Najmanji zajednički nazivnik (LCD) algebarskih razlomaka, pronalaženje. Svođenje razlomaka na najmanji zajednički nazivnik, pravilo, primjeri, rješenja

27.09.2019

Pročitajte također

Kako privući novac različitim znakovima zodijaka

Vještičarenje i korupcija sa naučne tačke gledišta

Savremene pedagoške tehnologije u srednjim školama

Dodatno obrazovanje u predškolskoj ustanovi

Da biste riješili primjere s razlomcima, morate znati pronaći najmanji zajednički nazivnik. U nastavku su detaljna uputstva.

Kako pronaći najmanji zajednički nazivnik - koncept

Najmanji zajednički nazivnik (LCD) jednostavnim riječima je minimalni broj koji je djeljiv sa nazivnicima svih razlomaka u ovom primjeru. Drugim riječima, naziva se najmanji zajednički višestruk (LCM). NOS se koristi samo ako su nazivnici razlomaka različiti.

Kako pronaći najmanji zajednički nazivnik - primjeri

Pogledajmo primjere pronalaženja NOC-ova.

Izračunaj: 3/5 + 2/15.

Rješenje (Slijed radnji):

Gledamo nazivnike razlomaka, uvjeravamo se da su različiti i da su izrazi što je moguće skraćeni.
Pronalazimo najmanji broj koji je djeljiv i sa 5 i sa 15. Ovaj broj će biti 15. Dakle, 3/5 + 2/15 = ?/15.
Shvatili smo imenilac. Šta će biti u brojiocu? Dodatni množitelj će nam pomoći da to shvatimo. Dodatni faktor je broj koji se dobije dijeljenjem NZ sa nazivnikom određenog razlomka. Za 3/5, dodatni faktor je 3, pošto je 15/5 = 3. Za drugi razlomak dodatni faktor je 1, jer je 15/15 = 1.
Nakon što smo otkrili dodatni faktor, množimo ga brojiocima razlomaka i dodamo rezultirajuće vrijednosti. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Odgovor: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Ako se u primjeru ne dodaju ili oduzimaju 2, već 3 ili više razlomaka, tada se NCD mora tražiti za onoliko razlomaka koliko je dato.

Izračunaj: 1/2 – 5/12 + 3/6

Rješenje (redoslijed radnji):

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog nazivnika. Najmanji broj djeljiv sa 2, 12 i 6 je 12.
Dobijamo: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
Tražimo dodatne množitelje. Za 1/2 – 6; za 5/12 – 1; za 3/6 – 2.
Množimo brojiocima i dodjeljujemo odgovarajuće predznake: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Odgovor: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

U ovoj lekciji ćemo se baviti svođenjem razlomaka na zajednički nazivnik i rješavati probleme na ovu temu. Hajde da definišemo pojam zajedničkog imenioca i dodatnog faktora, podsetimo se međusobnog primarni brojevi. Hajde da definišemo koncept najnižeg zajedničkog nazivnika (LCD) i rešimo niz zadataka da ga pronađemo.

Tema: Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različiti imenioci

Lekcija: Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Ponavljanje. Glavno svojstvo razlomka.

Ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože ili podijele istim prirodni broj, onda dobijete razlomak jednak tome.

Na primjer, brojilac i nazivnik razlomka se mogu podijeliti sa 2. Dobijamo razlomak. Ova operacija se naziva redukcija frakcije. Možete izvršiti i obrnutu transformaciju množenjem brojnika i nazivnika razlomka sa 2. U ovom slučaju kažemo da smo razlomak sveli na novi imenilac. Broj 2 se naziva dodatni faktor.

Zaključak. Razlomak se može svesti na bilo koji nazivnik koji je višekratnik nazivnika datog razlomka. Da bi se razlomak doveo do novog nazivnika, njegov brojnik i imenilac se množe dodatnim faktorom.

1. Smanjite razlomak na imenilac 35.

Broj 35 je višekratnik broja 7, odnosno 35 je djeljiv sa 7 bez ostatka. To znači da je ova transformacija moguća. Hajde da pronađemo dodatni faktor. Da biste to učinili, podijelite 35 sa 7. Dobijamo 5. Pomnožite brojilac i nazivnik originalnog razlomka sa 5.

2. Smanjite razlomak na imenilac 18.

Hajde da pronađemo dodatni faktor. Da bismo to uradili, hajde da podelimo novi imenilac na originalni. Dobijamo 3. Pomnožimo brojilac i imenilac ovog razlomka sa 3.

3. Smanjite razlomak na imenilac 60.

Dijeljenje 60 sa 15 daje dodatni faktor. Jednako je sa 4. Pomnožite brojilac i imenilac sa 4.

4. Smanjite razlomak na imenilac 24

U jednostavnim slučajevima, svođenje na novi nazivnik se izvodi mentalno. Uobičajeno je samo označiti dodatni faktor iza zagrade malo udesno i iznad originalnog razlomka.

Razlomak se može svesti na imenilac 15, a razlomak na imenilac 15. Razlomci takođe imaju zajednički imenilac 15.

Zajednički imenilac razlomaka može biti bilo koji zajednički višekratnik njihovih nazivnika. Radi jednostavnosti, razlomci su svedeni na njihov najmanji zajednički nazivnik. Jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku nazivnika datih razlomaka.

Primjer. Smanjite na najmanji zajednički nazivnik razlomka i .

Prvo, pronađimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika ovih razlomaka. Ovaj broj je 12. Nađimo dodatni faktor za prvi i drugi razlomak. Da biste to učinili, podijelite 12 sa 4 i 6. Tri je dodatni faktor za prvi razlomak, a dva je za drugi. Dovedemo razlomke do imenioca 12.

Razlomke smo doveli na zajednički imenilac, odnosno našli smo jednake razlomke koji imaju isti imenilac.

Pravilo. Da biste sveli razlomke na njihov najmanji zajednički nazivnik, morate

Prvo, pronađite najmanji zajednički višekratnik nazivnika ovih razlomaka, to će biti njihov najmanji zajednički imenilac;

Drugo, podijelite najmanji zajednički imenilac sa nazivnicima ovih razlomaka, tj. pronađite dodatni faktor za svaki razlomak.

Treće, pomnožite brojilac i imenilac svakog razlomka njegovim dodatnim faktorom.

a) Razlomke svesti na zajednički imenilac.

Najmanji zajednički imenilac je 12. Dodatni faktor za prvi razlomak je 4, za drugi - 3. Razlomke svodimo na imenilac 24.

b) Razlomke svesti na zajednički imenilac.

Najmanji zajednički imenilac je 45. Deljenjem 45 sa 9 sa 15 dobija se 5, odnosno 3. Razlomke svodimo na imenilac 45.

c) Razlomke svesti na zajednički imenilac.

Zajednički imenilac je 24. Dodatni faktori su 2 i 3, respektivno.

