2x)) \ cdot 81 \]

من حيث المبدأ ، فإن فكرة الحل هنا واضحة أيضًا: يجب اختزال جميع الدوال الأسية التي تشكل عدم المساواة إلى الأساس "3". لكن لهذا عليك أن تتلاعب بالجذور والدرجات:

\ [\ start (align) & \ frac (27) (\ sqrt (3)) = \ frac (((3) ^ (3))) (((3) ^ (\ frac (1) (3)) )) = ((3) ^ (3- \ frac (1) (3))) = ((3) ^ (\ frac (8) (3))) ؛ \\ & 9 = ((3) ^ (2)) ؛ \ quad 81 = ((3) ^ (4)). \\\ end (محاذاة) \]

بالنظر إلى هذه الحقائق ، يمكن إعادة كتابة عدم المساواة الأصلية على النحو التالي:

\ [\ start (align) & ((\ left (((3) ^ (\ frac (8) (3))) \ right)) ^ (- x)) \ lt ((\ left (((3) ^ (2)) \ right)) ^ (4-2x)) \ cdot ((3) ^ (4)) ؛ \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x)) \ cdot ((3) ^ (4)) ؛ \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (8-4x + 4)) ؛ \\ & ((3) ^ (- \ frac (8x) (3))) \ lt ((3) ^ (4-4x)). \\\ end (محاذاة) \]

انتبه إلى السطرين الثاني والثالث من الحسابات: قبل القيام بشيء مع عدم المساواة ، تأكد من إحضاره إلى النموذج الذي تحدثنا عنه منذ بداية الدرس: $ ((a) ^ (x)) \ lt ( (أ) ^ (ن)) $. طالما لديك مضاعفات يسار أو يمين ، ثوابت إضافية ، إلخ. لا يمكن إجراء أي تبرير و "شطب" للأسباب! تم تنفيذ مهام لا حصر لها بشكل خاطئ بسبب عدم فهم ذلك حقيقة بسيطة. أنا شخصياً ألاحظ هذه المشكلة باستمرار مع طلابي عندما بدأنا للتو في تحليل التفاوتات الأسية واللوغاريتمية.

لكن العودة إلى مهمتنا. دعونا نحاول هذه المرة الاستغناء عن الترشيد. تذكر: قاعدة الدرجة أكبر من واحد ، لذلك يمكن ببساطة شطب الثلاثيات - لن تتغير علامة عدم المساواة. نحن نحصل:

\ [\ start (محاذاة) & - \ frac (8x) (3) \ lt 4-4x ؛ \\ & 4x- \ frac (8x) (3) \ lt 4 ؛ \\ & \ frac (4x) (3) \ lt 4 ؛ \\ & 4x \ lt 12 ؛ \\ & x \ lt 3. \\\ end (محاذاة) \]

هذا كل شئ. الإجابة النهائية: $ x \ in \ left (- \ infty؛ 3 \ right) $.

إبراز تعبير ثابت واستبدال متغير

في الختام ، أقترح حل أربع تفاوتات أسية أخرى ، والتي هي بالفعل صعبة للغاية بالنسبة للطلاب غير المستعدين. للتعامل معهم ، عليك أن تتذكر قواعد العمل بالدرجات. على وجه الخصوص ، وضع العوامل المشتركة من بين قوسين.

لكن الشيء الأكثر أهمية هو أن تتعلم كيف تفهم: ما الذي يمكن وضعه بين قوسين بالضبط. يسمى هذا التعبير مستقر - يمكن الإشارة إليه بواسطة متغير جديد وبالتالي التخلص من الوظيفة الأسية. لذلك ، دعونا نلقي نظرة على المهام:

\ [\ start (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6 ؛ \\ & ((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90 ؛ \\ & ((25) ^ (x + 1،5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500 ؛ \\ & ((\ left (0،5 \ right)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1،5)) \ gt 768. \\\ end (align) \]

لنبدأ بالسطر الأول. لنكتب هذه المتباينة بشكل منفصل:

\ [((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \ ge 6 \]

لاحظ أن $ ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (x + 1 + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ cdot 5 $ ، لذلك يمكن للجانب الأيمن إعادة كتابة:

لاحظ أنه لا توجد دوال أسية أخرى باستثناء $ ((5) ^ (x + 1)) $ في المتباينة. وبشكل عام ، لا يحدث المتغير $ x $ في أي مكان آخر ، لذلك دعونا نقدم متغيرًا جديدًا: $ ((5) ^ (x + 1)) = t $. نحصل على البناء التالي:

