Koji je glavni period funkcije y sinx. Periodičnost funkcija y = sin x, y = cos x - Hipermarket znanja

Svrha: uopštavanje i sistematizacija znanja učenika na temu „Periodnost funkcija“; formirati vještine primjene svojstava periodične funkcije, pronalaženja najmanjeg pozitivnog perioda funkcije, crtanja periodičnih funkcija; promovirati interesovanje za proučavanje matematike; negovati zapažanje, tačnost.

Oprema: kompjuter, multimedijalni projektor, kartice sa zadacima, slajdovi, satovi, ornamenti, elementi narodnog zanata

“Matematika je ono što ljudi koriste da kontrolišu prirodu i sebe”
A.N. Kolmogorov

Tokom nastave

I. Organizaciona faza.

Provjera spremnosti učenika za nastavu. Prezentacija teme i ciljeva časa.

II. Provjera domaćeg.

Domaće zadatke najčešće provjeravamo prema uzorcima teški trenuci raspravljati.

III. Generalizacija i sistematizacija znanja.

1. Oralni frontalni rad.

Teorijska pitanja.

1) Formirajte definiciju perioda funkcije
2) Koji je najmanji pozitivni period funkcija y=sin(x), y=cos(x)
3). Koji je najmanji pozitivni period funkcija y=tg(x), y=ctg(x)
4) Koristite krug da dokažete ispravnost odnosa:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Kako nacrtati periodičnu funkciju?

oralne vježbe.

1) Dokažite sljedeće relacije

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Dokazati da je ugao od 540º jedan od perioda funkcije y= cos(2x)

3. Dokazati da je ugao od 360º jedan od perioda funkcije y=tg(x)

4. Transformirajte ove izraze tako da uglovi uključeni u njih ne prelaze 90º u apsolutnoj vrijednosti.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Gdje ste se susreli sa riječima PERIOD, PERIODIČNOST?

Odgovori učenika: Period u muzici je konstrukcija u kojoj se iznosi manje ili više cjelovita muzička misao. Geološki period- deo jedne ere i podeljen je na epohe sa periodom od 35 do 90 miliona godina.

Poluživot radioaktivne supstance. Periodični razlomak. Periodične publikacije su štampane publikacije koje se pojavljuju u strogo određenim datumima. Periodični sistem Mendeljejev.

6. Slike prikazuju dijelove grafova periodičnih funkcija. Definirajte period funkcije. Odredite period funkcije.

Odgovori: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Gdje ste se u životu susreli sa konstrukcijom ponavljajućih elemenata?

Učenici odgovaraju: Elementi ornamenta, narodna umjetnost.

IV. Kolektivno rješavanje problema.

(Rješavanje problema na slajdovima.)

Razmotrimo jedan od načina proučavanja funkcije za periodičnost.

Ova metoda zaobilazi poteškoće povezane s dokazivanjem da je jedan ili drugi period najmanji, a također nema potrebe doticati pitanja o aritmetičkim operacijama nad periodičnim funkcijama i o periodičnosti. složena funkcija. Obrazloženje se zasniva samo na definiciji periodične funkcije i na sljedećoj činjenici: ako je T period funkcije, onda je nT(n? 0) njen period.

Zadatak 1. Pronađite najmanji pozitivni period funkcije f(x)=1+3(x+q>5)

Rješenje: Pretpostavimo da je T-period ove funkcije. Tada je f(x+T)=f(x) za sve x ∈ D(f), tj.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Neka dobijemo x=-0,25

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Dobili smo da su svi periodi razmatrane funkcije (ako postoje) među cijelim brojevima. Odaberite među ovim brojevima najmanji pozitivan broj. Ovo je 1 . Hajde da proverimo da li je to zapravo period 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Kako je (T+1)=(T) za bilo koji T, onda je f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), tj. 1 - tačka f. Kako je 1 najmanji od svih pozitivnih cijelih brojeva, onda je T=1.

Zadatak 2. Pokazati da je funkcija f(x)=cos 2 (x) periodična i pronaći njen glavni period.

Zadatak 3. Pronađite glavni period funkcije

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Pretpostavimo T-period funkcije, zatim za bilo koju X odnos

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Ako je x=0 onda

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Ako je x=-T, onda

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)

Zbrajanjem dobijamo:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

Odaberimo od svih brojeva "sumnjivih" za period najmanji pozitivan i provjerimo da li je to period za f. Ovaj broj

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Dakle, glavni je period funkcije f.

