كيفية حل الكسور العشرية. الكسور العشرية. مفهوم الكسر العشري

موجودة مسبقا مدرسة إبتدائيةيتعامل الطلاب مع الكسور. وبعد ذلك تظهر في كل موضوع. من المستحيل نسيان الإجراءات بهذه الأرقام. لذلك ، تحتاج إلى معرفة جميع المعلومات حول الكسور العادية والعشرية. هذه المفاهيم بسيطة ، الشيء الرئيسي هو فهم كل شيء بالترتيب.

لماذا نحتاج الكسور؟

يتكون العالم من حولنا من كائنات كاملة. لذلك ، ليست هناك حاجة للأسهم. لكن الحياة اليوميةيدفع الناس باستمرار للعمل مع أجزاء من الأشياء والأشياء.

على سبيل المثال ، تتكون الشوكولاتة من عدة شرائح. ضع في اعتبارك الموقف الذي يتكون فيه البلاط الخاص به من اثني عشر مستطيلاً. إذا قسمته إلى قسمين ، تحصل على 6 أجزاء. سيتم تقسيمها جيدًا إلى ثلاثة. لكن الخمسة لن يكونوا قادرين على إعطاء عدد كامل من شرائح الشوكولاتة.

بالمناسبة ، هذه الشرائح هي بالفعل كسور. ويؤدي تقسيمهم الإضافي إلى ظهور أعداد أكثر تعقيدًا.

ما هو "الكسر"؟

هذا رقم يتكون من أجزاء من واحد. ظاهريًا ، يبدو وكأنه رقمان مفصول بينهما أفقيًا أو شرطة مائلة. تسمى هذه الميزة كسري. الرقم المكتوب في الأعلى (على اليسار) يسمى البسط. واحد في الأسفل (على اليمين) هو المقام.

في الواقع ، تبين أن الشريط الكسري هو علامة قسمة. أي أنه يمكن تسمية البسط بالمقسوم ، ويمكن تسمية المقام بالمقسوم عليه.

ما هي الكسور؟

في الرياضيات ، هناك نوعان فقط منهم: الكسور العادية والعشرية. يتم تقديم أطفال المدارس لأول مرة إلى مدرسة إبتدائية، واصفا إياهم ببساطة "الكسور". الثاني يتعلم في الصف الخامس. هذا عندما تظهر هذه الأسماء.

الكسور الشائعة هي كل تلك المكتوبة كرقمين مفصولين بشريط. على سبيل المثال ، 4/7. العشري هو رقم يحتوي فيه الجزء الكسري على تدوين موضعي ويتم فصله عن العدد الصحيح بفاصلة. على سبيل المثال ، 4.7. يجب أن يكون الطلاب واضحين في أن المثالين المذكورين هما رقمان مختلفان تمامًا.

كل جزء بسيطيمكن كتابتها في صورة عدد عشري. هذه العبارة صحيحة دائمًا في الاتجاه المعاكس أيضًا. هناك قواعد تسمح لك بكتابة كسر عشري على هيئة كسر عادي.

ما هي الأنواع الفرعية التي تمتلكها هذه الأنواع من الكسور؟

من الأفضل البدء في ترتيب زمنيأثناء دراستهم. الكسور المشتركة تأتي أولاً. من بينها ، يمكن تمييز 5 أنواع فرعية.

صيح. البسط دائمًا أقل من المقام.

خاطئ. بسطه أكبر من أو يساوي المقام.

قابل للاختزال / غير قابل للاختزال. يمكن أن تكون إما صحيحة أو خاطئة. هناك شيء آخر مهم ، وهو ما إذا كان البسط والمقام لهما عوامل مشتركة. إذا كان هناك ، فمن المفترض أن يقسموا كلا الجزأين من الكسر ، أي لتقليله.

مختلط. يتم تعيين عدد صحيح إلى الجزء الكسري الصحيح (غير صحيح) المعتاد. وهي دائما تقف على اليسار.

مركب. يتكون من كسرين مقسومين على بعضهما البعض. أي أنه يحتوي على ثلاث سمات كسرية في آنٍ واحد.

تحتوي الكسور العشرية على نوعين فرعيين فقط:

أخيرًا ، أي الجزء الذي يكون فيه الجزء الكسري محدودًا (له نهاية) ؛

لانهائي - رقم لا تنتهي أرقامه بعد الفاصلة العشرية (يمكن كتابتها إلى ما لا نهاية).

كيفية تحويل عشري إلى عادي؟

إذا كان هذا رقمًا محدودًا ، فسيتم تطبيق ارتباط قائم على القاعدة - كما أسمع ، لذلك أكتب. أي أنك تحتاج إلى قراءتها بشكل صحيح وتدوينها ، ولكن بدون فاصلة ، ولكن بخط كسور.

كتلميح حول المقام المطلوب ، تذكر أنه دائمًا واحد وبضعة أصفار. يجب كتابة الأخير بقدر الأرقام الموجودة في الجزء الكسري من الرقم المعني.

كيفية تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية إذا كانت كذلك الجزء الكاملغائب أي يساوي صفر؟ على سبيل المثال ، 0.9 أو 0.05. بعد تطبيق القاعدة المحددة ، اتضح أنك بحاجة إلى كتابة صفر أعداد صحيحة. لكن لم يتم الإشارة إليه. يبقى لكتابة الأجزاء الكسرية فقط. الرقم الأول مقامه 10 ، والثاني مقامه 100. أي ، هذه الأمثلةسيكون للإجابات أرقام: 9/10 ، 5/100. علاوة على ذلك ، فقد تبين أن الأخير يمكن تقليله بمقدار 5. لذلك ، يجب كتابة النتيجة 1/20.

كيف تصنع كسرًا عاديًا من عدد عشري إذا كان الجزء الصحيح مختلفًا عن الصفر؟ على سبيل المثال ، 5.23 أو 13.00108. كلا المثالين يقرأان الجزء الصحيح ويكتبان قيمته. في الحالة الأولى ، هذا هو 5 ، في الحالة الثانية ، 13. ثم عليك الانتقال إلى الجزء الكسري. معهم من الضروري إجراء نفس العملية. الرقم الأول 23/100 ، والثاني 108/100000. يجب تخفيض القيمة الثانية مرة أخرى. الرد مثل هذا كسور مختلطة: 5 23/100 و 13 27/25000.

كيفية تحويل عدد لا نهائي من الكسر العشري إلى كسر مشترك؟

إذا كانت غير دورية ، فلا يمكن تنفيذ مثل هذه العملية. ترجع هذه الحقيقة إلى حقيقة أن كل كسر عشري يُترجم دائمًا إلى إما نهائي أو دوري.

الشيء الوحيد المسموح به مع مثل هذا الكسر هو تقريبه. ولكن بعد ذلك ستكون العلامة العشرية مساوية تقريبًا لذلك اللانهائي. يمكن بالفعل أن تتحول إلى واحدة عادية. لكن العملية العكسية: التحويل إلى عشري - لن تعطي أبدًا القيمة البدائية. أي أن الكسور اللانهائية غير الدورية لا تُترجم إلى كسور عادية. يجب أن نتذكر هذا.

كيف تكتب كسر دوري لانهائي في شكل عادي؟

في هذه الأرقام ، يظهر رقم واحد أو أكثر دائمًا بعد الفاصلة العشرية ، والتي تتكرر. يطلق عليهم فترات. على سبيل المثال ، 0.3 (3). هنا "3" في تلك الفترة. يتم تصنيفها على أنها منطقية ، حيث يمكن تحويلها إلى كسور عادية.

أولئك الذين واجهوا كسورًا دورية يعرفون أنه يمكن أن يكونوا نقيًا أو مختلطًا. في الحالة الأولى ، تبدأ الفترة على الفور من الفاصلة. في الجزء الثاني ، يبدأ الجزء الكسري بأي أرقام ، ثم يبدأ التكرار.

القاعدة التي يجب أن تكتب بها عددًا عشريًا لا نهائيًا في شكل كسر عادي ستكون مختلفة لهذين النوعين من الأرقام. من السهل جدًا كتابة كسور دورية صافية ككسور عادية. كما هو الحال مع الأخيرة ، يجب تحويلها: اكتب الفترة في البسط ، وسيكون الرقم 9 هو المقام ، مع تكرار عدد المرات التي توجد فيها أرقام في الفترة.

على سبيل المثال ، 0 ، (5). لا يحتوي الرقم على جزء صحيح ، لذلك عليك المتابعة فورًا إلى الجزء الكسري. اكتب 5 في البسط واكتب 9 في المقام ، أي أن الإجابة ستكون الكسر 5/9.

قاعدة حول كيفية كتابة كسر عشري مشترك يكون كسرًا مختلطًا.

انظر إلى طول الفترة. 9 سيكون له المقام.

اكتب المقام: أول تسعة ، ثم أصفار.

لتحديد البسط ، عليك كتابة الفرق بين عددين. سيتم تقليل جميع الأرقام بعد الفاصلة العشرية جنبًا إلى جنب مع الفترة. قابل للطرح - بدون فترة.

على سبيل المثال ، 0.5 (8) - اكتب الكسر العشري الدوري ككسر مشترك. الجزء الكسري قبل الفترة هو رقم واحد. لذا فإن الصفر سيكون واحدًا. يوجد أيضًا رقم واحد فقط في الفترة - 8. أي تسعة واحد فقط. أي أنك تحتاج إلى كتابة 90 في المقام.

لتحديد البسط من 58 ، تحتاج إلى طرح 5. اتضح أن 53. على سبيل المثال ، سيكون عليك كتابة 53/90 كإجابة.

كيف يتم تحويل الكسور الشائعة إلى كسور عشرية؟

على الأكثر خيار بسيطاتضح أن الرقم في المقام هو 10 و 100 وما إلى ذلك. ثم يتم تجاهل المقام ببساطة ، ويتم وضع فاصلة بين الأجزاء الكسرية والأجزاء الصحيحة.

هناك حالات يتحول فيها المقام بسهولة إلى 10 ، 100 ، إلخ. على سبيل المثال ، الأرقام 5 ، 20 ، 25. يكفي ضربهم في 2 و 5 و 4 على التوالي. فقط من الضروري الضرب ليس فقط في المقام ، ولكن أيضًا في البسط بنفس الرقم.

بالنسبة لجميع الحالات الأخرى ، ستكون قاعدة بسيطة مفيدة: اقسم البسط على المقام. في هذه الحالة ، قد تحصل على إجابتين: كسر عشري نهائي أو دوري.

العمليات مع الكسور المشتركة

جمع وطرح

يتعرف الطلاب عليهم في وقت أبكر من غيرهم. في البداية ، يكون للكسرين نفس المقامات ، ثم يختلفان. قواعد عامةيمكن اختزالها لمثل هذه الخطة.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقام.

اكتب عوامل إضافية لجميع الكسور العادية.

اضرب البسط والمقام في العوامل المحددة لهما.

اجمع (اطرح) بسط الكسور واترك المقام المشترك دون تغيير.

إذا كان بسط المطروح أقل من المطروح ، فأنت بحاجة إلى معرفة ما إذا كان لدينا عدد كسري أو كسر مناسب.

في الحالة الأولى ، يجب أن يأخذ الجزء الصحيح واحدًا. أضف مقامًا إلى بسط الكسر. ثم قم بعملية الطرح.

في الثانية - من الضروري تطبيق قاعدة الطرح من عدد أصغر إلى رقم أكبر. أي ، اطرح مقياس الحد الأدنى من مقياس المطروح ، وضع علامة "-" استجابةً لذلك.

انظر بعناية إلى نتيجة الجمع (الطرح). إذا حصلت على كسر غير حقيقي ، فمن المفترض أن تحدد الجزء بالكامل. أي اقسم البسط على المقام.

الضرب والقسمة

لتنفيذها ، لا يلزم اختزال الكسور إلى القاسم المشترك. هذا يجعل من السهل اتخاذ الإجراءات. لكن لا يزال يتعين عليهم اتباع القواعد.

عند ضرب الكسور العادية ، من الضروري مراعاة الأرقام الموجودة في البسط والمقام. إذا كان لأي بسط ومقام عامل مشترك ، فيمكن اختزالهما.

اضرب البسط.

اضرب القواسم.

إذا حصلت على كسر قابل للاختزال ، فمن المفترض أن يتم تبسيطه مرة أخرى.

عند القسمة ، يجب أولاً استبدال القسمة بالضرب والمقسوم عليه (الكسر الثاني) بالمقلوب (بدل البسط والمقام).

ثم تابع الضرب (بدءًا من الخطوة 1).

في المهام التي تحتاج فيها إلى الضرب (القسمة) على عدد صحيح ، من المفترض أن تتم كتابة الأخير بالشكل جزء غير لائق. هذا هو ، مع المقام 1. ثم تابع كما هو موضح أعلاه.



العمليات ذات الكسور العشرية

جمع وطرح

بالطبع ، يمكنك دائمًا تحويل الكسر العشري إلى كسر مشترك. والتصرف وفقًا للخطة التي سبق وصفها. لكن في بعض الأحيان يكون من الأنسب العمل بدون هذه الترجمة. ثم ستكون قواعد الجمع والطرح هي نفسها تمامًا.

معادلة عدد الأرقام في الجزء الكسري من الرقم ، أي بعد الفاصلة العشرية. قم بتعيين العدد المفقود من الأصفار فيه.

اكتب الكسور بحيث تكون الفاصلة أسفل الفاصلة.

أضف (اطرح) مثل الأعداد الطبيعية.

قم بإزالة الفاصلة.

الضرب والقسمة

من المهم ألا تحتاج إلى إلحاق أصفار هنا. من المفترض ترك الكسور كما وردت في المثال. ثم اذهب وفقا للخطة.

في عملية الضرب ، تحتاج إلى كتابة كسور واحدة تحت الأخرى ، دون الانتباه إلى الفواصل.

اضرب مثل الأعداد الطبيعية.

ضع فاصلة في الإجابة ، مع العد من النهاية اليمنى للإجابة عدد الأرقام كما هو الحال في الأجزاء الكسرية لكلا العاملين.

للقسمة ، عليك أولاً تحويل المقسوم عليه: اجعله رقمًا طبيعيًا. أي اضربها في 10 ، 100 ، إلخ ، اعتمادًا على عدد الأرقام في الجزء الكسري من المقسوم عليه.

اضرب المقسوم في نفس الرقم.

اقسم عددًا عشريًا على رقم طبيعي.

ضع فاصلة في الإجابة في اللحظة التي ينتهي فيها تقسيم الجزء كله.



ماذا لو كان هناك كلا النوعين من الكسور في مثال واحد؟

نعم ، غالبًا ما توجد أمثلة في الرياضيات تحتاج فيها إلى إجراء عمليات على الكسور العادية والعشرية. هناك نوعان من الحلول الممكنة لهذه المشاكل. تحتاج إلى وزن الأرقام بموضوعية واختيار أفضلها.

الطريقة الأولى: تمثيل الكسور العشرية العادية

يكون مناسبًا إذا تم الحصول على الكسور النهائية عند القسمة أو التحويل. إذا أعطى رقم واحد على الأقل جزءًا دوريًا ، فإن هذه التقنية محظورة. لذلك ، حتى إذا كنت لا تحب العمل مع الكسور العادية ، فسيتعين عليك حسابها.

الطريقة الثانية: اكتب الكسور العشرية على أنها عادية

هذه التقنية مناسبة إذا كان هناك 1-2 رقم في الجزء الذي يلي الفاصلة العشرية. إذا كان هناك المزيد منهم ، فقد يتحول إلى حجم كبير جدًا. جزء مشتركوستسمح لك الإدخالات العشرية بحساب المهمة بشكل أسرع وأسهل. لذلك ، من الضروري دائمًا إجراء تقييم رصين للمهمة واختيار أبسط طريقة للحل.

