Direto e proporcionalidade inversa

Se t é o tempo que o pedestre está se movendo (em horas), s é a distância percorrida (em quilômetros) e ele se move uniformemente a uma velocidade de 4 km/h, então a relação entre essas quantidades pode ser expressa pela fórmula s = 4t. Como cada valor de t corresponde a um único valor de s, podemos dizer que uma função é dada usando a fórmula s = 4t. Ela é chamada de proporcionalidade direta e é definida como segue.

Definição. A proporcionalidade direta é uma função que pode ser especificada usando a fórmula y \u003d kx, onde k é um número real diferente de zero.

O nome da função y \u003d k x se deve ao fato de que na fórmula y \u003d kx existem variáveis ​​x e y, que podem ser valores de quantidades. E se a proporção de dois valores for igual a algum número diferente de zero, eles são chamados diretamente proporcional . No nosso caso = k (k≠0). Este número é chamado fator de proporcionalidade.

A função y \u003d k x é um modelo matemático de muitas situações reais consideradas já em curso primário matemática. Um deles está descrito acima. Outro exemplo: se houver 2 kg de farinha em um pacote e x esses pacotes forem comprados, toda a massa da farinha comprada (nós denotamos por y) pode ser representada como uma fórmula y \u003d 2x, ou seja, a relação entre o número de embalagens e a massa total de farinha comprada é diretamente proporcional ao coeficiente k=2.

Lembre-se de algumas propriedades da proporcionalidade direta, que são estudadas no curso escolar de matemática.

1. O domínio da função y \u003d k x e o domínio de seus valores é o conjunto dos números reais.

2. O gráfico da proporcionalidade direta é uma linha reta que passa pela origem. Portanto, para construir um gráfico de proporcionalidade direta, basta encontrar apenas um ponto que lhe pertença e que não coincida com a origem, e então traçar uma linha reta passando por esse ponto e pela origem.

Por exemplo, para plotar a função y = 2x, basta ter um ponto com coordenadas (1, 2), e depois traçar uma linha reta passando por ele e pela origem (Fig. 7).

3. Para k > 0, a função y = kx aumenta em todo o domínio de definição; garfo< 0 - убывает на всей области определения.

4. Se a função f é uma proporcionalidade direta e (x 1, y 1), (x 2, y 2) - pares de valores correspondentes​​das variáveis ​​x e y, e x 2 ≠ 0 então.

De fato, se a função f é uma proporcionalidade direta, ela pode ser dada pela fórmula y \u003d kx e, em seguida, y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2. Como em x 2 ≠0 e k≠0, então y 2 ≠0. É por isso e meios.

Se os valores das variáveis ​​x e y forem números reais positivos, a propriedade comprovada da proporcionalidade direta pode ser formulada da seguinte forma: com um aumento (diminuição) no valor da variável x várias vezes, o valor correspondente da variável y aumenta (diminui) na mesma quantidade.

Essa propriedade é inerente apenas à proporcionalidade direta e pode ser usada na resolução de problemas de palavras nos quais quantidades diretamente proporcionais são consideradas.

Tarefa 1. Em 8 horas, o torneiro fez 16 peças. Quantas horas um torneiro levará para fazer 48 peças se trabalhar com a mesma produtividade?

Solução. O problema considera as quantidades - o tempo do torneiro, o número de peças feitas por ele e a produtividade (ou seja, o número de peças fabricadas pelo torneiro em 1 hora), sendo este último valor constante, e os outros dois tomando vários significados. Além disso, o número de peças feitas e o tempo de trabalho são diretamente proporcionais, pois sua proporção é igual a um determinado número que não é igual a zero, ou seja, o número de peças feitas por um torneiro em 1 hora. de peças feitas é denotado pela letra y, o tempo de trabalho é x, e desempenho - k, então temos que = k ou y = kx, ou seja, o modelo matemático da situação apresentada no problema é a proporcionalidade direta.

O problema pode ser resolvido de duas maneiras aritméticas:

1 via: 2 vias:

1) 16:8 = 2 (crianças) 1) 48:16 = 3 (vezes)

2) 48:2 = 24(h) 2) 8-3 = 24(h)

Resolvendo o problema da primeira maneira, primeiro encontramos o coeficiente de proporcionalidade k, é igual a 2 e, em seguida, sabendo que y \u003d 2x, encontramos o valor de x, desde que y \u003d 48.

Ao resolver o problema da segunda maneira, usamos a propriedade da proporcionalidade direta: quantas vezes o número de peças feitas por um torneiro aumenta, o tempo para sua fabricação aumenta na mesma quantidade.

