Paano ibawas ang buong fraction na may iba't ibang denominador. Pagbabawas ng mga ordinaryong fraction: mga panuntunan, mga halimbawa, mga solusyon

Sasaklawin ng araling ito ang pagdaragdag at pagbabawas. algebraic fractions na may parehong denominador. Alam na natin kung paano magdagdag at magbawas ng mga karaniwang fraction na may parehong denominator. Lumalabas na ang mga algebraic fraction ay sumusunod sa parehong mga patakaran. Ang kakayahang gumawa ng mga fraction na may parehong denominator ay isa sa mga pundasyon sa pag-aaral ng mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga algebraic fraction. Sa partikular, ang pag-unawa sa paksang ito ay magpapadali sa pag-master ng isang mas kumplikadong paksa - pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador. Bilang bahagi ng aralin, pag-aaralan natin ang mga tuntunin sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may parehong denominator, at pag-aralan din. buong linya tipikal na mga halimbawa

Panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may parehong denominator

Sfor-mu-li-ru-em pr-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-and-che-dro-bey na may one-on-to-you - mi-know-on-te-la-mi (ito ay co-pa-yes-et na may ana-logic right-of-thumb para sa ordinary-but-ven-nyh-dr-bay): Iyon ay para sa karagdagan o you-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-bey na may one-to-you-mi-know-me-on-te-la-mi ay kailangan -ho-di-mo with -stand with-from-vet-stu-u-th al-geb-ra-i-che-sum ng bilang ng-li-te-lei, at ang sign-me-on-tel leave nang walang iz-me- hindi-ny.

Susuriin natin ang right-vi-lo na ito kapwa sa halimbawa ng ordinary-but-vein-shot-beats, at sa halimbawa ng al-geb-ra-and-che-dro-bey.

Mga halimbawa ng paglalapat ng panuntunan para sa mga ordinaryong fraction

Halimbawa 1. Magdagdag ng mga fraction:.

Solusyon

Idagdag natin ang numero-kung-sila-mag-draw-beat man, at iwanan natin ang sign-me-on-tel na pareho. Pagkatapos nito, hinahati namin ang numer-li-tel at ang sign-me-on-tel sa mga simpleng multiplier at so-kra-tim. Kunin natin: .

Tandaan: karaniwang error, magsisimula ako ng isang bagay kapag nagresolba sa isang magandang uri ng halimbawa, para sa -key-cha-et-sya sa sumusunod na-du-u-sch-so-so-be-so-she-tion : . Isa itong malaking pagkakamali, dahil ang sign-on-tel ay nananatiling pareho sa orihinal na mga fraction.

Halimbawa 2. Magdagdag ng mga fraction:.

Solusyon

This za-da-cha is nothing from-whether-cha-et-sya from the previous one:.

Mga halimbawa ng paglalapat ng panuntunan para sa mga algebraic fraction

Mula sa usual-but-vein-nyh dro-bay per-rey-dem hanggang sa al-geb-ra-i-che-skim.

Halimbawa 3. Magdagdag ng mga fraction:.

Solusyon: gaya ng nasabi na sa itaas, ang pagdaragdag ng al-geb-ra-and-che-dro-bey ay wala sa-is-cha-is-sya mula sa zhe-niya kadalasan-ngunit-vein-nyh dro-bay. Samakatuwid, ang paraan ng solusyon ay pareho:.

Halimbawa 4. You-honor fractions:.

Solusyon

You-chi-ta-nie al-geb-ra-and-che-dro-bey from-whether-cha-et-sya from the complication only by the fact that in the number of pi-sy-va-et-sya pagkakaiba sa bilang ng-li-te-lei is-run-nyh-dro-bay. kaya lang .

Halimbawa 5. You-honor fractions:.

Solusyon: .

Halimbawa 6. Pasimplehin:.

Solusyon: .

Mga halimbawa ng paglalapat ng panuntunang sinusundan ng pagbabawas

Sa isang fraction, ang isang tao-paraiso ay nasa isang re-zul-ta-mga karagdagan o you-chi-ta-nia, ito ay posible na co-beautifully niya. Bilang karagdagan, hindi mo dapat kalimutan ang tungkol sa ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey.

Halimbawa 7. Pasimplehin:.

Solusyon: .

Kung saan . Sa pangkalahatan, kung ang ODZ ng out-of-hot-drow-bay owls-pa-yes-et na may ODZ ng total-go-howl, hindi mo ito maipahiwatig (pagkatapos ng lahat, isang fraction, sa isang lu-chen-naya sa from-ve-those, hindi rin iiral with co-from-vet-stu-u-s-knowing-che-no-yah-re-men-nyh). Ngunit kung ang ODZ ang pinagmulan ng tumatakbong dro-bay at from-ve-na hindi co-pa-yes-et, kung gayon ang ODZ ay nagpapahiwatig ng need-ho-di-mo.

Halimbawa 8. Pasimplehin:.

Solusyon: . Kasabay nito, y (ODZ ng papalabas na draw-bay ay hindi tumutugma sa ODZ ng re-zul-ta-ta).

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction na may iba't ibang denominator

Upang mag-imbak at you-chi-tat al-geb-ra-and-che-fractions na may iba't ibang-we-know-me-on-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo -gyu mula sa karaniwan- but-ven-ny-mi dro-bya-mi at muling-hindi-sem ito sa al-geb-ra-and-che-fractions.

