تعریف فواصل ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما. ترتیب متقابل خطوط. زاویه بین خطوط

اوه-او-او-او-اوه ... خوب، ریز است، انگار جمله را برای خود می خوانی =) با این حال، پس آرامش کمک می کند، به خصوص که امروز لوازم جانبی مناسبی خریدم. بنابراین، بیایید به بخش اول برویم، امیدوارم تا پایان مقاله حال و هوای شادی داشته باشم.

ترتیب متقابل دو خط مستقیم

موردی که سالن با هم آواز می خواند. دو خط می تواند:

1) مطابقت؛

2) موازی باشد: ;

3) یا در یک نقطه تلاقی می کنند: .

کمک برای آدمک ها : لطفا علامت ریاضی تقاطع را به خاطر بسپارید، اغلب اتفاق می افتد. ورودی به این معنی است که خط با خط در نقطه قطع می شود.

چگونه موقعیت نسبی دو خط را تعیین کنیم؟

بیایید با مورد اول شروع کنیم:

دو خط منطبق هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب مربوطه آنها متناسب باشد، یعنی چنین عددی "لامبدا" وجود دارد که برابری ها

بیایید خطوط مستقیم را در نظر بگیریم و از ضرایب مربوطه سه معادله بسازیم: . از هر معادله نتیجه می شود که بنابراین، این خطوط بر هم منطبق هستند.

در واقع، اگر تمام ضرایب معادله ضرب در -1 (علائم تغییر)، و تمام ضرایب معادله با کاهش 2، معادله مشابه را بدست می آورید: .

حالت دوم وقتی خطوط موازی هستند:

دو خط موازی هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب آنها در متغیرها متناسب باشد: ، ولی.

به عنوان مثال، دو خط مستقیم را در نظر بگیرید. تناسب ضرایب مربوطه را برای متغیرها بررسی می کنیم:

با این حال، واضح است که.

و حالت سوم، وقتی خطوط را قطع می کنند:

دو خط اگر و فقط در صورتی قطع می شوند که ضرایب متغیرهای آنها متناسب نباشد، یعنی چنین مقداری از "لامبدا" وجود ندارد که برابری ها برآورده شوند

بنابراین، برای خطوط مستقیم، سیستمی را می سازیم:

از معادله اول نتیجه می شود که و از معادله دوم: از این رو، سیستم ناسازگار است(بدون راه حل). بنابراین، ضرایب در متغیرها متناسب نیستند.

نتیجه: خطوط همدیگر را قطع می کنند

در مسائل عملی می توان از طرح راه حلی که به تازگی در نظر گرفته شده استفاده کرد. به هر حال، بسیار شبیه به الگوریتم بررسی بردارها برای همخطی بودن است که در درس در نظر گرفتیم. مفهوم وابستگی خطی (غیر) بردارها. مبنای برداری. اما یک بسته متمدن تر وجود دارد:

مثال 1

موقعیت نسبی خطوط را پیدا کنید:

تصمیم گیریبر اساس مطالعه بردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم:

الف) از معادلات بردارهای جهت خطوط را پیدا می کنیم: .

، بنابراین بردارها خطی نیستند و خطوط همدیگر را قطع می کنند.

در هر صورت، سنگی را با اشاره گر در چهارراه قرار می دهم:

بقیه از روی سنگ می پرند و ادامه می دهند، مستقیم به کشچه ای بی مرگ =)

ب) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

خطوط بردار جهت یکسانی دارند، به این معنی که آنها موازی یا یکسان هستند. در اینجا تعیین کننده ضروری نیست.

بدیهی است که ضرایب مجهولات متناسب هستند، در حالی که .

بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر:

بدین ترتیب،

ج) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

بیایید تعیین کننده را محاسبه کنیم که از مختصات این بردارها تشکیل شده است:
بنابراین، بردارهای جهت خطی هستند. خطوط یا موازی یا منطبق هستند.

ضریب تناسب "لامبدا" به راحتی از نسبت بردارهای جهت خطی قابل مشاهده است. با این حال، می توان آن را از طریق ضرایب خود معادلات نیز یافت: .

حالا بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر. هر دو عبارت رایگان صفر هستند، بنابراین:

مقدار حاصل برآورده می شود این معادله(به طور کلی برای هر عددی مناسب است).

بنابراین، خطوط منطبق هستند.

پاسخ:

خیلی زود یاد خواهید گرفت (یا حتی قبلاً یاد گرفته اید) مشکل در نظر گرفته شده را به صورت شفاهی در عرض چند ثانیه حل کنید. در این زمینه دلیلی نمی بینم که چیزی برای آن پیشنهاد کنم راه حل مستقلبهتر است یک آجر مهم دیگر در پی هندسی گذاشته شود:

چگونه یک خط موازی با یک خط داده شده رسم کنیم؟

برای بی اطلاعی از این موضوع ساده ترین کاربلبل دزد را به شدت مجازات می کند.

مثال 2

خط مستقیم با معادله به دست می آید. برای خط موازی که از نقطه عبور می کند معادله بنویسید.

تصمیم گیری: خط مجهول را با حرف مشخص کنید. شرط در مورد آن چه می گوید؟ خط از نقطه عبور می کند. و اگر خطوط موازی باشند، بدیهی است که بردار جهت دهنده خط «ce» برای ساخت خط «ته» نیز مناسب است.

بردار جهت را از معادله خارج می کنیم:

پاسخ:

هندسه مثال ساده به نظر می رسد:

تأیید تحلیلی شامل مراحل زیر است:

1) بررسی می کنیم که خطوط بردار جهت یکسانی داشته باشند (اگر معادله خط به درستی ساده نشده باشد، بردارها هم خط خواهند بود).

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر.

تأیید تحلیلی در بیشتر موارد به صورت شفاهی آسان است. به دو معادله نگاه کنید و بسیاری از شما به سرعت متوجه خواهید شد که چگونه خطوط بدون ترسیم موازی هستند.

نمونه هایی برای حل خود امروز خلاقانه خواهد بود. چون هنوز باید با بابا یاگا رقابت کنی و او هم که می دانی عاشق انواع معماهاست.

