Esquema general para resolver una ecuación racional fraccionaria. Resolver ecuaciones enteras y fraccionariamente racionales

Objetivos de la lección:

Tutorial:

• formación del concepto de ecuaciones racionales fraccionarias;
• considerar diferentes maneras de resolver problemas fraccionarios ecuaciones racionales;
• considere un algoritmo para resolver ecuaciones racionales fraccionarias, incluida la condición de que la fracción sea igual a cero;
• enseñar la solución de ecuaciones racionales fraccionarias según el algoritmo;
• comprobar el nivel de asimilación del tema mediante la realización de pruebas de trabajo.

Desarrollando:

• desarrollo de la capacidad de operar correctamente con el conocimiento adquirido, pensar lógicamente;
• desarrollo de habilidades intelectuales y operaciones mentales- análisis, síntesis, comparación y generalización;
• desarrollo de la iniciativa, la capacidad de tomar decisiones, de no detenerse ahí;
• desarrollo pensamiento crítico;
• desarrollo de habilidades investigativas.

crianza:

• educación interés cognitivo al sujeto;
• educación de la independencia en la solución de problemas educativos;
• educación de la voluntad y la perseverancia para lograr los resultados finales.

tipo de lección: lección - explicación del nuevo material.

durante las clases

1. Momento organizativo.

¡Hola, chicos! Las ecuaciones están escritas en la pizarra, obsérvalas con atención. ¿Puedes resolver todas estas ecuaciones? ¿Cuáles no lo son y por qué?

Las ecuaciones en las que los lados izquierdo y derecho son expresiones racionales fraccionarias se llaman ecuaciones racionales fraccionarias. ¿Qué crees que estudiaremos hoy en la lección? Formular el tema de la lección. Entonces, abrimos cuadernos y escribimos el tema de la lección "Solución de ecuaciones racionales fraccionarias".

2. Actualización del conocimiento. Encuesta frontal, trabajo oral con la clase.

Y ahora repetiremos el principal material teórico que necesitamos estudiar. nuevo tema. Por favor, conteste a las siguientes preguntas:

1. ¿Qué es una ecuación? ( Igualdad con una variable o variables.)
2. ¿Cómo se llama la ecuación #1? ( Lineal.) Método de resolución de ecuaciones lineales. ( Todos con mudanza desconocida lado izquierdo ecuaciones, todos los números - a la derecha. Trae términos semejantes. Encuentra el multiplicador desconocido).
3. ¿Cómo se llama la ecuación 3? ( Cuadrado.) Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. ( Selección del cuadrado completo, mediante fórmulas, utilizando el teorema de Vieta y sus consecuencias.)
4. ¿Qué es una proporción? ( Igualdad de dos relaciones.) La principal propiedad de la proporción. ( Si la proporción es verdadera, entonces el producto de sus términos extremos es igual al producto de los términos medios.)
5. ¿Qué propiedades se utilizan para resolver ecuaciones? ( 1. Si en la ecuación trasladamos el término de una parte a otra, cambiando su signo, entonces obtenemos una ecuación equivalente a la dada. 2. Si ambas partes de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, se obtendrá una ecuación equivalente a la dada.)
6. ¿Cuándo una fracción es igual a cero? ( Una fracción es cero cuando el numerador es cero y el denominador es distinto de cero.)

3. Explicación del nuevo material.

Resolver la ecuación No. 2 en cuadernos y en la pizarra.

Respuesta: 10.

¿Qué ecuación racional fraccionaria puedes tratar de resolver usando la propiedad básica de la proporción? (Numero 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2 -4x-2x + 8 \u003d x2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Resolver la ecuación No. 4 en cuadernos y en la pizarra.

Respuesta: 1,5.

¿Qué ecuación racional fraccionaria puedes intentar resolver multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador? (Nº 6).

x2-7x+12 = 0

D=1>0, x1 =3, x2 =4.

Respuesta: 3;4.

Ahora trata de resolver la ecuación #7 de una de las maneras.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x2-2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Respuesta: 0;5;-2.			Respuesta: 5;-2.

Explique por qué sucedió esto? ¿Por qué hay tres raíces en un caso y dos en el otro? ¿Qué números son las raíces de esta ecuación racional fraccionaria?

Hasta ahora, los estudiantes no han conocido el concepto de una raíz extraña, realmente es muy difícil para ellos entender por qué sucedió esto. Si nadie en la clase puede dar una explicación clara de esta situación, entonces el maestro hace preguntas capciosas.

• ¿En qué se diferencian las ecuaciones No. 2 y 4 de las ecuaciones No. 5, 6, 7? ( En las ecuaciones No. 2 y 4 en el denominador del número, No. 5-7 - expresiones con una variable.)
• ¿Cuál es la raíz de la ecuación? ( El valor de la variable en el que la ecuación se convierte en una verdadera igualdad..)
• ¿Cómo saber si un número es la raíz de una ecuación? ( hacer un cheque.)

Al hacer una prueba, algunos estudiantes notan que tienen que dividir por cero. Concluyen que los números 0 y 5 no son las raíces de esta ecuación. Surge la pregunta: ¿hay alguna forma de resolver ecuaciones racionales fraccionarias que elimine este error? Sí, este método se basa en la condición de que la fracción sea igual a cero.

x2 -3x-10=0, D=49, x1 =5, x2 = -2.

Si x=5, entonces x(x-5)=0, entonces 5 es una raíz extraña.

Si x=-2, entonces x(x-5)≠0.

Respuesta: -2.

Intentemos formular un algoritmo para resolver ecuaciones racionales fraccionarias de esta manera. Los propios niños formulan el algoritmo.

