Apresentação sobre o tema "Volume de um poliedro". Trabalho prático "volumes de poliedros" VII. Trabalho de casa

Download da apresentação para uma aula de geometria no 11º ano.

Tema: Resolução de problemas sobre o tema "Áreas e volumes de poliedros".

Alvo: repetição, preparação para o exame 2016.

Volkova Nina Vitalievna

professor de matemática

MBOU escola secundária No. 3 do município distrito de Timashevsky

Trabalho de classe.

Preparação para o exame.

(Tarefas B-8).

1. O volume de um cubo é 8. Encontre sua área de superfície.

Solução:

1.S P=6a

3. Encontre a aresta e, em seguida, a área da superfície.

2. O raio da base do cilindro é 2, a altura é 3. Encontre a área da superfície lateral do cilindro dividida por.

S b=2 direita

3. Um paralelepípedo retangular é descrito em torno de um cilindro cujo raio da base e altura são são iguais a 6. Encontre o volume do paralelepípedo.

1 3

4. Os lados da base de uma pirâmide quadrangular regular são 10, as arestas laterais são 13.

Encontre a área da superfície desta pirâmide.

5. O volume do cone é 16. Pelo meio da altura, traça-se uma seção paralela à base do cone, que é a base de um cone menor com o mesmo vértice. Encontrar volume

cone menor.

6. A água foi despejada em um recipiente com a forma de um prisma triangular regular. O nível da água chega a 80 cm. A que altura estará o nível da água se ela for despejada em outro recipiente semelhante, cujo lado da base é 4 vezes maior que o primeiro?

X

7. O cilindro e o cone têm uma base comum e uma altura comum. Calcule o volume do cilindro se o volume do cone for 87.

8. Encontre o volume do poliedro mostrado na figura (todos os ângulos diedros do poliedro são retos).

9. As duas arestas de um paralelepípedo que saem do mesmo vértice são 3 e 4. A área da superfície desse paralelepípedo é 94. Encontre a terceira aresta que sai do mesmo vértice.

X

10. Duas arestas de um paralelepípedo saindo do mesmo vértice são 1 e 2. A área da superfície do paralelepípedo é 16. Encontre sua diagonal.

X

D=…

11. Um paralelepípedo retangular está circunscrito em torno de uma esfera de raio 8,5 cm. Encontre seu volume.

12. Na base de um prisma reto encontra-se um quadrado de lado 8.

As costelas laterais são iguais.

Encontre o volume do cilindro circunscrito por este prisma.

D/Z nos cartões.

Certificar-se de que!

Talvez essas sejam as tarefas que você encontrará no exame!

Materiais do site usados:

http://live.mephist.ru/show/mathege2010/view/B1/solved/

http://mathege.ru:8080/or/ege/Main?view=Pos

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Slide 8

Classe: 11

Metas:

• repita os tipos de poliedros, seus elementos e fórmulas de volume; mostrar a orientação prática do tema em estudo;
• desenvolver as habilidades práticas dos alunos;
• despertar o interesse pelo assunto.

Equipamento:

• um conjunto de todos os tipos de poliedros;
• desenhos de polígonos no quadro;
• um pôster representando qualquer edifício moderno;
• projetor.

I. Conversa heurística

(repetição de material teórico sobre o tema)

1. Nomeie e escreva as fórmulas para os volumes de um prisma, um paralelepípedo, uma pirâmide, uma pirâmide truncada.
(Vprisms = Sprim. h, Vpara. = abc ou Vpara. = Sprim. h, Vpyram. = Sprim. h, V =

2. Quais quantidades são repetidas em todas as fórmulas acima? (Altura)
3. Mostre a altura em prismas retos e oblíquos.
4. Um paralelepípedo pode ser chamado de prisma? E o cubo? (Sim, estes são casos especiais de um prisma)
5. Mostre a altura em uma pirâmide reta e inclinada.
6. Quais figuras podem estar na base de um prisma e de uma pirâmide? (Triângulo, quadrado, losango, retângulo, paralelogramo, trapézio e outras figuras planas)
7. Pode haver um trapézio na base de um paralelepípedo? (Não, porque um paralelepípedo é um prisma cuja base é um paralelogramo)
8. Considere os polígonos no tabuleiro. Esses polígonos podem estar na base do poliedro que consideramos.