مثال 3

برای خطی که از نقطه ای موازی با خط if می گذرد معادله بنویسید

عقلانی وجود دارد و چنین نیست راه منطقیراه حل ها کوتاه ترین راه در پایان درس است.

ما کمی با خطوط موازی کار کردیم و بعداً به آنها باز خواهیم گشت. مورد خطوط منطبق چندان جالب نیست، بنابراین مشکلی را در نظر بگیرید که از آن به خوبی برای شما شناخته شده است برنامه آموزشی مدرسه:

چگونه نقطه تلاقی دو خط را پیدا کنیم؟

اگر مستقیم در نقطه قطع می شود، سپس مختصات آن راه حل هستند سیستم های معادلات خطی

چگونه نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنیم؟ سیستم را حل کنید.

این برای تویه حس هندسیدو معادلات خطیبا دو مجهولدو خط مستقیم متقاطع (اغلب) روی یک صفحه هستند.

مثال 4

نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید

تصمیم گیری: دو راه برای حل وجود دارد - گرافیکی و تحلیلی.

راه گرافیکی این است که به سادگی خطوط داده شده را رسم کنید و نقطه تقاطع را مستقیماً از نقاشی پیدا کنید:

نکته ما اینجاست: . برای بررسی، باید مختصات آن را در هر معادله یک خط مستقیم جایگزین کنید، آنها باید هم آنجا و هم آنجا قرار بگیرند. به عبارت دیگر مختصات یک نقطه حل سیستم است. در واقع یک راه گرافیکی برای حل در نظر گرفتیم سیستم های معادلات خطیبا دو معادله، دو مجهول.

روش گرافیکی البته بد نیست، اما معایب قابل توجهی دارد. نه، نکته این نیست که دانش آموزان کلاس هفتم اینگونه تصمیم می گیرند، نکته این است که انجام یک نقاشی صحیح و دقیق زمان می برد. بعلاوه، ساختن برخی خطوط چندان آسان نیست، و خود نقطه تقاطع ممکن است جایی در سی ام پادشاهی خارج از برگه نوت بوک باشد.

بنابراین جستجوی نقطه تقاطع با روش تحلیلی به مصلحت بیشتری است. بیایید سیستم را حل کنیم:

برای حل سیستم از روش جمع ترمی معادلات استفاده شد. برای توسعه مهارت های مربوطه، از درس دیدن کنید چگونه یک سیستم معادلات را حل کنیم؟

پاسخ:

تأیید بی اهمیت است - مختصات نقطه تقاطع باید هر معادله سیستم را برآورده کند.

مثال 5

نقطه تلاقی خطوط را در صورت تلاقی آنها پیدا کنید.

این یک مثال برای خودتان است. تقسیم مشکل به چند مرحله راحت است. تجزیه و تحلیل وضعیت نشان می دهد که لازم است:
1) معادله یک خط مستقیم را بنویسید.
2) معادله یک خط مستقیم را بنویسید.
3) موقعیت نسبی خطوط را دریابید.
4) اگر خطوط همدیگر را قطع کنند، نقطه تلاقی را پیدا کنید.

توسعه یک الگوریتم عمل برای بسیاری از مسائل هندسی معمولی است، و من بارها بر این موضوع تمرکز خواهم کرد.

راه حل و پاسخ کامل در انتهای آموزش:

یک جفت کفش هنوز کهنه نشده است که به بخش دوم درس رسیدیم:

خطوط عمود بر هم. فاصله از یک نقطه تا یک خط.
زاویه بین خطوط

بیایید با یک معمولی و بسیار شروع کنیم وظیفه مهم. در قسمت اول یاد گرفتیم که چگونه یک خط مستقیم به موازات خط داده شده بسازیم و اکنون کلبه روی پای مرغ 90 درجه خواهد چرخید:

چگونه یک خط عمود بر یک معین رسم کنیم؟

مثال 6

خط مستقیم با معادله به دست می آید. برای خط عمودی که از یک نقطه می گذرد معادله بنویسید.

تصمیم گیری: با فرض معلوم است که . خوب است که بردار جهت خط مستقیم را پیدا کنیم. از آنجایی که خطوط عمود هستند، ترفند ساده است:

از معادله، بردار نرمال: را حذف می کنیم که بردار هدایت کننده خط مستقیم خواهد بود.

معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار جهت می‌سازیم:

پاسخ:

بیایید طرح هندسی را باز کنیم:

هوم... آسمان نارنجی، دریای نارنجی، شتر نارنجی.

بررسی تحلیلی راه حل:

1) بردارهای جهت را از معادلات استخراج کنید و با کمک حاصل ضرب نقطه ای بردارهانتیجه می گیریم که خطوط در واقع عمود هستند: .

به هر حال، شما می توانید از بردارهای معمولی استفاده کنید، حتی ساده تر است.

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر .

باز هم تأیید صحت به صورت شفاهی آسان است.

مثال 7

اگر معادله مشخص باشد، نقطه تلاقی خطوط عمود بر هم را بیابید و نقطه

این یک مثال برای خودتان است. چندین عمل در کار وجود دارد، بنابراین راحت است که راه حل را نقطه به نقطه مرتب کنید.

ماست یک سفر سرگرم کنندهادامه می دهد:

فاصله از نقطه به خط

پیش روی ما یک نوار مستقیم از رودخانه است و وظیفه ما رسیدن به آن در کوتاه ترین راه است. هیچ مانعی وجود ندارد و بهینه ترین مسیر حرکت در امتداد عمود خواهد بود. یعنی فاصله یک نقطه تا یک خط طول پاره عمود بر هم است.

فاصله در هندسه به طور سنتی با حرف یونانی "ro" نشان داده می شود، به عنوان مثال: - فاصله از نقطه "em" تا خط مستقیم "de".