Algoritmo para resolver ecuaciones racionales fraccionarias:

1. Mover todo a la izquierda.
2. Traer fracciones a un denominador común.
3. Inventa un sistema: una fracción es cero cuando el numerador es cero y el denominador no es cero.
4. Resuelve la ecuación.
5. Compruebe la desigualdad para excluir raíces extrañas.
6. Anota la respuesta.

Discusión: cómo formalizar la solución si se utiliza la propiedad básica de la proporción y la multiplicación de ambos lados de la ecuación por común denominador. (Complemente la solución: excluya de sus raíces las que conviertan el común denominador en cero).

4. Comprensión primaria de material nuevo.

Trabajo en parejas. Los estudiantes eligen cómo resolver la ecuación por su cuenta, según el tipo de ecuación. Tareas del libro de texto "Álgebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600 (b, c, i); Nº 601(a, e, g). El profesor controla el desempeño de la tarea, responde las preguntas que han surgido y brinda asistencia a los estudiantes con bajo rendimiento. Autoevaluación: Las respuestas se escriben en la pizarra.

b) 2 es una raíz extraña. Respuesta: 3.

c) 2 es una raíz extraña. Respuesta: 1.5.

a) Respuesta: -12.5.

g) Respuesta: 1; 1.5.

5. Declaración de tareas.

1. Lea el ítem 25 del libro de texto, analice los ejemplos 1-3.
2. Aprende el algoritmo para resolver ecuaciones racionales fraccionarias.
3. Resuelva en los cuadernos No. 600 (a, d, e); Nº 601 (g, h).
4. Intenta resolver #696(a) (opcional).

6. Cumplimiento de la tarea de control sobre el tema estudiado.

El trabajo se realiza en hojas.

Ejemplo de trabajo:

a) ¿Cuáles de las ecuaciones son racionales fraccionarias?

B) Una fracción es cero cuando el numerador es ______________________ y ​​el denominador es _______________________.

P) ¿Es el número -3 la raíz de la Ecuación #6?

D) Resolver la ecuación No. 7.

Criterios de evaluación de tareas:

• Se otorga "5" si el estudiante completó más del 90% de la tarea correctamente.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" se le da a un estudiante que completó menos del 50% de la tarea.
• El grado 2 no se pone en el diario, el 3 es opcional.

7. Reflexión.

En los folletos con trabajo independiente, ponga:

• 1 - si la lección fue interesante y comprensible para usted;
• 2 - interesante, pero no claro;
• 3 - no interesante, pero comprensible;
• 4 - no interesante, no claro.

8. Resumiendo la lección.

Entonces, hoy en la lección nos familiarizamos con las ecuaciones racionales fraccionarias, aprendimos cómo resolver estas ecuaciones diferentes caminos, pusieron a prueba sus conocimientos con la ayuda de la formación Trabajo independiente. Aprenderá los resultados del trabajo independiente en la próxima lección, en casa tendrá la oportunidad de consolidar los conocimientos adquiridos.

¿Qué método para resolver ecuaciones racionales fraccionarias, en tu opinión, es más fácil, más accesible, más racional? Independientemente del método para resolver ecuaciones racionales fraccionarias, ¿qué no debe olvidarse? ¿Cuál es la "astucia" de las ecuaciones racionales fraccionarias?

Gracias a todos, la lección ha terminado.

El mínimo común denominador se usa para simplificar esta ecuación. Este método se utiliza cuando no puede escribir ecuación dada con una expresión racional en cada lado de la ecuación (y use el método de multiplicación cruzada). Este método se usa cuando te dan una ecuación racional con 3 o más fracciones (en el caso de dos fracciones, es mejor la multiplicación cruzada).

Encuentra el mínimo común denominador de fracciones (o mínimo común múltiplo). NOZ es número más pequeño, que es divisible por cada denominador.

• A veces NOZ es un número obvio. Por ejemplo, si se da la ecuación: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, entonces es obvio que el mínimo común múltiplo de los números 3, 2 y 6 será 6.
• Si el NOD no es obvio, anota los múltiplos del mayor denominador y encuentra entre ellos uno que también sea múltiplo de los otros denominadores. A menudo puedes encontrar el NOD simplemente multiplicando dos denominadores. Por ejemplo, si se da la ecuación x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, entonces NOZ = 8*9 = 72.
• Si uno o más denominadores contienen una variable, entonces el proceso es algo más complicado (pero no imposible). En este caso, la NOZ es una expresión (que contiene una variable) que es divisible por cada denominador. Por ejemplo, en la ecuación 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), porque esta expresión es divisible por cada denominador: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Multiplica tanto el numerador como el denominador de cada fracción por un número igual al resultado de dividir la NOZ por el denominador correspondiente de cada fracción. Como estás multiplicando tanto el numerador como el denominador por el mismo número, estás multiplicando efectivamente una fracción por 1 (por ejemplo, 2/2 = 1 o 3/3 = 1).

• Entonces, en nuestro ejemplo, multiplica x/3 por 2/2 para obtener 2x/6, y multiplica 1/2 por 3/3 para obtener 3/6 (no es necesario multiplicar 3x + 1/6 porque el denominador es 6).
• Procede de manera similar cuando la variable está en el denominador. En nuestro segundo ejemplo NOZ = 3x(x-1), entonces 5/(x-1) por (3x)/(3x) es 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x por 3(x-1)/3(x-1) para obtener 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) multiplica por (x-1)/(x-1) y obtienes 2(x-1)/3x(x-1).