\ [\ start (align) & 5t + t \ ge 6؛ \\ & 6t \ ge 6 ؛ \\ & t \ ge 1. \\\ end (محاذاة) \]

نعود إلى المتغير الأصلي ($ t = ((5) ^ (x + 1)) $) ونتذكر في نفس الوقت أن 1 = 5 0. نملك:

\ [\ begin (align) & ((5) ^ (x + 1)) \ ge ((5) ^ (0)) ؛ \\ & x + 1 \ ge 0 ؛ \\ & x \ ge -1. \\\ end (محاذاة) \]

هذا هو الحل الكامل! الإجابة: $ x \ in \ left [-1؛ + \ infty \ right) $. دعنا ننتقل إلى المتباينة الثانية:

\ [((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \ ge 90 \]

كل شيء هو نفسه هنا. لاحظ أن $ ((3) ^ (x + 2)) = ((3) ^ (x)) \ cdot ((3) ^ (2)) = 9 \ cdot ((3) ^ (x)) $. ثم الجهه اليسرىيمكن إعادة كتابتها:

\ [\ start (align) & ((3) ^ (x)) + 9 \ cdot ((3) ^ (x)) \ ge 90؛ \ quad \ left | ((3) ^ (x)) = t \ right. \\ & t + 9t \ ge 90 ؛ \\ & 10t \ ge 90 ؛ \\ & t \ ge 9 \ Rightarrow ((3) ^ (x)) \ ge 9 \ Rightarrow ((3) ^ (x)) \ ge ((3) ^ (2)) ؛ \\ & x \ ge 2 \ Rightarrow x \ in \ left [2 ؛ + \ infty \ right). \\\ end (محاذاة) \]

هذه تقريبًا هي الطريقة التي تحتاج بها إلى اتخاذ قرار بشأن التحكم الحقيقي والعمل المستقل.

حسنًا ، دعنا نجرب شيئًا أكثر صعوبة. على سبيل المثال ، هنا عدم المساواة:

\ [((25) ^ (x + 1،5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \ gt 2500 \]

ماهي المشكلة هنا؟ بادئ ذي بدء ، تختلف أسس الدوال الأسية على اليسار: 5 و 25. ومع ذلك ، 25 \ u003d 5 2 ، لذلك يمكن تحويل المصطلح الأول:

\ [\ start (align) & ((25) ^ (x + 1،5)) = ((\ left (((5) ^ (2)) \ right)) ^ (x + 1،5)) = ((5) ^ (2x + 3)) ؛ \\ & ((5) ^ (2x + 3)) = ((5) ^ (2x + 2 + 1)) = ((5) ^ (2x + 2)) \ cdot 5. \\\ end (محاذاة ) \]

كما ترون ، في البداية جلبنا كل شيء إلى نفس الأساس، ثم لاحظوا أن المصطلح الأول يتم اختزاله بسهولة إلى الثاني - يكفي توسيع الأس. يمكننا الآن تقديم متغير جديد بأمان: $ ((5) ^ (2x + 2)) = t $ ، وستتم إعادة كتابة المتباينة بالكامل على النحو التالي:

\ [\ start (align) & 5t-t \ ge 2500؛ \\ & 4t \ ge 2500 ؛ \\ & t \ ge 625 = ((5) ^ (4)) ؛ \\ & ((5) ^ (2x + 2)) \ ge ((5) ^ (4)) ؛ \\ & 2x + 2 \ ge 4 ؛ \\ & 2x \ ge 2 ؛ \\ & x \ ge 1. \\\ end (محاذاة) \]

مرة أخرى ، لا مشكلة! الإجابة النهائية: $ x \ in \ left [1؛ + \ infty \ right) $. ننتقل إلى عدم المساواة النهائية في درس اليوم:

\ [((\ left (0،5 \ right)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1،5)) \ gt 768 \]

أول شيء يجب ملاحظته ، بالطبع ، عدد عشريفي قاعدة الدرجة الأولى. من الضروري التخلص منه ، وفي نفس الوقت إحضار جميع الوظائف الأسية إلى نفس القاعدة - الرقم "2":