كسور عشرية. الإجراءات على الكسور العشرية

(ملخص الدرس)

Tumysheva Zamira Tansykbaevna ، مدرس الرياضيات ، مدرسة - صالة للألعاب الرياضية رقم 2

خرومتاو ، منطقة أكتوبي ، جمهورية كازاخستان

يهدف تطوير الدرس هذا إلى تعميم درس لفصل "الإجراءات المتعلقة بالكسور العشرية". يمكن استخدامه في كل من الصف الخامس والصف السادس. يتم إجراء الدرس في شكل لعبة.

الكسور العشرية. العمليات على الكسور العشرية.(ملخص الدرس)

هدف:

ممارسة مهارات وقدرات جمع وطرح وضرب وتقسيم الكسور العشرية إلى أعداد طبيعية وكسور عشرية

تهيئة الظروف لتنمية المهارات عمل مستقل، ضبط النفس واحترام الذات ، تنمية الصفات الفكرية: الانتباه والخيال والذاكرة والقدرة على التحليل والتعميم

غرس الاهتمام المعرفيللموضوع وتنمية الثقة بالنفس

خطة الدرس:

1. الجزء التنظيمي.

3. موضوع الدرس والغرض منه.

4. لعبة "إلى الراية العزيزة!"

5. لعبة "رقم الطاحونة".

6. الاستطراد الغنائي.

7. عمل التحقق.

8. لعبة "التشفير" (تعمل في أزواج)

9. تلخيص.

10. الواجب المنزلي.

1. الجزء التنظيمي. مرحبًا. تفضل بالجلوس.

2. نظرة عامة على قواعد إجراء العمليات الحسابية مع الكسور العشرية.

قاعدة جمع وطرح الكسور العشرية:

1) معادلة عدد المنازل العشرية في هذه الكسور ؛

2) اكتب واحدة تحت الأخرى بحيث تكون الفاصلة تحت الفاصلة ؛

3) دون ملاحظة الفاصلة ، قم بتنفيذ الإجراء (الجمع أو الطرح) ، ونتيجة لذلك ضع فاصلة أسفل الفاصلة.

3,455 + 0,45 = 3,905 3,5 + 4 = 7,5 15 – 7,88 = 7,12 4,57 - 3,2 = 1,37

3,455 + 3,5 _15,00 _ 4,57

0,450 4,0 7,88 3,20

3,905 7,5 7,12 1,37

عند الجمع والطرح ، تتم كتابة الأعداد الطبيعية في صورة كسر عشري بأماكن عشرية مساوية للصفر.

قاعدة لضرب الكسور العشرية:

1) تجاهل الفاصلة ، اضرب الأرقام ؛

2) في المنتج الناتج ، افصل بينها بفاصلة عدد الأرقام من اليمين إلى اليسار حيث يتم فصلها بفاصلة في الكسور العشرية.

عند ضرب الكسر العشري في وحدات البت (10 ، 100 ، 1000 ، إلخ) ، يتم نقل الفاصلة إلى اليمين من خلال العديد من الأرقام حيث توجد الأصفار في وحدة البت

4

17.25 4 = 69

× 1 7.2 5

4

6 9,0 0

100 15.256 = 1525.6

.5 0.52 = 2.35

X 0.5 2

4,5

2 7 0

2 0 8__

2,3 5 0

عند الضرب ، تتم كتابة الأعداد الطبيعية كأعداد طبيعية.

قاعدة قسمة الكسور العشرية على عدد طبيعي:

1) قسّم الجزء الكامل من المقسوم ، ضع فاصلة في القطاع الخاص ؛

2) تواصل القسمة.

عند القسمة على الباقي ، نحذف رقمًا واحدًا فقط من المقسوم.

إذا كان هناك باقٍ في عملية قسمة الكسر العشري ، فعندئذٍ من خلال تخصيص العدد المطلوب من الأصفار ، نواصل القسمة حتى يصبح الباقي صفرًا.

15,256: 100 = 0,15256

0,25: 1000 = 0,00025

عند قسمة كسر عشري إلى وحدات بت (10 ، 100 ، 1000 ، إلخ) ، يتم نقل الفاصلة إلى اليسار بعدد أكبر من الأرقام حيث توجد أصفار في وحدة البت.

18,4: 8 = 2,3

_ 18,4 І_8_

16 2,3

2 4

2 4

22,2: 25 = 0,88

22,2 І_25_

0 0,888

22 2

20 0

2 20

2 00

200

200

3,56: 4 = 0,89

3,56 І_4_

0 0,89

3 5

3 2

36

عند القسمة ، تتم كتابة الأعداد الطبيعية كأعداد طبيعية.

حكم قسمة الكسور العشرية على الكسور:

1) نحرك الفاصلة في المقسوم عليه إلى اليمين حتى نحصل على رقم طبيعي ؛

2) حرك الفاصلة في المقسوم إلى يمين عدد الأرقام التي تم تحريكها في المقسوم عليه ؛

3) نقسم الكسر العشري على عدد طبيعي.

3,76: 0,4 = 9, 4

_ 3,7,6 I_0،4، _

3 6 9, 4

1 6

1 6

0

لعبة "إلى الراية العزيزة!"

قواعد اللعبة:من كل فريق ، يتم استدعاء طالب واحد إلى اللوحة ، والذي يقوم بإجراء إحصاء شفهي من الدرجة السفلية. يقوم حلال أحد الأمثلة بتمييز الإجابة في الجدول. ثم يتم استبداله بعضو آخر في الفريق. هناك حركة تصل إلى العلم المنشود. يتحقق الطلاب في الميدان شفهيًا من نتائج لاعبيهم. إذا كانت الإجابة غير صحيحة ، يأتي عضو آخر من الفريق إلى اللوحة لمواصلة حل المهام. يقوم قادة الفريق باستدعاء الطلاب للعمل على اللوح. يفوز الفريق الأول الذي يصل إلى العلم بأقل عدد من الطلاب.

لعبة "Number Mill"

قواعد اللعبة:الأرقام مكتوبة في دوائر الطاحونة. تشير الأسهم التي تربط الدوائر إلى الإجراءات. المهمة هي تنفيذ إجراءات متسلسلة ، والتحرك على طول السهم من المركز إلى الدائرة الخارجية. عند تنفيذ إجراءات متسلسلة على طول المسار المشار إليه ، ستجد الإجابة في إحدى الدوائر أدناه. تتم كتابة نتيجة تنفيذ الإجراءات لكل سهم في الشكل البيضاوي المجاور له.

استطرادا غنائي.

قصيدة ليفشيتز "ثلاثة أعشار"

من هذا

من المحفظة

يرمي في الانزعاج

اللغز البغيض

مقلمة ودفاتر

ويلصق بمذكراته.

بدون خجل ،

تحت خزانة جانبية من خشب البلوط.

أن تكذب تحت خزانة جانبية؟ ..

يرجى التعرف على:

كوستيا زيغالين.

ضحية قطف الصئبان الأبدي -

لقد فشل مرة أخرى.

وهسهسة

لأشعث

أبحث في كتاب المشكلة:

أنا فقط لست محظوظا!

أنا مجرد خاسر!

ماهو السبب

استيائه وانزعاجه؟

أن الجواب لم يكن مناسبًا

ثلاثة أعشار فقط.

هذا هدر حقيقي!

وله بالطبع

تجد خطأ

حازم

ماريا بتروفنا.

ثلاثة أعشار ...

أخبرني عن هذا الخطأ

وربما على الوجوه

سترى ابتسامة.

ثلاثة أعشار ...

وحتى الآن عن هذا الخطأ

.أرجوك

استمع لي

لا ابتسامة.

إذا ب ، بناء منزلك.

الشخص الذي تعيش فيه.

الهندسه المعماريه

القليل

خاطئ

في العد ، -

ماذا قد يحدث.