Ponekad može biti teško verbalno pronaći najmanji zajednički višekratnik nazivnika datih razlomaka. Tada se zajednički imenilac i dodatni faktori nalaze razlaganjem na primarni faktori.

Svedite razlomke i na zajednički imenilac.

Razložimo brojeve 60 i 168 u proste faktore. Napišimo proširenje broja 60 i dodajmo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz drugog proširenja. Pomnožimo 60 sa 14 i dobijemo zajednički imenilac 840. Dodatni faktor za prvi razlomak je 14. Dodatni faktor za drugi razlomak je 5. Dovedemo razlomke na zajednički imenilac od 840.

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. i dr. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - Prosvjeta, 1989.

4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadaci za predmet matematike za 5-6 razred. - ZŠ MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - ZŠ MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. i dr. Matematika: Udžbenik-sagovornik za 5-6 razred srednja škola. Biblioteka nastavnika matematike. - Prosvjeta, 1989.

Možete preuzeti knjige navedene u tački 1.2. ove lekcije.

Zadaća

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. i dr. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (link vidi 1.2)

Domaći: br. 297, br. 298, br. 300.

Ostali zadaci: br. 270, br. 290

Unakrsno množenje

Metoda zajedničkog djelitelja

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Da biste shvatili koliku razliku čini metoda najmanje uobičajenog višestrukog broja, pokušajte izračunati ove iste primjere koristeći unakrsnu metodu.

Zajednički nazivnik razlomaka

Naravno, bez kalkulatora. Mislim da će nakon ovoga komentari biti nepotrebni.

Vidi također:

Prvobitno sam želio da uključim tehnike uobičajenih nazivnika u odjeljak za dodavanje i oduzimanje razlomaka. Ali bilo je toliko informacija, a njihova važnost je bila tako velika (uostalom, ne samo numeričke frakcije), da je bolje proučiti ovo pitanje zasebno.

Dakle, recimo da imamo dva razlomka sa različitim nazivnicima. I želimo da budemo sigurni da imenioci postanu isti. U pomoć dolazi osnovno svojstvo razlomka, koje, da podsjetim, zvuči ovako:

Razlomak se neće promijeniti ako se njegov brojilac i imenilac pomnože istim brojem koji nije nula.

Dakle, ako pravilno odaberete faktore, nazivnici razlomaka će postati jednaki - ovaj proces se zove. I traženi brojevi, "izjednačavajući" nazivnike, se pozivaju.

Zašto trebamo svesti razlomke na zajednički nazivnik? Evo samo nekoliko razloga:

Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima. Ne postoji drugi način da se izvrši ova operacija;
Poređenje razlomaka. Ponekad svođenje na zajednički nazivnik uvelike pojednostavljuje ovaj zadatak;
Rješavanje zadataka koji uključuju razlomke i procente. Procenti su, u stvari, obični izrazi koji sadrže razlomke.

Postoji mnogo načina da se pronađu brojevi koji će, kada se pomnože s njima, učiniti nazivnike razlomaka jednakim. Razmotrit ćemo samo tri od njih - po rastućoj složenosti i, u određenom smislu, djelotvornosti.

Unakrsno množenje

Najjednostavniji i pouzdan način, što garantovano izjednačava nazivnike. Postupit ćemo „bezglavo“: prvi razlomak pomnožimo sa imeniocem drugog razlomka, a drugi sa imeniocem prvog. Kao rezultat toga, nazivnici oba razlomka će postati jednaki proizvodu originalnih nazivnika. Pogledaj:

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Kao dodatne faktore, razmotrite imenioce susjednih razlomaka. Dobijamo:

Da, tako je jednostavno. Ako tek počinjete proučavati razlomke, bolje je raditi koristeći ovu metodu - tako ćete se osigurati od mnogih grešaka i zajamčeno ćete dobiti rezultat.

Jedini nedostatak ovu metodu- morate puno brojati, jer se imenioci množe „iznova i iznova“, a rezultat mogu biti veoma veliki brojevi. Ovo je cijena koju treba platiti za pouzdanost.

Metoda zajedničkog djelitelja

Ova tehnika pomaže u značajnom smanjenju proračuna, ali se, nažalost, koristi prilično rijetko. Metoda je sljedeća:

Prije nego što krenete pravo naprijed (tj. korištenjem unakrsnog metoda), pogledajte nazivnike. Možda je jedan od njih (onaj koji je veći) podijeljen na drugi.
Broj koji nastaje ovim dijeljenjem bit će dodatni faktor za razlomak sa manjim nazivnikom.
U ovom slučaju, razlomak s velikim nazivnikom uopće ne treba množiti ni sa čim - tu leži ušteda. Istovremeno, vjerovatnoća greške je naglo smanjena.

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Imajte na umu da 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Kako je u oba slučaja jedan imenilac bez ostatka podijeljen drugim, koristimo metodu zajedničkih faktora. Imamo:

Imajte na umu da drugi razlomak uopće nije pomnožen ni sa čim. U stvari, prepolovili smo količinu izračunavanja!

Inače, nisam slučajno uzeo razlomke u ovom primjeru. Ako ste zainteresirani, pokušajte ih prebrojati metodom unakrsne. Nakon redukcije odgovori će biti isti, ali posla će biti mnogo više.

Ovo je snaga metode zajednički djelitelji, ali, ponavljam, može se koristiti samo u slučaju kada se jedan imenilac podijeli s drugim bez ostatka. Što se dešava prilično retko.

Najmanje uobičajena višestruka metoda

Kada razlomke svedemo na zajednički nazivnik, u suštini pokušavamo pronaći broj koji je djeljiv sa svakim od nazivnika. Zatim imenioce oba razlomka dovodimo na ovaj broj.

Takvih brojeva ima puno, a najmanji od njih neće nužno biti jednak direktnom proizvodu nazivnika originalnih razlomaka, kao što se pretpostavlja u metodi „kris-cross“.

Na primjer, za nazivnike 8 i 12, broj 24 je sasvim prikladan, jer je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ovaj broj je mnogo manji od proizvoda 8 12 = 96.

Najmanji broj, koji je djeljiv sa svakim od nazivnika, naziva se njihov (LCM).

Oznaka: Najmanji zajednički višekratnik a i b označava se LCM(a; b). Na primjer, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Ako uspijete pronaći takav broj, ukupni iznos izračuna će biti minimalan. Pogledajte primjere:

Kako pronaći najmanji zajednički nazivnik

Pronađite značenja izraza:

Imajte na umu da je 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktori 2 i 3 su međusobno prosti (nemaju zajedničkih faktora osim 1), a faktor 117 je zajednički. Stoga je LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Isto tako, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktori 3 i 4 su međusobno prosti, a faktor 5 je uobičajen. Stoga je LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sada dovedemo razlomke na zajedničke imenioce:

Primijetite koliko je bilo korisno faktorizirati originalne nazivnike:

Otkrivši identične faktore, odmah smo došli do najmanjeg zajedničkog višekratnika, što je, generalno govoreći, netrivijalan problem;
Iz rezultirajuće ekspanzije možete saznati koji faktori „nedostaju“ u svakom razlomku. Na primjer, 234 · 3 = 702, dakle, za prvi razlomak dodatni faktor je 3.