فاصله از نقطه به خط با فرمول بیان می شود

مثال 8

فاصله یک نقطه تا یک خط را پیدا کنید

تصمیم گیری: تنها چیزی که نیاز دارید این است که اعداد را با دقت در فرمول جایگزین کنید و محاسبات را انجام دهید:

پاسخ:

بیایید طراحی را اجرا کنیم:

فاصله یافت شده از نقطه تا خط دقیقاً به اندازه طول قطعه قرمز است. اگر روی کاغذ شطرنجی در مقیاس 1 واحد نقاشی بکشید. \u003d 1 سانتی متر (2 سلول)، سپس فاصله را می توان با یک خط کش معمولی اندازه گیری کرد.

با توجه به همان نقاشی، کار دیگری را در نظر بگیرید:

وظیفه یافتن مختصات نقطه است که با نقطه متقارن با خط است. . من پیشنهاد می کنم اقدامات را به تنهایی انجام دهید، با این حال، الگوریتم راه حل را با نتایج متوسط ​​شرح می دهم:

1) خطی را پیدا کنید که عمود بر یک خط باشد.

2) نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید: .

هر دو عمل به تفصیل در این درس مورد بحث قرار می گیرند.

3) نقطه نقطه وسط قطعه است. مختصات وسط و یکی از انتها را می دانیم. توسط فرمول مختصات وسط قطعهپیدا کردن .

بررسی اینکه فاصله نیز برابر با 2.2 واحد است، اضافی نخواهد بود.

در اینجا ممکن است مشکلاتی در محاسبات ایجاد شود، اما در برج یک ریزماشین حساب کمک زیادی به شما می کند و به شما امکان می دهد حساب کنید. کسرهای رایج. بارها توصیه کرده ام و دوباره توصیه می کنم.

چگونه فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنیم؟

مثال 9

فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنید

این مثال دیگری برای راه حل مستقل است. یک نکته کوچک: راه های بی نهایت زیادی برای حل وجود دارد. خلاصه در پایان درس، اما بهتر است سعی کنید خودتان حدس بزنید، فکر می کنم شما به خوبی توانستید نبوغ خود را پراکنده کنید.

زاویه بین دو خط

هر گوشه ای که باشد، پس گیره:


در هندسه، زاویه بین دو خط مستقیم به عنوان زاویه کوچکتر در نظر گرفته می شود که از آن به طور خودکار نتیجه می شود که نمی تواند کج باشد. در شکل، زاویه نشان داده شده با قوس قرمز، زاویه بین خطوط متقاطع در نظر گرفته نمی شود. و همسایه "سبز" آن یا مخالف جهت گیریگوشه زرشکی

اگر خطوط عمود باشند، هر یک از 4 زاویه را می توان به عنوان زاویه بین آنها در نظر گرفت.

زاویه ها چگونه متفاوت است؟ گرایش. اول، جهت "پیمایش" گوشه اساسا مهم است. ثانیا، یک زاویه جهت منفی با علامت منفی نوشته می شود، به عنوان مثال، اگر .

چرا این را گفتم؟ به نظر می رسد که می توانید با مفهوم معمول یک زاویه کنار بیایید. واقعیت این است که در فرمول هایی که با آن زاویه ها را پیدا خواهیم کرد، به راحتی می توان نتیجه منفی گرفت و این نباید شما را غافلگیر کند. زاویه ای با علامت منفی بدتر نیست و معنای هندسی بسیار خاصی دارد. در نقاشی برای زاویه منفی، نشان دادن جهت آن (در جهت عقربه های ساعت) با یک فلش ضروری است.

چگونه زاویه بین دو خط را پیدا کنیم؟دو فرمول کار وجود دارد:

مثال 10

زاویه بین خطوط را پیدا کنید

تصمیم گیریو روش یک

دو خط مستقیم را در نظر بگیرید که با معادلات به صورت کلی داده می شود:

اگر مستقیم عمود نیست، سپس جهت دارزاویه بین آنها را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

بیایید به مخرج دقت کنیم - این دقیقاً همین است حاصلضرب عددیبردارهای جهت خطوط مستقیم:

اگر، مخرج فرمول ناپدید می شود، و بردارها متعامد و خطوط عمود خواهند بود. به همین دلیل است که در مورد عمود نبودن خطوط در فرمول بندی رزرو شده است.

بر اساس موارد فوق، راه حل به راحتی در دو مرحله رسمیت می یابد:

1) حاصل ضرب اسکالر بردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم را محاسبه کنید:
بنابراین خطوط عمود بر هم نیستند.

2) زاویه بین خطوط را با فرمول پیدا می کنیم:

از طريق تابع معکوسبه راحتی می توان گوشه را پیدا کرد. در این مورد، ما از عجیب بودن مماس قوس استفاده می کنیم (شکل 2 را ببینید). نمودارها و خواص توابع ابتدایی):

پاسخ:

در پاسخ، نشان دهید مقدار دقیقو همچنین مقدار تقریبی (ترجیحاً در هر دو درجه و رادیان) که با استفاده از ماشین حساب محاسبه می شود.

خوب، منهای، پس منهای، اشکالی ندارد. در اینجا یک تصویر هندسی است:

جای تعجب نیست که زاویه جهت گیری منفی داشته باشد، زیرا در شرایط مسئله، عدد اول یک خط مستقیم است و "پیچش" زاویه دقیقاً از آن شروع شد.

اگر واقعاً می خواهید زاویه مثبت بگیرید، باید خطوط مستقیم را عوض کنید، یعنی ضرایب را از معادله دوم بگیرید. و ضرایب را از معادله اول بگیرید. به طور خلاصه، شما باید با یک مستقیم شروع کنید .

این مقاله در مورد موضوع صحبت می کند « فاصله از نقطه به خط », تعاریف فاصله از یک نقطه تا یک خط با مثال های مصور با روش مختصات در نظر گرفته شده است. هر بلوک نظریه در پایان نمونه هایی از حل مسائل مشابه را نشان داده است.

Yandex.RTB R-A-339285-1

فاصله یک نقطه تا یک خط با تعیین فاصله یک نقطه تا یک نقطه به دست می آید. بیایید با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم.

