As transformações mais simples de gráficos de funções. Conversão de gráfico

Para trás para a frente

Atenção! A visualização do slide é apenas para fins informativos e pode não representar toda a extensão da apresentação. Se você estiver interessado Este trabalho faça o download da versão completa.

O objetivo da lição: Determinar os padrões de transformação de gráficos de funções.

Tarefas:

Educacional:

• Ensine os alunos a traçar gráficos de funções transformando o gráfico esta função, aplicando tradução paralela, compressão (alongamento), tipos diferentes simetria.

Educacional:

• Levantar a questão qualidades pessoais alunos (a capacidade de ouvir), boa vontade para com os outros, atenção, precisão, disciplina, capacidade de trabalhar em grupo.
• Despertar o interesse pelo assunto e a necessidade de adquirir conhecimento.

Em desenvolvimento:

• Desenvolver a imaginação espacial e pensamento lógico alunos, a capacidade de navegar rapidamente no ambiente; desenvolver inteligência, desenvoltura, treinar a memória.

Equipamento:

• Instalação multimídia: computador, projetor.

Literatura:

1. Bashmakov, M.I. Matemática [Texto]: livro didático para instituições iniciais. e média prof. educação / M. I. Bashmakov. - 5ª ed., corrigida. - M.: Centro Editorial "Academia", 2012. - 256 p.
2. Bashmakov, M.I. Matemática. Livro de problemas [Texto]: livro didático. subsídio para educação. instituições no início e média prof. Educação / M. I. Bashmakov. - M.: Centro de Publicações "Academy", 2012. - 416 p.

Plano de aula:

1. Momento organizacional (3 min).
2. Atualização de conhecimentos (7 min).
3. Explicação do novo material (20 min).
4. Consolidação de novo material (10 min).
5. Resumo da lição (3 min).
6. Trabalho de casa(2 minutos).

Durante as aulas

1. Org. momento (3 minutos).

Verificando os presentes.

Mensagem sobre o propósito da lição.

As principais propriedades das funções como dependências entre variáveis ​​não devem mudar significativamente quando o método de medição dessas grandezas muda, ou seja, quando a escala de medição e o ponto de referência mudam. No entanto, devido a uma escolha mais racional do método de medição variáveis geralmente é possível simplificar a notação da dependência entre eles, para trazer essa notação para alguma forma padrão. Em linguagem geométrica, mudar a forma como as quantidades são medidas significa algumas transformações simples de gráficos, que agora estudaremos.

2. Atualização do conhecimento (7 min).

Antes de falarmos sobre transformações de grafos, vamos repetir o material abordado.

trabalho oral. (Slide 2).

Funções dadas:

3. Descreva os gráficos de funções: , , , .

3. Explicação do novo material (20 min).

As transformações mais simples de grafos são sua translação paralela, compressão (alongamento) e alguns tipos de simetria. Algumas transformações são apresentadas na tabela (Anexo 1), (Slide 3).

Trabalho em equipe.

Cada grupo traça as funções dadas e apresenta o resultado para discussão.

Transformação do gráfico de funções

Neste artigo, apresentarei transformações lineares de gráficos de funções e mostrarei como usar essas transformações para obter um gráfico de função de um gráfico de função.

Uma transformação linear de uma função é uma transformação da própria função e/ou seu argumento para a forma , bem como uma transformação contendo o módulo do argumento e/ou funções.

As seguintes ações causam as maiores dificuldades na plotagem de gráficos usando transformações lineares:

1. O isolamento da função base, na verdade, o gráfico do qual estamos transformando.
2. Definições da ordem das transformações.

EÉ sobre esses pontos que nos deteremos com mais detalhes.

Vamos dar uma olhada mais de perto na função

É baseado em uma função. Vamos chamá-la função básica.

Ao plotar uma função fazemos transformações do gráfico da função base.

Se transformássemos a função na mesma ordem em que seu valor foi encontrado para um certo valor do argumento, então

Vamos considerar que tipos de argumentos lineares e transformações de função existem e como realizá-los.

Transformações de argumentos.

1. f(x) f(x+b)

1. Construímos um gráfico de uma função

2. Deslocamos o gráfico da função ao longo do eixo OX por |b| unidades

• esquerda se b>0
• certo se b<0

Vamos plotar a função

1. Traçamos a função

2. Desloque 2 unidades para a direita:

2. f(x) f(kx)

1. Construímos um gráfico de uma função

2. Divida as abcissas dos pontos do gráfico por k, deixe as ordenadas dos pontos inalteradas.

Vamos plotar a função.

1. Traçamos a função

2. Divida todas as abcissas dos pontos do gráfico por 2, deixe as ordenadas inalteradas:

3. f(x) f(-x)

1. Construímos um gráfico de uma função

2. Nós o exibimos simetricamente em torno do eixo OY.

Vamos plotar a função.