Nemojte misliti da takvih ima složene frakcije neće biti slučaj u stvarnim primjerima. Stalno se sastaju, a navedeni zadaci nisu granica!

Jedini problem je kako pronaći baš ovaj NOC. Ponekad se sve može pronaći za nekoliko sekundi, doslovno "na oko", ali općenito je ovo složen računski zadatak koji zahtijeva odvojeno razmatranje. Nećemo to dirati ovdje.

Vidi također:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Prvobitno sam želio da uključim tehnike uobičajenih nazivnika u odjeljak za dodavanje i oduzimanje razlomaka. Ali pokazalo se da ima toliko informacija, a njihova važnost je toliko velika (uostalom, ne samo brojčani razlomci imaju zajedničke nazivnike), da je bolje proučiti ovo pitanje zasebno.

Dakle, recimo da imamo dva razlomka sa različitim nazivnicima. I želimo da budemo sigurni da imenioci postanu isti. U pomoć dolazi osnovno svojstvo razlomka, koje, da podsjetim, zvuči ovako:

Razlomak se neće promijeniti ako se njegov brojilac i imenilac pomnože istim brojem koji nije nula.

Dakle, ako pravilno odaberete faktore, nazivnici razlomaka će postati jednaki - ovaj proces se zove. I traženi brojevi, "izjednačavajući" nazivnike, se pozivaju.

Zašto trebamo svesti razlomke na zajednički nazivnik?

Zajednički nazivnik, koncept i definicija.

Evo samo nekoliko razloga:

Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima. Ne postoji drugi način da se izvrši ova operacija;
Poređenje razlomaka. Ponekad svođenje na zajednički nazivnik uvelike pojednostavljuje ovaj zadatak;
Rješavanje zadataka koji uključuju razlomke i procente. Procenti su u suštini obični izrazi koji sadrže razlomke.

Unakrsno množenje

Najjednostavniji i najpouzdaniji metod, koji garantirano izjednačava nazivnike. Postupit ćemo „bezglavo“: prvi razlomak pomnožimo sa imeniocem drugog razlomka, a drugi sa imeniocem prvog. Kao rezultat toga, nazivnici oba razlomka će postati jednaki proizvodu originalnih nazivnika. Pogledaj:

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Kao dodatne faktore, razmotrite imenioce susjednih razlomaka. Dobijamo:

Da, tako je jednostavno. Ako tek počinjete proučavati razlomke, bolje je raditi koristeći ovu metodu - tako ćete se osigurati od mnogih grešaka i zajamčeno ćete dobiti rezultat.

Jedina mana ove metode je što morate mnogo da brojite, jer se imenioci množe „do kraja“, a rezultat mogu biti veoma veliki brojevi. Ovo je cijena koju treba platiti za pouzdanost.

Metoda zajedničkog djelitelja

Ova tehnika pomaže u značajnom smanjenju proračuna, ali se, nažalost, koristi prilično rijetko. Metoda je sljedeća:

Prije nego što krenete pravo naprijed (tj. korištenjem unakrsnog metoda), pogledajte nazivnike. Možda je jedan od njih (onaj koji je veći) podijeljen na drugi.
Broj koji nastaje ovim dijeljenjem bit će dodatni faktor za razlomak sa manjim nazivnikom.
U ovom slučaju, razlomak s velikim nazivnikom uopće ne treba množiti ni sa čim - tu leži ušteda. Istovremeno, vjerovatnoća greške je naglo smanjena.

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Imajte na umu da 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Kako je u oba slučaja jedan imenilac bez ostatka podijeljen drugim, koristimo metodu zajedničkih faktora. Imamo:

Imajte na umu da drugi razlomak uopće nije pomnožen ni sa čim. U stvari, prepolovili smo količinu izračunavanja!

Inače, nisam slučajno uzeo razlomke u ovom primjeru. Ako ste zainteresirani, pokušajte ih prebrojati metodom unakrsne. Nakon redukcije odgovori će biti isti, ali posla će biti mnogo više.

Ovo je snaga metode zajedničkih djelitelja, ali, opet, ona se može koristiti samo kada je jedan od nazivnika djeljiv s drugim bez ostatka. Što se dešava prilično retko.

Najmanje uobičajena višestruka metoda

Kada razlomke svedemo na zajednički nazivnik, u suštini pokušavamo pronaći broj koji je djeljiv sa svakim od nazivnika. Zatim imenioce oba razlomka dovodimo na ovaj broj.

Takvih brojeva ima puno, a najmanji od njih neće nužno biti jednak direktnom proizvodu nazivnika originalnih razlomaka, kao što se pretpostavlja u metodi „kris-cross“.

Na primjer, za nazivnike 8 i 12, broj 24 je sasvim prikladan, jer je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ovaj broj je mnogo manji od proizvoda 8 12 = 96.

Najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od nazivnika naziva se njihov (LCM).

Oznaka: Najmanji zajednički višekratnik a i b označava se LCM(a; b). Na primjer, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Ako uspijete pronaći takav broj, ukupni iznos izračuna će biti minimalan. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Imajte na umu da je 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktori 2 i 3 su međusobno prosti (nemaju zajedničkih faktora osim 1), a faktor 117 je zajednički. Stoga je LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Isto tako, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktori 3 i 4 su međusobno prosti, a faktor 5 je uobičajen. Stoga je LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sada dovedemo razlomke na zajedničke imenioce:

Primijetite koliko je bilo korisno faktorizirati originalne nazivnike:

Otkrivši identične faktore, odmah smo došli do najmanjeg zajedničkog višekratnika, što je, generalno govoreći, netrivijalan problem;
Iz rezultirajuće ekspanzije možete saznati koji faktori „nedostaju“ u svakom razlomku. Na primjer, 234 · 3 = 702, dakle, za prvi razlomak dodatni faktor je 3.

Da biste shvatili koliku razliku čini metoda najmanje uobičajenog višestrukog broja, pokušajte izračunati ove iste primjere koristeći unakrsnu metodu. Naravno, bez kalkulatora. Mislim da će nakon ovoga komentari biti nepotrebni.

Nemojte misliti da u stvarnim primjerima neće biti tako složenih razlomaka. Stalno se sastaju, a navedeni zadaci nisu granica!

Vidi također:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Dakle, recimo da imamo dva razlomka sa različitim nazivnicima. I želimo da budemo sigurni da imenioci postanu isti. U pomoć dolazi osnovno svojstvo razlomka, koje, da podsjetim, zvuči ovako:

Razlomak se neće promijeniti ako se njegov brojilac i imenilac pomnože istim brojem koji nije nula.

Dakle, ako pravilno odaberete faktore, nazivnici razlomaka će postati jednaki - ovaj proces se zove. I traženi brojevi, "izjednačavajući" nazivnike, se pozivaju.

Zašto trebamo svesti razlomke na zajednički nazivnik? Evo samo nekoliko razloga:

Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima. Ne postoji drugi način da se izvrši ova operacija;
Poređenje razlomaka. Ponekad svođenje na zajednički nazivnik uvelike pojednostavljuje ovaj zadatak;
Rješavanje zadataka koji uključuju razlomke i procente. Procenti su u suštini obični izrazi koji sadrže razlomke.

Unakrsno množenje

Pogledaj:

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Kao dodatne faktore, razmotrite imenioce susjednih razlomaka. Dobijamo:

Da, tako je jednostavno. Ako tek počinjete proučavati razlomke, bolje je raditi koristeći ovu metodu - tako ćete se osigurati od mnogih grešaka i zajamčeno ćete dobiti rezultat.

Jedina mana ove metode je što morate mnogo da brojite, jer se imenioci množe „do kraja“, a rezultat mogu biti veoma veliki brojevi. Ovo je cijena koju treba platiti za pouzdanost.

Metoda zajedničkog djelitelja

Ova tehnika pomaže u značajnom smanjenju proračuna, ali se, nažalost, koristi prilično rijetko. Metoda je sljedeća:

Prije nego što krenete pravo naprijed (tj. korištenjem unakrsnog metoda), pogledajte nazivnike. Možda je jedan od njih (onaj koji je veći) podijeljen na drugi.
Broj koji nastaje ovim dijeljenjem bit će dodatni faktor za razlomak sa manjim nazivnikom.
U ovom slučaju, razlomak s velikim nazivnikom uopće ne treba množiti ni sa čim - tu leži ušteda. Istovremeno, vjerovatnoća greške je naglo smanjena.

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Imajte na umu da 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Kako je u oba slučaja jedan imenilac bez ostatka podijeljen drugim, koristimo metodu zajedničkih faktora. Imamo:

Imajte na umu da drugi razlomak uopće nije pomnožen ni sa čim. U stvari, prepolovili smo količinu izračunavanja!

Inače, nisam slučajno uzeo razlomke u ovom primjeru. Ako ste zainteresirani, pokušajte ih prebrojati metodom unakrsne. Nakon redukcije odgovori će biti isti, ali posla će biti mnogo više.

Ovo je snaga metode zajedničkih djelitelja, ali, opet, ona se može koristiti samo kada je jedan od nazivnika djeljiv s drugim bez ostatka. Što se dešava prilično retko.

Najmanje uobičajena višestruka metoda

Kada razlomke svedemo na zajednički nazivnik, u suštini pokušavamo pronaći broj koji je djeljiv sa svakim od nazivnika. Zatim imenioce oba razlomka dovodimo na ovaj broj.

Takvih brojeva ima puno, a najmanji od njih neće nužno biti jednak direktnom proizvodu nazivnika originalnih razlomaka, kao što se pretpostavlja u metodi „kris-cross“.

Na primjer, za nazivnike 8 i 12, broj 24 je sasvim prikladan, jer je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ovaj broj je mnogo manji od proizvoda 8 12 = 96.

Najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od nazivnika naziva se njihov (LCM).

Oznaka: Najmanji zajednički višekratnik a i b označava se LCM(a; b). Na primjer, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Ako uspijete pronaći takav broj, ukupni iznos izračuna će biti minimalan. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Imajte na umu da je 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktori 2 i 3 su međusobno prosti (nemaju zajedničkih faktora osim 1), a faktor 117 je zajednički. Stoga je LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Isto tako, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktori 3 i 4 su međusobno prosti, a faktor 5 je uobičajen. Stoga je LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sada dovedemo razlomke na zajedničke imenioce:

Primijetite koliko je bilo korisno faktorizirati originalne nazivnike:

Otkrivši identične faktore, odmah smo došli do najmanjeg zajedničkog višekratnika, što je, generalno govoreći, netrivijalan problem;
Iz rezultirajuće ekspanzije možete saznati koji faktori „nedostaju“ u svakom razlomku. Na primjer, 234 · 3 = 702, dakle, za prvi razlomak dodatni faktor je 3.

Nemojte misliti da u stvarnim primjerima neće biti tako složenih razlomaka. Stalno se sastaju, a navedeni zadaci nisu granica!

Vidi također:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Dakle, recimo da imamo dva razlomka sa različitim nazivnicima. I želimo da budemo sigurni da imenioci postanu isti. U pomoć dolazi osnovno svojstvo razlomka, koje, da podsjetim, zvuči ovako:

Razlomak se neće promijeniti ako se njegov brojilac i imenilac pomnože istim brojem koji nije nula.

Dakle, ako pravilno odaberete faktore, nazivnici razlomaka će postati jednaki - ovaj proces se zove. I traženi brojevi, "izjednačavajući" nazivnike, se pozivaju.

Zašto trebamo svesti razlomke na zajednički nazivnik? Evo samo nekoliko razloga:

Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima. Ne postoji drugi način da se izvrši ova operacija;
Poređenje razlomaka. Ponekad svođenje na zajednički nazivnik uvelike pojednostavljuje ovaj zadatak;
Rješavanje zadataka koji uključuju razlomke i procente. Procenti su u suštini obični izrazi koji sadrže razlomke.

Unakrsno množenje

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Kao dodatne faktore, razmotrite imenioce susjednih razlomaka. Dobijamo:

Da, tako je jednostavno. Ako tek počinjete proučavati razlomke, bolje je raditi koristeći ovu metodu - tako ćete se osigurati od mnogih grešaka i zajamčeno ćete dobiti rezultat.

Jedina mana ove metode je što morate mnogo da brojite, jer se imenioci množe „do kraja“, a rezultat mogu biti veoma veliki brojevi.

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Ovo je cijena koju treba platiti za pouzdanost.

Metoda zajedničkog djelitelja

Ova tehnika pomaže u značajnom smanjenju proračuna, ali se, nažalost, koristi prilično rijetko. Metoda je sljedeća:

Prije nego što krenete pravo naprijed (tj. korištenjem unakrsnog metoda), pogledajte nazivnike. Možda je jedan od njih (onaj koji je veći) podijeljen na drugi.
Broj koji nastaje ovim dijeljenjem bit će dodatni faktor za razlomak sa manjim nazivnikom.
U ovom slučaju, razlomak s velikim nazivnikom uopće ne treba množiti ni sa čim - tu leži ušteda. Istovremeno, vjerovatnoća greške je naglo smanjena.

