Kako izračunati relativnu grešku mjerenja. Koncept relativne greške. Vrijednosti kvantila Studentove distribucije t(n) s povjerenjem

X = X prosječno X

Apsolutno

greška

Relativno

greška

a+ b

a+ b

U našem dobu čovjek je izmislio i koristi ogromnu raznolikost svih vrsta mjernih instrumenata. Ali bez obzira koliko je tehnologija njihove proizvodnje savršena, svi oni imaju veću ili manju grešku. Ovaj parametar je u pravilu naznačen na samom instrumentu, a da biste procijenili tačnost vrijednosti koja se utvrđuje, morate biti u stanju razumjeti šta znače brojevi naznačeni na oznaci. Osim toga, relativne i apsolutne greške neizbježno nastaju tokom složenih matematičkih proračuna. Široko se koristi u statistici, industriji (kontrola kvaliteta) i u nizu drugih oblasti. Kako se ova vrijednost izračunava i kako tumačiti njenu vrijednost - upravo o tome će biti riječi u ovom članku.

Apsolutna greška

Označimo sa x približnu vrijednost veličine dobijene, na primjer, jednim mjerenjem, a sa x 0 njenu tačna vrijednost. Sada izračunajmo veličinu razlike između ova dva broja. Apsolutna greška je upravo ona vrijednost koju smo dobili kao rezultat ove jednostavne operacije. Jezikom formula, ovu definiciju može se napisati u ovom obliku: Δ x = | x - x 0 |.

Relativna greška

Apsolutno odstupanje ima jedan važan nedostatak - ne dozvoljava procjenu stepena važnosti greške. Na primjer, kupimo 5 kg krompira na pijaci, i nepošten prodavac Prilikom mjerenja pogriješio sam od 50 grama u svoju korist. To jest, apsolutna greška je bila 50 grama. Za nas će takav previd biti samo sitnica i nećemo se ni obazirati na to. Zamislite šta će se dogoditi ako se slična greška dogodi prilikom pripreme lijeka? Ovdje će sve biti mnogo ozbiljnije. A prilikom utovara teretnog vagona, vjerovatno će doći do odstupanja mnogo veća od ove vrijednosti. Stoga sama apsolutna greška nije baš informativna. Pored toga, vrlo često se dodatno izračunava relativno odstupanje, jednak omjeru apsolutnu grešku na tačnu vrijednost broja. Ovo se piše sljedećom formulom: δ = Δ x / x 0 .

Svojstva greške

Pretpostavimo da imamo dvije nezavisne veličine: x i y. Moramo izračunati odstupanje približne vrijednosti njihove sume. U ovom slučaju, apsolutnu grešku možemo izračunati kao zbir unaprijed izračunatih apsolutnih odstupanja svakog od njih. U nekim mjerenjima može se dogoditi da se greške u određivanju vrijednosti x i y međusobno poništavaju. Ili se može dogoditi da se kao rezultat sabiranja odstupanja maksimalno pojačaju. Stoga, kada se izračuna ukupna apsolutna greška, mora se uzeti u obzir najgori scenario. Isto vrijedi i za razliku između grešaka nekoliko veličina. Ova nekretnina karakterističan je samo za apsolutnu grešku i ne može se primijeniti na relativno odstupanje, jer će to neminovno dovesti do pogrešnog rezultata. Pogledajmo ovu situaciju koristeći sljedeći primjer.

Pretpostavimo da su mjerenja unutar cilindra pokazala da je unutrašnji radijus (R 1) 97 mm, a vanjski polumjer (R 2) 100 mm. Potrebno je odrediti debljinu njegovog zida. Prvo, pronađimo razliku: h = R 2 - R 1 = 3 mm. Ako problem ne pokazuje kolika je apsolutna greška, onda se ona uzima kao polovina podjela skale mjernog uređaja. Dakle, Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 mm. Ukupna apsolutna greška je: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Sada izračunajmo relativno odstupanje svih vrijednosti:

δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R 1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Kao što vidite, greška u merenju oba poluprečnika ne prelazi 5,2%, a greška u izračunavanju njihove razlike - debljine zida cilindra - čak 33,(3)%!

Sljedeće svojstvo glasi: relativna devijacija proizvoda nekoliko brojeva približno je jednaka zbroju relativnih odstupanja pojedinačnih faktora:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Štaviše ovo pravilo je istinito bez obzira na broj vrijednosti koje se vrednuju. Treće i posljednje svojstvo relativne greške je to relativni rezultat k-ti brojevi stepen približno u | k | puta relativnu grešku originalnog broja.

Fizičke veličine karakteriše koncept „tačnosti greške“. Kaže se da se merenjem može doći do saznanja. Na ovaj način možete saznati visinu kuće ili dužinu ulice, kao i mnogi drugi.

Uvod

Hajde da shvatimo značenje pojma „mjeriti količinu“. Proces mjerenja je upoređivanje sa homogenim veličinama, koje se uzimaju kao jedinica.

Litri se koriste za određivanje zapremine, grami se koriste za izračunavanje mase. Da bi proračun bio lakši, uveden je SI sistem međunarodne klasifikacije jedinica.

Za mjerenje dužine štapa u metrima, mase - kilograma, zapremine - kubnih litara, vremena - sekunde, brzine - metara u sekundi.