Ras-tingnan ang pinakasimpleng halimbawa para sa ordinaryong venous shots.

Halimbawa 1. Magdagdag ng mga fraction:.

Solusyon:

Alalahanin natin ang right-vi-lo-slo-drow-bay. Para sa na-cha-la fractions, kailangang magdagdag-ve-sti sa karaniwang sign-me-to-te-lu. Sa papel ng isang pangkalahatang sign-me-on-te-la para sa ordinary-but-vein-draw-beats, you-stu-pa-et hindi bababa sa karaniwang maramihang(NOK) ang pinagmulan ng signs-me-on-the-lei.

Kahulugan

Ang pinakamaliit na-leeg-to-tu-ral-number, someone-swarm ay de-lit sa parehong oras sa mga numero at.

Upang mahanap ang NOC, kailangan mong i-de-lo-live ang know-me-on-the-kung sa mga simpleng multiplier, at pagkatapos ay piliin na kunin ang lahat ng pro- marami, marami, ang ilan sa mga ito ay kasama sa pagkakaiba sa pagitan ng dalawa signs-me-on-the-lei.

; . Kung gayon ang LCM ng mga numero ay dapat magsama ng dalawang dalawa at dalawang tatlo:.

Matapos mahanap ang pangkalahatang sign-on-te-la, kinakailangan para sa bawat isa sa mga dro-bay na makahanap ng karagdagang multi-zhi-tel (fak-ti-che-ski, sa pag-de-bubuhos ng karaniwang sign-me- on-tel sa sign-me-on-tel co-from-rep-to-th-th fraction).

Pagkatapos, ang bawat fraction ay pinarami ng semi-chen-ny hanggang-half-no-tel-ny multiplier. Mga fraction na may parehong-sa-you-know-me-on-te-la-mi, mga bodega at you-chi-tat na isang tao na ating kinaroroonan - napag-aralan sa mga nakaraang aralin.

By-lu-cha-eat: .

Sagot:.

Ras-look-rim ngayon ang fold ng al-geb-ra-and-che-dro-bey na may iba't ibang signs-me-on-te-la-mi. Sleep-cha-la, we-look at the fractions, know-me-on-the-kung ang ilan sa kanila ay-la-yut-sya number-la-mi.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator

Halimbawa 2. Magdagdag ng mga fraction:.

Solusyon:

Al-go-rhythm of re-she-niya ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen previous-du-sche-mu p-me-ru. Madaling kumuha ng common denominator sa mga ibinigay na fraction: at mga add-to-full multiplier para sa bawat isa sa kanila.

.

Sagot:.

Kaya, sfor-mu-li-ru-em al-go-rhythm of complication at you-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-beats na may iba't ibang-we-know-me-on-te-la-mi:

1. Hanapin ang pinakamaliit na karaniwang sign-me-on-tel draw-bay.

2. Maghanap ng mga karagdagang multiplier para sa bawat isa sa mga fraction ng draw-bay).

3. Gawin-multiply-live na mga numero-kung-ang-kung sa co-ot-vet-stu-u-s-hanggang-half-no-tel-nye-multiple-those.

4. Add-to-live o you-honor ang mga fraction, gamitin ang right-wi-la-mi ng fold at you-chi-ta-niya draw-bay na may one-to-you-know -me-on- te-la-mi.

Ras-look-rim na ngayon ay isang halimbawa sa dro-bya-mi, sa kilala-ako-sa-le-may-may-may-may-beech-ven-nye-sa-pareho mo - tion.

Tulad ng alam mo mula sa matematika, ang isang fractional na numero ay binubuo ng isang numerator at isang denominator. Ang numerator ay nasa itaas at ang denominator sa ibaba.

Ito ay medyo simple upang magsagawa ng mga operasyong matematika sa pagdaragdag o pagbabawas ng mga fractional na dami na may parehong denominator. Kailangan mo lamang na madagdagan o ibawas ang mga numero sa numerator (itaas), at ang parehong ibabang numero ay nananatiling hindi nagbabago.

Halimbawa, kunin natin ang fractional number na 7/9, dito:

• ang numerong "pito" sa itaas ay ang numerator;
• ang bilang na "siyam" sa ibaba ay ang denominator.

Halimbawa 1. Dagdag:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Halimbawa 2. Pagbabawas:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Pagbabawas ng mga simpleng fractional value na may ibang denominator

Upang magsagawa ng mathematical operation upang ibawas ang mga value na may ibang denominator, kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa isang common denominator. Kapag nagsasagawa ng gawaing ito, kinakailangan na sumunod sa panuntunan na ito karaniwang denominador dapat ang pinakamaliit sa lahat mga pagpipilian.

Halimbawa 3

Ibinigay ang dalawang simpleng dami na may magkaibang denominator (mas mababang mga numero): 7/8 at 2/9.

Ibawas ang pangalawa sa unang halaga.

Ang solusyon ay binubuo ng ilang mga hakbang:

1. Hanapin ang karaniwang mas mababang numero, i.e. na kung saan ay nahahati pareho ng mas mababang halaga ng unang bahagi at ang pangalawa. Ito ang magiging numerong 72, dahil ito ay isang multiple ng mga numerong "walo" at "siyam".

