A aplicação da derivada para resolver problemas do Exame Estadual Unificado estará disponível em breve! Mas ainda dá tempo de se preparar! Lição “Aplicação de derivadas na resolução de problemas do Exame Estadual Unificado

A reta y=3x+2 é tangente ao gráfico da função y=-12x^2+bx-10. Encontre b, dado que a abcissa do ponto tangente é menor que zero.

Solução

Seja x_0 a abcissa do ponto no gráfico da função y=-12x^2+bx-10 por onde passa a tangente a este gráfico.

O valor da derivada no ponto x_0 é igual à inclinação da tangente, ou seja, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Por outro lado, o ponto de tangência pertence simultaneamente tanto ao gráfico do função e a tangente, ou seja, -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2. \begin(casos) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \fim(casos)

Resolvendo este sistema, obtemos x_0^2=1, o que significa x_0=-1 ou x_0=1. De acordo com a condição de abcissas, os pontos tangentes são menores que zero, então x_0=-1, então b=3+24x_0=-21.

Responder

Doença

A figura mostra um gráfico da função y=f(x) (que é uma linha quebrada composta por três segmentos retos). Usando a figura, calcule F(9)-F(5), onde F(x) é um dos funções antiderivadas f(x).

Solução

De acordo com a fórmula de Newton-Leibniz, a diferença F(9)-F(5), onde F(x) é uma das antiderivadas da função f(x), é igual à área do trapézio curvilíneo limitado pelo gráfico da função y=f(x), retas y=0 , x=9 e x=5. De acordo com o cronograma, determinamos que o indicado trapézio curvoé um trapézio com bases iguais a 4 e 3 e altura 3.

Sua área é igual \frac(4+3)(2)\cponto 3=10,5.

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Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Doença

A figura mostra um gráfico de y=f"(x) - a derivada da função f(x), definida no intervalo (-4; 10). Encontre os intervalos da função decrescente f(x). Em sua resposta, indique o comprimento do maior deles.

Solução

Como se sabe, a função f(x) decresce naqueles intervalos em cada ponto em que a derivada f"(x) é menor que zero. Considerando que é necessário encontrar o comprimento do maior deles, três desses intervalos são naturalmente distinto da figura: (-4; -2) ; (0; 3);

O comprimento do maior deles - (5; 9) é 4.

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Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Doença

A figura mostra um gráfico de y=f"(x) - a derivada da função f(x), definida no intervalo (-8; 7). Encontre o número de pontos máximos da função f(x) pertencentes a o intervalo [-6;

Solução

O gráfico mostra que a derivada f"(x) da função f(x) muda de sinal de mais para menos (nesses pontos haverá um máximo) exatamente em um ponto (entre -5 e -4) do intervalo [ -6; -2 ] Portanto, existe exatamente um ponto máximo no intervalo [-6;

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Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Doença

A figura mostra um gráfico da função y=f(x), definida no intervalo (-2; 8). Determine o número de pontos em que a derivada da função f(x) é igual a 0.

Solução

A igualdade da derivada em um ponto a zero significa que a tangente ao gráfico da função desenhada neste ponto é paralela ao eixo do Boi. Portanto, encontramos pontos nos quais a tangente ao gráfico da função é paralela ao eixo do Boi. Neste gráfico, tais pontos são pontos extremos (pontos máximos ou mínimos). Como você pode ver, existem 5 pontos extremos.

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Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Doença

A reta y=-3x+4 é paralela à tangente ao gráfico da função y=-x^2+5x-7. Encontre a abscissa do ponto tangente.

Solução

O coeficiente angular da linha reta para o gráfico da função y=-x^2+5x-7 em um ponto arbitrário x_0 é igual a y"(x_0). Mas y"=-2x+5, o que significa y" (x_0)=-2x_0+5. Angular o coeficiente da reta y=-3x+4 especificado na condição é igual a -3. -2x_0 +5=-3.

Obtemos: x_0 = 4.

Responder

Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Doença

A figura mostra um gráfico da função y=f(x) e os pontos -6, -1, 1, 4 estão marcados na abcissa. Em qual desses pontos a derivada é menor? Por favor indique este ponto na sua resposta.

Na tarefa nº 13 do Exame Estadual Unificado em matemática de nível básico, você deverá demonstrar habilidades e conhecimento de um dos conceitos do comportamento de uma função: derivadas em um ponto ou taxas de aumento ou diminuição. A teoria para esta tarefa será acrescentada um pouco mais tarde, mas isso não nos impedirá de examinar detalhadamente vários opções típicas.

Análise de opções típicas para tarefas nº 14 do Exame Estadual Unificado em matemática de nível básico

Primeira versão da tarefa (versão demo 2018)

O gráfico mostra a temperatura versus o tempo enquanto o motor aquece. carro de passageiros. O eixo horizontal mostra o tempo em minutos decorrido desde a partida do motor; sobre eixo vertical– temperatura do motor em graus Celsius.

Usando o gráfico, combine cada intervalo de tempo com as características do processo de aquecimento do motor durante esse intervalo.

Na tabela, abaixo de cada letra, indique o número correspondente.

Algoritmo de execução:

1. Selecione o intervalo de tempo durante o qual a temperatura caiu.
2. Aplique uma régua a 30°C e determine o intervalo de tempo durante o qual a temperatura ficou abaixo de 30°C.

Solução:

Escolhamos o intervalo de tempo durante o qual a temperatura caiu. Esta seção é visível a olho nu; começa 8 minutos a partir do momento em que o motor é ligado.

Aplique uma régua a 30°C e determine o intervalo de tempo durante o qual a temperatura ficou abaixo de 30°C.

Abaixo da régua haverá uma seção correspondente ao intervalo de tempo de 0 a 1 min.

Usando um lápis e uma régua, descobriremos em que intervalo de tempo a temperatura estava na faixa de 40°C a 80°C.

Vamos colocar perpendiculares dos pontos correspondentes a 40°С e 80°С no gráfico, e a partir dos pontos resultantes baixamos as perpendiculares até o eixo do tempo.

Vemos que este intervalo de temperatura corresponde a um intervalo de tempo de 3 – 6,5 minutos. Ou seja, daqueles dados na condição 3 – 6 minutos.

Usando o método de eliminação, selecionaremos a opção de resposta que falta.

Segunda versão da tarefa

Solução:

Vamos analisar o gráfico da função A. Se a função aumenta, então a derivada é positiva e vice-versa. A derivada da função é igual a zero nos pontos extremos.

Primeiro, a função A aumenta, ou seja, a derivada é positiva. Isso corresponde aos gráficos das derivadas 2 e 3. No ponto máximo da função x = -2, ou seja, neste ponto a derivada deve ser igual a zero. Esta condição corresponde ao gráfico número 3.

Primeiro, a função B diminui, ou seja, a derivada é negativa. Isso corresponde aos gráficos das derivadas 1 e 4. O ponto máximo da função é x=-2, ou seja, neste ponto a derivada deve ser igual a zero. Esta condição corresponde ao gráfico número 4.

Primeiro, a função B aumenta, ou seja, a derivada é positiva. Isso corresponde aos gráficos das derivadas 2 e 3. O ponto máximo da função é x = 1, ou seja, neste ponto a derivada deve ser igual a zero. Esta condição corresponde ao gráfico número 2.

Usando o método de eliminação, podemos determinar que o gráfico da função Г corresponde ao gráfico da derivada numerada 1.

Resposta: 3421.

Terceira versão da tarefa

Estabeleça uma correspondência entre os gráficos das funções e os gráficos de suas derivadas.

Algoritmo de execução para cada função:

1. Determine os intervalos de funções crescentes e decrescentes.
2. Determine os pontos máximo e mínimo das funções.
3. Tire conclusões e combine os gráficos propostos.

Solução:

Vamos analisar o gráfico da função A.

Se a função for crescente, então a derivada é positiva e vice-versa. A derivada da função é igual a zero nos pontos extremos.

O ponto extremo é o ponto em que o máximo ou valor mínimo funções.

