W tej lekcji przyjrzymy się dwóm kolejnym operacjom na wektorach: iloczyn wektorowy wektorów I mieszany produkt wektorów (link natychmiastowy dla potrzebujących). W porządku, czasami zdarza się, że dla pełnego szczęścia, w dodatku Iloczyn skalarny wektorów potrzeba coraz więcej. To jest uzależnienie od wektorów. Może się wydawać, że wkraczamy w dżunglę geometrii analitycznej. To jest źle. W tej części wyższej matematyki jest ogólnie mało drewna, może z wyjątkiem Pinokia. W rzeczywistości materiał jest bardzo powszechny i ​​​​prosty - niewiele bardziej skomplikowany niż ten sam produkt skalarny, nawet typowe zadania będzie mniej. Najważniejsze w geometrii analitycznej, o czym wielu się przekona lub już przekonało, to NIE POPEŁNIAĆ BŁĘDÓW W OBLICZENIACH. Powtarzaj jak zaklęcie, a będziesz szczęśliwy =)

Jeśli wektory błyszczą gdzieś daleko, jak błyskawica na horyzoncie, nie ma to znaczenia, zacznij od lekcji Wektory dla manekinów przywrócić lub ponownie nabyć podstawowa wiedza o wektorach. Bardziej przygotowani czytelnicy mogą zapoznać się z informacjami wybiórczo; starałem się zebrać jak najpełniejszy zbiór przykładów, które często można znaleźć praktyczna praca

Co sprawi, że od razu będziesz szczęśliwy? Kiedy byłem mały, umiałem żonglować dwiema, a nawet trzema piłkami. To zadziałało dobrze. Teraz nie będziesz musiał w ogóle żonglować, ponieważ rozważymy tylko wektory przestrzenne, a wektory płaskie z dwiema współrzędnymi zostaną pominięte. Dlaczego? Tak narodziły się te działania - wektor i iloczyn mieszany wektorów są definiowane i działają w przestrzeni trójwymiarowej. To już jest łatwiejsze!

Operacja ta, podobnie jak iloczyn skalarny, obejmuje dwa wektory. Niech to będą listy niezniszczalne.

Sama akcja oznaczony przez w następujący sposób: . Istnieją inne opcje, ale jestem przyzwyczajony do oznaczania iloczynu wektorów w ten sposób, w nawiasach kwadratowych z krzyżykiem.

I od razu pytanie: jeśli w Iloczyn skalarny wektorów w grę wchodzą dwa wektory i tutaj także dwa wektory są mnożone jaka jest różnica? Oczywistą różnicą jest przede wszystkim WYNIK:

Wynikiem iloczynu skalarnego wektorów jest LICZBA:

Wynikiem iloczynu wektorów jest WEKTOR: , czyli mnożymy wektory i ponownie otrzymujemy wektor. Zamknięty klub. Właściwie stąd wzięła się nazwa operacji. W różnej literaturze edukacyjnej oznaczenia mogą się również różnić; będę używał tej litery.

Definicja produktu krzyżowego

Najpierw będzie definicja ze zdjęciem, potem komentarze.

Definicja: Produkt wektorowy niewspółliniowy wektory, przyjęty w tej kolejności , zwany WEKTOREM, długość czyli liczbowo równy obszarowi równoległoboku, zbudowane na tych wektorach; wektor ortogonalne do wektorów, i jest skierowany tak, aby podstawa miała właściwą orientację:

Rozłóżmy definicję, jest tu mnóstwo ciekawych rzeczy!

Można zatem wyróżnić następujące istotne punkty:

1) Oryginalne wektory, z definicji oznaczone czerwonymi strzałkami nie współliniowy. Wydarzenie wektory współliniowe Należy rozważyć nieco później.

2) Pobierane są wektory w ściśle określonej kolejności: – „a” jest mnożone przez „być”, a nie „być” z „a”. Wynik mnożenia wektorów to WEKTOR, zaznaczony na niebiesko. Jeśli wektory pomnożymy w odwrotnej kolejności, otrzymamy wektor o równej długości i przeciwnym kierunku (kolor malinowy). Oznacza to, że równość jest prawdziwa .

3) Teraz zapoznajmy się z geometrycznym znaczeniem iloczynu wektorowego. To bardzo ważny punkt! DŁUGOŚĆ niebieskiego wektora (a zatem wektora szkarłatnego) jest liczbowo równa POWIERZCHNI równoległoboku zbudowanego na wektorach. Na rysunku ten równoległobok jest zacieniowany na czarno.

Notatka : rysunek jest schematyczny i oczywiście nominalna długość produktu wektorowego nie jest równa powierzchni równoległoboku.

Przypomnijmy sobie jedno wzory geometryczne: Powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi sąsiednie strony przez sinus kąta między nimi. Dlatego na podstawie powyższego obowiązuje wzór na obliczenie DŁUGOŚCI iloczynu wektorowego:

Podkreślam, że wzór dotyczy DŁUGOŚCI wektora, a nie samego wektora. Jakie jest praktyczne znaczenie? Znaczenie jest takie, że w problemach geometrii analitycznej obszar równoległoboku często określa się poprzez koncepcję iloczynu wektorowego:

Weźmy drugi ważna formuła. Przekątna równoległoboku (czerwona linia przerywana) dzieli go na dwie części równy trójkąt. Dlatego pole trójkąta zbudowanego na wektorach (czerwone cieniowanie) można znaleźć za pomocą wzoru:

4) Nie mniej ważny fakt jest to, że wektor jest ortogonalny do wektorów, to znaczy . Oczywiście wektor skierowany przeciwnie (malinowa strzałka) jest również ortogonalny do wektorów oryginalnych.

5) Wektor jest skierowany tak, że podstawa To ma Prawidłowy orientacja. Na lekcji o przejście na nową podstawę Mówiłem wystarczająco szczegółowo o orientacja płaska, a teraz dowiemy się, jaka jest orientacja przestrzenna. Wyjaśnię ci to na palcach prawa ręka . Mentalnie połącz palec wskazujący z wektorem i środkowy palec z wektorem. Palec serdeczny i mały palec wciśnij go w dłoń. W rezultacie kciuk – produkt wektorowy wyświetli się. Jest to podstawa zorientowana na prawo (jest to ta na rysunku). Teraz zmień wektory ( indeks i środkowe palce ) w niektórych miejscach, w wyniku czego kciuk się obróci, a produkt wektorowy będzie już patrzył w dół. Jest to również podstawa zorientowana na prawo. Możesz mieć pytanie: która podstawa opuściła orientację? „Przypisz” do tych samych palców lewa ręka wektory i uzyskaj lewą podstawę i lewą orientację przestrzeni (w tym przypadku kciuk będzie zlokalizowany w kierunku dolnego wektora). Mówiąc obrazowo, podstawy te „skręcają” lub orientują przestrzeń różne strony. I tej koncepcji nie należy uważać za coś naciąganego lub abstrakcyjnego - na przykład najzwyklejsze lustro zmienia orientację przestrzeni, a jeśli „wyciągniesz odbity przedmiot z lustra”, to w ogólnym przypadku będzie to nie będzie możliwości połączenia go z „oryginałem”. Przy okazji podnieś trzy palce do lustra i przeanalizuj odbicie ;-)

...jak dobrze, że teraz o tym wiesz zorientowane na prawo i lewo baz, bo wypowiedzi niektórych wykładowców o zmianie orientacji są przerażające =)

Iloczyn krzyżowy wektorów współliniowych

Definicja została omówiona szczegółowo, okaże się, co się stanie, gdy wektory będą współliniowe. Jeśli wektory są współliniowe, to można je ułożyć na jednej prostej i nasz równoległobok również „dodaje” się do jednej prostej. Obszar taki, jak mówią matematycy, zdegenerowany równoległobok jest równy zero. To samo wynika ze wzoru - sinus zera lub 180 stopni jest równy zeru, co oznacza, że ​​pole wynosi zero

Zatem jeśli , to . Ściśle mówiąc, sam iloczyn wektorowy jest równy wektorowi zerowemu, ale w praktyce często jest to zaniedbywane i pisze się, że jest po prostu równy zero.

Szczególny przypadek– iloczyn wektorowy wektora samego siebie:

Używając iloczynu krzyżowego, możesz sprawdzić kolinearność wektorów trójwymiarowych, oraz to zadanie między innymi będziemy również analizować.

Dla rozwiązań praktyczne przykłady może być wymagane tablica trygonometryczna znaleźć z niego wartości sinusów.

No to rozpalmy ogień:

Przykład 1

a) Znajdź długość iloczynu wektorów wektorów jeśli

b) Znajdź obszar równoległoboku zbudowanego na wektorach, jeśli

Rozwiązanie: Nie, to nie jest literówka, celowo ustaliłem, że początkowe dane w klauzulach są takie same. Ponieważ projekt rozwiązań będzie inny!

a) Zgodnie z warunkiem musisz znaleźć długość wektor (iloczyn krzyżowy). Zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

Ponieważ pytanie dotyczyło długości, w odpowiedzi podajemy wymiar - jednostki.

b) Zgodnie z warunkiem musisz znaleźć kwadrat równoległobok zbudowany na wektorach. Pole tego równoległoboku jest liczbowo równe długości iloczynu wektorowego:

Odpowiedź:

Należy pamiętać, że odpowiedź w ogóle nie mówi o produkcie wektorowym; obszar figury odpowiednio wymiar jest jednostkami kwadratowymi.

Zawsze sprawdzamy, CO musimy znaleźć w zależności od warunku, i na tej podstawie formułujemy jasne odpowiedź. Może się to wydawać dosłowne, ale jest wśród nich mnóstwo nauczycieli zajmujących się dosłownością, a zadanie ma dużą szansę na zwrot do powtórki. Chociaż nie jest to szczególnie naciągana sprzeczka - jeśli odpowiedź jest błędna, można odnieść wrażenie, że dana osoba nie rozumie proste rzeczy i/lub nie rozumiał istoty zadania. Ten punkt należy zawsze mieć pod kontrolą podczas rozwiązywania dowolnego problemu wyższa matematyka, a także w innych przedmiotach.

Gdzie podziała się wielka litera „en”? W zasadzie można było to dodatkowo podpiąć do rozwiązania, jednak w celu skrócenia wpisu tego nie zrobiłem. Mam nadzieję, że wszyscy to rozumieją i jest to oznaczenie tego samego.

Popularny przykład dla niezależna decyzja:

Przykład 2

Znajdź obszar trójkąta zbudowanego na wektorach jeśli

Wzór na znalezienie pola trójkąta poprzez iloczyn wektorowy podano w komentarzach do definicji. Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

W praktyce zadanie jest naprawdę bardzo powszechne; trójkąty mogą ogólnie cię dręczyć.

Aby rozwiązać inne problemy, będziemy potrzebować:

Własności iloczynu wektorowego wektorów

Rozważaliśmy już niektóre właściwości produktu wektorowego, jednak uwzględnię je na tej liście.

W przypadku dowolnych wektorów i dowolnych liczb następujące właściwości:

1) W innych źródłach informacji ta pozycja zwykle nie jest wyróżniona we właściwościach, ale jest bardzo ważna z praktycznego punktu widzenia. Niech tak zostanie.

2) – nieruchomość jest również omawiana powyżej, czasami jest nazywana antykomutacyjność. Innymi słowy, kolejność wektorów ma znaczenie.

3) – asocjacyjne lub asocjacyjny prawa dotyczące produktów wektorowych. Stałe można łatwo przenosić poza iloczyn wektorowy. Właściwie, co powinni tam robić?

4) – dystrybucja lub dystrybucyjny prawa dotyczące produktów wektorowych. Nie ma też problemów z otwieraniem zamków.

Aby to zademonstrować, spójrzmy na krótki przykład:

Przykład 3

Znajdź jeśli

Rozwiązanie: Warunek ponownie wymaga znalezienia długości iloczynu wektorowego. Pomalujmy naszą miniaturę:

(1) Zgodnie z prawami asocjacji stałe są poza zakresem iloczynu wektorowego.

(2) Przesuwamy stałą poza moduł, a moduł „zjada” znak minus. Długość nie może być ujemna.

(3) Reszta jest jasna.

Odpowiedź:

Czas dołożyć drewna do ognia:

Przykład 4

Oblicz pole trójkąta zbudowanego na wektorach, jeśli

Rozwiązanie: Znajdź obszar trójkąta za pomocą wzoru . Problem polega na tym, że wektory „tse” i „de” są same w sobie przedstawiane jako sumy wektorów. Algorytm tutaj jest standardowy i nieco przypomina przykłady nr 3 i 4 z lekcji Iloczyn skalarny wektorów. Dla przejrzystości rozwiązanie podzielimy na trzy etapy:

1) W pierwszym kroku wyrażamy iloczyn wektorowy poprzez iloczyn wektorowy, w rzeczywistości wyrażmy wektor za pomocą wektora. Nie ma jeszcze słowa na temat długości!

(1) Zastąp wyrażenia wektorami.

(2) Korzystając z praw rozdzielności, otwieramy nawiasy zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów.

(3) Używając praw asocjacji, przenosimy wszystkie stałe poza iloczyny wektorowe. Przy odrobinie doświadczenia kroki 2 i 3 można wykonać jednocześnie.

(4) Pierwszy i ostatni wyraz są równe zeru (wektor zerowy) ze względu na własność nice. W drugim członie korzystamy z własności antyprzemienności iloczynu wektorowego:

(5) Przedstawiamy podobne terminy.

W rezultacie wektor okazał się wyrażony poprzez wektor, co należało osiągnąć:

2) W drugim kroku znajdujemy potrzebną długość iloczynu wektorowego. Ta akcja jest podobna do przykładu 3:

3) Znajdź obszar wymaganego trójkąta:

Etapy 2-3 rozwiązania można było zapisać w jednym wierszu.

Odpowiedź:

Rozważany problem jest dość powszechny w testy, oto przykład niezależnego rozwiązania:

Przykład 5

Znajdź jeśli

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Zobaczmy, jak uważny byłeś, studiując poprzednie przykłady ;-)

Iloczyn krzyżowy wektorów we współrzędnych

, określone w bazie ortonormalnej, wyrażone wzorem:

Wzór jest naprawdę prosty: w górnym wierszu wyznacznika zapisujemy wektory współrzędnych, w drugim i trzecim wierszu „ustawiamy” współrzędne wektorów i umieszczamy w ścisłym porządku– najpierw współrzędne wektora „ve”, następnie współrzędne wektora „podwójnego ve”. Jeśli zachodzi potrzeba pomnożenia wektorów w innej kolejności, należy zamienić wiersze:

Przykład 10

Sprawdź, czy następujące wektory przestrzenne są współliniowe:
A)
B)

Rozwiązanie: Sprawdzenie opiera się na jednym ze stwierdzeń z tej lekcji: jeśli wektory są współliniowe, to ich iloczyn wektorowy jest równy zeru (wektor zerowy): .

a) Znajdź iloczyn wektorowy:

Zatem wektory nie są współliniowe.

b) Znajdź iloczyn wektorowy:

Odpowiedź: a) nie współliniowy, b)

Być może tutaj znajdują się wszystkie podstawowe informacje na temat iloczynu wektorów wektorów.

Ta sekcja nie będzie zbyt obszerna, ponieważ istnieje niewiele problemów, gdy używany jest mieszany iloczyn wektorów. Tak naprawdę wszystko będzie zależeć od definicji, znaczenie geometryczne i kilka działających formuł.

Mieszany kawałek wektory to produkt trzy wektory :

Ustawili się zatem w kolejce jak pociąg i nie mogą się doczekać, aż zostaną zidentyfikowani.

Na początek jeszcze raz definicja i obraz:

Definicja: Praca mieszana niewspółpłaszczyznowe wektory, podjęte w tej kolejności, zwany objętość równoległościenna, zbudowane na tych wektorach, oznaczone znakiem „+”, jeśli podstawa jest prawidłowa, oraz znakiem „–”, jeśli podstawa jest pozostawiona.

Zróbmy rysunek. Linie niewidoczne dla nas rysujemy liniami przerywanymi:

Przejdźmy do definicji:

2) Pobierane są wektory w określonej kolejności, czyli przegrupowanie wektorów w iloczynie, jak można się domyślić, nie następuje bez konsekwencji.

3) Zanim skomentuję znaczenie geometryczne, zwrócę uwagę na oczywisty fakt: mieszany iloczyn wektorów to LICZBA: . W literaturze edukacyjnej projekt może być nieco inny; jestem przyzwyczajony do oznaczania produktu mieszanego przez , a wynik obliczeń literą „pe”.

A-przeorat produkt mieszany to objętość równoległościanu, zbudowane na wektorach (rysunek jest rysowany za pomocą czerwonych wektorów i czarnych linii). Oznacza to, że liczba jest równa objętości danego równoległościanu.

Notatka : Rysunek ma charakter schematyczny.

4) Nie martwmy się już o koncepcję orientacji podstawy i przestrzeni. Znaczenie ostatniej części jest takie, że do objętości można dodać znak minus. W prostych słowach, zmieszany produkt może być ujemny: .

Bezpośrednio z definicji wynika wzór na obliczenie objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach.

Iloczyn mieszany (lub wektorowo-skalarny). trzy wektory a, b, c (wzięte we wskazanej kolejności) nazywane są iloczynem skalarnym wektora a i iloczynem wektorowym b x c, czyli liczbą a(b x c) lub, co jest tym samym, (b x c)a.
Oznaczenie: abc.

Zamiar. Kalkulator online przeznaczony jest do obliczania iloczynu mieszanego wektorów. Powstałe rozwiązanie jest zapisywane w pliku Word. Dodatkowo tworzony jest szablon rozwiązania w programie Excel.

A ( ; ; )
B( ; ; )
C ( ; ; )
Przy obliczaniu wyznacznika należy skorzystać z reguły trójkąta

Znaki współpłaszczyznowości wektorów

Trzy wektory (lub większą liczbę) nazywane są współpłaszczyznowymi, jeśli po sprowadzeniu ich do wspólnego początku leżą w tej samej płaszczyźnie.
Jeśli co najmniej jeden z trzech wektorów ma wartość zero, wówczas te trzy wektory są również uważane za współpłaszczyznowe.

Znak współpłaszczyznowości. Jeżeli system a, b, c jest prawoskrętny, to abc>0 ; jeśli pozostało, to abc Geometryczne znaczenie produktu mieszanego. Iloczyn mieszany abc trzech niewspółpłaszczyznowych wektorów a, b, c jest równy objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach a, b, c, wziętego ze znakiem plus, jeśli układ a, b, c jest prawoskrętny i ze znakiem minus, jeśli ten system jest leworęczny.

Właściwości produktu mieszanego

1. Gdy czynniki zostaną przestawione okrężnie, iloczyn zmieszany nie ulegnie zmianie; gdy przestawione zostaną dwa czynniki, znak zostanie odwrócony: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Wynika to ze znaczenia geometrycznego.
2. (a+b)cd=acd+bcd (właściwość rozdzielcza). Rozciąga się na dowolną liczbę terminów.
   Wynika z definicji produktu mieszanego.
3. (ma)bc=m(abc) (właściwość kombinacyjna w odniesieniu do współczynnika skalarnego).
   Wynika z definicji produktu mieszanego. Właściwości te umożliwiają stosowanie przekształceń do iloczynów mieszanych, które różnią się od zwykłych algebraicznych jedynie tym, że można zmienić kolejność czynników jedynie biorąc pod uwagę znak iloczynu.
4. Iloczyn mieszany, który ma co najmniej dwa równe dzielniki, jest równy zero: aab=0.

Przykład nr 1. Znajdź produkt mieszany. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Przykład nr 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca. Wszystkie wyrazy z wyjątkiem dwóch skrajnych są równe zeru. Również bca=abc . Zatem (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Przykład nr 3. Oblicz iloczyn mieszany trzech wektorów a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Rozwiązanie. Aby obliczyć iloczyn mieszany wektorów, należy znaleźć wyznacznik układu złożonego ze współrzędnych wektorowych. Zapiszmy układ w postaci.

Ten kalkulator online oblicza iloczyn mieszany wektorów. Dany szczegółowe rozwiązanie. Aby obliczyć iloczyn mieszany wektorów, wybierz sposób przedstawiania wektorów (przez współrzędne lub dwa punkty), wprowadź dane do komórek i kliknij przycisk „Oblicz”.

×

Ostrzeżenie

Wyczyścić wszystkie komórki?

Zamknij Wyczyść

Instrukcje wprowadzania danych. Liczby wprowadza się jako liczby całkowite (przykłady: 487, 5, -7623 itd.), ułamki dziesiętne (np. 67., 102,54 itd.) lub ułamki zwykłe. Ułamek należy wpisać w formie a/b, gdzie a i b (b>0) są liczbami całkowitymi lub liczby dziesiętne. Przykłady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

Mieszany iloczyn wektorów (teoria)

Mieszany kawałek trzy wektory to liczba otrzymywana przez iloczyn skalarny wyniku iloczynu wektorowego pierwszych dwóch wektorów i trzeciego wektora. Innymi słowy, jeśli podane są trzy wektory a, b I C, następnie aby otrzymać iloczyn mieszany tych wektorów, najpierw mnoży się pierwsze dwa wektory i otrzymany wektor [ ok] jest skalarnie mnożona przez wektor C.

Iloczyn mieszany trzech wektorów a, b I C oznaczone w następujący sposób: ABC lub tak ( ABC). Wtedy możemy napisać:

ABC=([ok],C)

Przed sformułowaniem twierdzenia reprezentującego geometryczne znaczenie iloczynu mieszanego zapoznaj się z pojęciami prawy potrójny, lewy potrójny, prawy układ współrzędnych, lewy układ współrzędnych (definicje 2, 2" i 3 na stronie iloczynu wektorów wektorów w Internecie).

Dla pewności w dalszej części rozważymy tylko prawoskrętne układy współrzędnych.

Twierdzenie 1. Mieszany iloczyn wektorów ([ok],C) jest równa objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach sprowadzonych do wspólnego początku a, b, c, brane ze znakiem plus, jeśli trzy a, b, c po prawej stronie i ze znakiem minus, jeśli trzy a, b, c lewy Jeśli wektory a, b, c są współpłaszczyznowe, wówczas ([ ok],C) jest równe zeru.

Wniosek 1. Zachodzi równość:

Dlatego wystarczy, że to udowodnimy

([ok],C)=([pne],A)

(3)

Z wyrażenia (3) jasno wynika, że ​​lewa i prawa część są równe objętości równoległoboku. Ale znaki prawej i lewej strony pokrywają się, ponieważ trójki wektorów ABC I BC mają tę samą orientację.

Sprawdzona równość (1) pozwala nam zapisać iloczyn mieszany trzech wektorów a, b, c właśnie w formie ABC, bez określenia, które dwa wektory są mnożone wektorowo przez pierwsze dwa, czy przez dwa ostatnie.

Wniosek 2. Warunkiem koniecznym i wystarczającym współpłaszczyznowości trzech wektorów jest to, że ich iloczyn mieszany jest równy zero.

Dowód wynika z Twierdzenia 1. Rzeczywiście, jeśli wektory są współpłaszczyznowe, to iloczyn mieszany tych wektorów jest równy zero. I odwrotnie, jeśli iloczyn mieszany jest równy zero, to współpłaszczyznowość tych wektorów wynika z Twierdzenia 1 (ponieważ objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach zredukowanych do wspólnego początku jest równa zero).

Wniosek 3. Iloczyn mieszany trzech wektorów, z których dwa pokrywają się, jest równy zero.

Naprawdę. Jeśli dwa z trzech wektorów pokrywają się, to są współpłaszczyznowe. Dlatego iloczyn mieszany tych wektorów jest równy zero.

Iloczyn mieszany wektorów we współrzędnych kartezjańskich

Twierdzenie 2. Niech trzy wektory a, b I C określone przez ich prostokątne współrzędne kartezjańskie

Dowód. Mieszany kawałek ABC równy iloczynowi skalarnemu wektorów [ ok] I C. Iloczyn krzyżowy wektorów [ ok] we współrzędnych kartezjańskich oblicza się ze wzoru ():

Ostatnie wyrażenie można zapisać za pomocą wyznaczników drugiego rzędu:

konieczne i wystarczające jest, aby wyznacznik był równy zero, którego wiersze są wypełnione współrzędnymi tych wektorów, tj.:

.

(7)

Aby udowodnić wniosek, wystarczy rozważyć wzór (4) i wniosek 2.

Mieszany iloczyn wektorów z przykładami

Przykład 1. Znajdź mieszany iloczyn wektorów abs, Gdzie

Mieszany iloczyn wektorów a, b, c równy wyznacznikowi macierzy L. Obliczmy wyznacznik macierzy L, rozwijając wyznacznik wzdłuż linii 1:

Punkt końcowy wektora A.