هل تعرف Kostya Zhigalin؟

هذا البيت

قد استدار

في كومة من الأنقاض!

تدخل الجسر.

إنه موثوق ودائم.

لا تكن مهندسًا

دقيق في رسوماته ، -

هل تود ، كوستيا ،

يسقط

في النهر البارد

لن أقول شكرا لك

ذلك الشخص!

هنا التوربين.

لها رمح

بالملل من قبل الخراطة.

إذا ترنر

في العمل

لم تكن دقيقة للغاية.

سوف يتم ذلك ، كوستيا ،

مصيبة كبيرة:

سوف تدمر التوربين

الى قطع صغيرة!

ثلاثة أعشار -

والجدران

يتم تشييدها

كوسو!

ثلاثة أعشار -

والانهيار

العربات

من المنحدر!

أخطأ

ثلاثة أعشار فقط

مقابل، -

الطب يصبح سم

سيقتل رجلا!

حطمنا وانطلقنا

عصابة فاشية.

أعطى والدك

أمر البطارية.

ارتكب خطأ عند الوصول

ثلاثة أعشار على الأقل

القذائف لن تتجاوز

لعنة النازيين.

أنت تفكر في الأمر

يا صديقي بدم بارد

ويقول.

ألم يكن ذلك صحيحًا

ماريا بتروفنا؟

صراحة

فكر في الأمر ، كوستيا.

لم يمض وقت طويل على الكذب

يوميات تحت البوفيه!

عمل اختباري في موضوع "الكسور العشرية" (رياضيات -5)

ستظهر 9 شرائح على الشاشة بالتسلسل. يكتب الطلاب رقم الخيار وإجابات السؤال في دفاتر ملاحظاتهم. على سبيل المثال ، الخيار 2

1. ج ؛ 2. أ ؛ إلخ.

السؤال رقم 1

الخيار 1

عند ضرب كسر عشري في 100 ، تحتاج إلى تحريك الفاصلة في هذا الكسر:

أ إلى اليسار برقمين ؛ B. إلى اليمين برقمين ؛ C. لا تغير مكان الفاصلة.

الخيار 2

عند ضرب كسر عشري في 10 ، تحتاج إلى تحريك الفاصلة في هذا الكسر:

أ. حق 1 رقم ؛ B. إلى اليسار برقم واحد ؛ C. لا تغير مكان الفاصلة.

السؤال 2

الخيار 1

يتم كتابة المجموع 6.27 + 6.27 + 6.27 + 6.27 + 6.27 كمنتج على النحو التالي:

6.27 5 ؛ 6.27 6.27 ؛ س 6.27 4.

الخيار 2

تتم كتابة المجموع 9.43 + 9.43 + 9.43 + 9.43 كمنتج على النحو التالي:

أ. 9.43 9.43 ؛ ب 6 9.43 ؛ ص 9.43 4.

السؤال 3

الخيار 1

في حاصل الضرب 72.43 18 بعد العلامة العشرية سيكون:

الخيار 2

في حاصل ضرب 12.453 35 بعد العلامة العشرية سيكون:

أ رقمان ؛ ب 0 أرقام ؛ ج 3 أرقام.

السؤال 4

الخيار 1

في حاصل القسمة 76.4: 2 بعد العلامة العشرية سيكون:

أ رقمان ؛ ب 0 أرقام ؛ ج رقم واحد.

الخيار 2

في القطاع الخاص 95.4: 6 بعد العلامة العشرية سيكون:

أ رقم واحد ؛ 3 أرقام ؛ ج 2 أرقام.

السؤال 5

الخيار 1

أوجد قيمة التعبير 34.5: x + 0.65 y ، عند x = 10 y = 100:

35.15 ؛ ب 68.45 ؛ ص 9.95.

الخيار 2

أوجد قيمة التعبير 4.9 x +525: y ، عند x = 100 y = 1000:

أ 4905.25 ؛ ب 529.9 ؛ ص 490525.

السؤال 6

الخيار 1

مساحة المستطيل ضلعه 0.25 و 12 سم تساوي

أ 3 ؛ 0.3 ؛ ص 30.

الخيار 2

مساحة المستطيل ضلعه 0.5 و 36 سم هي

أ 1.8 ؛ خامسا 18 ؛ ج 0.18.

السؤال 7

الخيار 1

غادر طالبان المدرسة في نفس الوقت في اتجاهين متعاكسين. سرعة الطالب الأول 3.6 كم / ساعة ، وسرعة الطالب الثاني 2.56 كم / ساعة. بعد 3 ساعات ستكون المسافة بينهما:

أ 6.84 كم ؛ 18.48 كم ؛ ص 3.12 كم

الخيار 2

غادر اثنان من راكبي الدراجات المدرسة في نفس الوقت في اتجاهين متعاكسين. سرعة الأولى 11.6 كم / س ، وسرعة الثانية 13.06 كم / س. بعد 4 ساعات ستكون المسافة بينهما:

أ 5.84 كم ؛ 100.8 كم ؛ س 98.64 كم

الخيار 1

الخيار 2

راجع إجاباتك. ضع علامة "+" للإجابة الصحيحة و "-" للإجابة غير الصحيحة.

لعبة "التشفير"

قواعد اللعبة:يتم إعطاء كل مكتب بطاقة بمهمة لها رمز حرف. بعد الانتهاء من الخطوات والحصول على النتيجة ، قم بتدوين حرف الرمز الخاص ببطاقتك تحت الرقم المقابل لإجابتك.

نتيجة لذلك ، حصلنا على الاقتراح:

6,8

420

21,6

420

306

65,8

21,6

تلخيص الدرس.

يتم الإعلان عن نتائج الاختبار.

الواجب المنزلي 1301 ، 1308 ، 1309

شكرا لاهتمامكم!!!

يتم استخدام الكسر العشري عندما تحتاج إلى إجراء عمليات على أعداد غير صحيحة. قد يبدو هذا غير منطقي. لكن هذا النوع من الأرقام يسهل بشكل كبير العمليات الحسابية التي يجب إجراؤها معهم. يأتي هذا الفهم مع الوقت ، عندما تصبح كتابتهم مألوفة ، ولا تسبب القراءة صعوبات ، ويتم إتقان قواعد الكسور العشرية. علاوة على ذلك ، تكرر جميع الإجراءات الإجراءات المعروفة بالفعل ، والتي تم تعلمها منها الأعداد الطبيعية.تحتاج فقط إلى تذكر بعض الميزات.

تعريف عشري

الكسر العشري هو تمثيل خاص لعدد غير صحيح بمقام يقبل القسمة على 10 والإجابة هي واحد وربما أصفار. بمعنى آخر ، إذا كان المقام هو 10 و 100 و 1000 وما إلى ذلك ، فمن الأنسب إعادة كتابة الرقم باستخدام فاصلة. ثم سيتم تحديد موقع الجزء الصحيح قبله ، ثم الجزء الكسري. علاوة على ذلك ، فإن تسجيل النصف الثاني من الرقم سيعتمد على المقام. يجب أن يكون عدد الأرقام الموجودة في الجزء الكسري مساويًا للمقام.

يمكن توضيح ما ورد أعلاه بهذه الأرقام:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

أسباب استخدام الكسور العشرية

احتاج علماء الرياضيات إلى الكسور العشرية لعدة أسباب:

تبسيط التسجيل. يقع هذا الكسر على طول سطر واحد دون شرطة بين المقام والبسط ، بينما لا يتأثر الوضوح.

البساطة في المقارنة. يكفي فقط ربط الأرقام الموجودة في نفس المواضع ، بينما مع الكسور العادية يجب على المرء أن يصل بهم إلى قاسم مشترك.

تبسيط الحسابات.

لم يتم تصميم الآلات الحاسبة لإدخال الكسور العادية ، بل تستخدم التدوين العشري لجميع العمليات.