بگذارید یک خط a و یک نقطه M 1 وجود داشته باشد که به خط داده شده تعلق ندارد. از میان آن خطی عمود بر خط a رسم کنید. نقطه تقاطع خطوط را H 1 در نظر بگیرید. دریافتیم که M 1 H 1 یک عمود است که از نقطه M 1 به خط a کاهش یافته است.

تعریف 1

فاصله از نقطه M 1 تا خط مستقیم aفاصله بین نقاط M 1 و H 1 نامیده می شود.

رکوردهایی از تعریف با شکل طول عمود وجود دارد.

تعریف 2

فاصله از نقطه به خططول عمود رسم شده از یک نقطه به یک خط معین است.

تعاریف معادل هستند. شکل زیر را در نظر بگیرید.

مشخص است که فاصله از یک نقطه تا یک خط مستقیم کوچکترین فاصله ممکن است. بیایید با یک مثال به این موضوع نگاه کنیم.

اگر نقطه Q را که روی خط a قرار دارد، با نقطه M 1 منطبق نباشد، در نظر بگیریم، در این صورت می‌گیریم که قطعه M 1 Q مایل نامیده می‌شود و از M 1 به خط a کاهش می‌یابد. لازم به ذکر است که عمود از نقطه M 1 کمتر از هر مورب دیگری است که از نقطه به خط مستقیم کشیده شده است.

برای اثبات این موضوع، مثلث M 1 Q 1 H 1 را در نظر بگیرید، که در آن M 1 Q 1 افت فشار است. مشخص است که طول آن همیشه از طول هر یک از پاها بیشتر است. بنابراین، ما M 1 H 1 را داریم< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

داده های اولیه برای یافتن از یک نقطه به یک خط مستقیم امکان استفاده از چندین روش حل را فراهم می کند: از طریق قضیه فیثاغورث، تعاریف سینوس، کسینوس، مماس زاویه و غیره. اکثر وظایف از این نوع در مدرسه در درس هندسه حل می شود.

هنگامی که هنگام یافتن فاصله از یک نقطه تا یک خط، امکان ورود به یک سیستم مختصات مستطیلی وجود داشته باشد، از روش مختصات استفاده می شود. در این پاراگراف دو روش اصلی برای یافتن فاصله مورد نظر را در نظر می گیریم نقطه داده شده.

روش اول شامل یافتن فاصله به صورت عمود رسم شده از M 1 به خط a است. روش دوم از معادله معمولی خط مستقیم a برای یافتن فاصله مورد نیاز استفاده می کند.

اگر نقطه ای در صفحه با مختصات M 1 (x 1، y 1) در یک سیستم مختصات مستطیلی، یک خط مستقیم وجود دارد و باید فاصله M 1 H 1 را پیدا کنید، می توانید به دو روش محاسبه کنید. بیایید آنها را در نظر بگیریم.

راه اول

اگر مختصات نقطه H 1 برابر با x 2، y 2 باشد، فاصله نقطه تا خط از مختصات فرمول M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y محاسبه می شود. 2 - y 1) 2.

حال به سراغ یافتن مختصات نقطه H 1 می رویم.

مشخص است که یک خط مستقیم در O x y با معادله یک خط مستقیم در یک صفحه مطابقت دارد. بیایید با نوشتن یک معادله کلی از یک خط مستقیم یا یک معادله با شیب، یک خط مستقیم را تعریف کنیم. معادله خط مستقیمی را می سازیم که از نقطه M 1 عمود بر یک خط معین a می گذرد. بیایید خط را با راش b نشان دهیم. H 1 نقطه تلاقی خطوط a و b است، بنابراین برای تعیین مختصات باید از مقاله ای استفاده کنید که در آن در سوالروی مختصات نقاط تقاطع دو خط.

مشاهده می شود که الگوریتم برای یافتن فاصله از یک نقطه معین M 1 (x 1, y 1) تا خط مستقیم a با توجه به نقاط انجام می شود:

تعریف 3

• پیدا کردن معادله کلی خط مستقیم a ، به شکل A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 یا معادله ای با ضریب شیب به شکل y \u003d k 1 x + b 1.
• به دست آوردن معادله کلی خط b که به شکل A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 یا معادله ای با شیب y \u003d k 2 x + b 2 است اگر خط b نقطه M 1 را قطع کند. و بر خط داده شده a عمود است.
• با تعیین مختصات x 2, y 2 نقطه H 1 که نقطه تقاطع a و b است ، برای این کار سیستم معادلات خطی حل می شود A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 یا y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• محاسبه فاصله مورد نیاز از یک نقطه تا یک خط مستقیم با استفاده از فرمول M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

راه دوم

این قضیه می تواند به پاسخ به سؤال یافتن فاصله از یک نقطه معین تا یک خط معین در یک صفحه کمک کند.

قضیه

یک سیستم مختصات مستطیلی دارای O x y دارای یک نقطه M 1 (x 1, y 1) است که از آن یک خط مستقیم به صفحه رسم می شود که با معادله نرمال صفحه به شکل cos α x + cos β است. y - p \u003d 0، برابر با مدول مقدار به دست آمده در سمت چپ معادله خط مستقیم معمولی، محاسبه شده در x = x 1، y = y 1، به این معنی است که M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

اثبات

خط a مطابق با معادله نرمال صفحه است که به شکل cos α x + cos β y - p = 0 است، سپس n → = (cos α , cos β) بردار نرمال خط a در a در نظر گرفته می شود. فاصله از مبدا تا خط a با واحد p . لازم است تمام داده ها را در شکل به تصویر بکشید، یک نقطه با مختصات M 1 (x 1، y 1) اضافه کنید، جایی که بردار شعاع نقطه M 1 - O M 1 → = (x 1، y 1) . لازم است یک خط مستقیم از یک نقطه به یک خط مستقیم بکشیم که آن را با M 1 H 1 نشان می دهیم. لازم است برآمدگی های M 2 و H 2 نقاط M 1 و H 2 را روی یک خط مستقیم که از نقطه O با بردار جهت دهنده به شکل n → = (cos α , cos β) می گذرد نشان دهیم و نشان می دهیم طرح عددی بردار به صورت O M 1 → = (x 1 , y 1) به جهت n → = (cos α , cos β) به صورت n p n → O M 1 → .