2. Ang ibabang digit ng bawat fraction ay tumaas:

• ang bilang na "walo" sa fraction 7/8 ay tumaas ng siyam na beses - 8*9=72;
• ang bilang na "siyam" sa bahaging 2/9 ay tumaas ng walong beses - 9*8=72.

3. Kung ang denominator (mas mababang numero) ay nagbago, dapat ding magbago ang numerator (itaas na numero). Ayon sa umiiral na tuntunin sa matematika, ang itaas na figure ay dapat na tumaas ng eksaktong kaparehong halaga ng mas mababa. Yan ay:

• ang numerator na "pito" sa unang bahagi (7/8) ay pinarami ng bilang na "siyam" - 7*9=63;
• ang numerator na "dalawa" sa pangalawang bahagi (2/9) ay pinarami ng bilang na "walo" - 2*8=16.

4. Bilang resulta ng mga aksyon, nakakuha kami ng dalawang bagong halaga, na, gayunpaman, ay magkapareho sa mga orihinal.

• una: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
• pangalawa: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.

5. Ngayon ay pinapayagang ibawas ang isang fractional number mula sa isa pa:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Sa pagsasagawa ng pagkilos na ito, bumalik tayo sa paksa ng pagbabawas ng mga fraction na may parehong mas mababang mga numero (denominators). At nangangahulugan ito na ang pagkilos ng pagbabawas ay isasagawa mula sa itaas, sa numerator, at ang mas mababang figure ay ililipat nang walang mga pagbabago.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Halimbawa 4

Gawin natin ang problema sa pamamagitan ng pagkuha ng ilang mga fraction para sa paglutas na may iba't ibang, ngunit maramihang mga numero sa ibaba.

Mga halagang ibinigay: 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.

Dapat silang alisin sa isa't isa sa pagkakasunud-sunod na ito.

1. Dinadala namin ang mga fraction sa paraan sa itaas sa isang karaniwang denominator, na magiging bilang na "24":

• 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
• 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
• 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - iniiwan namin ang huling halaga na ito na hindi nagbabago, dahil ang denominator ay kabuuang bilang"24".

2. Ibawas ang lahat ng value:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Dahil ang numerator at denominator ng resultang fraction ay nahahati sa isang numero, maaari silang bawasan sa pamamagitan ng paghahati sa bilang na "tatlo":

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Isinulat namin ang sagot tulad nito:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Halimbawa 5

Ibinigay ang tatlong fraction na may di-maraming denominador: 3/4; 2/7; 1/13.

Kailangan mong hanapin ang pagkakaiba.

1. Dinadala namin ang unang dalawang numero sa isang common denominator, ito ang magiging numerong "28":

• ¾ \u003d 3 * 7 / 4 * 7 \u003d 21/28;
• 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Ibawas ang unang dalawang fraction sa pagitan ng bawat isa:

¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.

3. Ibawas ang ikatlong ibinigay na fraction mula sa resultang halaga:

4. Dinadala namin ang mga numero sa isang common denominator. Kung hindi posible na mahanap ang parehong denominator ng higit sa ang madaling paraan, pagkatapos ay kailangan mo lamang na isagawa ang mga aksyon sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagpaparami ng lahat ng mga denominador sa bawat isa, hindi nakakalimutang taasan ang halaga ng numerator ng parehong figure. Sa halimbawang ito, ginagawa namin ito:

• 13/28 \u003d 13 * 13 / 28 * 13 \u003d 169/364, kung saan 13 ang mas mababang digit mula sa 5/13;
• 5/13 \u003d 5 * 28 / 13 * 28 \u003d 140/364, kung saan ang 28 ay ang mas mababang digit mula sa 13/28.

5. Ibawas ang mga resultang fraction:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Sagot: ¾-2/7-5/13 = 29/364.

Pinaghalong mga fractional na numero

Sa mga halimbawang tinalakay sa itaas, mga wastong praksiyon lamang ang ginamit.

Bilang halimbawa:

• Ang 8/9 ay isang wastong fraction;
• Mali ang 9/8.

Imposibleng gawing wasto ang isang hindi wastong bahagi, ngunit posible itong gawing wasto magkakahalo. Bakit ang nangungunang numero (numerator) ay hinati sa ilalim na numero (denominator) upang makakuha ng isang numero na may natitira. Ang integer na nagreresulta mula sa paghahati ay isinusulat sa ganitong paraan, ang natitira ay nakasulat sa numerator sa itaas, at ang denominator, na nasa ibaba, ay nananatiling pareho. Upang gawing mas malinaw, isaalang-alang tiyak na halimbawa:

Halimbawa 6

Kino-convert namin ang improper fraction 9/8 sa tamang isa.

Upang gawin ito, hinati namin ang bilang na "siyam" sa "walo", bilang isang resulta nakakakuha kami ng isang halo-halong fraction na may isang integer at isang natitira:

9: 8 = 1 at 1/8 (sa ibang paraan maaari itong isulat bilang 1 + 1/8), kung saan:

• ang numero 1 ay ang integer na nagreresulta mula sa dibisyon;
• isa pang numero 1 - ang natitira;
• ang numero 8 ay ang denominator, na nanatiling hindi nagbabago.

Ang integer ay tinatawag ding natural na numero.

Ang natitira at denominator ay bago, ngunit tama na ang bahagi.

Kapag isinusulat ang bilang 1, ito ay isinusulat bago ang tamang praksiyon na 1/8.

Pagbabawas ng mga pinaghalong numero na may iba't ibang denominador

Mula sa itaas, binibigyan namin ang kahulugan ng isang mixed fractional number: "Halong numero - ito ay isang halaga na katumbas ng kabuuan ng isang buong numero at isang wastong ordinaryong fraction. Sa kasong ito, ang buong bahagi ay tinatawag natural na numero, at ang bilang na nasa natitira ay nito praksyonal na bahagi».

Halimbawa 7

Ibinigay: dalawang pinaghalong fractional na dami, na binubuo ng isang buong bilang at isang wastong fraction:

• ang unang halaga ay 9 at 4/7, iyon ay, (9 + 4/7);
• ang pangalawang halaga ay 3 at 5/21, ibig sabihin. (3+5/21).

Kinakailangang hanapin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halagang ito.

1. Upang ibawas ang 3+5/21 sa 9+4/7, kailangan mo munang ibawas ang mga halaga ng integer sa isa't isa:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Ang resulta ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkahalong numero ay bubuo ng natural (integer) na numero 6 at isang wastong fraction 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Ang mga matematiko ng lahat ng bansa ay sumang-ayon na ang “+” sign kapag nagsusulat ng magkahalong dami ay maaaring tanggalin at tanging ang buong numero sa harap ng fraction na walang anumang sign ang maiiwan.

Isa sa mahahalagang agham, ang aplikasyon nito ay makikita sa mga disiplina tulad ng kimika, pisika at maging biology, ay matematika. Ang pag-aaral ng agham na ito ay nagpapahintulot sa iyo na bumuo ng ilang mga katangian ng pag-iisip, pagbutihin ang kakayahang mag-concentrate. Isa sa mga paksang nararapat na espesyal na pansin sa kursong "Matematika" ay ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga praksiyon. Maraming estudyante ang nahihirapang mag-aral. Marahil ay makakatulong ang aming artikulo upang mas maunawaan ang paksang ito.

Paano ibawas ang mga fraction na ang mga denominador ay pareho

Ang mga fraction ay ang parehong mga numero kung saan maaari kang magsagawa ng iba't ibang mga aksyon. Ang kanilang pagkakaiba mula sa mga integer ay nasa pagkakaroon ng isang denominator. Iyon ang dahilan kung bakit kapag nagsasagawa ng mga aksyon na may mga fraction, kailangan mong pag-aralan ang ilan sa kanilang mga tampok at panuntunan. Ang pinakasimpleng kaso ay ang pagbabawas ordinaryong fraction, na ang mga denominador ay kinakatawan bilang parehong numero. Hindi magiging mahirap gawin ang pagkilos na ito kung alam mo ang isang simpleng panuntunan:

• Upang ibawas ang pangalawa sa isang fraction, kailangang ibawas ang numerator ng fraction na ibawas sa numerator ng pinababang fraction. Isinulat namin ang numerong ito sa numerator ng pagkakaiba, at iwanan ang denominator na pareho: k / m - b / m = (k-b) / m.

Mga halimbawa ng pagbabawas ng mga fraction na ang mga denominador ay pareho

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Mula sa numerator ng pinababang fraction na "7" ibawas ang numerator ng bawas na fraction na "3", makakakuha tayo ng "4". Isinulat namin ang numerong ito sa numerator ng sagot, at inilalagay sa denominator ang parehong numero na nasa denominator ng una at pangalawang fraction - "19".

Ang larawan sa ibaba ay nagpapakita ng ilan pang katulad na mga halimbawa.

Isaalang-alang ang isang mas kumplikadong halimbawa kung saan ang mga fraction na may parehong denominator ay ibinabawas:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Mula sa numerator ng pinababang bahagi na "29" sa pamamagitan ng pagbabawas naman ng mga numerator ng lahat ng kasunod na mga praksyon - "3", "8", "2", "7". Bilang isang resulta, nakuha namin ang resulta na "9", na isinusulat namin sa numerator ng sagot, at sa denominator isinulat namin ang numero na nasa denominator ng lahat ng mga praksiyon na ito - "47".

Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction ay isinasagawa ayon sa parehong prinsipyo.

• Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang mga numerator. Ang resultang numero ay ang numerator ng kabuuan, at ang denominator ay nananatiling pareho: k/m + b/m = (k + b)/m.

Tingnan natin kung ano ang hitsura nito sa isang halimbawa:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Sa numerator ng unang termino ng fraction - "1" - idinagdag namin ang numerator ng pangalawang termino ng fraction - "2". Ang resulta - "3" - ay nakasulat sa numerator ng halaga, at ang denominator ay naiwang katulad ng naroroon sa mga fraction - "4".

Mga fraction na may iba't ibang denominator at pagbabawas ng mga ito

Napag-isipan na namin ang aksyon na may mga fraction na may parehong denominator. Tulad ng nakikita natin, alam simpleng tuntunin, medyo madaling lutasin ang mga ganitong halimbawa. Ngunit paano kung kailangan mong magsagawa ng aksyon na may mga fraction na may iba't ibang denominator? Maraming estudyante sa high school ang nalilito sa mga ganitong halimbawa. Ngunit kahit dito, kung alam mo ang prinsipyo ng solusyon, ang mga halimbawa ay hindi na magiging mahirap para sa iyo. Mayroon ding isang panuntunan dito, kung wala ang solusyon ng naturang mga fraction ay imposible lamang.

Upang ibawas ang mga fraction na may iba't ibang denominator, dapat silang bawasan sa parehong pinakamaliit na denominator.



Pag-uusapan natin nang mas detalyado kung paano ito gagawin.

Fraction property

Upang mabawasan ang ilang mga fraction sa parehong denominator, kailangan mong gamitin ang pangunahing katangian ng fraction sa solusyon: pagkatapos hatiin o i-multiply ang numerator at denominator sa pamamagitan ng ang parehong numero kumuha ng fraction na katumbas ng ibinigay.

Kaya, halimbawa, ang fraction 2/3 ay maaaring magkaroon ng mga denominator tulad ng "6", "9", "12", atbp., iyon ay, maaari itong magmukhang anumang numero na isang multiple ng "3". Pagkatapos nating i-multiply ang numerator at denominator sa "2", makakakuha tayo ng fraction ng 4/6. Pagkatapos nating i-multiply ang numerator at denominator ng orihinal na fraction sa "3", makakakuha tayo ng 6/9, at kung gagawa tayo ng katulad na aksyon na may numerong "4", makakakuha tayo ng 8/12. Sa isang equation, maaari itong isulat bilang:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Paano magdala ng maramihang mga fraction sa parehong denominator

Isaalang-alang kung paano bawasan ang ilang mga fraction sa parehong denominator. Halimbawa, kunin ang mga fraction na ipinapakita sa larawan sa ibaba. Una kailangan mong matukoy kung anong numero ang maaaring maging denominator para sa lahat ng ito. Upang gawing mas madali, i-decompose natin ang mga available na denominator sa mga salik.

Ang denominator ng fraction 1/2 at ang fraction na 2/3 ay hindi maaaring i-factor. Ang denominator ng 7/9 ay may dalawang salik 7/9 = 7/(3 x 3), ang denominator ng fraction na 5/6 = 5/(2 x 3). Ngayon ay kailangan mong matukoy kung aling mga kadahilanan ang magiging pinakamaliit para sa lahat ng apat na fraction na ito. Dahil ang unang fraction ay may bilang na "2" sa denominator, nangangahulugan ito na dapat itong naroroon sa lahat ng denominator, sa fraction na 7/9 mayroong dalawang triple, na nangangahulugan na dapat din silang naroroon sa denominator. Dahil sa nasa itaas, tinutukoy namin na ang denominator ay binubuo ng tatlong salik: 3, 2, 3 at katumbas ng 3 x 2 x 3 = 18.



Isaalang-alang ang unang bahagi - 1/2. Ang denominator nito ay naglalaman ng "2", ngunit walang isang "3", ngunit dapat mayroong dalawa. Upang gawin ito, i-multiply natin ang denominator sa pamamagitan ng dalawang triple, ngunit, ayon sa pag-aari ng fraction, dapat nating i-multiply ang numerator ng dalawang triple:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Katulad nito, nagsasagawa kami ng mga aksyon kasama ang natitirang mga fraction.

• 2/3 - isa tatlo at isa dalawa ang nawawala sa denominator:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 o 7/(3 x 3) - kulang ang denominator ng dalawa:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 o 5/(2 x 3) - kulang ng triple ang denominator:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Sa kabuuan, ganito ang hitsura:



Paano magbawas at magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Tulad ng nabanggit sa itaas, upang magdagdag o magbawas ng mga fraction na may magkakaibang denominator, dapat silang bawasan sa parehong denominator, at pagkatapos ay gamitin ang mga panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator, na inilarawan na.

Isaalang-alang ito sa isang halimbawa: 4/18 - 3/15.

Paghahanap ng multiple ng 18 at 15:

• Ang bilang na 18 ay binubuo ng 3 x 2 x 3.
• Ang bilang na 15 ay binubuo ng 5 x 3.
• Ang common multiple ay bubuuin ng mga sumusunod na salik 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Matapos matagpuan ang denominator, kinakailangan upang kalkulahin ang isang kadahilanan na mag-iiba para sa bawat fraction, iyon ay, ang bilang kung saan kinakailangan upang i-multiply hindi lamang ang denominator, kundi pati na rin ang numerator. Para magawa ito, hinahati namin ang numerong nakita namin (common multiple) sa denominator ng fraction kung saan kailangang matukoy ang mga karagdagang salik.

• 90 na hinati ng 15. Ang resultang numerong "6" ay magiging multiplier para sa 3/15.
• 90 na hinati sa 18. Ang resultang numerong "5" ay magiging multiplier para sa 4/18.

Ang susunod na hakbang sa aming solusyon ay dalhin ang bawat fraction sa denominator na "90".

Napag-usapan na natin kung paano ito ginagawa. Tingnan natin kung paano ito isinulat sa isang halimbawa:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Kung ang mga fraction na may maliliit na numero, maaari mong matukoy ang karaniwang denominator, tulad ng sa halimbawang ipinapakita sa larawan sa ibaba.



