Definicja ułamka podstawowego logarytmu. Definicja logarytmu, podstawowa tożsamość logarytmiczna
Przeczytaj także
Logarytm liczby dodatniej b o podstawie a (a>0, a nie jest równe 1) to liczba c taka, że a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Należy pamiętać, że logarytm liczby niedodatniej jest niezdefiniowany. Ponadto podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią, która nie jest równa 1. Na przykład, jeśli podniesiemy do kwadratu -2, otrzymamy liczbę 4, ale nie oznacza to, że logarytm o podstawie -2 z 4 jest równe 2.
Podstawowa tożsamość logarytmiczna
a log za b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Ważne jest, że zakres definicji prawej i lewej strony tego wzoru jest inny. Lewa strona jest zdefiniowana tylko dla b>0, a>0 i a ≠ 1. Prawa strona jest zdefiniowana dla dowolnego b i w ogóle nie zależy od a. Zatem zastosowanie podstawowej „tożsamości” logarytmicznej przy rozwiązywaniu równań i nierówności może prowadzić do zmiany OD.
Dwie oczywiste konsekwencje definicji logarytmu
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Rzeczywiście, podnosząc liczbę a do pierwszej potęgi, otrzymamy tę samą liczbę, a podnosząc ją do potęgi zerowej, otrzymamy jeden.
Logarytm iloczynu i logarytm ilorazu
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b do = log a b - log a do (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Chciałbym przestrzec uczniów przed bezmyślnym stosowaniem tych wzorów przy rozwiązywaniu równania logarytmiczne i nierówności. Używając ich „od lewej do prawej”, ODZ zwęża się, a przy przejściu od sumy lub różnicy logarytmów do logarytmu iloczynu lub ilorazu ODZ rozszerza się.
Rzeczywiście, logarytm wyrażenia a (f (x) g (x)) jest zdefiniowany w dwóch przypadkach: gdy obie funkcje są ściśle dodatnie lub gdy obie f(x) i g(x) są mniejsze od zera.
Przekształcając to wyrażenie na sumę log a f (x) + log a g (x), zmuszeni jesteśmy ograniczyć się tylko do przypadku, gdy f(x)>0 i g(x)>0. Następuje zawężenie obszaru dopuszczalne wartości, a to jest kategorycznie niedopuszczalne, gdyż może prowadzić do utraty rozwiązań. Podobny problem istnieje dla wzoru (6).
Stopień można odjąć od znaku logarytmu
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)I jeszcze raz apeluję o dokładność. Rozważ następujący przykład:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Lewa strona równości jest oczywiście zdefiniowana dla wszystkich wartości f(x) z wyjątkiem zera. Prawa strona jest tylko dla f(x)>0! Wyjmując stopień z logarytmu, ponownie zawężamy ODZ. Procedura odwrotna prowadzi do poszerzenia zakresu wartości dopuszczalnych. Wszystkie te uwagi odnoszą się nie tylko do potęgi 2, ale także do każdej parzystej potęgi.
Formuła przejścia do nowego fundamentu
log a b = log c b log do a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Ten rzadki przypadek, gdy ODZ nie zmienia się podczas transformacji. Jeśli mądrze wybrałeś bazę c (dodatnią i różną od 1), formuła na przejście do nowej bazy jest całkowicie bezpieczna.
Jeśli wybierzemy liczbę b jako nową podstawę c, otrzymamy ważne szczególny przypadek wzory (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Kilka prostych przykładów z logarytmami
Przykład 1. Oblicz: log2 + log50.
Rozwiązanie. log2 + log50 = log100 = 2. Wykorzystaliśmy wzór na sumę logarytmów (5) i definicję logarytmu dziesiętnego.
Przykład 2. Oblicz: lg125/lg5.
Rozwiązanie. log125/log5 = log 5 125 = 3. Użyliśmy wzoru na przejście do nowej bazy (8).
