Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace. Método operacional para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales y sus sistemas. §uno. Originales e imágenes de funciones según Laplace

07.10.2020

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1 Resolver ecuaciones diferenciales usando la transformada de Laplace (método operativo) El cálculo operativo es uno de los métodos más económicos para integrar ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y es muy popular entre los ingenieros. El método fue propuesto por el famoso ingeniero eléctrico y físico estadounidense O. Heaviside (892). Propuso reglas formales para tratar con el operador d dx y algunas funciones de este operador, con las que resolvió varios de los problemas más importantes de la electrodinámica. Sin embargo, el cálculo operacional no recibió una justificación matemática en los trabajos de O. Heaviside (“sus matemáticas surgieron en un contexto físico del que no era fácil distinguirlas” [, p. 8]), muchos de sus resultados permanecieron no probado Recién en los 2 años del siglo XX se justifica el método en los trabajos de Bromwich (T. J. I A. Bromwich) y Carson (J. R. Carson) 2 .. El concepto de original y la imagen según la Definición de Laplace. Una función original es cualquier función de valores complejos f(x) de un argumento real x que satisface las siguientes condiciones: f(x) es continua en x, excepto, quizás, para un número finito de puntos de discontinuidad del tipo -ésimo; 2) para todo x< f(x) = ; 3) существуют такие постоянные M >y a > para lo cual f(x) M e ax para x. () Ecuaciones diferenciales e integrales: un libro de texto para estudiantes de la Facultad de Física y Tecnología: en 3 horas Parte 2 / comp. : N. Yu. Svetova, E. E. Semyonova. Petrozavodsk: PetrSU Publishing House, Los intentos de justificar rigurosamente y la presentación "matemáticamente aceptable" del cálculo se parecían a un "ataque general" El matemático inglés Bromwich (96), el ingeniero estadounidense Carson (925), el ingeniero eléctrico holandés Van der Pol () atrajeron los resultados de diversas teorías, vinculó el cálculo de Heaviside con la transformada de Laplace, con la teoría de funciones de variable compleja.

2 2 El mínimo a de todos los números a para los que la desigualdad () es cierta se llama tasa de crecimiento de la función f(x). Tenga en cuenta que para cualquier función acotada, la tasa de crecimiento a =. La original más simple es la función de Heaviside (, x ; χ(x) =, x<. Очевидно, для любой функции ϕ(x) { ϕ(x), x, ϕ(x) χ(x) =, x <. Если при x функция ϕ(x) удовлетворяет условиям и 3 определения, то функция ϕ(x)χ(x) является оригиналом. В дальнейшем для сокращения записи будем, как правило, записывать ϕ(x) вместо ϕ(x)χ(x), считая, что рассматриваемые нами функции продолжены нулем для отрицательных значений аргумента x. Определение 2. Функция F (p) комплексного переменного p (p C), определяемая интегралом F (p) = e px f(x) dx, () называется преобразованием Лапласа, или изображением по Лапласу 3, функции f(x). Для указания соответствия между оригиналом и изображением будем использовать следующую запись 4: f(x) F (p). 3 В мемуарах П. Лапласа (782 82) современные оригинал и изображение именуются fonction determinant и fonction generatrice «определяющая функция» и «производящая». Эти названия, хотя и признанные неудачными, сохранились до XX в. Хевисайд употреблял названия «подоператорная функция» (892). Оператор он обозначал буквой p, которая употребляется в современном исчислении . 4 Названия original и image и знак предложил Ван дер Поль в статьях гг. В русской литературе термин изображение и символ, по-видимому, впервые появились в книге харьковских математиков А. М. Эфроса и А. М. Данилевского «Операционное исчисление и контурные интегралы» (937), а термин оригинал только в 953 г. . Используются и другие варианты записи соответствия между оригиналами и изображениями. Например, f(x) F (p) или L{f(x)} = F (p).