Prilikom izračunavanja fizičkih veličina nije uvijek potrebno koristiti tradicionalan način, dovoljno je primijeniti proračun pomoću formule. Na primjer, za izračunavanje indikatora kao što su prosječna brzina, potrebno je podijeliti prijeđenu udaljenost s vremenom provedenim na putu. Ovako se izračunava prosječna brzina.

Kada se koriste mjerne jedinice koje su deset, sto, hiljada puta veće od prihvaćenih mjernih jedinica, one se nazivaju višekratnicima.

Ime svakog prefiksa odgovara njegovom broju množitelja:

1. Deca.
2. Hecto.
3. Kilo.
4. Mega.
5. Giga.
6. Tera.

U fizici se za pisanje takvih faktora koriste stepeni 10. Na primjer, milion se zapisuje kao 10 6 .

U jednostavnom ravnalu, dužina ima jedinicu mjerenja - centimetre. Ona je 100 puta manje od metra. Lenjir od 15 cm dug je 0,15 m.

Ravnilo je najjednostavniji tip mjernog instrumenta za mjerenje dužina. Složeniji uređaji su predstavljeni termometrom - do higrometra - za određivanje vlažnosti, ampermetrom - za mjerenje razine sile kojom se električna struja širi.

Koliko će mjerenja biti tačna?

Uzmite ravnalo i jednostavnu olovku. Naš zadatak je izmjeriti dužinu ove dopisnice.

Prvo morate odrediti koja je cijena podjele navedena na skali mjerni instrument. Na dva odjeljka, koji su najbliži potezi ljestvice, ispisani su brojevi, na primjer, “1” i “2”.

Potrebno je izbrojati koliko je podjela između ovih brojeva. Ako se tačno izbroji, biće "10". Oduzmimo od broja koji je veći broj koji će biti manji i podijelimo s brojem koji je podjela između cifara:

(2-1)/10 = 0,1 (cm)

Tako utvrđujemo da je cijena koja određuje podjelu kancelarijskog materijala broj 0,1 cm ili 1 mm. Jasno je prikazano kako se indikator cijene za podjelu određuje korištenjem bilo kojeg mjernog instrumenta.

Prilikom mjerenja olovke dužine nešto manje od 10 cm koristit ćemo stečeno znanje. Da nema finih podjela na ravnalu, zaključilo bi se da predmet ima dužinu od 10 cm Ova približna vrijednost se naziva greška mjerenja. Označava nivo nepreciznosti koji se može tolerisati prilikom merenja.

Određivanje parametara dužine olovke sa više visoki nivo tačnost, veći troškovi podjele postižu veći tačnost merenja, što daje manje grešaka.

U ovom slučaju ne mogu se izvršiti apsolutno tačna mjerenja. A pokazatelji ne bi trebali prelaziti veličinu cijene podjele.

Utvrđeno je da je greška mjerenja ½ cijene, što je naznačeno na stepenicama uređaja koji se koristi za određivanje dimenzija.

Nakon mjerenja olovke od 9,7 cm, odredit ćemo njene indikatore greške. Ovo je interval 9,65 - 9,85 cm.

Formula koja mjeri ovu grešku je izračun:

A = a ± D (a)

A - u obliku veličine za mjerne procese;

a je vrijednost rezultata mjerenja;

D - oznaka apsolutne greške.

Prilikom oduzimanja ili dodavanja vrijednosti s greškom, rezultat će biti jednak zbroju indikatora greške, što je svaka pojedinačna vrijednost.

Uvod u koncept

Ako uzmemo u obzir ovisnost o načinu njegovog izražavanja, možemo razlikovati sljedeće varijante:

• Apsolutno.
• Relativno.
• Dato.

Apsolutna greška mjerenja je označena velikim slovom “Delta”. Ovaj koncept se definira kao razlika između izmjerenih i stvarnih vrijednosti fizičke veličine koja se mjeri.

Izraz apsolutne greške mjerenja su jedinice veličine koju treba izmjeriti.

Prilikom mjerenja mase, ona će biti izražena, na primjer, u kilogramima. Ovo nije standard za tačnost mjerenja.

Kako izračunati grešku direktnih mjerenja?

Postoje načini da se prikažu greške mjerenja i izračunaju. Za to je važno znati odrediti fizičku veličinu sa potrebnom tačnošću, znati koja je apsolutna greška mjerenja, da je niko nikada neće moći pronaći. Može se izračunati samo njegova granična vrijednost.

Čak i ako se ovaj izraz koristi konvencionalno, on označava precizno granične podatke. Apsolutne i relativne greške mjerenja označene su istim slovima, razlika je u njihovom pisanju.

Prilikom mjerenja dužine, apsolutna greška će se mjeriti u jedinicama u kojima se izračunava dužina. A relativna greška se računa bez dimenzija, jer je to omjer apsolutne greške i rezultata mjerenja. Ova vrijednost se često izražava kao postotak ili razlomak.

Apsolutne i relativne greške mjerenja imaju nekoliko različitih metoda proračuna, ovisno o tome koja fizička veličina.

Koncept direktnog mjerenja

Apsolutne i relativne greške direktnih mjerenja zavise od klase tačnosti uređaja i mogućnosti određivanja greške vaganja.

Prije nego što govorimo o tome kako se izračunava greška, potrebno je razjasniti definicije. Direktno mjerenje je mjerenje u kojem se rezultat direktno očitava sa skale instrumenta.

Kada koristimo termometar, ravnalo, voltmetar ili ampermetar, uvijek vršimo direktna mjerenja, jer direktno koristimo uređaj sa skalom.