Nos cartões, fórmulas com cálculos das áreas dos polígonos ( Anexo 1 ) Correlacione essas fórmulas com os números mostrados no quadro; Qual é a fórmula para calcular a área de cada uma dessas figuras?
9. Qual destas fórmulas é adequada para calcular a área útil de uma sala? ( uma . b ou uma 2)

II. Resolvendo problemas com conteúdo prático

Primeira opção:"Atendimento de peritos da estação sanitária e epidemiológica"

(é selecionado um “especialista sênior” que expõe o conteúdo do problema e faz uma conclusão com base nos resultados da solução).

Solução:

V = abc ou V = Sbase h
V = 8,5 6 3,6 = 183,6( m 3)
183,6: 30 = 6,12(m 3) o ar é contabilizado por um aluno.

Opinião de um 'expert:

Sim, 30 alunos podem estudar em sala de aula.

Segunda opçao:"Serviço Meteorológico"

(é selecionado um “meteorologista sênior” que define o conteúdo da tarefa e tira uma conclusão com base nos resultados da solução)

Solução:

O canteiro é uma figura geométrica - um prisma triangular reto, onde h = 20mm, então V = Sprim. h

1) Sono. =
2) h = 20 milímetros, 1m = 1000milímetros, 1milímetros = 0,001m, então h = 0,02 m
3) V = 15,3 0,02 = 0,306( m 3) = 306(dm 3)
4) 1dm 3 = 1eu(água), então 306 dm 3 = 306 litros de água

A conclusão do "meteorologista sênior":

Durante o dia, 306 litros de chuva caíram no canteiro.

III. Resolvendo problemas para o desenvolvimento do olho

Muitas vezes temos que fazer a pergunta: é muito ou pouco? Para aprender a responder a essas perguntas, você deve desenvolver constantemente seu olho. Agora cada um de vocês terá a oportunidade de verificar a qualidade do seu olho.

1) Quanto você acha cm 3 colônias ou loções estão incluídas neste frasco? (O professor mostra aos alunos uma garrafa em forma de pirâmide truncada ou um paralelepípedo retangular).

Enquanto os alunos estão dando seus palpites, um deles vai até o quadro-negro, tira as medidas apropriadas e calcula o resultado correto. Os alunos relacionam suas suposições a esse resultado, testando assim a qualidade de seus olhos.

2) Quanto m 3 ar em nosso escritório? (O próprio professor dá os parâmetros).

4. "Time out" para o desenvolvimento da imaginação espacial

1. Exibe-se uma tabuinha com o desenho de um edifício.

Pergunta: De que formas geométricas consiste este edifício?
Resposta: Um paralelepípedo retangular, uma pirâmide quadrangular regular e assim por diante.

2. Que formas geométricas são encontradas em seu local de trabalho?

V. Laboratório e trabalho prático

Todo mundo tem um modelo de poliedro na mesa.

Exercício: Faça as medidas necessárias, calcule o volume desta figura em um pedaço de papel.

(Pré-escrever no pedaço de papel o número da figura e seu nome).

VI. Palavras cruzadas

Os alunos que concluíram os trabalhos laboratoriais e práticos mais cedo do que os outros são convidados a resolver as palavras cruzadas "Poliedros".

1. Faces paralelas de um prisma (base);
2. Um dos poliedros (pirâmide);
3. Perpendicular entre as bases do prisma (altura);
4. Um plano que cruza um poliedro (seção);
5. Unidade de medida (metro).

VII. Trabalho de casa

VIII. Resumo da lição

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CIÊNCIA DA FEDERAÇÃO RUSSA

instituição de ensino orçamentária do estado federal
ensino superior

"UNIVERSIDADE TÉCNICA DO ESTADO DE ULYANOVSK"

Barysh College - filial

Universidade Técnica Estadual de Ulyanovsk

para a execução do trabalho prático

por disciplina

« Matemática: álgebra e os primórdios da análise, geometria»

para alunos especiais 09/02/03 Programação em sistemas de computador, 38/02/01 Economia e contabilidade (por setor)

2018

comissão metodológica cíclica

disciplinas do ciclo geral natural e geral profissional

Presidente _______ N.A. Zolina

eu aprovo

Deputado Diretor de Educação

I.I. Shmelkova

Professor no Barysh College - um ramo da UlSTU D.A. Sovetkin

NOTA EXPLICATIVA

A realização de aulas práticas visa consolidar e aprofundar os conhecimentos teóricos da disciplina, bem como a aquisição de competências práticas pelos alunos.

Antes de realizar cada aula prática, o aluno é obrigado, usando os materiais da literatura especificados no trabalho, a repetir o material abordado relacionado ao tema da aula prática. A verificação da prontidão dos alunos é realizada por meio de uma pesquisa.

Ao realizar um trabalho, os alunos devem ter independência e sua atitude criativa em relação ao trabalho deve ser incentivada de todas as maneiras possíveis.