Tabela wzorów związanych z logarytmami
| a log za b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log za b do = log a b - log a do (a > 0, a ≠ 1, b > 0, do > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log do a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Zacznijmy właściwości logarytmu jedności. Jego sformułowanie jest następujące: logarytm jedności jest równy zeru, to znaczy zapisz 1=0 dla dowolnego a>0, a≠1. Dowód nie jest trudny: skoro a 0 =1 dla dowolnego a spełniającego powyższe warunki a>0 i a≠1, to logarytm równości a 1=0 do udowodnienia wynika bezpośrednio z definicji logarytmu.
Podajmy przykłady zastosowania rozważanej właściwości: log 3 1=0, log1=0 i .
Przejdźmy dalej do poniższej nieruchomości: logarytm liczby równej podstawie jest równy jeden, to jest, log a=1 dla a>0, a≠1. Rzeczywiście, ponieważ a 1 = a dla dowolnego a, to z definicji logarytmu logarytmicznego a a = 1.
Przykładami wykorzystania tej właściwości logarytmów są log równości: log 5 5=1, log 5,6 5,6 i lne=1.
Na przykład log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 i 
.
Logarytm iloczynu dwóch liczb dodatnich x i y są równe iloczynowi logarytmów tych liczb: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Udowodnijmy własność logarytmu iloczynu. Ze względu na właściwości stopnia a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, a ponieważ według głównej tożsamości logarytmicznej log a x =x i log a y =y, to log a x·a log a y =x·y. Zatem log a x+log a y =x·y, z którego, zgodnie z definicją logarytmu, wynika dowód równości.
Pokażmy przykłady wykorzystania własności logarytmu iloczynu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 i 
.
Właściwość logarytmu iloczynu można uogólnić na iloczyn skończonej liczby n liczb dodatnich x 1 , x 2 , …, x n jako log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Równość tę można udowodnić bez problemów.
Na przykład logarytm naturalny iloczynu można zastąpić sumą trzech logarytmów naturalnych liczb 4, e i.
Logarytm ilorazu dwóch liczb dodatnich x i y są równe różnicy między logarytmami tych liczb. Własność logarytmu ilorazu odpowiada wzorowi w postaci , gdzie a>0, a≠1, x i y są pewnymi liczbami dodatnimi. Udowodniono ważność tego wzoru, a także wzoru na logarytm iloczynu: ponieważ 
, to z definicji logarytmu.
Oto przykład wykorzystania tej właściwości logarytmu: 
.
Przejdźmy dalej własność logarytmu potęgi. Logarytm stopnia jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu modułu podstawy tego stopnia. Zapiszmy tę właściwość logarytmu potęgi jako wzór: log a b p =p·log a |b|, gdzie a>0, a≠1, b i p są liczbami takimi, że stopień b p ma sens, a b p > 0.
Najpierw udowodnimy tę właściwość dla dodatniego b. Podstawy tożsamość logarytmiczna pozwala nam przedstawić liczbę b jako log a b , następnie b p =(a log a b) p , a wynikowe wyrażenie, ze względu na własność potęgi, jest równe a p·log a b . Dochodzimy więc do równości b p =a p·log a b, z której z definicji logarytmu wnioskujemy, że log a b p =p·log a b.
Pozostaje udowodnić tę własność dla ujemnego b. Zauważmy tutaj, że wyrażenie log a b p dla ujemnego b ma sens tylko dla parzystych wykładników p (ponieważ wartość stopnia b p musi być większa od zera, w przeciwnym razie logarytm nie będzie miał sensu), i w tym przypadku b p =|b| P. Następnie bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, skąd log a b p =p·log a |b| .
Na przykład, 
i ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Wynika to z poprzedniej właściwości właściwość logarytmu z pierwiastka: logarytm n-tego pierwiastka jest równy iloczynowi ułamka 1/n przez logarytm wyrażenia pierwiastkowego, czyli 
, gdzie a>0, a≠1, n – Liczba naturalna, większe niż jeden, b>0.
Dowód opiera się na równości (patrz), która obowiązuje dla dowolnego dodatniego b, oraz na własności logarytmu potęgi: 
.
Oto przykład użycia tej właściwości: 
.
Teraz udowodnijmy wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu Uprzejmy 
. Aby to zrobić, wystarczy udowodnić ważność logu równości c b=log a b·log c a. Podstawowa tożsamość logarytmiczna pozwala nam przedstawić liczbę b jako log a b , a następnie log c b=log c a log a b . Pozostaje skorzystać z własności logarytmu stopnia: log c a log a b = log a b log c a. Dowodzi to równości log c b=log a b·log c a, co oznacza, że udowodniono także wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu.
Pokażmy kilka przykładów wykorzystania tej właściwości logarytmów: i 
.
Wzór na przejście do nowej podstawy pozwala przejść do pracy z logarytmami, które mają „wygodną” podstawę. Można go na przykład użyć do przejścia do logarytmów naturalnych lub dziesiętnych, aby móc obliczyć wartość logarytmu z tabeli logarytmów. Wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu pozwala również w niektórych przypadkach znaleźć wartość danego logarytmu, gdy znane są wartości niektórych logarytmów o innych podstawach.
Często używany jest szczególny przypadek wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu dla c=b postaci 
. To pokazuje, że log a b i log b a – . Np, 
.
Formuła jest również często używana 
, co jest wygodne do znajdowania wartości logarytmów. Na potwierdzenie naszych słów pokażemy, jak można je wykorzystać do obliczenia wartości logarytmu postaci . Mamy 
. Aby udowodnić formułę 
wystarczy skorzystać ze wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu a: 
.
Pozostaje udowodnić właściwości porównywania logarytmów.
Udowodnijmy, że dla dowolnych liczb dodatnich b 1 i b 2, b 1 log a b 2 , a dla a>1 – nierówność log a b 1 Na koniec pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości logarytmów. Ograniczmy się do dowodu jego pierwszej części, czyli udowodnimy, że jeśli a 1 >1, a 2 >1 i a 1 1 jest prawdziwe log a 1 b>log a 2 b . Pozostałe stwierdzenia tej właściwości logarytmów dowodzi się według podobnej zasady. Zastosujmy metodę odwrotną. Załóżmy, że dla 1 >1, 2 >1 i 1 1 jest prawdziwe log a 1 b≤log a 2 b . W oparciu o właściwości logarytmów nierówności te można przepisać jako 
I 
odpowiednio i z nich wynika, że odpowiednio log b a 1 ≤ log b a 2 i log b a 1 ≥log b a 2. Wtedy, zgodnie z własnościami potęg o tych samych podstawach, muszą spełniać równości b log b a 1 ≥b log b a 2 i b log b a 1 ≥b log b a 2, czyli a 1 ≥a 2 . Doszliśmy więc do sprzeczności z warunkiem a 1
Bibliografia.
- Kołmogorow A.N., Abramow A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne. Algebra i początki analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 szkół ogólnokształcących.
- Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).
(z greckiego λόγος - „słowo”, „relacja” i ἀριθμός - „liczba”) liczby B oparte na A(log α B) nazywa się taką liczbą C, I B= c, to znaczy rejestruje log α B=C I b=aC są równoważne. Logarytm ma sens, jeśli a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Innymi słowy logarytm liczby B oparte na A sformułowany jako wykładnik, do którego należy podnieść liczbę A aby uzyskać numer B(logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich).
Z tego sformułowania wynika, że obliczenie x= log α B, jest równoważne rozwiązaniu równania a x = b.
Na przykład:
log 2 8 = 3, ponieważ 8 = 2 3 .
Podkreślmy, że wskazane sformułowanie logarytmu pozwala na natychmiastowe określenie wartość logarytmu, gdy liczba pod znakiem logarytmu pełni rolę pewnej potęgi podstawy. Rzeczywiście, sformułowanie logarytmu pozwala uzasadnić to, jeśli b=a do, a następnie logarytm liczby B oparte na A równa się Z. Oczywiste jest również, że temat logarytmów jest ściśle powiązany z tematem potęgi liczby.