تغییرات به محل خود نقطه M 1 بستگی دارد. شکل زیر را در نظر بگیرید.

ما نتایج را با استفاده از فرمول M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p ثابت می کنیم. سپس تساوی را به این شکل M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p می آوریم تا n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 به دست آوریم.

حاصل ضرب اسکالر بردارها منجر به فرمول تبدیل شده ای به شکل n →، O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → می شود که حاصل ضربی به شکل مختصات است. شکل n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . از این رو، به دست می آوریم که n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . نتیجه می شود که M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . قضیه ثابت شده است.

ما دریافتیم که برای یافتن فاصله از نقطه M 1 (x 1, y 1) تا خط مستقیم a در صفحه، چندین عمل باید انجام شود:

تعریف 4

• به دست آوردن معادله عادی خط a cos α · x + cos β · y - p = 0، مشروط بر اینکه در کار نباشد.
• محاسبه عبارت cos α · x 1 + cos β · y 1 - p ، که در آن مقدار حاصل M 1 H 1 می گیرد.

بیایید از این روش ها برای حل مسائل مربوط به یافتن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه استفاده کنیم.

مثال 1

فاصله نقطه با مختصات M 1 (- 1 , 2) تا خط 4 x - 3 y + 35 = 0 را بیابید.

تصمیم گیری

بیایید از روش اول برای حل استفاده کنیم.

برای انجام این کار، باید معادله کلی خط b را پیدا کنید، که از نقطه معین M 1 (- 1 , 2) عمود بر خط 4 x - 3 y + 35 = 0 می گذرد. از شرایطی که خط b عمود بر خط a است، مشخص می شود، سپس بردار جهت آن دارای مختصاتی برابر با (4، - 3) است. بنابراین، ما این فرصت را داریم که معادله متعارف خط b را در صفحه بنویسیم، زیرا مختصاتی از نقطه M 1، متعلق به خط b است. بیایید مختصات بردار هدایت کننده خط مستقیم b را تعیین کنیم. دریافت می کنیم که x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . معادله متعارف حاصل باید به یک معادله عمومی تبدیل شود. سپس آن را دریافت می کنیم

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

بیایید مختصات نقاط تقاطع خطوط را پیدا کنیم که به عنوان نام H 1 در نظر می گیریم. تحولات به این صورت است:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

با توجه به موارد فوق، داریم که مختصات نقطه H 1 (- 5; 5) است.

محاسبه فاصله از نقطه M 1 تا خط مستقیم a ضروری است. مختصات نقاط M 1 (- 1, 2) و H 1 (- 5, 5) را داریم، سپس در فرمول یافتن فاصله جایگزین می کنیم و به این نتیجه می رسیم که

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

راه حل دوم.

برای حل به روشی دیگر، باید معادله عادی یک خط مستقیم را به دست آورد. مقدار ضریب نرمال سازی را محاسبه می کنیم و دو طرف معادله را 4 x - 3 y + 35 = 0 ضرب می کنیم. از اینجا دریافت می کنیم که ضریب نرمال کننده - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 است، و معادله نرمال به شکل - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - خواهد بود. 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

با توجه به الگوریتم محاسبه، لازم است معادله عادی یک خط مستقیم را به دست آوریم و آن را با مقادیر x = - 1، y = 2 محاسبه کنیم. سپس آن را دریافت می کنیم

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

از اینجا دریافتیم که فاصله از نقطه M 1 (- 1 , 2) تا خط مستقیم داده شده 4 x - 3 y + 35 = 0 دارای مقدار - 5 = 5 است.

پاسخ: 5 .

دیده می شود که در این روشمهم است که از معادله عادی یک خط مستقیم استفاده کنید، زیرا این روش کوتاه ترین است. اما روش اول از این نظر راحت است که منسجم و منطقی است، اگرچه امتیازات محاسباتی بیشتری دارد.

مثال 2

در صفحه یک سیستم مختصات مستطیلی O x y با نقطه M 1 (8، 0) و یک خط مستقیم y = 1 2 x + 1 وجود دارد. فاصله یک نقطه معین تا یک خط مستقیم را پیدا کنید.

تصمیم گیری

راه حل به روش اول دلالت بر کاهش یک معادله داده شده با ضریب شیب به معادله دارد. نمای کلی. برای ساده‌تر شدن، می‌توانید آن را متفاوت انجام دهید.

اگر حاصل ضرب شیب خطوط عمود بر یک مقدار - 1 باشد، پس شیبخط عمود بر y = 1 2 x + 1 مقدار 2 را دارد. اکنون معادله خط مستقیمی را که از نقطه ای با مختصات M 1 (8، 0) می گذرد، بدست می آوریم. داریم که y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

ما به یافتن مختصات نقطه H 1 ، یعنی نقاط تقاطع y \u003d - 2 x + 16 و y \u003d 1 2 x + 1 ادامه می دهیم. ما یک سیستم معادلات می سازیم و به دست می آوریم:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d سال \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6، 4)

نتیجه این است که فاصله از نقطه با مختصات M 1 (8, 0) تا خط y = 1 2 x + 1 برابر است با فاصله از نقطه شروع و نقطه پایان با مختصات M 1 (8, 0) و H. 1 (6، 4). بیایید محاسبه کنیم و دریافت کنیم که M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

راه حل در راه دوم این است که از معادله با ضریب به شکل عادی آن عبور کنیم. یعنی y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0 بدست می آوریم ، سپس مقدار ضریب نرمال کننده خواهد بود - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . بنابراین معادله معمولی یک خط مستقیم به شکل - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 است. بیایید از نقطه M 1 8 , 0 تا یک خط مستقیم از شکل - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 محاسبه کنیم. ما گرفتیم:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

پاسخ: 2 5 .

مثال 3

لازم است فاصله از نقطه با مختصات M 1 (- 2 , 4) تا خطوط مستقیم 2 x - 3 = 0 و y + 1 = 0 محاسبه شود.