Encuentra x. Ahora que has reducido las fracciones a un denominador común, puedes deshacerte del denominador. Para ello, multiplica cada lado de la ecuación por un denominador común. Luego resuelve la ecuación resultante, es decir, encuentra "x". Para hacer esto, aísle la variable en un lado de la ecuación.

• En nuestro ejemplo: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Puedes sumar 2 fracciones con el mismo denominador, así que escribe la ecuación como: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Multiplica ambos lados de la ecuación por 6 y elimina los denominadores: 2x+3 = 3x +1. Resuelva y obtenga x = 2.
• En nuestro segundo ejemplo (con una variable en el denominador), la ecuación se ve así (después de reducirla a un denominador común): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Al multiplicar ambos lados de la ecuación por NOZ, te deshaces del denominador y obtienes: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), o 15x = 3x - 3 + 2x -2, o 15x = x - 5 Resuelve y obtiene: x = -5/14.

En este artículo te mostraré algoritmos para resolver siete tipos de ecuaciones racionales, que se reducen a unos cuadrados mediante un cambio de variables. En la mayoría de los casos, las transformaciones que conducen al reemplazo no son triviales y es bastante difícil adivinarlas por sí mismo.

Para cada tipo de ecuación, explicaré cómo hacer un cambio de variable en ella, y luego mostraré una solución detallada en el video tutorial correspondiente.

Tienes la oportunidad de continuar resolviendo las ecuaciones tú mismo y luego verificar tu solución con el video tutorial.

Vamos a empezar.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Tenga en cuenta que el producto de cuatro corchetes está en el lado izquierdo de la ecuación y el número está en el lado derecho.

1. Agrupemos los paréntesis de dos en dos para que la suma de los términos libres sea la misma.

2. Multiplícalos.

3. Introduzcamos un cambio de variable.

En nuestra ecuación, agrupamos el primer paréntesis con el tercero y el segundo con el cuarto, ya que (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

En este punto, el cambio de variable se vuelve obvio:

Obtenemos la ecuación

Respuesta:

2 .

Una ecuación de este tipo es similar a la anterior con una diferencia: en el lado derecho de la ecuación está el producto de un número por. Y se resuelve de una manera completamente diferente:

1. Agrupamos los paréntesis de dos en dos para que el producto de los términos libres sea el mismo.

2. Multiplicamos cada par de paréntesis.

3. De cada factor, sacamos x del paréntesis.

4. Divide ambos lados de la ecuación entre .

5. Introducimos un cambio de variable.

En esta ecuación, agrupamos el primer paréntesis con el cuarto, y el segundo con el tercero, ya que:

Nótese que en cada paréntesis el coeficiente at y el término libre son iguales. Saquemos el multiplicador de cada paréntesis:

Como x=0 no es la raíz de la ecuación original, dividimos ambos lados de la ecuación por . Obtenemos:

Obtenemos la ecuación:

Respuesta:

3 .

Tenga en cuenta que los denominadores de ambas fracciones contienen trinomios cuadrados, cuyo coeficiente principal y término libre son iguales. Sacamos, como en la ecuación del segundo tipo, x del paréntesis. Obtenemos:

Divide el numerador y el denominador de cada fracción por x:

Ahora podemos introducir un cambio de variable:

Obtenemos la ecuación para la variable t:

4 .

Nótese que los coeficientes de la ecuación son simétricos con respecto al central. Tal ecuación se llama retornable .

para resolverlo

1. Divida ambos lados de la ecuación por (Podemos hacer esto ya que x=0 no es la raíz de la ecuación). Obtenemos:

2. Agrupa los términos de esta forma:

3. En cada grupo, sacamos el factor común:

4. Introduzcamos un reemplazo:

5. Expresemos la expresión en términos de t:

De aquí

Obtenemos la ecuación para t:

Respuesta:

5. Ecuaciones homogéneas.

Las ecuaciones que tienen la estructura de una homogénea se pueden encontrar al resolver ecuaciones exponenciales, logarítmicas y ecuaciones trigonométricas, por lo que debe ser reconocido.

Las ecuaciones homogéneas tienen la siguiente estructura:

En esta igualdad, A, B y C son números, y las mismas expresiones se indican mediante un cuadrado y un círculo. Es decir, en el lado izquierdo de la ecuación homogénea está la suma de los monomios que tienen el mismo grado (en este caso el grado de los monomios es 2), y no hay término libre.

Para resolver la ecuación homogénea, dividimos ambos lados por

¡Atención! Al dividir los lados derecho e izquierdo de la ecuación por una expresión que contiene una incógnita, puedes perder las raíces. Por tanto, es necesario comprobar si las raíces de la expresión por la que dividimos ambas partes de la ecuación son las raíces de la ecuación original.

Vamos por el primer camino. Obtenemos la ecuación:

Ahora introducimos una sustitución de variable:

Simplifica la expresión y obtén bi ecuación cuadrática con respecto a t:

Respuesta: o

7 .

Esta ecuación tiene la siguiente estructura:

Para resolverlo, debe seleccionar el cuadrado completo en el lado izquierdo de la ecuación.

Para seleccionar un cuadrado completo, debe sumar o restar el doble producto. Entonces obtenemos el cuadrado de la suma o la diferencia. Esto es crítico para una sustitución de variable exitosa.

Comencemos por encontrar el doble producto. Será la clave para reemplazar la variable. En nuestra ecuación, el doble producto es

Ahora averigüemos qué es más conveniente para nosotros: el cuadrado de la suma o la diferencia. Consideremos, para empezar, la suma de expresiones:

¡Excelente! esta expresión es exactamente igual al doble del producto. Luego, para obtener el cuadrado de la suma entre paréntesis, debes sumar y restar el doble producto:

Familiaricémonos con las ecuaciones racionales y fraccionarias racionales, demos su definición, demos ejemplos y también analicemos los tipos de problemas más comunes.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ecuación racional: definición y ejemplos

El conocimiento de las expresiones racionales comienza en el octavo grado de la escuela. En este momento, en las lecciones de álgebra, los estudiantes comienzan cada vez más a enfrentar tareas con ecuaciones que contienen expresiones racionales en sus notas. Refresquemos nuestra memoria de lo que es.