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Imajte na umu da 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Kako je u oba slučaja jedan imenilac bez ostatka podijeljen drugim, koristimo metodu zajedničkih faktora. Imamo:

Imajte na umu da drugi razlomak uopće nije pomnožen ni sa čim. U stvari, prepolovili smo količinu izračunavanja!

Inače, nisam slučajno uzeo razlomke u ovom primjeru. Ako ste zainteresirani, pokušajte ih prebrojati metodom unakrsne. Nakon redukcije odgovori će biti isti, ali posla će biti mnogo više.

Ovo je snaga metode zajedničkih djelitelja, ali, opet, ona se može koristiti samo kada je jedan od nazivnika djeljiv s drugim bez ostatka. Što se dešava prilično retko.

Najmanje uobičajena višestruka metoda

Kada razlomke svedemo na zajednički nazivnik, u suštini pokušavamo pronaći broj koji je djeljiv sa svakim od nazivnika. Zatim imenioce oba razlomka dovodimo na ovaj broj.

Takvih brojeva ima puno, a najmanji od njih neće nužno biti jednak direktnom proizvodu nazivnika originalnih razlomaka, kao što se pretpostavlja u metodi „kris-cross“.

Na primjer, za nazivnike 8 i 12, broj 24 je sasvim prikladan, jer je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ovaj broj je mnogo manji od proizvoda 8 12 = 96.

Najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od nazivnika naziva se njihov (LCM).

Oznaka: Najmanji zajednički višekratnik a i b označava se LCM(a; b). Na primjer, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Ako uspijete pronaći takav broj, ukupni iznos izračuna će biti minimalan. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Imajte na umu da je 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktori 2 i 3 su međusobno prosti (nemaju zajedničkih faktora osim 1), a faktor 117 je zajednički. Stoga je LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Isto tako, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktori 3 i 4 su međusobno prosti, a faktor 5 je uobičajen. Stoga je LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sada dovedemo razlomke na zajedničke imenioce:

Primijetite koliko je bilo korisno faktorizirati originalne nazivnike:

Otkrivši identične faktore, odmah smo došli do najmanjeg zajedničkog višekratnika, što je, generalno govoreći, netrivijalan problem;
Iz rezultirajuće ekspanzije možete saznati koji faktori „nedostaju“ u svakom razlomku. Na primjer, 234 · 3 = 702, dakle, za prvi razlomak dodatni faktor je 3.

Nemojte misliti da u stvarnim primjerima neće biti tako složenih razlomaka. Stalno se sastaju, a navedeni zadaci nisu granica!

Dakle, recimo da imamo dva razlomka sa različitim nazivnicima. I želimo da budemo sigurni da imenioci postanu isti. U pomoć dolazi osnovno svojstvo razlomka, koje, da podsjetim, zvuči ovako:

Razlomak se neće promijeniti ako se njegov brojilac i imenilac pomnože istim brojem koji nije nula.

Dakle, ako pravilno odaberete faktore, imenioci razlomaka će postati jednaki - ovaj proces se naziva redukcija na zajednički imenilac. A traženi brojevi, "izjednačavajući" nazivnike, nazivaju se dodatnim faktorima.

Zašto trebamo svesti razlomke na zajednički nazivnik? Evo samo nekoliko razloga:

Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima. Ne postoji drugi način da se izvrši ova operacija;
Poređenje razlomaka. Ponekad svođenje na zajednički nazivnik uvelike pojednostavljuje ovaj zadatak;
Rješavanje zadataka koji uključuju razlomke i procente. Procenti su u suštini obični izrazi koji sadrže razlomke.

Unakrsno množenje

Kao dodatne faktore, razmotrite imenioce susjednih razlomaka. Dobijamo:

Da, tako je jednostavno. Ako tek počinjete proučavati razlomke, bolje je raditi koristeći ovu metodu - tako ćete se osigurati od mnogih grešaka i zajamčeno ćete dobiti rezultat.

Jedina mana ove metode je što morate mnogo da brojite, jer se imenioci množe „do kraja“, a rezultat mogu biti veoma veliki brojevi. Ovo je cijena koju treba platiti za pouzdanost.

Metoda zajedničkog djelitelja

Ova tehnika pomaže u značajnom smanjenju proračuna, ali se, nažalost, koristi prilično rijetko. Metoda je sljedeća:

Prije nego što krenete pravo naprijed (tj. korištenjem unakrsnog metoda), pogledajte nazivnike. Možda je jedan od njih (onaj koji je veći) podijeljen na drugi.
Broj koji nastaje ovim dijeljenjem bit će dodatni faktor za razlomak sa manjim nazivnikom.
U ovom slučaju, razlomak s velikim nazivnikom uopće ne treba množiti ni sa čim - tu leži ušteda. Istovremeno, vjerovatnoća greške je naglo smanjena.

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Imajte na umu da 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Pošto je u oba slučaja jedan imenilac bez ostatka podijeljen drugim, koristimo metodu zajedničkih faktora. Imamo:

Imajte na umu da drugi razlomak uopće nije pomnožen ni sa čim. U stvari, prepolovili smo količinu izračunavanja!

Inače, nisam slučajno uzeo razlomke u ovom primjeru. Ako ste zainteresirani, pokušajte ih prebrojati metodom unakrsne. Nakon redukcije odgovori će biti isti, ali posla će biti mnogo više.

Ovo je snaga metode zajedničkih djelitelja, ali, opet, ona se može koristiti samo kada je jedan od nazivnika djeljiv s drugim bez ostatka. Što se dešava prilično retko.

Svođenje razlomaka na najmanji zajednički nazivnik, pravila, primjeri, rješenja.

Ovaj članak objašnjava kako pronaći najmanji zajednički imenilac I kako razlomke svesti na zajednički nazivnik.

Prvo su date definicije zajedničkog imenioca razlomaka i najmanjeg zajedničkog imenioca i pokazano je kako pronaći zajednički imenilac razlomaka. Ispod je pravilo za svođenje razlomaka na zajednički nazivnik i razmatrani su primjeri primjene ovog pravila. U zaključku, primjeri dovođenja tri i više razlomke na zajednički imenilac.

Šta se naziva svođenje razlomaka na zajednički nazivnik?

Ako obični razlomci imaju jednake nazivnike, onda se kaže da su ti razlomci svedeno na zajednički imenilac.

Tako se razlomci 45/76 i 143/76 svode na zajednički imenilac od 76, a razlomci 1/3, 3/3, 17/3 i 1.000/3 na zajednički imenilac od 3.

Ako nazivnici razlomaka nisu jednaki, onda se takvi razlomci uvijek mogu svesti na zajednički imenilac množenjem njihovog brojnika i imenioca određenim dodatnim faktorima.