1. Traçamos a função

2. Nós o exibimos simetricamente em torno do eixo OY:

4. f(x) f(|x|)

1. Traçamos a função

2. Apagamos a parte do gráfico localizada à esquerda do eixo OY, a parte do gráfico localizada à direita do eixo OY Completamos simetricamente em torno do eixo OY:

O gráfico da função fica assim:

Vamos plotar a função

1. Construímos um gráfico de função (este é um gráfico de função deslocado ao longo do eixo OX em 2 unidades para a esquerda):

2. Parte do gráfico localizada à esquerda do OY (x<0) стираем:

3. A parte do gráfico localizada à direita do eixo OY (x>0) é preenchida simetricamente em relação ao eixo OY:

Importante! As duas regras principais para conversão de argumentos.

1. Todas as transformações de argumentos são realizadas ao longo do eixo OX

2. Todas as transformações do argumento são realizadas "vice-versa" e "na ordem inversa".

Por exemplo, em uma função, a sequência de transformações de argumentos é a seguinte:

1. Tomamos o módulo de x.

2. Adicione o número 2 ao módulo x.

Mas fizemos a plotagem na ordem inversa:

Primeiro, realizamos a transformação 2. - deslocamos o gráfico em 2 unidades para a esquerda (ou seja, as abcissas dos pontos foram reduzidas em 2, como se fosse "vice-versa")

Em seguida, realizamos a transformação f(x) f(|x|).

Resumidamente, a sequência de transformações é escrita da seguinte forma:

Agora vamos falar sobre transformação de função . Transformações estão sendo feitas

1. Ao longo do eixo OY.

2. Na mesma sequência em que as ações são executadas.

Estas são as transformações:

1. f(x)f(x)+D

2. Desloque-o ao longo do eixo OY por |D| unidades

• para cima se D>0
• para baixo se D<0

Vamos plotar a função

1. Traçamos a função

2. Mova-o ao longo do eixo OY em 2 unidades para cima:

2. f(x)Af(x)

1. Traçamos a função y=f(x)

2. Multiplicamos as ordenadas de todos os pontos do gráfico por A, deixamos as abcissas inalteradas.

Vamos plotar a função

1. Faça um gráfico da função

2. Multiplicamos as ordenadas de todos os pontos do gráfico por 2:

3.f(x)-f(x)

1. Traçamos a função y=f(x)

Vamos plotar a função.

1. Construímos um gráfico de funções.

2. Nós o exibimos simetricamente em torno do eixo OX.

4. f(x)|f(x)|

1. Traçamos a função y=f(x)

2. A parte do gráfico localizada acima do eixo OX permanece inalterada, a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX é exibida simetricamente em relação a este eixo.

Vamos plotar a função

1. Construímos um gráfico de funções. É obtido deslocando o gráfico da função ao longo do eixo OY em 2 unidades para baixo:

2. Agora a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX será exibida simetricamente em relação a este eixo:

E a última transformação, que, a rigor, não pode ser chamada de transformação de função, pois o resultado dessa transformação não é mais uma função:

|y|=f(x)

1. Traçamos a função y=f(x)

2. Apagamos a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX, depois completamos a parte do gráfico localizada acima do eixo OX simetricamente em torno deste eixo.

Vamos construir um gráfico da equação

1. Construímos um gráfico de função:

2. Apagamos a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX:

3. A parte do gráfico localizada acima do eixo OX é completada simetricamente em torno deste eixo.

E por fim, sugiro que assista a VÍDEO AULA na qual mostro um algoritmo passo a passo para traçar um gráfico de função

O gráfico desta função fica assim:

Hipótese: Se você estudar o movimento do gráfico durante a formação da equação de funções, notará que todos os gráficos obedecem a leis comuns, portanto, você pode formular leis gerais independente das funções, o que não só facilitará a construção de gráficos de várias funções, mas também usá-los na resolução de problemas.

Objetivo: Estudar o movimento de gráficos de funções:

1) A tarefa de estudar literatura

2) Aprenda a construir gráficos de várias funções

3) Aprenda a converter gráficos de funções lineares

4) Considere o uso de gráficos na resolução de problemas

Objeto de estudo: Gráficos de funções

Objeto de pesquisa: Movimentos de gráficos de funções

Relevância: A construção de gráficos de funções, via de regra, leva muito tempo e requer atenção do aluno, mas conhecendo as regras para transformar gráficos de funções e gráficos de funções básicas, você pode construir gráficos de funções de forma rápida e fácil, o que permitirá você não apenas para concluir tarefas para plotar gráficos de funções, mas também resolver problemas relacionados (para encontrar o máximo (altura mínima de tempo e ponto de encontro))

Este projeto é útil para todos os alunos da escola.