Definición 1

ecuación racional es una ecuación en la que ambos lados contienen expresiones racionales.

En varios manuales, puede encontrar otra redacción.

Definición 2

ecuación racional- esta es una ecuación, cuyo registro del lado izquierdo contiene una expresión racional, y el lado derecho contiene cero.

Las definiciones que hemos dado para las ecuaciones racionales son equivalentes, ya que significan lo mismo. La corrección de nuestras palabras se confirma por el hecho de que para cualquier expresión racional PAG y q ecuaciones P = Q y PAG - Q = 0 serán expresiones equivalentes.

Ahora pasemos a los ejemplos.

Ejemplo 1

Ecuaciones racionales:

X = 1 , 2 X - 12 X 2 y z 3 = 0 , X X 2 + 3 X - 1 = 2 + 2 7 X - un (X + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 X - 1 = 3 .

Las ecuaciones racionales, al igual que las ecuaciones de otros tipos, pueden contener cualquier número de variables de 1 a varias. Para empezar, consideraremos ejemplos simples, en el que las ecuaciones contendrán una sola variable. Y luego comenzamos a complicar gradualmente la tarea.

Las ecuaciones racionales se dividen en dos grandes grupos: enteras y fraccionarias. Veamos qué ecuaciones se aplicarán a cada uno de los grupos.

Definición 3

Una ecuación racional será un número entero si el registro de sus partes izquierda y derecha contiene expresiones racionales completas.

Definición 4

Una ecuación racional será fraccionaria si una o ambas partes contienen una fracción.

Las ecuaciones fraccionalmente racionales necesariamente contienen división por una variable, o la variable está presente en el denominador. No existe tal división al escribir ecuaciones enteras.

Ejemplo 2

3 x + 2 = 0 y (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 son ecuaciones racionales enteras. Aquí ambas partes de la ecuación están representadas por expresiones enteras.

1 x - 1 = x 3 y x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 son ecuaciones fraccionariamente racionales.

Las ecuaciones racionales completas incluyen ecuaciones lineales y cuadráticas.

Resolviendo ecuaciones enteras

La solución de tales ecuaciones generalmente se reduce a su transformación en ecuaciones algebraicas equivalentes. Esto se puede lograr realizando transformaciones equivalentes de las ecuaciones de acuerdo con el siguiente algoritmo:

• primero obtenemos cero en el lado derecho de la ecuación, para esto es necesario trasladar la expresión que está en el lado derecho de la ecuación a su lado izquierdo y cambiar el signo;
• luego transformamos la expresión del lado izquierdo de la ecuación en un polinomio vista estándar.

Tenemos que obtener una ecuación algebraica. Esta ecuación será equivalente con respecto a la ecuación original. Los casos fáciles nos permiten resolver el problema reduciendo toda la ecuación a una lineal o cuadrática. En el caso general, resolvemos una ecuación algebraica de grado norte.

Ejemplo 3

Es necesario encontrar las raíces de toda la ecuación. 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Decisión

Transformemos la expresión original para obtener una ecuación algebraica equivalente a ella. Para ello, trasladaremos la expresión contenida en el lado derecho de la ecuación al lado izquierdo y cambiaremos el signo al contrario. Como resultado, obtenemos: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Ahora transformaremos la expresión del lado izquierdo en un polinomio de la forma estándar y realizaremos las acciones necesarias con este polinomio:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Logramos reducir la solución de la ecuación original a la solución de una ecuación cuadrática de la forma X 2 − 5 X − 6 = 0. El discriminante de esta ecuación es positivo: re = (- 5) 2 - 4 1 (- 6) = 25 + 24 = 49 . Esto significa que habrá dos raíces reales. Encontrémoslos usando la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 o x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 o x 2 = - 1

Verifiquemos la corrección de las raíces de la ecuación que encontramos en el curso de la solución. Para este número, que recibimos, sustituimos en la ecuación original: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 y 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. En el primer caso 63 = 63 , en el segundo 0 = 0 . Raíces x=6 y x = − 1 son de hecho las raíces de la ecuación dada en la condición del ejemplo.

Respuesta: 6 , − 1 .

Veamos qué significa "poder de toda la ecuación". A menudo nos encontraremos con este término en aquellos casos en los que necesitemos representar una ecuación completa en forma algebraica. Definamos el concepto.

Definición 5

Grado de una ecuación entera es el grado ecuación algebraica, que es equivalente a la ecuación entera original.

Si observa las ecuaciones del ejemplo anterior, puede establecer: el grado de toda esta ecuación es el segundo.

Si nuestro curso se limitara a resolver ecuaciones de segundo grado, entonces la consideración del tema podría completarse aquí. Pero no todo es tan simple. Resolver ecuaciones de tercer grado está plagado de dificultades. Y para ecuaciones por encima del cuarto grado, no existe en absoluto. fórmulas generales raíces. En este sentido, la solución de ecuaciones enteras de tercer, cuarto y otros grados nos obliga a utilizar una serie de otras técnicas y métodos.

