GU „Średni” Szkoła ogólnokształcąca Nr 5 nazwany imieniem Bauyrzhan Momyshuly”

Departament Edukacji Akimata Kustanaj

PLAN LEKCJI

Pełne imię i nazwisko (w całości) Plastun Siergiej Władimirowicz

Algebra przedmiotu

Klasa 8A-8b-1

Data 23.09.17

Źródła Ałmaty „Mektep-2016”

Podstawowy samouczek

dodatkowa literatura

Odkrycie przybliżone wartości pierwiastka kwadratowego.

1. Cel lekcji: zapoznanie uczniów z pojęciem „przybliżeniepierwiastek kwadratowy” i nauczyć, jak zastosować tę koncepcję w praktyce.

Zadania:

Edukacyjny:

- uczyć, jak znaleźć przybliżone wartości pierwiastka kwadratowego;

-rozwijanie umiejętności rozumowania, jasnego formułowania zasad, podawania przykładów, stosowania wiedzy i umiejętności w praktyce.

pierwiastek, podaj i znajdź wartości arytmetycznego pierwiastka kwadratowego.

Edukacyjny:

- rozwijanie umiejętności uczniów w rozwiązywaniu zadań z tego tematu;

-rozwijanie aktywności umysłowej uczniów.

Edukacyjny:

- pielęgnuj uważność, aktywność, odpowiedzialność.

2. Rodzaj lekcji:łączny.

3. Formy pracy z uczniami: frontalne, indywidualne.

4. Niezbędne wyposażenie techniczne.

5. Pomoce wizualne, materiały dydaktyczne, użyte na lekcji.

6. Struktura i przebieg lekcji.

STRUKTURA I PRZEBIEG LEKCJI

Podczas zajęć

1. Organizowanie czasu .

Sprawdzenie gotowości klasy do zajęć. Pozdrowienia.

2. Sprawdzanie pracy domowej.

3. Powtórzenie wcześniej przestudiowanego materiału.

Zacznijmy od powtórzeń. Praca ustna

Pamiętajmy, co to jest Pierwiastek kwadratowy (Pierwiastek kwadratowy liczby nieujemnej a jest liczbą, której kwadrat jest równy a).

(Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy) Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej a jest liczbą nieujemną b, której kwadrat jest równy a.

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby a oznacza się w następujący sposób: Podpisać nazywa się arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym lub rodnikiem i jest wyrażeniem radykalnym. Wyrażenie brzmi następująco: „Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby a”.

A-przeorat pierwiastek arytmetyczny równość
spełnione pod warunkiem, że
.

4. Studiowanie nowego materiału.

1. Oblicz: 25, 16, 9, 81,

Znajdź wartość wyrażenia √2

- Co musiałeś zrobić?

Co dostałeś? (Uczniowie pokazują swoje możliwości:)

Jaka była trudność?

Czy √2 jest całkowicie wyodrębniane?

Jak to znajdziemy?

Jakie znamy metody wyszukiwania korzeni?

Chłopaki, widzicie, nie zawsze mamy do czynienia z liczbami, które można łatwo przedstawić jako kwadrat liczby, które są wyodrębniane z całego pierwiastka

1 METODA obliczyć √2 z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Będziemy rozumować w następujący sposób.

Liczba √2 jest większa od 1, ponieważ 1 2< 2. В тоже время, число √2 < 2, так как 2 2 больше 2. Следовательно, Notacja dziesiętna liczby zaczną się następująco: 1,... Oznacza to, że pierwiastek z dwóch to jedno z czymś.

1< √2 < 2.

Teraz spróbujmy znaleźć liczbę dziesiątych.

Aby to zrobić, będziemy podnosić ułamki od jednego do dwóch, aż otrzymamy liczbę większą niż dwa.

Przyjmijmy, że krok dzielenia wynosi 0,1, ponieważ szukamy liczby dziesiątych.

Innymi słowy, podniesiemy liczby do kwadratu: 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6, 1,7, 1,8, 1,9

1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Otrzymaliśmy liczbę większą niż dwa; pozostałych liczb nie trzeba już podnosić do kwadratu. Liczba 1,4 2 jest mniejsza niż 2, a 1,5 2 jest już większa niż dwa, wówczas liczba √2 musi należeć do przedziału od 1,4 do 1,5. Zatem zapis dziesiętny liczby √2 na miejscu dziesiętnym musi zawierać 4. √2=1,4… .

1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Już przy 1,42 stwierdzamy, że jego kwadrat jest większy niż dwa; dalsze podnoszenie liczb do kwadratu nie ma sensu.

Z tego otrzymujemy, że liczba √2 będzie należeć do przedziału od 1,41 do 1,42 (1,41< √2<1,42)

Ponieważ musimy zapisać √2 z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku, możemy przerwać obliczenia i nie kontynuować ich.

√2 ≈ 1,41. To będzie odpowiedź. Gdyby trzeba było obliczyć jeszcze dokładniejszą wartość, konieczne byłoby kontynuowanie obliczeń, powtarzając w kółko tok rozumowania.

Ćwiczenia

Oblicz z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku

√3 = , √5 = , √6 = , √7 =, √8 =

Wniosek Ta technika pozwala wyodrębnić korzeń z dowolną z góry określoną dokładnością.

2 METODA Aby znaleźć część całkowitą pierwiastka kwadratowego z liczby, możesz odjąć od niej wszystkie liczby nieparzyste, aż reszta będzie mniejsza od następnej odejmowanej liczby lub równa zero i policzyć liczbę wykonanych czynności.

Na przykład znajdźmy √16 w ten sposób:

Wykonywane są 4 akcje, co oznacza √16 = 4

Ćwiczenia. Oblicz

√1 √6

Wyślij swoją dobrą pracę do bazy wiedzy jest prosta. Skorzystaj z poniższego formularza

Studenci, doktoranci, młodzi naukowcy, którzy wykorzystują bazę wiedzy w swoich studiach i pracy, będą Państwu bardzo wdzięczni.