3 Para cualquier f(x) original, su imagen F (p) está definida en el semiplano Re p > a (a es la tasa de crecimiento de la función f(x)), donde converge la integral impropia (). Ejemplo. Usando la definición, encuentra la imagen de la función f(x) = sen 3x. Decisión. Para la función f(x) = sen 3x tenemos a =. Por lo tanto, la imagen F (p) estará definida en el semiplano Re p >. Apliquemos la fórmula () a la función dada, usando la regla de integración por partes y la restricción en el conjunto de valores de la variable p para asegurar la convergencia de la integral: F (p) = + e px sin 3x dx = = p e px sen 3x x= = 3 p p e px cos 3x = 3 p 2 9 p 2 ). F (p) = 3 p 2 9 p 2 F (p). F (p) = 3 p Por tanto, es válida la siguiente correspondencia: sen 3x 3 p 2, Re p >. + 9 e px sen 3x dx = 3

4 4 2. Propiedades de la transformada de Laplace En la práctica, a la hora de construir imágenes se utilizan diversas técnicas basadas en las propiedades de la transformada de Laplace. Enumeramos las principales propiedades, cuya validez es fácil de establecer utilizando las definiciones de la imagen y el original.Propiedad de linealidad. Si f(x) F (p), g(x) G(p), entonces para cualquier α, β C αf(x) + βg(x) αf (p) + βg(p), Re p > max( a, b). Aquí ya continuación, a y b son las tasas de crecimiento de las funciones f(x) y g(x), respectivamente. 2. Teorema de la semejanza. Si f(x) F (p), entonces para cualquier α > f(αx) α F (p α), Re p > αa. 3. El teorema del desplazamiento. Si f(x) F (p), entonces para cualquier λ C e λx f(x) F (p λ), Re p > a + Re λ. 4. Diferenciación del original. Sea la función f(x) n veces diferenciable. Entonces f (x) pf (p) f(+), f (x) p 2 F (p) pf(+) f (+), f (n) (x) p n F (p) p n f(+). .. pf (n 2) (+) f (n) (+), donde f (k) (+) = lím x + f (k) (x), k =, n. Comentario. Al construir imágenes de derivadas de funciones continuas en cero, se omite el signo más en la notación del argumento de la función y sus derivadas. 5. Diferenciación de imágenes. Si f(x) F (p), entonces En particular, para n = tenemos F (n) (p) (x) n f(x), Re p >. F(p)xf(x).

5 5 6. Integración del original. Si f(x) F (p), entonces x f(ξ) dξ F (p) p, Re p > α. 7. Integración de imágenes. Si la integral y F (p) f(x), entonces p F (p) dp f(x) x, Re p > α. p F (p) dp converge 8. Teorema de multiplicación de imágenes (teorema de convolución) Si f(x) F (p), g(x) G(p), entonces F (p)g(p) x f(t) g( x t) dt = x f(x t)g(t) dt cuando Re p > max(a, b). Las integrales del lado derecho de la correspondencia se denominan convolución de las funciones f(x) y g(x). 9. Teorema del retardo. Si f(x) F (p), entonces para cualquier ξ > f(x ξ)χ(x ξ) e ξp F (p), Re p > α. Se restaura el original a partir de la imagen de forma única, hasta los valores en los puntos de ruptura. En la práctica, se suelen utilizar tablas preparadas de originales e imágenes 5. La tabla enumera los principales originales e imágenes que se encuentran a menudo en las aplicaciones. Ejemplo 2. Utilizando las propiedades de la transformada de Laplace y la tabla de originales e imágenes básicos, encuentre imágenes de las siguientes funciones:) f(x) = e 4x sen 3x cos 2x; 3) f(x) = x 2 e 3x; 2) f (x) \u003d e (x 2) sin (x 2); 4) f(x) = sen2 x x. 5 Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Manual de cálculo operativo. M, 965.

6 6 Tabla. Principales originales e imágenes Imagen original Imagen original p cos ωx p p 2 + ω 2 x n n! pags norte+ mi λx pags + λ sen ωx x cos ωx x norte mi λx norte! (p + λ) n+ x sen ωx ω p 2 + ω 2 p 2 ω 2 (p 2 + ω 2) 2 2pω (p 2 + ω 2) 2 Solución.) Transformamos la expresión para la función f (x) como sigue: f(x) = e 4x sen 3x cos 2x = 2 e 4x (sen 5x + sen x) = = 2 e 4x sen 5x + 2 e 4x sen x. Como sen x 5 p 2 y sen 5x + p , entonces, usando la propiedad de linealidad y el teorema del desplazamiento, para la imagen de la función f (x) tendremos: F (p) = () 5 2 (p + 4 ) (p + 4 )) Como sen x p 2 +, ex sen x (p) 2 +, entonces, usando el teorema del retraso, tendremos f (x) = e x 2 sen (x 2) F (p) = e 2p (p)) Así como x 2 2 p 3, entonces por el teorema del desplazamiento tenemos: f(x) = x 2 e 3x F (p) = 2 (p 3) 3.