No final da aula, os alunos elaboram um relatório em que o material sobre a execução da aula prática deve ser consagrado na sequência indicada no trabalho.

Após a apresentação do relatório, o aluno recebe um crédito pelo trabalho realizado.

Regras para a realização do trabalho prático:

Ao realizar um trabalho, o aluno deve estudar de forma independente as recomendações metodológicas para a realização de um determinado trabalho; realizar os cálculos pertinentes; usar literatura de referência e técnica; preparar respostas para perguntas de controle. Estudando a fundamentação teórica, o aluno deve ter em mente que o principal objetivo do estudo da teoria é a capacidade de aplicá-la na prática para resolver problemas práticos.

Após a conclusão do trabalho, o aluno deve apresentar um relatório sobre o trabalho realizado com os resultados e conclusões obtidos e defendê-lo oralmente. Os relatórios dos trabalhos práticos são realizados em folhas A4. A primeira página é projetada de acordo com as regras para o design das páginas de título. É necessário deixar margens de 25 a 30 mm de largura para comentários do professor. Todos os esquemas e desenhos que acompanham a implementação do trabalho prático são realizados a lápis de acordo com os requisitos do GOST.

A execução descuidada do trabalho prático, o não cumprimento das regras aceitas e a má concepção de desenhos, gráficos ou diagramas podem fazer com que o trabalho seja devolvido para revisão.

O relatório deve conter:

cargo;

objetivo do trabalho;

• sequência de trabalho;

  respostas às perguntas de controle;

  conclusão sobre o trabalho realizado.

TRABALHO PRÁTICO

Tema " Volumes e áreas de superfície de poliedros e corpos de revolução »

Alvo: consolidar os conhecimentos e habilidades de encontrar volumes e áreas de superfície de poliedros e corpos de revolução.

Tempo - 2 horas.

Diretrizes

Antes de realizar o trabalho prático, é necessário concluir um projeto individual - fazer um poliedro ou um corpo de revolução nas instruções do professor.

Lista de prismas

1. A figura é um paralelepípedo.

Medidas necessárias: meça o comprimento, largura, altura com uma régua.

De acordo com as medições, encontre:

diagonal paralelepípedo

superfície lateral

superfície total

volume da figura.

2. A figura é um prisma triangular reto ABCA 1 B 1 C 1 .

De acordo com as medições, encontre:

superfície lateral

superfície total

volume da figura

área da seção transversal através de uma nervura lateralAA 1 e no meio da borda da baseBC

3. Figura - cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Medidas necessárias: meça todas as arestas com uma régua.

De acordo com as medições, encontre:

diagonais do prisma

superfície lateral

superfície total

volume da figura

Perguntas do teste:

Definição de um poliedro

Definição de um prisma

Tipos de prismas, suas definições

Elementos de prisma

Definição de um paralelepípedo, seus tipos e elementos

Tipos de seções de prisma

Volume do paralelepípedo e prisma

Lista de pirâmides

A figura é um tetraedro.

Medidas necessárias: meça todas as arestas com uma régua.

De acordo com as medições, encontre:

a altura da pirâmide

superfície lateral

superfície total

volume da figura

área seccional que passa pela borda lateral e apótema da face oposta

A figura é uma pirâmide quadrangular.

Medidas necessárias: meça todas as arestas com uma régua.

De acordo com as medições, encontre:

superfície lateral

superfície total

volume da figura

área seccional que passa pela diagonal da base e pela borda lateral

o ângulo entre a face lateral e o plano de base.

A figura é uma pirâmide triangular truncada.

Medidas necessárias: meça todas as arestas com uma régua.

De acordo com as medições, encontre:

superfície lateral

superfície total

volume da figura

a área da seção que passa pela altura da base e pela borda lateral.

A figura é uma pirâmide quadrangular truncada.

Medidas necessárias: meça com uma régua.

De acordo com as medições, encontre:

superfície lateral

superfície total

volume da figura

área seccional passando por duas nervuras laterais opostas.

Perguntas do teste:

Definição de pirâmide, pirâmide truncada

Tipos de pirâmides, suas definições

elementos da pirâmide

Tipos de seção

Volume da Pirâmide

Lista de corpos de revolução

1. Cilindro

Medidas necessárias: meça o diâmetro e a altura do cilindro com uma régua.

De acordo com as medições, encontre:

superfície lateral

superfície total

volume da figura

encontre a área de uma seção traçada paralelamente ao eixo do cilindro a uma distânciaeu(perguntar a cada aluno individualmente) dela.

