Raspon prihvatljivih vrijednosti (APV): teorija, primjeri, rješenja. Kako pronaći domenu funkcije? Primjeri rješenja

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije u cilju poboljšanja usluga koje pružamo i pružanja preporuka u vezi sa našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi, u skladu sa zakonom, sudski postupak, V suđenje, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe javnog zdravlja. važnim slučajevima.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Prvo, naučimo kako pronaći domenu definicije zbira funkcija. Jasno je da takva funkcija ima smisla za sve takve vrijednosti varijable za koje sve funkcije koje čine zbir imaju smisla. Stoga, nema sumnje u valjanost sljedeće izjave:

Ako je funkcija f zbir n funkcija f 1, f 2, …, f n, to jest, funkcija f je data formulom y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ), tada je domen definicije funkcije f presjek domena definicije funkcija f 1, f 2, ..., f n. Zapišimo ovo kao .

Hajde da se dogovorimo da nastavimo da koristimo unose slične prethodnom, pod kojim mislimo na napisano unutar vitičaste zagrade, ili istovremeno ispunjavanje bilo kojih uslova. Ovo je zgodno i sasvim prirodno rezonira sa značenjem sistema.

Primjer.

Funkcija y=x 7 +x+5+tgx je data i potrebno je pronaći njenu domenu definicije.

Rješenje.

Funkcija f je predstavljena zbirom četiri funkcije: f 1 - funkcija stepena sa eksponentom 7, f 2 - funkcija stepena sa eksponentom 1, f 3 - konstantna funkcija i f 4 - funkcija tangente.

Gledajući tabelu oblasti za definisanje glavnog elementarne funkcije, nalazimo da je D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) i domen definicija tangente je skup svih realnih brojeva osim brojeva .

Područje definicije funkcije f je presjek domena definicije funkcija f 1, f 2, f 3 i f 4. Sasvim je očigledno da je ovo skup svih realnih brojeva, sa izuzetkom brojeva .

odgovor:

skup svih realnih brojeva osim .

Idemo dalje na pronalaženje domenu definicije proizvoda funkcija. U ovom slučaju vrijedi slično pravilo:

Ako je funkcija f proizvod n funkcija f 1, f 2, ..., f n, to jest, funkcija f je data formulom y=f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), tada je domen definicije funkcije f presjek domena definicije funkcija f 1, f 2, ..., f n. Dakle, .

To je razumljivo, u naznačenom području su definirane sve funkcije proizvoda, a time i sama funkcija f.

Primjer.

Y=3·arctgx·lnx .

Rješenje.

Struktura desne strane formule koja definira funkciju može se smatrati f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x), gdje je f 1 konstantna funkcija, f 2 je arktangentna funkcija i f 3 je logaritamska funkcija sa bazom e.

Znamo da je D(f 1)=(−∞, +∞), D(f 2)=(−∞, +∞) i D(f 3)=(0, +∞) . Onda .

odgovor:

Područje definicije funkcije y=3·arctgx·lnx je skup svih realnih pozitivnih brojeva.

Hajde da se posebno fokusiramo na pronalaženje domena definicije funkcije date formulom y=C·f(x), gde je C neki realni broj. Lako je pokazati da se domen definicije ove funkcije i domen definicije funkcije f poklapaju. Zaista, funkcija y=C·f(x) je proizvod konstantne funkcije i funkcije f. Domen konstantne funkcije je skup svih realnih brojeva, a domen funkcije f je D(f) . Tada je domen definicije funkcije y=C f(x). , što je trebalo pokazati.

Dakle, domeni definicije funkcija y=f(x) i y=C·f(x), gdje je C neki realni broj, se poklapaju. Na primjer, domena korijena je , postaje jasno da je D(f) skup svih x iz domene funkcije f 2 za koje je f 2 (x) uključeno u domenu funkcije f 1 .

dakle, domenu definicije kompleksne funkcije y=f 1 (f 2 (x)) je presjek dva skupa: skup svih takvih x za koje je x∈D(f 2) i skup svih takvih x za koje je f 2 (x)∈D(f 1) . Odnosno, u notaciji koju smo usvojili (ovo je u suštini sistem nejednakosti).

Pogledajmo neke primjere rješenja. Nećemo detaljno opisivati ​​proces, jer je to izvan okvira ovog članka.

Primjer.

Naći domenu definicije funkcije y=lnx 2 .

Rješenje.

Originalna funkcija se može predstaviti kao y=f 1 (f 2 (x)), gdje je f 1 logaritam sa bazom e, a f 2 je funkcija stepena sa eksponentom 2.

Okrećući se poznata područja definicije osnovnih elementarnih funkcija, imamo D(f 1)=(0, +∞) i D(f 2)=(−∞, +∞) .

Onda

Tako smo pronašli domen definicije funkcije koja nam je potrebna, to je skup svih realnih brojeva osim nule.

odgovor:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Primjer.

Koja je domena funkcije ?

Rješenje.

Ova funkcija je kompleksna, može se smatrati kao y=f 1 (f 2 (x)), gdje je f 1 funkcija stepena sa eksponentom, a f 2 je arcsinusna funkcija i trebamo pronaći njenu domenu definicije.

Hajde da vidimo šta znamo: D(f 1)=(0, +∞) i D(f 2)=[−1, 1] . Ostaje pronaći presjek skupova vrijednosti x tako da su x∈D(f 2) i f 2 (x)∈D(f 1) :

Za arcsinx>0, zapamtite svojstva arcsinus funkcije. Arksinus raste kroz čitav domen definicije [−1, 1] i ide na nulu pri x=0, dakle, arcsinx>0 za bilo koje x iz intervala (0, 1] .

