تصمیم شماره 34 و 2. چگونه کوچکترین مضرب مشترک دو عدد را پیدا کنیم؟

بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کمترین مضرب مشترک مفاهیم کلیدی حسابی هستند که به شما امکان می دهند بدون زحمت کار کنید. کسرهای معمولی. LCM و اغلب برای یافتن مخرج مشترک چند کسر استفاده می شود.

مفاهیم اساسی

مقسوم علیه یک عدد صحیح X عدد صحیح دیگری است که X بدون باقی مانده بر آن بخش پذیر است. به عنوان مثال، مقسوم علیه 4 برابر 2 است و 36 برابر با 4، 6، 9 است. مضرب عدد صحیح X عددی است Y که بدون باقیمانده بر X بخش پذیر است. مثلاً 3 مضرب 15 و 6 مضرب 12 است.

برای هر جفت اعداد، می توانیم مقسوم علیه و مضرب مشترک آنها را پیدا کنیم. به عنوان مثال، برای 6 و 9، مضرب مشترک 18 و مقسوم علیه مشترک 3 است. بدیهی است که جفت ها می توانند چندین مقسوم علیه و مضرب داشته باشند، بنابراین از بزرگترین مقسوم علیه GCD و کوچکترین مضرب LCM در محاسبات استفاده می شود. .

کوچکترین مقسوم علیه معنی ندارد، زیرا برای هر عددی همیشه یک است. بزرگ‌ترین مضرب نیز بی‌معنی است، زیرا دنباله مضرب‌ها به سمت بی‌نهایت میل می‌کند.

پیدا کردن GCD

روش های زیادی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک وجود دارد که معروف ترین آنها عبارتند از:

• شمارش متوالی مقسوم علیه ها، انتخاب موارد مشترک برای یک جفت و جستجوی بزرگترین آنها.
• تجزیه اعداد به عوامل غیر قابل تقسیم.
• الگوریتم اقلیدس؛
• الگوریتم باینری

امروز در موسسات آموزشیمحبوب ترین روش ها تجزیه به عوامل اصلیو الگوریتم اقلیدس دومی به نوبه خود در حل معادلات دیوفانتین استفاده می شود: جستجوی GCD برای بررسی معادله برای امکان حل آن در اعداد صحیح مورد نیاز است.

پیدا کردن NOC

کمترین مضرب مشترک نیز دقیقاً با شمارش تکراری یا فاکتورگیری به عوامل غیرقابل تقسیم تعیین می شود. علاوه بر این، اگر بزرگترین مقسوم علیه قبلاً تعیین شده باشد، یافتن LCM آسان است. برای اعداد X و Y، LCM و GCD با رابطه زیر مرتبط هستند:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

برای مثال، اگر gcd(15,18) = 3، آنگاه LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. واضح ترین کاربرد LCM یافتن مخرج مشترک است که کمترین مضرب مشترک است. کسرهای داده شده

اعداد همزمان اول

اگر یک جفت از اعداد مقسوم علیه مشترک نداشته باشد، به چنین جفتی کوپرایم می گویند. GCM برای چنین جفت هایی همیشه برابر با یک است و بر اساس اتصال مقسوم علیه ها و مضرب ها، GCM برای coprime برابر با حاصلضرب آنها است. به عنوان مثال، اعداد 25 و 28 همزمان هستند، زیرا آنها مقسوم علیه مشترک ندارند و LCM(25, 28) = 700 که با حاصلضرب آنها مطابقت دارد. هر دو عدد غیر قابل تقسیم همیشه هم اول خواهند بود.

مقسوم علیه مشترک و ماشین حساب چندگانه

با ماشین حساب ما می توانید GCD و LCM را برای هر تعداد عددی که می توانید انتخاب کنید محاسبه کنید. وظایف محاسبه مقسوم علیه ها و مضرب های مشترک در محاسبات کلاس های 5 و 6 یافت می شود، با این حال، GCD و LCM مفاهیم کلیدی ریاضیات هستند و در تئوری اعداد، پلان سنجی و جبر ارتباطی استفاده می شوند.

نمونه های زندگی واقعی

مخرج مشترک کسرها

کمترین مضرب مشترک برای یافتن مخرج مشترک چند کسر استفاده می شود. فرض کنید در یک مسئله حسابی لازم است 5 کسر جمع شود:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

برای افزودن کسرها، عبارت باید به کاهش یابد مخرج مشترک، که مشکل پیدا کردن LCM را کاهش می دهد. برای انجام این کار، 5 عدد را در ماشین حساب انتخاب کنید و مقادیر مخرج را در سلول های مربوطه وارد کنید. این برنامه LCM (8، 9، 12، 15، 18) = 360 را محاسبه می کند. اکنون باید عوامل اضافی را برای هر کسری محاسبه کنید، که به عنوان نسبت LCM به مخرج تعریف می شود. بنابراین ضریب های اضافی به نظر می رسد:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

پس از آن، همه کسرها را در ضریب اضافی مربوطه ضرب می کنیم و به دست می آوریم:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

ما به راحتی می توانیم چنین کسرهایی را جمع کنیم و نتیجه را به صورت 159/360 بدست آوریم. کسر را 3 کاهش می دهیم و پاسخ نهایی را می بینیم - 53/120.