Obliczanie logarytmu nazywa się logarytm. Logarytm to operacja matematyczna polegająca na braniu logarytmu. Podczas obliczania logarytmów iloczyny czynników przekształca się w sumy wyrazów.
Wzmocnienie jest odwrotną operacją matematyczną logarytmu. Podczas wzmacniania, dana zasada jest zwiększana do stopnia ekspresji, przy którym następuje wzmocnienie. W tym przypadku sumy wyrazów przekształca się w iloczyn czynników.
Dość często stosuje się logarytmy rzeczywiste o podstawie 2 (binarnie), liczbie Eulera e ≈ 2,718 (logarytm naturalny) i 10 (dziesiętnie).
Na tym etapie warto to rozważyć próbki logarytmiczne log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
A wpisy lg(-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nie mają sensu, ponieważ w pierwszym z nich pod znakiem logarytmu umieszczona jest liczba ujemna, w drugim liczba ujemna w podstawie, a w trzeciej pod znakiem logarytmu znajduje się liczba ujemna, a u podstawy jednostka.
Warunki wyznaczania logarytmu.
Warto osobno rozważyć warunki a > 0, a ≠ 1, b > 0. przy których otrzymujemy definicja logarytmu. Zastanówmy się, dlaczego wprowadzono te ograniczenia. Pomoże nam w tym równość postaci x = log α B, zwaną podstawową tożsamością logarytmiczną, co bezpośrednio wynika z podanej powyżej definicji logarytmu.
Weźmy warunek a≠1. Ponieważ jeden do dowolnej potęgi jest równy jeden, wówczas równość x=log α B może istnieć tylko wtedy, gdy b=1, ale log 1 1 będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Aby wyeliminować tę dwuznaczność, bierzemy a≠1.
Udowodnimy konieczność warunku a>0. Na a=0 zgodnie ze sformułowaniem logarytmu może istnieć tylko wtedy, gdy b=0. I odpowiednio wtedy zaloguj 0 0 może być dowolną niezerową liczbą rzeczywistą, ponieważ zero do dowolnej niezerowej potęgi wynosi zero. Tę niejednoznaczność można wyeliminować za pomocą warunku a≠0. I kiedy A<0 musielibyśmy odrzucić analizę racjonalnych i niewymiernych wartości logarytmu, ponieważ stopień z wymiernym i irracjonalnym wykładnikiem jest definiowany tylko dla podstaw nieujemnych. Z tego powodu postawiono warunek a>0.
I ostatni warunek b>0 wynika z nierówności a>0, ponieważ x=log α B i wartość stopnia o podstawie dodatniej A zawsze pozytywny.
Cechy logarytmów.
Logarytmy charakteryzuje się charakterystycznością cechy, co doprowadziło do ich powszechnego stosowania w celu znacznego ułatwienia żmudnych obliczeń. Przenosząc się „w świat logarytmów”, mnożenie przekształca się w znacznie łatwiejsze dodawanie, dzielenie w odejmowanie, a potęgowanie i ekstrakcja pierwiastkowa przekształcają się odpowiednio w mnożenie i dzielenie przez wykładnik.
Sformułowanie logarytmów i tabela ich wartości (dla funkcji trygonometrycznych) zostało po raz pierwszy opublikowane w 1614 roku przez szkockiego matematyka Johna Napiera. Tablice logarytmiczne, powiększone i szczegółowe przez innych naukowców, były szeroko stosowane w obliczeniach naukowych i inżynieryjnych i pozostawały aktualne aż do pojawienia się kalkulatorów elektronicznych i komputerów.
W związku z
można ustawić zadanie znalezienia dowolnej z trzech liczb spośród pozostałych dwóch podanych. Jeśli podano a i N, można je znaleźć przez potęgowanie. Jeśli N i następnie a są dane poprzez pierwiastek stopnia x (lub podniesienie do potęgi). Rozważmy teraz przypadek, gdy mając dane a i N, musimy znaleźć x.
Niech liczba N będzie dodatnia: liczba a będzie dodatnia i różna od jedności: .