كيف تقرأ هذه الأرقام بشكل صحيح؟

الإجابة بسيطة: تمامًا مثل رقم مختلط عادي مقامه من مضاعفات العدد 10. الاستثناءات الوحيدة هي الكسور بدون قيمة عدد صحيح ، فعند القراءة تحتاج إلى قول "صفر أعداد صحيحة".

على سبيل المثال ، يجب نطق 45/1000 كـ خمسة وأربعون جزء من الألف، بينما سيبدو 0.045 مثل صفر فاصلة خمسة وأربعون جزء من الألف.

رقم مختلط مع جزء صحيح يساوي 7 وكسر 17/100 ، والذي سيتم كتابته كـ 7.17 ، في كلتا الحالتين سيتم قراءته على النحو التالي سبعة نقطة وسبعة عشر جزء من مائة.

دور الأرقام في تدوين الكسور

صحيح أن نلاحظ التفريغ - هذا ما تتطلبه الرياضيات. يمكن أن تتغير الكسور العشرية ومعناها بشكل كبير إذا كتبت رقمًا في المكان الخطأ. ومع ذلك ، كان هذا صحيحًا من قبل.

لقراءة أرقام الجزء الصحيح من الكسر العشري ، ما عليك سوى استخدام القواعد المعروفة الأعداد الطبيعية. وعلى الجانب الأيمن يتم عكسها وقراءتها بشكل مختلف. إذا ظهرت كلمة "عشرات" في الجزء بأكمله ، فستكون "أعشار" بالفعل بعد العلامة العشرية.

يمكن رؤية هذا بوضوح في هذا الجدول.

جدول المنازل العشرية

فصل	بالآلاف			الوحدات			,	جزء
إبراء الذمة	مائة	ديسمبر	الوحدات	مائة	ديسمبر	الوحدات		العاشر	المائة	الألف	عشرة آلاف

كيف تكتب عدد كسري في صورة عدد عشري؟

إذا كان المقام يحتوي على عدد يساوي 10 أو 100 ، وأخرى ، فإن السؤال عن كيفية تحويل كسر إلى عدد عشري يكون بسيطًا. للقيام بذلك ، يكفي إعادة كتابة جميع الأجزاء المكونة له بطريقة مختلفة. ستساعد النقاط التالية في هذا:

اكتب بسط الكسر جانباً قليلاً ، في هذه اللحظة تقع العلامة العشرية على اليمين بعد الرقم الأخير ؛

حرك الفاصلة إلى اليسار ، أهم شيء هنا هو حساب الأرقام بشكل صحيح - تحتاج إلى تحريكها بقدر عدد المواضع حيث توجد أصفار في المقام ؛

إذا لم يكن هناك عدد كافٍ منها ، فيجب أن تظهر الأصفار في مواضع فارغة ؛

لم تعد هناك حاجة للأصفار التي كانت في نهاية البسط ، ويمكن شطبها ؛

أضف جزءًا صحيحًا قبل الفاصلة ، إذا لم يكن هناك ، فسيظهر الصفر هنا أيضًا.

انتباه. لا يمكنك شطب الأصفار المحاطة بأرقام أخرى.

حول كيفية أن تكون في موقف يحتوي فيه المقام على رقم ليس فقط من واحد وأصفار ، وكيفية تحويل الكسر إلى رقم عشري ، يمكنك قراءة أقل قليلاً. هذا هو معلومات مهمةوهو بالتأكيد يستحق المراجعة.

كيفية تحويل كسر إلى كسر عشري إذا كان المقام رقمًا عشوائيًا؟

يوجد خياران هنا:

عندما يمكن تمثيل المقام كرقم يساوي عشرة مرفوعًا لأي قوة.

إذا كان لا يمكن القيام بهذه العملية.

كيفية التحقق من ذلك؟ تحتاج إلى تحليل المقام. في حالة وجود 2 و 5 فقط في المنتج ، فسيكون كل شيء على ما يرام ، ويتم تحويل الكسر بسهولة إلى رقم عشري نهائي. خلاف ذلك ، إذا ظهرت 3 و 7 وغيرها الأعداد الأولية،ثم ستكون النتيجة لانهائية. من المعتاد تقريب هذا الكسر العشري لسهولة استخدامه في العمليات الحسابية. سيتم مناقشة هذا أقل قليلاً.

دراسة كيفية الحصول على هذه الكسور العشرية الصف الخامس. ستكون الأمثلة مفيدة للغاية هنا.

دع القواسم تحتوي على أرقام: 40 و 24 و 75. التحلل إلى العوامل الأوليةبالنسبة لهم سيكون:

• 40 = 2 2 2 5 ؛
• 24 = 2 2 2 3 ؛
• 75 = 5 5 3.

في هذه الأمثلة ، يمكن تمثيل الكسر الأول فقط ككسر نهائي.

خوارزمية لتحويل كسر عادي إلى كسر عشري نهائي

تحقق من تحليل المقام إلى عوامل أولية وتأكد من أنه سيتكون من 2 و 5.

أضف إلى هذه الأرقام عددًا كبيرًا من 2 و 5 بحيث يصبحان عددًا متساويًا. سيعطون قيمة المضاعف الإضافي.

اضرب المقام والبسط في هذا الرقم. والنتيجة هي كسر عادي ، يوجد تحته 10 إلى حد ما.

إذا تم تنفيذ هذه الإجراءات في المهمة برقم مختلط ، فيجب أولاً تمثيلها على أنها جزء خاطئ.وعندها فقط تصرف وفقًا للسيناريو الموصوف.

تمثيل كسر شائع ككسر عشري مدور

هذه الطريقة في كيفية تحويل الكسر إلى رقم عشري ستبدو أسهل بالنسبة لشخص ما. لأنه لا يوجد عدد كبيرأجراءات. ما عليك سوى قسمة البسط على المقام.

يمكن تخصيص عدد لا نهائي من الأصفار لأي رقم به جزء عشري على يمين الفاصلة العشرية. يجب استخدام هذه الخاصية.

أولاً ، اكتب الجزء بالكامل وضع فاصلة بعده. إذا كان الكسر صحيحًا ، فاكتب صفرًا.

ثم من الضروري إجراء قسمة البسط على المقام. بحيث يكون لديهم نفس عدد الأرقام. أي ، تعيين إلى يمين البسط الكمية المناسبةالأصفار.

بكمل تقسيم إلى عمودحتى يتم طلب العدد المطلوب من الأرقام. على سبيل المثال ، إذا كنت تريد التقريب لأقرب مائة ، فيجب أن يكون هناك 3 منهم في الإجابة. بشكل عام ، يجب أن يكون هناك رقم واحد أكثر مما تحتاج إلى الحصول عليه في النهاية.

سجل الإجابة الوسيطة بعد الفاصلة العشرية وقم بالتقريب وفقًا للقواعد. إذا كان الرقم الأخير من 0 إلى 4 ، فأنت تحتاج فقط إلى التخلص منه. وعندما تساوي 5-9 ، يجب زيادة الواحد الموجود أمامها بمقدار واحد ، مع استبعاد الأخير.

العودة من النظام العشري إلى العادي

في الرياضيات ، توجد مشاكل عندما يكون من الأنسب تمثيل الكسور العشرية في شكل كسور عادية ، حيث يوجد بسط مقام. يمكنك أن تتنفس الصعداء: هذه العملية ممكنة دائمًا.

لهذا الإجراء ، عليك القيام بما يلي:

اكتب الجزء الصحيح ، إذا كان يساوي صفرًا ، فلا داعي لكتابة أي شيء ؛

ارسم خط كسور

فوقه ، اكتب الأرقام من الجانب الأيمن ، إذا كان الأول هو الأصفار ، فيجب شطبها ؛

اكتب وحدة تحتوي على عدد من الأصفار يساوي عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية في الكسر الأصلي.

هذا كل ما عليك فعله لتحويل عدد عشري إلى كسر مشترك.

ماذا يمكنك أن تفعل مع الكسور العشرية؟

في الرياضيات ، ستكون هذه إجراءات معينة ذات كسور عشرية تم إجراؤها مسبقًا لأرقام أخرى.

هم انهم:

مقارنة؛

جمع وطرح؛

الضرب والقسمة.

الإجراء الأول ، المقارنة ، يشبه الطريقة التي تم إجراؤها للأعداد الطبيعية. لتحديد أيهما أكبر ، تحتاج إلى مقارنة أرقام الجزء الصحيح. إذا اتضح أنهم متساوون ، فإنهم يتحولون إلى الكسر ويقارنونهم بنفس الطريقة بالأرقام. سيكون الرقم الذي يحتوي على أكبر رقم بأعلى ترتيب هو الإجابة.

جمع وطرح الكسور العشرية

ربما هذا هو الأكثر خطوات بسيطة. لأنه يتم إجراؤها وفقًا لقواعد الأعداد الطبيعية.



لذلك ، من أجل جمع الكسور العشرية ، يجب كتابتها واحدة تحت الأخرى ، مع وضع الفواصل في عمود. باستخدام مثل هذا السجل ، تظهر الأجزاء الصحيحة على يسار الفواصل والأجزاء الكسرية على اليمين. والآن تحتاج إلى إضافة الأرقام شيئًا فشيئًا ، كما هو الحال مع الأعداد الطبيعية ، مع تحريك الفاصلة لأسفل. تحتاج إلى البدء في الجمع من أصغر رقم في الجزء الكسري من الرقم. إذا لم تكن هناك أرقام كافية في النصف الأيمن ، فقم بإضافة الأصفار.

يعمل الطرح بنفس الطريقة. وهنا تنطبق القاعدة التي تصف إمكانية أخذ وحدة من أعلى رقم. إذا كان الكسر المخفض يحتوي على عدد أقل من الأرقام بعد الفاصلة العشرية من المطروح ، فسيتم تخصيص الأصفار له.

الوضع أكثر تعقيدًا مع المهام التي تحتاج فيها إلى إجراء ضرب وقسمة الكسور العشرية.

كيف تضرب العشرية في أمثلة مختلفة؟

قاعدة ضرب الكسور العشرية في عدد طبيعي هي كما يلي:

اكتبها في عمود ، متجاهلاً الفاصلة ؛

تتكاثر كما لو كانت طبيعية ؛

افصل بفاصلة العديد من الأرقام كما هو الحال في الجزء الكسري من الرقم الأصلي.

الحالة الخاصة هي مثال يساوي فيه العدد الطبيعي 10 إلى أي قوة. بعد ذلك ، للحصول على إجابة ، ما عليك سوى تحريك الفاصلة إلى اليمين من خلال العديد من المواضع حيث توجد أصفار في عامل آخر. بعبارة أخرى ، عند الضرب في 10 ، تنتقل الفاصلة بمقدار رقم واحد ، في 100 - سيكون هناك اثنان ، وهكذا. إذا لم يكن هناك ما يكفي من الأرقام في الجزء الكسري ، فأنت بحاجة إلى كتابة الأصفار في مواضع فارغة.

القاعدة التي يتم استخدامها عندما تحتاج في المهمة إلى ضرب الكسور العشرية في عدد آخر من نفس الرقم:

اكتبهم واحدًا تحت الآخر ، متجاهلًا الفواصل ؛

تتكاثر كما لو كانت أعدادًا طبيعية ؛

افصل بفاصلة العديد من الأرقام كما هو الحال في الأجزاء الكسرية من كلا الكسور الأصلية معًا.

كحالة خاصة ، يتم تمييز الأمثلة التي يكون فيها أحد العوامل يساوي 0.1 أو 0.01 وما إلى ذلك. في نفوسهم ، تحتاج إلى تحريك الفاصلة إلى اليسار بعدد الأرقام في العوامل المقدمة. أي ، إذا تم ضربها في 0.1 ، فسيتم إزاحة الفاصلة بمقدار موضع واحد.

كيف تقسم كسر عشري في مهام مختلفة؟

تتم قسمة الكسور العشرية على عدد طبيعي وفق القاعدة التالية:

اكتبها للتقسيم في عمود ، كما لو كانت طبيعية ؛

قسّم وفقًا للقاعدة المعتادة حتى ينتهي الجزء بالكامل ؛

ضع فاصلة في الإجابة ؛

استمر في قسمة الجزء الكسري حتى يصبح الباقي صفرًا ؛

إذا لزم الأمر ، يمكنك تعيين العدد المطلوب من الأصفار.

إذا كان الجزء الصحيح يساوي صفرًا ، فلن يكون في الإجابة أيضًا.

بشكل منفصل ، يوجد قسمة إلى أعداد تساوي عشرة ومائة وما إلى ذلك. في مثل هذه المشاكل ، تحتاج إلى تحريك الفاصلة إلى اليسار بعدد الأصفار في المقسوم عليه. يحدث أنه لا توجد أرقام كافية في الجزء الصحيح ، ثم يتم استخدام الأصفار بدلاً من ذلك. يمكن ملاحظة أن هذه العملية تشبه الضرب في 0.1 وأرقام مماثلة.

لأداء قسمة الكسور العشرية ، تحتاج إلى استخدام هذه القاعدة:

حول المقسوم عليه إلى رقم طبيعي ، وللقيام بذلك ، انقل الفاصلة الموجودة فيه إلى اليمين حتى النهاية ؛

حرك الفاصلة وفي المقسمة على نفس عدد الأرقام ؛

اتبع السيناريو السابق.

يقف خارجا قسمة 0.1 ؛ 0.01و اخرين أرقام متشابهة. في مثل هذه الأمثلة ، يتم إزاحة الفاصلة إلى اليمين بعدد الأرقام في الجزء الكسري. إذا انتهى الأمر ، فأنت بحاجة إلى تعيين عدد الأصفار المفقودة. وتجدر الإشارة إلى أن هذا الإجراء يكرر القسمة على 10 وأرقام مماثلة.



الخلاصة: كل شيء عن الممارسة

لا شيء في التعلم سهل أو سهل. يستغرق إتقان مادة جديدة بشكل موثوق وقتًا وممارسة. الرياضيات ليست استثناء.

حتى لا يسبب موضوع الكسور العشرية صعوبات ، تحتاج إلى حل أكبر عدد ممكن من الأمثلة معهم. بعد كل شيء ، كان هناك وقت كانت فيه إضافة الأعداد الطبيعية مربكة. والآن كل شيء على ما يرام.

لذلك ، إعادة الصياغة عبارة مشهورة: قرر ، قرر ثم قرر مرة أخرى. ثم سيتم تنفيذ المهام مع هذه الأرقام بسهولة وبشكل طبيعي ، مثل لغز آخر.

بالمناسبة ، يصعب حل الألغاز في البداية ، وبعد ذلك تحتاج إلى القيام بالحركات المعتادة. وينطبق الشيء نفسه على الأمثلة الرياضية: بعد السير على نفس المسار عدة مرات ، لن تفكر بعد الآن في المكان الذي تتجه إليه.

هذا المقال عن الكسور العشرية. هنا سنتعامل مع العشري أعداد كسرية، نقدم مفهوم الكسر العشري ونعطي أمثلة على الكسور العشرية. بعد ذلك ، دعنا نتحدث عن أرقام الكسور العشرية ، ونعطي أسماء هذه الأرقام. بعد ذلك ، سنركز على الكسور العشرية اللانهائية ، ولنقل عن الكسور الدورية وغير الدورية. بعد ذلك ، نقوم بإدراج الإجراءات الرئيسية مع الكسور العشرية. في الختام ، نحدد موضع الكسور العشرية على شعاع الإحداثيات.

التنقل في الصفحة.

التدوين العشري لعدد كسري

قراءة الكسور العشرية

دعنا نقول بضع كلمات عن قواعد قراءة الكسور العشرية.