Perguntas:

Definição do Cilindro

Defina cilindro direito e equilátero

Elementos do cilindro

Tipos de seção

Volume do cilindro

2. Cone

Medidas necessárias: meça a geratriz e o diâmetro da base com uma régua.

De acordo com as medições, encontre:

superfície lateral

superfície total

volume da figura

área axial

o ângulo de inclinação da geratriz em relação ao plano da base.

Perguntas:

Definição de cone, cone truncado

Elementos de cone

Tipos de seção

Área e volume de um cone, cone truncado

3. Bola e esfera

Medidas necessárias: meça o comprimento do círculo diametral.

De acordo com as medições, encontre:

raio da forma

área de superfície de uma esfera

volume de bola

encontrar a área da seção transversal de uma esfera ou esfera por um plano desenhado à distânciaX(definido para cada aluno individualmente) do centro.

Perguntas:

Definição de uma bola, esfera

Tipos de seções da bola e da esfera

Equação da Esfera

Definição de um plano tangente a uma bola

Definição de segmento esférico, camada esférica e setor esférico

Exercício:

1. Faça as medições necessárias de acordo com a figura

2. De acordo com os dados de medição, realize os cálculos necessários

3. Conclua a tarefa em cadernos

4. Responda a questões teóricas.

Requisitos de projeto: desenhe uma figura, anote o dado, anote o que precisa ser encontrado, a solução completa e a resposta.

LISTA DE FONTES USADAS

1. Dadayan A.A. Coleção de problemas em matemática: livro didático. subsídio / A.A. Dadayan. - M.: FÓRUM: INFRA-M, 2014. - 352 p.

2. Dadayan A.A. Matemática: livro didático. /A.A. Dadayan. - 2ª edição. - M.: FORUM, 2014. -544 p. _

3. Bogomolov N.V. Aulas práticas de matemática, - M.: Nauka, 2011. - 370 p.

4. Álgebra e os primórdios da análise. Matemática para escolas técnicas às 14h Ed. G.N. Yakovlev. – M.: Nauka, 2015. -1002 p.

5. Geometria: Proc. para 10-11 células. Educação geral instituições / L.S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev e outros - 6ª ed. - M.: Educação, 2013. - 207 p.

6. Alimov Sh. A. et al. Matemática: álgebra e princípios de análise matemática, geometria. Álgebra e o início da análise matemática (níveis básico e avançado) 10ª-11ª séries. - M., 2014.

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Poliedro

Um poliedro é um corpo cuja superfície consiste em um número finito de polígonos planos.

slide 3

Um poliedro é chamado convexo se estiver em um lado de qualquer plano que contenha sua face. Um poliedro é chamado não-convexo se houver uma face tal que o poliedro esteja em ambos os lados do plano que contém essa face.

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O que é no sentido cotidiano o volume de um corpo, em particular um poliedro? Esta é a quantidade de líquido que pode ser derramado dentro deste poliedro. Corte os topos e despeje água dentro de cada poliedro. Um poliedro convexo já foi preenchido, mas um não convexo ainda não. Mas talvez a água tenha sido derramada em velocidades diferentes: para comparar corretamente os volumes, despejamos o líquido de cada poliedro em copos idênticos. O nível de água no copo direito é maior que no esquerdo, o que significa que o volume de um poliedro não convexo é de fato maior que o volume de um convexo.

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Muitas conquistas significativas dos matemáticos da Grécia antiga na resolução de problemas de encontrar cubatura (calcular volumes) de corpos estão associadas ao uso do método de exaustão proposto por Eudoxo de Cnido (cerca de 408-355 aC). Conhece-se uma fórmula que permite encontrar o volume de um poliedro se conhecermos apenas os comprimentos de suas arestas. O volume de um poliedro arbitrário pode ser calculado conhecendo apenas os comprimentos de suas arestas. No entanto, o poliedro deve ser de uma forma especial.

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No caso geral, pode-se mostrar que os volumes generalizados de poliedros são as raízes de equações polinomiais com coeficientes que não dependem da localização dos vértices do poliedro no espaço, mas são polinômios nos quadrados dos comprimentos de seus arestas. Os coeficientes numéricos desses polinômios são determinados pela estrutura combinatória do poliedro.

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O volume da pirâmideTeorema O volume da pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura.

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Volume do poliedro

O volume de um poliedro é igual à soma dos volumes das pirâmides, que têm as faces do poliedro como suas bases e o centro da esfera como seu vértice. Como todas as pirâmides têm a mesma altura, igual ao raio R da esfera, então o volume do poliedro.