تصمیم گیری

معادله شکل عادی خط مستقیم 2 x - 3 = 0 را بدست می آوریم:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

سپس فاصله نقطه M 1 - 2, 4 تا خط مستقیم x - 3 2 = 0 را محاسبه می کنیم. ما گرفتیم:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

معادله خط مستقیم y + 1 = 0 دارای ضریب نرمال کننده با مقدار -1 است. این به این معنی است که معادله به شکل - y - 1 = 0 خواهد بود. ما به محاسبه فاصله از نقطه M 1 (- 2، 4) تا خط مستقیم - y - 1 = 0 ادامه می دهیم. دریافت می کنیم که برابر است - 4 - 1 = 5.

پاسخ: 3 1 2 و 5 .

بیایید نگاهی دقیق تر به یافتن فاصله از یک نقطه معین از هواپیما تا پیدا کنیم محورهای مختصات O x و O y.

در یک سیستم مختصات مستطیلی، محور O y دارای معادله ای از یک خط مستقیم است که ناقص است و به شکل x \u003d 0 و O x - y \u003d 0 است. معادلات برای محورهای مختصات نرمال هستند، پس باید فاصله نقطه با مختصات M 1 x 1 , y 1 تا خطوط مستقیم را پیدا کرد. این کار بر اساس فرمول های M 1 H 1 = x 1 و M 1 H 1 = y 1 انجام می شود. شکل زیر را در نظر بگیرید.

مثال 4

فاصله نقطه M 1 (6، - 7) تا خطوط مختصات واقع در صفحه O x y را بیابید.

تصمیم گیری

از آنجایی که معادله y \u003d 0 به خط O x اشاره دارد، می توانید فاصله M 1 را با مختصات داده شده به این خط با استفاده از فرمول پیدا کنید. ما 6 = 6 را دریافت می کنیم.

از آنجایی که معادله x \u003d 0 به خط O y اشاره دارد، می توانید فاصله M 1 تا این خط را با استفاده از فرمول پیدا کنید. سپس دریافت می کنیم که - 7 = 7.

پاسخ:فاصله M 1 تا O x دارای مقدار 6 و از M 1 تا O y دارای مقدار 7 است.

وقتی در فضای سه بعدی نقطه ای با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) داریم، لازم است فاصله نقطه A تا خط a را پیدا کنیم.

دو روش را در نظر بگیرید که به شما امکان می دهد فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم a واقع در فضا را محاسبه کنید. حالت اول فاصله نقطه M 1 تا خط را در نظر می گیرد که نقطه روی خط H 1 نامیده می شود و پایه عمود رسم شده از نقطه M 1 به خط a است. مورد دوم نشان می دهد که نقاط این صفحه را باید به عنوان ارتفاع متوازی الاضلاع جستجو کرد.

راه اول

از تعریف داریم که فاصله از نقطه M 1 واقع در خط مستقیم a به اندازه طول عمود بر M 1 H 1 است، سپس با مختصات یافت شده نقطه H 1 دریافت می کنیم، سپس فاصله را پیدا می کنیم. بین M 1 (x 1, y 1, z 1 ) و H 1 (x 1, y 1, z 1) بر اساس فرمول M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

به این نتیجه رسیدیم که کل جواب به یافتن مختصات قاعده عمود رسم شده از M 1 به خط a می رود. این کار به صورت زیر انجام می شود: H 1 نقطه ای است که خط a با صفحه ای که از نقطه داده شده می گذرد تلاقی می کند.

این بدان معناست که الگوریتم تعیین فاصله از نقطه M 1 (x 1, y 1, z 1) تا خط مستقیم a از فضا متضمن چندین نقطه است:

تعریف 5

• ترسیم معادله صفحه χ به عنوان معادله صفحه ای که از نقطه معینی عمود بر خط عبور می کند.
• تعیین مختصات (x 2 , y 2 , z 2) متعلق به نقطه H 1 که نقطه تلاقی خط a و صفحه χ است.
• محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط با استفاده از فرمول M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

راه دوم

از شرطی که یک خط a داریم، سپس می توانیم بردار جهت a → = a x، a y، a z را با مختصات x 3، y 3، z 3 و یک نقطه M 3 متعلق به خط a تعیین کنیم. با توجه به مختصات نقاط M 1 (x 1 , y 1 ) و M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → می توان محاسبه کرد:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3، y 1 - y 3، z 1 - z 3)

لازم است بردارهای a → \u003d a x، a y، a z و M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3، y 1 - y 3، z 1 - z 3 را از نقطه M 3 به تعویق بیندازید، وصل کنید و دریافت کنید. یک شکل متوازی الاضلاع M 1 H 1 ارتفاع متوازی الاضلاع است.

شکل زیر را در نظر بگیرید.

ما داریم که ارتفاع M 1 H 1 فاصله مورد نظر است، سپس باید آن را با استفاده از فرمول پیدا کنید. یعنی ما به دنبال M 1 H 1 هستیم.

مساحت متوازی الاضلاع را با حرف S مشخص کنید، با فرمول با استفاده از بردار a → = (a x، a y، a z) و M 3 M 1 → = x 1 - x 3 یافت می شود. y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . فرمول مساحت به شکل S = a → × M 3 M 1 → است. همچنین، مساحت شکل برابر است با حاصلضرب طول اضلاع و ارتفاع آن، دریافت می کنیم که S \u003d a → M 1 H 1 با → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2، که طول بردار a → \u003d (a x، a y، a z) است که برابر با ضلع متوازی الاضلاع است. بنابراین، M 1 H 1 فاصله نقطه تا خط است. با فرمول M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → یافت می شود.

