Gdzie były zadania do rozwiązania trójkąt prostokątny, obiecałem nakreślić technikę zapamiętywania definicji sinusa i cosinusa. Używając go, zawsze szybko zapamiętasz, która noga należy do przeciwprostokątnej (sąsiadująca lub przeciwna). Postanowiłem nie odkładać tego w nieskończoność, niezbędny materiał poniżej, proszę zobaczyć

Faktem jest, że wielokrotnie obserwowałem, jak uczniowie klas 10-11 mają trudności z zapamiętaniem tych definicji. Bardzo dobrze pamiętają, że noga odnosi się do przeciwprostokątnej, ale która…- zapomnij i zmieszany. Ceną pomyłki, jak wiadomo na egzaminie, jest stracony wynik.

Informacje, które przedstawię bezpośrednio matematyce, nie mają nic wspólnego. Jest związana z myślenie figuratywne, oraz metodami połączenia werbalno-logicznego. Zgadza się, ja sam raz na zawsze zapamiętanydane definicji. Jeśli nadal o nich zapomnisz, to przy pomocy przedstawionych technik zawsze łatwo je zapamiętać.

Przypomnę definicje sinusa i cosinusa w trójkącie prostokątnym:

Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym jest stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

Zatoka kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:

Jakie skojarzenia wywołuje w tobie słowo cosinus?

Prawdopodobnie każdy ma swojeZapamiętaj link:

W ten sposób natychmiast będziesz mieć wyraz w swojej pamięci -

«… stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej».

Problem z definicją cosinusa został rozwiązany.

Jeśli chcesz zapamiętać definicję sinusa w trójkącie prostokątnym, to pamiętając definicję cosinusa, możesz łatwo ustalić, że sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej. W końcu są tylko dwie nogi, jeśli sąsiednia noga jest „zajęta” przez cosinus, to dla sinusa pozostaje tylko przeciwna strona.

A co z tangensem i cotangensem? To samo zamieszanie. Uczniowie wiedzą, że jest to stosunek nóg, ale problem polega na tym, aby pamiętać, która z nich odnosi się do której - albo przeciwnie do sąsiednich, albo odwrotnie.

Definicje:

Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwnej nogi do sąsiedniej:

Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej:

Jak zapamiętać? Są dwa sposoby. Jedno również wykorzystuje połączenie werbalno-logiczne, drugie - matematyczne.

METODA MATEMATYCZNA

Jest taka definicja - tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:

* Pamiętając wzór, zawsze możesz określić, że tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem odnogi przeciwległej do sąsiedniej.

Podobnie.Cotangens kąta ostrego to stosunek cosinusa kąta do jego sinusa:

Więc! Pamiętając te formuły, zawsze możesz określić, że:

- tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwległego ramienia do sąsiedniego

- cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwległej.

METODA WERBALNO-LOGICZNA

O stycznej. Zapamiętaj link:

Oznacza to, że jeśli musisz zapamiętać definicję stycznej, korzystając z tego logicznego połączenia, możesz łatwo zapamiętać, co to jest

„...stosunek przeciwnej nogi do sąsiedniej”

Jeśli chodzi o cotangens, to pamiętając definicję tangensa, możesz łatwo wyrazić definicję cotangensa -

"... stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej"

Istnieje ciekawa technika zapamiętywania tangensa i cotangensa na stronie " Tandem matematyczny " , Popatrz.

METODA UNIWERSALNA

Możesz po prostu zmielić.Ale jak pokazuje praktyka, dzięki powiązaniom werbalno-logicznym człowiek zapamiętuje informacje na długi czas, nie tylko matematyczne.

Mam nadzieję, że materiał był dla Ciebie przydatny.

Z poważaniem Aleksander Krutitskikh

PS: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych

Notatka. Ta tabela wartości funkcji trygonometrycznych używa znaku √ do oznaczenia pierwiastek kwadratowy. Aby oznaczyć ułamek - symbol „/”.

Zobacz też przydatne materiały:

Do wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznej, znajdź go na przecięciu linii wskazującej funkcję trygonometryczną. Np. sinus 30 stopni - szukamy kolumny z nagłówkiem sin (sinus) i znajdujemy przecięcie tej kolumny tabeli z linią "30 stopni", na ich przecięciu odczytujemy wynik - jeden druga. Podobnie znajdujemy cosinus 60 stopnie, sinus 60 stopnie (ponownie, na przecięciu kolumny sin (sinus) i rzędu 60 stopni, który znajdujemy wartość grzechu 60 = √3/2) itd. W ten sam sposób znajdują się wartości sinusów, cosinusów i tangensów innych „popularnych” kątów.