Na primjer, obični razlomci 2/5 i 7/4 uz pomoć dodatnih faktora 4, odnosno 5, svode se na zajednički imenilac 20. Zaista, množenjem brojnika i imenioca razlomka 2/5 sa 4, dobijamo razlomak 8/20, i množenjem brojnika i imenioca razlomaka 7/4 sa 5, dolazimo do razlomka 35/20 (vidi dovođenje razlomaka u novi nazivnik).

Sada možemo reći šta znači svesti razlomke na zajednički imenilac. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik- Ovo je množenje brojnika i nazivnika datih razlomaka takvim dodatnim faktorima da su rezultat razlomci sa istim nazivnicima.

Vrh stranice

Zajednički nazivnik, definicija, primjeri

Sada je vrijeme da definiramo zajednički imenilac razlomaka.

Drugim riječima, zajednički nazivnik određenog skupa običnih razlomaka je bilo koji prirodan broj koji je djeljiv sa svim nazivnicima ovih razlomaka.

Iz navedene definicije proizilazi da ovaj skup razlomaka ima beskonačno mnogo zajedničkih nazivnika, jer postoji beskonačan skup zajednički višekratnici svih nazivnika originalnog skupa razlomaka.

Određivanje zajedničkog imenioca razlomaka omogućava vam da pronađete zajedničke imenitelje datih razlomaka. Neka su, na primjer, s obzirom na razlomke 1/4 i 5/6, njihovi imenioci 4, odnosno 6.

Pozitivni zajednički višekratnici 4 i 6 su 12, 24, 36, 48, ... Bilo koji od ovih brojeva je zajednički imenitelj razlomaka 1/4 i 5/6.

Da biste konsolidirali materijal, razmotrite rješenje sljedećeg primjera.

Mogu li se razlomci 2/3, 23/6 i 7/12 svesti na zajednički imenilac od 150?

Da bismo odgovorili na postavljeno pitanje, potrebno je da saznamo da li je broj 150 zajednički višekratnik nazivnika 3, 6 i 12. Da bismo to uradili, proverićemo da li je 150 deljivo sa svakim od ovih brojeva (ako je potrebno, pogledajte pravila i primjeri dijeljenja prirodnih brojeva, kao i pravila i primjeri dijeljenja prirodnih brojeva sa ostatkom): 150:3=50, 150:6=25, 150:12=12 (odmor.

Dakle, 150 nije jednako djeljivo sa 12, stoga 150 nije zajednički višekratnik 3, 6 i 12. Dakle, broj 150 ne može biti zajednički imenitelj originalnih razlomaka.

Vrh stranice

Najmanji zajednički imenilac, kako ga pronaći?

U skupu brojeva koji su zajednički imenioci datih razlomaka postoji najmanji prirodni broj, koji se naziva najmanji zajednički imenilac.

Hajde da formulišemo definiciju najnižeg zajedničkog nazivnika ovih razlomaka.

Ostaje da se pozabavimo pitanjem kako pronaći najmanji zajednički djelitelj.

Pošto je najmanji zajednički umnožak najmanji pozitivni zajednički djelitelj datog skupa brojeva, LCM nazivnika datih razlomaka je najmanji zajednički imenilac datih razlomaka.

Dakle, pronalaženje najmanjeg zajedničkog nazivnika razlomaka svodi se na pronalaženje LCM nazivnika ovih razlomaka.

Pogledajmo rješenje primjera.

Pronađite najmanji zajednički imenilac razlomaka 3/10 i 277/28.

Imenioci ovih razlomaka su 10 i 28. Željeni najmanji zajednički imenilac nalazi se kao LCM brojeva 10 i 28. U našem slučaju, lako je pronaći LCM rastavljanjem brojeva u proste faktore: pošto je 10 = 2 5, i 28 = 2 2 7 , tada je LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Vrh stranice

Kako razlomke svesti na zajednički imenilac? Pravilo, primjeri, rješenja

Uobičajeni razlomci obično rezultiraju najmanjim zajedničkim nazivnikom.

Sada ćemo zapisati pravilo koje objašnjava kako razlomke svesti na njihov najmanji zajednički nazivnik.

Pravilo za svođenje razlomaka na najmanji zajednički nazivnik sastoji se od tri koraka:

Prvo, pronađite najmanji zajednički nazivnik razlomaka.
Drugo, dodatni faktor se izračunava za svaki razlomak tako što se najmanji zajednički imenilac podijeli sa nazivnikom svakog razlomka.
Treće, brojilac i imenilac svakog razlomka se množe njegovim dodatnim faktorom.

Primijenimo navedeno pravilo da riješimo sljedeći primjer.

Smanjite razlomke 5/14 i 7/18 na njihov najmanji zajednički imenilac.

Izvršimo sve korake algoritma za svođenje razlomaka na najmanji zajednički nazivnik.

Prvo, nalazimo najmanji zajednički imenilac, koji je jednak najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 14 i 18. Kako su 14=2·7 i 18=2·3·3, onda je LCM(14, 18)=2·3 ·3·7=126.

Sada izračunavamo dodatne faktore uz pomoć kojih će se razlomci 5/14 i 7/18 svesti na imenilac 126. Za razlomak 5/14 dodatni faktor je 126:14=9, a za razlomak 7/ 18 dodatni faktor je 126:18=7 .

Ostaje da se pomnoži brojioci i imenioci razlomaka 5/14 i 7/18 dodatnim faktorima 9 i 7, respektivno.

Imamo I .

Dakle, svođenje razlomaka 5/14 i 7/18 na najmanji zajednički imenilac je završeno.

Dobijeni razlomci su 45/126 i 49/126.

Vrh stranice

Svođenje tri ili više razlomaka na najmanji zajednički nazivnik

Pravilo iz prethodnog paragrafa vam omogućava da svedete ne samo dva razlomka, već i tri razlomka, i više njih, na najmanji zajednički nazivnik.

Pogledajmo primjer rješenja.

Donesi četiri obični razlomci 3/2, 5/6, 3/8 i 17/18 na najmanji zajednički nazivnik.

Najmanji zajednički nazivnik ovih razlomaka jednak je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 2, 6, 8 i 18. Za pronalaženje LCM(2, 6, 8, 18) koristimo informacije iz odjeljka Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva.

Dobijamo LCM(2, 6)=6, LCM(6, 8)=24, konačno LCM(24, 18)=72, dakle LCM(2, 6, 8, 18)=72. Dakle, najmanji zajednički imenilac je 72.

Sada izračunavamo dodatne faktore. Za razlomak 3/2 dodatni faktor je 72:2=36, za razlomak 5/6 je 72:6=12, za razlomak 3/8 dodatni faktor je 72:8=9, a za razlomak 17/18 je 72 :18=4.

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Ostao je još jedan posljednji korak u svođenju originalnih razlomaka na najmanji zajednički nazivnik: .

Vrh stranice

Zajednički nazivnik je bilo koji pozitivni zajednički višekratnik svih nazivnika ovih razlomaka.

Najmanji zajednički imenilac je najmanji broj svih zajedničkih nazivnika ovih razlomaka.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: udžbenik za 5. razred. obrazovne institucije.
Vilenkin N.Ya. i dr. Matematika. 6. razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove.

Zajednički nazivnik običnih razlomaka

Ako obični razlomci imaju iste nazivnike, onda ti razlomci imaju zajednički imenilac. npr.

imaju zajednički imenilac.

Zajednički nazivnik Ovo je broj koji je nazivnik za dva ili više regularnih razlomaka.

Razlomci sa različitim nazivnicima mogu se svesti na zajednički imenilac.

Davanje razlomaka sa zajedničkim nazivnikom

Davanje razlomaka sa zajedničkim nazivnikom Da li je zamjena ovih razlomaka različitim nazivnicima isti razlomci s istim nazivnicima?

Razlomci se jednostavno mogu svesti na zajednički nazivnik ili najmanji zajednički imenilac.

Najmanji zajednički imenilac Ovo je najmanji zajednički nazivnik ovih razlomaka.

Zajednički nazivnik frakcija na Internetu

Da biste razlomcima dali najmanji zajednički nazivnik, potrebno vam je:

Ako je moguće, izvršite smanjenje frakcije.
Pronađite najmanju dijeljeni direktoriji ove frakcije. NOC će biti njihov najmanji zajednički imenilac.
Podijelite LCM sa nazivnicima ovih razlomaka. Ova mjera pronalazi dodatni faktor za svaki od ovih razlomaka. Dodatni koeficijent Da li je to broj koji zahtijeva da se članovi razlomka pomnože da bi se doveo do zajedničkog nazivnika?
Pomnožite brojilac i nazivnik svakog razlomka sa dodatnim faktorom.

Primjer.

1) Pronađite NOC imena ovih frakcija:

NOC(8, 12) = 24

2) Pronađeni su dodatni faktori:

24: 8 = 3 (za ) i 24: 12 = 2 (za )

3) Pomnožite članove svake frakcije dodatnim faktorom:

Smanjenje zajedničkog imenioca može se zapisati u kraćem obliku navođenjem dodatnog faktora pored brojača svakog razlomka (gore desno ili gore levo) i ne zapisivanjem međuizračunavanja:

Zajednički imenilac se može lakše smanjiti množenjem članova prvog razlomka sa drugim imanentnim udelom i članova drugog razlomka sa imeniocem prvog.

Primjer. Dobijte zajednički nazivnik razlomaka i:

Umnožak njihovih nazivnika može se uzeti kao zajednički imenilac razlomaka.

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik koristi se za sabiranje, oduzimanje i poređenje razlomaka s različitim nazivnicima.

Kalkulator svođenja na zajednički nazivnik

Ovaj kalkulator će vam pomoći da obične razlomke svedete na najmanji zajednički nazivnik.

Samo unesite dva razlomka i kliknite.

5.4.5. Primjeri pretvaranja razlomaka u najmanji zajednički nazivnik

Najmanji zajednički imenilac kontinuiranih razlomaka je najmanji zajednički imenilac za te razlomke. ( vidi odjeljak "Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika": 5.3.5. Pronađite najmanji broj višekratnika (NOC) datih brojeva).

Da biste smanjili razlomak za najmanji zajednički nazivnik, potrebno je: 1) pronaći najmanji zajednički umnožak imenilaca ovih razlomaka, i to će biti najmanji zajednički imenilac.

2) pronalazi dodatni koeficijent za svaki od razlomaka, za koji se distribuira novi imenilac sa imenom svakog razlomka. 3) pomnožite brojilac i imenilac svakog razlomka sa dodatnim faktorom.

Primjeri. Smanjiti sljedeće razlomke na najmanji zajednički nazivnik.

Nalazimo najmanji zajednički višecifreni nazivnik: LCM (5; 4) = 20, pošto je 20 najmanji broj podijeljen sa 5 i 4.

Za prvi dio, dodatni koeficijent 4 (20 : 5 = 4). Za drugi razlomak postoji dodatni koeficijent 5 (20 : 4 = 5). Pomnožite broj i imenilac prvog razlomka sa 4, a brojač i imenilac drugog razlomka sa 5.

20 ).

Najmanji zajednički nazivnik za ove razlomke je broj 8, jer je djeljiv sa 4 i interno.

Za prvi razlomak nema dodatnog faktora (ili možemo reći da je jednak jedan), drugi faktor je dodatni faktor 2 (8 : 4 = 2). Pomnožite brojilac i imenilac drugog razlomka sa 2.

Online kalkulator. Davanje razlomaka sa zajedničkim nazivnikom

Sveli smo ove razlomke na najmanji zajednički nazivnik ( 8. mjesto).

Ove frakcije nisu nepodnošljive.

Prva frakcija je smanjena za 4, a druga frakcija je smanjena za 2. (Vidi primjere za smanjenje uobičajenih frakcija: Mapa stranice → 5.4.2.

Primjeri redukcije običnih razlomaka). Nalazi NOC (16 ; 20) = 24· 5 = 16· 5 = 80. Dodatni faktor za 1. razlomak je 5 (80 : 16 = 5). Dodatni faktor za drugi razlomak je 4 (80 : 20 = 4).

Pomnožimo brojilac i imenilac prvog razlomka sa 5, a brojač i imenilac drugog razlomka sa 4. Informacije o razlomku su date najmanjem zajedničkom nazivniku ( 80 ).

Pronađite najmanji zajednički nazivnik NOx (5 ; 6 i 15) = NOK (5 ; 6 i 15) = 30. Dodatni faktor za prvi razlomak je 6 (30 : 5 = 6), je dodatni faktor u drugom dijelu 5 (30 : 6 = 5), je dodatni faktor za treći razlomak 2 (30 : 15 = 2).

Broj i imenilac prvog razlomka pomnože se sa 6, broj i imenilac drugog razlomka sa 5, a broj i imenilac trećeg razlomka sa 2. Parcijalni podatak je dobio najmanji zajednički imenilac 30 ).

Strana 1 od 11

Najmanji zajednički imenilac.

Koji je najmanji zajednički imenilac?

definicija:
Najmanji zajednički imenilac je najmanji pozitivni broj koji je višekratnik nazivnika ovih razlomaka.

Kako svesti na najmanji zajednički imenilac? Da biste odgovorili na ovo pitanje, razmotrite primjer:

Smanjite razlomke sa različitim nazivnicima na njihov najmanji zajednički imenilac.

Rješenje:
Da biste pronašli najmanji zajednički imenilac, morate pronaći najmanji zajednički umnožak (LCM) nazivnika ovih razlomaka.