Definicja. Logarytm liczby N o podstawie a jest wykładnikiem, do którego należy podnieść a, aby otrzymać liczbę N; logarytm jest oznaczony przez
Zatem w równości (26.1) wykładnik jest logarytmem N o podstawie a. Posty
mają to samo znaczenie. Równość (26.1) jest czasami nazywana główną tożsamością teorii logarytmów; w rzeczywistości wyraża definicję pojęcia logarytmu. Zgodnie z tą definicją podstawa logarytmu a jest zawsze dodatnia i różna od jedności; liczba logarytmiczna N jest dodatnia. Liczby ujemne i zero nie mają logarytmów. Można udowodnić, że każda liczba o danej podstawie ma dobrze zdefiniowany logarytm. Zatem równość pociąga za sobą . Zauważ, że warunek jest tutaj niezbędny; w przeciwnym razie wniosek nie byłby uzasadniony, ponieważ równość jest prawdziwa dla dowolnych wartości x i y.
Przykład 1. Znajdź
Rozwiązanie. Aby otrzymać liczbę, należy podnieść podstawę 2 do potęgi Zatem.
Podczas rozwiązywania takich przykładów możesz robić notatki w następującej formie:
Przykład 2. Znajdź .
Rozwiązanie. Mamy
W przykładach 1 i 2 z łatwością znaleźliśmy pożądany logarytm, przedstawiając liczbę logarytmiczną jako potęgę podstawy z wykładnikiem wymiernym. W ogólnym przypadku, na przykład, nie można tego zrobić, ponieważ logarytm ma wartość niewymierną. Zwróćmy uwagę na jedną kwestię związaną z tym stwierdzeniem. W paragrafie 12 podaliśmy koncepcję możliwości wyznaczenia dowolnej potęgi rzeczywistej danej liczby dodatniej. Było to konieczne do wprowadzenia logarytmów, które, ogólnie rzecz biorąc, mogą być liczbami niewymiernymi.
Przyjrzyjmy się niektórym właściwościom logarytmów.
Właściwość 1. Jeśli liczba i podstawa są równe, wówczas logarytm jest równy jeden i odwrotnie, jeśli logarytm jest równy jeden, wówczas liczba i podstawa są równe.
Dowód. Niech Z definicji logarytmu mamy i skąd
I odwrotnie, niech Wtedy z definicji
Właściwość 2. Logarytm jednego do dowolnej podstawy jest równy zero.
Dowód. Z definicji logarytmu (potęga zerowa dowolnej podstawy dodatniej jest równa jeden, patrz (10.1)). Stąd
co było do okazania
Prawdziwe jest również stwierdzenie odwrotne: jeśli , to N = 1. Rzeczywiście mamy .
Zanim sformułowamy kolejną własność logarytmów, zgódźmy się powiedzieć, że dwie liczby a i b leżą po tej samej stronie trzeciej liczby c, jeśli obie są większe niż c lub mniejsze niż c. Jeśli jedna z tych liczb jest większa niż c, a druga mniejsza niż c, to powiemy, że leżą one po przeciwnych stronach c.
Właściwość 3. Jeśli liczba i podstawa leżą po tej samej stronie jedności, to logarytm jest dodatni; Jeśli liczba i podstawa leżą po przeciwnych stronach jedności, logarytm jest ujemny.
Dowód własności 3 opiera się na fakcie, że potęga a jest większa niż jeden, jeśli podstawa jest większa niż jeden, a wykładnik jest dodatni lub podstawa jest mniejsza niż jeden, a wykładnik jest ujemny. Potęga jest mniejsza niż jeden, jeśli podstawa jest większa niż jeden, a wykładnik jest ujemny lub podstawa jest mniejsza niż jeden, a wykładnik jest dodatni.
Należy rozważyć cztery przypadki:
Ograniczymy się do analizy pierwszego z nich, resztę czytelnik rozważy samodzielnie.
Niech więc w równości wykładnik nie może być ani ujemny, ani równy zeru, zatem jest dodatni, tj. taki, jakiego wymaga udowodnienie.