Katulad na ginawa at pagkakaroon ng iba't ibang denominator.

Pagbabawas at pagkakaroon ng mga bahaging integer

Ang pagbabawas ng mga fraction at ang kanilang karagdagan, nasuri na namin nang detalyado. Ngunit kung paano ibawas kung ang fraction ay may buong bahagi? Muli, gumamit tayo ng ilang panuntunan:

• I-convert ang lahat ng mga fraction na may integer na bahagi sa mga hindi wasto. nagsasalita sa simpleng salita, tanggalin ang buong bahagi. Upang gawin ito, ang bilang ng bahagi ng integer ay pinarami ng denominator ng fraction, ang nagresultang produkto ay idinagdag sa numerator. Ang numerong makukuha pagkatapos ng mga pagkilos na ito ay ang numerator ng isang hindi wastong fraction. Ang denominator ay nananatiling hindi nagbabago.
• Kung ang mga fraction ay may iba't ibang denominator, dapat silang bawasan sa pareho.
• Magsagawa ng karagdagan o pagbabawas na may parehong denominator.
• Kapag tumatanggap ng hindi wastong bahagi, piliin ang buong bahagi.



May isa pang paraan kung saan maaari kang magdagdag at magbawas ng mga fraction na may mga bahaging integer. Para dito, ang mga aksyon ay isinasagawa nang hiwalay na may mga bahagi ng integer, at hiwalay na may mga fraction, at ang mga resulta ay naitala nang magkasama.



Ang halimbawa sa itaas ay binubuo ng mga fraction na may parehong denominator. Sa kaso kapag ang mga denominator ay iba, dapat silang bawasan sa pareho, at pagkatapos ay sundin ang mga hakbang tulad ng ipinapakita sa halimbawa.

Pagbabawas ng mga fraction mula sa isang buong bilang

Ang isa pa sa mga uri ng mga aksyon na may mga fraction ay ang kaso kapag ang fraction ay dapat ibawas sa Sa unang tingin, ang ganitong halimbawa ay tila mahirap lutasin. Gayunpaman, ang lahat ay medyo simple dito. Upang malutas ito, kinakailangan na i-convert ang isang integer sa isang fraction, at may tulad na denominator, na nasa fraction na ibawas. Susunod, nagsasagawa kami ng pagbabawas na katulad ng pagbabawas na may parehong denominator. Halimbawa, ganito ang hitsura:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Ang pagbabawas ng mga fraction na ibinigay sa artikulong ito (Grade 6) ay ang batayan para sa paglutas ng higit pa mahirap na mga halimbawa na tinatalakay sa mga susunod na klase. Ang kaalaman sa paksang ito ay ginamit pagkatapos upang malutas ang mga function, derivatives, at iba pa. Samakatuwid, napakahalagang maunawaan at maunawaan ang mga aksyon na may mga fraction na tinalakay sa itaas.

Sa araling ito, isasaalang-alang natin ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may magkakaibang denominator. Alam na natin kung paano magdagdag at magbawas ng mga karaniwang fraction na may iba't ibang denominator. Upang gawin ito, ang mga fraction ay dapat na bawasan sa isang karaniwang denominator. Lumalabas na ang mga algebraic fraction ay sumusunod sa parehong mga patakaran. Kasabay nito, alam na natin kung paano bawasan ang mga algebraic fraction sa isang common denominator. Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga praksiyon na may iba't ibang denominador ay isa sa pinakamahalaga at mahirap na mga paksa sa ika-8 baitang. Bukod dito, ang paksang ito ay makikita sa maraming paksa ng kursong algebra, na pag-aaralan mo sa hinaharap. Bilang bahagi ng aralin, pag-aaralan natin ang mga tuntunin para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator, gayundin ang pag-aaral ng ilang karaniwang mga halimbawa.

Pag-isipan ang pinakasimpleng halimbawa para sa mga karaniwang fraction.

Halimbawa 1 Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon:

Tandaan ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga fraction. Upang magsimula sa, ang mga fraction ay dapat na bawasan sa isang karaniwang denominator. Ang karaniwang denominator para sa mga ordinaryong fraction ay hindi bababa sa karaniwang maramihang(LCM) ng mga orihinal na denominador.

Kahulugan

Hindi bababa sa natural na numero, na nahahati nang sabay-sabay sa mga numero at .

Upang mahanap ang LCM, kinakailangan na palawakin ang mga denominator sa pangunahing mga kadahilanan, at pagkatapos ay piliin ang lahat ng mga pangunahing salik na kasama sa pagpapalawak ng parehong mga denominador.

; . Kung gayon ang LCM ng mga numero ay dapat magsama ng dalawang 2 at dalawang 3: .

Matapos mahanap ang common denominator, kinakailangan para sa bawat isa sa mga fraction na makahanap ng karagdagang factor (sa katunayan, hatiin ang common denominator sa denominator ng kaukulang fraction).

Pagkatapos ang bawat fraction ay pinarami ng nagresultang karagdagang kadahilanan. Nakakakuha tayo ng mga fraction na may parehong denominator, na natutunan nating idagdag at ibawas sa mga nakaraang aralin.

Nakukuha namin: .

Sagot:.

Isaalang-alang ngayon ang pagdaragdag ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator. Isaalang-alang muna ang mga fraction na ang mga denominator ay mga numero.

Halimbawa 2 Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon:

Ang algorithm ng solusyon ay ganap na katulad sa nakaraang halimbawa. Madaling makahanap ng common denominator para sa mga fraction na ito: at karagdagang mga salik para sa bawat isa sa kanila.

.

Sagot:.

Kaya't magbalangkas tayo algorithm para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator:

1. Hanapin ang pinakamaliit na common denominator ng mga fraction.

2. Maghanap ng mga karagdagang salik para sa bawat isa sa mga fraction (sa pamamagitan ng paghahati ng karaniwang denominator sa denominator ng fraction na ito).

3. I-multiply ang mga numerator sa naaangkop na karagdagang mga salik.

4. Magdagdag o magbawas ng mga fraction gamit ang mga panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.

Isaalang-alang ngayon ang isang halimbawa na may mga fraction sa denominator kung saan mayroong mga literal na expression.

Halimbawa 3 Magdagdag ng mga fraction: .

Solusyon:

Dahil ang literal na mga expression sa parehong denominator ay pareho, dapat kang makahanap ng isang karaniwang denominator para sa mga numero. Ang panghuling common denominator ay magiging ganito: . Kaya ang solusyon sa halimbawang ito ay:

Sagot:.

Halimbawa 4 Ibawas ang mga fraction: .

Solusyon:

Kung hindi ka maaaring "mandaya" kapag pumipili ng isang karaniwang denominator (hindi mo ito maaaring i-factor o gamitin ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami), pagkatapos ay kailangan mong kunin ang produkto ng mga denominator ng parehong mga fraction bilang isang karaniwang denominator.

Sagot:.

Sa pangkalahatan, kapag nilulutas ang mga naturang halimbawa, ang pinaka mahirap na pagsubok ay upang makahanap ng isang karaniwang denominator.

Tingnan natin ang isang mas kumplikadong halimbawa.

Halimbawa 5 Pasimplehin: .

Solusyon:

Kapag naghahanap ng common denominator, kailangan mo munang subukang i-factorize ang mga denominator ng orihinal na fractions (upang gawing simple ang common denominator).

Sa partikular na kaso na ito:

Pagkatapos ay madaling matukoy ang karaniwang denominator: .

Tinutukoy namin ang mga karagdagang salik at lutasin ang halimbawang ito:

Sagot:.

Ngayon ay aayusin natin ang mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator.

Halimbawa 6 Pasimplehin: .

Solusyon:

Sagot:.

Halimbawa 7 Pasimplehin: .

Solusyon:

.

Sagot:.

Isaalang-alang ngayon ang isang halimbawa kung saan hindi dalawa, ngunit tatlong fraction ang idinaragdag (pagkatapos ng lahat, ang mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas para sa higit pa ang mga fraction ay nananatiling pareho).

Halimbawa 8 Pasimplehin: .

Ang mga ordinaryong fractional na numero ay unang nakakatugon sa mga mag-aaral sa ika-5 baitang at sinasamahan sila sa buong buhay nila, dahil sa pang-araw-araw na buhay madalas na kinakailangan na isaalang-alang o gamitin ang ilang bagay na hindi buo, ngunit sa magkahiwalay na mga piraso. Ang simula ng pag-aaral ng paksang ito - ibahagi. Ang mga pagbabahagi ay pantay na bahagi kung saan nahahati ang isang bagay. Pagkatapos ng lahat, hindi laging posible na ipahayag, halimbawa, ang haba o presyo ng isang produkto bilang isang integer; dapat isaalang-alang ng isa ang mga bahagi o bahagi ng anumang sukat. Nabuo mula sa pandiwa na "durog" - upang hatiin sa mga bahagi, at pagkakaroon ng mga ugat ng Arabe, noong siglo VIII ang salitang "fraction" mismo ay lumitaw sa Russian.

Ang mga fractional expression ay matagal nang itinuturing na pinakamahirap na seksyon ng matematika. Noong ika-17 siglo, nang lumitaw ang mga unang aklat-aralin sa matematika, tinawag itong "mga sirang numero", na napakahirap ipakita sa pang-unawa ng mga tao.

modernong hitsura Ang mga simpleng fractional residues, ang mga bahagi nito ay tiyak na pinaghihiwalay ng isang pahalang na linya, ay unang iniambag sa Fibonacci - Leonardo ng Pisa. Ang kanyang mga isinulat ay may petsang 1202. Ngunit ang layunin ng artikulong ito ay simple at malinaw na ipaliwanag sa mambabasa kung paano nangyayari ang pagpaparami ng mga pinaghalong fraction na may iba't ibang denominador.

Pagpaparami ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Sa una, ito ay kinakailangan upang matukoy mga uri ng mga fraction:

• tama;
• mali;
• magkakahalo.

Susunod, kailangan mong tandaan kung paano pinarami ang mga fractional na numero na may parehong denominator. Ang mismong tuntunin ng prosesong ito ay madaling bumalangkas nang nakapag-iisa: ang resulta ng multiplikasyon mga simpleng fraction na may parehong denominator ay isang fractional expression, ang numerator nito ay produkto ng mga numerator, at ang denominator ay produkto ng mga denominator ng mga ibinigay na fraction. Iyon ay, sa katunayan, ang bagong denominator ay ang parisukat ng isa sa mga umiiral na sa simula.

Kapag nagpaparami mga simpleng fraction na may iba't ibang denominator para sa dalawa o higit pang salik, hindi nagbabago ang panuntunan:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Ang pagkakaiba lang ay ang nabuong numero sa ilalim ng fractional line ay magiging produkto ng iba't ibang numero at, siyempre, ang parisukat ng isa. pagpapahayag ng numero imposibleng pangalanan ito.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang sa pagpaparami ng mga fraction na may iba't ibang denominator gamit ang mga halimbawa:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Gumagamit ang mga halimbawa ng mga paraan upang bawasan ang mga fractional expression. Maaari mong bawasan lamang ang mga numero ng numerator sa mga numero ng denominator; ang mga katabing kadahilanan sa itaas o ibaba ng fractional bar ay hindi maaaring bawasan.

Kasama ng simple mga fractional na numero, mayroong konsepto ng mixed fractions. Ang isang pinaghalong numero ay binubuo ng isang integer at isang fractional na bahagi, iyon ay, ito ay ang kabuuan ng mga numerong ito:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Paano gumagana ang multiplikasyon?

Maraming mga halimbawa ang ibinigay para sa pagsasaalang-alang.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Ang halimbawa ay gumagamit ng pagpaparami ng isang numero sa pamamagitan ng ordinaryong fractional na bahagi, maaari mong isulat ang panuntunan para sa pagkilos na ito sa pamamagitan ng formula:

a* b/c = a*b /c.

Sa katunayan, ang naturang produkto ay ang kabuuan ng magkaparehong fractional remainder, at ang bilang ng mga termino ay nagpapahiwatig ng natural na numerong ito. espesyal na kaso:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

May isa pang opsyon para sa paglutas ng multiplikasyon ng isang numero sa isang fractional na natitira. Kailangan mo lamang hatiin ang denominator sa numerong ito:

d* e/f = e/f: d.

Kapaki-pakinabang na gamitin ang pamamaraang ito kapag ang denominator ay nahahati sa isang natural na numero na walang natitira o, gaya ng sinasabi nila, ganap.

I-convert ang mga pinaghalong numero sa hindi wastong mga fraction at kunin ang produkto sa naunang inilarawan na paraan:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ang halimbawang ito ay nagsasangkot ng isang paraan ng representasyon halo-halong bahagi sa maling isa, maaari rin itong ilarawan bilang pangkalahatang pormula:

a bc = a*b+ c / c kung saan ang denominator bagong shot ay nabuo sa pamamagitan ng pagpaparami ng integer na bahagi sa denominator at pagdaragdag nito sa numerator ng orihinal na fractional na natitira, at ang denominator ay nananatiling pareho.

Gumagana din ang prosesong ito reverse side. Upang piliin ang integer na bahagi at ang fractional na natitira, kailangan mong hatiin ang numerator ng isang hindi tamang fraction sa denominator nito na may "sulok".

Pagpaparami mga hindi wastong fraction ginawa sa karaniwang paraan. Kapag ang entry ay napupunta sa ilalim ng isang solong fractional line, kung kinakailangan, kailangan mong bawasan ang mga fraction upang mabawasan ang mga numero gamit ang paraang ito at mas madaling kalkulahin ang resulta.

Mayroong maraming mga katulong sa Internet upang malutas ang kahit na kumplikadong mga problema sa matematika iba't ibang variation mga programa. Ang isang sapat na bilang ng mga naturang serbisyo ay nag-aalok ng kanilang tulong sa pagbibilang ng pagpaparami ng mga fraction sa magkaibang numero sa denominators - ang tinatawag na online calculators para sa pagkalkula ng mga fraction. Nagagawa nilang hindi lamang dumami, ngunit gampanan din ang lahat ng iba pang simpleng operasyon ng aritmetika na may mga ordinaryong fraction at magkahalong numero. Hindi mahirap magtrabaho kasama nito, ang kaukulang mga patlang ay napunan sa pahina ng site, ang tanda ng aksyon sa matematika ay napili at ang "kalkulahin" ay pinindot. Awtomatikong binibilang ang programa.

Ang paksa ng mga pagpapatakbo ng aritmetika na may mga fractional na numero ay may kaugnayan sa buong edukasyon ng mga middle at senior schoolchildren. Sa mataas na paaralan, hindi na nila isinasaalang-alang ang pinakasimpleng species, ngunit integer fractional expression, ngunit ang kaalaman sa mga patakaran para sa pagbabagong-anyo at mga kalkulasyon, na nakuha nang mas maaga, ay inilapat sa orihinal nitong anyo. well digested pangunahing kaalaman magbigay ng buong tiwala sa magandang desisyon karamihan mapaghamong mga gawain.

Sa konklusyon, makatuwirang banggitin ang mga salita ni Leo Tolstoy, na sumulat: “Ang tao ay isang fraction. Wala sa kapangyarihan ng tao na dagdagan ang kanyang numerator - ang kanyang sariling mga merito, ngunit kahit sino ay maaaring bawasan ang kanyang denominator - ang kanyang opinyon sa kanyang sarili, at sa pamamagitan ng pagbaba na ito ay mas malapit sa kanyang pagiging perpekto.