Revisão da literatura:

A literatura discute formas de construir um gráfico de várias funções, bem como exemplos de transformação de gráficos dessas funções. Gráficos de quase todas as principais funções são utilizados em diversos processos técnicos, o que possibilita apresentar com mais clareza o andamento do processo e programar o resultado

Função permanente. Esta função é dada pela fórmula y = b, onde b é algum número. O gráfico de uma função constante é uma linha reta paralela ao eixo x e que passa pelo ponto (0; b) no eixo y. O gráfico da função y \u003d 0 é o eixo das abcissas.

Tipos de função 1Proporcionalidade direta. Essa função é dada pela fórmula y \u003d kx, onde o coeficiente de proporcionalidade k ≠ 0. O gráfico de proporcionalidade direta é uma linha reta que passa pela origem.

Função linear. Tal função é dada pela fórmula y = kx + b, onde k e b são números reais. O gráfico de uma função linear é uma linha reta.

Gráficos de funções lineares podem se cruzar ou ser paralelos.

Assim, as linhas dos gráficos das funções lineares y \u003d k 1 x + b 1 e y \u003d k 2 x + b 2 se cruzam se k 1 ≠ k 2; se k 1 = k 2 , então as linhas são paralelas.

2 A proporcionalidade inversa é uma função dada pela fórmula y \u003d k / x, onde k ≠ 0. K é chamado de coeficiente de proporcionalidade inversa. O gráfico de proporcionalidade inversa é uma hipérbole.

A função y \u003d x 2 é representada por um gráfico chamado parábola: no intervalo [-~; 0] a função é decrescente, no intervalo a função é crescente.

A função y \u003d x 3 aumenta ao longo de toda a reta numérica e é representada graficamente por uma parábola cúbica.

Função de potência com expoente natural. Esta função é dada pela fórmula y \u003d x n, onde n é um número natural. Gráficos de uma função potência com um expoente natural dependem de n. Por exemplo, se n = 1, então o gráfico será uma linha reta (y = x), se n = 2, então o gráfico será uma parábola, etc.

Uma função de potência com um expoente inteiro negativo é representada pela fórmula y \u003d x -n, onde n é um número natural. Esta função é definida para todo x ≠ 0. O gráfico da função também depende do expoente n.

Função de potência com um expoente fracionário positivo. Esta função é representada pela fórmula y \u003d x r, onde r é uma fração irredutível positiva. Esta função também não é nem par nem ímpar.

Linha de gráfico que exibe a relação de variáveis ​​dependentes e independentes no plano de coordenadas. O gráfico serve para exibir visualmente esses elementos.

Uma variável independente é uma variável que pode assumir qualquer valor no escopo das funções (onde a função dada faz sentido (não pode ser dividida por zero))

Para traçar um gráfico de função,

1) Encontre ODZ (intervalo de valores aceitáveis)

2) pegue alguns valores arbitrários para a variável independente

3) Encontre o valor da variável dependente

4) Construa um plano de coordenadas, marque esses pontos nele

5) Conecte suas linhas se necessário, investigue o gráfico resultante Transformação de gráficos de funções elementares.

Conversão de gráfico

Em sua forma pura, as funções elementares básicas, infelizmente, não são tão comuns. Muito mais frequentemente temos que lidar com funções elementares obtidas de funções elementares básicas pela adição de constantes e coeficientes. Gráficos de tais funções podem ser construídos aplicando transformações geométricas aos gráficos das funções elementares básicas correspondentes (ou mudando para um novo sistema de coordenadas). Por exemplo, uma fórmula de função quadrática é uma fórmula de parábola quadrática, comprimida três vezes em relação ao eixo das ordenadas, exibida simetricamente em relação ao eixo das abcissas, deslocada contra a direção deste eixo em 2/3 unidades e deslocada ao longo da direção das ordenadas eixo por 2 unidades.

Vamos entender essas transformações geométricas de um gráfico de função passo a passo usando exemplos específicos.

Com a ajuda de transformações geométricas do gráfico da função f (x), um gráfico de qualquer função da fórmula da forma pode ser plotado, onde a fórmula é os coeficientes de compressão ou expansão ao longo dos eixos oy e ox, respectivamente, o menos os sinais na frente da fórmula e fórmula dos coeficientes indicam uma exibição simétrica do gráfico em relação aos eixos de coordenadas, aeb definem o deslocamento em relação aos eixos de abcissas e ordenadas, respectivamente.

Assim, existem três tipos de transformações geométricas do gráfico da função:

O primeiro tipo é o escalonamento (compressão ou expansão) ao longo dos eixos de abcissas e ordenadas.

A necessidade de dimensionamento é indicada por coeficientes de fórmula diferentes de um, se o número for menor que 1, então o gráfico é comprimido em relação a oy e esticado em relação a ox, se o número for maior que 1, esticamos ao longo do eixo das ordenadas e encolher ao longo do eixo das abcissas.

O segundo tipo é uma exibição simétrica (espelho) em relação aos eixos de coordenadas.

A necessidade dessa transformação é indicada pelos sinais de menos na frente dos coeficientes da fórmula (neste caso, exibimos o gráfico simetricamente em relação ao eixo ox) e a fórmula (neste caso, exibimos o gráfico simetricamente com relação ao eixo y). Se não houver sinais de menos, esta etapa será ignorada.

Transferência paralela.

TRANSFERÊNCIA AO LONGO DO EIXO Y

f(x) => f(x) - b
Seja necessário traçar a função y \u003d f (x) - b. É fácil ver que as ordenadas deste gráfico para todos os valores de x em |b| unidades menores que as ordenadas correspondentes do gráfico das funções y = f(x) para b>0 e |b| mais unidades - em b 0 ou para cima em b Para plotar a função y + b = f(x), plote a função y = f(x) e mova o eixo x para |b| unidades acima para b>0 ou por |b| unidades para baixo em b

TRANSFERÊNCIA AO LONGO DO EIXO X

f(x) => f(x + a)
Seja necessário traçar a função y = f(x + a). Considere uma função y = f(x), que em algum ponto x = x1 assume o valor y1 = f(x1). Obviamente, a função y = f(x + a) terá o mesmo valor no ponto x2, cuja coordenada é determinada a partir da igualdade x2 + a = x1, ou seja. x2 = x1 - a, e a igualdade considerada é válida para a totalidade de todos os valores do domínio da função. Portanto, o gráfico da função y = f(x + a) pode ser obtido pelo deslocamento paralelo do gráfico da função y = f(x) ao longo do eixo x para a esquerda por |a| uns para a > 0 ou para a direita por |a| unidades para a Para plotar a função y = f(x + a), plote a função y = f(x) e mova o eixo y para |a| unidades à direita para a>0 ou |a| unidades à esquerda para um

Exemplos:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Reflexão.

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DA VISTA Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Obviamente, as funções y = f(-x) e y = f(x) assumem valores iguais em pontos cujas abcissas são iguais em valor absoluto, mas de sinal oposto. Em outras palavras, as ordenadas do gráfico da função y = f(-x) na região de valores positivos (negativos) de x serão iguais às ordenadas do gráfico da função y = f(x) com valores negativos (positivos) x correspondentes em valor absoluto. Assim, obtemos a seguinte regra.
Para plotar a função y = f(-x), você deve plotar a função y = f(x) e refleti-la ao longo do eixo y. O gráfico resultante é o gráfico da função y = f(-x)

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DA VISTA Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
As ordenadas do gráfico da função y = - f(x) para todos os valores do argumento são iguais em valor absoluto, mas opostas em sinal às ordenadas do gráfico da função y = f(x) para o mesmos valores do argumento. Assim, obtemos a seguinte regra.
Para plotar a função y = - f(x), você deve plotar a função y = f(x) e refleti-la sobre o eixo x.

Exemplos:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformação.

DEFORMAÇÃO DO GRÁFICO AO LONGO DO EIXO Y

f(x) => kf(x)
Considere uma função da forma y = k f(x), onde k > 0. É fácil ver que para valores iguais do argumento, as ordenadas do gráfico desta função serão k vezes maiores que as ordenadas de o gráfico da função y = f(x) para k > 1 ou 1/k vezes menor que as ordenadas do gráfico da função y = f(x) para k ) ou diminua suas ordenadas em 1/k vezes para k
k > 1- alongamento do eixo Ox
0 - compressão ao eixo OX

DEFORMAÇÃO DO GRÁFICO AO LONGO DO EIXO X

f(x) => f(kx)
Seja necessário traçar a função y = f(kx), onde k>0. Considere uma função y = f(x), que assume o valor y1 = f(x1) em um ponto arbitrário x = x1. É óbvio que a função y = f(kx) assume o mesmo valor no ponto x = x2, cuja coordenada é determinada pela igualdade x1 = kx2, e essa igualdade é válida para a totalidade de todos os valores de x do domínio da função. Conseqüentemente, o gráfico da função y = f(kx) é comprimido (para k 1) ao longo do eixo das abcissas em relação ao gráfico da função y = f(x). Assim, obtemos a regra.
Para plotar a função y = f(kx), plote a função y = f(x) e reduza suas abcissas em k vezes para k>1 (comprima o gráfico ao longo do eixo das abcissas) ou aumente suas abcissas em 1/k vezes para k
k > 1- compressão ao eixo Oy
0 - alongamento do eixo OY