Dva su faktora koja utiču na efikasnost očitavanja:

• Greška instrumenta.
• Greška referentnog sistema.

Granica apsolutne greške za direktna mjerenja bit će jednaka zbiru greške koju uređaj pokazuje i greške koja se javlja tokom procesa brojanja.

D = D (ravno) + D (nula)

Primjer s medicinskim termometrom

Indikatori greške su naznačeni na samom uređaju. Medicinski termometar ima grešku od 0,1 stepen Celzijusa. Greška u brojanju je polovina vrijednosti dijeljenja.

D ots. = C/2

Ako je vrijednost podjele 0,1 stepen, onda za medicinski termometar možete napraviti proračune:

D = 0,1 o C + 0,1 o C / 2 = 0,15 o C

Na poleđini skale drugog termometra nalazi se specifikacija i naznačeno je da je za ispravno mjerenje potrebno uroniti cijelu stražnju stranu termometra. nije određeno. Ostaje samo greška u brojanju.

Ako je vrijednost podjele skale ovog termometra 2 o C, tada je moguće mjeriti temperaturu sa tačnošću od 1 o C. To su granice dozvoljene apsolutne greške mjerenja i izračunavanja apsolutne greške mjerenja.

U električnim mjernim instrumentima koristi se poseban sistem za izračunavanje tačnosti.

Preciznost električnih mjernih instrumenata

Za određivanje točnosti takvih uređaja koristi se vrijednost koja se zove klasa točnosti. Za označavanje se koristi slovo “Gamma”. Da biste precizno odredili apsolutnu i relativnu grešku mjerenja, morate znati klasu tačnosti uređaja, koja je naznačena na skali.

Uzmimo za primjer ampermetar. Njegova skala označava klasu tačnosti, koja pokazuje broj 0,5. Pogodan je za mjerenja pri konstantnom i naizmjenična struja, odnosi se na uređaje elektromagnetnog sistema.

Ovo je dovoljno precizni instrument. Ako ga uporedite sa školskim voltmetrom, možete vidjeti da ima klasu tačnosti 4. Ovu vrijednost morate znati za dalje proračune.

Primena znanja

Dakle, D c = c (max) X γ /100

Koristićemo ovu formulu za konkretni primjeri. Upotrijebimo voltmetar i pronađimo grešku u mjerenju napona koji daje baterija.

Spojimo bateriju direktno na voltmetar, prvo provjerimo da li je igla na nuli. Prilikom povezivanja uređaja, igla je odstupila za 4,2 podjele. Ovo stanje se može okarakterisati na sledeći način:

1. Može se vidjeti da je maksimalna vrijednost U za ovog predmeta jednako 6.
2. Klasa tačnosti -(γ) = 4.
3. U(o) = 4,2 V.
4. C=0,2 V

Koristeći ove podatke formule, apsolutna i relativna greška mjerenja izračunava se na sljedeći način:

D U = DU (npr.) + C/2

D U (pr.) = U (max) X γ /100

D U (pr.) = 6 V X 4/100 = 0,24 V

Ovo je greška uređaja.

Proračun apsolutne greške mjerenja u ovom slučaju će se izvršiti na sljedeći način:

D U = 0,24 V + 0,1 V = 0,34 V

Koristeći gornju formulu, možete lako saznati kako izračunati apsolutnu grešku mjerenja.

Postoji pravilo za greške zaokruživanja. Omogućava vam da pronađete prosjek između apsolutne i relativne granice greške.

Naučite da odredite grešku vaganja

Ovo je jedan primjer direktnih mjerenja. Vaganje ima posebno mjesto. Uostalom, polužne vage nemaju vagu. Naučimo kako odrediti grešku takvog procesa. Na tačnost mjerenja mase utječe tačnost utega i savršenstvo same vage.

Koristimo polužne vage sa setom utega koji se moraju postaviti na desnu ploču vage. Za vaganje uzmite ravnalo.

Prije nego započnete eksperiment, morate izbalansirati vagu. Stavite ravnalo na lijevu posudu.

Masa će biti jednaka zbroju instaliranih težina. Odredimo grešku u mjerenju ove veličine.

D m = D m (vaga) + D m (tezini)

Greška u mjerenju mase sastoji se od dva pojma povezana sa vagom i tegovima. Kako bi saznali svaku od ovih vrijednosti, tvornice koje proizvode vage i utege daju proizvode posebnim dokumentima koji omogućavaju izračunavanje točnosti.

Korišćenje tabela

Koristimo standardnu ​​tabelu. Greška vage zavisi od toga koja je masa stavljena na vagu. Što je veći, odgovarajuća je veća i greška.

Čak i ako stavite vrlo lagano tijelo, doći će do greške. To je zbog procesa trenja koji se odvija u osovinama.

Druga tabela je za set utega. To ukazuje da svaki od njih ima sopstvenu grešku mase. 10 grama ima grešku od 1 mg, isto kao i 20 grama. Izračunajmo zbir grešaka svake od ovih pondera uzetih iz tabele.

Zgodno je zapisati masu i grešku mase u dva reda, koji se nalaze jedan ispod drugog. Što su težine manje, to je mjerenje preciznije.