Vratimo se sistemu:

Dakle, traženi domen definicije funkcije je poluinterval (0, 1).

odgovor:

(0, 1] .

Pređimo sada na kompleksne funkcije opšteg oblika y=f 1 (f 2 (...f n (x)))). Područje definicije funkcije f u ovom slučaju nalazi se kao .

Primjer.

Pronađite domenu funkcije .

Rješenje.

Data kompleksna funkcija može se napisati kao y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), gdje je f 1 – sin, f 2 – funkcija korijena četvrtog stepena, f 3 – log.

Znamo da je D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=- ∞; + ∞[ .

Primjer 1. Pronađite domenu funkcije y = 2 .

Rješenje. Domen definicije funkcije nije naznačen, što znači da se na osnovu gornje definicije misli na prirodni domen definicije. Izraz f(x) = 2 definirano za sve realne vrijednosti x, dakle, ovu funkciju definisano na cijelom setu R realni brojevi.

Stoga je na gornjem crtežu brojevna linija zasjenjena sve od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti.

Područje definicije korijena n th stepen

U slučaju kada je funkcija data formulom i n- prirodni broj:

Primjer 2. Pronađite domenu funkcije .

Rješenje. Kao što slijedi iz definicije, korijen parnog stepena ima smisla ako je radikalni izraz nenegativan, odnosno ako je - 1 ≤ x≤ 1. Stoga je domen definicije ove funkcije [- 1; 1] .

Osjenčano područje brojevne linije na gornjem crtežu je domen definicije ove funkcije.

Domen funkcije snage

Domen funkcije stepena s cjelobrojnim eksponentom

Ako a- pozitivan, onda je domen definicije funkcije skup svih realnih brojeva, odnosno ]- ∞; + ∞[ ;

Ako a- negativan, tada je domen definicije funkcije skup ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , odnosno cijela brojevna prava osim nule.

Na odgovarajućem crtežu iznad, cijela brojevna prava je osjenčana, a tačka koja odgovara nuli je izbušena (nije uključena u domenu definicije funkcije).

Primjer 3. Pronađite domenu funkcije .

Rješenje. Prvi član je cjelobrojni stepen x jednak 3, a stepen x u drugom članu može se predstaviti kao jedan - također cijeli broj. Prema tome, domen definicije ove funkcije je cijela brojevna prava, odnosno ]- ∞; + ∞[ .

Domen funkcije stepena s razlomkom eksponenta

U slučaju kada je funkcija data formulom:

ako je pozitivan, tada je domen definicije funkcije skup 0; + ∞[ .

Primjer 4. Pronađite domenu funkcije .

Rješenje. Oba izraza u funkcijskom izrazu su funkcije snage sa pozitivnim razlomanim eksponentima. Prema tome, domen definicije ove funkcije je skup - ∞; + ∞[ .

Domen eksponencijalnih i logaritamskih funkcija

Domen eksponencijalne funkcije

U slučaju kada je funkcija data formulom, domen definicije funkcije je cijela brojevna prava, odnosno ] - ∞; + ∞[ .

Domen logaritamske funkcije

Logaritamska funkcija je definisana pod uslovom da je njen argument pozitivan, odnosno da je njena domena definicije skup ]0; + ∞[ .

Pronađite sami domenu funkcije, a zatim pogledajte rješenje

Područje trigonometrijskih funkcija

Funkcija domena y= cos( x) - takođe mnogo R realni brojevi.

Funkcija domena y= tg( x) - gomila R realne brojeve osim brojeva .

Funkcija domena y= ctg( x) - gomila R realni brojevi, osim brojeva.

Primjer 8. Pronađite domenu funkcije .

Rješenje. Eksterna funkcija je decimalni logaritam i njena domena definicije podliježe uvjetima domene definicije logaritamska funkcija uopšte. Odnosno, njen argument mora biti pozitivan. Argument ovdje je sinus od "x". Okrećući zamišljeni kompas oko kruga, vidimo da je uslov greh x> 0 se krši kada je “x” jednako nuli, “pi”, dva, pomnoženo sa “pi” i općenito jednako proizvodu “pi” i bilo kojeg parnog ili neparnog cijelog broja.

Dakle, domen definicije ove funkcije je dat izrazom

,

Gdje k- cijeli broj.

Područje definicije inverznih trigonometrijskih funkcija

Funkcija domena y= arcsin( x) - set [-1; 1] .

Funkcija domena y= arccos( x) - također skup [-1; 1] .

Funkcija domena y= arktan( x) - gomila R realni brojevi.

Funkcija domena y= arcctg( x) - takođe mnogo R realni brojevi.

Primjer 9. Pronađite domenu funkcije .

Rješenje. Hajde da riješimo nejednakost:

Tako dobijamo domen definicije ove funkcije - segment [- 4; 4] .

Primjer 10. Pronađite domenu funkcije .

Rješenje. Riješimo dvije nejednačine:

Rješenje prve nejednakosti:

Rješenje druge nejednakosti:

Tako dobijamo domen definicije ove funkcije - segment.

Obim razlomka

Ako je funkcija data frakcijskim izrazom u kojem je varijabla u nazivniku razlomka, tada je domen definicije funkcije skup R realni brojevi, osim ovih x, pri čemu imenilac razlomka postaje nula.

Primjer 11. Pronađite domenu funkcije .

Rješenje. Rješavanjem jednakosti nazivnika razlomka na nulu, nalazimo područje definicije ove funkcije - skup ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .