Zasady dodawania i odejmowania liczb o różnych liczbach. Dodawanie liczb z różnymi znakami, zasadami, przykładami

>>Matematyka: Dodawanie liczb za pomocą różne znaki

33. Dodawanie liczb o różnych znakach

Jeżeli temperatura powietrza była równa 9°C, a następnie zmieniła się na -6°C (tj. spadła o 6°C), to wyniosła 9 + (- 6) stopni (ryc. 83).

Aby dodać liczby 9 i - 6 za pomocą , należy przesunąć punkt A (9) w lewo o 6 segmentów jednostkowych (ryc. 84). Otrzymujemy punkt B (3).

Oznacza to 9+(- 6) = 3. Liczba 3 ma ten sam znak co wyraz 9 i jej moduł równa różnicy między modułami składników 9 i -6.

Rzeczywiście, |3| =3 i |9| - |- 6| = = 9 - 6 = 3.

Jeżeli ta sama temperatura powietrza wynosząca 9°C zmieniła się o -12°C (tj. spadła o 12°C), to wyniosła 9 + (-12) stopni (ryc. 85). Dodając liczby 9 i -12 za pomocą linii współrzędnych (ryc. 86), otrzymujemy 9 + (-12) = -3. Liczba -3 ma ten sam znak co wyraz -12, a jej moduł jest równy różnicy między modułami wyrazów -12 i 9.

Rzeczywiście, | - 3| = 3 i | -12| - | -9| =12 - 9 = 3.

Aby dodać dwie liczby o różnych znakach, musisz:

1) od większego modułu terminów odjąć mniejszy;

2) przed otrzymaną liczbą umieścić znak członu, którego moduł jest większy.

Zwykle najpierw określa się i zapisuje znak sumy, a następnie znajduje różnicę w modułach.

Na przykład:

1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
lub krócej 6,1+(- 4,2) = 6,1 - 4,2 = 1,9;

Dodając liczby dodatnie i ujemne, możesz użyć mikro kalkulator. Aby wprowadzić liczbę ujemną do mikrokalkulatora, należy wprowadzić moduł tej liczby, a następnie nacisnąć klawisz „zmień znak” |/-/|. Przykładowo, aby wprowadzić liczbę -56,81, należy nacisnąć kolejno klawisze: | 5 |, | 6 |, | ¦ |, | 8 |, | 1 |, |/-/|. Operacje na liczbach dowolnego znaku wykonuje się na mikrokalkulatorze w taki sam sposób, jak na liczbach dodatnich.

Na przykład sumę -6,1 + 3,8 oblicza się za pomocą program

? Liczby a i b mają różne znaki. Jaki znak będzie miała suma tych liczb, jeśli większy moduł będzie ujemny?

jeśli mniejszy moduł jest ujemny?

jeśli większy moduł jest liczbą dodatnią?

jeśli mniejszy moduł jest liczbą dodatnią?

Sformułuj zasadę dodawania liczb o różnych znakach. Jak wprowadzić liczbę ujemną do mikrokalkulatora?

DO 1045. Liczba 6 została zmieniona na -10. Po której stronie początku układu współrzędnych znajduje się wynikowa liczba? W jakiej odległości od początku się znajduje? Czemu to jest równe suma 6 i -10?

1046. Liczba 10 została zmieniona na -6. Po której stronie początku układu współrzędnych znajduje się wynikowa liczba? W jakiej odległości od początku się znajduje? Jaka jest suma 10 i -6?

1047. Liczbę -10 zmieniono na 3. Po której stronie początku układu współrzędnych znajduje się otrzymana liczba? W jakiej odległości od początku się znajduje? Jaka jest suma -10 i 3?

1048. Liczbę -10 zmieniono na 15. Po której stronie początku początku znajduje się otrzymana liczba? W jakiej odległości od początku się znajduje? Jaka jest suma -10 i 15?

1049. W pierwszej połowie dnia temperatura zmieniła się o -4°C, a w drugiej połowie dnia o +12°C. O ile stopni zmieniła się temperatura w ciągu dnia?

1050. Wykonaj dodawanie:

1051. Dodaj:

a) do sumy -6 i -12 liczbę 20;
b) do liczby 2,6 suma wynosi -1,8 i 5,2;
c) do sumy -10 i -1,3 suma 5 i 8,7;
d) do sumy 11 i -6,5 sumę -3,2 i -6.