\ [\ start (align) & 0،5 = \ frac (1) (2) = ((2) ^ (- 1)) \ Rightarrow ((\ left (0،5 \ right)) ^ (- 4x- 8)) = ((\ left (((2) ^ (- 1)) \ right)) ^ (- 4x-8)) = ((2) ^ (4x + 8)) ؛ \\ & 16 = ((2) ^ (4)) \ Rightarrow ((16) ^ (x + 1،5)) = ((\ left (((2) ^ (4)) \ right)) ^ ( س + 1.5)) = ((2) ^ (4x + 6)) ؛ \\ & ((2) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \ gt 768. \\\ end (align) \]

رائع ، لقد اتخذنا الخطوة الأولى - كل شيء أدى إلى نفس الأساس. الآن نحن بحاجة إلى تسليط الضوء تعيين التعبير. لاحظ أن $ ((2) ^ (4x + 8)) = ((2) ^ (4x + 6 + 2)) = ((2) ^ (4x + 6)) \ cdot 4 $. إذا أدخلنا متغيرًا جديدًا $ ((2) ^ (4x + 6)) = t $ ، فيمكن إعادة كتابة المتباينة الأصلية على النحو التالي:

\ [\ start (محاذاة) & 4t-t \ gt 768؛ \\ & 3t \ GT 768 ؛ \\ & t \ gt 256 = ((2) ^ (8)) ؛ \\ & ((2) ^ (4x + 6)) \ gt ((2) ^ (8)) ؛ \\ & 4x + 6 \ GT 8 ؛ \\ & 4x \ GT 2 ؛ \\ & x \ gt \ frac (1) (2) = 0.5. \\\ end (محاذاة) \]

بطبيعة الحال ، قد يطرح السؤال التالي: كيف اكتشفنا أن 256 = 2 8؟ لسوء الحظ ، ما عليك سوى معرفة قوى اثنين (وفي نفس الوقت قوى ثلاثة وخمسة). حسنًا ، أو اقسم 256 على 2 (يمكنك القسمة ، لأن 256 عدد زوجي) حتى نحصل على النتيجة. سيبدو شيئا من هذا القبيل:

\ [\ start (align) & 256 = 128 \ cdot 2 = \\ & = 64 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 32 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 16 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 8 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 4 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = \\ & = ((2) ^ (8)). \ end (محاذاة ) \]

نفس الشيء مع الثلاثة (الأرقام 9 و 27 و 81 و 243 هي قوىها) ومع السبعة (من الجيد أيضًا تذكر الأرقام 49 و 343). حسنًا ، الخمس درجات أيضًا لها درجات "جميلة" تحتاج إلى معرفتها:

\ [\ start (align) & ((5) ^ (2)) = 25 ؛ \\ & ((5) ^ (3)) = 125 ؛ \\ & ((5) ^ (4)) = 625 ؛ \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\ end (محاذاة) \]

بالطبع ، كل هذه الأرقام ، إذا رغبت في ذلك ، يمكن استعادتها في الذهن ، ببساطة عن طريق ضربها على التوالي في بعضها البعض. ومع ذلك ، عندما يتعين عليك حل عدة متباينات أسية ، وتكون كل واحدة تالية أكثر صعوبة من السابقة ، فإن آخر شيء تريد التفكير فيه هو قوى بعض الأعداد هناك. وبهذا المعنى ، فإن هذه المشكلات أكثر تعقيدًا من المتباينات "التقليدية" ، التي يتم حلها بطريقة الفترة.

في هذا الدرس ، سننظر في حل المعادلات الأسية الأكثر تعقيدًا ، ونتذكر الأحكام النظرية الرئيسية المتعلقة بالدالة الأسية.

1. تعريف وخصائص الدالة الأسية ، وهي تقنية لحل أبسط المعادلات الأسية

تذكر التعريف والخصائص الرئيسية للدالة الأسية. يعتمد حل جميع المعادلات الأسية والمتباينات على الخصائص.

دالة أسيةهي دالة في النموذج ، حيث القاعدة هي الدرجة وهنا x متغير مستقل ، وسيطة ؛ y - المتغير التابع ، الوظيفة.

أرز. 1. رسم بياني للدالة الأسية

يُظهر الرسم البياني أسًا متزايدًا ومتناقصًا ، يوضح الدالة الأسية عند قاعدة أكبر من واحد وأقل من واحد ، ولكن أكبر من الصفر ، على التوالي.

يمر كلا المنحنيين عبر النقطة (0 ؛ 1)

خصائص الوظيفة الأسية:

اِختِصاص: ؛

مدى من القيم: ؛

الوظيفة رتيبة ، تزداد ، تنقص مثل.