7 A modo de comparación, presentamos un método para construir una imagen de la función f(x) = x 2 e 3x usando la propiedad de diferenciación de imagen: Obtuvimos el mismo resultado. 4) Dado que e 3x p 3 ; xe 3x d () = dp p 3 (p 3) 2 ; x 2 e 3x d () 2 dp (p 3) 2 = (p 3) 3. sen 2 x = 2 2 cos 2x 2p 2 p p 2 + 4, entonces, usando la propiedad de integración de la imagen, tendremos: sen 2 x ( x 2p) 2 p p 2 dp = + 4 p (= 4 ln p2) 4 ln(p2 + 4) = p 4 ln p 2 p p = 4 ln p2 + 4 p fracción racional propia (es una función racional). Si la fracción se descompone en la suma de las fracciones más simples (elementales), entonces para cada una de ellas se puede encontrar el original correspondiente utilizando las propiedades de la transformada de Laplace y la tabla de originales y sus imágenes. De hecho, A p a A eax ; A (pa) n A (n)! xn e hacha.

8 8 Después de realizar transformaciones fraccionarias Ap + B A(p a) + aa + B A(p a) (p a) 2 = + b2 (p a) 2 + b 2 = (p a) 2 + b 2 + aa + B (p a) 2 + b 2, obtenemos Ap + B (p a) 2 + b 2 A eax cos bx + aa + B e ax sen bx. b Para construir el original correspondiente a la fracción Ap + B ((p a) 2 + b 2) n, puedes usar el teorema de la multiplicación. Por ejemplo, para n = 2 tenemos Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 = Ap + B (p a) 2 + b 2 (p a) 2 + b 2. Desde entonces Para n = 3: Ap + B (p a) 2 + b 2 A eax cos bx + aa + B e ax sen bx = h (x) b (p a) 2 + b 2 b eax sen bx = g(x), Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 = x Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 (p a) 2 + b 2 g(x t) h (t) dt = h 2 (t). x g(x t) h 2 (t) dt Si tiene k ceros diferentes p i, i =, k, entonces, expandiendo

9 el denominador por factores (p p i), el original correspondiente para Y (p) se puede encontrar mediante la fórmula: y(x) = k (Y (p)(p p i)e px) p=pi. (2) i= El producto de Y (p)(p p i) da una función racional cuyo denominador no contiene el factor (p p i), y calculado en p = p i determina el coeficiente con el que la fracción entra en la expansión p p i de la función Y (p) en la suma de fracciones elementales. Ejemplo 3. Encuentra el original que coincide con la imagen: Y (p) = p 3 p. Decisión. Expandiendo la imagen dada a la suma de fracciones elementales: p 3 p = p(p)(p +) = p + 2(p) + 2(p +), encontramos la respuesta original: y(x) = + ch X. y(x) = + 2 ex + 2 e x = + ch x. Ejemplo 4. Encuentra el original de la imagen: Y (p) = p(p 2 +). Decisión. Como p 2 sen x, entonces, aplicando la propiedad de integración del original, + obtenemos: p(p 2 +) x Respuesta: y(x) = cos x. sen t dt = cos t x = cos x. Ejemplo 5. Encuentra el original que coincide con la imagen: Y (p) = (p 2 + 4) 2. 9

10 Decisión. Usando la propiedad de imagen de convolución, tenemos: Y (p) = (p 2 + 4) 2 = p p x sen 2(x t) sen 2t dt. Habiendo calculado la integral, obtenemos la expresión deseada para el original. Respuesta: y(x) = 6 sen 2x x cos 2x. 8 Ejemplo 6. Encuentra el original que coincide con la imagen: Y (p) = p p 3 p 2 6p. Decisión. Como p 3 p 2 6p \u003d p (p 3) (p + 2), entonces el denominador de la fracción Y (p) tiene tres raíces simples: p \u003d, p 2 \u003d 3 y p 3 \u003d 2. Construimos el original correspondiente usando la fórmula (2): y(x) = (p2 + 2)e px (p 3)(p + 2) + (p2 + 2)e px p= p(p + 2) + (p2 + 2)e px p =3 p(p 3) = p= 2 = e3x e 2x. Ejemplo 7. Encuentra el original que coincide con la imagen: Y (p) = e p 2 p(p +)(p 2 + 4). Decisión. Representemos la fracción incluida en la expresión en forma de fracciones simples: p(p +)(p 2 + 4) = A p + B p + + Cp + D p Aplicando el método de coeficientes indefinidos a la expansión, obtenemos : ; B=D=5; C \u003d 2. Y (p) \u003d e p 2 4 p 5 e p 2 p + pe p 2 2 p e p 2 5 p (a)

11 Usando las relaciones: p χ(x), p + e x χ(x), p p cos 2x χ(x), p sen 2x χ(x) 2 y teniendo en cuenta el teorema del retraso, obtenemos el original deseado para el imagen (a). Respuesta: y(x) = (4 5 e (x 2) cos (2x) sen (2x) 2) χ (x) Solución del problema de Cauchy para una ecuación diferencial con coeficientes constantes El método para resolver varias clases de ecuaciones usando la transformada de Laplace se llama método operacional. La propiedad de diferenciación de la transformada de Laplace del original permite reducir la solución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes a la solución de ecuaciones algebraicas. Considere el problema de Cauchy para una ecuación no homogénea con condiciones iniciales y (n) + a y (n) a n y + a n y = f(x) (3) y() = y, y () = y,..., y (n ) ( ) = yn. (4) Deje que la función f(x) y la solución deseada satisfagan las condiciones para la existencia de la transformada de Laplace. Denotemos por Y (p) la imagen de la función desconocida (original) y(x), y por F (p) la imagen del lado derecho de f(x): y(x) Y (p), f(x) ) F (pag). Por la regla de diferenciación del original, tenemos y (x) py (p) y, y (x) p 2 Y (p) py y, y (n) (x) p n Y (p) p n y p n 2 y.. .y n.

12 2 Entonces, debido a la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace, después de aplicarla a la parte izquierda y derecha de la ecuación (3), obtenemos la ecuación del operador M(p)Y (p) N(p) = F (p ), (5) donde M(p) polinomio característico de la ecuación (3): M(p) = p n + a p n a n p + a n y, N(p) polinomio que contiene los datos iniciales del problema de Cauchy (desaparece cuando los datos iniciales son cero ): N(p) = y (p n + a p n a n) + + y (p n 2 + a p n a n 2) y n 2 (p + a) + y n, F (p) imagen de la función f(x). Resolviendo la ecuación del operador (5), obtenemos la imagen de Laplace Y (p) de la solución deseada y(x) en la forma Y (p) = F (p) + N(p). M(p) Restaurando el original para Y (p), encontramos una solución a la ecuación (3) que satisface las condiciones iniciales (4). Ejemplo 8. Encontrar una solución a la ecuación diferencial: y (x) + y(x) = e x que satisfaga la condición: y() =. Decisión. Sea y(x) Y (p). Como y (x) py (p) y() = py (p), e x p +, entonces, aplicando la transformada de Laplace a la ecuación dada, usando la propiedad de linealidad, obtenemos una ecuación algebraica con respecto a Y (p): py (p) + Y (p) = p +. Donde encontramos la expresión para Y (p):

13 Desde entonces tenemos Y (p) = p + e x, (p +) 2 + p +. (p +) 2 xe x, Y (p) y(x) = e x x + e x. Verificación: Demostremos que la función encontrada es de hecho una solución al problema de Cauchy. Sustituimos la expresión de la función y(x) y su derivada en la ecuación dada: y (x) = e x x + e x e x = e x x e x x + e x x + e x = e x. Después de reducir términos similares en el lado izquierdo de la ecuación, obtenemos la identidad correcta: e x e x. Por lo tanto, la función construida es una solución a la ecuación. Comprobemos si cumple la condición inicial y() = : y() = e + e =. Por lo tanto, la función encontrada es una solución al problema de Cauchy. Respuesta: y(x) = e x x + e x. Ejemplo 9. Resolver el problema de Cauchy y + y =, y() =, y() =. Decisión. Sea y(x) Y (p). Como 3 y (x) p 2 Y (p) py() y (), /p, entonces, aplicando la transformada de Laplace a la ecuación, teniendo en cuenta las condiciones iniciales, obtenemos (p 2 +)Y (p) = p = Y (p) = p (p 2 +). Descompongamos la fracción en fracciones simples: Y (p) = p Según la tabla, encontramos y(x) = cos x. p p 2 +.

14 4 También puede restaurar el original a partir de la imagen aplicando la propiedad de integración original (ver ejemplo 4). Respuesta: y(x) = cosx. Ejemplo. Resolver el problema de Cauchy y +3y = e 3x, y() =, y () =. Decisión. Sea y(x) Y (p). Como y py (p) y(), y (x) p 2 Y (p) py() y (), y e 3x p + 3, entonces, dadas las condiciones iniciales, obtenemos la ecuación del operador (p 2 + 3p) Y (p) + = p + 2 = Y (p) = p + 3 (p + 3) 2 p. Expandamos la función racional a fracciones simples: p + 2 (p + 3) 2 p = A p + B p C (p + 3) 2 = A(p2 + 6p + 9) + B(p 2 + 3p) + Cp p (p + 3) 2. Componer un sistema de ecuaciones para encontrar los coeficientes A, B y C: A + B =, 6A + 3B + C =, 9A = 2, resolviendo cuál encontramos A = 2/9 , B = 2/9, C = /3. Por lo tanto, Y (p) = 2 9 p p (p + 3) 2. Usando la tabla, obtenemos la respuesta. Respuesta: y(x) = e 3x 3 xe 3x. Ejemplo. Encuentre una solución a la ecuación diferencial: y (x) + 2y (x) + 5y (x) = satisfaciendo las condiciones: y() =, y () = 2, y () =. Decisión. Sea y(x) Y (p). Dado que, dadas las condiciones dadas, tenemos y (x) p Y (p) y() = py (p) () = py (p) +, y (x) p 2 Y (p) p y() y ( ) = = p 2 Y (p) p () 2 = p 2 Y (p) + p 2, y (x) p 3 Y (p) p 2 y() p y () y () = = p 3 Y (p) p 2 () p 2 = p 3 Y (p) + p 2 2p,

15 luego de aplicar la transformada de Laplace a la ecuación dada, obtenemos la siguiente ecuación del operador: p 3 Y (p) + p 2 2p + 2p 2 Y (p) + 2p 4 + 5pY (p) + 5 = o después de las transformaciones : Y (p) (p 3 + 2p 2 + 5p) = p 2. Resolviendo esta ecuación para Y (p), obtenemos Y (p) = p 2 p(p 2 + 2p + 5). Expandimos la expresión resultante en fracciones simples: p 2 p (p 2 + 2p + 5) = A p + Bp + C p 2 + 2p + 5. Usando el método de coeficientes indefinidos, encontramos A, B, C. Para hacemos esto, reducimos las fracciones a un denominador común e igualamos los coeficientes a iguales potencias p: p 2 p(p 2 + 2p + 5) = Ap2 + 2Ap + 5A + Bp 2 + Cp p(p p + 5) Obtenemos un sistema de ecuaciones algebraicas para A, B, C: resolviendo cual sera: A + B =, 2A + C =, 5A =, A = 5, B = 4 5, C = 2 5. Entonces Y(p) = 5p + 5 4p + 2p 2 + 2p + 5. Para encontrar el original de la segunda fracción, seleccione el cuadrado completo en su denominador: p 2 + 2p + 5 = (p +) 2 + 4, luego seleccione el término p+ en el numerador: 4p+2 = 4(p+)+6 y expandir la fracción a la suma de dos fracciones: 5 4p + 2 p 2 + 2p + 5 = 4 5 p + (p +) (p +) Respuesta: y(x) = e x cos 2x e x sen 2x.

16 6 La solución general de la Ec. (3) también se puede construir por el método operacional. Para ello, los valores específicos y, y,..., y(n) de las condiciones iniciales deben ser reemplazados por constantes arbitrarias C, C 2,..., C n. Bibliografía. Alexandrova N. V. Historia de términos matemáticos, conceptos, designaciones: Libro de referencia del diccionario. M.: Editorial LKI, p. 2. Vasilyeva A. B., Medvedev G. N., Tikhonov N. A., Urazgildina T. A. Ecuaciones diferenciales e integrales, cálculo de variaciones en ejemplos y problemas. M.: FIZ-MATLIT, pág. 3. Sidorov Yu. V. Conferencias sobre la teoría de funciones de una variable compleja / Yu. V. Sidorov, M. V. Fedoryuk, M. I. Shabunin M.: Nauka, 989.

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Fórmula de expansión Heaviside

Sea la imagen de la función una función racional fraccionaria.

Teorema. Sean, donde y funciones diferenciables. Introduzcamos los dos polos de la función, es decir raíces (ceros) de su denominador. Entonces, si obtenemos la fórmula de Heaviside:

Realizaremos la demostración para el caso cuando y sean polinomios de grados t y PAG en consecuencia, mientras t PAG. Entonces es una fracción racional propia. Representémoslo como una suma de fracciones simples:

A partir de aquí encontramos los coeficientes de la identidad (17.2), reescribiéndolos en la forma

Multiplicamos ambos lados de la última igualdad por y pasamos al límite en. Teniendo en cuenta que y, obtenemos

de donde se sigue (17.1). El teorema ha sido probado.

Observación 1. Si los coeficientes de los polinomios y son reales, entonces las raíces complejas del polinomio son conjugadas por pares. En consecuencia, en la fórmula (17.1), las cantidades complejas conjugadas serán los términos correspondientes a las raíces complejas conjugadas del polinomio, y la fórmula de Heaviside tomará la forma

donde la primera suma se extiende a todas las raíces reales del polinomio, la segunda a todas sus raíces complejas con partes imaginarias positivas.

Observación 2. Cada miembro de la fórmula (17.1) es una oscilación escrita en forma compleja, donde. Por lo tanto, las raíces reales () corresponden a oscilaciones aperiódicas, raíces complejas con partes reales negativas - oscilaciones amortiguadas, raíces puramente imaginarias - oscilaciones armónicas no amortiguadas.

Si el denominador no tiene raíces con partes reales positivas, entonces para valores suficientemente grandes obtenemos un estado estacionario:

Raíces puramente imaginarias de un polinomio con partes imaginarias positivas.

Las oscilaciones correspondientes a raíces con partes reales negativas decaen exponencialmente en y por lo tanto no entran en el estado estacionario.

Ejemplo 1 Buscar imagen original

Decisión. Tenemos. Escribimos las raíces del polinomio: .

Por fórmula (17.1)

Aquí, ya que los números son las raíces de la ecuación. Por lo tanto,

Ejemplo 2 Buscar imagen original

donde un 0; .

Decisión. Aquí, la función, además de la raíz obvia, tiene infinitas raíces, que son ceros de la función. Resolviendo la ecuación, llegamos a donde

Así, las raíces del denominador tienen la forma y, donde

Por la fórmula (17.3) encontramos el original

Método del operador para resolver ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales. Considere el problema de Cauchy para la ecuación diferencial lineal

(aquí) con condiciones iniciales

Pasando a imágenes en (18.1), debido a la linealidad de la transformada de Laplace, tenemos

Imágenes de derivadas, usando el Teorema 3 del § 16 y condiciones iniciales (18.2), escribimos en la forma

Sustituyendo (18.4) en (18.3), después de transformaciones simples, obtenemos la ecuación del operador

donde (polinomio característico); .

De la ecuación (18.5) encontramos la solución del operador

La solución del problema de Cauchy (18.1), (18.2) es la solución del operador original (18.6):

Para el problema de Cauchy, en la notación aceptada, podemos escribir

La ecuación del operador tiene la forma

Descompongamos la solución del operador en fracciones simples:

Usando las fórmulas obtenidas en el § 15, obtenemos los originales:

Así, la solución del problema de Cauchy tendrá la forma

Ejemplo 1 Resolver el problema de Cauchy para una ecuación diferencial con condiciones iniciales, donde.

Decisión.

Su solución parece

Usando el Teorema 2 del § 16, encontramos sucesivamente:

Ejemplo 2 Resuelva el problema de Cauchy para una ecuación diferencial con condiciones iniciales cero, donde es una función de impulso de paso.

Decisión. Escribamos la ecuación del operador

y su solucion

El teorema 2 del § 16 implica

de acuerdo con el teorema del retraso (§ 15)

Por fin,

Ejemplo 3 a un punto de masa t unido al resorte por rigidez con y situado en un plano horizontal liso, actúa una fuerza que cambia periódicamente. En el momento del tiempo, el punto fue sometido a un impacto portador de impulso. Despreciando la resistencia, encuentre la ley de movimiento de un punto si en el momento inicial de tiempo estaba en reposo en el origen.

Decisión. Escribimos la ecuación de movimiento en la forma

donde es la fuerza elástica; es la función de Dirac. Resolvamos la ecuación del operador

Si (caso de resonancia), entonces

Según el teorema del retraso

Por fin,

Integral (fórmula) de Duhamel. Considere el problema de Cauchy para la ecuación (18.1) en condiciones iniciales. La solución del operador en este caso tiene la forma

Sea la función de peso la original para. entonces por el Teorema 1 del § 16 obtenemos

La relación (18.7) se llama integral de Duhamel (fórmula).