1052. Która liczba to 8; 7.1; -7,1; -7; -0,5 to pierwiastek równania- 6 + x = -13,1?

1053. Odgadnij pierwiastek równania i sprawdź:

a) x + (-3) = -11; c) m + (-12) = 2;
b) - 5 + y=15; d) 3 + n = -10.

1054. Znajdź znaczenie wyrażenia:

1055. Postępuj zgodnie z instrukcjami, korzystając z mikrokalkulatora:

a) - 3,2579 + (-12,308); d) -3,8564+ (-0,8397) +7,84;
b) 7,8547+ (- 9,239); e) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
c) -0,00154 + 0,0837; e) -0,0085+ 0,00354+ (- 0,00921).

P 1056. Znajdź wartość sumy:

1057. Znajdź znaczenie wyrażenia:

1058. Ile liczb całkowitych znajduje się między liczbami:

a) 0 i 24; b) -12 i -3; c) -20 i 7?

1059. Wyobraź sobie liczbę -10 jako sumę dwóch wyrazów ujemnych, tak że:

a) oba wyrazy były liczbami całkowitymi;
b) oba wyrazy były ułamkami dziesiętnymi;
c) jednym z terminów był zwyczajny zwyczajny frakcja.

1060. Jaka jest odległość (w odcinkach jednostkowych) pomiędzy punktami linii współrzędnych o współrzędnych:

a) 0 i a; b) -a i a; c) -a i 0; d) a i -Za?

M 1061. Promienie równoleżników geograficznych powierzchni ziemi, na których położone są miasta Ateny i Moskwa, wynoszą odpowiednio 5040 km i 3580 km (ryc. 87). O ile krótszy jest równoleżnik moskiewski od równoleżnika ateńskiego?

1062. Napisz równanie rozwiązujące zadanie: „Pole o powierzchni 2,4 ha podzielono na dwie części. Znajdować kwadrat w każdym ośrodku, jeżeli wiadomo, że jeden z ośrodków:

a) o 0,8 ha więcej niż inny;
b) o 0,2 ha mniej niż inny;
c) 3 razy więcej niż inny;
d) 1,5 razy mniej niż inny;
e) stanowi inny;
e) wynosi 0,2 drugiego;
g) stanowi 60% pozostałych;
h) wynosi 140% drugiego.”

1063. Rozwiąż zadanie:

1) Pierwszego dnia podróżnicy przejechali 240 km, drugiego dnia 140 km, trzeciego dnia przejechali 3 razy więcej niż drugiego, a czwartego dnia odpoczęli. Ile kilometrów przejechali piątego dnia, jeśli w ciągu 5 dni pokonywali średnio 230 km dziennie?

2) Miesięczny dochód ojca wynosi 280 rubli. Stypendium mojej córki jest 4 razy mniejsze. Ile miesięcznie zarabia mama, jeśli w rodzinie jest 4 osoby? młodszy syn- uczeń i każda osoba otrzymuje średnio 135 rubli?

1064. Wykonaj następujące kroki:

1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);

2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).

1066. Przedstaw każdą z liczb jako sumę dwóch równych wyrazów:

1067. Znajdź wartość a + b jeśli:

a) a= -1,6, b = 3,2; b) a=- 2,6, b = 1,9; V)

1068. Na jednym piętrze budynku mieszkalnego znajdowało się 8 mieszkań. 2 apartamenty miały przestrzeń życiowa 22,8 m2 każde, 3 mieszkania po 16,2 m2 każde, 2 mieszkania po 34 m2 każde. Jaką powierzchnię mieszkalną miało ósme mieszkanie, jeśli na tym piętrze każde mieszkanie miało średnio 24,7 m2 powierzchni mieszkalnej?

1069. Pociąg towarowy składał się z 42 wagonów. Zakrytych wagonów było 1,2 razy więcej niż platform, a liczba czołgów była równa liczbie platform. Ile wagonów każdego typu znajdowało się w pociągu?

1070. Znajdź znaczenie wyrażenia

N.Ya.Vilenkin, A.S. Czesnokow, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matematyka dla klasy 6, Podręcznik dla Liceum

Planowanie matematyki, podręczniki i książki online, kursy i zadania z matematyki do pobrania dla klasy 6

Treść lekcji notatki z lekcji rama nośna metody przyspieszania prezentacji lekcji technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia autotest warsztaty, szkolenia, case'y, zadania prace domowe dyskusja pytania retoryczne pytania uczniów Ilustracje pliki audio, wideo i multimedia fotografie, obrazy, grafiki, tabele, diagramy, humor, anegdoty, dowcipy, komiksy, przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły sztuczki dla ciekawskich szopki podręczniki podstawowy i dodatkowy słownik terminów inne Udoskonalanie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu podręcznika, elementy innowacji na lekcji, wymiana przestarzałej wiedzy na nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje planie kalendarza przez rok wytyczne programy dyskusyjne Zintegrowane Lekcje

Dodawanie liczb ujemnych.