تأخذ الدالة الرتيبة كل قيمة من قيمها بقيمة واحدة من الوسيطة.

عندما تزيد الوسيطة من سالب إلى زائد ما لا نهاية ، تزداد الدالة من صفر ، شاملًا ، إلى زائد ما لا نهاية. على العكس من ذلك ، عندما تزيد الحجة من سالب إلى زائد ما لا نهاية ، تقل الوظيفة من اللانهاية إلى الصفر ، شاملة.

2. حل المعادلات الأسية النموذجية

تذكر كيفية حل أبسط المعادلات الأسية. يعتمد حلهم على رتابة الوظيفة الأسية. يتم تقليل جميع المعادلات الأسية المعقدة تقريبًا إلى مثل هذه المعادلات.

ترجع المساواة بين الأسس مع القواعد المتساوية إلى خاصية الوظيفة الأسية ، أي رتبتها.

طريقة الحل:

معادلة قواعد الدرجات ؛

تعادل الأس.

دعنا ننتقل إلى المعادلات الأسية الأكثر تعقيدًا ، وهدفنا هو تقليل كل منها إلى أبسطها.

دعنا نتخلص من الجذر في الجانب الأيسر ونقلل الدرجات إلى نفس القاعدة:

من أجل تقليل المعادلة الأسية المعقدة إلى معادلة بسيطة ، غالبًا ما يتم استخدام تغيير المتغيرات.

دعنا نستخدم خاصية الدرجة:

نقدم بديلا. دعونا بعد ذلك

نضرب المعادلة الناتجة في اثنين وننقل كل المصطلحات إلى الجانب الأيسر:

لا يفي الجذر الأول بقيم y ، فنحن نتجاهله. نحن نحصل:

لنجلب الدرجات إلى نفس المؤشر:

نقدم بديلا:

دعونا بعد ذلك . مع هذا الاستبدال ، من الواضح أن y تأخذ قيمًا موجبة تمامًا. نحن نحصل:

نحن نعرف كيفية حل المعادلات التربيعية المتشابهة ، نكتب الإجابة:

للتأكد من العثور على الجذور بشكل صحيح ، يمكنك التحقق وفقًا لنظرية فييتا ، أي العثور على مجموع الجذور وحاصل ضربها والتحقق من المعاملات المقابلة للمعادلة.

نحن نحصل:

3. تقنية حل المعادلات الأسية المتجانسة من الدرجة الثانية

دعنا ندرس ما يلي نوع مهمالمعادلات الأسية:

تسمى المعادلات من هذا النوع متجانسة من الدرجة الثانية فيما يتعلق بالوظائف f و g. على الجانب الأيسر ثلاثي الحدود مربعبالنسبة إلى f مع المعلمة g أو ثلاثي الحدود المربع بالنسبة إلى g مع المعلمة f.

طريقة الحل:

يمكن حل هذه المعادلة كمعادلة تربيعية ، لكن من الأسهل القيام بها بالعكس. يجب النظر في حالتين:

في الحالة الأولى ، نحصل على

في الحالة الثانية لنا الحق في القسمة على الدرجة الأعلى ونحصل على:

يجب إدخال تغيير في المتغيرات ، نحصل على معادلة تربيعية لـ y:

لاحظ أن الدالتين f و g يمكن أن تكونا تعسفيين ، لكننا مهتمون بالحالة عندما تكون هذه وظائف أسية.

4. أمثلة على حل المعادلات المتجانسة

دعنا ننقل كل المصطلحات إلى الجانب الأيسر من المعادلة:

نظرًا لأن الدوال الأسية تكتسب قيمًا موجبة تمامًا ، فلدينا الحق في تقسيم المعادلة فورًا ، دون مراعاة الحالة عندما:

نحن نحصل:

نقدم بديلا: (حسب خصائص الدالة الأسية)

حصلنا على معادلة من الدرجة الثانية:

نحدد الجذور وفقًا لنظرية فييتا:

لا يفي الجذر الأول بالفاصل الزمني لقيم y ، فنحن نتجاهله ، ونحصل على:

دعنا نستخدم خصائص الدرجة ونختزل كل الدرجات إلى أسس بسيطة:

من السهل ملاحظة الوظائف f و g:

نظرًا لأن الدوال الأسية تكتسب قيمًا موجبة تمامًا ، فلدينا الحق في تقسيم المعادلة على الفور ، دون مراعاة الحالة متى.