Comentario. En condiciones iniciales distintas de cero, la fórmula de Duhamel no es directamente aplicable. En este caso, primero es necesario transformar el problema original en un problema con condiciones iniciales homogéneas (cero). Para hacer esto, introducimos una nueva función, configurando

donde son los valores iniciales de la solución deseada.

Como es fácil de ver, y por lo tanto, .

Por lo tanto, la función es la solución de la ecuación (18.1) con el lado derecho obtenido al sustituir (18.8) en (18.1), con datos iniciales cero.

Usando (18.7), encontramos y.

Ejemplo 4 Utilice la integral de Duhamel para encontrar una solución al problema de Cauchy

con condiciones iniciales.

Decisión. Los datos iniciales son distintos de cero. Suponemos, de acuerdo con (18.8), . Entonces, y para la definición, obtenemos una ecuación con condiciones iniciales homogéneas.

Para el problema en consideración, el polinomio característico, la función de peso. Según la fórmula de Duhamel

Por fin,

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. El problema de Cauchy para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales en notación matricial tiene la forma

donde es el vector de las funciones deseadas; - vector de partes derechas; - matriz de coeficientes; - vector de datos iniciales.

El cálculo operativo se ha convertido ahora en uno de los capítulos más importantes del análisis matemático práctico. El método operacional se usa directamente para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas de tales ecuaciones; también se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales parciales.

Los fundadores del cálculo simbólico (operacional) son los científicos rusos M. E. Vashchenko-Zakharchenko y A. V. Letnikov.

El cálculo operativo atrajo la atención después de que el ingeniero eléctrico inglés Heaviside, utilizando el cálculo simbólico, obtuviera una serie de resultados importantes. Pero la desconfianza hacia el cálculo simbólico persistió hasta que Georgi, Bromwich, Carson, A. M. Efros, A. I. Lurie, V. A. Ditkin y otros establecieron la conexión entre el cálculo operativo y las transformaciones integrales.

La idea de resolver una ecuación diferencial por el método operacional es que a partir de la ecuación diferencial con respecto a la función deseada-original F ( t ) ir a la ecuación para otra función F ( pag ), llamado una imagen F ( t ) . La ecuación resultante (operacional) generalmente ya es algebraica (lo que significa que es más simple que la original). Resolviéndolo con respecto a la imagen. F ( pag ) y luego procediendo al original correspondiente, encuentran la solución deseada de esta ecuación diferencial.

El método operativo para resolver ecuaciones diferenciales se puede comparar con el cálculo de varias expresiones usando logaritmos, cuando, por ejemplo, al multiplicar, los cálculos no se realizan en los números en sí, sino en sus logaritmos, lo que conduce al reemplazo de la multiplicación con un operación más simple - adición.

Al igual que con el logaritmo, al usar el método operativo, necesita:

1) una tabla de originales y sus correspondientes imágenes;

2) conocimiento de las reglas para realizar operaciones en la imagen, correspondientes a las acciones realizadas en el original.

§uno. Originales e imágenes de funciones según Laplace

Definición 1.Seremos la función real del argumento real F (t) llamar original, si cumple tres requisitos:

1) F (t) 0 , en t 0

2) F ( t ) no aumenta más rápido que alguna función exponencial

, en t0 , donde METRO 0, s00 - algunas constantes reales, s 0 llamado indicador de crecimiento de la función f(t) .

3) Sobre cualquier segmento finito  un , bsemieje positivo Desde función F (t) satisface las condiciones de Dirichlet, es decir,

un limitado,

b) es continua o tiene solo un número finito de puntos de discontinuidad de primera clase,

c) tiene un número finito de extremos.

Las funciones que satisfacen estos tres requisitos se denominan en cálculo operativo interpretado por Laplace o originales .

El original más simple es la función de identidad de Heaviside

Si la función

satisface la condición 2 y no satisface la condición 1, entonces el producto también cumplirá la condición 1, es decir sera original Para simplificar la notación, por regla general utilizaremos el multiplicador H (t) se omitirá, asumiendo que todas las funciones consideradas son iguales a cero para valores negativos t .

Integral de Laplace para el original F (t) se llama integral impropia de la forma