Primeiro, a função A aumenta, ou seja, a derivada é positiva. Isso corresponde aos gráficos das derivadas 3 e 4. No ponto máximo da função x=0, ou seja, neste ponto a derivada deve ser igual a zero. Esta condição corresponde ao gráfico número 4.

Vamos analisar o gráfico da função B.

Primeiro, a função B diminui, ou seja, a derivada é negativa. Isso corresponde aos gráficos das derivadas 1 e 2. O ponto mínimo da função é x=-1, ou seja, neste ponto a derivada deve ser igual a zero. Esta condição corresponde ao gráfico número 2.

Vamos analisar o gráfico da função B.

Primeiro, a função B diminui, ou seja, a derivada é negativa. Isso corresponde aos gráficos das derivadas 1 e 2. O ponto mínimo da função é x = 0, ou seja, neste ponto a derivada deve ser igual a zero. Esta condição corresponde ao gráfico número 1.

Usando o método de eliminação, podemos determinar que o gráfico da função Г corresponde ao gráfico da derivada de número 3.

Resposta: 4213.

Opção da décima quarta tarefa 2017

A figura mostra o gráfico da função e as tangentes traçadas a ela nos pontos de abcissas A, B, C e D.A coluna da direita mostra os valores da derivada nos pontos A, B, C e D. Usando o gráfico, combine cada ponto com o valor da derivada da função nele.

PONTOS
A
EM
COM
D

VALORES DERIVADOS
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Vamos lembrar o que significa a derivada, ou seja, seu valor no ponto - o valor da função derivada em um ponto é igual à tangente do ângulo de inclinação (coeficiente) da tangente.

Nas respostas temos duas opções positivas e duas negativas. Como lembramos, se o coeficiente for reto (gráficos y = kx + b) for positivo, então a linha aumenta, mas se for negativo, então a linha diminui.

Temos duas retas crescentes - nos pontos A e D. Agora vamos lembrar o que significa o valor do coeficiente k?

O coeficiente k mostra a rapidez com que a função aumenta ou diminui (na verdade, o próprio coeficiente k é uma derivada da função y = kx+ b).

Portanto, k = 2/3 corresponde a uma linha reta mais plana - D, e k = 3 - A.

O mesmo acontece no caso de valores negativos: o ponto B corresponde a uma reta mais inclinada com k = - 4, e o ponto C - -1/2.

Significado geométrico derivada X Y 0 tangente α k – declive linha reta (tangente) O significado geométrico da derivada: se uma tangente pode ser desenhada ao gráfico da função y = f(x) no ponto com a abscissa, não paralelo ao eixo y, então ela expressa o coeficiente angular da tangente, ou seja, Desde então a igualdade é verdadeira: Equação de uma linha reta

X y Se α 0. Se α > 90°, então k 90°, então k 90°, então k 90°, então k 90°, então k title="х y Se α 0. Se α > 90°, então k

X y Tarefa 1. A figura mostra um gráfico da função y = f(x) e uma tangente a este gráfico desenhada no ponto com abcissa -1. Encontre o valor da derivada da função f(x) no ponto x =

Y x x0x A figura mostra um gráfico da função y = f(x) e uma tangente a ela no ponto com a abcissa x 0. Encontre o valor da derivada da função f(x) no ponto x 0. Resposta: -0,25

A figura mostra um gráfico da derivada da função f(x), definida no intervalo (-6;6). Encontre os intervalos da função crescente f(x). Na sua resposta, indique a soma dos pontos inteiros incluídos nesses intervalos. B =...

A figura mostra o gráfico da função y = f(x) e a tangente a ela no ponto com a abcissa x 0. Encontre o valor da derivada da função f(x) no ponto x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title="Na imagem mostra o gráfico da função y = f(x ) e a tangente a ela no ponto com a abcissa x 0. Encontre o valor da derivada da função f(x) no ponto x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="A figura mostra o gráfico da função y = f(x) e a tangente a ela no ponto com a abcissa x 0. Encontre o valor da derivada da função f(x) no ponto x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}

A figura mostra um gráfico da derivada da função f(x), definida no intervalo (-1;17). Encontre os intervalos de diminuição da função f(x). Na sua resposta, indique o comprimento do maior deles. f(x)

0 no intervalo, então a função f(x)" title="A figura mostra um gráfico da função y = f(x). Encontre entre os pontos x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5, x 6 e x 7 são os pontos nos quais a derivada da função f(x) é positiva. Em resposta, anote o número de pontos encontrados. Se f (x) > 0 no intervalo, então o. função f(x)" class="link_thumb"> 8 !} A figura mostra um gráfico da função y = f(x). Encontre entre os pontos x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 e x 7 aqueles pontos em que a derivada da função f(x) é positiva. Em resposta, anote o número de pontos encontrados. Se f (x) > 0 em um intervalo, então a função f (x) aumenta neste intervalo Resposta: 2 0 no intervalo, então a função f(x)"> 0 no intervalo, então a função f(x) aumenta neste intervalo Resposta: 2"> 0 no intervalo, então a função f(x)" title= "On A figura mostra o gráfico da função y = f(x). Encontre entre os pontos x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 e x 7 aqueles pontos em que o a derivada da função f(x) é positiva. Escreva o número de pontos encontrados. Se f (x) > 0 no intervalo, então a função f(x)"> title="A figura mostra o gráfico da função y = f(x). Encontre entre os pontos x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 e x 7 aqueles pontos em que a derivada da função f(x) é positiva. Em resposta, anote o número de pontos encontrados. Se f (x) > 0 em um intervalo, então a função f(x)"> !}

A figura mostra um gráfico da derivada da função f(x), definida no intervalo (-9; 2). Em que ponto do segmento -8; -4 função f(x) leva valor mais alto? No segmento -8; -4f(x)

A função y = f(x) é definida no intervalo (-5; 6). A figura mostra o gráfico da função y = f(x). Encontre entre os pontos x 1, x 2, ..., x 7 aqueles pontos em que a derivada da função f(x) é igual a zero. Em resposta, anote o número de pontos encontrados. Resposta: 3 pontos x 1, x 4, x 6 e x 7 são pontos extremos. No ponto x 4 não há f (x)

Literatura 4 Álgebra e aula inicial de análise. Tutorial para instituições educacionais um nível básico de/ Sh. A. Alimov e outros, - M.: Prosveshchenie, Semenov A. L. Exame de Estado Unificado: 3.000 problemas em matemática. – M.: Editora “Exam”, Gendenshtein L. E., Ershova A. P., Ershova A. S. Um guia visual para álgebra e o início da análise com exemplos para as séries 7 a 11. – M.: Ilexá, Recurso eletrônico Abra o banco de tarefas do Exame de Estado Unificado.

Para trás para a frente

Atenção! As visualizações de slides são apenas para fins informativos e podem não representar todos os recursos da apresentação. Se você estiver interessado Este trabalho, baixe a versão completa.

Tipo de aula: repetição e generalização.

Formato da aula: consulta-aula.

Lições objetivas:

• educacional: repetir e generalizar conhecimentos teóricos sobre os temas: “Significado geométrico da derivada” e “Aplicação da derivada ao estudo de funções”; considerar todos os tipos de problemas B8 encontrados no Exame de Estado Unificado em matemática; proporcionar aos alunos a oportunidade de testar seus conhecimentos decisão independente tarefas;
• ensinar como preencher o formulário de resposta do exame; em desenvolvimento : promover o desenvolvimento da comunicação como método conhecimento científico , memória semântica e atenção voluntária; formação de tal, como comparação, justaposição, classificação de objetos, determinação de formas adequadas de resolução de uma tarefa educacional com base em determinados algoritmos, capacidade de agir de forma independente em situações de incerteza, controlar e avaliar suas atividades, encontrar e eliminar as causas das dificuldades;
• educacional: desenvolver as competências comunicativas dos alunos ( cultura de comunicação, capacidade de trabalhar em grupo); promover o desenvolvimento da necessidade de autoeducação.

Tecnologias: educação para o desenvolvimento, TIC.

Métodos de ensino: verbal, visual, prático, problemático.

Formas de trabalho: individual, frontal, grupo.

Apoio pedagógico e metodológico:

1. Álgebra e os primórdios da análise matemática 11º ano: livro didático. Para educação geral Instituições: básicas e perfil. níveis / (Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); editado por A. B. Zhizhchenko. – 4ª ed. – M.: Educação, 2011.

2. Exame Estadual Unificado: 3.000 problemas com respostas em matemática. Todas as tarefas do grupo B/A.L. Semyonov, I.V. Yashchenko e outros; editado por A. L. Semyonova, I.V. Yashchenko. – M.: Editora “Exame”, 2011.

3. Abra o banco de tarefas.

Equipamentos e materiais para a aula: projetor, tela, PC para cada aluno com apresentação instalada, impressão de memorando para todos os alunos (Anexo 1) e súmula ( Apêndice 2) .

Preparação preliminar para a lição: como trabalho de casa os alunos são convidados a repetir material teórico do livro didático sobre os temas: “Significado geométrico da derivada”, “Aplicação da derivada ao estudo de funções”; A turma é dividida em grupos (4 pessoas cada), cada um com alunos de diferentes níveis.

Explicação da lição: Esta aula é ministrada no 11º ano na fase de repetição e preparação para o Exame Estadual Unificado. A aula visa a repetição e generalização do material teórico, na sua aplicação na resolução de problemas de exames. Duração da aula - 1,5 horas .

Esta lição não está anexada ao livro didático, portanto pode ser ministrada trabalhando em qualquer material didático. Esta lição também pode ser dividida em duas separadas e ministradas como lições finais sobre os tópicos abordados.

Durante as aulas

I. Momento organizacional.

II. Lição de definição de metas.

III. Repetição sobre o tema “Significado geométrico das derivadas”.

Trabalho frontal oral usando projetor (slides nº 3-7)

Trabalho em grupo: resolução de problemas com dicas, respostas, com consulta ao professor (slides nº 8 a 17)

4. Trabalho independente 1.

Os alunos trabalham individualmente em um PC (slides nº 18 a 26) e inserem suas respostas na ficha de avaliação. Se necessário, você pode consultar um professor, mas neste caso o aluno perderá 0,5 ponto. Caso o aluno conclua o trabalho mais cedo, pode optar por resolver tarefas adicionais da coleção, pp. 242, 306-324 (as tarefas adicionais são avaliadas separadamente).

V. Verificação mútua.

Os alunos trocam fichas de avaliação, verificam o trabalho de um amigo e atribuem pontos (slide nº 27)

VI. Correção de conhecimento.

VII. Repetição sobre o tema “Aplicação da derivada ao estudo de funções”

Trabalho oral frontal com projetor (slides nº 28-30)

Trabalho em grupo: resolução de problemas com dicas, respostas, com consulta ao professor (slides nº 31-33)

VIII. Trabalho independente 2.

Os alunos trabalham individualmente em um PC (slides nº 34-46) e inserem suas respostas no formulário de respostas. Se necessário, você pode consultar um professor, mas neste caso o aluno perderá 0,5 ponto. Caso o aluno conclua o trabalho mais cedo, pode optar por resolver tarefas adicionais da coleção, pp. 243-305 (as tarefas adicionais são avaliadas separadamente).

IX. Revisão por pares.

Os alunos trocam fichas de avaliação, conferem o trabalho dos amigos e atribuem pontos (slide nº 47).

X. Correção de conhecimento.

Os alunos trabalham novamente em seus grupos, discutem a solução e corrigem os erros.

XI. Resumindo.

Cada aluno calcula sua pontuação e coloca uma nota na ficha de avaliação.

Os alunos submetem ao professor uma ficha de avaliação e soluções para problemas adicionais.

Cada aluno recebe um memorando (slide nº 53-54).

XII. Reflexão.

Os alunos são convidados a avaliar seus conhecimentos escolhendo uma das frases:

• Eu obtive sucesso!!!
• Precisamos resolver mais alguns exemplos.
• Bem, quem inventou essa matemática!

XIII. Trabalho de casa.

Para trabalho de casa Os alunos são convidados a optar por resolver tarefas da coleção, pp. 242-334, bem como de um banco aberto de tarefas.