Suma liczb ujemnych jest liczbą ujemną. Moduł sumy jest równy sumie modułów wyrazów.

Zastanówmy się, dlaczego suma liczb ujemnych będzie również liczbą ujemną. Pomoże nam w tym linia współrzędnych, na której dodamy liczby -3 i -5. Zaznaczmy na osi współrzędnych punkt odpowiadający liczbie -3.

Do liczby -3 musimy dodać liczbę -5. Dokąd zmierzamy od punktu odpowiadającego liczbie -3? To prawda, lewo! Na 5 segmentów jednostkowych. Zaznaczamy punkt i wpisujemy odpowiadającą mu liczbę. Ta liczba to -8.

Zatem dodając liczby ujemne za pomocą osi współrzędnych, zawsze znajdujemy się na lewo od początku, dlatego jasne jest, że wynikiem dodawania liczb ujemnych jest również liczba ujemna.

Notatka. Dodaliśmy liczby -3 i -5, tj. znaleziono wartość wyrażenia -3+(-5). Zwykle podczas dodawania liczby wymierne po prostu zapisują te liczby ze swoimi znakami, tak jakby wymieniali wszystkie liczby, które należy dodać. Zapis ten nazywany jest sumą algebraiczną. Zastosuj (w naszym przykładzie) wpis: -3-5=-8.

Przykład. Znajdź sumę liczb ujemnych: -23-42-54. (Czy zgadzasz się, że ten wpis jest krótszy i wygodniejszy w ten sposób: -23+(-42)+(-54))?

Zdecydujmy Zgodnie z zasadą dodawania liczb ujemnych: dodajemy moduły wyrazów: 23+42+54=119. Wynik będzie miał znak minus.

Zwykle piszą to w ten sposób: -23-42-54=-119.

Dodawanie liczb z różnymi znakami.

Suma dwóch liczb o różnych znakach ma znak wyrazu o dużej wartości bezwzględnej. Aby znaleźć moduł sumy, należy odjąć mniejszy moduł od większego modułu..

Wykonajmy dodawanie liczb o różnych znakach za pomocą linii współrzędnych.

1) -4+6. Do liczby -4 należy dodać liczbę 6. Zaznaczmy liczbę -4 kropką na osi współrzędnych. Liczba 6 jest dodatnia, co oznacza, że ​​od punktu o współrzędnej -4 należy udać się w prawo o 6 odcinków jednostkowych. Znaleźliśmy się na prawo od punktu odniesienia (od zera) o 2 segmenty jednostkowe.

Wynikiem sumy liczb -4 i 6 jest liczba dodatnia 2:

- 4+6=2. Jak zdobyć liczbę 2? Odejmij 4 od 6, tj. odejmij mniejszy moduł od większego modułu. Wynik ma ten sam znak, co wyraz o dużym module.

2) Obliczmy: -7+3, korzystając z linii współrzędnych. Zaznacz punkt odpowiadający liczbie -7. Idziemy w prawo przez 3 segmenty jednostkowe i otrzymujemy punkt o współrzędnej -4. Byliśmy i pozostajemy na lewo od początku: odpowiedź jest liczbą ujemną.

— 7+3=-4. Wynik moglibyśmy uzyskać w ten sposób: odejmij mniejszy od większego modułu, tj. 7-3=4. W efekcie stawiamy znak członu o większym module: |-7|>|3|.

Przykłady. Oblicz: A) -4+5-9+2-6-3; B) -10-20+15-25.

Prawie cały kurs matematyki opiera się na operacjach na liczbach dodatnich i ujemnych. Przecież gdy tylko zaczniemy badać linię współrzędnych, liczby ze znakami plus i minus zaczynają nam się pojawiać wszędzie, w każdym nowy temat. Nie ma nic prostszego niż dodanie do siebie zwykłych liczb dodatnich; nie jest trudno odjąć jedną od drugiej. Nawet arytmetyka z dwiema liczbami ujemnymi rzadko stanowi problem.

Jednak wiele osób ma wątpliwości dotyczące dodawania i odejmowania liczb o różnych znakach. Przypomnijmy, na jakich zasadach te działania zachodzą.

Dodawanie liczb z różnymi znakami

Jeśli aby rozwiązać problem, musimy dodać liczbę ujemną „-b” do jakiejś liczby „a”, to musimy postępować w następujący sposób.

• Weźmy moduły obu liczb - |a| i |b| - i porównaj je Wartości bezwzględne pomiędzy nimi.
• Zauważmy, który z modułów jest większy, a który mniejszy i od tego odejmijmy większa wartość mniej.
• Przed otrzymaną liczbą wstawmy znak liczby, której moduł jest większy.

To będzie odpowiedź. Można to wyrazić prościej: jeśli w wyrażeniu a + (-b) moduł liczby „b” jest większy niż moduł „a”, wówczas odejmujemy „a” od „b” i wstawiamy „minus ” przed wynikiem. Jeżeli moduł „a” jest większy, wówczas „b” odejmuje się od „a” - i rozwiązanie otrzymuje się ze znakiem „plus”.

Zdarza się również, że moduły okazują się równe. Jeśli tak, możesz w tym momencie zatrzymać się - mówimy o o liczbach przeciwnych, a ich suma będzie zawsze wynosić zero.

Odejmowanie liczb o różnych znakach

Zajęliśmy się dodawaniem, teraz spójrzmy na zasadę odejmowania. Jest to również dość proste - a w dodatku całkowicie powtarza podobną zasadę odejmowania dwóch liczb ujemnych.

Aby od pewnej liczby „a” - dowolnej, czyli z dowolnym znakiem - odjąć liczbę ujemną „c”, należy dodać do naszej dowolnej liczby „a” liczbę przeciwną „c”. Na przykład:

• Jeśli „a” jest liczbą dodatnią, a „c” jest liczbą ujemną i należy odjąć „c” od „a”, wówczas zapisujemy to w ten sposób: a – (-c) = a + c.
• Jeśli „a” jest liczbą ujemną, a „c” jest liczbą dodatnią, a od „a” należy odjąć „c”, to zapisujemy to w następujący sposób: (- a)– c = - a+ (-c).

Zatem odejmując liczby o różnych znakach, wracamy do zasad dodawania, a dodając liczby o różnych znakach, wracamy do zasad odejmowania. Zapamiętanie tych zasad pozwala szybko i łatwo rozwiązywać problemy.

W tej lekcji będziemy się uczyć dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych, a także zasady ich dodawania i odejmowania.

Przypomnijmy, że liczby całkowite to liczby dodatnie i ujemne, a także liczba 0. Na przykład następujące liczby są liczbami całkowitymi:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Liczby dodatnie są łatwe i. Niestety tego samego nie można powiedzieć o liczbach ujemnych, które wielu początkujących mylą z minusami przed każdą liczbą. Jak pokazuje praktyka, błędy popełniane z powodu liczb ujemnych najbardziej frustrują uczniów.

Treść lekcji

Przykłady dodawania i odejmowania liczb całkowitych

Pierwszą rzeczą, której powinieneś się nauczyć, jest dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych za pomocą linii współrzędnych. Nie jest wcale konieczne rysowanie linii współrzędnych. Wystarczy wyobrazić sobie to w myślach i zobaczyć, gdzie znajdują się liczby ujemne, a gdzie dodatnie.

Rozważmy najprostsze wyrażenie: 1 + 3. Wartość tego wyrażenia wynosi 4:

Ten przykład można zrozumieć za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się cyfra 1, musisz przejść trzy kroki w prawo. W rezultacie znajdziemy się w miejscu, w którym znajduje się cyfra 4. Na rysunku widać, jak to się dzieje:

Znak plus w wyrażeniu 1 + 3 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w prawo w kierunku rosnących liczb.

Przykład 2. Znajdźmy wartość wyrażenia 1 - 3.

Wartość tego wyrażenia wynosi −2

Ten przykład można ponownie zrozumieć za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się cyfra 1, musisz przejść w lewo o trzy kroki. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się liczba ujemna −2. Na zdjęciu widać jak to się dzieje:

Znak minus w wyrażeniu 1 - 3 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w lewo w kierunku malejących liczb.

Ogólnie rzecz biorąc, należy pamiętać, że jeśli zostanie przeprowadzone dodawanie, należy przesunąć się w prawo w kierunku zwiększania. Jeśli przeprowadzane jest odejmowanie, należy przesunąć się w lewo w kierunku zmniejszania.

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia −2 + 4

Wartość tego wyrażenia wynosi 2

Ten przykład można ponownie zrozumieć za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się liczba ujemna -2, musisz przejść cztery kroki w prawo. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się liczba dodatnia 2.

Można zauważyć, że od punktu, w którym znajduje się liczba ujemna −2, przesunęliśmy się o cztery kroki w prawo i znaleźliśmy się w punkcie, w którym znajduje się liczba dodatnia 2.

Znak plus w wyrażeniu −2 + 4 mówi nam, że powinniśmy przesuwać się w prawo w kierunku rosnących liczb.

Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia -1 - 3

Wartość tego wyrażenia wynosi -4

Ten przykład można ponownie rozwiązać za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od miejsca, w którym znajduje się liczba ujemna −1, należy przejść o trzy kroki w lewo. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się liczba ujemna -4

Można zauważyć, że od punktu, w którym znajduje się liczba ujemna –1, przesunęliśmy się o trzy kroki w lewo i trafiliśmy do punktu, w którym znajduje się liczba ujemna –4.

Znak minus w wyrażeniu −1 − 3 mówi nam, że powinniśmy przesunąć się w lewo w kierunku malejących liczb.

Przykład 5. Znajdź wartość wyrażenia −2 + 2

Wartość tego wyrażenia wynosi 0

Ten przykład można rozwiązać za pomocą linii współrzędnych. Aby to zrobić, od punktu, w którym znajduje się liczba ujemna -2, musisz przejść o dwa kroki w prawo. W rezultacie znajdziemy się w punkcie, w którym znajduje się cyfra 0

Można zauważyć, że od punktu, w którym znajduje się liczba ujemna −2, przesunęliśmy się o dwa kroki w prawo i znaleźliśmy się w punkcie, w którym znajduje się liczba 0.

Znak plus w wyrażeniu −2 + 2 mówi nam, że powinniśmy przesuwać się w prawo w kierunku rosnących liczb.

Zasady dodawania i odejmowania liczb całkowitych

Aby dodać lub odjąć liczby całkowite, nie trzeba za każdym razem wyobrażać sobie linii współrzędnych, a tym bardziej jej rysować. Wygodniej jest korzystać z gotowych reguł.

Stosując reguły, należy zwrócić uwagę na znak operacji i znaki liczb, które należy dodać lub odjąć. To określi, którą zasadę zastosować.

Przykład 1. Znajdź wartość wyrażenia −2 + 5

Tutaj liczba dodatnia jest dodawana do liczby ujemnej. Innymi słowy, dodawane są liczby o różnych znakach. −2 jest liczbą ujemną, a 5 jest liczbą dodatnią. W takich przypadkach obowiązuje następująca zasada:

Aby dodać liczby o różnych znakach, należy odjąć mniejszy moduł od większego i przed otrzymaną odpowiedzią postawić znak liczby, której moduł jest większy.

Zobaczmy więc, który moduł jest większy:

Moduł liczby 5 jest większy niż moduł liczby -2. Reguła wymaga odjęcia mniejszego modułu od większego. Dlatego musimy odjąć 2 od 5, a przed otrzymaną odpowiedzią postawić znak liczby, której moduł jest większy.

Liczba 5 ma większy moduł, więc znak tej liczby będzie w odpowiedzi. Oznacza to, że odpowiedź będzie pozytywna:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Zwykle zapisywane krócej: −2 + 5 = 3

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia 3 + (-2)

Tutaj, podobnie jak w poprzednim przykładzie, dodawane są liczby o różnych znakach. 3 jest liczbą dodatnią, a -2 jest liczbą ujemną. Zwróć uwagę, że −2 jest ujęte w nawiasy, aby wyrażenie było jaśniejsze. To wyrażenie jest znacznie łatwiejsze do zrozumienia niż wyrażenie 3+−2.

Zastosujmy więc zasadę dodawania liczb o różnych znakach. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, od większego modułu odejmujemy mniejszy moduł i przed odpowiedzią stawiamy znak liczby, której moduł jest większy:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Moduł liczby 3 jest większy niż moduł liczby -2, więc od 3 odjęliśmy 2, a przed otrzymaną odpowiedzią stawiamy znak liczby, której moduł jest większy. Liczba 3 ma większy moduł, dlatego w odpowiedzi uwzględniony jest znak tej liczby. Oznacza to, że odpowiedź jest pozytywna.

Zwykle zapisywane krócej 3 + (-2) = 1

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia 3 - 7

W tym wyrażeniu większa liczba jest odejmowana od mniejszej liczby. W takim przypadku obowiązuje następująca zasada:

Aby odjąć większą liczbę od mniejszej, należy odjąć mniejszą liczbę od większej i umieścić minus przed wynikową odpowiedzią.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

W tym wyrażeniu jest niewielki haczyk. Pamiętajmy, że znak równości (=) stawia się pomiędzy wielkościami i wyrażeniami, gdy są one sobie równe.

Jak się dowiedzieliśmy, wartość wyrażenia 3 - 7 jest równa -4. Oznacza to, że wszelkie przekształcenia, które wykonamy w tym wyrażeniu, muszą być równe −4

Ale widzimy, że na drugim etapie istnieje wyrażenie 7 - 3, które nie jest równe -4.

Aby poprawić tę sytuację, należy umieścić wyrażenie 7 - 3 w nawiasie i postawić minus przed tym nawiasem:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

W takim przypadku równość będzie przestrzegana na każdym etapie:

Po obliczeniu wyrażenia nawiasy można usunąć, co też zrobiliśmy.

Aby być bardziej precyzyjnym, rozwiązanie powinno wyglądać tak:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Regułę tę można zapisać za pomocą zmiennych. Będzie to wyglądać tak:

a - b = - (b - a)

Duża liczba nawiasów i znaków operacji może skomplikować rozwiązanie pozornie prostego problemu, dlatego lepiej jest nauczyć się pisać krótko takie przykłady, np. 3 - 7 = - 4.

W rzeczywistości dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych sprowadza się do niczego innego jak dodawania. Oznacza to, że jeśli chcesz odjąć liczby, operację tę można zastąpić dodawaniem.

Zapoznajmy się więc z nową zasadą:

Odejmowanie jednej liczby od drugiej oznacza dodanie do odejmowanej liczby przeciwnej do odejmowanej.

Rozważmy na przykład najprostsze wyrażenie 5 - 3. On początkowe etapy studiując matematykę, stawiamy znak równości i zapisujemy odpowiedź:

Ale teraz jesteśmy w trakcie studiów, więc musimy dostosować się do nowych zasad. Nowa zasada mówi, że odejmowanie jednej liczby od drugiej oznacza dodanie do odjemnej tej samej liczby, co odjęcie.

Spróbujmy zrozumieć tę regułę na przykładzie wyrażenia 5 - 3. Minuenda w tym wyrażeniu wynosi 5, a odejmowanie wynosi 3. Reguła mówi, że aby odjąć 3 od 5, należy dodać do 5 liczbę przeciwną 3. Przeciwieństwem liczby 3 jest −3 . Napiszmy nowe wyrażenie:

I już wiemy, jak znaleźć znaczenie takich wyrażeń. Jest to dodawanie liczb o różnych znakach, które sprawdziliśmy wcześniej. Aby dodać liczby o różnych znakach, odejmujemy mniejszy moduł od większego i przed otrzymaną odpowiedzią stawiamy znak liczby, której moduł jest większy:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Moduł liczby 5 jest większy niż moduł liczby -3. Dlatego odjęliśmy 3 od 5 i otrzymaliśmy 2. Liczba 5 ma większy moduł, więc w odpowiedzi stawiamy znak tej liczby. Oznacza to, że odpowiedź jest pozytywna.

Na początku nie każdy jest w stanie szybko zastąpić odejmowanie dodawaniem. Wynika to z faktu, że liczby dodatnie są zapisywane bez znaku plus.

Na przykład w wyrażeniu 3 - 1 znak minus wskazujący na odejmowanie jest znakiem operacji i nie odnosi się do jednego. Jednostka w w tym przypadku jest liczbą dodatnią i ma swój własny znak plus, ale go nie widzimy, ponieważ plusa nie zapisuje się przed liczbami dodatnimi.

Dlatego dla przejrzystości wyrażenie to można zapisać w następujący sposób:

(+3) − (+1)

Dla wygody liczby z własnymi znakami umieszczono w nawiasach. W tym przypadku zastąpienie odejmowania dodawaniem jest znacznie łatwiejsze.

W wyrażeniu (+3) − (+1) odejmowana liczba to (+1), a liczba przeciwna to (−1).