برای یافتن فاصله از نقطه ای با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) تا یک خط مستقیم a در فضا، باید چندین نقطه از الگوریتم را انجام دهید:

تعریف 6

• تعیین بردار جهت خط مستقیم a - a → = (a x , a y , a z) ;
• محاسبه طول بردار جهت a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• به دست آوردن مختصات x 3 , y 3 , z 3 متعلق به نقطه M 3 واقع در خط a.
• محاسبه مختصات بردار M 3 M 1 → ;
• یافته محصول برداریبردارهای a → (a x , a y , a z) و M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 به صورت a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 برای بدست آوردن طول طبق فرمول a → × M 3 M 1 → ;
• محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

حل مسائل مربوط به یافتن فاصله از یک نقطه معین تا یک خط مستقیم در فضا

مثال 5

فاصله نقطه با مختصات M 1 2 , - 4 , - 1 تا خط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 را بیابید.

تصمیم گیری

روش اول با نوشتن معادله صفحه χ که از M 1 می گذرد و بر یک نقطه معین عمود می شود شروع می شود. ما عبارتی مانند این را دریافت می کنیم:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

لازم است مختصات نقطه H 1 را که نقطه تقاطع با صفحه χ به خط مستقیم شرط است، پیدا کنید. باید از شکل متعارفبه متقاطع سپس یک سیستم معادلات به شکل زیر بدست می آوریم:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

لازم است سیستم x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 محاسبه شود. 2 x - y + 5 z = 3 با روش کرامر، سپس به این نتیجه می رسیم:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

از این رو داریم که H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

روش دوم باید با جستجوی مختصات در معادله متعارف شروع شود. برای این کار به مخرج کسر توجه کنید. سپس a → = 2 , - 1 , 5 بردار جهت خط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 است. لازم است طول را با استفاده از فرمول a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 محاسبه کنید.

واضح است که خط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 نقطه M 3 (- 1 , 0 , - 5) را قطع می کند، از این رو داریم که بردار با مبدا M 3 (- 1 , 0 , - 5) و انتهای آن در نقطه M 1 2 , - 4 , - 1 M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 است. حاصل ضرب برداری a → = (2, - 1, 5) و M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) را بیابید.

عبارتی به شکل a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j به دست می آوریم. → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

ما دریافت می کنیم که طول ضربدر یک → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 است.

ما تمام داده ها را برای استفاده از فرمول برای محاسبه فاصله از یک نقطه برای یک خط مستقیم داریم، بنابراین آن را اعمال می کنیم و به دست می آوریم:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

پاسخ: 11 .

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

تعیین فواصل

فاصله از نقطه به نقطه و از نقطه به خط

فاصله از نقطه به نقطهبا طول پاره خطی که این نقاط را به هم متصل می کند تعیین می شود. همانطور که در بالا نشان داده شده است، این مشکل را می توان با روش مثلث قائم الزاویه یا با جایگزینی صفحات برآمده با حرکت بخش به موقعیت خط تراز حل کرد.

فاصله از نقطه به خطبا پاره ای از یک عمود که از یک نقطه به یک خط کشیده شده است اندازه گیری می شود. اگر قسمتی از این عمود بر روی صفحه پیش‌بینی کشیده شود، در اندازه کامل نشان داده می‌شود. بنابراین، ابتدا باید خط مستقیم را به موقعیت برجسته منتقل کرد و سپس یک عمود بر روی آن از یک نقطه مشخص پایین آورد. روی انجیر 1 راه حل این مشکل را نشان می دهد. برای ترجمه مستقیم موقعیت عمومی AB در موقعیت سطح مستقیم x14 IIA1 B1 را خرج می کند. سپس AB با معرفی یک صفحه طرح ریزی اضافی P5 به موقعیت پیش بینی منتقل می شود که برای آن یک محور طرح ریزی جدید x45 \ A4 B4 انجام می شود.

تصویر 1

مشابه نقاط A و B، نقطه M بر روی صفحه طرح ریزی P5 پیش بینی می شود.

برآمدگی K5 از پایه K عمود بر روی صفحه برآمدگی P5 از نقطه M به خط AB کاهش یافته است، با برجستگی متناظر نقاط منطبق خواهد شد.

A و B. طرح M5 K5 عمود بر MK مقدار طبیعی فاصله از نقطه M تا خط AB است.

در سیستم صفحات پیش بینی P4 / P5، MK عمود بر یک خط تراز خواهد بود، زیرا در صفحه موازی با صفحه پیش بینی P5 قرار دارد. بنابراین، طرح M4 K4 آن بر روی صفحه P4 موازی با x45 است، یعنی. عمود بر برآمدگی A4 B4. این شرایط موقعیت برآمدگی K4 قاعده عمود بر K را تعیین می کند که با کشیدن یک خط مستقیم از M4 به موازات x45 تا زمانی که با برآمدگی A4 B4 تلاقی کند پیدا می شود. برجستگی های باقیمانده عمود با برآمدن نقطه K بر روی صفحه برآمدگی های P1 و P2 به دست می آید.

فاصله از نقطه به هواپیما

راه حل این مشکل در شکل نشان داده شده است. 2-فاصله نقطه M تا صفحه (ABC) با قسمتی از عمود که از نقطه به صفحه کاهش یافته است اندازه گیری می شود.

شکل 2

از آنجایی که عمود بر صفحه بیرون زده یک خط تراز است، ما به این موقعیت تبدیل می کنیم هواپیمای داده شده، در نتیجه در صفحه نمایش P4 جدید معرفی شده، یک برجستگی منحط C4 B4 از صفحه ABC بدست می آوریم. سپس نقطه M را بر روی P4 قرار می دهیم.مقدار طبیعی فاصله نقطه M تا صفحه با قطعه عمود تعیین می شود.

[MK]=[M4 K4]. برجستگی های باقی مانده از عمود به همان روشی که در مسئله قبلی ساخته شده است، یعنی. با در نظر گرفتن این واقعیت که قطعه MK در سیستم صفحات طرح ریزی P1 / P4 یک خط تراز است و طرح ریزی آن M1 K1 موازی با محور است.

x14.