حل معادلات دیوفانتین خطی

معادلات دیوفانتین خطی عبارت هایی به شکل ax + by = d هستند. اگر نسبت d / gcd(a, b) یک عدد صحیح باشد، معادله در اعداد صحیح قابل حل است. بیایید چند معادله را برای امکان حل عدد صحیح بررسی کنیم. ابتدا معادله 150x + 8y = 37 را بررسی کنید. با استفاده از ماشین حساب، gcd (150.8) = 2 را پیدا می کنیم. 37/2 = 18.5 را تقسیم کنید. عدد یک عدد صحیح نیست، بنابراین، معادله دارای ریشه صحیح نیست.

بیایید معادله 1320x + 1760y = 10120 را بررسی کنیم. از یک ماشین حساب برای پیدا کردن gcd(1320، 1760) = 440 استفاده کنید. .

نتیجه

GCD و LCM نقش بزرگی در تئوری اعداد بازی می‌کنند و خود این مفاهیم بیشتر مورد استفاده قرار می‌گیرند مناطق مختلفریاضیات از ماشین حساب ما برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه و کوچکترین مضرب هر تعداد اعداد استفاده کنید.

اما بسیاری از اعداد طبیعی به طور مساوی بر سایر اعداد طبیعی بخش پذیرند.

مثلا:

عدد 12 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12 بخش پذیر است.

عدد 36 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12، بر 18، بر 36 بخش پذیر است.

اعدادی که عدد بر آنها بخش پذیر است (برای 12 عدد 1، 2، 3، 4، 6 و 12 است) نامیده می شوند. مقسوم علیه اعداد. مقسوم علیه یک عدد طبیعی آعدد طبیعی است که عدد داده شده را تقسیم می کند آبدون هیچ ردی. عدد طبیعی که بیش از دو عامل داشته باشد نامیده می شود کامپوزیت .

توجه داشته باشید که اعداد 12 و 36 مقسوم علیه مشترک دارند. این اعداد هستند: 1، 2، 3، 4، 6، 12. بزرگترین مقسوم علیه این اعداد 12 است. مقسوم علیه مشترک این دو عدد آو بعددی است که هر دو عدد داده شده بدون باقی مانده بر آن بخش پذیرند آو ب.

مضرب مشترکچند عدد به عددی گفته می شود که بر هر یک از این اعداد بخش پذیر باشد. مثلا، اعداد 9، 18 و 45 مضرب مشترک 180 دارند. اما 90 و 360 نیز مضرب مشترک آنها هستند. در بین همه مضربهای jcommon، همیشه کوچکترین، in وجود دارد این مورداین عدد 90 است کمترینمضرب مشترک (LCM).

LCM همیشه یک عدد طبیعی است که باید از بزرگترین اعدادی که برای آن تعریف شده است بزرگتر باشد.

حداقل مضرب مشترک (LCM). خواص.

جابجایی:

انجمنی بودن:

به طور خاص، اگر و اعداد هم اول باشند، پس:

حداقل مضرب مشترک دو عدد صحیح مترو nمقسوم علیه سایر مضرب های مشترک است مترو n. علاوه بر این، مجموعه ای از مضرب های مشترک m,nمنطبق با مجموعه مضرب برای LCM( m,n).

مجانبی برای را می توان در قالب برخی از توابع نظری اعداد بیان کرد.

بنابراین، عملکرد چبیشف. همچنین:

این از تعریف و ویژگی های تابع لاندو به دست می آید g(n).

آنچه از قانون توزیع اعداد اول به دست می آید.

یافتن حداقل مضرب مشترک (LCM).

NOC( الف، ب) به چند روش قابل محاسبه است:

1. اگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک شناخته شده است، می توانید از رابطه آن با LCM استفاده کنید:

2. اجازه دهید تجزیه متعارف هر دو عدد به عوامل اول مشخص شود:

جایی که p 1,...,p k- مختلف اعداد اول، آ d 1,...,dkو e 1,...,ekاعداد صحیح غیر منفی هستند (اگر عدد اول مربوطه در تجزیه نباشد، می توانند صفر باشند).

سپس LCM ( آ,ب) با فرمول محاسبه می شود:

به عبارت دیگر، بسط LCM شامل تمام عوامل اولی است که حداقل در یکی از بسط های اعداد گنجانده شده است. الف، ب، و بزرگترین از دو شاخص این عامل گرفته شده است.

مثال:

محاسبه کمترین مضرب مشترک چند عدد را می توان به چندین محاسبه متوالی LCM دو عدد تقلیل داد:

قانون.برای پیدا کردن LCM یک سری اعداد، شما نیاز دارید:

- اعداد را به عوامل اول تجزیه کنید.

- انتقال بزرگترین انبساط به عوامل محصول مورد نظر ( حاصلضرب عوامل تعداد زیادیاز اعداد داده شده) و سپس عواملی را از تجزیه اعداد دیگری که در عدد اول رخ نمی دهند یا تعداد دفعات کمتری در آن وجود دارند اضافه کنید.

- حاصل ضرب ضرایب اول LCM اعداد داده شده خواهد بود.

هر دو یا بیشتر اعداد طبیعی NOC خود را دارند. اگر اعداد مضرب یکدیگر نباشند یا عوامل یکسانی در بسط نداشته باشند، LCM آنها برابر است با حاصلضرب این اعداد.

فاکتورهای اول عدد 28 (2، 2، 7) با ضریب 3 (عدد 21) تکمیل شد، حاصل ضرب (84) خواهد بود. کوچکترین عددکه بر 21 و 28 بخش پذیر است.

فاکتورهای اول بزرگترین عدد 30 با ضریب 5 از عدد 25 تکمیل شد، حاصل ضرب 150 بزرگتر از بزرگترین عدد 30 است و بر همه اعداد داده شده بدون باقیمانده بخش پذیر است. این کوچکترین حاصل ضرب ممکن (150، 250، 300...) است که همه اعداد داده شده مضرب آن هستند.

اعداد 2،3،11،37 اول هستند، بنابراین LCM آنها برابر است با حاصلضرب اعداد داده شده.

قانون. برای محاسبه LCM اعداد اول، باید همه این اعداد را در هم ضرب کنید.

گزینه ای دیگر:

برای یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM) از چندین عدد به موارد زیر نیاز دارید:

1) هر عدد را به عنوان حاصلضرب عوامل اول آن نشان دهید، به عنوان مثال:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7،

2) توان همه عوامل اول را بنویسید:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) تمام مقسوم علیه های اول (ضرب) هر یک از این اعداد را بنویسید.

4) بزرگترین درجه هر یک از آنها را که در همه بسط های این اعداد یافت می شود انتخاب کنید.

5) این قدرت ها را چند برابر کنید.

مثال. LCM اعداد: 168، 180 و 3024 را بیابید.

تصمیم گیری. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

ما بزرگترین قدرت های همه مقسوم علیه های اول را می نویسیم و آنها را ضرب می کنیم:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

مضرب یک عدد عددی است که بر یک عدد معین بدون باقی مانده بخش پذیر است. کمترین مضرب مشترک (LCM) یک گروه از اعداد کوچکترین عددی است که به طور مساوی بر هر عدد در گروه بخش پذیر باشد. برای یافتن کمترین مضرب مشترک، باید ضرایب اول اعداد داده شده را پیدا کنید. همچنین، LCM را می توان با استفاده از تعدادی روش دیگر که برای گروه های دو یا چند عددی قابل استفاده است، محاسبه کرد.

مراحل

یک سری مضرب

به این اعداد نگاه کنید.روشی که در اینجا توضیح داده شده زمانی بهترین استفاده است که به دو عدد داده شود که هر دو کمتر از 10 هستند. اگر اعداد بزرگ داده شده است، از روش دیگری استفاده کنید.

• به عنوان مثال، حداقل مضرب مشترک اعداد 5 و 8 را پیدا کنید. این اعداد کوچک هستند، بنابراین می توان از این روش استفاده کرد.

1. مضرب یک عدد عددی است که بر یک عدد معین بدون باقی مانده بخش پذیر است. اعداد چندگانه را می توان در جدول ضرب پیدا کرد.

   • برای مثال اعدادی که مضرب 5 هستند عبارتند از: 5، 10، 15، 20، 25، 30، 35، 40.

2. یک سری اعداد را که مضربی از عدد اول هستند بنویسید.این کار را زیر مضربی از عدد اول انجام دهید تا دو ردیف اعداد را با هم مقایسه کنید.

   • به عنوان مثال، اعدادی که مضرب 8 هستند عبارتند از: 8، 16، 24، 32، 40، 48، 56 و 64.

3. کوچکترین عددی را که در هر دو سری مضرب ظاهر می شود پیدا کنید.ممکن است مجبور شوید سری های طولانی چندگانه بنویسید تا پیدا کنید تعداد کل. کوچکترین عددی که در هر دو سری مضرب ظاهر می شود کمترین مضرب مشترک است.

   • برای مثال کوچکترین عددی که در سری مضرب های 5 و 8 ظاهر می شود 40 است بنابراین 40 کمترین مضرب مشترک 5 و 8 است.

   فاکتورسازی اولیه

   1. به این اعداد نگاه کنید.روشی که در اینجا توضیح داده می شود زمانی بهتر است که به دو عدد داده شود که هر دو بزرگتر از 10 هستند. اگر اعداد کوچکتر داده شده اند، از روش دیگری استفاده کنید.

      • برای مثال کوچکترین مضرب مشترک اعداد 20 و 84 را پیدا کنید. هر کدام از اعداد بزرگتر از 10 هستند، بنابراین می توان از این روش استفاده کرد.

   2. عدد اول را فاکتورسازی کنید.یعنی باید چنین اعداد اولی را پیدا کنید، وقتی ضرب می شوند، یک عدد معین به دست می آورید. با یافتن عوامل اصلی، آنها را به عنوان یک برابر یادداشت کنید.

      • مثلا، 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2))\زمان 10=20)و 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). بنابراین، عوامل اول عدد 20، اعداد 2، 2 و 5 هستند. آنها را به عنوان یک عبارت بنویسید: .

   3. عدد دوم را به فاکتورهای اول تبدیل کنید.این کار را به همان ترتیبی که عدد اول را فاکتور گرفتید انجام دهید، یعنی اعداد اولی را پیدا کنید که با ضرب، این عدد بدست آید.

      • مثلا، 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2))\زمان 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7))\زمان 6=42)و 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). بنابراین، ضرایب اول عدد 84 اعداد 2، 7، 3 و 2 هستند. آنها را به صورت یک عبارت بنویسید: .

   4. عوامل مشترک هر دو عدد را بنویسید.این عوامل را به عنوان عملیات ضرب بنویسید. همانطور که هر عامل را یادداشت می کنید، آن را در هر دو عبارت (عباراتی که تجزیه اعداد به عوامل اول را توصیف می کنند) خط بزنید.

      • به عنوان مثال، ضریب مشترک برای هر دو عدد 2 است، بنابراین بنویسید 2 × (\displaystyle 2\ بار)و 2 را در هر دو عبارت خط بزنید.
      • ضریب مشترک برای هر دو عدد ضریب دیگری از 2 است، بنابراین بنویسید 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)و 2 دوم را در هر دو عبارت خط بزنید.

   5. عوامل باقیمانده را به عملیات ضرب اضافه کنید.اینها عواملی هستند که در هر دو عبارت خط زده نمی شوند، یعنی عواملی که در هر دو عدد مشترک نیستند.

      • مثلاً در بیان 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)هر دو دو (2) خط خورده اند زیرا آنها عوامل مشترک هستند. ضریب 5 خط خورده نیست، بنابراین عملیات ضرب را به صورت زیر بنویسید: 2 × 2 × 5 (\splaystyle 2\times 2\times 5)
      • در بیان 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)هر دو دس (2) نیز خط خورده اند. فاکتورهای 7 و 3 خط خورده نیستند، بنابراین عملیات ضرب را به صورت زیر بنویسید: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ نمایش سبک 2 \ بار 2 \ بار 5 \ بار 7 \ بار 3).

   6. حداقل مضرب مشترک را محاسبه کنید.برای این کار اعداد را در عملیات ضرب نوشتاری ضرب کنید.

      • مثلا، 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). پس کمترین مضرب مشترک 20 و 84 420 است.

   یافتن مقسوم علیه های مشترک

   1. یک شبکه مانند یک بازی تیک تاک بکشید.چنین شبکه ای از دو خط موازی تشکیل شده است که (در زاویه قائمه) با دو خط موازی دیگر تلاقی می کنند. این باعث ایجاد سه ردیف و سه ستون می شود (شبکه بسیار شبیه علامت # است). عدد اول را در سطر اول و ستون دوم بنویسید. عدد دوم را در سطر اول و ستون سوم بنویسید.

      • برای مثال حداقل مضرب مشترک 18 و 30 را پیدا کنید. در سطر اول و ستون دوم عدد 18 و در سطر اول و ستون سوم عدد 30 را بنویسید.

   2. مقسوم علیه مشترک هر دو عدد را پیدا کنید.آن را در سطر اول و ستون اول یادداشت کنید. بهتر است به دنبال مقسوم‌کننده‌های اول باشید، اما این پیش‌نیاز نیست.

      • به عنوان مثال، 18 و 30 اعداد زوج هستند، بنابراین مقسوم علیه مشترک آنها 2 است. بنابراین در سطر اول و ستون اول 2 بنویسید.

   3. هر عدد را بر تقسیم کننده اول تقسیم کنید.هر ضریب را زیر عدد مربوطه بنویسید. ضریب حاصل از تقسیم دو عدد است.

      • مثلا، 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9)پس عدد 9 را زیر 18 بنویسید.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15)پس عدد 15 را زیر 30 بنویسید.

   4. یک مقسوم علیه مشترک برای هر دو ضریب پیدا کنید.اگر چنین مقسوم‌کننده‌ای وجود نداشت، از دو مرحله بعدی صرفنظر کنید. در غیر این صورت در سطر دوم و ستون اول تقسیم کننده را یادداشت کنید.

      • به عنوان مثال 9 و 15 بر 3 بخش پذیرند پس در سطر دوم و ستون اول عدد 3 را بنویسید.

   5. هر ضریب را بر تقسیم کننده دوم تقسیم کنید.نتیجه هر تقسیم را زیر ضریب مربوطه بنویسید.

      • مثلا، 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3)پس 3 زیر 9 بنویسید.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5)پس 5 را زیر 15 بنویسید.

   6. در صورت لزوم، شبکه را با سلول های اضافی تکمیل کنید.مراحل بالا را آنقدر تکرار کنید تا ضرایب یک مقسوم علیه مشترک داشته باشند.

   7. دور اعداد ستون اول و سطر آخر شبکه خط بکشید.سپس اعداد برجسته شده را به صورت عملیات ضرب بنویسید.

      • به عنوان مثال اعداد 2 و 3 در ستون اول و اعداد 3 و 5 در ردیف آخر قرار دارند، بنابراین عمل ضرب را به این صورت بنویسید: 2 × 3 × 3 × 5 (\splaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. حاصل ضرب اعداد را بیابید.این حداقل مضرب مشترک دو عدد داده شده را محاسبه می کند.

      • مثلا، 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). بنابراین کمترین مضرب مشترک 18 و 30 90 است.

   الگوریتم اقلیدس

   1. اصطلاحات مرتبط با عملیات تقسیم را به خاطر بسپارید.سود سهام عددی است که تقسیم می شود. مقسوم علیه عددی است که بر آن تقسیم می شود. ضریب حاصل از تقسیم دو عدد است. باقی مانده عددی است که هنگام تقسیم دو عدد باقی می ماند.

      • مثلاً در بیان 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)باقی مانده. 3:
        15 بخش پذیر است
        6 مقسوم علیه است
        2 خصوصی است
        3 باقی مانده است.

مواد زیر است ادامه منطقینظریه های مقاله با عنوان LCM - حداقل چندگانه مشترک، تعریف، مثال ها، رابطه بین LCM و GCM. در اینجا ما در مورد صحبت خواهیم کرد یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM)، و توجه ویژهبیایید نگاهی به نمونه ها بیاندازیم. اجازه دهید ابتدا نشان دهیم که چگونه LCM دو عدد بر حسب GCD این اعداد محاسبه می شود. در مرحله بعد، یافتن کمترین مضرب مشترک را با فاکتورگیری اعداد در ضرایب اول در نظر بگیرید. پس از آن، ما بر روی یافتن LCM سه و تمرکز خواهیم کرد بیشتراعداد و همچنین به محاسبه LCM اعداد منفی توجه کنید.

پیمایش صفحه.

محاسبه کمترین مضرب مشترک (LCM) از طریق gcd

یکی از راه های یافتن کمترین مضرب مشترک بر اساس رابطه بین LCM و GCD است. رابطه موجود بین LCM و GCD به شما امکان می دهد حداقل مضرب مشترک دو عدد صحیح مثبت را از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک شناخته شده محاسبه کنید. فرمول مربوطه دارای فرم است LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . نمونه هایی از یافتن LCM را طبق فرمول بالا در نظر بگیرید.

مثال.

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد 126 و 70 را پیدا کنید.

تصمیم گیری

در این مثال a=126، b=70. اجازه دهید از رابطه بین LCM و GCD که با فرمول بیان شده است استفاده کنیم LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). یعنی ابتدا باید بزرگترین مقسوم علیه اعداد 70 و 126 را پیدا کنیم و بعد از آن می توانیم LCM این اعداد را طبق فرمول نوشته شده محاسبه کنیم.

gcd(126, 70) را با استفاده از الگوریتم اقلیدس پیدا کنید: 126=70 1+56، 70=56 1+14، 56=14 4، از این رو gcd(126، 70)=14.

اکنون حداقل مضرب مشترک مورد نیاز را پیدا می کنیم: LCM(126، 70)=126 70: GCM(126، 70)= 126 70:14=630 .

پاسخ:

LCM(126، 70)=630.

مثال.

LCM(68, 34) چیست؟

تصمیم گیری

مانند 68 به طور مساوی بر 34 بخش پذیر است، سپس gcd(68, 34)=34. اکنون کمترین مضرب مشترک را محاسبه می کنیم: LCM(68، 34)=68 34: LCM(68، 34)= 68 34:34=68.

پاسخ:

LCM(68, 34)=68.

توجه داشته باشید که مثال قبلی با قانون زیر برای یافتن LCM برای اعداد صحیح مثبت a و b مطابقت دارد: اگر عدد a بر b بخش پذیر باشد، کمترین مضرب مشترک این اعداد a است.

یافتن LCM با فاکتورسازی اعداد به فاکتورهای اولیه

راه دیگر برای یافتن کمترین مضرب مشترک بر اساس فاکتورگیری اعداد به ضرایب اول است. اگر از تمام ضرایب اول این اعداد حاصل ضربی بسازیم و پس از آن همه ضرایب اول مشترکی را که در بسط این اعداد وجود دارند از این حاصلضرب حذف کنیم، حاصل ضرب حاصل برابر با کمترین مضرب مشترک این اعداد خواهد بود.

قانون اعلام شده برای یافتن LCM از برابری ناشی می شود LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). در واقع، حاصل ضرب اعداد a و b برابر است با حاصلضرب همه عوامل دخیل در بسط اعداد a و b. به نوبه خود، gcd(a, b) برابر است با حاصلضرب همه عوامل اولی که به طور همزمان در بسط اعداد a و b وجود دارند (که در بخش یافتن gcd با استفاده از تجزیه اعداد به ضرایب اول توضیح داده شده است. ).

بیایید یک مثال بزنیم. بگذارید بدانیم که 75=3 5 5 و 210=2 3 5 7 . حاصل ضرب همه عوامل این بسط ها را بنویسید: 2 3 3 5 5 5 7 . حال تمام عواملی را که هم در بسط عدد 75 و هم در بسط عدد 210 وجود دارد را از این محصول حذف می کنیم (این گونه عوامل 3 و 5 هستند)، سپس حاصلضرب به شکل 2 3 5 5 7 خواهد بود. مقدار این حاصلضرب برابر است با کمترین مضرب مشترک اعداد 75 و 210 یعنی LCM(75، 210)= 2 3 5 5 7 = 1 050.

مثال.

بعد از اینکه اعداد 441 و 700 را در ضرایب اول قرار دادید، کمترین مضرب مشترک این اعداد را پیدا کنید.

تصمیم گیری

بیایید اعداد 441 و 700 را به عوامل اول تجزیه کنیم:

441=3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7 بدست می آوریم.

حال بیایید از همه عوامل دخیل در بسط این اعداد حاصل ضرب کنیم: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . اجازه دهید همه عواملی را که به طور همزمان در هر دو بسط وجود دارند از این محصول حذف کنیم (فقط یک عامل وجود دارد - این عدد 7 است): 2 2 3 3 5 5 7 7 . بدین ترتیب، LCM(441، 700)=2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

پاسخ:

LCM(441، 700)= 44 100 .

قانون برای یافتن LCM با استفاده از تجزیه اعداد به عوامل اول را می توان کمی متفاوت فرموله کرد. اگر عوامل گمشده از بسط عدد b را به عوامل حاصل از تجزیه عدد a اضافه کنیم، مقدار حاصلضرب برابر با کمترین مضرب مشترک اعداد a و b خواهد بود..

به عنوان مثال، بیایید همه اعداد یکسان 75 و 210 را در نظر بگیریم، بسط آنها به ضرایب اول به صورت زیر است: 75=3 5 5 و 210=2 3 5 7 . به فاکتورهای 3، 5 و 5 از بسط عدد 75، فاکتورهای گمشده 2 و 7 را از بسط عدد 210 اضافه می کنیم، حاصل ضرب 2 3 5 5 7 را به دست می آوریم که مقدار آن LCM (75) است. ، 210).

مثال.

کوچکترین مضرب مشترک 84 و 648 را پیدا کنید.

تصمیم گیری

ابتدا تجزیه اعداد 84 و 648 را به عوامل اول بدست می آوریم. آنها شبیه 84=2 2 3 7 و 648=2 2 2 3 3 3 3 هستند. به فاکتورهای 2، 2، 3 و 7 از بسط عدد 84، فاکتورهای گمشده 2، 3، 3 و 3 را از بسط عدد 648 اضافه می کنیم، حاصل ضرب 2 2 2 3 3 3 3 7 را به دست می آوریم. که برابر با 4 536 است. بنابراین حداقل مضرب مشترک مورد نظر اعداد 84 و 648 4536 است.

پاسخ:

LCM(84، 648)=4 536.

یافتن LCM سه یا چند عدد

کمترین مضرب مشترک سه یا چند عدد را می توان با یافتن متوالی LCM دو عدد پیدا کرد. قضیه مربوطه را به یاد بیاورید که راهی برای یافتن LCM سه یا چند عدد می دهد.

قضیه.

بگذارید اعداد صحیح مثبت a 1 , a 2 , ..., a k داده شوند، کمترین مضرب مشترک m k این اعداد در محاسبه ترتیبی یافت می شود m 2 = LCM (a 1 , a 2 ), m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

کاربرد این قضیه را در مثال یافتن مضرب مشترک چهار عدد در نظر بگیرید.

مثال.

LCM چهار عدد 140، 9، 54 و 250 را بیابید.

تصمیم گیری

در این مثال 1 =140، a 2 =9، a 3 =54، a 4 =250.

ابتدا پیدا می کنیم m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). برای انجام این کار، با استفاده از الگوریتم اقلیدسی، gcd(140, 9) را تعیین می کنیم، 140=9 15+5، 9=5 1+4، 5=4 1+1، 4=1 4 داریم، بنابراین، gcd( 140، 9) = 1، از آنجا LCM(140، 9)=140 9: LCM(140، 9)= 140 9:1=1 260 . یعنی m 2 = 1 260 .

حالا پیدا می کنیم m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). بیایید آن را از طریق gcd(1 260, 54) محاسبه کنیم که توسط الگوریتم اقلیدس نیز تعیین می شود: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . سپس gcd(1 260, 54)=18، از آنجا LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . یعنی m 3 \u003d 3 780.

چپ برای پیدا کردن m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). برای انجام این کار، GCD(3 780, 250) را با استفاده از الگوریتم اقلیدس پیدا می کنیم: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . بنابراین، gcd(3 780، 250) = 10، از آنجا gcd (3 780، 250) = 3 780 250:gcd(3 780، 250)= 3 780 250:10=94 500 . یعنی m 4 \u003d 94 500.

بنابراین کمترین مضرب مشترک چهار عدد اصلی 94500 است.

پاسخ:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

در بسیاری از موارد، کمترین مضرب مشترک سه یا چند اعداد به راحتی با استفاده از فاکتورسازی اول اعداد داده شده پیدا می شود. در این صورت باید از قانون زیر پیروی کرد. کمترین مضرب مشترک چند عدد برابر با حاصلضرب است که به صورت زیر تشکیل می شود: عوامل مفقود شده از بسط عدد دوم به همه عوامل از بسط عدد اول اضافه می شوند، عوامل مفقود از بسط عدد اول. عدد سوم به فاکتورهای بدست آمده اضافه می شود و غیره.

مثالی از یافتن کمترین مضرب مشترک با استفاده از تجزیه اعداد به عوامل اول را در نظر بگیرید.

مثال.

کوچکترین مضرب مشترک پنج عدد 84، 6، 48، 7، 143 را بیابید.

تصمیم گیری

ابتدا بسط های این اعداد را به ضرایب اول به دست می آوریم: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 عامل اول) و 143=11 13 .

برای یافتن LCM این اعداد، به فاکتورهای عدد اول 84 (آنها 2، 2، 3 و 7 هستند) باید فاکتورهای گمشده از بسط عدد دوم 6 را اضافه کنید. بسط عدد 6 شامل عوامل گمشده نیست، زیرا 2 و 3 در بسط اولین عدد 84 وجود دارند. علاوه بر فاکتورهای 2، 2، 3 و 7، فاکتورهای گمشده 2 و 2 را از بسط عدد سوم 48 جمع می کنیم، مجموعه ای از عوامل 2، 2، 2، 2، 3 و 7 را به دست می آوریم. در مرحله بعد نیازی به افزودن فاکتورها به این مجموعه نیست، زیرا 7 قبلاً در آن موجود است. در نهایت به فاکتورهای 2، 2، 2، 2، 3 و 7 فاکتورهای گمشده 11 و 13 را از بسط عدد 143 اضافه می کنیم. حاصل ضرب 2 2 2 2 3 7 11 13 را بدست می آوریم که برابر با 48 048 است.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک

تعریف 2

اگر عدد طبیعی a بر یک عدد طبیعی $b$ بخش پذیر باشد، $b$ را مقسوم علیه $a$ و عدد $a$ را مضرب $b$ می نامند.

بگذارید $a$ و $b$ اعداد طبیعی باشند. عدد c$ را برای $a$ و $b$ مقسوم علیه مشترک می نامند.

مجموعه مقسوم علیه های مشترک اعداد $a$ و $b$ متناهی است، زیرا هیچ یک از این مقسوم علیه ها نمی توانند بزرگتر از $a$ باشند. این بدان معنی است که در بین این مقسوم‌گیرنده‌ها بزرگترین مقسوم‌گیرنده وجود دارد که به آن بزرگترین مقسوم‌گیرنده مشترک اعداد $a$ و $b$ می‌گویند و برای نشان دادن آن از علامت استفاده می‌شود:

$gcd \ (a;b) \ ​​‎یا \ D \ (a;b)$

برای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد:

1. حاصل ضرب اعداد موجود در مرحله 2 را بیابید. عدد حاصل بزرگترین مقسوم علیه مشترک مورد نظر خواهد بود.