El método más utilizado para resolver ecuaciones racionales completas se basa en el método de factorización. El algoritmo de acciones en este caso es el siguiente:

• trasladamos la expresión del lado derecho al lado izquierdo para que el cero quede en el lado derecho del registro;
• representamos la expresión del lado izquierdo como un producto de factores y luego pasamos a un conjunto de varias ecuaciones más simples.

Ejemplo 4

Encuentra la solución a la ecuación (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Decisión

Movemos la expresión del lado derecho del registro a la izquierda con signo opuesto: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Convertir el lado izquierdo en un polinomio de la forma estándar no es práctico debido a que esto nos dará una ecuación algebraica de cuarto grado: X 4 − 12 X 3 + 32 X 2 − 16 X − 13 = 0. La facilidad de transformación no justifica todas las dificultades para resolver tal ecuación.

Es mucho más fácil ir al revés: sacamos el factor común X 2 - 10 X + 13 . Así llegamos a una ecuación de la forma (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Ahora reemplazamos la ecuación resultante con un conjunto de dos ecuaciones cuadráticas X 2 − 10 X + 13 = 0 y X 2 − 2 X − 1 = 0 y encontrar sus raíces a través del discriminante: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Respuesta: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

De manera similar, podemos usar el método de introducir una nueva variable. Este método nos permite pasar a ecuaciones equivalentes con potencias inferiores a las de la ecuación entera original.

Ejemplo 5

¿La ecuación tiene raíces? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Decisión

Si ahora tratamos de reducir una ecuación racional completa a una algebraica, obtendremos una ecuación de grado 4, que no tiene raíces racionales. Por tanto, nos será más fácil ir por el otro lado: introducir una nueva variable y, que sustituirá a la expresión en la ecuación x 2 + 3 x.

Ahora trabajaremos con la ecuación completa. (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Pasamos el lado derecho de la ecuación al lado izquierdo con signo contrario y realizamos las transformaciones necesarias. Obtenemos: y 2 + 4 y + 3 = 0. Encontremos las raíces de la ecuación cuadrática: y = − 1 y y = − 3.

Ahora vamos a hacer la sustitución inversa. Obtenemos dos ecuaciones X 2 + 3 X = − 1 y X 2 + 3 X = - 3 . Reescribámoslos como x 2 + 3 x + 1 = 0 y x 2 + 3 x + 3 = 0. Usamos la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática para encontrar las raíces de la primera ecuación obtenida: - 3 ± 5 2 . El discriminante de la segunda ecuación es negativo. Esto significa que la segunda ecuación no tiene raíces reales.

Respuesta:- 3 ± 5 2

ecuaciones enteras grados altos se encuentran en las tareas con bastante frecuencia. No hay necesidad de tenerles miedo. Debe estar listo para aplicar método no estándar sus soluciones, incluyendo una serie de transformaciones artificiales.

Solución de ecuaciones fraccionariamente racionales

Comenzamos nuestra consideración de este subtema con un algoritmo para resolver ecuaciones fraccionariamente racionales de la forma p (x) q (x) = 0 , donde p(x) y q(x) son expresiones racionales enteras. La solución de otras ecuaciones fraccionariamente racionales siempre se puede reducir a la solución de ecuaciones de la forma indicada.

El método más utilizado para resolver las ecuaciones p (x) q (x) = 0 se basa en la siguiente afirmación: fracción tu v, donde v es un número que es diferente de cero, igual a cero sólo en los casos en que el numerador de la fracción es igual a cero. Siguiendo la lógica del enunciado anterior, podemos afirmar que la solución de la ecuación p (x) q (x) = 0 puede reducirse al cumplimiento de dos condiciones: p(x)=0 y q(x) ≠ 0. Sobre esto se construye un algoritmo para resolver ecuaciones racionales fraccionarias de la forma p (x) q (x) = 0:

• encontramos la solución de toda la ecuación racional p(x)=0;
• comprobamos si la condición se cumple para las raíces encontradas durante la solución q(x) ≠ 0.

Si esta condición se cumple, entonces la raíz encontrada, si no, entonces la raíz no es una solución al problema.

Ejemplo 6

Encuentra las raíces de la ecuación 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Decisión

Estamos ante una ecuación racional fraccionaria de la forma p (x) q (x) = 0 , en la que p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Empecemos a resolver la ecuación lineal. 3 x - 2 = 0. La raíz de esta ecuación será X = 2 3.

Verifiquemos la raíz encontrada, si cumple la condición 5x2 - 2 ≠ 0. Para hacer esto, sustituya un valor numérico en la expresión. Obtenemos: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

La condición se cumple. Esto significa que X = 2 3 es la raíz de la ecuación original.

Respuesta: 2 3 .

Existe otra opción para resolver ecuaciones racionales fraccionarias p (x) q (x) = 0 . Recuerda que esta ecuación es equivalente a la ecuación completa p(x)=0 en la región valores permitidos variable x de la ecuación original. Esto nos permite usar el siguiente algoritmo para resolver las ecuaciones p(x) q(x) = 0:

• resuelve la ecuación p(x)=0;
• encontrar el rango de valores aceptables para la variable x;
• tomamos las raíces que se encuentran en la región de valores admisibles de la variable x como las raíces deseadas de la ecuación racional fraccionaria original.

Ejemplo 7

Resuelve la ecuación x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Decisión

Primero, resolvamos la ecuación cuadrática X 2 − 2 X − 11 = 0. Para calcular sus raíces, usamos la fórmula de la raíz para un segundo coeficiente par. Obtenemos re 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, y x = 1 ± 2 3 .

Ahora podemos encontrar el ODV de x para la ecuación original. Estos son todos los números para los cuales X 2 + 3 X ≠ 0. es lo mismo que x (x + 3) ≠ 0, de donde x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Ahora vamos a comprobar si las raíces x = 1 ± 2 3 obtenidas en la primera etapa de la solución están dentro del rango de valores aceptables de la variable x. Vemos lo que entra. Esto significa que la ecuación racional fraccionaria original tiene dos raíces x = 1 ± 2 3 .

Respuesta: x = 1 ± 2 3

El segundo método de solución descrito más fácil que el primero en casos donde es fácil encontrar el área de valores admisibles de la variable x, y las raíces de la ecuación p(x)=0 irracional. Por ejemplo, 7 ± 4 26 9 . Las raíces pueden ser racionales, pero con un gran numerador o denominador. Por ejemplo, 127 1101 y − 31 59 . Esto ahorra tiempo para verificar la condición. q(x) ≠ 0: es mucho más fácil excluir raíces que no encajan, según la ODZ.

Cuando las raíces de la ecuación p(x)=0 son números enteros, es más conveniente usar el primero de los algoritmos descritos para resolver ecuaciones de la forma p (x) q (x) = 0 . Encontrar las raíces de una ecuación completa más rápido p(x)=0 y luego verifique si la condición se cumple para ellos q(x) ≠ 0, y no encuentre la ODZ, y luego resuelva la ecuación p(x)=0 en esta ODZ. Esto se debe al hecho de que, en tales casos, suele ser más fácil realizar una comprobación que encontrar la ODZ.

Ejemplo 8

Encuentra las raíces de la ecuación (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Decisión

Comenzamos considerando la ecuación completa (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 y encontrar sus raíces. Para ello, aplicamos el método de resolución de ecuaciones mediante factorización. Resulta que la ecuación original es equivalente a un conjunto de cuatro ecuaciones 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, de las cuales tres son lineales y uno es cuadrado. Encontramos las raíces: de la primera ecuación X = 1 2, del segundo x=6, del tercero - x \u003d 7, x \u003d - 2, del cuarto - x = − 1.

Comprobemos las raíces obtenidas. Nos resulta difícil determinar la ODZ en este caso, ya que para ello tendremos que resolver una ecuación algebraica de quinto grado. Será más fácil verificar la condición según la cual el denominador de la fracción, que está en el lado izquierdo de la ecuación, no debe desaparecer.

A su vez, sustituya las raíces en lugar de la variable x en la expresión x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 y calcula su valor:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

La verificación realizada nos permite establecer que las raíces de la ecuación racional fraccionaria original son 1 2 , 6 y − 2 .

Respuesta: 1 2 , 6 , - 2

Ejemplo 9

Encuentra las raíces de la ecuación racional fraccionaria 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Decisión

Empecemos con la ecuación. (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Encontremos sus raíces. Es más fácil para nosotros representar esta ecuación como una combinación de cuadrado y ecuaciones lineales 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 y x - 2 = 0.

Usamos la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática para encontrar las raíces. Obtenemos dos raíces x = 7 ± 69 10 de la primera ecuación, y de la segunda x=2.

Sustituir el valor de las raíces en la ecuación original para comprobar las condiciones nos resultará bastante difícil. Será más fácil determinar el LPV de la variable x. En este caso, el DPV de la variable x son todos los números, excepto aquellos para los que se cumple la condición x 2 + 5 x - 14 = 0. Obtenemos: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Ahora vamos a comprobar si las raíces que encontramos pertenecen al rango de valores aceptables para la variable x.

Las raíces x = 7 ± 69 10 - pertenecen, por lo tanto, son las raíces de la ecuación original, y x=2- no pertenece, por lo tanto, es una raíz extraña.

Respuesta: x = 7 ± 69 10 .

Examinemos por separado los casos en que el numerador de una ecuación racional fraccionaria de la forma p (x) q (x) = 0 contiene un número. En tales casos, si el numerador contiene un número distinto de cero, entonces la ecuación no tendrá raíces. Si este número es igual a cero, entonces la raíz de la ecuación será cualquier número de la ODZ.

Ejemplo 10

Resuelve la ecuación racional fraccionaria - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Decisión

Esta ecuación no tendrá raíces, ya que el numerador de la fracción del lado izquierdo de la ecuación contiene un número distinto de cero. Esto significa que para cualquier valor de x el valor de la fracción dada en la condición del problema no será igual a cero.

Respuesta: sin raíces

Ejemplo 11

Resuelve la ecuación 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Decisión

Dado que el numerador de la fracción es cero, la solución a la ecuación será cualquier valor de x de la variable ODZ x.

Ahora vamos a definir la ODZ. Incluirá todos los valores de x para los que x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Soluciones de ecuaciones x 4 + 5 x 3 = 0 están 0 y − 5 , ya que esta ecuación es equivalente a la ecuación x 3 (x + 5) = 0, y éste, a su vez, es equivalente al conjunto de dos ecuaciones x 3 = 0 y x + 5 = 0 donde estas raíces son visibles. Llegamos a la conclusión de que el rango deseado de valores aceptables son cualquier x, excepto x=0 y x = -5.

Resulta que la ecuación racional fraccionaria 0 x 4 + 5 x 3 = 0 tiene conjunto infinito soluciones, que son cualquier número distinto de cero y - 5 .

Respuesta: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Ahora hablemos de ecuaciones racionales fraccionarias de forma arbitraria y métodos para resolverlas. Se pueden escribir como r(x) = s(x), donde r(x) y s(x) son expresiones racionales, y al menos una de ellas es fraccionaria. La solución de tales ecuaciones se reduce a la solución de ecuaciones de la forma p (x) q (x) = 0 .

Ya sabemos que podemos obtener una ecuación equivalente trasladando la expresión del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo con el signo opuesto. Esto significa que la ecuación r(x) = s(x) es equivalente a la ecuación r (x) − s (x) = 0. También hemos discutido ya cómo convertir una expresión racional en una fracción racional. Gracias a esto, podemos transformar fácilmente la ecuación r (x) − s (x) = 0 en su fracción racional idéntica de la forma p (x) q (x) .

Así que pasamos de la ecuación racional fraccionaria original r(x) = s(x) a una ecuación de la forma p (x) q (x) = 0 , que ya hemos aprendido a resolver.

Cabe señalar que al realizar transiciones de r (x) − s (x) = 0 a p (x) q (x) = 0 y luego a p(x)=0 es posible que no tengamos en cuenta la ampliación del rango de valores válidos de la variable x.

Es bastante realista que la ecuación original r(x) = s(x) y ecuación p(x)=0 como resultado de las transformaciones, dejarán de ser equivalentes. Entonces la solución de la ecuación p(x)=0 puede darnos raíces que serán ajenas a r(x) = s(x). En este sentido, en cada caso es necesario realizar una comprobación por cualquiera de los métodos descritos anteriormente.

Para facilitarle el estudio del tema, hemos generalizado toda la información en un algoritmo para resolver una ecuación racional fraccionaria de la forma r(x) = s(x):

• transferimos la expresión del lado derecho con el signo opuesto y obtenemos cero a la derecha;
• transformamos la expresión original en una fracción racional p (x) q (x) realizando secuencialmente acciones con fracciones y polinomios;
• resuelve la ecuación p(x)=0;
• revelamos raíces extrañas comprobando su pertenencia a la ODZ o sustituyéndolas en la ecuación original.

Visualmente, la cadena de acciones se verá así:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → abandono r o n d e r o o n s

Ejemplo 12

Resolver la ecuación racional fraccionaria x x + 1 = 1 x + 1 .

Decisión

Pasemos a la ecuación x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Transformemos la expresión racional fraccionaria en el lado izquierdo de la ecuación a la forma p (x) q (x) .

Para esto tenemos que traer fracciones racionales a un común denominador y simplificar la expresión:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2x - 1x (x + 1)

Para encontrar las raíces de la ecuación - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, necesitamos resolver la ecuación − 2 x − 1 = 0. Obtenemos una raíz x = - 1 2.

Nos queda realizar la verificación por cualquiera de los métodos. Considerémoslos a ambos.

Sustituye el valor resultante en la ecuación original. Obtenemos - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Hemos llegado a la igualdad numérica correcta. − 1 = − 1 . Esto significa que x = − 1 2 es la raíz de la ecuación original.

Ahora vamos a comprobar a través de la ODZ. Determinemos el área de valores aceptables para la variable x. Este será el conjunto completo de números, excepto − 1 y 0 (cuando x = − 1 y x = 0, los denominadores de las fracciones desaparecen). La raíz que obtuvimos x = − 1 2 pertenece a la ODZ. Esto significa que es la raíz de la ecuación original.

Respuesta: − 1 2 .

Ejemplo 13

Encuentra las raíces de la ecuación x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Decisión

Estamos tratando con una ecuación racional fraccionaria. Por lo tanto, actuaremos de acuerdo con el algoritmo.

Movamos la expresión del lado derecho al lado izquierdo con el signo opuesto: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Realicemos las transformaciones necesarias: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

llegamos a la ecuacion x=0. La raíz de esta ecuación es cero.

Comprobemos si esta raíz es extraña a la ecuación original. Sustituye el valor en la ecuación original: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Como puede ver, la ecuación resultante no tiene sentido. Esto significa que 0 es una raíz extraña y que la ecuación racional fraccionaria original no tiene raíces.

Respuesta: sin raíces

Si no hemos incluido otras transformaciones equivalentes en el algoritmo, esto no significa en absoluto que no se puedan utilizar. El algoritmo es universal, pero está diseñado para ayudar, no para limitar.

Ejemplo 14

Resuelve la ecuación 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Decisión

La forma más fácil es resolver la ecuación racional fraccionaria dada de acuerdo con el algoritmo. Pero hay otra manera. Considerémoslo.

Reste de las partes derecha e izquierda 7, obtenemos: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

De esto podemos concluir que la expresión en el denominador del lado izquierdo debe ser igual al número recíproco del número del lado derecho, es decir, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Resta de ambas partes 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Por analogía 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, de donde 1 5 - x 2 \u003d 1 3, y más 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Comprobemos para establecer si las raíces encontradas son las raíces de la ecuación original.

Respuesta: x = ± 2

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter

§ 1 Ecuaciones racionales enteras y fraccionarias

En esta lección, analizaremos conceptos tales como una ecuación racional, una expresión racional, una expresión entera, una expresión fraccionaria. Considere la solución de ecuaciones racionales.

Una ecuación racional es una ecuación en la que los lados izquierdo y derecho son expresiones racionales.

Las expresiones racionales son:

Fraccionario.

Una expresión entera se compone de números, variables, potencias enteras utilizando las operaciones de suma, resta, multiplicación y división por un número distinto de cero.

Por ejemplo:

En las expresiones fraccionarias, existe una división por una variable o una expresión con una variable. Por ejemplo:

Una expresión fraccionaria no tiene sentido para todos los valores de las variables incluidas en ella. Por ejemplo, la expresión

en x = -9 no tiene sentido, porque en x = -9 el denominador tiende a cero.

Esto significa que una ecuación racional puede ser entera y fraccionaria.

Una ecuación racional entera es una ecuación racional en la que los lados izquierdo y derecho son expresiones enteras.

Por ejemplo:

Una ecuación racional fraccionaria es una ecuación racional en la que los lados izquierdo o derecho son expresiones fraccionarias.

Por ejemplo:

§ 2 Solución de una ecuación racional completa

Considere la solución de una ecuación racional completa.

Por ejemplo:

Multiplica ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador de los denominadores de las fracciones incluidas en ella.

Para esto:

1. encontrar un denominador común para los denominadores 2, 3, 6. Es igual a 6;

2. encontrar un factor adicional para cada fracción. Para hacer esto, divide el común denominador 6 por cada denominador

multiplicador adicional para la fracción

multiplicador adicional para la fracción

3. multiplicar los numeradores de las fracciones por los factores adicionales que les corresponden. Así, obtenemos la ecuación

que es equivalente a esta ecuación

Abramos los paréntesis de la izquierda, movamos la parte derecha hacia la izquierda, cambiando el signo del término durante la transferencia al opuesto.

Damos términos similares del polinomio y obtenemos

Vemos que la ecuación es lineal.

Resolviéndolo, encontramos que x = 0.5.

§ 3 Solución de una ecuación racional fraccionaria

Considere la solución de una ecuación racional fraccionaria.

Por ejemplo:

1. Multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador de los denominadores de las fracciones racionales incluidas en ella.

Encuentra el denominador común para los denominadores x + 7 y x - 1.

Es igual a su producto (x + 7) (x - 1).

2. Busquemos un factor adicional para cada fracción racional.

Para hacer esto, dividimos el común denominador (x + 7) (x - 1) por cada denominador. Multiplicador adicional para fracciones

es igual a x - 1,

multiplicador adicional para la fracción

es igual a x+7.

3. Multiplicar los numeradores de fracciones por sus correspondientes factores adicionales.

Obtenemos la ecuación (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), que es equivalente a esta ecuación

4.Izquierda y derecha multiplican el binomio por el binomio y obtienen la siguiente ecuación

5. Pasamos la parte derecha a la izquierda, cambiando el signo de cada término al pasar al contrario:

6. Presentamos miembros similares del polinomio:

7. Puedes dividir ambas partes por -1. Obtenemos una ecuación cuadrática:

8. Una vez resuelto, encontraremos las raíces.

Ya que en la ecuación

las partes izquierda y derecha son expresiones fraccionarias, y en expresiones fraccionarias, para algunos valores de las variables, el denominador puede desaparecer, entonces es necesario verificar si el denominador común no desaparece cuando se encuentran x1 y x2.

En x = -27 el común denominador (x + 7)(x - 1) no desaparece, en x = -1 el común denominador tampoco es cero.

Por lo tanto, ambas raíces -27 y -1 son raíces de la ecuación.

Al resolver una ecuación racional fraccionaria, es mejor indicar inmediatamente el área de valores permitidos. Elimina aquellos valores en los que el común denominador tiende a cero.

Considere otro ejemplo de resolución de una ecuación racional fraccionaria.

Por ejemplo, resolvamos la ecuación

Descomponemos el denominador de la fracción del lado derecho de la ecuación en factores

Obtenemos la ecuación

Encuentra un denominador común para los denominadores (x - 5), x, x (x - 5).

Será la expresión x (x - 5).

ahora busquemos el rango de valores admisibles de la ecuacion

Para hacer esto, igualamos el denominador común a cero x (x - 5) \u003d 0.

Obtenemos una ecuación, resolviéndola, encontramos que en x \u003d 0 o en x \u003d 5, el denominador común se desvanece.

Entonces x = 0 o x = 5 no pueden ser las raíces de nuestra ecuación.

Ahora puedes encontrar multiplicadores adicionales.

Multiplicador adicional para fracciones racionales

multiplicador adicional para fracciones

será (x - 5),

y el factor adicional de la fracción

Multiplicamos los numeradores por los factores adicionales correspondientes.

Obtenemos la ecuación x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Abramos los corchetes a la izquierda y a la derecha, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Movamos los términos de derecha a izquierda cambiando el signo de los términos a mover:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Y después de traer términos similares, obtenemos la ecuación cuadrática x2 - 3x - 10 \u003d 0. Habiéndola resuelto, encontramos las raíces x1 \u003d -2; x2 = 5.

Pero ya hemos descubierto que en x = 5 el común denominador x(x - 5) desaparece. Por lo tanto, la raíz de nuestra ecuación

será x = -2.

§ cuatro Breve resumen lección

Importante recordar:

Al resolver ecuaciones racionales fraccionarias, debe hacer lo siguiente:

1. Encuentra el denominador común de las fracciones incluidas en la ecuación. Además, si los denominadores de las fracciones se pueden descomponer en factores, entonces descompóngalos en factores y luego encuentre el denominador común.

2. Multiplique ambos lados de la ecuación por un denominador común: encuentre factores adicionales, multiplique numeradores por factores adicionales.

3. Resuelva la ecuación completa resultante.

4. Excluir de sus raíces aquellas que lleven el común denominador a cero.

Lista de literatura usada:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Bajo la dirección editorial de Telyakovsky S.A. Álgebra: libro de texto. para 8 celdas. educación general instituciones - M.: Educación, 2013.
2. Mordkovich A.G. Álgebra. Grado 8: En dos partes. Parte 1: Proc. para educación general instituciones - M.: Mnemósine.
3. Rurukin A. N. Desarrollos de lecciones en álgebra: Grado 8. - M .: VAKO, 2010.
4. Álgebra grado 8: planes de lecciones según el libro de texto de Yu.N. Makarycheva, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T. L. Afanasiev, Los Ángeles Tapilina. - Volgogrado: Profesor, 2005.