Przykład 3. Dowiedz się, które z poniższych logarytmów są dodatnie, a które ujemne:
Rozwiązanie, a) ponieważ liczba 15 i podstawa 12 znajdują się po tej samej stronie jedynki;
b) ponieważ 1000 i 2 znajdują się po jednej stronie jednostki; w tym przypadku nie jest ważne, aby podstawa była większa niż liczba logarytmiczna;
c) ponieważ 3,1 i 0,8 leżą po przeciwnych stronach jedności;
G) ; Dlaczego?
D) ; Dlaczego?
Następujące właściwości 4-6 nazywane są często regułami logarytmu: pozwalają, znając logarytmy niektórych liczb, znaleźć logarytmy ich iloczynu, ilorazu i stopnia każdej z nich.
Właściwość 4 (reguła logarytmu iloczynu). Logarytm iloczynu kilku liczb dodatnich o danej podstawie jest równy sumie logarytmów tych liczb o tej samej podstawie.
Dowód. Niech podane liczby będą dodatnie.
Dla logarytmu ich iloczynu piszemy równość (26.1), która definiuje logarytm:
Stąd znajdziemy
Porównując wykładniki pierwszego i ostatniego wyrażenia, otrzymujemy wymaganą równość:
Pamiętaj, że warunek jest niezbędny; logarytm iloczynu dwóch liczb ujemnych ma sens, ale w tym przypadku otrzymujemy
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli iloczyn kilku czynników jest dodatni, wówczas jego logarytm jest równy sumie logarytmów wartości bezwzględnych tych czynników.
Właściwość 5 (reguła przyjmowania logarytmów ilorazów). Logarytm ilorazu liczb dodatnich jest równy różnicy między logarytmami dzielnej i dzielnika, przyjętymi do tej samej podstawy. Dowód. Konsekwentnie znajdujemy
co było do okazania
Właściwość 6 (reguła logarytmu potęgowego). Logarytm potęgi dowolnej liczby dodatniej jest równy logarytmowi tej liczby pomnożonej przez wykładnik.
Dowód. Napiszmy jeszcze raz główną tożsamość (26.1) dla liczby:
co było do okazania
Konsekwencja. Logarytm pierwiastka liczby dodatniej jest równy logarytmowi pierwiastka podzielonemu przez wykładnik pierwiastka:
Ważność tego wniosku można udowodnić, wyobrażając sobie, jak i wykorzystując właściwość 6.
Przykład 4. Weź logarytm o podstawie:
a) (zakłada się, że wszystkie wartości b, c, d, e są dodatnie);
b) (przyjmuje się, że ).
Rozwiązanie, a) W tym wyrażeniu wygodnie jest przejść do potęg ułamkowych:
Na podstawie równości (26,5)-(26,7) możemy teraz napisać:
Zauważamy, że na logarytmach liczb wykonuje się prostsze operacje niż na samych liczbach: przy mnożeniu liczb dodaje się ich logarytmy, przy dzieleniu odejmuje itd.
Dlatego w praktyce obliczeniowej stosuje się logarytmy (patrz akapit 29).
Odwrotne działanie logarytmu nazywa się wzmocnieniem, a mianowicie: wzmocnieniem jest działanie, dzięki któremu sama liczba zostaje znaleziona na podstawie danego logarytmu liczby. Zasadniczo wzmocnienie nie jest jakimś specjalnym działaniem: sprowadza się do podniesienia podstawy do potęgi (równej logarytmowi liczby). Termin „wzmocnienie” można uznać za synonim terminu „potęgowanie”.
Podczas wzmacniania należy stosować zasady odwrotne do reguł logarytmu: zamień sumę logarytmów na logarytm iloczynu, różnicę logarytmów na logarytm ilorazu itp. W szczególności, jeśli przed nami znajduje się czynnik znaku logarytmu, to podczas wzmacniania należy go przenieść na stopnie wykładnicze pod znakiem logarytmu.