Zadatak 4. Provjerite je li funkcija f(x)=sin(x) periodična

Neka je T period funkcije f. Zatim za bilo koji x

sin|x+T|=sin|x|

Ako je x=0, onda sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Pretpostavimo. Da je za neko n broj π n tačka

razmatrana funkcija π n>0. Tada sin|π n+x|=sin|x|

Ovo implicira da n mora biti i paran i neparan u isto vrijeme, što je nemoguće. Dakle datu funkciju nije periodično.

Zadatak 5. Provjerite je li funkcija periodična

f(x)=

Neka je T onda period f

, dakle sinT=0, T=π n, n € Z. Pretpostavimo da je za neko n broj π n zaista period date funkcije. Tada će i broj 2π n biti tačka

Pošto su brojnici jednaki, jednaki su i imenioci, dakle

Dakle, funkcija f nije periodična.

Grupni rad.

Zadaci za grupu 1.

Zadaci za grupu 2.

Provjerite je li funkcija f periodična i pronađite njen glavni period (ako postoji).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Zadaci za grupu 3.

Na kraju rada grupe predstavljaju svoja rješenja.

VI. Sumiranje lekcije.

Refleksija.

Nastavnik daje učenicima kartice sa crtežima i nudi da prefarbaju deo prvog crteža u skladu sa stepenom u kojem su, kako im se čini, savladali metode proučavanja funkcije za periodičnost, a u delu drugog crteža , u skladu sa njihovim doprinosom u radu na času.

VII. Zadaća

jedan). Provjerite je li funkcija f periodična i pronađite njen glavni period (ako postoji)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcija y=f(x) ima period T=2 i f(x)=x 2 +2x za x € [-2; 0]. Pronađite vrijednost izraza -2f(-3)-4f(3,5)

književnost/

1. Mordkovich A.G. Algebra i početak analize uz dubinsko proučavanje.
2. Matematika. Priprema za ispit. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra i početna analiza za 10-11 razred.

Centrirano u tački A.
α je ugao izražen u radijanima.

Definicija
Sinus je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravougaonog trougla, jednak omjeru dužina suprotne noge |BC| na dužinu hipotenuze |AC|.

kosinus (cos α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine susjednog kraka |AB| na dužinu hipotenuze |AC|.

Prihvaćene oznake

;
;
.

;
;
.

Grafikon funkcije sinusa, y = sin x

Grafikon kosinusne funkcije, y = cos x

Svojstva sinusa i kosinusa

Periodičnost

Funkcije y= sin x i y= cos x periodično sa tačkom 2 pi.

Paritet

Sinusna funkcija je neparna. Kosinusna funkcija je parna.

Domen definicije i vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje

Sinusne i kosinusne funkcije su kontinuirane u svojoj domeni definicije, odnosno za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tabeli (n - cijeli broj).

Osnovne formule

Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa

Sinusne i kosinusne formule za zbir i razliku

;
;

Formule za proizvod sinusa i kosinusa

Formule zbira i razlike

Izraz sinusa kroz kosinus

;
;
;
.

Izraz kosinusa kroz sinus

;
;
;
.

Izraz u terminima tangenta

; .

Za , imamo:
; .

u:
; .

Tablica sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa

Ova tabela prikazuje vrijednosti sinusa i kosinusa za neke vrijednosti argumenta.

Izrazi kroz kompleksne varijable

;

Ojlerova formula

Izrazi u terminima hiperboličkih funkcija

;
;

Derivati

; . Izvođenje formula > > >

Derivati ​​n-tog reda:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije na sinus i kosinus su arksinus i arkkosinus, respektivno.

Arcsin, arcsin

Arccosine, arccos

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.

Uputstvo

Da biste pronašli period trigonometrijske funkcije podignute na stepen, procijenite parnost stepena. Smanjiti standardni period za polovinu. Na primjer, ako vam je data funkcija y = 3 cos ^ 2x, tada će se standardni period 2P smanjiti za 2 puta, tako da će period biti jednak P. Imajte na umu da su funkcije tg, ctg periodične do bilo kojeg stepena P.

Ako vam je data jednadžba koja sadrži ili je kvocijent dvije trigonometrijske funkcije, prvo pronađite period za svaku od njih posebno. Zatim pronađite minimalni broj koji bi odgovarao cijelom broju oba . Na primjer, s obzirom na funkciju y=tgx*cos5x. Za tangentu, period je P, za kosinus 5x, period je 2P/5. Minimalni broj koji može da stane u oba ova perioda je 2P, tako da je potreban period 2P.

Ako vam je teško postupiti na predloženi način ili sumnjate u odgovor, pokušajte djelovati po definiciji. Uzmite T kao period funkcije, veći je od nule. Zamijenite izraz (x + T) u jednadžbu za x i riješite rezultirajuću jednakost kao da je T parametar ili broj. Kao rezultat, naći ćete vrijednost trigonometrijske funkcije i moći ćete odabrati minimalni period. Na primjer, kao rezultat pojednostavljenja, dobivate identitet sin (T / 2) = 0. Minimalna vrijednost T na kojem se izvodi, 2P, to će biti zadatak.

Izvori:

• period greha

Periodična funkcija je funkcija koja ponavlja svoje vrijednosti nakon nekog perioda različitog od nule. Period funkcije je broj čiji dodatak argumentu funkcije ne mijenja vrijednost funkcije.

Trebaće ti

• Znanje dalje elementarne matematike i početak analize.

Uputstvo

Povezani video zapisi

Bilješka

Sve trigonometrijske funkcije su periodični, a svi polinomi sa stepenom većim od 2 su aperiodični.

Koristan savjet

Period funkcije koja se sastoji od dva periodične funkcije, je najmanji zajednički višekratnik perioda ovih funkcija.

Trigonometrijske jednadžbe su jednadžbe koje sadrže funkcije nepoznatog argumenta (na primjer: 5sinx-3cosx =7). Da biste naučili kako ih riješiti - morate znati neke metode za to.

Uputstvo

Dekompozicija jednačine na faktore. Prvo prenosimo sve pojmove ulijevo i činimo faktore.

Važno je zapamtiti da parne i neparne funkcije imaju ravnu liniju s domenom funkcije. Ako je, na primjer, par ne ravnomjerna funkcija ne za x=5, onda ne postoji za x=-5, što se ne može reći za funkciju opšti pogled. Prilikom utvrđivanja parnih i neparnih, obratite pažnju na domenu funkcije.

Ispitivanje funkcije parnog i neparnog pariteta korelira sa pronalaženjem skupa vrijednosti funkcije. Da biste pronašli skup vrijednosti parne funkcije, dovoljno je razmotriti polovicu funkcije, desno ili lijevo od nule. Ako za x>0 parna funkcija y(x) ide od A do B, tada će imati iste vrijednosti za x<0.
Da biste pronašli skup vrijednosti koje uzima neparna funkcija, također je dovoljno razmotriti samo jednu funkciju. Ako za x>0 neparna funkcija y(x) uzima raspon vrijednosti od A do B, tada za x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"Trigonometrijskim" su se nekada počele nazivati ​​funkcije koje su određene ovisnošću oštrih uglova u pravokutnom trokutu o dužinama njegovih stranica. Ove funkcije uključuju, prije svega, sinus i kosinus, i drugo, sekans i kosekans, koji su inverzni ovim funkcijama, njihove tangentne i kotangensne derivate, kao i inverzne funkcije arksinus, arkkosinus, itd. ispravnije je govoriti ne o "rješenju" takvih funkcija, već o njihovom "izračunu", odnosno o pronalaženju numeričke vrijednosti.

Uputstvo

Ako je trigonometrijski argument nepoznat, tada se njegova vrijednost može izračunati indirektno na osnovu definicija ovih funkcija. Da biste to učinili, morate znati dužine stranica trokuta, trigonometriju za jedan od uglova koji želite izračunati. Na primjer, sinus oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer dužine kraka nasuprot ovom kutu i dužine hipotenuze. Iz ovoga slijedi da je za ugao dovoljno znati dužine ove dvije stranice. Analogno kaže da je sinus oštrog ugla odnos dužine kraka koji se nalazi uz ovaj ugao i dužine hipotenuze. Tangens oštrog ugla može se izračunati tako što se dužina suprotnog kraka podeli sa dužinom susednog, a zahteva da se dužina susednog kraka podeli sa dužinom suprotnog kraka. Da bi se izračunao sekans oštrog ugla, potrebno je pronaći omjer dužine hipotenuze i dužine kraka uz željeni kut, a kosekans je određen omjerom dužine hipotenuze i dužina suprotne noge.

Ako je argument trigonometrijske funkcije poznat, onda ne morate znati duljine stranica trokuta - možete koristiti tablice vrijednosti ili kalkulatore trigonometrijskih funkcija. Ovo je jedan od standardnih programa Windows operativnog sistema. Da biste ga pokrenuli, možete pritisnuti kombinaciju tastera Win + R, uneti komandu calc i kliknuti na dugme OK. U sučelju programa otvorite odjeljak "Prikaz" i stavku "Inženjering" ili "Naučno". Nakon toga možete unijeti argument trigonometrijske funkcije. Za izračunavanje funkcija sinus, kosinus, a nakon unosa vrijednosti, dovoljno je kliknuti na odgovarajuće dugme interfejsa (sin, cos, tg) i pronaći njihove inverze arksinusa, arkkosinusa, i prvo morate provjeriti Inv polje za potvrdu.

Postoje i alternativni načini. Jedan od njih je da odete na stranicu tražilice Nigma ili Google i unesete željenu funkciju i njen argument kao upit za pretraživanje (na primjer, sin 0,47). Ovi pretraživači imaju ugrađene kalkulatore, pa ćete nakon slanja takvog zahtjeva dobiti vrijednost trigonometrijske funkcije koju ste unijeli.

Povezani video zapisi

Trigonometrijske funkcije su najprije nastale kao alati za apstraktna matematička izračunavanja ovisnosti veličina oštrih uglova u pravokutnom trokutu od dužina njegovih stranica. Sada se vrlo široko koriste u naučnim i tehničkim oblastima ljudske aktivnosti. Za praktična izračunavanja trigonometrijskih funkcija iz datih argumenata možete koristiti različite alate - nekoliko najpristupačnijih od njih opisano je u nastavku.

Uputstvo

Koristite, na primjer, program kalkulatora instaliran prema zadanim postavkama sa operativnim sistemom. Otvara se odabirom stavke "Kalkulator" u mapi "Uslužni programi" iz pododjeljka "Standard", smještenog u odjeljak "Svi programi". Ovaj odjeljak se može otvoriti klikom na dugme "Start" u glavnom meniju operacione sale. Ako koristite verziju Windows 7, možete jednostavno upisati "Kalkulator" u okvir "Traži programe i datoteke" na glavnom meniju, a zatim kliknuti na odgovarajuću vezu u rezultatima pretrage.

Unesite ugao za koji želite da izračunate trigonometrijsku funkciju, a zatim kliknite na odgovarajuće dugme za to - sin, cos ili tan. Ako ste zainteresovani za inverzne trigonometrijske funkcije (arksinus, arkosinus ili ), tada prvo kliknite na dugme označeno sa Inv - ono obrće funkcije dodeljene kontrolnim dugmadima.

U starijim verzijama OS-a (na primjer, Windows XP), da biste pristupili trigonometrijskim funkcijama, otvorite odjeljak "Prikaz" u meniju kalkulatora i odaberite liniju "Inženjering". Osim toga, umjesto dugmeta Inv u interfejsu starijih verzija programa, nalazi se kvadratić sa istim natpisom.

Možete to učiniti bez kalkulatora ako imate pristup internetu. Na mreži postoji mnogo servisa koji nude različito organizirane kalkulatore trigonometrijskih funkcija. Jedan od najpovoljnijih je ugrađen u pretraživač Nigma. Odlaskom na njegovu glavnu stranicu, jednostavno unesite vrijednost koja vas zanima u polje upita za pretragu - na primjer, "arktangent 30". Nakon što kliknete na "Pronađi!" pretraživač će izračunati i prikazati rezultat izračuna - 0,482347907101025.

Povezani video zapisi

Trigonometrija je grana matematike za proučavanje, koja izražava različite zavisnosti stranica pravouglog trougla od veličina oštrih uglova u hipotenuzi. Takve funkcije se nazivaju trigonometrijske, a kako bi se pojednostavio rad s njima, izvedene su trigonometrijske funkcije. identiteta.

koncept identiteta in znači jednakost, koja je zadovoljena za bilo koje vrijednosti argumenata funkcija uključenih u njega. Trigonometrijski identiteta- to su jednakosti trigonometrijskih funkcija, dokazano i prihvaćeno da olakšavaju rad sa trigonometrijskim formulama.Trigonometrijska funkcija je elementarna funkcija zavisnosti jednog od krakova pravokutnog trokuta od veličine oštrog ugla na hipotenuzi . Postoji šest osnovnih trigonometrijskih funkcija koje se najčešće koriste: sin (sinus), cos (kosinus), tg (tangenta), ctg (kotangens), sec (sekans) i kosec (kosekans). Ove funkcije se nazivaju i direktne, postoje

Broj T takav da je za bilo koji x F(x + T) = F(x). Ovaj broj T naziva se period funkcije.

Može postojati nekoliko perioda. Na primjer, funkcija F = const uzima istu vrijednost za bilo koju vrijednost argumenta, pa se stoga svaki broj može smatrati njezinim periodom.

Obično zanima najmanji period funkcije koji nije nula. Radi kratkoće, jednostavno se zove tačka.

Klasičan primjer periodičnih funkcija je trigonometrijski: sinus, kosinus i tangent. Njihov period je isti i jednak 2π, odnosno sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) i tako dalje. Međutim, naravno, trigonometrijske funkcije nisu jedine periodične.

Što se tiče jednostavnih, osnovnih funkcija, jedini način da se utvrdi njihova periodičnost ili neperiodičnost je putem proračuna. Ali za složene funkcije već postoje neka jednostavna pravila.

Ako je F(x) s periodom T, i za njega je definiran izvod, onda je i ovaj izvod f(x) = F′(x) periodična funkcija s periodom T. Uostalom, vrijednost izvoda na tačka x jednaka je tangenti tangente grafa njenog antiderivata u ovoj tački na x-osu, a pošto se periodično ponavlja, mora se ponavljati. Na primjer, derivacija funkcije sin(x) je cos(x), i ona je periodična. Uzimajući derivaciju cos(x) dobijate -sin(x). Periodičnost ostaje nepromijenjena.

Međutim, obrnuto nije uvijek tačno. Dakle, funkcija f(x) = const je periodična, ali njen antiderivat F(x) = const*x + C nije.

Ako je F(x) periodična funkcija s periodom T, onda je G(x) = a*F(kx + b), gdje su a, b i k konstante i k nije jednako nuli - također periodična funkcija, a njegov period je jednak T/k. Na primjer sin(2x) je periodična funkcija i njen period je π. Vizualno, ovo se može predstaviti na sljedeći način: množenjem x nekim brojem, vi nekako kompresujete funkcije horizontalno točno onoliko puta

Ako su F1(x) i F2(x) periodične funkcije, a njihovi periodi su jednaki T1 i T2, respektivno, onda i zbir ovih funkcija može biti periodičan. Međutim, njegov period neće biti prost zbir perioda T1 i T2. Ako je rezultat dijeljenja T1/T2 racionalan broj, tada je zbir funkcija periodičan, a njegov period je jednak najmanjem zajedničkom višekratniku (LCM) perioda T1 i T2. Na primjer, ako je period prve funkcije 12, a period druge 15, tada će period njihove sume biti LCM (12, 15) = 60.

Vizualno, to se može predstaviti na sljedeći način: funkcije dolaze s različitim "širinama koraka", ali ako je omjer njihovih širina racionalan, tada će prije ili (tačnije, kroz LCM koraka) ponovo postati jednake, i njihov iznos će započeti novi period.

Međutim, ako je omjer perioda , tada ukupna funkcija uopće neće biti periodična. Na primjer, neka je F1(x) = x mod 2 (ostatak od x podijeljen sa 2) i F2(x) = sin(x). T1 će ovdje biti jednako 2, a T2 je jednako 2π. Omjer perioda je jednak π - iracionalan broj. Dakle, funkcija sin(x) + x mod 2 nije periodična.

Izvori:

• Function Theory

Mnoge matematičke funkcije imaju jednu osobinu koja olakšava njihovu konstrukciju - to je periodičnost, odnosno ponovljivost grafa na koordinatnoj mreži u pravilnim intervalima.

Uputstvo

Najpoznatije periodične funkcije matematike su sinusoida i kosinusni val. Ove funkcije imaju talasni i osnovni period jednak 2P. Također poseban slučaj periodične funkcije je f(x)=const. Bilo koji broj je pogodan za poziciju x, ova funkcija nema glavnu tačku, jer je prava linija.

Općenito, funkcija je periodična ako postoji cijeli broj N koji je nula i zadovoljava pravilo f(x)=f(x+N), čime se osigurava ponovljivost. Period funkcije je najmanji broj N, ali ne i nula. To jest, na primjer, funkcija sin x jednaka je funkciji sin (x + 2PN), gdje je N = ± 1, ± 2, itd.

Ponekad funkcija može imati množitelj (na primjer, sin 2x), koji će povećati ili smanjiti period funkcije. Da bi se pronašao period