Zastąpmy odejmowanie dodawaniem i zamiast odejmowania (+1) napiszmy liczbę przeciwną (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Dalsze obliczenia nie będą trudne.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, jaki jest sens tych dodatkowych ruchów, jeśli możesz zastosować starą, dobrą metodę, postawić znak równości i od razu zapisać odpowiedź 2. Tak naprawdę ta zasada pomoże nam nie raz.

Rozwiążmy poprzedni przykład 3 - 7, korzystając z reguły odejmowania. Najpierw sprowadźmy wyrażenie do przejrzystej formy, przypisując każdej liczbie własne znaki.

Trzy ma znak plus, ponieważ jest liczbą dodatnią. Znak minus oznaczający odejmowanie nie dotyczy siódemki. Siedem ma znak plus, ponieważ jest liczbą dodatnią:

Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Dalsze obliczenia nie są trudne:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Przykład 7. Znajdź wartość wyrażenia -4 - 5

Znów mamy operację odejmowania. Operację tę należy zastąpić dodawaniem. Do odejmowania (−4) dodajemy liczbę przeciwną do odejmowania (+5). Liczba przeciwna do odejmowania (+5) to liczba (-5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Doszliśmy do sytuacji, w której musimy dodać liczby ujemne. W takich przypadkach obowiązuje następująca zasada:

Aby dodać liczby ujemne, musisz dodać ich moduły i postawić minus przed wynikową odpowiedzią.

Dodajmy więc moduły liczb, jak wymaga tego reguła, i postawmy minus przed otrzymaną odpowiedzią:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Wpis z modułami należy ująć w nawiasy, a przed tymi nawiasami należy umieścić znak minus. W ten sposób podamy minus, który powinien pojawić się przed odpowiedzią:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Rozwiązanie tego przykładu można krótko zapisać:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

lub jeszcze krócej:

−4 − 5 = −9

Przykład 8. Znajdź wartość wyrażenia -3 - 5 - 7 - 9

Doprowadźmy wyrażenie do jasnej formy. Tutaj wszystkie liczby z wyjątkiem -3 są dodatnie, więc będą miały znak plus:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Zamieńmy odejmowanie na dodawanie. Wszystkie minusy, z wyjątkiem minusa przed trójką, zmienią się na plusy, a wszystkie liczby dodatnie zmienią się na przeciwne:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Zastosujmy teraz zasadę dodawania liczb ujemnych. Aby dodać liczby ujemne, musisz dodać ich moduły i postawić minus przed wynikową odpowiedzią:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Rozwiązanie tego przykładu można krótko zapisać:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

lub jeszcze krócej:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Przykład 9. Znajdź wartość wyrażenia −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Doprowadźmy wyrażenie do przejrzystej formy:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Są tu dwie operacje: dodawanie i odejmowanie. Dodawanie pozostawiamy bez zmian, a odejmowanie zastępujemy dodawaniem:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Obserwując, będziemy wykonywać każdą akcję po kolei, w oparciu o poznane wcześniej zasady. Wpisy z modułami można pominąć:

Pierwsza akcja:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Druga akcja:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Trzecia akcja:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Czwarta akcja:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Zatem wartość wyrażenia −10 + 6 − 15 + 11 − 7 wynosi −15

Notatka. Nie jest wcale konieczne doprowadzenie wyrażenia do zrozumiałej formy poprzez umieszczenie liczb w nawiasach. Kiedy pojawia się uzależnienie? liczby ujemne, możesz pominąć ten krok, ponieważ jest on czasochłonny i może być mylący.

Aby więc dodawać i odejmować liczby całkowite, należy pamiętać o następujących zasadach:

Dołączć do naszego Nowa grupa VKontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach

W tym artykule przyjrzymy się szczegółowo, jak to się robi dodawanie liczb całkowitych. Najpierw uformujemy główny pomysł o dodawaniu liczb całkowitych i zobaczmy, na czym polega dodawanie liczb całkowitych na osi współrzędnych. Ta wiedza pomoże nam sformułować zasady dodawania liczb dodatnich, ujemnych i całkowitych o różnych znakach. Tutaj szczegółowo przeanalizujemy zastosowanie zasad dodawania przy rozwiązywaniu przykładów i dowiemy się, jak sprawdzić uzyskane wyniki. Na końcu artykułu porozmawiamy o dodaniu trzech i więcej liczby całkowite.

Nawigacja strony.

Zrozumienie dodawania liczb całkowitych

Oto przykłady dodawania liczb całkowitych przeciwnych. Suma liczb -5 i 5 wynosi zero, suma 901+(-901) wynosi zero, a wynik dodania przeciwnych liczb całkowitych 1 567 893 i -1 567 893 również wynosi zero.

Dodanie dowolnej liczby całkowitej i zera

Użyjmy linii współrzędnych, aby zrozumieć, jaki jest wynik dodania dwóch liczb całkowitych, z których jedna wynosi zero.

Dodanie dowolnej liczby całkowitej a do zera oznacza przesunięcie segmentów jednostkowych od początku na odległość a. W ten sposób znajdujemy się w punkcie o współrzędnej a. Dlatego wynik dodania zera i dowolnej liczby całkowitej jest dodaną liczbą całkowitą.

Natomiast dodanie zera do dowolnej liczby całkowitej oznacza przesunięcie się od punktu, którego współrzędna jest określona przez daną liczbę całkowitą, na odległość zerową. Inaczej mówiąc, pozostaniemy w punkcie wyjścia. Zatem wynikiem dodania dowolnej liczby całkowitej i zera jest podana liczba całkowita.

Więc, suma dwóch liczb całkowitych, z których jedna jest równa zero, jest równa drugiej liczbie całkowitej. W szczególności zero plus zero równa się zero.

Podajmy kilka przykładów. Suma liczb całkowitych 78 i 0 wynosi 78; wynikiem dodania zera i −903 jest −903; także 0+0=0 .

Sprawdzanie wyniku dodawania

Po dodaniu dwóch liczb całkowitych warto sprawdzić wynik. Wiemy już, że aby sprawdzić wynik dodania dwóch liczb naturalnych, należy od otrzymanej sumy odjąć któryś z wyrazów i w rezultacie powinien powstać inny wyraz. Sprawdzanie wyniku dodawania liczb całkowitych wykonane podobnie. Ale odejmowanie liczb całkowitych sprowadza się do dodania do odejmowanej liczby przeciwnej do odejmowanej. Zatem, aby sprawdzić wynik dodania dwóch liczb całkowitych, należy do otrzymanej sumy dodać liczbę przeciwną któremukolwiek z wyrazów, co powinno dać w wyniku inny wyraz.

Spójrzmy na przykłady sprawdzania wyniku dodania dwóch liczb całkowitych.

Przykład.

Dodając dwie liczby całkowite 13 i −9, otrzymano liczbę 4, sprawdź wynik.

Rozwiązanie.

Dodajmy do otrzymanej sumy 4 liczbę –13, przeciwną do wyrazu 13 i zobaczmy, czy otrzymamy kolejny wyraz –9.

Obliczmy więc sumę 4+(−13) . Jest to suma liczb całkowitych z przeciwne znaki. Moduły terminów to odpowiednio 4 i 13. Wyraz, którego moduł jest większy, ma znak minus, który pamiętamy. Teraz odejmij od większego modułu i odejmij mniejszy: 13−4=9. Pozostaje tylko umieścić zapamiętany znak minus przed wynikową liczbą, mamy -9.

Podczas sprawdzania otrzymaliśmy liczbę równą innemu wyrazowi, dlatego pierwotna suma została obliczona poprawnie.-19. Ponieważ otrzymaliśmy liczbę równą innemu wyrazowi, dodawanie liczb -35 i -19 zostało wykonane poprawnie.

Dodawanie trzech lub więcej liczb całkowitych

Do tego momentu mówiliśmy o dodawaniu dwóch liczb całkowitych. Innymi słowy, rozważaliśmy sumy składające się z dwóch wyrazów. Jednak kombinacyjna właściwość dodawania liczb całkowitych pozwala nam jednoznacznie określić sumę trzech, czterech lub większej liczby liczb całkowitych.

Bazując na własnościach dodawania liczb całkowitych, możemy stwierdzić, że suma trzech, czterech itd. liczb nie zależy od sposobu umieszczenia nawiasów wskazujących kolejność wykonywania czynności, ani od kolejności warunki w sumie. Uzasadniliśmy te stwierdzenia, mówiąc o dodaniu trzech lub więcej liczb naturalnych. W przypadku liczb całkowitych całe rozumowanie jest całkowicie takie samo i nie będziemy się powtarzać.0+(−101) +(−17)+5 . Po tym, umieszczając nawiasy w dowolny akceptowalny sposób, nadal otrzymamy liczbę -113.

Odpowiedź:

5+(−17)+0+(−101)=−113 .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. i inne. Klasa 6: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.