Passemos agora à consideração de uma função chamada proporcionalidade inversa.

Se t é o tempo de deslocamento do pedestre (em horas), v é sua velocidade (em km/h) e ele andou 12 km, então a relação entre esses valores pode ser expressa pela fórmula v∙t = 20 ou v = .

Como cada valor de t (t ≠ 0) corresponde a um único valor de velocidade v, podemos dizer que uma função é dada pela fórmula v = . Ela é chamada de proporcionalidade inversa e é definida como segue.

Definição. A proporcionalidade inversa é uma função que pode ser especificada usando a fórmula y \u003d, onde k é um número real diferente de zero.

O nome desta função vem do fato de que y= existem variáveis ​​x e y, que podem ser valores de quantidades. E se o produto de duas quantidades for igual a algum número diferente de zero, então elas são chamadas de inversamente proporcionais. No nosso caso, xy = k(k ≠ 0). Esse número k é chamado de coeficiente de proporcionalidade.

Função y= é um modelo matemático de muitas situações reais consideradas já no curso inicial de matemática. Um deles é descrito antes da definição de proporcionalidade inversa. Outro exemplo: se você comprou 12 kg de farinha e colocou em l: latas de y kg cada, então a relação entre essas quantidades pode ser representada como x-y= 12, ou seja é inversamente proporcional ao coeficiente k=12.

Lembre-se de algumas propriedades da proporcionalidade inversa, conhecidas de curso escolar matemática.

1. Escopo da função y= e seu intervalo x é o conjunto de números reais diferentes de zero.

2. O gráfico da proporcionalidade inversa é uma hipérbole.

3. Para k > 0, os ramos da hipérbole estão localizados no 1º e 3º quadrantes e a função y= é decrescente em todo o domínio de x (Fig. 8).

Arroz. 8 Fig.9

Quando k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y= é crescente em todo o domínio de x (Fig. 9).

4. Se a função f é inversamente proporcional e (x 1, y 1), (x 2, y 2) são pares de valores correspondentes das variáveis ​​x e y, então.

De fato, se a função f é inversamente proporcional, então ela pode ser dada pela fórmula y= ,e depois . Como x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, então

Se os valores das variáveis ​​x e y forem números reais positivos, essa propriedade da proporcionalidade inversa pode ser formulada da seguinte forma: com um aumento (diminuição) no valor da variável x várias vezes, o valor correspondente da variável y diminui (aumenta) na mesma quantidade.

Essa propriedade é inerente apenas à proporcionalidade inversa e pode ser usada na resolução de problemas de palavras nos quais quantidades inversamente proporcionais são consideradas.

Problema 2. Um ciclista, movendo-se a uma velocidade de 10 km/h, percorreu a distância de A a B em 6 horas.

Solução. O problema considera as seguintes grandezas: a velocidade do ciclista, o tempo de deslocamento e a distância de A a B, sendo o último valor constante e os outros dois valores diferentes. Além disso, a velocidade e o tempo de movimento são inversamente proporcionais, pois seu produto é igual a um determinado número, ou seja, a distância percorrida. Se o tempo do movimento do ciclista é denotado pela letra y, a velocidade é x e a distância AB é k, obtemos xy \u003d k ou y \u003d, ou seja, o modelo matemático da situação apresentada no problema é a proporcionalidade inversa.

Você pode resolver o problema de duas maneiras:

1 via: 2 vias:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (vezes)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

Resolvendo o problema da primeira maneira, primeiro encontramos o coeficiente de proporcionalidade k, é igual a 60 e, em seguida, sabendo que y \u003d, encontramos o valor de y, desde que x \u003d 20.

Ao resolver o problema da segunda maneira, usamos a propriedade da proporcionalidade inversa: quantas vezes a velocidade do movimento aumenta, o tempo para percorrer a mesma distância diminui na mesma proporção.

Observe que ao resolver tarefas específicas com quantidades inversamente proporcionais ou diretamente proporcionais, algumas restrições são impostas a x e y, em particular, elas podem ser consideradas não em todo o conjunto dos números reais, mas em seus subconjuntos.

Problema 3. Lena comprou x lápis e Katya comprou 2 vezes mais. Denote o número de lápis que Katya comprou como y, expresse y em termos de x e trace o gráfico de correspondência estabelecido, desde que x ≤ 5. Essa correspondência é uma função? Qual é o seu domínio de definição e gama de valores?

Solução. Katya comprou u = 2 lápis. Ao traçar a função y=2x, deve-se levar em consideração que a variável x denota o número de lápis e x≤5, o que significa que ela só pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, 4, 5. Este será o domínio desta função. Para obter o intervalo dessa função, você precisa multiplicar cada valor x do domínio de definição por 2, ou seja, será um conjunto (0, 2, 4, 6, 8, 10). Portanto, o gráfico da função y \u003d 2x com o domínio de definição (0, 1, 2, 3, 4, 5) será o conjunto de pontos mostrado na Figura 10. Todos esses pontos pertencem à linha y \u003d 2x.

Exemplo

Fator de proporcionalidade

A razão constante de grandezas proporcionais é chamada coeficiente de proporcionalidade. O coeficiente de proporcionalidade mostra quantas unidades de uma quantidade caem sobre uma unidade de outra.

Proporcionalidade direta

Proporcionalidade direta- dependência funcional, em que uma quantidade depende de outra quantidade de tal forma que sua razão permanece constante. Em outras palavras, essas variáveis ​​mudam proporcionalmente, em partes iguais, ou seja, se o argumento mudou duas vezes em qualquer direção, então a função também muda duas vezes na mesma direção.

Matematicamente, a proporcionalidade direta é escrita como uma fórmula:

f(x) = umax,uma = const

Proporcionalidade inversa

Proporção inversa- esta é uma dependência funcional, na qual um aumento no valor independente (argumento) causa uma diminuição proporcional no valor dependente (função).

Matematicamente, a proporcionalidade inversa é escrita como uma fórmula:

Propriedades da função:

Fontes

Fundação Wikimedia. 2010.

Hoje veremos quais quantidades são chamadas de inversamente proporcionais, como é o gráfico da proporcionalidade inversa e como tudo isso pode ser útil para você não apenas nas aulas de matemática, mas também fora dos muros da escola.

proporções tão diferentes

Proporcionalidade nomeie duas quantidades que são mutuamente dependentes uma da outra.

A dependência pode ser direta e reversa. Portanto, a relação entre quantidades descreve proporcionalidade direta e inversa.

Proporcionalidade direta- esta é uma relação entre duas quantidades, na qual um aumento ou diminuição em uma delas leva a um aumento ou diminuição na outra. Aqueles. sua atitude não muda.

Por exemplo, quanto mais esforço você colocar na preparação para os exames, mais altas serão suas notas. Ou quanto mais coisas você leva com você em uma caminhada, mais difícil é carregar sua mochila. Aqueles. a quantidade de esforço gasto na preparação para os exames é diretamente proporcional às notas recebidas. E o número de coisas empacotadas em uma mochila é diretamente proporcional ao seu peso.

Proporcionalidade inversa- isto é dependência funcional, em que uma diminuição ou aumento em várias vezes de um valor independente (é chamado de argumento) causa um aumento ou diminuição proporcional (ou seja, na mesma quantidade) em um valor dependente (é chamado de função).

Ilustrar exemplo simples. Você quer comprar maçãs no mercado. As maçãs no balcão e a quantidade de dinheiro na carteira estão inversamente relacionadas. Aqueles. quanto mais maçãs você compra, menos dinheiro sobra.

Função e seu gráfico

A função de proporcionalidade inversa pode ser descrita como y = k/x. Em que x≠ 0 e k≠ 0.

Esta função tem as seguintes propriedades:

1. Seu domínio de definição é o conjunto de todos os números reais, exceto x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. O intervalo são todos os números reais, exceto y= 0. E(s): (-∞; 0) você (0; +∞) .
3. Não possui valores máximos ou mínimos.
4. É ímpar e seu gráfico é simétrico em relação à origem.
5. Não periódico.
6. Seu gráfico não cruza os eixos coordenados.
7. Não tem zeros.
8. Se um k> 0 (ou seja, o argumento aumenta), a função diminui proporcionalmente em cada um de seus intervalos. Se um k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. À medida que o argumento aumenta ( k> 0) os valores negativos da função estão no intervalo (-∞; 0), e os valores positivos estão no intervalo (0; +∞). Quando o argumento está diminuindo ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

O gráfico da função de proporcionalidade inversa é chamado de hipérbole. Representado da seguinte forma:

Problemas proporcionais inversos

Para deixar mais claro, vamos ver algumas tarefas. Eles não são muito complicados, e sua solução ajudará você a visualizar o que é proporção inversa e como esse conhecimento pode ser útil no seu dia a dia.

Tarefa número 1. O carro está se movendo a uma velocidade de 60 km/h. Ele levou 6 horas para chegar ao seu destino. Quanto tempo ele levará para percorrer a mesma distância se ele se mover com o dobro da velocidade?

Podemos começar escrevendo uma fórmula que descreve a relação entre tempo, distância e velocidade: t = S/V. Concordo, isso nos lembra muito a função de proporcionalidade inversa. E indica que o tempo que o carro passa na estrada e a velocidade com que se move são inversamente proporcionais.

Para verificar isso, vamos encontrar V 2, que, por condição, é 2 vezes maior: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Em seguida, calculamos a distância usando a fórmula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Agora não é difícil descobrir o tempo t 2 que nos é exigido de acordo com a condição do problema: t 2 = 360/120 = 3 horas.

Como você pode ver, o tempo de viagem e a velocidade são de fato inversamente proporcionais: com uma velocidade 2 vezes maior que a original, o carro gastará 2 vezes menos tempo na estrada.

A solução para este problema também pode ser escrita como uma proporção. Por que criamos um diagrama como este:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

As setas indicam uma relação inversa. E eles também sugerem que, ao elaborar a proporção, o lado direito do registro deve ser virado: 60/120 \u003d x / 6. Onde obtemos x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 horas.

Tarefa número 2. A oficina emprega 6 trabalhadores que lidam com uma determinada quantidade de trabalho em 4 horas. Se o número de trabalhadores for reduzido pela metade, quanto tempo levará para os trabalhadores restantes completarem a mesma quantidade de trabalho?

Escrevemos as condições do problema na forma esquema visual:

↓ 6 trabalhadores - 4 horas

↓ 3 trabalhadores - x h

Vamos escrever isso como uma proporção: 6/3 = x/4. E obtemos x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 horas. Se houver 2 vezes menos trabalhadores, o restante gastará 2 vezes mais tempo para concluir todo o trabalho.

Tarefa número 3. Dois tubos levam à piscina. Através de um tubo, a água entra a uma taxa de 2 l/s e enche a piscina em 45 minutos. Através de outra tubulação, a piscina será preenchida em 75 minutos. Com que velocidade a água entra na piscina através deste tubo?

Para começar, traremos todas as grandezas que nos são dadas de acordo com a condição do problema para as mesmas unidades de medida. Para fazer isso, expressamos a taxa de enchimento da piscina em litros por minuto: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Como decorre da condição de que a piscina é enchida mais lentamente através do segundo tubo, isso significa que a taxa de entrada de água é menor. Na face da proporção inversa. Vamos expressar a velocidade desconhecida para nós em termos de x e esboçar o seguinte esquema:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

E então faremos uma proporção: 120 / x \u003d 75/45, de onde x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

No problema, a taxa de enchimento da piscina é expressa em litros por segundo, vamos trazer nossa resposta para a mesma forma: 72/60 = 1,2 l/s.

Tarefa número 4. Os cartões de visita são impressos em uma pequena gráfica particular. Um funcionário da gráfica trabalha a uma velocidade de 42 cartões de visita por hora e trabalha em período integral - 8 horas. Se ele trabalhasse mais rápido e imprimisse 48 cartões de visita por hora, quanto tempo antes ele poderia ir para casa?

Vamos de maneira comprovada e elaboramos um esquema de acordo com a condição do problema, denotando o valor desejado como x:

↓ 42 cartões de visita/h – 8h

↓ 48 cartões de visita/h – xh

Diante de nós está uma relação inversamente proporcional: quantas vezes mais cartões de visita um funcionário de uma gráfica imprime por hora, o mesmo tempo que ele levará para concluir o mesmo trabalho. Sabendo disso, podemos configurar a proporção:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 horas.

Assim, tendo concluído o trabalho em 7 horas, o funcionário da gráfica poderia ir para casa uma hora mais cedo.

Conclusão

Parece-nos que esses problemas de proporcionalidade inversa são realmente simples. Esperamos que agora você também os considere assim. E o mais importante, esse conhecimento sobre as costas dependência proporcional valores podem realmente ser úteis para você mais de uma vez.

Não só nas aulas de matemática e exames. Mas mesmo assim, quando você vai viajar, fazer compras, decidir ganhar algum dinheiro durante as férias, etc.

Conte-nos nos comentários quais exemplos de proporcionalidade inversa e direta você percebe ao seu redor. Que isso seja um jogo. Você verá como é emocionante. Não se esqueça de compartilhar este artigo nas redes sociais para que seus amigos e colegas também possam jogar.

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