Opublikowano na http://www.allbest.ru/

Temat przybliżonego obliczania pierwiastków jest zawsze aktualny, ponieważ na każdym kierunku przedmiotów przyrodniczych znajdują się zadania z pierwiastkami kwadratowymi. W trakcie rozwiązywania wielu problemów matematycznych, a także problemów z geometrii, fizyki, chemii itp. musisz sobie poradzić z pierwiastkami kwadratowymi. Aby wyodrębnić pierwiastek kwadratowy, istnieją tablice kwadratów dla liczb dwucyfrowych, ale to nie wystarczy. Wydobywanie pierwiastka metodą faktoryzacji również nie jest zadaniem łatwym, które nie zawsze prowadzi do pożądanego rezultatu, dlatego postanowiłem przestudiować różne metody wydobywania pierwiastków kwadratowych pod kątem ich praktycznego zastosowania.

Dlatego celem pracy jest porównanie różnych metod przybliżonego ekstrakcji pierwiastków kwadratowych, przy czym postawiono następujące zadania: zbadanie materiału, wskazanie najskuteczniejszej metody w zależności od zadania.

Rozwiążmy równanie graficznie. Aby to zrobić, skonstruujemy parabolę i linię prostą w tym samym układzie współrzędnych. Odcięte punktów A i B są pierwiastkami równania. Rozwiążmy równanie. Oczywiste jest, że to równanie ma dwa pierwiastki, a ponadto liczby te, podobnie jak w dwóch poprzednich przypadkach, są równe pod względem wartości bezwzględnej i przeciwne pod względem znaku (). Na podstawie rysunku nie jesteśmy w stanie wskazać dokładnych wartości pierwiastków. Interesująca nas liczba x1 znajduje się pomiędzy liczbami 1 i 2, ale między liczbami 1 i 2 znajduje się nieskończony zbiór liczb wymiernych, na przykład itp. Praca dowodzi, że mając jedynie liczby wymierne, nie jesteśmy w stanie rozwiązać równania.

Matematycy wprowadzili do rozważań nowy symbol, który nazwali pierwiastkiem kwadratowym i za pomocą tego symbolu zapisano pierwiastki równania w następujący sposób: i. Brzmi ono: „arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z dwóch”. Teraz dla dowolnego równania postaci, w której można znaleźć pierwiastki - są to liczby i.

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej to liczba nieujemna, której kwadrat jest równy. Numer ten jest wyznaczony. Jeżeli, to równanie nie ma pierwiastków.

Operację znajdowania pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej nazywa się pierwiastkowaniem kwadratowym.

Podczas badania metod obliczania pierwiastka kwadratowego odkryto kilka metod, takich jak: metoda arytmetyczna; metoda przybliżonej oceny; kolumna; sposób babiloński; metoda Herona i metoda Newtona; metoda geometryczna. W artykule omówiono tylko kilka z nich.

Metoda arytmetyczna

ekstrakcja pierwiastkowa w przybliżeniu

Dla kwadratów liczb naturalnych prawdziwe są następujące równości:

Oznacza to, że aby znaleźć część całkowitą pierwiastka kwadratowego z liczby, możesz odjąć od niej wszystkie liczby nieparzyste, aż reszta będzie mniejsza niż następna liczba do odjęcia lub równa zero, i policzyć liczbę działań wykonane.

Na przykład znajdźmy pierwiastek kwadratowy z 16 w następujący sposób:

Wykonano 4 kroki, co oznacza, że ​​pierwiastek kwadratowy z liczby 16 wynosi 4. Podobnie znajdujemy pierwiastek kwadratowy z liczby 12:

Wykonywane są 3 akcje, pierwiastek kwadratowy z liczby 12 jest równy 3 liczbom całkowitym.

Wadą tej metody jest to, że jeśli wyodrębniany pierwiastek nie jest liczbą całkowitą, to można znaleźć tylko jego całą część, ale nie dokładniej. Jednocześnie metoda ta jest całkiem odpowiednia do przybliżonego szacowania, dla studentów rozwiązujących proste problemy matematyczne wymagające wyciągnięcia pierwiastka kwadratowego.

Metoda babilońska lub pierwsza metoda Herona

Jeśli jest liczbą dodatnią i jest przybliżoną wartością nadmiaru, to jest przybliżoną wartością niedoboru.

W pracy rozważono dowód twierdzenia. Ponieważ i są przybliżonymi wartościami nadmiaru i niedoboru oraz są średnią geometryczną liczb i wówczas naturalne jest wybranie średniej arytmetycznej tych liczb jako najlepszego przybliżenia dla, tj. numer. Aby uzyskać jeszcze dokładniejszą wartość, należy przyjąć średnią arytmetyczną liczb i, tj. numer. W ten sposób wyliczane są jedna po drugiej coraz dokładniejsze wartości przybliżone. Aproksymacje są kontynuowane do momentu, aż dwie uzyskane wartości zbiegną się w ramach określonej dokładności. Następnie mamy formułę:

. (1)

Wzór ten można również wyprowadzić z nieco innego rozumowania.

Załóżmy na przykład, że musisz wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z liczby 32. Najpierw wybierzmy przybliżoną wartość tego pierwiastka, na przykład . Oznaczamy zatem błąd tej przybliżonej wartości przez. Aby znaleźć wartość, podnosimy obie strony tej równości i otrzymujemy:

,

. (2)

W rezultacie otrzymujemy równanie kwadratowe. Jeśli zostanie to rozwiązane, to... Okazuje się, że chodzimy w kółko: aby znaleźć, trzeba liczyć, a żeby znaleźć, trzeba liczyć. Na ratunek przychodzi następująca uwaga. Błąd wartości przybliżonej jest niewielki, jest mniejszy od jedności, co oznacza, że ​​liczba jest jeszcze mniejsza, więc można ją odrzucić w równości (2). W tym przypadku uzyskuje się przybliżone równanie, co oznacza. Znaleziono więc przybliżoną wartość poprawki.

Od tego czasu drugie przybliżenie dla. Aby znaleźć dokładniejsze przybliżenie, powtarzamy opisany proces.

.

Podstawmy obie strony do kwadratu i odrzućmy mały termin:

,

.

Następnie trzecie przybliżenie wyraża się wzorem:

. Od tego czasu.

W ten sam sposób na podstawie wartości przybliżonej można znaleźć kolejne przybliżenie. Następnie, jeśli zostanie znaleziona wartość przybliżona, wówczas wzór wyraża:

.

Co więcej, każdy kolejny krok prowadzi do coraz dokładniejszych przybliżeń. Otrzymany wzór jest szczególnym przypadkiem wzoru (1), w którym występuje pewna liczba rzeczywista.

Korzystając ze wzoru (1), możesz znaleźć przybliżoną wartość, która jest w przybliżeniu równa 1,414213562.

Zasada znajdowania przybliżonej wartości pierwiastka kwadratowego dowolnej liczby naturalnej była znana matematykom starożytnego Babilonu ponad 4000 lat temu. Sporządzili tabele kwadratów liczb i pierwiastków kwadratowych z liczb. Jednocześnie udało im się znaleźć przybliżoną wartość pierwiastka kwadratowego dowolnej liczby całkowitej.

Wzór służący do obliczania kolejnych przybliżeń metodą babilońską można zapisać następująco:

.

W tym przypadku gdzie przyjmuje się funkcję, gdzie jest liczbą, której pierwiastek należy znaleźć. Praca ujawnia dokładność metody babilońskiej.

Metoda ta znana była już w starożytnej Grecji i przypisywana jest Czaplowi z Aleksandrii. Następnie porzucono tę metodę, ale teraz stosuje się ją do wyodrębniania pierwiastków kwadratowych na kalkulatorach i komputerach.

Prace nad tym badaniem wykazały, że badanie pierwiastków kwadratowych jest obiektywną koniecznością: w prawdziwym życiu istnieją sytuacje, których modele matematyczne zawierają operację wyciągania pierwiastka kwadratowego. Jednak nie zawsze mamy pod ręką kalkulator. Ponadto zdarzają się sytuacje, w których korzystanie z kalkulatora jest niedopuszczalne, na przykład jednolity egzamin państwowy.

Chciałbym wybrać optymalnie racjonalną metodę wyciągania pierwiastków kwadratowych. Oczywiście metoda arytmetyczna, a zwłaszcza metoda przybliżonego oszacowania, jest łatwa w użyciu, ale nie dokładna, chociaż całkiem nadaje się do pierwszego przybliżenia. Ponadto przy stosowaniu tych metod wyciągania pierwiastków kwadratowych jakikolwiek błąd popełniony w którymś miejscu całkowicie unieważnia dalsze obliczenia. Inaczej wygląda sytuacja w przypadku zastosowania metody babilońskiej lub metody kolejnych przybliżeń. Chociaż jest to pracochłonne, możliwe jest prawidłowe obliczenie wartości pierwiastka z zadaną dokładnością.

Opublikowano na Allbest.ru

Podobne dokumenty

Pojęcie i istota matematyczna pierwiastka kwadratowego, jego cel i sposób obliczania. Twierdzenia odzwierciedlające właściwości rdzenia kwadratowego, ich uzasadnienie i dowód. Zastosowanie charakterystyk pierwiastków kwadratowych do rozwiązywania problemów geometrycznych.

streszczenie, dodano 01.05.2010


Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w historii matematyki. Analiza porównawcza technologii dla różnych metod rozwiązywania równań drugiego stopnia, przykłady ich zastosowania. Krótka teoria rozwiązywania równań kwadratowych, opracowanie książki problemowej.

streszczenie, dodano 18.12.2012


Badanie sposobów przybliżonego rozwiązywania równań przy użyciu graficznych reprezentacji funkcji. Badanie metody wyznaczania pierwiastków rzeczywistych równania kwadratowego za pomocą kompasu i linijki dla zadanych siedmiu równań, konstruowanie ich wykresów.

praca twórcza, dodano 09.04.2010


Metoda Gaussa, rozkład LU. Próba rozwiązywania układów liniowych z trójdiagonalnymi macierzami współczynników. Metoda pierwiastka kwadratowego rozwiązywania systemów: krótki opis, podstawy teoretyczne, implementacja, testowanie i lista programów.

praca na kursie, dodano 15.01.2013


Układ liniowych równań algebraicznych. Podstawowe wzory Cramera. Dokładne, przybliżone metody rozwiązywania układów liniowych. Algorytm implementacji metody pierwiastka kwadratowego w języku programowania w Matlabie 6.5. Wpływ wymiarowości i warunkowości macierzy.

test, dodano 27.04.2011


Badanie metody pierwiastków kwadratowych dla macierzy symetrycznej jako jednej z metod rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych. Analiza różnych parametrów macierzy i ich wpływu na dokładność rozwiązania: wymiarowość, warunkowość i rzadkość.

praca na kursie, dodano 27.03.2011


Historia rozwoju wzorów na pierwiastki równań kwadratowych. Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie. Rozwiązanie równań kwadratowych przez Diofantusa. Równania kwadratowe w Indiach, Chorezmi i Europie w XIII - XVII wieku. Twierdzenie Viety, współczesna notacja algebraiczna.

test, dodano 27.11.2010


Znajdowanie pierwiastków równań (Równanie Rozdział 1) metodą: Newtona, Riddera, Brenta, Łobaczewskiego i Laguerre'a. Obliczanie pierwiastków wielomianów za pomocą schematu Hornera. Funkcje dowolnego typu (w przypadku korzystania z pakietu Mathcad). Znajdowanie pierwiastków wielomianów.

test, dodano 14.08.2010


Studiowanie historii równań kwadratowych. Analiza ogólnej zasady rozwiązywania równań kwadratowych, określonej przez włoskiego matematyka Leonarda Fibonacciego. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą kompasu i linijki, za pomocą nomogramu, metodą „przelewu”.

Gotowe prace

STOPIEŃ DZIAŁA

Wiele już minęło i teraz jesteś absolwentem, jeśli oczywiście napiszesz pracę magisterską w terminie. Ale życie jest takie, że dopiero teraz staje się dla ciebie jasne, że przestając być studentem, stracisz wszystkie studenckie radości, z których wielu nigdy nie próbowałeś, odkładając wszystko i odkładając na później. A teraz zamiast nadrabiać zaległości pracujesz nad swoją pracą dyplomową? Jest na to doskonałe rozwiązanie: pobierz potrzebną pracę dyplomową z naszej strony - a od razu będziesz mieć mnóstwo wolnego czasu!
Prace dyplomowe obroniono z sukcesem na czołowych uniwersytetach Republiki Kazachstanu.
Koszt pracy od 20 000 tenge

KURS DZIAŁA

Projekt kursu jest pierwszą poważną pracą praktyczną. Przygotowanie do opracowania projektów dyplomowych rozpoczyna się wraz z napisaniem zajęć. Jeśli student nauczy się poprawnie przedstawiać treść tematu w projekcie kursu i kompetentnie go formatować, to w przyszłości nie będzie miał problemów z pisaniem sprawozdań, pisaniem prac dyplomowych czy wykonywaniem innych praktycznych zadań. Aby pomóc studentom w pisaniu tego typu pracy studenckiej i wyjaśnić pytania, które pojawiają się w trakcie jej przygotowywania, właściwie stworzono ten dział informacyjny.
Koszt pracy od 2500 tenge

DYSERTACJE MAGISTERSKIE

Obecnie w szkołach wyższych Kazachstanu i krajów WNP bardzo powszechny jest poziom wyższego wykształcenia zawodowego następujący po uzyskaniu tytułu licencjata - stopień magistra. W ramach studiów magisterskich studenci kształcą się w celu uzyskania tytułu magistra, który w większości krajów świata jest uznawany bardziej niż tytuł licencjata i jest również uznawany przez zagranicznych pracodawców. Efektem studiów magisterskich jest obrona pracy magisterskiej.
Przekażemy Państwu aktualny materiał analityczno-tekstowy; w cenie zawarte są 2 artykuły naukowe i streszczenie.
Koszt pracy od 35 000 tenge

RAPORTY Z PRAKTYK

Po odbyciu każdego rodzaju stażu studenckiego (edukacyjnego, przemysłowego, przedszkolnego) wymagane jest sprawozdanie. Dokument ten będzie potwierdzeniem praktycznej pracy studenta i podstawą do wystawienia oceny z praktyki. Zwykle, aby sporządzić sprawozdanie ze stażu, należy zebrać i przeanalizować informacje o przedsiębiorstwie, rozważyć strukturę i tryb pracy organizacji, w której odbywa się staż, sporządzić plan kalendarza i opisać swoje praktyczne zajęcia.
Pomożemy Ci napisać raport ze stażu, uwzględniający specyfikę działalności konkretnego przedsiębiorstwa.

Rozwiązując problemy polegające na obliczeniach, uzyskuje się wyniki numeryczne, które często nie są dokładne, ponieważ Błędy pojawiają się podczas ustawiania problemu i podczas obliczeń.

Źródła błędów to:

1) błędy w danych źródłowych;

2) błędy zaokrągleń wyników pośrednich i końcowych;

3) błędy w przybliżonym sposobie rozwiązania problemu.

Wykonując operacje na liczbach przybliżonych, musisz:

1) znając dokładność danych źródłowych, potrafić ocenić dokładność wyniku;

2) pobrać dane wyjściowe z taką dokładnością, aby zapewnić określoną dokładność wyniku.

2.1 Błędy w liczbach przybliżonych

Niech liczba x będzie wartością dokładną, a liczba a przybliżoną wartością pewnej wielkości.

Definicja. Różnicę między liczbą x a jej przybliżoną wartością a nazywa się błędem liczby przybliżonej a: Δ = |x-a |.

Niech x=10,5, a=10, wtedy Δ=10,5-10=0,5.

Niech x=9,5, a=10, wtedy Δ=9,5-10=-0,5.

Definicja. Wartość bezwzględną różnicy między liczbą x a jej wartością przybliżoną a nazywa się błędem bezwzględnym liczby przybliżonej a: Δa = |x-a|

Niech x=10,5, a=10, wówczas Δa =|10,5-10|=0,5.

Niech x=9,5, a=10, wówczas Δa=|9,5-10|=0,5.

Często dokładna liczba x jest nieznana. Wtedy nie da się znaleźć Δa = |x-a|, dlatego posługują się estymatorem błędu bezwzględnego - maksymalnego błędu bezwzględnego Δa ≥ Δa =x-a|. W tym przypadku liczba x mieści się w granicach:

a - Δ a  x  a + Δ a lub w skrócie: x = a ± Δ a.

Przeczytaj: x jest równe a w obrębie Δ a.

Aby określić jakość wykonanych obliczeń, należy określić, jaka jest proporcja błędu bezwzględnego wartości mierzonej. W tym celu wykorzystuje się błąd względny.

Definicja. Błąd względny δa liczby przybliżonej a jest stosunkiem błędu bezwzględnego Δa do wartości bezwzględnej liczby x:

Lub
.

Ocena błędu względnego ba jest maksymalnym błędem względnym:

Przykład. Podano liczbę x=0,4287 i jej przybliżoną wartość a=0,4264. Znajdź błędy bezwzględne i względne liczby a.

Rozwiązanie. Obliczmy błąd bezwzględny liczby a:

Δa=|0,4287-0,4264| = 0,0023.

Obliczmy błąd względny liczby a:

lub 5,4%.

Notatki. 1. Podczas rejestrowania błędu zwyczajowo pozostawia się 1-2 cyfry znaczące. Błędy są zawsze zaokrąglane w górę. W tym przypadku granice dokładnej liczby x rozszerzają się.

2. Jeżeli liczba x jest nieznana, wówczas do obliczenia błędu względnego stosuje się liczbę a.

3. Błąd względny często wyraża się w procentach, mnożąc go przez 100%.

2.2. Cyfry znaczące i prawdziwe liczby przybliżonej

Aby ocenić dokładność przybliżonej liczby a, zwykle zapisuje się ją jako ułamek dziesiętny. O dokładności obliczeń nie decyduje liczba miejsc po przecinku (cyfry po przecinku), ale liczba prawidłowych cyfr znaczących wyniku.

Definicja. Cyframi znaczącymi liczby są wszystkie jej cyfry, z wyjątkiem zer zapisanych przed pierwszą cyfrą inną niż zero oraz zer na końcu rekordu, jeśli służą one zachowaniu cyfry lub precyzji liczby.

Przykład. Określ cyfry znaczące a.

a = 0,02701 => cyfry znaczące: 2,7,0,1.

a = 0,0270 => cyfry znaczące: 2.7.0.

a = 2700 => cyfry znaczące: 2,7,0,0.

Definicja. Liczba α i przybliżonej liczby a nazywana jest poprawną cyfrą znaczącą w w szerokim znaczeniu(w ścisłym znaczeniu), jeżeli maksymalny błąd bezwzględny liczby a nie przekracza jednej (pół jednostki) cyfry, w której zapisana jest liczba α i: Δ а 10 i (Δ а 0,5∙10 i ).

Przykład. Wyznacz prawidłowe liczby przybliżonej liczby a = 0,7264, jeśli błąd bezwzględny wynosi Δ a = 0,0023.

Rozwiązanie. Błąd bezwzględny Δ a = 0,0023  0,005 = 0,5∙10 -2. Zatem cyfry 7 i 2 są poprawne w ścisłym tego słowa znaczeniu, cyfry 6 i 4 są nieprawidłowe (wątpliwe). Ponieważ Δ a  = 0,0023< 0,01 = 10 -2 , то цифры 7 и 2 являются верными в широком смысле.

Notatki. 1. W tabelach matematycznych wszystkie cyfry znaczące są prawdziwe w ścisłym tego słowa znaczeniu.

2. Przyjmuje się, że w wyniku końcowym pozostawiane są wyłącznie prawidłowe liczby. Następnie maksymalny błąd bezwzględny liczby a wyznacza się za pomocą jednostki najmniej znaczącej cyfry. Przykładowo niech a = 127,38, to Δ a = 0,01, jeśli wszystkie liczby są poprawne w sensie ścisłym, oraz Δ a = 0,5∙0,01 = 0,005, jeśli wszystkie liczby są poprawne w szerokim tego słowa znaczeniu.

Przykład. Określ, która równość jest dokładniejsza: 13/19 = 0,684 lub
=7,21?

Rozwiązanie. Oznaczmy a =0,684, b =7,21. Znajdźmy błędy bezwzględne tych liczb. Aby to zrobić, weź 13/19 i
z dużą liczbą miejsc po przecinku: 13/39=0,68421...,
=7,2111...

Wtedy Δ a =|0,68421...-0,684|< 0,00022, Δ в = |7,2111...-7,21| < 0,0012.

Znajdźmy błędy względne:

lub 0,033%.

lub 0,017%.

Druga równość jest dokładniejsza, ponieważ
.

2.3. Zaokrąglanie liczb

W obliczeniach przybliżonych często konieczne jest zaokrąglenie liczb, zarówno przybliżonych, jak i dokładnych, to znaczy odrzucenie jednej lub więcej ostatnich cyfr. Kiedy zaokrąglamy liczbę, zastępujemy ją liczbą przybliżoną z mniejszą liczbą cyfr znaczących, co powoduje błąd zaokrąglenia. Aby ograniczyć ten błąd do minimum, należy przestrzegać pewnych zasad zaokrąglania.

Reguła I. Jeżeli pierwsza z lewej strony odrzuconych cyfr jest większa niż 5, wówczas wzmacniana jest ostatnia z zachowanych cyfr, tj. wzrasta o jeden. Wzmocnienie przeprowadza się również wtedy, gdy pierwszą odrzuconą cyfrą od lewej jest 5, po której następują cyfry niezerowe.

Przykład. Zaokrąglając liczbę 73,473 do najbliższej dziesiątej, otrzymujemy 73,5. Ostatnia z pozostałych cyfr jest wzmocniona, ponieważ 7 > 5.

Reguła II. Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza niż 5, wówczas ostatnia z pozostałych cyfr nie jest wzmacniana, tj. pozostaje niezmieniona.

Przykład. Zaokrąglając liczbę 73,473 do najbliższej setnej, otrzymujemy 73,47.

RegułaIII. Jeśli pierwszą odrzuconą cyfrą jest 5 i nie następują po niej cyfry niezerowe, wówczas ostatnia pozostała cyfra jest wzmacniana, jeśli jest nieparzysta i pozostaje niezmieniona, jeśli jest parzysta (reguła cyfr parzystych).

Przykład. Zaokrąglając liczbę 5,785 do setnych, otrzymujemy 5,78. Nie osiągamy żadnych zysków, ponieważ ostatnia zapisana cyfra, 8, jest parzysta. Zaokrąglając liczbę 5,775 do drugiego miejsca po przecinku, mamy 5,78. Ostatnia zapisana cyfra, 7, jest zwiększana o jeden, ponieważ jest nieparzysta.

Kiedy Reguła III jest stosowana do zaokrąglania pojedynczej liczby, w rzeczywistości nie zwiększamy dokładności obliczeń, ale w przypadku wielokrotnych zaokrągleń nadliczby są mniej więcej tak samo powszechne, jak podliczby. Następuje wzajemna kompensacja błędów, wynik jest dokładniejszy.

Zatem przy zastosowaniu omówionych powyżej zasad zaokrąglania bezwzględny błąd zaokrąglenia nie przekracza połowy jednostki cyfry określonej przez ostatnią pozostałą cyfrę znaczącą.

Jeżeli dokładną liczbę x zaokrąglimy do n cyfr znaczących, wówczas otrzymana przybliżona liczba a będzie obarczona błędem bezwzględnym równym błędowi zaokrąglenia. W tym przypadku przybliżona liczba a ma n ważnych cyfr znaczących w wąskim znaczeniu.

Przykład. Zaokrąglając liczbę x = 26,837 do trzech cyfr znaczących, otrzymujemy a = 26,8, skąd Δ a = |x-a | = | 26,837-26,8 |=0,037< 0,05, т. е. число а имеет три верные значащие цифры в узком смысле.

Zaokrąglając przybliżoną liczbę a, otrzymujemy nową przybliżoną liczbę a 1.

Definicja. Liczba Δ a1 = Δ a + Δ env nazywana jest błędem zaokrąglenia.

Błąd bezwzględny liczby a 1 jest sumą błędu bezwzględnego liczby pierwotnej Δ a i błędu zaokrąglenia Δ env, tj.

Δ a1 = Δ a + Δ env.

Przykład. Zaokrąglij cyfry wątpliwe liczby x=34,124 ± 0,021. Definiować absolutny błąd wynik.

Rozwiązanie. Przybliżona liczba a=34,124 ma trzy poprawne cyfry w wąskim znaczeniu: 3, 4, 1, gdyż Δ a =0,021< 0,05. Применяя правила округления, найдем приближенное значение а 1 , сохранив десятые доли: а 1 = 34,1. Погрешность округления Δ окр =|34,124-34,1|=0,024. Тогда абсолютная погрешность числа а 1 равна Δ а1 =Δ а +Δ окр =0,021+0,024 = 0,045 < 0,05.

Zatem wszystkie cyfry znaczące liczby 2 są poprawne (w wąskim znaczeniu).

Zatem x=34,1 ±0,045.

Jednak zaokrąglając przybliżoną liczbę a, która ma n poprawnych cyfr znaczących (w wąskim znaczeniu) do n cyfr znaczących, może się okazać, że zaokrąglona liczba a 1 będzie miała n poprawnych cyfr znaczących w szerokim znaczeniu.

Przykład. Przybliżona liczba a = 15,3654 (± 0,0018) ma cztery poprawne cyfry znaczące w wąskim znaczeniu (1, 5, 3, 6), ponieważ Δ a = 0,0018< 0,005. При округлении до четырех значащих цифр получим а 1 = 15,37 и Δ а1 =Δ а +Δ окр =0,0018+|15,3654-15,37|=0,0064.

Oczywiście 0,005< 0,0064 < 0,01. Следовательно, число 15,37 (± 0,0064) ma cztery poprawne cyfry w szerokim znaczeniu.

Zatem x=15,37 ±0,0064.

Przykład. Zaokrąglij wątpliwe cyfry liczby a = 26,7245 (± 0,0026), pozostawiając prawidłowe znaki w wąskim znaczeniu. Określ błąd bezwzględny wyniku.

Rozwiązanie. Zgodnie z warunkiem Δ a = 0,0026< 0,005, следовательно, в числе 26,7245 верными в узком смысле являются цифры 2, 6, 7, 2. Используя правила округления, найдем приближенное значение а 1 , сохранив сотые доли:

Wynikowy błąd jest większy niż 0,005 (0,005< 0,0071), поэтому уменьшим чис­ло цифр в приближенном числе до трех; а 2 = 26,7. Znajdujemy Δ a2 = = Δ a + Δ env =0,0026+|26,7245-26,7|=0,0271< 0,05. Следовательно, оставшиеся три цифры верны в узком смысле.

Zatem x=26,7 ±0,0271 => x=26,7 ±0,03, zaokrąglając błąd do dwóch cyfr.

Przykład. Zaokrąglij wątpliwe cyfry liczby a=22,7314, pozostawiając znaki prawidłowe w wąskim znaczeniu. Określ błąd bezwzględny liczby, jeśli δ a = 0,2%.

Rozwiązanie. Napiszmy δ a w postaci ułamka dziesiętnego: δa=0,002 i określ błąd bezwzględny. Ponieważ Δ a = = 0,0455< 0,05, то верными в этом числе будут три цифры: 2, 2, 7. Округлим число 22,7314, сохранив в нем десятые доли: а 1 = 22,73. Wtedy Δ a1 = =Δ a +Δ env =0,0455+|22,7314-22,73|=0,0769>0,05, zatem zmniejszmy liczbę cyfr w liczbie przybliżonej do dwóch: a 2 =23. Znajdujemy Δ a2 = = Δ a + Δ env =0,0455+|22,7314-23|=0,3141< 0,05. Следовательно, оставшиеся две цифры верны в узком смысле.

Zatem x=23 ±0,3141 => x=23 ±0,32.

2.3. Zasady pracy z liczbami przybliżonymi

Zasada nr 1. Błąd bezwzględny sumy algebraicznej kilku liczb przybliżonych jest równy sumie błędów bezwzględnych tych liczb:

Δ а±в = Δ а + Δ в

Zasada 2. Błąd względny iloczynu kilku przybliżonych liczb jest równy sumie błędów względnych tych liczb:

δ aw = δ za + δ b.

Zasada 3. Błąd względny częściowych liczb przybliżonych jest równy sumie liczb względnych: δ а/в = δ а + δ в.

Zasada 4. Błąd względny stopnia przybliżonej liczby a jest równy: δa n = nδ a.

Zasada 5. Błąd względny pierwiastka liczby przybliżonej a jest równy:
.

Zasada 6. Podczas wykonywania obliczeń, jeśli nie przeprowadza się ścisłego obliczania błędów, zaleca się stosowanie zasad liczenia liczb. Zasady te wskazują, w jaki sposób należy zaokrąglać wyniki, aby zapewnić pożądaną dokładność wyniku bez wykonywania obliczeń z dodatkowymi cyframi.

Zasady zakładają, że manipulowane liczby zawierają wyłącznie prawidłowe cyfry, a liczba manipulacji jest niewielka.

I. Przy dodawaniu i odejmowaniu liczb przybliżonych wynik powinien zachować tyle miejsc po przecinku, ile jest w liczbie mającej najmniej miejsc po przecinku.

II. Podczas mnożenia i dzielenia wynik powinien zachować tyle cyfr znaczących, ile jest w liczbie z najmniejszą liczbą cyfr znaczących.

III. Przy podnoszeniu przybliżonej liczby do potęgi wynik powinien zachować tyle cyfr znaczących, ile jest w podstawie potęgi.

IV. Wyodrębniając pierwiastek z liczby przybliżonej, należy zachować tyle cyfr znaczących, ile jest w liczbie pierwiastkowej.

V. W wynikach pośrednich należy zapisać o 1-2 cyfry więcej niż zalecają zasady I-IV. W ostatecznym wyniku „cyfry zapasowe” są odrzucane, a liczba zaokrąglana.

VI. Jeśli jakieś dane źródłowe mają więcej miejsc po przecinku (dla dodawania i odejmowania) lub więcej cyfr znaczących (dla innych operacji) niż inne, to należy je najpierw zaokrąglić, zachowując tylko jedną „bezpieczną cyfrę”.

VII. Aby otrzymać wynik z N poprawnymi cyframi, należy za dane źródłowe wziąć taką liczbę cyfr, która zgodnie z wcześniejszymi zasadami daje w wyniku N+1 cyfr.

Przykład. Znajdźmy s=2,35+11,8 bez uwzględnienia błędów. Stosując regułę I, otrzymujemy s=14,15. Wynik zaokrąglamy do liczby 11,8 z najmniejszą liczbą miejsc po przecinku. Otrzymujemy: s =14,2.

Rozwiążmy problem, biorąc pod uwagę błędy. W liczbie s=14,15 należy pozostawić tylko liczby prawidłowe. W tym celu znajdziemy maksymalny błąd bezwzględny sumy s, korzystając z reguły 1. Biorąc pod uwagę, że wszystkie liczby w liczbach 2,35 i 11,8 są poprawne, otrzymujemy: Δ 14,15 = Δ 2,35 + Δ 11,8 = 0,01 +0,1=0,11< 0,5. Последняя верная цифра в числе 14,15 находится в разряде единиц. Поэтому число s=14,15 надо округлить: s=14 и найти абсолютную погрешность округленного числа. Погрешность округления равна: |14,15-14|=0,15. Тогда абсолютная погрешность округленного числа Δ 14 =0,11+0,15=0,26 <0,5. Окончательный результат примет вид: s=14 ± 0,26.

Problemy rozwiązuje się w podobny sposób, wykonując inne operacje na liczbach przybliżonych.

Temat: „Znalezienie
przybliżone wartości pierwiastka kwadratowego”

Typ lekcji: ONZ, R

Podstawowe cele:

• nauczyć się znajdować przybliżone wartości pierwiastka kwadratowego,
• zapoznać się z metodami obliczania pierwiastków.

Podczas zajęć

1. Samostanowienie o działalności edukacyjnej

Cel sceny: 1) włączać uczniów w działalność edukacyjną;

2) określ treść lekcji: kontynuujemy pracę nad pierwiastkami kwadratowymi

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 1:

Czego uczymy się teraz na lekcjach algebry? (Pierwiastki kwadratowe)

Co to są pierwiastki kwadratowe?

- Dobrze zrobiony! Aby praca przebiegła pomyślnie, wykonamy następujące zadania.

2. Aktualizowanie wiedzy i rejestrowanie trudności w zajęciach

Cel sceny: 1) zaktualizować treści edukacyjne, które są niezbędne i wystarczające do postrzegania nowego materiału: znalezienie wartości pierwiastka kwadratowego;

2) zaktualizować operacje umysłowe niezbędne i wystarczające do postrzegania nowego materiału: porównanie, analiza, uogólnienie;

3) zapisać wszystkie powtarzające się koncepcje i algorytmy w formie diagramów i symboli;

4) odnotować indywidualną trudność w działaniu, która pokazuje, na osobiście istotnym poziomie, niedostatek istniejącej wiedzy: znajdź znaczenie wyrażenia.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 2:

1. Oblicz: , , , ,

4. Zadanie indywidualne.

Znajdź znaczenie wyrażenia..

3. Identyfikacja przyczyny trudności i ustalenie celów działania

Cel sceny: 1) organizować interakcję komunikacyjną, podczas której identyfikuje się i rejestruje charakterystyczną cechę zadania, która spowodowała trudności w nauce: umiejętność znalezienia wartości pierwiastka kwadratowego;

2) uzgodnić cel i temat lekcji.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 3:

– co musiałeś zrobić?

- Co zrobiłeś? (Uczniowie pokazują swoje możliwości:)

– Jaka była trudność?

Czy √2 jest całkowicie wyodrębniane?

NIE.

Jak to znajdziemy?

Jakie znamy metody wyszukiwania korzeni?

Chłopaki, widzicie, nie zawsze mamy do czynienia z liczbami, które można łatwo przedstawić jako kwadrat liczby, które są w całości wyodrębniane z pierwiastka.

– Jaki cel sobie postawimy?

– Sformułuj temat lekcji.

– Zapisz temat w zeszycie.

4. Konstrukcja projektu wyjścia z trudności

Cel sceny: 1) zorganizować interakcję komunikacyjną w celu zbudowania nowej metody działania, która wyeliminuje przyczynę zidentyfikowanej trudności;

2) zapisać nowy sposób działania w symbolicznej, werbalnej formie.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 4:

1 METODA obliczania √2 z dokładnością do dwóch miejsc po przecinkuBędziemy rozumować w następujący sposób.

Liczba √2 jest większa od 1, ponieważ 1 2 2 większy niż 2. Dlatego zapis dziesiętny liczby rozpocznie się w następujący sposób: 1,... Oznacza to, że pierwiastek z dwóch to jedno z czymś.

Teraz spróbujmy znaleźć liczbę dziesiątych.

Aby to zrobić, będziemy podnosić ułamki od jednego do dwóch, aż otrzymamy liczbę większą niż dwa.

Przyjmijmy, że krok dzielenia wynosi 0,1, ponieważ szukamy liczby dziesiątych.

Innymi słowy, podniesiemy liczby do kwadratu: 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6, 1,7, 1,8, 1,9

1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Otrzymaliśmy liczbę większą niż dwa; pozostałych liczb nie trzeba już podnosić do kwadratu. Numer 1.4 2 jest mniejsze niż 2, a 1,5 to 2 jest już więcej niż dwa, to liczba √2 musi należeć do przedziału od 1,4 do 1,5. Zatem zapis dziesiętny liczby √2 na miejscu dziesiętnym musi zawierać 4. √2=1,4… .

Innymi słowy 1,4

1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Już przy 1,42 stwierdzamy, że jego kwadrat jest większy niż dwa; dalsze podnoszenie liczb do kwadratu nie ma sensu.

Z tego otrzymujemy, że liczba √2 będzie należeć do przedziału od 1,41 do 1,42 (1,41

Ponieważ musimy zapisać √2 z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku, możemy przerwać obliczenia i nie kontynuować ich.

√2 ≈ 1,41. To będzie odpowiedź. Gdyby trzeba było obliczyć jeszcze dokładniejszą wartość, konieczne byłoby kontynuowanie obliczeń, powtarzając w kółko tok rozumowania.

Ćwiczenia

Oblicz z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku

√3 = , √5 = , √6 = , √7 =, √8 =

Wniosek Ta technika pozwala wyodrębnić korzeń z dowolną z góry określoną dokładnością.

2 METODA Aby znaleźć część całkowitą pierwiastka kwadratowego z liczby, możesz odjąć od niej wszystkie liczby nieparzyste, aż reszta będzie mniejsza od następnej odejmowanej liczby lub równa zero i policzyć liczbę wykonanych czynności.

Na przykład znajdźmy √16 w ten sposób:

1. 16 - 1 = 15
2. 15 - 3 = 12
3. 12 - 5 = 7
4. 7 - 7 =0

• Wykonywane są 4 akcje, co oznacza √16 = 4

Zadanie Oblicz

√1 = √6 =

√2 = √7 =

√3 = √8 =

√4 = √9 =

√5 = √10 =

Wniosek Ta technika jest wygodna, gdy korzeń zostanie całkowicie usunięty

3 METODA Starożytni Babilończycy stosowali następującą metodę, aby znaleźć przybliżoną wartość pierwiastka kwadratowego z ich liczby x. Reprezentowali liczbę x jako sumę a 2 + b,

gdzie 2 - dokładny kwadrat liczby naturalnej najbliższej liczbie x i wykorzystano wzór.

Korzystając ze wzoru, wyodrębniamy pierwiastek kwadratowy,

Na przykład od numeru 28:

Wniosek Metoda babilońska daje dobre przybliżenie dokładnej wartości pierwiastka.

5. Pierwotna konsolidacja w mowie zewnętrznej

Cel sceny: nagrywać badane treści edukacyjne w mowie zewnętrznej.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 5:

z podręcznika: nr 336, 337, 338,339, 343,345

6. Samodzielna praca z autotestem zgodnie z normą.

Cel sceny: przetestuj swoją umiejętność stosowania algorytmu dodawania i odejmowania w standardowych warunkach, porównując swoje rozwiązanie ze standardem w celu autotestu.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 6:

Nr 338 (a), 339 (c, d)

Po sprawdzeniu zgodności z normą następuje analiza i korekta błędów.

7. Włączenie do systemu wiedzy i powtarzanie

Cel sceny: 1) kształcić umiejętności korzystania z nowych treści w połączeniu z wcześniej poznanymi;

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 7:

Grupa 1 (średnia) „Nr ______________

Grupa 2 (wysoka) Nr __________________

8. Refleksja na temat zajęć na lekcji

1) zapisywać nowe treści poznane na lekcji;

2) ocenić własne działania na lekcji;

3) podziękować kolegom z klasy, którzy pomogli uzyskać wynik lekcji;

4) zapisywać nierozwiązane trudności jako kierunki przyszłych działań edukacyjnych;

5) omów i zapisz swoją pracę domową.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 8:

– Czego dowiedzieliśmy się dzisiaj na zajęciach?

– Czego nauczyliśmy się dzisiaj robić?

– Przeanalizuj swoją aktywność na zajęciach i oceń swoją pracę.

Praca domowa №№ 344 , 346, 351