مثال 1

gcd اعداد $121$ و $132.$ را پیدا کنید

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

اعدادی را انتخاب کنید که در بسط این اعداد گنجانده شده است

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

حاصل ضرب اعداد موجود در مرحله 2 را بیابید. عدد حاصل بزرگترین مقسوم علیه مشترک مورد نظر خواهد بود.

$gcd=2\cdot 11=22$

مثال 2

GCD مونومی های 63$ و 81$ را پیدا کنید.

با توجه به الگوریتم ارائه شده پیدا خواهیم کرد. برای این:

بیایید اعداد را به عوامل اول تجزیه کنیم

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

اعدادی که در بسط این اعداد گنجانده شده را انتخاب می کنیم

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

بیایید حاصل ضرب اعداد موجود در مرحله 2 را پیدا کنیم. عدد حاصل بزرگترین مقسوم علیه مشترک مورد نظر خواهد بود.

$gcd=3\cdot 3=9$

می توانید GCD دو عدد را به روش دیگری با استفاده از مجموعه مقسوم علیه اعداد پیدا کنید.

مثال 3

gcd اعداد $48$ و $60$ را پیدا کنید.

تصمیم:

مجموعه مقسوم علیه $48$ را بیابید: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

حالا بیایید مجموعه مقسوم‌کننده‌های $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$ را پیدا کنیم

بیایید محل تلاقی این مجموعه ها را پیدا کنیم: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - این مجموعه مجموعه مقسوم علیه های مشترک اعداد $48$ و $60 را تعیین می کند. $. بزرگترین عنصر در مجموعه داده شدهعدد 12 دلار خواهد بود. بنابراین بزرگترین مقسوم علیه 48 دلار و 60 دلار 12 دلار است.

تعریف NOC

تعریف 3

مضرب مشترک اعداد طبیعی$a$ و $b$ یک عدد طبیعی است که مضربی از $a$ و $b$ است.

مضرب مشترک اعداد اعدادی هستند که بدون باقیمانده بر اعداد اصلی تقسیم می شوند مثلاً برای اعداد $25$ و $50$ مضرب مشترک اعداد $50,100,150,200$ و غیره خواهد بود.

کمترین مضرب مشترک حداقل مضرب مشترک نامیده می شود و با LCM$(a;b)$ یا K$(a;b)$ نشان داده می شود.

برای پیدا کردن LCM دو عدد، شما نیاز دارید:

1. اعداد را به عوامل اول تجزیه کنید
2. عواملی که جزء عدد اول هستند را بنویسید و فاکتورهایی را که جزء عدد دوم هستند و به عدد اولی نمیروند به آنها اضافه کنید.

مثال 4

LCM اعداد 99 دلار و 77 دلار را پیدا کنید.

با توجه به الگوریتم ارائه شده پیدا خواهیم کرد. برای این

اعداد را به عوامل اول تجزیه کنید

$99=3\cdot 3\cdot 11$

عواملی که در اولی گنجانده شده است را بنویسید

به آنها عواملی را اضافه کنید که جزء دومی هستند و به اولی نمی روند

حاصل ضرب اعداد موجود در مرحله 2 را بیابید. عدد حاصل حداقل مضرب مشترک مورد نظر خواهد بود

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

تهیه فهرستی از مقسوم‌کننده‌های اعداد اغلب زمان‌بر است. راهی برای یافتن GCD به نام الگوریتم اقلیدس وجود دارد.

جملاتی که الگوریتم اقلیدس بر اساس آنها است:

اگر $a$ و $b$ اعداد طبیعی هستند و $a\vdots b$، آنگاه $D(a;b)=b$

اگر $a$ و $b$ اعداد طبیعی باشند به طوری که $b

با استفاده از $D(a;b)=D(a-b;b)$، می توانیم اعداد مورد نظر را به صورت متوالی کاهش دهیم تا زمانی که به یک جفت عدد برسیم به طوری که یکی از آنها بر دیگری بخش پذیر باشد. سپس کوچکتر از این اعداد، بزرگترین مقسوم علیه مشترک مورد نظر برای اعداد $a$ و $b$ خواهد بود.

ویژگی های GCD و LCM

1. هر مضرب مشترک $a$ و $b$ بر K$(a;b)$ بخش پذیر است
2. اگر $a\vdots b$، آنگاه K$(a;b)=a$

اگر K$(a;b)=k$ و $m$-عدد طبیعی، آنگاه K$(am;bm)=km$

اگر $d$ یک مقسوم علیه مشترک برای $a$ و $b$ باشد، آنگاه K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) دلار

اگر $a\vdots c$ و $b\vdots c$ , آنگاه $\frac(ab)(c)$ مضرب مشترک $a$ و $b$ است.

برای هر عدد طبیعی $a$ و $b$ برابری

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

هر مقسوم علیه $a$ و $b$ مقسوم علیه $D(a;b)$ است.