Sinus pi, cosinus pi, tangens pi i inne kąty w radianach

Poniższa tabela cosinusów, sinusów i tangensów jest również odpowiednia do znalezienia wartości funkcji trygonometrycznych, których argumentem jest podane w radianach. Aby to zrobić, użyj drugiej kolumny wartości kątów. Dzięki temu możesz przeliczyć wartość popularnych kątów ze stopni na radiany. Na przykład znajdźmy kąt 60 stopni w pierwszym wierszu i odczytajmy pod nim jego wartość w radianach. 60 stopni równa się π/3 radianom.

Liczba pi jednoznacznie wyraża zależność obwodu koła od miary stopnia kąta. Więc pi radiany równa się 180 stopni.

Dowolną liczbę wyrażoną w postaci pi (radianów) można łatwo przeliczyć na stopnie, zastępując liczbę pi (π) przez 180.

Przykłady:
1. sinus pi.
grzech π = grzech 180 = 0
zatem sinus pi jest taki sam jak sinus 180 stopni i jest równy zero.

2. cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
zatem cosinus pi jest taki sam jak cosinus 180 stopni i jest równy minus jeden.

3. styczna pi
tg π = tg 180 = 0
zatem tangens pi jest taki sam jak tangens 180 stopni i jest równy zero.

Tabela wartości sinus, cosinus, tangens dla kątów 0 - 360 stopni (wartości częste)

kąt α (stopnie)	kąt α w radianach (przez pi)	grzech (Zatoka)	sałata (cosinus)	tg (tangens)	ctg (cotangens)	sek (sieczna)	przyczyna (cosecans)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Jeżeli w tabeli wartości funkcji trygonometrycznych zamiast wartości funkcji wskazano kreskę (styczna (tg) 90 stopni, cotangens (ctg) 180 stopni), to dla danej wartości miary stopnia kąt, funkcja nie ma określonej wartości. Jeśli nie ma kreski - komórka jest pusta, to jeszcze nie weszliśmy Pożądana wartość. Jesteśmy ciekawi, na jakie prośby zwracają się do nas użytkownicy i uzupełniają tabelę o nowe wartości, mimo że aktualne dane dotyczące wartości cosinusów, sinusów i tangensów najczęstszych wartości kątów wystarczą do rozwiązania większości problemy.

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych sin, cos, tg dla najpopularniejszych kątów
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stopni
(wartości liczbowe „wg tabel Bradisa”)

wartość kąta α (stopnie)	wartość kąta α w radianach	grzech (sinus)	cos (cosinus)	tg (styczna)	ctg (cotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Przykłady:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument i wartość

Cosinus kąta ostrego

Cosinus kąta ostrego można określić za pomocą trójkąta prostokątnego - jest on równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Przykład :

1) Niech będzie podany kąt i musisz wyznaczyć cosinus tego kąta.

2) Uzupełnijmy dowolny trójkąt prostokątny w tym rogu.

3) Po zmierzeniu niezbędnych boków możemy obliczyć cosinus.

Cosinus liczby

Koło liczbowe pozwala określić cosinus dowolnej liczby, ale zwykle znajduje się cosinus liczb w jakiś sposób związanych z : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Na przykład dla liczby \(\frac(π)(6)\) - cosinus będzie równy \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . A dla liczby \(-\)\(\frac(3π)(4)\) będzie ona równa \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (w przybliżeniu \ (-0,71\)).

Cosinus dla innych liczb często spotykanych w praktyce, zob.

Wartość cosinusa zawsze leży między \(-1\) a \(1\). W takim przypadku cosinus można obliczyć dla absolutnie dowolnego kąta i liczby.

Cosinus dowolnego kąta

Dzięki okręgowi liczbowemu możliwe jest wyznaczenie cosinusa nie tylko kąta ostrego, ale także rozwartego, ujemnego, a nawet większego niż \(360 °\) (pełny obrót). Jak to zrobić - łatwiej raz zobaczyć niż usłyszeć \(100\) razy, więc spójrz na zdjęcie.

Teraz wyjaśnienie: niech będzie konieczne wyznaczenie cosinusa kąta KOA z miarą stopnia w \(150°\). Łączymy punkt O ze środkiem koła i bokiem OK- z osią \(x\). Następnie odłóż na bok \ (150 ° \) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Wtedy rzędna punktu ALE pokaże nam cosinus tego kąta.

Jeśli interesuje nas kąt ze stopniem, na przykład w \ (-60 ° \) (kąt KOV), robimy to samo, ale \(60°\) odkładamy na bok zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

I wreszcie, kąt jest większy niż \(360°\) (kąt KOS) - wszystko jest podobne do tępego, dopiero po przejściu pełnego obrotu zgodnie z ruchem wskazówek zegara przechodzimy do drugiej rundy i „dostajemy brak stopni”. Konkretnie, w naszym przypadku kąt \(405°\) jest wykreślony jako \(360° + 45°\).

Łatwo zgadnąć, że aby odłożyć kąt, na przykład w \ (960 ° \\), trzeba wykonać dwa obroty (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)), a dla kąta w \ (2640 ° \) - cała siódemka.

Jak można by wymienić, zarówno cosinus liczby, jak i cosinus dowolnego kąta są definiowane prawie w ten sam sposób. Zmienia się tylko sposób znajdowania punktu na okręgu.

Cosinusy w ćwiartkach

Korzystając z osi cosinusów (czyli osi odciętej, zaznaczonej na rysunku kolorem czerwonym), łatwo jest wyznaczyć znaki cosinusów wzdłuż okręgu liczbowego (trygonometrycznego):

Tam, gdzie wartości na osi są od \(0\) do \(1\), cosinus będzie miał znak plus (ćwiartka I i IV to obszar zielony),
- gdzie wartości na osi są od \(0\) do \(-1\), cosinus będzie miał znak minus (ćwiartka II i III - obszar fioletowy).

Związek z innymi funkcjami trygonometrycznymi:

- ten sam kąt (lub numer): podstawowy tożsamość trygonometryczna\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- ten sam kąt (lub liczba): według wzoru \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- i sinus tego samego kąta (lub liczby): \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Zobacz inne najczęściej używane formuły.

Rozwiązanie równania \(\cos⁡x=a\)

Rozwiązanie równania \(\cos⁡x=a\), gdzie \(a\) jest liczbą nie większą niż \(1\) i nie mniejszą niż \(-1\) tj. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Jeśli \(a>1\) lub \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Przykład . Rozwiąż równanie trygonometryczne \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
Decyzja:

Rozwiąż równanie za pomocą koła liczbowego. Dla tego:
1) Zbudujmy osie.
2) Zbudujmy okrąg.
3) Na osi cosinus (oś \(y\)) zaznacz punkt \(\frac(1)(2)\) .
4) Narysuj prostopadłą do osi cosinusa przez ten punkt.
5) Zaznacz punkty przecięcia prostopadłej i okręgu.
6)Podpiszmy wartości tych punktów: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Zapisz wszystkie wartości odpowiadające tym punktom za pomocą wzoru \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Odpowiedź: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Funkcja \(y=\cos(x)\)

Jeśli wykreślimy kąty w radianach wzdłuż osi \(x\), a wartości cosinusów odpowiadające tym kątom wzdłuż osi \(y\), otrzymamy następujący wykres:

Ten wykres nazywa się i ma następujące właściwości:

Dziedziną definicji jest dowolna wartość x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- zakres wartości - od \(-1\) do \(1\) włącznie: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- parzyste: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- okresowy z okresem \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- punkty przecięcia z osiami współrzędnych:
odcięta: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), gdzie \(n ϵ Z\)
oś y: \((0;1)\)
- interwały znaków:
funkcja jest dodatnia na przedziałach: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), gdzie \(n ϵ Z\)
funkcja jest ujemna na przedziałach: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), gdzie \(n ϵ Z\)
- interwały wzrostów i spadków:
funkcja rośnie na przedziałach: \((π+2πn;2π+2πn)\), gdzie \(n ϵ Z\)
funkcja maleje na przedziałach: \((2πn;π+2πn)\), gdzie \(n ϵ Z\)
- maksima i minima funkcji:
funkcja ma wartość maksymalną \(y=1\) w punktach \(x=2πn\), gdzie \(n ϵ Z\)
funkcja ma wartość minimalną \(y=-1\) w punktach \(x=π+2πn\), gdzie \(n ϵ Z\).

Zrozumienie prostych pojęć: sinus i cosinus i obliczenia cosinus do kwadratu i sinus do kwadratu.

Sinus i cosinus są badane w trygonometrii (nauce o trójkątach pod kątem prostym).

Dlatego na początek przypomnijmy podstawowe pojęcia trójkąta prostokątnego:

Przeciwprostokątna- strona, która zawsze leży pod kątem prostym (kąt 90 stopni). Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego.

Pozostałe dwa boki w trójkącie prostokątnym to nogi.

Pamiętaj też, że trzy kąty w trójkącie zawsze sumują się do 180°.

Przejdźmy teraz do cosinus i sinus kąta alfa (∠α)(dzięki czemu możesz nazwać dowolny kąt nieprosty w trójkącie lub użyć jako symbolu) x - "x", co nie zmienia istoty).

Sinus kąta alfa (sin ∠α)- to postawa naprzeciwko noga (strona przeciwna do odpowiedniego kąta) do przeciwprostokątnej. Jeśli spojrzysz na figurę, to grzech ∠ABC = AC / BC

Cosinus kąta alfa (cos ∠α)- postawa przylegający od kąta nogi do przeciwprostokątnej. Patrząc ponownie na powyższy rysunek, to cos ∠ABC = AB / BC

Dla przypomnienia: cosinus i sinus nigdy nie będą większe niż jeden, ponieważ każda rolka jest krótsza niż przeciwprostokątna (a przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem dowolnego trójkąta, ponieważ najdłuższy bok znajduje się naprzeciwko największego kąta w trójkącie) .

Cosinus do kwadratu, sinus do kwadratu

Przejdźmy teraz do podstawowych wzorów trygonometrycznych: obliczania cosinusa do kwadratu i sinusa do kwadratu.

Aby je obliczyć, należy pamiętać o podstawowej tożsamości trygonometrycznej:

sin 2 α + cos 2 α = 1(sinus kwadrat plus cosinus kwadrat jednego kąta zawsze równa się jeden).

Z tożsamości trygonometrycznej wyciągamy wnioski dotyczące sinusa:

grzech 2 α \u003d 1 - cos 2 α

sinus kwadrat alfa jest równy jeden minus cosinus podwójnego kąta alfa, a wszystko to jest dzielone przez dwa.

sin2α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Z tożsamości trygonometrycznej wyciągamy wnioski dotyczące cosinusa:

cos 2 α \u003d 1 - grzech 2 α

lub bardziej złożona wersja formuły: cosinus kwadrat alfa jest równy jeden plus cosinus podwójnego kąta alfa, a także dzieli wszystko przez dwa.

cos2α = (1 + cos(2α)) / 2

Te dwa bardziej złożone formuły sinus do kwadratu i cosinus do kwadratu są również nazywane „redukcją mocy dla kwadratów funkcji trygonometrycznych”. Tych. był drugi stopień, obniżony do pierwszego i obliczenia stały się wygodniejsze.

Nie przekonam Cię do pisania ściągawek. Pisać! W tym ściągawki z trygonometrii. Później zamierzam wyjaśnić, dlaczego potrzebne są ściągawki i jak przydatne są ściągawki. A tutaj - informacje o tym, jak się nie uczyć, ale zapamiętać kilka wzorów trygonometrycznych. A więc - trygonometria bez ściągawki!Do zapamiętywania używamy skojarzeń.

1. Formuły dodawania:

cosinusy zawsze „idą parami”: cosinus-cosinus, sinus-sinus. I jeszcze jedno: cosinusy są „niewystarczające”. „Wszystko jest nie tak”, więc zmieniają znaki: „-” na „+” i odwrotnie.

Zatoki - "mix": sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Wzory na sumy i różnice:

cosinusy zawsze „idą parami”. Po dodaniu dwóch cosinusów - "bułeczki" otrzymujemy parę cosinusów - "koloboks". A odejmując, na pewno nie dostaniemy koloboków. Dostajemy kilka sinusów. Wciąż z minusem przed nami.

Zatoki - "mix" :

3. Wzory przeliczania produktu na sumę i różnicę.

Kiedy otrzymamy parę cosinusów? Przy dodawaniu cosinusów. Więc

Kiedy otrzymamy parę sinusów? Przy odejmowaniu cosinusów. Stąd:

„Mieszanie” uzyskuje się zarówno przez dodawanie, jak i odejmowanie sinusów. Co jest fajniejsze: dodawanie czy odejmowanie? Zgadza się, spasuj. A do formuły dodaj:

W pierwszym i trzecim wzorze w nawiasie – kwota. Od przestawienia miejsc terminów suma się nie zmienia. Kolejność jest ważna tylko dla drugiej formuły. Ale aby się nie pomylić, dla ułatwienia zapamiętania, we wszystkich trzech formułach w pierwszych nawiasach bierzemy różnicę

a po drugie, suma

Prześcieradła do łóżeczka w kieszeni zapewniają spokój ducha: jeśli zapomnisz formułę, możesz ją spisać. I dają pewność: jeśli nie użyjesz ściągawki, wzory można łatwo zapamiętać.