Przykład 5. Znajdź N, jeśli to wiadomo
Rozwiązanie. W związku z podaną właśnie zasadą potęgowania, czynniki 2/3 i 1/3 stojące przed znakami logarytmów po prawej stronie tej równości przeniesiemy na wykładniki pod znakami tych logarytmów; dostajemy
Teraz zastępujemy różnicę logarytmów logarytmem ilorazu:
aby otrzymać ostatni ułamek w tym łańcuchu równości, uwolniliśmy poprzedni ułamek od irracjonalności w mianowniku (klauzula 25).
Właściwość 7. Jeśli podstawa jest większa niż jeden, to większa liczba ma większy logarytm (a mniejsza ma mniejszy), jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, to większa liczba ma mniejszy logarytm (a mniejsza jeden ma większy).
Właściwość tę formułuje się również jako regułę przyjmowania logarytmów nierówności, których obie strony są dodatnie:
Przy logarytmowaniu nierówności do podstawy większej niż jeden znak nierówności zostaje zachowany, a przy logarytmowaniu do podstawy mniejszej niż jeden znak nierówności zmienia się na przeciwny (patrz także paragraf 80).
Dowód opiera się na własnościach 5 i 3. Rozważmy przypadek, gdy Jeśli , to i, biorąc logarytmy, otrzymujemy
(a i N/M leżą po tej samej stronie jedności). Stąd
Sprawa jest następująca, czytelnik sam to rozwiąże.
Dzisiaj porozmawiamy o wzory logarytmiczne i podamy orientacyjnie przykłady rozwiązań.
Sami implikują wzorce rozwiązań zgodnie z podstawowymi właściwościami logarytmów. Zanim zastosujemy do rozwiązania wzory logarytmiczne, przypomnijmy o wszystkich własnościach:
Teraz na podstawie tych wzorów (właściwości) pokażemy przykłady rozwiązywania logarytmów.
Przykłady rozwiązywania logarytmów na podstawie wzorów.
Logarytm liczba dodatnia b oparta na podstawie a (oznaczona jako log a b) jest wykładnikiem, do którego należy podnieść a, aby otrzymać b, gdzie b > 0, a > 0 i 1.
Zgodnie z definicją log a b = x, co jest równoważne a x = b, zatem log a a x = x.
Logarytmy, przykłady:
log 2 8 = 3, ponieważ 2 3 = 8
log 7 49 = 2, ponieważ 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, ponieważ 5 -1 = 1/5
Logarytm dziesiętny- jest to zwykły logarytm, którego podstawa wynosi 10. Oznacza się go jako lg.
log 10 100 = 2, ponieważ 10 2 = 100
Naturalny logarytm- także logarytm zwykły, logarytm, ale o podstawie e (e = 2,71828... - liczba niewymierna). Oznaczone jako ln.
Wskazane jest zapamiętanie wzorów lub właściwości logarytmów, ponieważ będą nam one potrzebne później przy rozwiązywaniu logarytmów, równań logarytmicznych i nierówności. Przeanalizujmy ponownie każdą formułę z przykładami.
- Podstawowa tożsamość logarytmiczna
log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Własności potęgi liczby logarytmicznej i podstawy logarytmu
Wykładnik liczby logarytmicznej log a b m = mlog a b
Wykładnik podstawy logarytmu log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
jeśli m = n, otrzymujemy log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Przejście na nowy fundament
log a b = log c b/log c a,jeśli c = b, otrzymujemy log b b = 1
następnie log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Jak widać, wzory na logarytmy nie są tak skomplikowane, jak się wydaje. Teraz, po zapoznaniu się z przykładami rozwiązywania logarytmów, możemy przejść do równań logarytmicznych. Przykłady rozwiązywania równań logarytmicznych przyjrzymy się bardziej szczegółowo w artykule: „”. Nie przegap!
Jeśli nadal masz pytania dotyczące rozwiązania, napisz je w komentarzach do artykułu.
Uwaga: jako opcję zdecydowaliśmy się na inną klasę edukacji i studia za granicą.