فاصله بین دو خط مستقیم

کوتاه ترین فاصله بین خطوط اریب با قطعه عمود مشترک بر آنها اندازه گیری می شود که توسط این خطوط قطع شده است. مشکل با انتخاب حل می شود (در نتیجه دو تعویض های پی در پی) صفحه طرح عمود بر یکی از خطوط متقاطع. در این حالت قطعه مورد نظر از عمود بر صفحه نمایش انتخاب شده موازی شده و بدون اعوجاج بر روی آن نمایش داده می شود. روی انجیر شکل 3 دو خط مستقیم متقاطع را نشان می دهد که توسط بخش های AB و CD تعریف شده اند.

شکل 3

خطوط مستقیم در ابتدا بر روی صفحه طرح ریزی P4، موازی با یکی (هر کدام) از آنها، به عنوان مثال، AB، و عمود بر P1، پیش بینی می شوند.

در صفحه پیش بینی P4، بخش AB بدون اعوجاج نمایش داده می شود. سپس بخش ها روی آن پیش بینی می شوند هواپیمای جدید P5 عمود بر همان خط AB و صفحه P4. در صفحه برآمدگی های P5، برآمدگی قطعه AB عمود بر آن به نقطه A5 = B5 منحط می شود و مقدار مورد نظر N5 M5 قطعه NM عمود بر C5 D5 است و در اندازه کامل نشان داده می شود. با استفاده از خطوط ارتباطی مناسب، پیش بینی های بخش MN بر روی اولیه ساخته می شوند

طراحی همانطور که قبلا نشان داده شد، طرح N4 M4 از بخش مورد نظر بر روی صفحه P4 موازی با محور برجستگی x45 است، زیرا این یک خط تراز در سیستم صفحات طرح P4 / P5 است.

وظیفه تعیین فاصله D بین دو خط موازی AB تا CD - مورد خاصقبلی (شکل 4).

شکل 4

با جایگزینی مضاعف صفحات برآمده، خطوط موازی به موقعیت برآمدگی منتقل می شوند که در نتیجه در صفحه برآمدگی P5 دو برجستگی منحط A5 = B5 و C5 = D5 از خطوط AB و CD خواهیم داشت. فاصله بین آنها D برابر با مقدار طبیعی آن خواهد بود.

فاصله یک خط مستقیم تا یک صفحه موازی با آن توسط یک بخش از عمود که از هر نقطه از خط مستقیم به صفحه کاهش می یابد اندازه گیری می شود. بنابراین، کافی است صفحه موقعیت کلی را به موقعیت صفحه برآمده تبدیل کنید، یک نقطه مستقیم بگیرید و حل مسئله به تعیین فاصله از نقطه تا صفحه خلاصه می شود.

برای تعیین فاصله بین صفحات موازی، لازم است آنها را به یک موقعیت برجسته تبدیل کنید و عمود بر برجستگی های منحط صفحات ایجاد کنید که قسمت بین آنها فاصله لازم خواهد بود.

فاصله یک نقطه تا یک خط، طول عمود از نقطه به خط است. AT هندسه توصیفیبر اساس الگوریتم زیر به صورت گرافیکی تعیین می شود.

الگوریتم

1. خط مستقیم به موقعیتی منتقل می شود که در آن موازی با هر صفحه نمایشی خواهد بود. برای انجام این کار، از روش‌های تبدیل برآمدگی‌های متعامد استفاده کنید.
2. یک عمود از یک نقطه به یک خط رسم کنید. در هسته این ساخت و سازقضیه طرح زاویه راست است.
3. طول یک عمود با تبدیل برجستگی های آن یا استفاده از آن تعیین می شود مسیرراست گوشه.

شکل زیر یک رسم پیچیده از نقطه M و خط b را نشان می دهد که توسط پاره خط CD تعریف شده است. باید فاصله بین آنها را پیدا کنید.

طبق الگوریتم ما، اولین کاری که باید انجام دهیم این است که خط را به موقعیت منتقل کنیم موازی با هواپیماطرح ها. درک این نکته مهم است که پس از تبدیل ها، فاصله واقعی بین نقطه و خط نباید تغییر کند. به همین دلیل است که استفاده از آن در اینجا راحت است روش تعویض هواپیما، که شامل حرکت فیگورها در فضا نمی شود.

نتایج مرحله اول ساخت و ساز در زیر نشان داده شده است. شکل نشان می دهد که چگونه یک صفحه فرونتال اضافی P 4 به موازات b معرفی می شود. AT سیستم جدید(P 1 , P 4) نقاط C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 در همان فاصله ای از محور X 1 قرار دارند که C"، D"، M"" از محور X.

با اجرای قسمت دوم الگوریتم، از M"" 1 عمود بر M"" 1 N"" 1 را به خط b"" 1 پایین می آوریم، زیرا زاویه راست MND بین b و MN بر روی صفحه P 4 در پیش بینی می شود. اندازه کامل موقعیت نقطه N" را در امتداد خط ارتباطی تعیین می کنیم و طرح M"N" قطعه MN را ترسیم می کنیم.

در مرحله نهاییلازم است مقدار قطعه MN با پیش بینی های آن M"N" و M"" 1 N"" 1 تعیین شود. برای این ما می سازیم راست گوشه M"" 1 N"" 1 N 0، که پای آن N"" 1 N 0 برابر است با تفاوت (Y M 1 – Y N 1) حذف نقاط M" و N" از محور X 1. طول هیپوتانوز M"" 1 N 0 مثلث M"" 1 N"" 1 N 0 با فاصله مورد نظر از M تا b مطابقت دارد.

راه دوم برای حل

• به موازات CD ما یک صفحه فرونتال جدید П 4 را معرفی می کنیم. P 1 را در امتداد محور X 1 و X 1 ∥C"D را قطع می کند. مطابق با روش جایگزینی صفحات، پیش بینی نقاط C "" 1، D"" 1 و M"" 1 را همانطور که در شکل نشان داده شده است تعیین می کنیم.
• عمود بر C "" 1 D "" 1 یک صفحه افقی اضافی P 5 می سازیم که روی آن خط مستقیم b به نقطه C" 2 \u003d b" 2 پیش بینی می شود.
• فاصله بین نقطه M و خط مستقیم b با طول قطعه M "2 C" 2 که با رنگ قرمز مشخص شده است تعیین می شود.

وظایف مرتبط: