Proporção direta e inversa. Proporcionalidade direta e inversa

Exemplo

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 etc.

Fator de proporcionalidade

A razão constante de grandezas proporcionais é chamada coeficiente de proporcionalidade. O coeficiente de proporcionalidade mostra quantas unidades de uma quantidade caem sobre uma unidade de outra.

Proporcionalidade direta

Proporcionalidade direta- dependência funcional, em que uma quantidade depende de outra quantidade de tal forma que sua razão permanece constante. Em outras palavras, essas variáveis ​​mudam proporcionalmente, em partes iguais, ou seja, se o argumento mudou duas vezes em qualquer direção, então a função também muda duas vezes na mesma direção.

Matematicamente, a proporcionalidade direta é escrita como uma fórmula:

f(x) = umax,uma = const

Proporcionalidade inversa

Proporção inversa- esta é uma dependência funcional, na qual um aumento no valor independente (argumento) causa uma diminuição proporcional no valor dependente (função).

Matematicamente, a proporcionalidade inversa é escrita como uma fórmula:

Propriedades da função:

Origens

Fundação Wikimedia. 2010.

Exemplo

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 etc.

Fator de proporcionalidade

A razão constante de grandezas proporcionais é chamada coeficiente de proporcionalidade. O coeficiente de proporcionalidade mostra quantas unidades de uma quantidade caem sobre uma unidade de outra.

Proporcionalidade direta

Proporcionalidade direta- dependência funcional, em que uma quantidade depende de outra quantidade de tal forma que sua razão permanece constante. Em outras palavras, essas variáveis ​​mudam proporcionalmente, em partes iguais, ou seja, se o argumento mudou duas vezes em qualquer direção, então a função também muda duas vezes na mesma direção.

Matematicamente, a proporcionalidade direta é escrita como uma fórmula:

f(x) = umax,uma = const

Proporcionalidade inversa

Proporção inversa- esta é uma dependência funcional, na qual um aumento no valor independente (argumento) causa uma diminuição proporcional no valor dependente (função).

Matematicamente, a proporcionalidade inversa é escrita como uma fórmula:

Propriedades da função:

Origens

Fundação Wikimedia. 2010.

• segunda lei de newton
• Barreira de Coulomb

Veja o que é "Proporcionalidade direta" em outros dicionários:

proporcionalidade direta- - [A.S. Goldberg. Dicionário de Energia Inglês Russo. 2006] Temas energia em geral EN relação direta … Manual do Tradutor Técnico

proporcionalidade direta- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. proporcionalidade direta vok. direkte Proporcionalitat, f rus. proporcionalidade direta, f pranc. rationalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

PROPORCIONALIDADE- (de lat. proporcionalis proporcional, proporcional). Proporcionalidade. Dicionário de palavras estrangeiras incluído no idioma russo. Chudinov A.N., 1910. PROPORCIONALIDADE otlat. proporcional, proporcional. Proporcionalidade. Explicação de 25000… … Dicionário de palavras estrangeiras da língua russa

PROPORCIONALIDADE- PROPORCIONALIDADE, proporcionalidade, pl. não, fêmea (livro). 1. distração substantivo para proporcional. Proporcionalidade das peças. proporcionalidade do corpo. 2. Tal relação entre quantidades quando são proporcionais (veja proporcional ... Dicionário explicativo de Ushakov

Proporcionalidade- Duas quantidades mutuamente dependentes são chamadas de proporcionais se a razão de seus valores permanecer inalterada .. Conteúdo 1 Exemplo 2 Coeficiente de proporcionalidade ... Wikipedia

PROPORCIONALIDADE- PROPORCIONALIDADE, e, esposas. 1. ver proporcional. 2. Em matemática: tal relação entre quantidades, quando um aumento em uma delas implica uma mudança na outra na mesma quantidade. P. direta (quando cortada com um aumento de um valor ... ... Dicionário explicativo de Ozhegov

proporcionalidade- e; Nós vamos. 1. para Proporcional (1 dígito); proporcionalidade. P. partes. P. físico. P. representação no parlamento. 2. Matemática. Dependência entre quantidades que mudam proporcionalmente. Fator de proporcionalidade. Direto p. (Em que com ... ... dicionário enciclopédico

Junto com quantidades diretamente proporcionais em aritmética, quantidades inversamente proporcionais também foram consideradas.

Vamos dar exemplos.

1) Os comprimentos da base e a altura do retângulo com área constante.

Seja necessário alocar uma área retangular para o jardim com uma área de

Podemos “definir arbitrariamente, por exemplo, o comprimento da seção. Mas então a largura da seção dependerá do comprimento que escolhemos. Vários comprimentos e larguras (possíveis) são mostrados na tabela.

Em geral, se denotarmos o comprimento da seção por x e a largura por y, a relação entre eles pode ser expressa pela fórmula:

Expressando y em função de x, temos:

Dando x valores arbitrários, obteremos os valores de y correspondentes.

2) Tempo e velocidade de movimento uniforme a uma certa distância.

Seja a distância entre duas cidades de 200 km. Quanto maior a velocidade, menos tempo levará para percorrer uma determinada distância. Isso pode ser visto na tabela a seguir:

Em geral, se denotarmos a velocidade através de x e o tempo de movimento - através de y, a relação entre eles será expressa pela fórmula:

Definição. A relação entre duas quantidades, expressa como , onde k é um determinado número (diferente de zero), é chamada de relação inversa.

O número aqui também é chamado de coeficiente de proporcionalidade.

Assim como no caso da proporcionalidade direta, na igualdade, os valores x e y no caso geral podem assumir valores positivos e negativos.

Mas em todos os casos de proporcionalidade inversa, nenhuma das quantidades pode ser igual a zero. De fato, se pelo menos um dos valores x ou y for igual a zero, na igualdade o lado esquerdo será igual a zero

E o certo - para um certo número que não é igual a zero (por definição), ou seja, uma igualdade incorreta será obtida.

2. Gráfico de proporção inversa.

Vamos construir um gráfico de dependência

Expressando y em função de x, temos:

Daremos x valores arbitrários (permissíveis) e calcularemos os valores correspondentes de y. Vamos a uma tabela:

Vamos construir os pontos correspondentes (Fig. 28).

Se tomarmos os valores de x em intervalos menores, os pontos serão localizados mais próximos.

Para todos os valores possíveis de x, os pontos correspondentes estarão localizados em dois ramos do gráfico, simétricos em relação à origem e passando nos quartos I e III do plano coordenado (Fig. 29).

Então, vemos que o gráfico de proporcionalidade inversa é uma linha curva. Esta linha tem dois ramos.

Um ramo será obtido com positivo, o outro - com valores negativos de x.

Um gráfico inversamente proporcional é chamado de hipérbole.

Para obter um gráfico mais preciso, você precisa construir o maior número possível de pontos.

Com precisão suficientemente alta, uma hipérbole pode ser desenhada usando, por exemplo, padrões.

No desenho 30 plotado relação inversamente proporcional com um coeficiente negativo. Por exemplo, fazendo uma tabela como esta:

obtemos uma hipérbole, cujos ramos estão localizados nos quartos II e IV.

Exemplo

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 etc.

Fator de proporcionalidade

A razão constante de grandezas proporcionais é chamada coeficiente de proporcionalidade. O coeficiente de proporcionalidade mostra quantas unidades de uma quantidade caem sobre uma unidade de outra.

Proporcionalidade direta

Proporcionalidade direta- dependência funcional, em que uma quantidade depende de outra quantidade de tal forma que sua razão permanece constante. Em outras palavras, essas variáveis ​​mudam proporcionalmente, em partes iguais, ou seja, se o argumento mudou duas vezes em qualquer direção, então a função também muda duas vezes na mesma direção.

Matematicamente, a proporcionalidade direta é escrita como uma fórmula:

f(x) = umax,uma = const

Proporcionalidade inversa

Proporção inversa- esta é uma dependência funcional, na qual um aumento no valor independente (argumento) causa uma diminuição proporcional no valor dependente (função).

Matematicamente, a proporcionalidade inversa é escrita como uma fórmula:

Propriedades da função:

Origens

Fundação Wikimedia. 2010.

§ 129. Esclarecimentos preliminares.

O homem lida constantemente com uma grande variedade de quantidades. O funcionário e o trabalhador tentam chegar ao serviço, trabalhar por um certo tempo, o pedestre se apressa para chegar a um determinado local pelo caminho mais curto, a fonte de aquecimento a vapor se preocupa que a temperatura na caldeira esteja subindo lentamente, o gerente de negócios faz planos para reduzir o custo de produção, etc.

Qualquer número desses exemplos poderia ser citado. Tempo, distância, temperatura, custo - todas essas são várias quantidades. Na primeira e na segunda partes deste livro, conhecemos algumas grandezas especialmente comuns: área, volume, peso. Encontramos muitas quantidades no estudo da física e de outras ciências.

Imagine que você está em um trem. De vez em quando você olha para o relógio e percebe quanto tempo já está na estrada. Você diz, por exemplo, que 2, 3, 5, 10, 15 horas, etc., se passaram desde a partida do seu trem.Esses números indicam vários períodos de tempo; eles são chamados de valores dessa quantidade (tempo). Ou você olha pela janela e segue os postes da estrada para a distância que seu trem percorre. Os números 110, 111, 112, 113, 114 km piscam à sua frente. Esses números indicam as várias distâncias que o trem percorreu desde o ponto de partida. Eles também são chamados de valores, desta vez com um valor diferente (caminho ou distância entre dois pontos). Assim, um valor, por exemplo, tempo, distância, temperatura, pode assumir qualquer valores diferentes.

Preste atenção ao fato de que uma pessoa quase nunca considera apenas um valor, mas sempre o conecta com alguns outros valores. Ele tem que lidar simultaneamente com duas, três e mais quantidades. Imagine que você precisa chegar à escola às 9 horas. Você olha para o relógio e vê que tem 20 minutos. Então você decide rapidamente se deve pegar o bonde ou terá tempo para caminhar até a escola. Depois de pensar, você decide andar. Observe que no momento em que você estava pensando, você estava resolvendo algum problema. Essa tarefa se tornou simples e familiar, pois você resolve esses problemas todos os dias. Nele, você comparou rapidamente vários valores. Foi você quem olhou para o relógio, o que significa que você levou em conta a hora, depois imaginou mentalmente a distância da sua casa até a escola; finalmente, você comparou duas grandezas: a velocidade do seu passo e a velocidade do bonde, e concluiu que em um determinado tempo (20 minutos) você terá tempo para caminhar. A partir deste exemplo simples, você pode ver que em nossa prática, algumas quantidades estão interligadas, ou seja, elas dependem umas das outras

No capítulo doze, foi falado sobre a razão de quantidades homogêneas. Por exemplo, se um segmento tiver 12 m e o outro 4 m, a proporção desses segmentos será de 12: 4.

Dissemos que é a razão de duas quantidades homogêneas. Em outras palavras, é a razão entre dois números um nome.

Agora que nos tornamos mais familiarizados com as quantidades e introduzimos o conceito de valor de uma quantidade, podemos enunciar a definição de uma relação de uma nova maneira. De fato, quando consideramos dois segmentos de 12 m e 4 m, estávamos falando de um valor - comprimento, e 12 m e 4 m eram apenas dois valores diferentes desse valor.

Portanto, no futuro, quando começarmos a falar de uma razão, consideraremos dois valores de uma de algumas quantidades, e a razão de um valor de uma quantidade para outro valor da mesma quantidade será chamada de quociente de divisão o primeiro valor pelo segundo.

§ 130. As quantidades são diretamente proporcionais.

Considere um problema cuja condição inclui duas quantidades: distância e tempo.

Tarefa 1. Um corpo que se move em linha reta e passa uniformemente 12 cm a cada segundo.Determine a trajetória percorrida pelo corpo em 2, 3, 4, ..., 10 segundos.

Vamos fazer uma tabela pela qual seria possível monitorar a mudança no tempo e na distância.

A tabela nos dá a oportunidade de comparar essas duas séries de valores. Vemos a partir dele que quando os valores da primeira quantidade (tempo) aumentam gradualmente em 2, 3, ..., 10 vezes, os valores da segunda quantidade (distância) também aumentam em 2, 3, ..., 10 vezes. Assim, quando os valores de uma quantidade aumentam várias vezes, os valores de outra quantidade aumentam na mesma quantidade, e quando os valores de uma quantidade diminuem várias vezes, os valores da outra quantidade diminuem em a mesma quantidade.

Considere agora um problema que inclui duas dessas quantidades: a quantidade de matéria e seu custo.

Tarefa 2. 15 m de tecido custam 120 rublos. Calcule o custo deste tecido para várias outras quantidades de metros indicadas na tabela.

A partir desta tabela, podemos ver como o valor de uma mercadoria aumenta gradualmente, dependendo do aumento de sua quantidade. Apesar do fato de que quantidades completamente diferentes aparecem neste problema (no primeiro problema - tempo e distância, e aqui - a quantidade de bens e seu custo), no entanto, uma grande semelhança pode ser encontrada no comportamento dessas quantidades.

De fato, na linha superior da tabela há números que indicam o número de metros de tecido, sob cada um deles está escrito um número que expressa o custo da quantidade correspondente de mercadorias. Mesmo uma rápida olhada nesta tabela mostra que os números nas linhas superior e inferior estão aumentando; em um exame mais detalhado da tabela e ao comparar colunas individuais, verifica-se que em todos os casos os valores da segunda quantidade aumentam pelo mesmo fator que os valores da primeira aumentam, ou seja, se o valor da primeira quantidade aumentou, digamos, 10 vezes, então o valor do segundo valor também aumentou 10 vezes.

Se olharmos para a tabela da direita para a esquerda, descobriremos que os valores indicados das quantidades diminuirão o mesmo número de vezes. Nesse sentido, há uma semelhança incondicional entre a primeira tarefa e a segunda.

Os pares de quantidades que encontramos no primeiro e segundo problemas são chamados diretamente proporcional.

Assim, se duas grandezas estão interconectadas de tal forma que, com o aumento (diminuição) no valor de uma delas várias vezes, o valor da outra aumenta (diminui) na mesma quantidade, essas quantidades são chamadas diretamente proporcionais.

Eles também dizem sobre tais quantidades que estão interconectadas por uma dependência diretamente proporcional.

Na natureza e na vida ao nosso redor, existem muitas dessas quantidades. aqui estão alguns exemplos:

1. Tempo trabalho (um dia, dois dias, três dias, etc.) e ganhos recebido durante este tempo em salários diários.

2. Volume qualquer objeto feito de um material homogêneo, e O peso este item.

§ 131. A propriedade de quantidades diretamente proporcionais.

Vamos pegar uma tarefa que inclui as duas quantidades a seguir: tempo de trabalho e ganhos. Se os ganhos diários forem de 20 rublos, os ganhos de 2 dias serão de 40 rublos etc. É mais conveniente elaborar uma tabela na qual determinados ganhos corresponderão a um determinado número de dias.

Olhando para esta tabela, vemos que ambas as quantidades assumiram 10 valores diferentes. Cada valor do primeiro valor corresponde a um determinado valor do segundo valor, por exemplo, 40 rublos correspondem a 2 dias; 5 dias correspondem a 100 rublos. Na tabela, esses números são escritos um sob o outro.

Já sabemos que, se duas quantidades são diretamente proporcionais, cada uma delas, no processo de sua mudança, aumenta na mesma proporção que a outra aumenta. Segue-se imediatamente disso: se tomarmos a proporção de quaisquer dois valores da primeira quantidade, será igual à proporção dos dois valores correspondentes da segunda quantidade. De fato:

Por que isso está acontecendo? Mas porque esses valores são diretamente proporcionais, ou seja, quando um deles (tempo) aumentou 3 vezes, o outro (ganhos) aumentou 3 vezes.

Chegamos, portanto, à seguinte conclusão: se tomarmos dois valores quaisquer da primeira grandeza e os dividirmos um pelo outro, e depois dividirmos um pelo outro os valores da segunda grandeza correspondentes a eles, então em em ambos os casos será obtido um e o mesmo número, ou seja, a mesma relação. Isso significa que as duas relações que escrevemos acima podem ser conectadas com um sinal de igual, ou seja,

Não há dúvida de que se tomássemos não essas relações, mas outras, e na ordem errada, mas na direção oposta, obteríamos também igualdade de relações. De fato, consideraremos os valores de nossas quantidades da esquerda para a direita e tomaremos o terceiro e o nono valores:

60:180 = 1 / 3 .

Assim podemos escrever:

Isso implica a seguinte conclusão: se duas quantidades são diretamente proporcionais, então a razão de dois valores arbitrariamente tomados da primeira quantidade é igual à razão dos dois valores correspondentes da segunda quantidade.

§ 132. Fórmula da proporcionalidade direta.

Vamos fazer uma tabela do custo de várias quantidades de doces, se 1 kg deles custa 10,4 rublos.

Agora vamos fazer assim. Vamos pegar qualquer número da segunda linha e dividi-lo pelo número correspondente da primeira linha. Por exemplo:

Você vê que no quociente o mesmo número é obtido o tempo todo. Portanto, para um determinado par de quantidades diretamente proporcionais, o quociente de dividir qualquer valor de uma quantidade pelo valor correspondente de outra quantidade é um número constante (ou seja, não varia). Em nosso exemplo, esse quociente é 10,4. Esse número constante é chamado de fator de proporcionalidade. Nesse caso, expressa o preço de uma unidade de medida, ou seja, um quilo de mercadoria.

Como encontrar ou calcular o fator de proporcionalidade? Para fazer isso, você precisa pegar qualquer valor de uma quantidade e dividi-lo pelo valor correspondente de outra.

Vamos denotar este valor arbitrário de uma quantidade pela letra no , e o valor correspondente de outra quantidade - a letra X , então o coeficiente de proporcionalidade (denotamos Para) encontre dividindo:

Nesta igualdade no - divisível X - divisor e Para- quociente, e como, pela propriedade da divisão, o dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente, podemos escrever:

y= K x

A igualdade resultante é chamada fórmula da proporcionalidade direta. Usando esta fórmula, podemos calcular qualquer número de valores de uma das quantidades diretamente proporcionais, se soubermos os valores correspondentes da outra quantidade e o coeficiente de proporcionalidade.

Exemplo. Da física sabemos que o peso R de qualquer corpo é igual à sua gravidade específica d multiplicado pelo volume deste corpo V, ou seja R = d V.

Pegue cinco lingotes de ferro de vários tamanhos; conhecendo a gravidade específica do ferro (7.8), podemos calcular os pesos desses blanks usando a fórmula:

R = 7,8 V.

Comparando esta fórmula com a fórmula no = Para X , nós vemos que y= R, x = V, e o coeficiente de proporcionalidade Para= 7,8. A fórmula é a mesma, apenas as letras são diferentes.

Usando esta fórmula, vamos fazer uma tabela: seja o volume do 1º espaço em branco de 8 metros cúbicos. cm, então seu peso é 7,8 8 \u003d 62,4 (g). O volume do 2º blank é de 27 metros cúbicos. cm. Seu peso é 7,8 27 \u003d 210,6 (g). A tabela ficará assim:

Calcule você mesmo os números que faltam nesta tabela usando a fórmula R= d V.

§ 133. Outras formas de resolver problemas com quantidades diretamente proporcionais.

No parágrafo anterior, resolvemos o problema, cuja condição incluía quantidades diretamente proporcionais. Para isso, derivamos anteriormente a fórmula da proporcionalidade direta e, em seguida, aplicamos essa fórmula. Agora vamos mostrar duas outras maneiras de resolver problemas semelhantes.

Vamos fazer um problema de acordo com os dados numéricos fornecidos na tabela do parágrafo anterior.

Tarefa. Em branco com um volume de 8 metros cúbicos. cm pesa 62,4 g. Quanto pesará um branco com um volume de 64 metros cúbicos? cm?

Decisão. O peso do ferro, como você sabe, é proporcional ao seu volume. Se 8 cu. cm pesam 62,4 g, então 1 cu. cm pesará 8 vezes menos, ou seja,

62,4: 8 = 7,8 (g).

Um espaço em branco com um volume de 64 metros cúbicos. cm pesará 64 vezes mais do que um branco de 1 cu. cm, ou seja

7,8 64 = 499,2(g).

Resolvemos nosso problema reduzindo à unidade. O significado deste nome se justifica pelo fato de que para resolvê-lo, tivemos que encontrar o peso de uma unidade de volume na primeira questão.

2. Método de proporção. Vamos resolver o mesmo problema usando o método da proporção.

Como o peso do ferro e seu volume são quantidades diretamente proporcionais, a razão de dois valores de uma quantidade (volume) é igual à razão de dois valores correspondentes de outra quantidade (peso), ou seja,

(carta R denotamos o peso desconhecido do branco). Daqui:

(G).

O problema é resolvido pelo método das proporções. Isso significa que, para resolvê-lo, foi feita uma proporção dos números incluídos na condição.

§ 134. As quantidades são inversamente proporcionais.

Considere o seguinte problema: “Cinco pedreiros podem colocar as paredes de tijolos de uma casa em 168 dias. Determine em quantos dias 10, 8, 6, etc. pedreiros poderiam fazer o mesmo trabalho.

Se 5 pedreiros derrubassem as paredes de uma casa em 168 dias, então (com a mesma produtividade do trabalho) 10 pedreiros poderiam fazê-lo duas vezes mais rápido, pois em média 10 pessoas fazem o dobro do trabalho que 5 pessoas.

Vamos fazer uma tabela segundo a qual seria possível monitorar a mudança no número de horas de trabalho e horas de trabalho.

Por exemplo, para descobrir quantos dias são necessários 6 trabalhadores, você deve primeiro calcular quantos dias leva um trabalhador (168 5 = 840) e depois seis trabalhadores (840: 6 = 140). Olhando para esta tabela, vemos que ambas as quantidades assumiram seis valores diferentes. Cada valor da primeira grandeza corresponde mais definitivamente; o valor do segundo valor, por exemplo, 10 corresponde a 84, o número 8 - o número 105, etc.

Se considerarmos os valores de ambos os valores da esquerda para a direita, veremos que os valores do valor superior aumentam e os valores do valor inferior diminuem. O aumento e diminuição está sujeito à seguinte lei: os valores do número de trabalhadores aumentam tantas vezes quanto os valores do tempo de trabalho despendido diminuem. De forma ainda mais simples, essa ideia pode ser expressa da seguinte forma: quanto mais trabalhadores estão empregados em qualquer negócio, menos tempo eles precisam para fazer um determinado trabalho. As duas quantidades que encontramos neste problema são chamadas inversamente proporcional.

Assim, se duas grandezas estão interconectadas de modo que, com um aumento (diminuição) no valor de uma delas várias vezes, o valor da outra diminui (aumenta) na mesma quantidade, essas quantidades são chamadas de inversamente proporcionais.

Há muitas coisas assim na vida. Vamos dar exemplos.

1. Se por 150 rublos. você precisa comprar vários quilos de doces, então o número de doces dependerá do preço de um quilo. Quanto maior o preço, menos mercadorias podem ser compradas com esse dinheiro; isso pode ser visto na tabela:

Com um aumento no preço dos doces várias vezes, o número de quilos de doces que podem ser comprados por 150 rublos diminui na mesma quantidade. Neste caso, as duas quantidades (o peso do produto e seu preço) são inversamente proporcionais.

2. Se a distância entre duas cidades for de 1.200 km, poderá ser percorrida em momentos diferentes, dependendo da velocidade do movimento. Existem diferentes meios de transporte: a pé, a cavalo, de bicicleta, de barco, de carro, de trem, de avião. Quanto menor a velocidade, mais tempo leva para se mover. Isso pode ser visto na tabela:

Com um aumento na velocidade em várias vezes, o tempo de movimento diminui na mesma quantidade. Assim, sob dadas condições, a velocidade e o tempo são inversamente proporcionais.

§ 135. A propriedade de quantidades inversamente proporcionais.

Vamos pegar o segundo exemplo, que consideramos no parágrafo anterior. Lá estávamos lidando com duas grandezas - a velocidade do movimento e o tempo. Se considerarmos os valores dessas quantidades da esquerda para a direita na tabela, veremos que os valores da primeira quantidade (velocidade) aumentam e os valores da segunda (tempo) diminuem, e a velocidade aumenta pelo mesmo fator que o tempo diminui.É fácil descobrir que, se você escrever a proporção de alguns valores de uma quantidade, ela não será igual à proporção dos valores correspondentes de outra quantidade. De fato, se tomarmos a proporção do quarto valor do valor superior para o sétimo valor (40: 80), não será igual à proporção do quarto e sétimo valores do valor inferior (30: 15 ). Pode ser escrito assim:

40:80 não é igual a 30:15 ou 40:80 =/= 30:15.

Mas se em vez de uma dessas razões tomarmos o contrário, então obtemos igualdade, ou seja, dessas razões será possível fazer uma proporção. Por exemplo:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Com base no exposto, podemos tirar a seguinte conclusão: se duas quantidades são inversamente proporcionais, então a razão de dois valores tomados arbitrariamente de uma quantidade é igual à razão inversa dos valores correspondentes da outra quantidade.

§ 136. Fórmula de proporcionalidade inversa.

Considere o problema: “Existem 6 peças de tecido de seda de tamanhos e qualidades diferentes. Todas as peças têm o mesmo preço. Em uma peça 100 m de tecido a um preço de 20 rublos. por metro. Quantos metros estão em cada uma das cinco peças restantes, se um metro de tecido nessas peças custa 25, 40, 50, 80, 100 rublos, respectivamente? Vamos criar uma tabela para resolver este problema:

Precisamos preencher as células vazias na linha superior desta tabela. Vamos primeiro tentar determinar quantos metros estão na segunda peça. Isso pode ser feito da seguinte maneira. Sabe-se da condição do problema que o custo de todas as peças é o mesmo. O custo da primeira peça é fácil de determinar: tem 100 me cada metro custa 20 rublos, o que significa que na primeira peça de seda custa 2.000 rublos. Como o segundo pedaço de seda contém o mesmo número de rublos, então, dividindo 2.000 rublos. ao preço de um metro, ou seja, a 25, encontramos o valor da segunda peça: 2.000: 25 = 80 (m). Da mesma forma, encontraremos o tamanho de todas as outras peças. A tabela ficará assim:

É fácil ver que existe uma relação inversa entre o número de metros e o preço.

Se você mesmo fizer os cálculos necessários, perceberá que cada vez que você tiver que dividir o número 2.000 pelo preço de 1 m. Por outro lado, se você começar a multiplicar o tamanho de uma peça em metros pelo preço de 1 m, você sempre obterá o número 2.000, e era de se esperar, pois cada peça custa 2.000 rublos.

A partir disso, podemos tirar a seguinte conclusão: para um determinado par de quantidades inversamente proporcionais, o produto de qualquer valor de uma quantidade pelo valor correspondente de outra quantidade é um número constante (isto é, não varia).

No nosso problema, esse produto é igual a 2.000. Verifique que no problema anterior, que falava sobre a velocidade de deslocamento e o tempo necessário para se deslocar de uma cidade para outra, também havia um número constante para esse problema (1.200).

Levando em conta tudo o que foi dito, é fácil derivar a fórmula da proporcionalidade inversa. Denote algum valor de uma quantidade pela letra X , e o valor correspondente de outro valor - a letra no . Então, com base no trabalho acima X no no deve ser igual a algum valor constante, que denotamos pela letra Para, ou seja

xy = Para.

Nesta igualdade X - multiplicador, no - multiplicador e K- trabalhar. Pela propriedade da multiplicação, o multiplicador é igual ao produto dividido pelo multiplicando. Meios,

Esta é a fórmula da proporcionalidade inversa. Usando-o, podemos calcular qualquer número de valores​​de uma das quantidades inversamente proporcionais, conhecendo os valores da outra e um número constante Para.

Considere outro problema: “O autor de um ensaio calculou que se seu livro estivesse no formato usual, teria 96 páginas, mas se fosse um formato de bolso, teria 300 páginas. Ele tentou diferentes opções, começou com 96 páginas e depois obteve 2.500 cartas por página. Então ele pegou o número de páginas indicado na tabela abaixo e novamente calculou quantas letras haveria na página.

Vamos tentar calcular quantas letras haverá em uma página se o livro tiver 100 páginas.

Há 240.000 letras em todo o livro, já que 2.500 96 = 240.000.

Levando isso em consideração, usamos a fórmula da proporcionalidade inversa ( no - número de letras por página X - número de páginas):

Em nosso exemplo Para= 240.000, portanto,

Então, há 2.400 letras em uma página.

Da mesma forma, aprendemos que, se o livro tiver 120 páginas, o número de letras na página será:

Nossa tabela ficará assim:

Preencha o resto das células você mesmo.

§ 137. Outras formas de resolver problemas com quantidades inversamente proporcionais.

No parágrafo anterior, resolvemos problemas que incluíam quantidades inversamente proporcionais. Anteriormente, derivamos a fórmula da proporcionalidade inversa e, em seguida, aplicamos essa fórmula. Agora vamos mostrar duas outras maneiras de resolver esses problemas.

1. Método de redução à unidade.

Tarefa. 5 torneiros podem fazer algum trabalho em 16 dias. Em quantos dias 8 torneiros podem completar este trabalho?

Decisão. Existe uma relação inversa entre o número de torneiros e o tempo de trabalho. Se 5 torneiros fizerem o trabalho em 16 dias, uma pessoa precisará de 5 vezes mais tempo para isso, ou seja,

5 torneiros fazem o trabalho em 16 dias,

1 torneiro irá completá-lo em 16 5 = 80 dias.

O problema pergunta, em quantos dias 8 torneiros completarão o trabalho. Obviamente, eles farão o trabalho 8 vezes mais rápido que 1 torneiro, ou seja, para

80: 8 = 10 (dias).

Esta é a solução do problema pelo método de redução à unidade. Aqui, em primeiro lugar, era necessário determinar o tempo para a realização do trabalho por um trabalhador.

2. Método de proporção. Vamos resolver o mesmo problema da segunda maneira.

Como existe uma relação inversa entre o número de trabalhadores e o tempo de trabalho, podemos escrever: a duração do trabalho de 5 torneiros o novo número de torneiros (8) a duração do trabalho de 8 torneiros o número anterior de torneiros (5 ) Vamos denotar a duração desejada do trabalho pela letra X e substituir na proporção expressa em palavras os números necessários:

O mesmo problema é resolvido pelo método das proporções. Para resolvê-lo, tivemos que fazer uma proporção dos números incluídos na condição do problema.

Observação. Nos parágrafos anteriores, consideramos a questão da proporcionalidade direta e inversa. A natureza e a vida nos dão muitos exemplos de proporções diretas e inversas de quantidades. No entanto, deve-se notar que esses dois tipos de dependência são apenas os mais simples. Junto com eles, existem outras relações mais complexas entre quantidades. Além disso, não se deve pensar que, se duas quantidades quaisquer aumentam simultaneamente, há necessariamente uma proporcionalidade direta entre elas. Isso está longe de ser verdade. Por exemplo, as tarifas ferroviárias aumentam com a distância: quanto mais longe viajamos, mais pagamos, mas isso não significa que a tarifa seja proporcional à distância.