Prvi razlomak ima imenilac 20; hajde da ga razložimo na proste faktore.
20=2⋅5⋅2

Razložimo i drugi imenilac razlomka 14 na proste faktore.
14=7⋅2

NOC(14,20)= 2⋅5⋅2⋅7=140

Odgovor: Najmanji zajednički imenilac bi bio 140.

Kako razlomak svesti na zajednički imenilac?

Trebate pomnožiti prvi razlomak \(\frac(1)(20)\) sa 7 da dobijete nazivnik 140.

\(\frac(1)(20)=\frac(1 \times 7)(20 \times 7)=\frac(7)(140)\)
I pomnožite drugi razlomak sa 10.

\(\frac(3)(14)=\frac(3 \times 10)(14 \times 10)=\frac(30)(140)\)

Pravila ili algoritam za svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Algoritam za svođenje razlomaka na najmanji zajednički nazivnik:

Trebate faktore imenilaca razlomaka u proste faktore.
Moramo pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) za nazivnike ovih razlomaka.
Svedite razlomke na zajednički imenilac, to jest, pomnožite i brojnik i imenilac razlomka sa faktorom.

Zajednički nazivnik za nekoliko razlomaka.

Kako pronaći zajednički imenilac za nekoliko razlomaka?

Pogledajmo primjer:
Pronađite najmanji zajednički nazivnik za razlomke \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\)

Rješenje:
Razložimo nazivnike 11, 15 i 22 u proste faktore.

Broj 11 je već sam po sebi jednostavan broj, pa ga nema potrebe opisivati.
Proširimo broj 15=5⋅3
Proširimo broj 22=11⋅2

Nađimo najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika 11, 15 i 22.
LCM(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330

Pronašli smo najmanji zajednički nazivnik za ove razlomke. Dovedite sada ove razlomke \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\) na zajednički nazivnik jednak 330.

\(\počni(poravnaj)
\frac(2)(11)=\frac(2 \times 30)(11 \times 30)=\frac(60)(330) \\\\
\frac(1)(15)=\frac(1 \times 22)(15 \times 22)=\frac(22)(330) \\\\
\frac(3)(22)=\frac(3 \times 15)(22 \times 15)=\frac(60)(330) \\\\
\end(poravnati)\)

Dakle, recimo da imamo dva razlomka sa različitim nazivnicima. I želimo da budemo sigurni da imenioci postanu isti. U pomoć dolazi osnovno svojstvo razlomka, koje, da podsjetim, zvuči ovako:

Razlomak se neće promijeniti ako se njegov brojilac i imenilac pomnože istim brojem koji nije nula.

Zašto trebamo svesti razlomke na zajednički nazivnik? Evo samo nekoliko razloga:

Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima. Ne postoji drugi način da se izvrši ova operacija;
Poređenje razlomaka. Ponekad svođenje na zajednički nazivnik uvelike pojednostavljuje ovaj zadatak;
Rješavanje zadataka koji uključuju razlomke i procente. Procenti su u suštini obični izrazi koji sadrže razlomke.

Unakrsno množenje

Kao dodatne faktore, razmotrite imenioce susjednih razlomaka. Dobijamo:

Da, tako je jednostavno. Ako tek počinjete proučavati razlomke, bolje je raditi koristeći ovu metodu - tako ćete se osigurati od mnogih grešaka i zajamčeno ćete dobiti rezultat.

Jedina mana ove metode je što morate mnogo da brojite, jer se imenioci množe „do kraja“, a rezultat mogu biti veoma veliki brojevi. Ovo je cijena koju treba platiti za pouzdanost.

Metoda zajedničkog djelitelja

Ova tehnika pomaže u značajnom smanjenju proračuna, ali se, nažalost, koristi prilično rijetko. Metoda je sljedeća:

Prije nego što krenete pravo naprijed (tj. korištenjem unakrsnog metoda), pogledajte nazivnike. Možda je jedan od njih (onaj koji je veći) podijeljen na drugi.
Broj koji nastaje ovim dijeljenjem bit će dodatni faktor za razlomak sa manjim nazivnikom.
U ovom slučaju, razlomak s velikim nazivnikom uopće ne treba množiti ni sa čim - tu leži ušteda. Istovremeno, vjerovatnoća greške je naglo smanjena.

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Imajte na umu da 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Pošto je u oba slučaja jedan imenilac bez ostatka podijeljen drugim, koristimo metodu zajedničkih faktora. Imamo:

Imajte na umu da drugi razlomak uopće nije pomnožen ni sa čim. U stvari, prepolovili smo količinu izračunavanja!

Inače, nisam slučajno uzeo razlomke u ovom primjeru. Ako ste zainteresirani, pokušajte ih prebrojati metodom unakrsne. Nakon redukcije odgovori će biti isti, ali posla će biti mnogo više.

Ovo je snaga metode zajedničkih djelitelja, ali, opet, ona se može koristiti samo kada je jedan od nazivnika djeljiv s drugim bez ostatka. Što se dešava prilično retko.

Najmanje uobičajena višestruka metoda

Kada razlomke svedemo na zajednički nazivnik, u suštini pokušavamo pronaći broj koji je djeljiv sa svakim od nazivnika. Zatim imenioce oba razlomka dovodimo na ovaj broj.

Takvih brojeva ima puno, a najmanji od njih neće nužno biti jednak direktnom proizvodu nazivnika originalnih razlomaka, kao što se pretpostavlja u metodi „kris-cross“.

Na primjer, za nazivnike 8 i 12, broj 24 je sasvim prikladan, jer je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ovaj broj je mnogo manji od proizvoda 8 · 12 = 96.

Najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od nazivnika naziva se njihov najmanji zajednički višekratnik (LCM).

Oznaka: Najmanji zajednički višekratnik a i b označen je sa LCM(a; b) . Na primjer, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .

Ako uspijete pronaći takav broj, ukupni iznos izračuna će biti minimalan. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Imajte na umu da je 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktori 2 i 3 su međusobno jednostavni (nemaju zajedničke faktore osim 1), a faktor 117 je uobičajen. Stoga je LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Isto tako, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktori 3 i 4 su međusobno jednostavni, a faktor 5 je uobičajen. Stoga je LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sada dovedemo razlomke na zajedničke imenioce:

Primijetite koliko je bilo korisno faktorizirati originalne nazivnike:

Otkrivši identične faktore, odmah smo došli do najmanjeg zajedničkog višekratnika, što je, generalno govoreći, netrivijalan problem;
Iz rezultirajuće ekspanzije možete saznati koji faktori „nedostaju“ u svakom razlomku. Na primjer, 234 · 3 = 702, dakle, za prvi razlomak dodatni faktor je 3.

Nemojte misliti da u stvarnim primjerima neće biti tako složenih razlomaka. Stalno se sastaju, a navedeni zadaci nisu granica!