تُقرأ الكسور العشرية ، التي تتوافق مع الكسور العادية الصحيحة ، بنفس طريقة قراءة هذه الكسور العادية ، ويُضاف "صفر كامل" مسبقًا. على سبيل المثال ، الكسر العشري 0.12 يتوافق مع الكسر العادي 12/100 (يقرأ "اثنا عشر جزءًا من مائة") ، لذلك يُقرأ 0.12 على أنه "نقطة الصفر اثنا عشر جزءًا من مائة".

تُقرأ الكسور العشرية ، التي تتوافق مع الأرقام المختلطة ، بنفس طريقة قراءة هذه الأرقام المختلطة. على سبيل المثال ، الكسر العشري 56.002 يتوافق مع عدد مختلط ، لذلك ، يُقرأ الكسر العشري 56.002 على أنه "ستة وخمسون فاصلة اثنان في الألف".

الأماكن في الكسور العشرية

في تدوين الكسور العشرية ، وكذلك في تدوين الأعداد الطبيعية ، تعتمد قيمة كل رقم على موضعه. في الواقع ، الرقم 3 في النظام العشري 0.3 يعني ثلاثة أعشار ، في الكسر العشري 0.0003 - ثلاثة على عشرة آلاف ، وفي الكسر العشري 30.000.152 - ثلاث عشرات الآلاف. وهكذا يمكننا الحديث عنها أرقام في الكسور العشرية، وكذلك حول الأرقام في الأعداد الطبيعية.

تتطابق أسماء الأرقام الموجودة في الكسر العشري حتى الفاصلة العشرية تمامًا مع أسماء الأرقام الموجودة في الأعداد الطبيعية. ويمكن رؤية أسماء الخانات في الكسر العشري بعد الفاصلة العشرية من الجدول التالي.

على سبيل المثال ، في الكسر العشري 37.051 ، الرقم 3 في خانة العشرات ، و 7 في خانة الوحدات ، و 0 في خانة العاشرة ، و 5 في خانة المائة ، و 1 في خانة الألف.

تختلف الأرقام الموجودة في الكسر العشري أيضًا في الأقدمية. إذا انتقلنا من رقم إلى رقم من اليسار إلى اليمين في التدوين العشري ، فسننتقل من أولل صغار السن. على سبيل المثال ، رقم المئات أقدم من رقم الجزء من عشرة ، وأرقام المليون أصغر من رقم المئات. في هذا الكسر العشري الأخير ، يمكننا التحدث عن أكثر الأرقام أهمية وأقلها دلالة. على سبيل المثال ، في النظام العشري 604.9387 كبير (أعلى)الرقم هو رقم المئات ، و مبتدئ (أدنى)- عشرة آلاف.

بالنسبة للكسور العشرية ، يتم التوسع إلى أرقام. إنه مشابه للتوسع في أرقام الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال ، التوسع العشري 45.6072 هو: 45.6072 = 40 + 5 + 0.6 + 0.007 + 0.0002. وخصائص الجمع من توسيع الكسر العشري إلى أرقام تسمح لك بالانتقال إلى تمثيلات أخرى لهذا الكسر العشري ، على سبيل المثال ، 45.6072 = 45 + 0.6072 ، أو 45.6072 = 40.6 + 5.007 + 0.0002 ، أو 45.6072 = 45.0072 + 0.6 .

نهاية الكسور العشرية

حتى هذه النقطة ، تحدثنا فقط عن الكسور العشرية ، التي يوجد في سجلها عدد محدود من الأرقام بعد الفاصلة العشرية. تسمى هذه الكسور الكسور العشرية النهائية.

تعريف.

نهاية الكسور العشرية- هذه كسور عشرية تحتوي تسجيلاتها على عدد محدد من الأحرف (أرقام).

فيما يلي بعض الأمثلة على الكسور العشرية النهائية: 0.317 ، 3.5 ، 51.1020304958 ، 230 032.45.

ومع ذلك ، لا يمكن تمثيل كل كسر مشترك ككسر عشري محدد. على سبيل المثال ، لا يمكن استبدال الكسر 5/13 بكسر متساوٍ بواحد من المقامات 10 ، 100 ، ... ، لذلك لا يمكن تحويله إلى كسر عشري نهائي. سنتحدث أكثر عن هذا في قسم النظرية الخاص بتحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية.

الكسور العشرية اللانهائية: الكسور الدورية والكسور غير الدورية

عند كتابة كسر عشري بعد فاصلة عشرية ، يمكنك السماح بإمكانية وجود عدد لا نهائي من الأرقام. في هذه الحالة ، سوف نأخذ في الاعتبار ما يسمى الكسور العشرية اللانهائية.

تعريف.

الكسور العشرية التي لا نهاية لهاهي كسور عشرية ، في سجل منها هو مجموعة لانهائيةأرقام.

من الواضح أننا لا نستطيع كتابة الكسور العشرية اللانهائية بالكامل ، لذلك ، في تسجيلها ، يقتصر الأمر على عدد محدد من الأرقام بعد الفاصلة العشرية ووضع علامة حذف تشير إلى تسلسل لا نهائي من الأرقام. فيما يلي بعض الأمثلة على الكسور العشرية اللانهائية: 0.143940932…، 3.1415935432…، 153.02003004005…، 2.111111111…، 69.74152152152….

إذا نظرت عن كثب إلى آخر كسرين عشريين لا نهاية لهما ، فعندئذٍ في الكسر 2.111111111 ... يكون الرقم 1 المكرر بلا حدود مرئيًا بوضوح ، وفي الكسر 69.74152152152 ... ، بدءًا من المكان العشري الثالث ، مجموعة الأرقام المتكررة 1 و 5 و 2 مرئية بوضوح. تسمى هذه الكسور العشرية اللانهائية دورية.

تعريف.

الكسور العشرية الدورية(أو ببساطة كسور دورية) هي كسور عشرية لا نهائية ، في سجلها ، بدءًا من مكان عشري معين ، بعض الأرقام أو مجموعة من الأرقام ، وهو ما يسمى فترة الكسر.

على سبيل المثال ، فترة الكسر الدوري 2.111111111 ... هي الرقم 1 ، وفترة الكسر 69.74152152152 ... هي مجموعة من الأرقام مثل 152.

تم اعتماد تدوين خاص للكسور العشرية الدورية اللانهائية. للإيجاز ، اتفقنا على كتابة الفترة مرة واحدة ، وإرفاقها بين قوسين. على سبيل المثال ، يتم كتابة الكسر الدوري 2.111111111 ... بالشكل 2 ، (1) ، والكسر الدوري 69.74152152152… مكتوبًا بالشكل 69.74 (152).

تجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة لنفس الكسر العشري الدوري ، يمكنك تحديد فترات مختلفة. على سبيل المثال ، يمكن اعتبار العلامة العشرية الدورية 0.73333 ... كسرًا 0.7 (3) بفترة 3 ، وكذلك كسر 0.7 (33) بفترة 33 ، وهكذا 0.7 (333) ، 0.7 (3333) ) ، ... يمكنك أيضًا إلقاء نظرة على الكسر الدوري 0.73333 ... مثل هذا: 0.733 (3) ، أو مثل هذا 0.73 (333) ، إلخ. هنا ، لتجنب الغموض وعدم الاتساق ، نتفق على اعتبار فترة الكسر العشري الأقصر على الإطلاق. التسلسلات الممكنةتكرار الأرقام والبدء من أقرب موضع للفاصلة العشرية. أي أن فترة الكسر العشري 0.73333 ... ستُعتبر تسلسلاً من رقم واحد 3 ، وتبدأ الدورية من الموضع الثاني بعد الفاصلة العشرية ، أي 0.73333 ... = 0.7 (3). مثال آخر: الكسر الدوري 4.7412121212 ... له فترة 12 ، وتبدأ الدورية من الرقم الثالث بعد الفاصلة العشرية ، أي 4.7412121212 ... = 4.74 (12).

يتم الحصول على الكسور الدورية العشرية اللانهائية عن طريق التحويل إلى كسور عشرية من الكسور العادية التي تحتوي مقاماتها على عوامل أولية غير 2 و 5.

هنا يجدر ذكر الكسور الدورية بفترة 9. فيما يلي أمثلة على هذه الكسور: 6.43 (9) ، 27 ، (9). هذه الكسور هي تدوين آخر للكسور الدورية ذات الفترة 0 ، ومن المعتاد استبدالها بالكسور الدورية بالنقطة 0. للقيام بذلك ، يتم استبدال الفترة 9 بالفترة 0 ، ويتم زيادة قيمة الرقم التالي الأعلى بمقدار واحد. على سبيل المثال ، الكسر الذي يحتوي على الفترة 9 بالشكل 7.24 (9) يتم استبداله بكسر دوري بالنقطة 0 بالشكل 7.25 (0) أو كسر عشري نهائي مساوٍ له وهو 7.25. مثال آخر: 4 ، (9) = 5 ، (0) = 5. يمكن بسهولة تحديد مساواة كسر بفترة 9 والكسر المقابل له بفترة 0 بعد استبدال هذه الكسور العشرية بكسورها العادية المتساوية.

أخيرًا ، دعنا نلقي نظرة فاحصة على الكسور العشرية اللانهائية ، والتي لا تحتوي على تسلسل أعداد لا نهائي من التكرار. يطلق عليهم اسم غير دوري.

تعريف.

الكسور العشرية غير المتكررة(أو ببساطة كسور غير دورية) هي كسور عشرية لانهائية بدون نقطة.

في بعض الأحيان يكون للكسور غير الدورية شكل مشابه للكسور الدورية ، على سبيل المثال ، 8.02002000200002 ... هي كسر غير دوري. في هذه الحالات ، يجب أن تكون حريصًا بشكل خاص على ملاحظة الفرق.

لاحظ أن الكسور غير الدورية لا يتم تحويلها إلى كسور عادية ، وتمثل الكسور العشرية اللانهائية غير الدورية أعدادًا غير منطقية.

العمليات ذات الكسور العشرية

تعتبر المقارنة أحد الإجراءات ذات الكسور العشرية ، كما تم تحديد أربعة حسابات أساسية العمليات ذات الكسور العشرية: الجمع والطرح والضرب والقسمة. ضع في اعتبارك كل من الإجراءات مع الكسور العشرية بشكل منفصل.

مقارنة عشريةأساسًا على أساس مقارنة الكسور العادية المقابلة للكسور العشرية المقارنة. ومع ذلك ، فإن تحويل الكسور العشرية إلى الكسور العادية هي عملية شاقة إلى حد ما ، ولا يمكن تمثيل الكسور غير المتكررة اللانهائية ككسر عادي ، لذلك من المناسب استخدام مقارنة بت للكسور العشرية. المقارنة على مستوى البت بين الكسور العشرية مماثلة لمقارنة الأعداد الطبيعية. لمزيد من المعلومات التفصيلية ، نوصي بدراسة مقالة المقارنة المادية للكسور العشرية والقواعد والأمثلة والحلول.

دعنا ننتقل إلى الخطوة التالية - ضرب الكسور العشرية. يتم تنفيذ عملية ضرب الكسور العشرية النهائية بشكل مشابه لطرح الكسور العشرية ، والقواعد ، والأمثلة ، وحلول الضرب في عمود من الأعداد الطبيعية. في حالة الكسور الدورية ، يمكن اختزال الضرب إلى ضرب الكسور العادية. بدوره ، يتم تقليل تكاثر الكسور العشرية اللانهائية غير الدورية بعد تقريبها إلى مضاعفة الكسور العشرية المنتهية. نوصي بمزيد من الدراسة لمادة المقال ضرب الكسور العشرية ، القواعد ، الأمثلة ، الحلول.

الكسور العشرية على شعاع الإحداثيات

هناك تطابق واحد لواحد بين النقاط والأرقام العشرية.

لنتعرف على كيفية تكوين النقاط على شعاع الإحداثيات المقابل لكسر عشري معين.

يمكننا استبدال الكسور العشرية المحدودة والكسور العشرية الدورية غير المحدودة بكسور عادية مساوية لها ، ثم بناء الكسور العادية المقابلة على شعاع الإحداثيات. على سبيل المثال ، الكسر العشري 1.4 يتوافق مع كسر عادي 14/10 ، لذلك ، تتم إزالة النقطة ذات الإحداثيات 1.4 من الأصل في الاتجاه الموجب بمقدار 14 جزءًا يساوي عُشر مقطع واحد.

يمكن تمييز الكسور العشرية على حزمة الإحداثيات ، بدءًا من توسيع هذا الكسر العشري إلى أرقام. على سبيل المثال ، لنفترض أننا بحاجة إلى بناء نقطة بإحداثيات 16.3007 ، حيث أن 16.3007 = 16 + 0.3 + 0.0007 ، ثم في نقطة معينةيمكن الوصول إليها عن طريق وضع 16 وحدة بالتسلسل من الأصل ، و 3 أجزاء ، طولها يساوي عُشر جزء من الوحدة ، و 7 أجزاء ، طولها يساوي جزء من عشرة آلاف جزء من قطعة وحدة .

طريقة البناء هذه أرقام عشريةعلى شعاع الإحداثيات يسمح لك بالاقتراب بقدر ما تريد من النقطة المقابلة لكسر عشري لانهائي.

من الممكن أحيانًا أن نرسم بدقة نقطة تقابل عددًا عشريًا لانهائيًا. علي سبيل المثال، ، إذن هذا الكسر العشري اللانهائي 1.41421 ... يتوافق مع نقطة شعاع الإحداثيات ، بعيدًا عن الأصل بطول قطري مربع مع جانب من قطعة وحدة واحدة.

تسمى العملية العكسية للحصول على كسر عشري مطابق لنقطة معينة على حزمة الإحداثيات القياس العشري للقطعة. دعونا نرى كيف يتم ذلك.

دع مهمتنا هي الانتقال من الأصل إلى نقطة معينة على خط الإحداثيات (أو الاقتراب منها بلا حدود إذا كان من المستحيل الوصول إليها). باستخدام القياس العشري لقطاع ما ، يمكننا تأجيل أي عدد من أجزاء الوحدة بالتتابع من الأصل ، ثم المقاطع التي يساوي طولها عُشر مقطع واحد ، ثم المقاطع التي يكون طولها مساويًا لمئة جزء من قطعة واحدة ، إلخ. . من خلال كتابة عدد المقاطع المخططة لكل طول ، نحصل على الكسر العشري المقابل لنقطة معينة على شعاع الإحداثيات.

على سبيل المثال ، للوصول إلى النقطة M في الشكل أعلاه ، تحتاج إلى تخصيص جزء وحدة واحد و 4 أجزاء ، طولها يساوي عُشر الوحدة. وبالتالي ، فإن النقطة M تقابل الكسر العشري 1.4.

من الواضح أن نقاط حزمة الإحداثيات ، والتي لا يمكن الوصول إليها أثناء القياس العشري ، تتوافق مع الكسور العشرية اللانهائية.

فهرس.

• الرياضيات: دراسات. لمدة 5 خلايا. تعليم عام المؤسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - الطبعة 21 ، ممحاة. - م: Mnemosyne، 2007. - 280 ص: مريض. ردمك 5-346-00699-0.
• الرياضيات.الصف السادس: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات / [N. يا فيلينكين وآخرون]. - الطبعة 22 ، القس. - م: Mnemosyne، 2008. - 288 ص: مريض. ردمك 978-5-346-00897-2.
• الجبر:كتاب مدرسي لمدة 8 خلايا. تعليم عام المؤسسات / [Yu. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، ك. آي نيشكوف ، إس بي سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التربية والتعليم 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• جوسيف ف.أ ، مردكوفيتش أ.الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية): Proc. بدل. - م ؛ أعلى المدرسة ، 1984. - 351 ص. ، مريض.