Rezultati

U toku pregleda materijala ustanovljeno je da je nemoguće utvrditi apsolutnu grešku. Možete postaviti samo njegove granične indikatore. Da biste to učinili, koristite formule opisane iznad u izračunima. Ovaj materijal predloženo za učenje u školi za učenike 8-9 razreda. Na osnovu stečenog znanja možete rješavati probleme za određivanje apsolutnih i relativnih grešaka.

Zbog grešaka svojstvenih mjernom instrumentu, odabranoj metodi i postupku mjerenja, razlike spoljni uslovi, u kojem se vrši mjerenje, iz utvrđenih i drugih razloga, rezultat gotovo svakog mjerenja je opterećen greškom. Ova greška se izračunava ili procjenjuje i pripisuje dobijenom rezultatu.

Greška rezultata mjerenja(ukratko - greška mjerenja) - odstupanje rezultata mjerenja od prave vrijednosti izmjerene vrijednosti.

Prava vrijednost količine ostaje nepoznata zbog prisustva grešaka. Koristi se u rješavanju teorijskih problema mjeriteljstva. U praksi se koristi stvarna vrijednost količine, koja zamjenjuje pravu vrijednost.

Greška mjerenja (Δx) se nalazi po formuli:

x = x mjera. - x važi (1.3)

gdje je x mjera. - vrijednost količine dobijene na osnovu mjerenja; x važi — vrijednost količine koja se uzima kao stvarna.

Za pojedinačna mjerenja, stvarna vrijednost se često uzima kao vrijednost dobivena korištenjem standardnog mjernog instrumenta; za višestruka mjerenja, aritmetička sredina vrijednosti pojedinačnih mjerenja uključenih u datu seriju.

Greške mjerenja se mogu klasificirati prema sljedećim kriterijima:

Po prirodi manifestacija - sistematski i nasumični;

Prema načinu izražavanja - apsolutni i relativni;

Prema uslovima promene izmerene vrednosti - statički i dinamički;

Prema načinu obrade niza mjerenja - aritmetičkih prosjeka i srednjih kvadrata;

Prema potpunosti obuhvata mjernog zadatka - djelimično i potpuno;

U odnosu na jedinicu fizičke veličine - greške u reprodukciji jedinice, pohranjivanju jedinice i prenošenju veličine jedinice.

Sistematska greška mjerenja(ukratko – sistematska greška) – komponenta greške mjernog rezultata koja ostaje konstantna za datu seriju mjerenja ili se prirodno mijenja sa ponovljenim mjerenjima iste fizičke veličine.

Prema prirodi ispoljavanja, sistematske greške se dele na stalne, progresivne i periodične. Stalne sistematske greške(ukratko - stalne greške) - greške, dugo vrijeme zadržavajući svoju vrijednost (na primjer, tokom cijele serije mjerenja). Ovo je najčešći tip greške.

Progresivne sistematske greške(ukratko - progresivne greške) - greške koje se kontinuirano povećavaju ili opadaju (na primjer, greške zbog trošenja mjernih vrhova koji dolaze u kontakt s dijelom tokom procesa brušenja kada ga prati aktivnim kontrolnim uređajem).

Periodična sistematska greška(ukratko - periodična greška) - greška čija je vrijednost funkcija vremena ili funkcija kretanja kazaljke mjernog uređaja (na primjer, prisustvo ekscentriciteta u goniometarskim uređajima s kružnom skalom uzrokuje sistematsko greška koja varira prema periodičnom zakonu).

Na osnovu razloga za pojavu sistematskih grešaka, razlikuju se instrumentalne greške, greške metode, subjektivne greške i greške usled odstupanja spoljašnjih uslova merenja od onih utvrđenih metodama.

Instrumentalna greška mjerenja(ukratko instrumentalna greška) posljedica je niza razloga: habanja dijelova uređaja, prekomjernog trenja u mehanizmu uređaja, nepreciznog označavanja poteza na skali, neslaganja stvarnih i nominalnih vrijednosti mjere itd. .

Greška metode mjerenja(ukratko – greška metode) može nastati zbog nesavršenosti metode mjerenja ili njenih pojednostavljenja utvrđenih metodologijom mjerenja. Na primjer, takva greška može biti posljedica nedovoljnih performansi mjernih instrumenata koji se koriste pri mjerenju parametara brzih procesa ili neuračunatih nečistoća pri određivanju gustine tvari na osnovu rezultata mjerenja njene mase i zapremine.

Subjektivna greška mjerenja(ukratko - subjektivna greška) nastaje zbog individualnih grešaka operatera. Ova greška se ponekad naziva ličnom razlikom. Uzrokuje ga, na primjer, kašnjenje ili napredak u prihvaćanju signala od strane operatera.

Greška zbog odstupanja(u jednom pravcu) spoljašnji merni uslovi od onih utvrđenih tehnikom merenja dovode do pojave sistematske komponente greške merenja.

Sistematske greške iskrivljuju rezultat mjerenja, tako da se moraju eliminisati što je više moguće uvođenjem korekcija ili podešavanjem uređaja kako bi se sistematske greške svele na prihvatljivi minimum.

Neisključena sistematska greška(ukratko - neisključena greška) je greška rezultata mjerenja, zbog greške u proračunu i uvođenju korekcije za djelovanje sistematske greške, ili mala sistematska greška za koju se korekcija ne uvodi zbog na svoju malenkost.

Ponekad se ova vrsta greške naziva neisključeni ostaci sistematske greške(ukratko - neisključena stanja). Na primjer, prilikom mjerenja dužine linijskog metra u talasnim dužinama referentnog zračenja, identifikovano je nekoliko neisključenih sistematskih grešaka (i): zbog netačnog mjerenja temperature - 1; zbog netačnog određivanja indeksa prelamanja vazduha - 2, zbog netačne talasne dužine - 3.

Obično se uzima u obzir zbir neisključenih sistematskih grešaka (njihove granice se postavljaju). Kada je broj pojmova N ≤ 3, granice neisključenih sistematskih grešaka izračunavaju se pomoću formule

Kada je broj pojmova N ≥ 4, formula se koristi za proračune

(1.5)

gde je k koeficijent zavisnosti neisključenih sistematskih grešaka od izabrane verovatnoće pouzdanosti P kada su one ravnomerno raspoređene. Kod P = 0,99, k = 1,4, kod P = 0,95, k = 1,1.

Slučajna greška mjerenja(ukratko - slučajna greška) - komponenta greške mjernog rezultata koja se nasumično mijenja (znak i vrijednost) u nizu mjerenja iste veličine fizičke veličine. Razlozi za slučajne greške: greške zaokruživanja prilikom očitavanja, varijacije u očitavanju, promjene u nasumičnom mjernom stanju, itd.

Slučajne greške uzrokuju raspršivanje rezultata mjerenja u nizu.

Teorija grešaka zasniva se na dva principa, potvrđena u praksi:

1. Sa velikim brojem mjerenja, slučajne greške iste numeričke vrijednosti, ali drugačiji znak, javljaju se podjednako često;

2. Velike (u apsolutnoj vrijednosti) greške su manje uobičajene od malih.

Iz prve pozicije slijedi važan zaključak za praksu: kako se broj mjerenja povećava, slučajna greška rezultata dobijenog nizom mjerenja opada, budući da zbir grešaka pojedinačnih mjerenja date serije teži nuli, tj.

(1.6)

Na primjer, kao rezultat mjerenja, dobiven je niz vrijednosti električni otpor(ispravljeno za sistematske greške): R 1 = 15,5 Ohm, R 2 = 15,6 Ohm, R 3 = 15,4 Ohm, R 4 = 15,6 Ohm i R 5 = 15,4 Ohm. Dakle, R = 15,5 Ohm. Odstupanja od R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ohm, R 3 = -0,1 Ohm, R 4 = +0,1 Ohm i R 5 = -0,1 Ohm) su slučajne greške pojedinačnih mjerenja u ovoj seriji. Lako je provjeriti da je zbir R i = 0,0. To ukazuje da su greške u pojedinačnim mjerenjima ove serije izračunate ispravno.

Unatoč činjenici da kako se broj mjerenja povećava, zbir slučajnih grešaka teži nuli (u ovom primjeru slučajno se ispostavilo da je nula), slučajna greška rezultata mjerenja mora se procijeniti. U teoriji slučajnih varijabli, disperzija o2 služi kao karakteristika disperzije vrijednosti slučajne varijable. "|/o2 = a naziva se srednja kvadratna devijacija populacije ili standardna devijacija.

Pogodnije je od disperzije, jer se njegova dimenzija poklapa s dimenzijom mjerene veličine (na primjer, vrijednost količine se dobija u voltima, standardna devijacija će također biti u voltima). Budući da se u mjernoj praksi bavimo pojmom „greška“, za karakterizaciju većeg broja mjerenja treba koristiti izvedeni termin „srednja kvadratna greška“. Karakteristika serije mjerenja može biti aritmetička srednja greška ili opseg rezultata mjerenja.

Raspon rezultata mjerenja (skraćeno raspon) je algebarska razlika između najvećeg i najmanjeg rezultata pojedinačnih mjerenja, formirajući seriju (ili uzorak) od n mjerenja:

R n = X max - X min (1.7)

gdje je R n opseg; X max i X min - najveći i najmanju vrijednost vrijednosti u datoj seriji mjerenja.

Na primjer, od pet mjerenja promjera rupe d, vrijednosti R 5 = 25,56 mm i R 1 = 25,51 mm pokazale su se kao njegove maksimalne i minimalne vrijednosti. U ovom slučaju, R n = d 5 - d 1 = 25,56 mm - 25,51 mm = 0,05 mm. To znači da su preostale greške u ovoj seriji manje od 0,05 mm.

Srednja aritmetička greška pojedinačnog mjerenja u nizu(ukratko - aritmetička srednja greška) - generalizovana karakteristika raspršenja (zbog slučajnih razloga) pojedinačnih rezultata merenja (iste količine) uključenih u seriju od n nezavisnih merenja jednake preciznosti, izračunatih po formuli

(1.8)

gdje je X i rezultat i-tog mjerenja uključenog u seriju; x je aritmetička sredina n vrijednosti: |H í - X| — apsolutna vrijednost greške i-tog mjerenja; r je aritmetička srednja greška.

Prava vrijednost prosječne aritmetičke greške p određuje se iz relacije

p = lim r, (1.9)

Sa brojem mjerenja n > 30 između aritmetičke sredine (r) i srednjeg kvadrata (s) postoje korelacije između grešaka

s = 1,25 r; r i= 0,80 s. (1.10)

Prednost greške aritmetičke sredine je jednostavnost njenog izračunavanja. Ipak, srednja kvadratna greška se češće određuje.

Srednja kvadratna greška pojedinačno mjerenje u seriji (ukratko - srednja kvadratna greška) - generalizirana karakteristika raspršenja (zbog slučajnih razloga) pojedinačnih rezultata mjerenja (iste vrijednosti) uključenih u seriju P nezavisna mjerenja jednake preciznosti, izračunata po formuli

(1.11)

Srednja kvadratna greška za opšti uzorak o, koja je statistička granica S, može se izračunati na /i-mx > koristeći formulu:

Σ = lim S (1.12)

U stvarnosti, broj mjerenja je uvijek ograničen, tako da nije σ , i njegovu približnu vrijednost (ili procjenu), koja je s. Više P,što je s bliže svojoj granici σ .

Sa normalnim zakonom raspodjele, vjerovatnoća da greška pojedinačnog mjerenja u nizu neće premašiti izračunatu srednju kvadratnu grešku je mala: 0,68. Dakle, u 32 slučaja od 100 ili 3 slučaja od 10 stvarna greška može biti veća od izračunate.

Slika 1.2 Smanjenje vrijednosti slučajne greške rezultata višestrukih mjerenja sa povećanjem broja mjerenja u nizu

U nizu mjerenja, postoji odnos između srednje kvadratne greške pojedinačnog mjerenja s i srednje kvadratne greške aritmetičke sredine S x:

koje se često naziva “U n pravilo”. Iz ovog pravila proizilazi da se greška mjerenja zbog slučajnih uzroka može smanjiti za n puta ako se izvrši n mjerenja iste veličine bilo koje veličine, a kao konačni rezultat se uzme aritmetička sredina (slika 1.2).

Izvođenje najmanje 5 mjerenja u nizu omogućava smanjenje utjecaja slučajnih grešaka za više od 2 puta. Sa 10 mjerenja, utjecaj slučajne greške se smanjuje za 3 puta. Dalje povećanje broja mjerenja nije uvijek ekonomski izvodljivo i po pravilu se provodi samo za kritična mjerenja koja zahtijevaju visoku tačnost.

Srednja kvadratna greška jednog mjerenja iz više homogenih dvostrukih mjerenja S α izračunava se po formuli

(1.14)

gdje su x" i i x"" i i-ti rezultati mjerenja iste veličine veličine u smjeru naprijed i nazad sa jednim mjernim instrumentom.

U slučaju nejednakih mjerenja, srednja kvadratna greška aritmetičkog prosjeka u seriji određena je formulom

(1.15)

gdje je p i težina i-tog mjerenja u nizu nejednakih mjerenja.

Srednja kvadratna greška rezultata indirektnih mjerenja vrijednosti Y, koja je funkcija od Y = F (X 1, X 2, X n), izračunava se pomoću formule

(1.16)

gdje su S 1, S 2, S n srednje kvadratne greške rezultata mjerenja veličina X 1, X 2, X n.

Ako se radi veće pouzdanosti u dobijanju zadovoljavajućeg rezultata izvede više serija merenja, srednja kvadratna greška pojedinačnog merenja iz m serije (S m) se nalazi po formuli

(1.17)

gdje je n broj mjerenja u seriji; N— ukupan broj mjerenja u svim serijama; m je broj serija.

Uz ograničen broj mjerenja, često je potrebno znati srednju kvadratnu grešku. Za određivanje greške S, izračunate po formuli (2.7), i greške S m, izračunate po formuli (2.12), možete koristiti sljedeće izraze

(1.18)

(1.19)

gdje su S i S m srednje kvadratne greške za S i S m , respektivno.

Na primjer, prilikom obrade rezultata brojnih mjerenja dužine x, dobili smo

= 86 mm 2 pri n = 10,

= 3,1 mm

= 0,7 mm ili S = ±0,7 mm

Vrijednost S = ±0,7 mm znači da je zbog greške u proračunu s u rasponu od 2,4 do 3,8 mm, pa su desetinke milimetra ovdje nepouzdane. U razmatranom slučaju moramo napisati: S = ±3 mm.

Da biste imali veće samopouzdanje u proceni greške rezultata merenja, izračunajte grešku poverenja ili granice poverenja greške. Prema zakonu normalne distribucije, granice pouzdanosti greške se izračunavaju kao ±t-s ili ±t-s x, gdje su s i s x srednje kvadratne greške pojedinačnog mjerenja u seriji i aritmetička sredina; t je broj koji zavisi od vjerovatnoće pouzdanosti P i broja mjerenja n.

Važan koncept je pouzdanost rezultata mjerenja (α), tj. vjerovatnoća da će željena vrijednost mjerene veličine pasti unutar datog intervala povjerenja.

Na primjer, kada se obrađuju dijelovi na alatnim mašinama u stabilnom tehnološkom režimu, distribucija grešaka se pridržava normalnog zakona. Pretpostavimo da je tolerancija dužine dijela postavljena na 2a. U ovom slučaju, interval pouzdanosti u kojem se nalazi željena vrijednost dužine dijela a bit će (a - a, a + a).

Ako je 2a = ±3s, tada je pouzdanost rezultata a = 0,68, tj. u 32 slučaja od 100 treba očekivati ​​da će veličina dijela premašiti toleranciju 2a. Prilikom procjene kvalitete dijela prema toleranciji od 2a = ±3s, pouzdanost rezultata će biti 0,997. U ovom slučaju možemo očekivati ​​da će samo tri dijela od 1000 premašiti utvrđenu toleranciju, međutim povećanje pouzdanosti moguće je samo smanjenjem greške u dužini dijela. Dakle, da bi se povećala pouzdanost sa a = 0,68 na a = 0,997, greška u dužini dijela mora se smanjiti za tri puta.

Nedavno je izraz „pouzdanost mjerenja“ postao široko rasprostranjen. U nekim slučajevima se nerazumno koristi umjesto izraza "preciznost mjerenja". Na primjer, u nekim izvorima možete pronaći izraz „uspostavljanje jedinstva i pouzdanosti mjerenja u zemlji“. Dok bi bilo ispravnije reći „uspostavljanje jedinstva i potrebne tačnosti mjerenja“. Smatramo da je pouzdanost kvalitativna karakteristika koja odražava blizinu nuli slučajnih grešaka. Može se kvantitativno odrediti kroz nepouzdanost mjerenja.

Nepouzdanost mjerenja(ukratko - nepouzdanost) - procjena neslaganja između rezultata u nizu mjerenja zbog utjecaja ukupnog utjecaja slučajnih grešaka (utvrđenih statističkim i nestatističkim metodama), karakteriziranih rasponom vrijednosti u kojoj se nalazi prava vrijednost izmjerene vrijednosti.

U skladu sa preporukama Međunarodnog biroa za utege i mjere, nepouzdanost se izražava u obliku ukupne srednje kvadratne greške mjerenja - Su, uključujući srednju kvadratnu grešku S (utvrđenu statističkim metodama) i srednju kvadratnu grešku u (utvrđenu nestatističkim metodama), tj.

(1.20)

Maksimalna greška merenja(ukratko - maksimalna greška) - maksimalna greška merenja (plus, minus), čija verovatnoća ne prelazi vrednost P, dok je razlika 1 - P beznačajna.

Na primjer, sa normalnim zakonom raspodjele, vjerovatnoća slučajne greške jednake ±3s je 0,997, a razlika 1-P = 0,003 je beznačajna. Stoga se u mnogim slučajevima greška pouzdanosti od ±3s uzima kao maksimum, tj. pr = ±3s. Ako je potrebno, pr može imati druge odnose sa s na dovoljno velikom P (2s, 2,5s, 4s, itd.).

S obzirom na to da se u GSI standardima umjesto izraza “srednja kvadratna greška” koristi termin “srednja kvadratna devijacija”, u daljim raspravama ćemo se pridržavati upravo tog pojma.

Apsolutna greška mjerenja(ukratko - apsolutna greška) - greška mjerenja izražena u jedinicama mjerene vrijednosti. Dakle, greška X u mjerenju dužine dijela X, izražena u mikrometrima, predstavlja apsolutnu grešku.

Ne treba mešati pojmove „apsolutna greška“ i „apsolutna vrednost greške“, što se podrazumeva kao vrednost greške bez uzimanja u obzir predznaka. Dakle, ako je apsolutna greška mjerenja ±2 μV, tada će apsolutna vrijednost greške biti 0,2 μV.

Relativna greška mjerenja(ukratko - relativna greška) - greška mjerenja, izražena u dijelovima vrijednosti izmjerene vrijednosti ili u procentima. Relativna greška δ se nalazi iz relacija:

(1.21)

Na primjer, postoji realna vrijednost dužine dijela x = 10,00 mm i apsolutna vrijednost greške x = 0,01 mm. Relativna greška će biti

Statička greška— greška rezultata mjerenja zbog uslova statičkog mjerenja.

Dinamička greška— greška rezultata mjerenja zbog uslova dinamičkog mjerenja.

Greška u reprodukciji jedinice— greška u rezultatu mjerenja pri reprodukciji jedinice fizičke veličine. Dakle, greška u reprodukciji jedinice pomoću državnog standarda je naznačena u obliku njegovih komponenti: neisključena sistematska greška, koju karakteriše njena granica; slučajna greška koju karakteriše standardna devijacija s i nestabilnost tokom godine ν.

Greška u prijenosu veličine jedinice— greška u rezultatu mjerenja pri prenošenju veličine jedinice. Greška u prenošenju veličine jedinice uključuje neisključene sistematske greške i slučajne greške metode i načina prenošenja jedinice veličine (na primjer, komparator).

Esej

Apsolutna i relativna greška

Uvod

Apsolutna greška - je procjena apsolutne greške mjerenja. Izračunato Različiti putevi. Metoda izračuna je određena distribucijom slučajne varijable. Shodno tome, veličina apsolutne greške zavisi od distribucije slučajne varijable može biti drugačije. Ako je izmjerena vrijednost, i je prava vrijednost, zatim nejednakost mora biti ispunjen sa nekom vjerovatnoćom bliskom 1. Ako slučajna vrijednost se distribuira prema normalnom zakonu, tada se njegova standardna devijacija obično uzima kao apsolutna greška. Apsolutna greška se mjeri u istim jedinicama kao i sama veličina.

Postoji nekoliko načina da se zapiše količina zajedno sa njenom apsolutnom greškom.

· Obično se koristi signirana notacija ± . Na primjer, rekord na 100 metara, postavljen 1983. je 9.930±0.005 s.

· Za snimanje količina izmjerenih sa vrlo visoka tačnost, koristi se drugačija notacija: brojevi koji odgovaraju pogrešci zadnjih znamenki mantise dodaju se u zagradama. Na primjer, izmjerena vrijednost Boltzmannove konstante je 1,380 6488 (13)×10?23 J/C, što se takođe može pisati mnogo duže kao 1380 6488×10?23 ± 0,000 0013×10?23 J/C.

Relativna greška- greška mjerenja, izražena kao omjer apsolutne greške mjerenja i stvarne ili prosječne vrijednosti izmjerene vrijednosti (RMG 29-99):.

Relativna greška je bezdimenzionalna veličina ili se mjeri u postocima.

1. Šta je približna vrijednost?

Sa viškom i nedostatkom? U procesu proračuna često se mora nositi s približnim brojevima. Neka A- tačna vrijednost određene količine, u daljem tekstu tačan broj A.Ispod približne vrijednosti A,ili približne brojkepozvani broj A, zamjenjujući tačnu vrijednost količine A.Ako A< A,To Anaziva se približna vrijednost broja I zbog nedostatka.Ako A> A,- To preko viška.Na primjer, 3.14 je aproksimacija broja ? nedostatkom, a 3,15 - viškom. Za karakterizaciju stepena tačnosti ove aproksimacije koristi se koncept greške ili greške.

Greška ?Apribližan broj Anaziva razlika oblika

?a = A - a,

Gdje A- odgovarajući tačan broj.

Sa slike se vidi da je dužina segmenta AB između 6 cm i 7 cm.

To znači da je 6 približna vrijednost dužine segmenta AB (u centimetrima) > sa manjkom, a 7 sa viškom.

Označavajući dužinu segmenta slovom y, dobijamo: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentAB (vidi sliku 149) je bliže 6 cm nego 7 cm.Približno je jednako 6 cm. Kažu da je broj 6 dobijen zaokruživanjem dužine segmenta na cijele brojeve.

. Šta je greška aproksimacije?

A) Apsolutno?

B) Rođak?

A) Apsolutna greška aproksimacije je veličina razlike između prave vrijednosti veličine i njene približne vrijednosti. |x - x_n|, gdje je x prava vrijednost, x_n je približna vrijednost. Na primjer: Dužina lista A4 papira je (29,7 ± 0,1) cm, a udaljenost od Sankt Peterburga do Moskve je (650 ± 1) km. Apsolutna greška u prvom slučaju ne prelazi jedan milimetar, au drugom - jedan kilometar. Pitanje je uporediti tačnost ovih mjerenja.

Ako mislite da se dužina lima tačnije mjeri jer apsolutna greška ne prelazi 1 mm. Onda si u krivu. Ove vrijednosti se ne mogu direktno porediti. Hajde da malo zaključimo.

Prilikom mjerenja dužine lista apsolutna greška ne prelazi 0,1 cm na 29,7 cm, tj. postotak ovo je 0,1/29,7 *100% = 0,33% izmjerene vrijednosti.

Kada mjerimo udaljenost od Sankt Peterburga do Moskve, apsolutna greška ne prelazi 1 km na 650 km, što u procentima iznosi 1/650 * 100% = 0,15% izmjerene vrijednosti. Vidimo da se udaljenost između gradova mjeri preciznije od dužine A4 lista.

B) Relativna greška aproksimacije je omjer apsolutne greške i apsolutne vrijednosti približne vrijednosti veličine.

razlomak matematičke greške

gdje je x prava vrijednost, x_n je približna vrijednost.

Relativna greška se obično izražava u postocima.

Primjer. Zaokruživanje broja 24,3 na jedinice daje broj 24.

Relativna greška je jednaka. Kažu da je relativna greška u ovom slučaju 12,5%.

) Koja vrsta zaokruživanja se naziva zaokruživanje?

A) Sa nedostatkom?

B) Višak?

A) Zaokruživanje prema dolje

Prilikom zaokruživanja broja izraženog kao decimalni razlomak na najbliže 10^(-n), prvih n decimalnih mjesta se zadržavaju, a naredna se odbacuju.

Na primjer, zaokružujući 12.4587 na najbližu hiljaditu, dobijamo 12.458.

B) Zaokruživanje

Prilikom zaokruživanja broja izraženog kao decimalni razlomak na najbliže 10^(-n), prvih n decimalnih mjesta se zadržava u višku, a narednih se odbacuju.

Na primjer, zaokružujući 12.4587 na najbližu hiljaditu, dobijamo 12.459.

) Pravilo za zaokruživanje decimala.

Pravilo. Zaokružiti decimalni na određenu cifru celobrojnog ili razlomačnog dela sve manje cifre se zamenjuju nulama ili odbacuju, a cifra koja prethodi cifri koja je odbačena tokom zaokruživanja ne menja njenu vrednost ako iza nje slede brojevi 0, 1, 2, 3, 4, i povećava se za 1 (jedan) ako su brojevi 5, 6, 7, 8, 9.

Primjer. Zaokružite razlomak 93,70584 na:

desethiljaditini: 93,7058

hiljaditi: 93.706

stotinke: 93,71

desetine: 93,7

cijeli broj: 94

desetice: 90

Uprkos jednakosti apsolutne greške, jer mjerene veličine su različite. Što je veća izmjerena veličina, manja je relativna greška, dok apsolutna greška ostaje konstantna.

Tutoring

Trebate pomoć u proučavanju teme?

Naši stručnjaci će savjetovati ili pružiti usluge podučavanja o temama koje vas zanimaju.
Pošaljite svoju prijavu naznačivši temu upravo sada kako biste saznali o mogućnosti dobivanja konsultacija.